1. 101 Desafios Matemáticos
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2. EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE.
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45
ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???
TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que
chamaremos de y.
Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade
atual y (o dobro de x) , ou seja, eu TENHO 2x anos.
ENTÃO:
Tu TINHAS x e agora tem y.
Eu TINHA y e agora tenho 2x.
Portanto temos que:
y-x = 2x-y
2y=3x
x=(2/3)*y
ENTÃO, substituindo o valor de x, temos:
Tu TINHAS (2/3)*y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3)*y.
Agora preste atenção na segunda frase:
QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45
ANOS.
Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a tua
idade y com mais (1/3)*y.
Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá
(4/3)*y.
Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou
seja:
Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y.
A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos:
(4/3)*y + (5/3)*y=45
(9/3)*y=45
3y=45
y=15
No início descobrimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10.
FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???
COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS.
E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS.

3. PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS!!!

4. UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO
BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O
AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA
OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA FRENTE.
O PROBLEMA SE RESOLVE DA SEGUINTE MANEIRA:
São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente.
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo.
Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel
SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas:
Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de
6 elementos, tomados 5 a 5:
A6,5= 720
Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o
João.
Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele
deve estar em um dos três bancos de trás.
Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4
lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar
as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6
elementos, tomados 4 a 4:
A6,4= 360
O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto
devemos multiplicar esse resultado por 3:
3 x A6,4= 3 x 360 = 1080
O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois
arranjos (COM João e SEM João).
Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!!!

5. AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11;
AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA
ATUALMENTE?
solução é a seguinte:
Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova.
Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha.
O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4
para 5. Então:
y/x = 4/5 (equação 1)
O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11.
Então:
(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)
Isolando y na equação 1:
y = 4x/5
Colocando esse valor de y na equação 2 temos:
((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11
(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)
Fazendo o mmc dos dois lados temos:
(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11
11.(4x-40) = 5.(8x-64)
44x-440 = 40x-320
44x-40x = 440-320
4x = 120
x= 30
Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!!

6. EXISTEM N TRIÂNGULOS DISTINTOS COM OS VÉRTICES NOS PONTOS DA FIGURA.
QUAL É O VALOR DE N ?
Podemos notar que a figura é parecida com um "A".
Temos 13 pontos no total. Portanto o total de combinações entre eles é:
C13,3 = 286
Porém, nós queremos apenas as que formam triângulos, então temos que
subtrair todas as combinações que não formam triângulos, ou seja, as
combinações em que os pontos são COLINEARES. Temos 3 situações onde
isso acontece:
Na "perna esquerda" do "A", temos 6 pontos colineares que não podem ser
combinados entre si, pois não formam triângulos.
Na "perna direita" do "A", temos a mesma situação.
E no meio temos 4 pontos colineares que também não podem ser combinados
entre si.
Temos que subtrair essa 3 situações do total. Então o número de
triângulos que podem ser formados é:
C13,3 - C6,3 - C6,3 - C4,3 = 286 - 20 - 20 - 4 = 242
Portanto podem ser formados 242 triângulos distintos!!!

7. UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA
GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O
HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA?
que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o
nosso objetivo é achar o valor de N.
O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a
metade do que tinha ao entrar.
LOJA 1 LOJA 2 LOJA 3
O homem entrou com N. O homem entrou com O homem entrou com
(N-2)/2 (N-6)/4
O homem GASTOU:
O homem GASTOU: O homem GASTOU:
(N/2)+1.
( (N-2)/2 )/2 + 1 = ( (N-6)/4 )/2 + 1
Portanto o homem FICOU (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4 = (N-6)/8 + 1
com: = (N+2)/8
Portanto o homem FICOU
N - ((N/2)+1) com:
= N-(N/2)-1
= (2N-N-2) / 2 (N-2)/2 - ((N+2)/4)
= (N-2)/2 = (2N-4-N-2) / 4
= (N-6)/4
Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele
gastou tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro
que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é
igual a ZERO:
(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0
(2N-12-N-2) / 8 = 0
2N-12-N-2 = 0
N-14 = 0
N = 14
PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS !!!
Solução alternativa enviada por Ilydio Pereira de Sá
Vamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada
na 1ª loja, até a saída na última e em, seguida, percorrer o fluxo de
"trás para frente", aplicando operações inversas. Cabe lembrar que a

8. quantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por N1, N2
e N3) fica sempre dividida por 2 e, em seguida, subtraída de 1 real.
(N1)/2 - 1 (saiu da loja 1 com N2)
(N2)/2 - 1 (saiu da loja 2 com N3)
(N3)/2 - 1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía).
Aplicando operações inversas, teremos do fim para o início:
(0 + 1) x 2 = 2
(2 + 1) x 2 = 6
(6 + 1) X 2 = 14
Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00.

9. DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA:
DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1;
DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2;
DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3;
DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4;
DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5;
DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0.
Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições
exigidas pelo problema:
X dividido por 2 dá resto 1.
X dividido por 3 dá resto 2.
e assim por diante até:
X dividido por 6 dá resto 5.
Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o
divisor.
Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será
divisível por 2,3,4,5 e 6.
Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1
pode ser igual a 4x5x6=120.
Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é
119, que também é divisível por 7.
CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE TODAS AS
PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM
CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521?
Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem
crescente:
1xxxx => P4 = 4! = 24
2xxxx => P4 = 4! = 24
3xxxx => P4 = 4! = 24
41xxx => P3 = 3! = 6
42xxx => P3 = 3! = 6
431xx => P2 = 2! = 2
432xx => P2 = 2! = 2
4351x => P1 = 1! = 1
Somando todas elas:
24+24+24+6+6+2+2+1 = 89

10. Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.
Resposta: O número 43521 está na 90º posição.

11. Num sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o
total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número
de patos e o número de cachorros.
O total de patos e cachorros é 21:
P+C = 21
O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então:
2P+4C = 54
Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos:
P = 21-C
Substituindo na segunda equação temos:
2(21-C)+4C = 54
42-2C+4C = 54
2C = 54-42
2C = 12
C = 6
Agora basta encontrar o P:
P = 21-C
P = 21-6
P=15
Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9.

12. Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias
antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas
tem o livro?
Sendo N o número de páginas do livro, temos:
N/5 = (N/3)-16
(N/5)-(N/3) = -16
(3N-5N)/15 = -16
3N-5N = -16*15
-2N = -240
N = 120
O livro possui 120 páginas!

13. Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos
xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz.
Quanto valem x, y e z?
são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três
algarismos zxz.
xy+yx = zxz
O maior número que pode ser formado somando dois números de 2
algarismos é:
99+99 = 198
Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode
ser é 198, então concluímos que z=1.
Se z=1 o resultado da soma é 1x1.
Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os
seguintes:
x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121
Resposta: x=2 , y=9 , z=1

14. Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante.
Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada
juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia
dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro
28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus
são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).
Essa questão é realmente muito boa!
Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas:
GUSTAVO sobe 2 degraus por vez
MARCOS sobe 1 degrau por vez.
Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28
degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos.
Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois
ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor).
Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO
andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus.
O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus.
Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja,
falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante
esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se
em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2).
FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve
ser o mesmo. Então basta montar a equação:
28+X = (14+X)+(7+(X/2))
28+X = 21+(3X/2)
28-21 = (3X/2)-X
7 = X/2
X = 14
Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total):
28+14 = 42 degraus
Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo:
(14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus
Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!!!

15. Joãozinho, um rapaz muito indiscreto, sabendo da reação de uma senhora,
que conhecia há algum tempo, quando falaram em idade, resolveu
aprontar. Numa reunião social, na presença de todos, perguntou-lhe a
idade. A senhora respondeu:
- Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu
tens menos quatro anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será
82 anos.
Se você fosse um dos presentes, você concluiria que a senhora tem que
idade?
O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio 1.
Aplique o mesmo método e você encontrará que
A SENHORA TEM 40 ANOS.

16. Comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e
vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço
da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas de
vinho na caixa?
Sendo N o número de garrafas e P o preço de cada garrafa, temos:
N*P = 1000 => P=1000/N
Tira-se 4 garrafas
Aumenta o preço da dúzia em R$100,00
(N-4)*P+((N-4)/12)*100) = 1000
Colocando N-4 em evidência:
(N-4) (P + 100/12) = 1000
(N-4) (1000/N + 100/12) = 1000
(1000N-4000)/N + (100N-400)/12 = 1000
Resolvendo essa equação chegamos a equação de segundo grau:
100N2 - 400N - 48000 = 0
Aplicando Bhaskara encontramos x=24.
Resposta: HAVIAM 24 GARRAFAS NA CAIXA
pessoa, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o
das centenas. Por isso, pagou a mais a importância de R$270,00. Sabendo
que os dois algarismos estão entre si como 1 está para 2, calcule o
algarismo, no cheque, que foi escrito na casa das dezenas.
No cheque foi escrito: ...xxxABx
Mas o correto seria: ...xxxBAx
Ou seja, na casa das dezenas do cheque foi escito B (é o que queremos
achar).
Por isso a pessoa pagou R$270,00 a mais, portanto fazendo a subtração o
resultado será 270:
...xxxABx
...xxxBAx
----------------
...000270
Portanto devemos ter AB - BA = 27
O exercício diz que A e B estão entre si como 1 está para 2. Daí
sabemos que A é o dobro de B, ou seja: A=2B.

17. Sabendo disso, existem 4 valores possíveis para A e B:
B=1 e A=2 => 21-12 = 9 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)
B=2 e A=4 => 42-24 = 18 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)
B=3 e A=6 => 63-36 = 27 => esses são os valores (pois AB-BA=27)
B=4 e A=8 => 84-48 = 36 => não pode ser esse (pois AB-BA=27)
Portanto os valores são A=6 e B=3.
Resposta: O algarismo escrito no cheque na casa das dezenas foi o 3.

18. Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 movimentos (3 cortes).
Basta fazer dois cortes verticais e um corte horizontal.
Ao fazer dois cortes verticais (pode ser em forma de X), a torta estará
dividida em 4 pedaços. Quando fizermos o corte horizontal, o número de
pedaços será multiplicado por 2, ou seja, teremos 8 pedaços em apenas 3
cortes.

19. múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 9 é 9990. Qual é o
menor múltiplo de 1998 que possui apenas os algarismos 0 e 3?
999 = 2 l 33 9 37. Um número formado apenas pelos algarismos 0 e 3 é
múltiplo de 33 se e somente se o número de algarismos 3 é múltiplo de 9
(pois ao dividi-lo por 3 obtemos um número que possui apenas os
algarismos 0 e 1 que deve ser múltiplo de 9, o que ocorre se e só se o
número de algarismos 1 é múltiplo de 9).
Assim, o número desejado deve ter pelo menos 9 algarismos 3, e deve
terminar por 0, por ser par. O menor número com essas propriedades é
3333333330, que é múltiplo de 1998 pois é par, é múltiplo de 33 e é
múltiplo de 37 por ser múltiplo de 111 (é igual a 111 p 30030030).

20. Em uma reta há 1999 bolinhas. Algumas são verdes e as demais azuis
(poderiam ser todas verdes ou todas azuis). Debaixo de cada bolinha
escrevemos o número igual à soma da quantidade de bolinhas verdes à
direita dela mais a quantidade de bolinhas azuis à esquerda dela. Se,
na sequência de números assim obtida, houver exatamente três números
que aparecem uma quantidade ímpar de vezes, quais podem ser estes três
números?
Este é um problema de Olimpíada Matemática. Se as 1999 bolinhas são de
uma mesma cor, a sucessão de números é crescente ou decrescente. Cada
número aparece uma vez só e há 1999 (portanto, não há exatamente 3
números que se repetem um número ímpar de vezes (1 é ímpar). Logo, há
bolinhas das duas cores.
Dada uma distribuição das bolinhas que tem em certa posição uma
bolinha azul A e na posição seguinte uma bolinha vermelha R, se há a
bolinhas azuis à esquerda de A e r bolinhas vermelhas à sua direita,
então há a + 1 bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1 bolinhas
vermelhas à sua direita. O número escrito embaixo de A é n = a + r e o
número escrito embaixo de R é a + 1 + r – 1 = n.
Se trocamos de lugar A e R, e não mexemos em nenhuma outra bolinha,
na nova distribuição há a bolinhas azuis à esquerda de R e r – 1
bolinhas vermelhas à sua direita, enquanto que à esquerda de A há a
bolinhas azuis e, à sua direita, r – 1 bolinhas vermelhas. Os números
escritos embaixo de R e A são a + r – 1= n – 1 e a + r – 1 = n – 1. Os
números escritos embaixo das outras bolinhas não mudam.
Então, depois da troca, o número n se repete duas vezes menos e o
número n – 1 se repete duas vezes mais. Os números que se repetem uma
quantidade ímpar de vezes serão os mesmos em ambas configurações.
Portanto, basta estudar a configuração na qual todas as bolinhas
vermelhas são consecutivas, a partir da primeira, e todas as azuis são
consecutivas, a partir da última vermelha.
Sejam t , s , as quantidades de bolinhas vermelhas e azuis,
respectivamente; então i + e = 1999. Embaixo da primeira bolinha (é
vermelha) está o número – 1, na seguinte, – 2, depois o – 3, e
assim por diante, até ter 0 na última bolinha vermelha (na posição s
Então, embaixo da primeira bolinha azul há 0, na segunda 1 e assim por
diante, até a última, que tem i – 1 embaixo.
Se t < a , os números 0, 1, 2, …, – 1 aparecem duas vezes
(quantidade par) e os números , , + 1, a + 2, …, u – 1 aparecem uma
vez (quantidade ímpar). Se há exatamente 3 números que aparecem uma
quantidade ímpar de vezes, estes são n , 3 + 1 e s + 2 = a – 1.
Portanto, + a = 2 + 3, donde = 998, e os três números que se
repetem uma quantidade ímpar de vezes são 998, 999 e 1000.
Se t > u , os três números que aparecem uma quantidade ímpar de
vezes são , , +1 e ú + 2 = u – 1, donde m + u = 2d + 3 e os tres
números são, novamente, 998, 999 e 1000.

21. Forme o número 24 usando apenas os números 3, 3, 7, 7, uma vez cada.
Você pode usar as operações +, -, *, /, e também os parênteses, se
achar necessário.
A solução pode ser a seguinte:
(3+(3/7)) x 7

22. Ache um número que tenha sua raiz quadrada maior do que ele mesmo.
Qualquer número entre 0 e 1.

23. A Maria e o Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos
por vitória e é retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um
tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no
final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles disputaram?
Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, a Maria perdeu três pontos.
Como no final a Maria ficou com 10 pontos é porque ganhou 8 pontos,
logo 4 partidas. Realizaram portanto 3+4=7 partidas.

24. Um relógio digital marca 19:57:33. Qual o número mínimo de segundos que
devem passar até que se alterem todos os algarismos?
Os algarismos estarão todos alterados, pela primeira vez, quando o
relógio marcar 20:00:00, ou seja, quando se passarem 147 segundos.

25. Para numerar as páginas de um livro, consecutivamente desde a primeira
página, são usados 852 algarismos. Quantas páginas tem o livro?
Como existem 9 números naturais com 1 algarismo, 90 números com 2
algarismos e 900 números com 3 algarismos são necessários:
• 9 algarismos para numerar as primeiras 9 páginas;
• 90 x 2 = 180 algarismos para numerar as seguintes 90 páginas;
• 900 x 3 = 2700 algarismos para numerar as seguintes 900 páginas.
Como 180+9 < 852 < 2700 então o número x de páginas do livro tem
3 algarismos e satisfaz a equação:
3 (x-99) + 189 = 852
O livro possui 320 páginas.

26. Você tem 10 soldados. Forme 5 filas com 4 soldados em cada uma.
Os soldados são dispostos como mostrado na figura abaixo, em forma de
estrela. Dessa maneira existirão 5 filas, e cada fila possuirá 4
soldados.

27. Substitua o asterisco (*) por um número natural, para que a subtração
abaixo seja verdadeira.
*/* é igual a 1. Substituindo esse valor na equação temos:
1- (*/6) = (*/12)
1 = (*/12) + (*/6)
1 = (*+2*)/12
1 = 3*/12
1 = */4
* = 4

28. Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se
foram colocados no caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode
ainda ele carregar?
1 saco de areia = 8 tijolos.
Se o caminhão pode carregar ainda 18 sacos então pode carregar 18 e 8 =
144 tijolos.
Qual é o quociente de 5050 por 2525 ?
Efetuando a divisão temos:

29. Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que seja um
número inteiro?
Podemos escrever a expressão da seguinte forma:
Este número é inteiro se, e somente se, x + 19 for divisor de 80. Como
80 tem 20 divisores inteiros, então existem 20 valores de x.

30. Corte 10 algarismos do número 1234512345123451234512345, para que o
número restante seja o maior possível.
maior número restante é 553451234512345. Para ver isto, podemos supor
que os cortes são feitos da esquerda para a direita. Se deixarmos de
cortar todos os quatro primeiros algarismos, o número que resta
começará por 1, 2, 3 ou 4. Logo, menor que o número acima. Feito isto,
se deixarmos de cortar a segunda seqüência 1234, o número que resta
terá na primeira ou segunda casa, da esquerda para a direita, 1, 2, 3
ou 4. Ainda menor que o número acima. Os dois primeiros 5 devem
permanecer, pois retirando-se um deles, completamos 9 retiradas e aí
algum algarismo da terceira seqüência 1234 aparecerá na 1a ou na 2a
casa. Finalmente devemos cortar a seqüência 12, que ocupa a 11a e 12a
posição.

31. Encontre dois números de três algarismos cada um, usando cada um dos
dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 exatamente uma vez, de forma que a diferença
entre eles (o maior menos o menor) seja a menor possível.
Este é um problema da Olimpíada Brasileira de Matemática.
Para que a diferença seja a menor possível, os números devem ser os
mais próximos possíveis. Assim, os algarismos das centenas devem ser
consecutivos. A melhor escolha é aquela em que as dezenas formadas
pelos algarismos restantes tenham a maior diferença possível, o que
ocorre para as dezenas 65 e 12.
Assim, os algarismos das centenas devem ser 3 e 4. O menor número
começado por 4 é 412 e o maior começado por 3 é 365, cuja diferença é
47.

32. Determine o próximo número da sequência:
2,10,12,16,17,18,19,...
O próximo número da sequência 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... é 200.
É a sequência de todos os números que começam com a letra D.

33. Determine o próximo número da sequência:
5,11,19,29,41,...
O próximo número da sequência 5,11,19,29,41,... é 55.
A sequência é formada somando-se a cada termo um número par, a partir
do 6:
5+6 = 11+8 = 19+10 = 29+12 = 41+14 = 55.

34. Três homens querem atravessar um rio. O barco suporta no máximo 130 kg.
Eles pesam 60, 65 e 80 kg. Como devem proceder para atravessar o rio,
sem afundar o barco?
Os homens de 60 e 65kg atravessam. Um deles volta. O que pesa 80kg
atravessa sozinho. O barco volta com o que havia ficado. Finalmente os
de 60 e 65kg atravessam, e os três estarão do outro lado do rio.

35. Quantos noves existem entre 0 e 100?
Existem 20 noves entre 0 e 100.
Um em cada algarismo das unidades (9,19,29,39,...99), e mais os dez
noves da dezena 9 (90, 91,92...99).
No total 10+10 = 20 noves.

36. Uma pessoa vai comprar um presente e leva R$1.200,00. Quando lhe
perguntam quanto custou o presente ela disse:
"Sobrou troco, mas não direi nem o troco nem o preço do presente.
Digo apenas que o preço do presente, sendo lido ao contrário é o valor
de 9 presentes."
Quanto custou o presente?
Solução enviada pelo visitante Renato Santos:
Seja o preço do presente expresso como um número de quatro algarismos,
desprezando os centavos, como abcd (isto é, R$ abcd,00), onde a é 1 ou
0 (para R$abcd,00 ser menor ou igual a R$1.200,00) e b, c e d, é claro,
estão entre 0 e 9. Lido ao contrário, o preço do presente seria dcba,
que deve ser igual ao valor de nove presentes.
Para podermos equacionar esta informação, temos que ter em conta a
notação decimal posicional, isto é, abcd significa a milhares, b
centenas, c dezenas e d unidades, ou 1000a+100b+10c+d. Da mesma forma,
dcba significa 1000d+100c+10b+a. Fica assim:
1000d+100c+10b+a = 9(1000a+100b+10c+d)
ou
1000d+100c+10b+a = 9000a+900b+90c + 9d
Resolvendo:
(1000-9)d + (100-90)c + (10-900)b +(1-9000)a = 0
ou
991d + 10c -890b -8999a = 0
Observe-se que 991 e 10 não têm factores em comum, e, portanto, neste
caso, não podemos reduzir os coeficientes da equação. Temos aqui uma
única equação com quatro incógnitas. Uma estratégia seria ir
substituindo por tentativas valores para a, b, c e d.
Pode-se, porém, como Diofanto, a partir daqui, utilizar o algoritmo das
fracções contínuas:
Isolamos à esquerda o termo com o menor coeficiente:
10c = 8999a + 890b - 991d
Dividimos toda a equação pelo coeficiente:
c = (8999/10)a + (890/10)b - (991/10)d
Separando as partes inteiras das frações,
c = 899a + (9/10)a + 89b - 99d - (1/10)d
ou
c = 899a + 89b - 99d + (1/10)(9a - d)
Como a, b e c devem ser números inteiros, (1/10)(9a -d) também terá de
ser. Isso, é claro, só acontecerá se (9a -d) for múltiplo de 10.

37. Todavia, como a, b, c e d representam os dígitos do valor do presente,
têm de estar entre 0 e 9. Com essa restrição, (9a-d) só pode ser o
múltiplo trivial de 10, isto é, 0.
Fica assim, 9a - d = 0
ou
d = 9a
Retornando este resultado à equação anterior, fica
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10)(9a - 9a)
ou
c = 899a + 89b - 891a
c = 8a + 89b
Como c está entre 0 e 9 e os coeficientes de a e b são positivos,
resulta que b tem de ser igual a 0 para que c não exceda 9. Resulta
assim,
c = 8a
Lembremos ainda que a é 1 ou 0.
Mas a=0 resulta o caso trivial a=0, b=0, c=0 e d=0, ou seja o preço
R$0000,00 e, corretamente, 9 x 0000$00 = 0000$00.
Temos, então, a=1 que resulta c = 8 e, retornando à equação anterior,
d=9a => d=9.
Assim obtemos, finalmente, o preço do presente (R$abcd,00) como
R$1089,00 que, invertido, resulta R$9801 = 9 x R$1089, como desejado.
RESPOSTA: o presente custou R$1089,00
Solução enviada pelo visitante Paulo Martins Magalhães:
Se a quantia reservada para o presente era R$1.200,00, devemos supor
que o preço estava em torno de R$ 1.000,00.
Portanto, estavamos em busca de um número de 4 algarismos, sendo 1 o
primeiro deles. O último algarismo só poderia ser o 9, pois só assim
poderíamos inverter o número e obter 9 vezes o primeiro.
Assim, sabemos que o número é 1ab9.
Achar a e b é relativamente fácil, pois o número é múltiplo de 9, já
que seu inverso também o é (pois é um número que vale nove vezes o
preço do presente). Temos então o número 1ab9. Para que tal número seja
múltiplo de 9, é preciso que a soma a+b seja 8. Os pares a e b que
satisfazem essa condição são os seguintes: 0 e 8; 1 e 7; 2 e 6; 3 e 5;
4 e 4; 5 e 3; 6 e 2; 7 e 1 e finalmente, 8 e 0.
Testando o primeiro par, o que parece mais lógico, pois o preço é menor
que R$ 1.200,00, chegamos a R$ 1.089,00, que é o preço do presente.
(1089 X 9 = 9801).

38. Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer
saber quem foi o penetra:
– Eu não fui, diz o Benjamim.
– Foi o Pedro, diz o Carlos.
– Foi o Carlos, diz o Mário.
– O Mário não tem razão, diz o Pedro.
Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada?
Pedro não pagou!
Mário e Carlos não podem ambos ter dito a verdade, pois somente um
entrou sem pagar.
Se Mário não falou a verdade, então o que os outros três afirmaram é
correto. Conclui-se que Pedro entrou sem pagar. Se Mário tivesse dito a
verdade, teríamos uma contradição: a afirmação de Pedro seria
verdadeira, mas a de Carlos seria falsa.

39. Dona Panchovila comprou duas balas para cada aluno de sua sala. Mas os
meninos da classe fizeram muita bagunça, e a professora resolveu
distribuir as balas de maneira diferente: cinco para cada menina e
apenas uma para cada menino. Qual a porcentagem de meninos na sala?
Se a professora der uma bala a menos para cada menino, pode dar três
balas a mais para cada menina. Isso significa que o número de meninos é
o triplo do número de meninas. É o mesmo que dizer que 3/4 da classe –
ou 75% dela – são meninos.

40. Elevei um número positivo ao quadrado, subtraí do resultado o mesmo
número e o que restou dividi ainda pelo mesmo número. O resultado que
achei foi igual:
a) Ao próprio número
b) Ao dobro do número
c) Ao número mais 1
d) Ao número menos 1
Vamos chamar o resultado desejado de n, e o número inicial de x. Pelo
enunciado, temos que
n = (x2 – x) / x.
Com a fatoração, descobrimos que:
n = (x–1) . x / x.
Simplificando, temos que n = x–1, ou o número menos 1.

41. Uma calculadora tem duas teclas: D, que duplica o número, e T, que
apaga o algarismo das unidades. Se uma pessoa escrever 1999 e apertar
em seqüência D,T, D e T, o resultado será qual número?
número 1999 duplicado dá 3998. Pressionando a tecla T, tem-se 399.
Apertando D, temos o dobro de 399, que é 798. Com a tecla T apagamos o
algarismo da unidade, obtendo 79.

42. De três irmãos - José, Adriano e Caio -, sabe-se que ou José é o mais
velho ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também, que ou Adriano é o mais
velho ou Caio é o mais velho. Então quem é o mais velho e quem é o mais
moço dos três irmãos?
A segunda afirmação determina que José não é o mais velho, portanto a
partir da primeira afirmação concluímos que Adriano é o mais moço. Se
Adriano é o mais moço, Caio é o mais velho.
A solução da equação y 2 - log y
=0,001 é...
Pela definição de logaritmo, podemos escrever:
logy 0,001 = 2 - log y
Da regra de mudança de base logb a = (log a) / (log b), vem:
(log 0,001) / (log y) = 2 - log y
Sabemos que log 0,001 = -3, então:
-3 / (log y) = 2 - log y
-3 = 2 log y - log2 y
log2 y - 2 log y - 3 = 0 (equação de 2º grau)
Aplicando a fórmula de Bhaskara encontramos:
log y = 3 ou log y = -1
y = 1000 ou y = 0,1
Conjunto Solução= {1000; 0,1}

43. Dispõe-se de nove garrafas em fila. As cinco primeiras estão cheias de
cerveja e as quatro últimas, vazias. Movendo somente duas garrafas,
como tornar a fileira com garrafas alternadamente cheias e vazias.
Temos 9 garrafas sendo que as 5 primeiras estão cheias e as 4 últimas
vazias.
Para que fiquem alternadamente cheias e vazias, basta despejar a
garrafa 2 na garrafa 7 e a garrafa 4 na garrafa 9, voltando as duas
para os seus respectivos lugares.

44. A média mensal de ovos postos pelas aves na Suécia são na proporção de
35 ovos por mês. O Sr. Thomas Dhalin, um pequeno proprietário do
interior do país decidiu incrementar sua fazenda comprando um pato.
Quantos ovos, de acordo com as estatísticas, ele terá comercializado ao
final de um ano?
Patos não botam ovos.
Infelizmente o Sr. Larsen não terá nenhum ovo ao final de um ano.

45. Um bolsa tem 27 bolas de bilhar que parecem idênticas. É certo que há
uma bola defeituosa que pesa mais que as outras. Dispomos de uma
balança com 2 pratos. Demonstre que se pode localizar a bola defeituosa
como somente três pesagens.
Compare 9 bolas quaisquer com outras 9 e deixa as nove restantes na
caixa.
Se a balança se equilibra, a bola mais pesada estará entre as nove
bolas que ficaram na caixa e se não, estará entre as nove do prato que
mais pesou. Dividimos em 3 grupos de 3 esse conjunto e repetirmos a
operação. Dessa forma, com duas pesadas teremos isolado a bola mais
pesada de um grupo de 3 bolas.
Se repetirmos a operação uma terceira vez, teremos isolado a bola mais
pesada das outras.

46. Uma aranha tece sua teia no marco de uma janela. Cada dia duplica a
superfície feita anteriormente. Dessa forma tarda 30 dias para cobrir o
vazio da janela. Se em vez de uma aranha, fossem duas, quanto tempo
demoraria para cobrir o vazio.
Cada dia a superfície duplica. Então quando uma aranha tiver coberto
meio vão no 29º dia, a outra aranha também o terá feito, e o vazio será
preenchido.

47. Buscando água, uma rã caiu em um poço de 30 metros de profundidade. Na
sua busca por sobrevivência, a obstinada rã conseguia subir 3 metros
cada dia, sendo que a noite resbalava e descia 2 metros. Quantos dias a
rã demorou para sair do poço?
28 dias
Quando a rã chegar ao 27º dia, já terá subido 27m. No 28º dia, ela sobe
mais 3m, e alcança os 30m, antes que desça os 2m.
Você tem 3 xícaras de café e 14 saquinhos de açúcar. Como adoçar as 3
xícaras utilizando um número ímpar de saquinhos em cada uma?
Pode-se colocar 1 saquinho em cada xícara.
Em nenhum momento foi dito que deveriam ser usados todos os saquinhos.

48. Repartir 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja
dividida em mais de 4 partes.
Divida 6 maçãs ao meio, e dê cada uma dessas 12 partes à uma criança.
As 3 maçãs que sobraram divida em 4 partes cada uma, dando um total de
12 partes, uma para cada criança.

49. Clodoémerson possui diversas bolas de 10 cm de diâmetro. Colocando uma
por vez, quantas bolas ele poderá colocar em uma caixa vazia, de forma
cúbica, com 1 metro de lado?
Clodoémerson poderá colocar apenas uma bola na caixa, pois quando
colocar a primeira bola, a caixa já não estará mais vazia!!!

50. Dois amigos bêbados compraram 8 litros de vinho. Eles estavam
caminhando, e na metade do caminho, decidem separar-se, repartindo
antes o vinho igualmente.
Para realizar as medidas há um barril de 8 litros (onde está o vinho),
uma vasilha de 5 e outra de 3 litros. Como eles podem fazer para
repartir igualmente o vinho?
Seguimos os seguintes passos:
• Enchemos a vasilha de 3 litros.
• Passamos os 3 litros para a vasilha de 5 litros.
• Enchemos outra vez a vasilha de 3 litros.
• Enchemos a vasilha de 5 litros com a outra, sendo que sobrará 1
na de 3.
• Esvaziamos a de 5 no barril.
• Enchemos o litro da vasilha pequena na de 5.
• Enchemos a de 3 e esvaziamos na de 5, que como já tinha 1, terá
1+3 = 4.
• No barril sobra 4 litros para o outro amigo.

51. "Mariclaudinete, qual é a idade de seus 3
Jarbas:
filhos???"
Mariclaudinete "A soma de suas idades é 13, seu produto é igual a
: tua idade."
Jarbas: "Desculpe, mas estão faltando dados!"
Mariclaudinete
"Tens razão, o maior tem o cabelo ruivo"
:
Jarbas: "Ah...agora sim consigo adivinhar!!!"
Quais são as idades dos 3 filhos de Mariclaudinete???
Visto que a soma das idades deve ser igual a 13, temos 14
possibilidades (excluindo os casos em que algum filho tem 0 anos, pois
em tal caso o produto seria 0, que não é a idade de Jarbas). Destas 14
possibilidades, somente 2 casos (1,6,6 e 2,2,9) nos quais o produto dá
o mesmo resultado (36). Visto que faltam dados para Jarbas, ele
necessariamente deve ter 36 anos.
Então a resposta é (2,2,9) pois há um filho maior, segundo o enunciado
do problema.

52. Uma mãe tem 6 filhos e 5 batatas. Como pode distribuir as batatas
uniformemente entre os 6 filhos? (Não vale fração)
Faz um purê!

53. Dois trens estão na mesma via, separados por 100 Km. Começam a se mover
um em direção ao outro, a uma velocidade de 50Km/h. No mesmo momento,
uma supermosca sai da 1ª locomotiva de um dos trens e voa a 100 Km/h
até a locomotiva do outro trem. Apenas chega, dá meia volta e regressa
até a primeira locomotiva, e assim vai e vem de uma locomotiva para a
outra até que os dois trens se chocam e assim morre no acidente. Que
distância percorreu a supermosca?
Visto que os dois trens estão na mesma velocidade, eles se chocarão na
metade do trajeto, e portanto, cada um corre 50 Km. Em consequência,
como sua velocidade é de 50 km/h demoram exatamente 1 hora para se
chocarem. Este é o tempo que a mosca fica voando, e portanto, como sua
velocidade é de 100 km/h, a distância que correu é de 100 quilômetros.
Calcular o valor do seguinte produto:
(x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) = ?
O produto (x-a)(x-b)(x-c) ... (x-z) vale ZERO.
Justificativa: existe um fator dessa multiplicação que é o (x-x), que
vale 0.

54. 4 amigos devem cruzar uma frágil ponte de madeira. É noite, e é
indispensável usar uma lanterna para cruzar. A ponte somente pode
suportar o peso de 2 pessoas e os amigos possuem apenas uma lanterna.
Camila demora 8 minutos para cruzar, Manolito demora 4 minutos, Carlos
demora 2 e Romerito 1 minuto. Como devem fazer para cruzar para o outro
lado, os 4, levando apenas 15 minutos?
Devem passar primeiro Carlos e Romerito (2 m). Volta Romerito com a
lanterna (3 m). Passam Camila e Manolito (11 m). Volta Carlos com a
lanterna (13 m). Por último cruzam de novo Carlos e Romerito (15
minutos).

55. Dois caçadores saíram para abater marrecas em uma caçada à beira de um
grande lago. Eis que surge um bando de marrecas, comandadas por um
líder e guiadas por uma marreca batedora. Ao avistar os caçadores,
imediatamente a marreca batedora altera a rota do bando, levando suas
companheiras para um local seguro. Lá chegando, comenta com a marreca
líder:
Chegamos ilesas, toda a centena!
A marreca líder, retruca:
Você deve estar estressado. Desaprendeu até a contar. Falta muito para
chegarmos a cem. Faça você mesmo a conta:
Duplique nosso número, acrescente mais a metade e mais um quarto, e não
esqueça de incluir você na conta. Dessa forma conseguirás acertar a
conta.
Qual é o número real de marrecas?
Seja x o número real de marrecas. Segundo o enunciado, formamos a
equação:
2x + x/2 + x/4 + 1 = 100
Resolvendo essa equação, encontramos x=36.

56. Como medirias os 11 minutos que são necessários para cozinhar um
biscoito, com duas ampulhetas de 8 e 5 minutos respectivamente?
Colocamos as duas ampulhetas de uma vez só, e quando terminar o de 5
minutos, faltará no de 8, 3 minutos para terminar. Nesse momento damos
a volta no de 5 minutos.
Quando terminar o de 8, totalmente (levamos ao total 8 minutos), no de
5 ficaram 2 minutos para terminar.
Nesse preciso momento damos a volta no de 5 que tardará 3 minutos para
terminar, que somados aos 8 que haviam passado, somarão 11 minutos no
total.

57. Um peregrino se dirige para meditar em uma capela situada em cima de um
monte. O peregrino sobe esta encosta com um ritmo de 2 Km/h e desce em
um ritmo de 6 Km/h. Qual será a velocidade média que o peregrino
terminará (considerar ida e volta) a peregrinação?
Chamamos de e o espaço em quilômetros que mede o monte, e t o tempo em
segundos que o peregrino demora para descer. Como ele sobe 3 vezes mais
lento, demorará 3t segundos para subir. Logo no total demora 4t
segundos para subir e descer.
A velocidade média é o espaço total percorrido (2e quilômetros)
dividido pelo tempo (4t segundos), e levando em conta que o peregrino
desce a 6 Km/h temos que:
V = 2e/4t = 0,5 . e/t = 0,5 . 6 = 3 Km/h.

58. Ana Carolina é uma grande fumante, no entanto decidiu parar de fumar.
"Acabarei com os vinte e sete cigarros que sobraram!", e ainda afirmou:
"Jamais voltarei a fumar". Era costume da Ana Carolina fumar exatamente
dois terços de cada cigarro. Não tardou muito em descobrir que com a
ajuda de uma fita adesiva poderia juntar três tocos de cigarros e fazer
outro cigarro. Com 27 cigarros, quantos pode fumar antes de abandonar o
fumo para sempre?
Depois de fumar 27 cigarros, Ana Carolina juntou os tocos de cigarro
necessários para fazer 9 cigarros mais. Estes 9 cigarros deixaram tocos
para fazer outros 3. Então com os utlimos 3 tocos de cigarro, fez um
ultimo cigarro.
Total: 40 cigarros

59. O preço de custo de um chocolate é R$ 0,20 cada. A fábrica de
chocolate, calcula que se vender cada chocolate por ‘x’ reais, os
consumidores comprarão 10 – x chocolates por dia. Qual o preço de venda
do chocolate que maximiza a o lucro do dono da empresa?
Preço de custo dos (10-x) chocolates:
(10-x) . 0,20 = 2 - 0,20x
Preço de venda dos (10-x) chocolates:
(10-x) . x = 10x - x2
Lucro nos (10-x) chocolates:
L(x) = (10x - x2) - (2 - 0,20x)
L(x) = 10x - x2 - 2 + 0,20x
L(x) = -x2 + 10,20x -2
Derivando temos:
L'(x) = -2x+10,20
L'(x)=0 => -2x+10,20 = 0 => x = 5,10
Resposta: O preço do chocolate a R$5,10 maximiza o lucro da empresa.

60. Agripino observava da murada de um navio, a subida da maré. Dessa
murada pende uma escada de 8 metros de comprimento. Os degraus tem 20
centímetros de intervalo um do outro e o último toca a água. A maré
sobe ‘a razão de 35 centímetros por hora. Quando estarão os dois
primeiros degraus cobertos de água?
Nunca, pois o navio sobe junto com a escada.

61. Luiz Eduardo comprou várias galinhas campeãs em pôr ovos. Ao testar a
eficiência das galinhas, ele observou que de minuto em minuto o número
de ovos na cesta duplicava. Às duas horas a cesta estava cheia. A que
horas a cesta estava pela metade?
1h 59 min, pois como o número de ovos duplica a cada minuto e às 2h a
cesta estava cheia, significa que no minuto anterior a cesta estava
pela metade.

62. Davi Gama teve um sonho: um octagenário, sem ter muito o que fazer,
refletia sobre a sua vida. O ancião verificou que a diferença entre os
cubos dos algarismos de sua idade era igual ao quadrado da idade de seu
bisneto. Ao acordar, Davi Gama, queria saber a idade que os dois tinham.
O ancião tinha 87 anos e seu bisneto tinha 13 anos 10 vezes 10 é igual
a 100.

63. Quanto é R$10,00 vezes R$10,00 ???
Não é possível realizar essa multiplicação!
Podemos multiplicar um número real por um valor monetário. Por exemplo:
10 vezes R$10,00 é igual a R$100,00.
Mas não podemos multiplicar dinheiro por dinheiro,
ou seja, não podemos efetuar a operação R$10,00 vezes R$10,00,
pois não saberíamos quantas vezes multiplicar a quantia de R$10,00.
Resposta: Não é possível!

64. Em uma sala onde estão 100 pessoas, sabe-se que 99% são homens. Quantos
homens devem sair para que a porcentagem de homens na sala passe a ser
98%?
CUIDADO: não basta um homem sair para a porcentagem cair para 98%, pois
se um homem sair, teremos um percentual de homens correspondente a:
.
Precisamos resolver a seguinte equação:
⇒
Resposta: devem sair 50 homens!
Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre
dá 8 pulos. Porém, 2 pulos de cachorro valem 5 pulos de lebre. Sendo a
distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual deverá ser o
número de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a lebre?
Há uma relação inversa entre os pulos do cachorro e os da lebre, ou
seja, um pulo da lebre vale por 2/5 pulos do cachorro. Podemos, então,
escrever:
nº de pulos valor do pulo
pulos do
5 2
cachorro
pulos da lebre 8 5
Como a relação entre os pulos é inversa, efetuaremos uma multiplicação
invertida, ou seja, iremos multiplicar os 5 pulos do cachorro pelo
valor do pulo da lebre (5) e multiplicaremos os 8 pulos da lebre pelo
valor do pulo do cachorro (2). Assim teremos: 5 x 5 = 25 (para o
cachorro) e 8 x 2 = 16 (para a lebre).
A cada instante, o cachorro estará tirando uma diferença de 25 - 16 = 9
pulos. Como a distância que os separa é de 36 pulos de cachorro, segue-

65. se que o cachorro terá de percorrer essa distância 36/9 = 4 vezes até
alcançar a lebre. Agora, multiplicando-se o fator do cachorro (25) por
4, teremos: 25 x 4 = 100 pulos do cachorro.

66. Uma garrafa com sua rolha custa R$1,10. Sabendo que a garrafa custa
R$1,00 a mais que a rolha, qual é o preço da rolha? E qual é o preço da
garrafa?
Sendo G a garrafa, e R a rolha, basta resolver o sistema com as duas
equações:
1) G + R = 1,10
2) G = R+1
Resolvendo esse sistema, obtemos R=0,05 e G=1,05.
Resposta: A garrafa custa R$1,05 e a rolha custa R$0,05.

67. Calculando-se: 1094 - 94, e somando-se todos os algarismos do resultado
obtido, que valor iremos obter?
10000...........000 (94 ZEROS)
- 94
0.........99999906
(92 NOVES)
Logo, a soma de todos os algarismos do resultado será: 92 x 9 + 6 = 834

68. Waneska tem uma bolsa de amêndoas que pesa 2600Kg. Ela dispõe de uma
balança de 2 pratos e de 2 pesos de 20 e 30 gramas. Com 3 únicas
pesagens, como Waneska consegue separar 300 gramas de amêndoas?
No prato 1 colocamos as 50 gramas e no prato 2 colocamos amêndoas até
que ocorra equilíbrio. Temos, portanto 50 gramas de amêndoas.
Essas 50 gramas de amêndoas, juntamos com os pesos no prato 1, temos
portanto 100 gramas no total. Enchemos de amêndoas no prato 2 até que
haja equilíbrio, pelo que temos 100 gramas em cada lado.
Retiramos os pesos do prato e passamos as 50 gramas de amêndoas para o
prato 2 que contem 100 gramas, temos portanto 150 gramas.
Enchemos amêndoas no prato 1 até que haja equilíbrio com o prato 2, e
temos um total de 150+150 = 300 gramas de amêndoas.

69. De quantos modos diferentes podemos escrever o número 497 como a soma
de dois números naturais primos?
De nenhuma maneira, vejamos porque:
Se o número 497 é a soma de dois números naturais, como ele é impar,
deve ser obtido da soma de um PAR e um ÍMPAR (já que a soma de dois
pares é par, o mesmo ocorrendo com a soma de dois ímpares).
Logo, nosso problema consiste em obter dois números primos (um par e um
ímpar), que somados dêem o resultado 497. Como o único número par que é
primo é o 2, já temos a primeira parcela, o que obriga a segunda
parcela ser igual a 495 (para a soma dar 497). Como 495 não é primo
(termina em 5, logo é múltiplo de 5), nosso problema não tem solução.

70. Em uma estante há 10 livros, cada um com 100 folhas. Uma traça faminta
come desde a primeira folha do primeiro livro até a última folha do
último livro.
Quantas folhas a traça faminta comeu?
A resposta é 802 folhas!
Note que sempre que um livro é colocado em uma prateleira, a primeira
folha fica do lado direito e a última do lado esquerdo.
Logo, a traça comeu os 8 livros intermediários (800 folhas) e mais a
primeira folha do primeiro livro e a última folha do último livro:
800+2 = 802

71. Representar os números de 2 a 9 utilizando TODOS os algarismos de 0 a 9.
Exemplo:
2 = 13584 / 06792
3 = ???
4 = ???
...
9 = ???
Existem várias respostas para cada número. A seguir é apresentada uma
solução:
2 = 13584 / 06792
3 = 17469 / 05823
4 = 15768/ 03942
5 = 14835 / 02967
6 = 34182 / 05697
7 = 16758 / 02394
8 = 25496 / 03187
9 = 97524 / 10836

72. Encontre 9 formas para representar o número 6 com 3 algarismos iguais,
colocando os sinais entre eles. Pode ser usado qualquer sinal
matemático, contanto que não apareçam mais números.
Exemplo: 2+2+2 = 6 (encontre as outras 8)
(1 + 1 + 1)! = 6
2+2+2 = 6
3 x 3 - 3 = 6
4 + 4 - raiz(4) = 6
5 + 5 / 5 = 6
6 + 6 - 6 = 6
7 - 7 / 7 = 6
8 - raiz[raiz(8 + 8)] = 6
raiz(9) x raiz(9) -
= 6
razi(9)

73. Dois pais e dois filhos foram pescar. Cada um pescou um peixe, sendo
que ao todo foram pescados 3 peixes. Como isso é possível?
Três pessoas estavam pescando: filho, pai e avô.
O pai é filho e pai ao mesmo tempo. Há dois filhos (filho e pai) e dois
pais (pai e avô).

74. Represente de três formas o número 100 utilizando apenas uma vez cada
um dos 9 algarismos, na sua ordem natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9),
só utilizando números inteiros.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 x 9 = 100
123 - 45 - 67 + 89 = 100
123 + 45 - 67 + 8 - 9 = 100

75. Meu pai me contou que, em 1938, conversava com o avô dele e observaram
que a idade de cada um era expressa pelo número formado pelos dois
últimos algarismos dos anos em que haviam nascido. Assim, quando meu
pai nasceu, qual era a idade do meu bisavô?
Digamos que o avô do interlocutor tenha nascido em 18XY. De acordo com
os dados do problema, sua idade será XY. Observe que o avô só poderia
ter nascido no século anterior! Desse modo, sua idade será dada por:
1938 - 18XY = XY. Agora, precisamos decompor os números segundos suas
respectivas ordens, para podermos “montar” uma equação.
Por exemplo: o número 735 é decomposto da seguinte maneira: 7 x 100 + 3
x 10 + 5 x 1, ou seja, 7 CENTÉSIMOS, 3 DÉCIMOS e 5 UNIDADES. Voltando à
equação:
938 - 800 - 10X - Y = 10 X - Y ⇒ 20X + 2Y = 138 ⇒ (dividindo-se tudo
por 2) ⇒ 10X + Y = 69 (equação 1).
A idade do neto é dada pela equação 1938 - 19ZW = ZW. Da mesma forma
que procedemos no caso do avô.
38 - 10Z - W = 10Z + W ⇒ 20Z + 2W = 38 ⇒ 10 Z + W = 19 (equação 2)
A idade do avô quando o neto nasceu deve ser dada por: 19ZW - 18XY ⇒
100 + (10Z + W) - (10X + Y) (equação 3). Da equação 1, temos que (10X +
Y) = 69, e, da equação 2, (10Z + W) = 19. Substituindo, então, estes
valores na equação 3, teremos a idade do avô quando seu neto nasceu:
100 + 19 - 69 = 50 anos

76. Um homem tem dois relógios. Um deles não anda e o outro atrasa uma hora
por dia. Qual deles mostrará mais freqüentemente a hora certa?
relógio que não anda mostra a hora certa duas vezes ao dia. O que
atrasa só mostra a hora certa de doze em doze dias, após haver atrasado
12 horas. Portanto o que não anda mostra a hora certa com maior
freqüência.

77. Você quer cozinhar um ovo em 2 minutos. Entretanto você só possui 2
relógios de areia, um de 5 minutos e outro de 3 minutos. Como você
poderia colocar o ovo para cozinhar e tirá-lo dentro de 2 minutos
exatos?
Você viraria os dois relógios de areia ao mesmo tempo. Quando o de 3
minutos acabasse você colocaria o ovo e quando o de 5 minutos acabasse
você retiraria o ovo.

78. O casal Aguiar tem vários filhos. Cada filha tem o mesmo número de
irmãos e irmãs, e cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos.
Quantos filhos e filhas existem na família?
Considere "M" o número de mulheres e "H" o número de homens.
Se cada filha tem o mesmo número de irmãos e irmãs, temos:
M-1 = H
E, se cada filho tem duas vezes mais irmãs do que irmãos, temos:
M = 2(H-1) => M = 2H-2
Substituindo o valor de H na segunda equação:
M = 2(M-1)-2
M = 2M-2-2
M = 4
Então, basta substituir o valor de M na primeira equação para encontrar
o H:
M-1 = H
4-1 = H
H = 3
Resposta: O casal tem 4 filhas e 3 filhos.

79. Um número palíndromo é aquele que é igual quando lido de frente para
trás e de trás para frente. Por exemplo, 171 é um número palíndromo.
Existem 90 palíndromos de três dígitos. Quantos palíndromos de 5
dígitos existem?
Para o primeiro dígito temos 9 opções (não pode iniciar com zero).
Para o segundo e o terceiro dígito podemos aceitar qualquer número
entre 0 e 9 (ou seja, temos 10 opções).
Para o quarto e o quinto dígito, só existe uma opção, já que eles devem
ser iguais ao segundo e ao primeiro dígito, respectivamente.
ABCBA = 9 x 10 x 10 x 1 x 1 = 900
Existem 900 números palíndromos de 5 dígitos!

80. Três amigos foram comer num restaurante e no final a conta deu R$30,00.
Fizeram o seguinte: cada um deu R$10,00. O garçom levou o dinheiro até
o caixa e o dono do restaurante disse o seguinte:
- "Esses três são clientes antigos do restaurante, então vou devolver
R$5,00 para eles..."
E entregou ao garçom cinco notas de R$1,00. O garçom, muito esperto,
fez o seguinte: pegou R$2,00 para ele e deu R$1,00 para cada um dos
amigos. No final cada um dos amigos pagou o seguinte:
R$10,00 - R$1,00 que foi devolvido = R$9,00.
Logo, se cada um de nós gastou R$ 9,00, o que nós três gastamos juntos,
foi R$ 27,00. E se o garçom pegou R$2,00 para ele, temos:
Nós: R$27,00
Garçom: R$2,00
TOTAL: R$29,00
Pergunta-se: onde foi parar o outro R$1,00???
Após recebermos mais de 2 milhões de e-mails pedindo a solução desse
problema do restaurante, resolvemos colocar a resposta aqui na nossa
seção de desafios!
Há um erro no enunciado no problema, visto que ele propõe subtrair
R$1,00 de cada amigo para depois somar os novos valores e chegar aos
R$30,00 iniciais. Ora, o que interessa não é a soma do que sobrou para
cada um, mas sim ONDE estão os R$30,00 iniciais!
R$25,00 estão com o dono do restaurante
R$2,00 estão com o garçom
R$3,00 estão com os amigos
R$25,00+R$2,00+R$3,00 = R$30,00.
Pronto, resolvido!
Quer uma explicação mais detalhada? Então pense da seguinte forma:
Se o dono do restaurante deu R$5,00 de desconto, a conta final foi de
R$25,00.
R$25,00 dividido por 3 = R$8,3333 para cada amigo. Como cada um deles
recebeu R$1,00 de volta:
R$8, 3333 + R$1,00 = R$9,3333.
R$9,3333 x 3 = R$28,00
R$28,00 + R$2,00 (do garçom) = R$30,00.

81. Um fazendeiro, quis testar a inteligência do filho, chamou-o e disse:
- Filho, tome R$100,00. Eu quero que você compre 100 cabeças de gado
com esse dinheiro. Porém, não pode faltar nem sobrar dinheiro e tem que
ser 100 cabeças de gado exatas, sendo o preço de cada animal é:
Touro: R$ 10,00
Vaca: R$ 5,00
Bezerro: R$ 0,50
E mais uma coisa: você tem que trazer no mínimo um animal de cada.
Como o filho do fazendeiro conseguiu fazer essa compra?
O filho do fazendeiro comprou:
1 Touro: R$ 10,00
9 Vacas: R$ 45,00
90 Bezerros: R$ 45,00
No total, ele comprou 100 animais com apenas R$100,00.

82. Um rapaz entrou no bar do Seu Manoel e pediu uma esfirra, um saco de
salgadinhos, um refrigerante e um maço de cigarros.
Manoel tira o lápis de trás da orelha, escreve o preço em um pedaço de
papel e entrega ao rapaz, que fica furioso:
- O senhor multiplicou o preço das coisas que comprei! Deveria somá-
los!
O dono do bar pega de volta o papel, dá uma boa olhada e o devolve ao
freguês, dizendo:
Se eu tivesse somado os preços,o resultado seria o mesmo.
A conta deu R$7,11. Quanto custou cada item?
Temos um sistema envolvendo quatro variáveis (esfirra, saco de
salgadinhos, refrigerante e maço de cigarros). Porém, temos apenas duas
equações:
a+b+c+d = 7,11
a.b.c.d= 7,11
Para resolver o problema, o jeito é determinar o preço de dois itens, e
depois calcular os outros dois. Por exemplo, vamos determinar que a
esfirra custa R$1,50 e o saco de salgadinhos custa R$1,25. Então
teríamos um sistema fácil de resolver:
1,50+1,25+c+d = 7,11
1,50.1,25.c.d = 7,11
Isolando o c na primeira equação temos:
c = 7,11-1,50-1,25-d
c = 4,36 - d
Substituindo na segunda equação temos:
1,50.1,25.(4,36-d).d = 7,11
-1,875d2 + 8,175d - 7,11 = 0
d=1,20 ou d=3,16
Usando d=1,20, achamos o valor de c:
c = 4,36-1,20 = 3,16
Portanto, um conjunto de valores possíveis para os itens são:
Esfirra: R$1,50
Salgadinhos: R$1,25

83. Refrigerante: R$3,16
Cigarros: R$1,20

84. O vovô Severino tinha muitos netos. No Natal, resolveu
presenteá-los com um dinheirinho. Separou uma quantia
em dinheiro e percebeu que, se ele der R$12,00 a cada
garoto, ainda ficará com R$60,00. Se ele der R$15,00 a
cada um, precisará de mais R$6,00. Quantos netos o
vovô Severino tem?
Sendo x o número de netos do vovô Severino, e y a quantia que ele
separou para presenteá-los, temos o seguinte sistema:
12x + 60 = y
15x = y + 6
Substituindo y na segunda equação temos:
15x = (12x + 60) + 6
15x - 12x = 60 + 6
3x = 66
x=22
O vovô Severino tem 22 netos!

85. Manoel tinha uma certa quantidade de dinheiro e a achava muito pequena.
Como sempre vivia reclamando da vida, um dia encontrou Santo Antônio e
fez-lhe uma proposta:
- Oh querido Santo Antônio, dobre o dinheiro que tenho, e te darei
R$10,00.
Assim o santo fez. No outro dia, como achava que ainda tinha pouco
dinheiro, fez a mesma proposta ao santo, e o santo fez o combinado
novamente, dobrando a quantidade de dinheiro que ele tinha e ficando
com R$10,00.
No terceiro dia, mais uma vez Manoel fez a mesma proposta, mas
aconteceu algo inesperado. No momento em que a quantidade de dinheiro
foi dobrada e ele entregou os R$10,00 ao santo, o dinheiro acabou e ele
ficou sem nada.
Quanto dinheiro Manoel possuía no primeiro dia?
Vamos resolver este problema de trás para frente!
Se no último dia, após dar os R$10,00 ao santo o Manoel ficou sem nada,
quer dizer que naquele dia ele estava com apenas R$5,00 (pois o dobro
de 5 é 10).
No dia anterior (2º dia), antes do milagre ele tinha (5+10)/2 = 7,50.
Por fim, no primeiro dia, antes do milagre Manoel tinha (7,50+10)/2 =
8,75.
RESPOSTA: No primeiro dia, Manol tinha R$8,75.

86. Em uma família há três mães, três filhas, duas avós, duas netas, uma
bisavó e uma bisneta. Quantas pessoas compõem essa familia?
4 pessoas (quatro gerações).

87. Ao abrir um livro, um antropólogo encontrou a seguinte mensagem:
"Meu nome é Claudiomiro. O ano em que nasci era um cubo perfeito. O ano
em que morri, um quadrado perfeito. O quanto vivi também era um
quadrado perfeito".
Sabendo que o livro foi escrito no século XVIII, quantos anos viveu o
Claudiomiro?
O único cubo perfeito correspondente a um ano do século XVIII é: 12³=
1728
O único quadrado perfeito correspondente a um ano do século XVIII é
42²=1764
Portanto, ele viveu 1764-1728=36, que também é um quadrado perfeito.
Resposta: Claudiomiro viveu 36 anos.

88. Forme o número 100 usando os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, os
sinais +, -, *, /, e os parênteses, se necessário.
1+2+3+4+5+6+7+(8*9) = 100

89. Use 8 oitos e os sinais de adição (+), subtração (-) e multiplicação
(x) até chegar ao número 1000 exato.
888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000

90. Você tem um lobo, um carneiro e uma cesta de repolho, e precisa levar
todos eles para o outro lado do rio. Porém, o seu barco só pode levar
um de cada vez. Mas, se você deixar o lobo e o carneiro sozinhos, o
lobo comeria o carneiro. Se deixar o carneiro e a cesta de repolho, o
carneiro comeria a cesta de repolho. Como você os levará até o outro
lado do rio?
Uma solução é a seguinte:
1) Leve o carneiro
2) Leve o lobo e traga de volta o carneiro
3) Leve a cesta de repolho
4) Leve o carneiro
Outra solução:
1) Leve o carneiro
2) Leve a cesta de repolho e traga de volta o carneiro
3) Leve o lobo
4) Leve o carneiro

91. Paulo César precisa transportar sacos, e para isso ele dispõe de
jumentos. Se ele transportar 2 sacos em cada jumento, sobram 13 sacos.
Se ele transportar 3 sacos em cada jumento, ficam 3 jumentos
desocupados. Qual o número total de sacos que Paulo César deve
transportar?
Se colocarmos 2 sacos em cada jumento, sobram 13 sacos. Ou seja, Sendo
x o número de jumentos, o número de sacos é igual a 2x+13.
Se colocarmos 3 sacos em cada jumento, ficam 3 jumentos desocupados.
Nesse caso, o número de sacos seria 3x-9.
Então, basta montar a equação e encontrar o número de jumentos, para
posteriormente achar o número de sacos.
2x+13 = 3x-9
13+9 = 3x-2x
x = 22 jumentos
Se são 22 jumentos, o número de sacos é 2(22)+13 = 57.
Resposta: Paulo César deve transportar 57 sacos.

92. Uma certa autoridade visitou uma penitenciária e reduziu a pena dos
presos pela metade. Ou seja: presos que deveriam cumprir 10 anos,
passavam a cumprir 5 anos; quem deveria cumprir 2, passava a cumprir
apenas 1, e assim sucessivamente.
Pergunta-se: O que ele fez para solucionar a questão dos presos que
foram condenados à prisão perpétua?
autoridade ordenou que o preso passasse 1 dia na prisão e 1 dia solto,
até morrer.
Por exemplo, se ele vivesse 10 anos, passaria 5 anos preso e 5 anos
livre.

93. Considerando o alfabeto oficial, que não inclui as letras K, W e Y,
complete a série abaixo:
B D G L Q ...
De B para D, avançamos 2 letras (C, D).
De D para G, avançamos 3 letras (E, F, G).
De G para L, avançamos 4 letras (H, I, J, L).
De L para Q, avançamos 5 letras (M, N, O, P, Q).
Portanto, agora devemos avançar 6 letras, a partir do Q:
R, S, T, U, V, X
Resposta: a próxima letra da seqüência é X.

94. Qual das alternativas abaixo apresenta uma contradição?
1) Todo vendedor de churros é nordestino e algum nordestino não é
vendedor de churros.
2) Nenhum vendedor de churros é nordestino e algum vendedor de churros
não é nordestino.
3) Algum vendedor de churros é nordestino e algum vendedor de churros
não é nordestino.
4) Todo vendedor de churros não é nordestino e algum nordestino é
vendedor de churros.
5) Todo nordestino é vendedor de churros e algum vendedor de churros
não é nordestino.
alternativa que apresenta uma contradição é a 4, pois primeiro afirma
que "Todo vendedor de churros não é nordestino" (ou seja, não existem
vendedores de churros nordestinos), e em seguida afirma que "algum
nordestino é vendedor de churros", contrariando a primeira afirmação

95. Uma mulher vai visitar suas 3 filhas e leva uma cesta de maçãs. Para a
primeira, dá a metade das maçãs e mais meia maçã. Para a segunda, dá a
metade das maçãs que sobraram e mais meia maçã. Para a terceira,
novamente dá a metade das maçãs que sobraram e mais meia maçã, ficando
sem nenhuma maçã. Quantas maçãs haviam na cesta?
Devemos resolver este problema de trás para a frente.
Ao presentear a terceira filha, acabaram as maçãs. Portanto, nesse
momento a mãe só tinha 1 maçã, ou seja:
metade das maçãs (0,5) + meia maçã (0,5) = 1 maçã
Antes de presentear a segunda filha:
(1+0,5) * 2 = 3 maçãs na cesta
Antes de presentear a primeira filha:
(3+0,5) * 2 = 7 maçãs na cesta
Resposta: A cesta continha 7 maçãs.

96. Robervaldo criava patos. Certo dia, um homem apareceu em sua fazenda e
lhe ofereceu R$200,00 por pato e R$50,00 por ovo. No total, Robervaldo
tinha 12 patos. Porém, 2 deles eram de estimação, então ele resolveu
não vendê-los. Os demais patos foram vendidos. Quantos reais ele obteve
com essa venda?
Dos 12 patos que tinha, Robervaldo vendeu 10, cada um deles por
R$200,00.
Portanto o valor total foi 10*R$200,00 = R$2.000,00.
Quanto aos ovos...pato não bota ovo!
Resposta: R$2.000,00

97. Você tem uma balança e uma estante com 10 prateleiras. Em cada
prateleira tem dez livros, sendo que cada livro pesa 1 kg. Porém, em
uma das prateleiras os livros pesam 1,1 kg. Como você faria para
descobrir, em uma única pesagem, qual prateleira está com os livros
mais pesados?
Coloque na balança:
• 1 livro da 1ª prateleira
• 2 livros da 2ª prateleira
• 3 livros da 3ª prateleira
• 4 livros da 4ª prateleira
• e assim sucessivamente...
Se o resultado for 55,1 kg, os livros mais pesados estão na 1ª
prateleira. Se for 55,7 kg, os mais pesados estão na 7ª prateleira, e
assim por diante.

98. Em uma maratona, o brasileiro Vanderlei Cordeiro de Lima já havia
completado 2/5 do percurso total da prova, quando um ex-padre irlandês
invadiu a pista e segurou o atleta. Vanderlei, que estava a 40km da
metade do percurso, foi salvo pelo cidadão grego Polyvios Kossivas e
continuou na prova, conquistando a medalha de bronze. Qual foi a
distância total percorrida por Vanderlei?
Sendo x a distância total do percurso, podemos dizer que Vanderlei já
havia percorrido (2/5)*x.
Como ainda faltavam 40km para atingir a metade do percurso (x/2),
podemos formar a seguinte equação:
x/2 = (2/5)*x + 40
Calculando o mínimo múltiplo comum, temos:
5x / 10 = (4x+400) / 10
5x-4x = 400
x = 400
Resposta: A distância total era de 400km.

99. Pancho Villa viaja de Acapulco a Guadalajara, viajando por uma estrada
a uma velocidade constante. Passa por um marco (marcador de distância,
a partir de Acapulco) que contém dois algarismos. Uma hora depois,
passa por outro marco, contendo os mesmos dois algarismos, mas em ordem
inversa. Uma hora depois, passa por um terceiro marco, contendo os
mesmos algarismos, na ordem que os viu no primeiro marco, mas separados
por um zero. Com que velocidade Pancho Villa viaja?
Temos três números, um em cada marco:
xy yx x0y
Podemos perceber que x deve ser menor que y, pois a distância no
segundo marco deve ser maior que a distância do primeiro.
Também podemos concluir que x=1, pois a distância entre cada marco é um
número com 2 algarismos, e a soma de dois números com 2 algarismos
jamais resultará em um valor maior que 198.
Então, podemos escrever os três números da seguinte forma:
10+y 10.y+1 100+y
Queremos saber a velocidade que Pancho Villa anda.
Vamos chamar essa velocidade de z. Então podemos montar as seguintes
equações:
z=(10y+1)-(10+y) e z=(100+y)-(10y+1)
Substituindo o valor de z na segunda equação, temos:
(10y+1)-(10+y) = (100+y)-(10y+1)
9y-9 = 99-9y
18y=108
y=6
Agora basta colocar esse valor na primeira equação para achar o z:
z=(10.6+1)-(10+6)
z=60+1-10-6
z=45
Portanto, Pancho Villa andava a uma velocidade de 45Km/h.

100. Um rei comprou cinco escravos. Dois deles, que diziam sempre a verdade,
tinham olhos castanhos, e os outros três (de olhos azuis) sempre
mentiam. Os cinco foram organizados em fila.
O rei deveria, assim, adivinhar em que ordem eles estavam dispostos,
fazendo apenas três perguntas, uma para cada escravo diferente.
O rei aproximou-se do primeiro e perguntou:
- "De que cor são teus olhos?"
Ele respondeu em dialeto chinês, e o rei nada entendeu. Restavam-lhe
apenas duas perguntas. Perguntou então para o segundo escravo:
- "Qual foi a resposta que seu companheiro acabou de dar?"
O segundo escravo falou: - "Ele disse: os meus olhos são azuis".
O terceiro escravo, localizado no centro da fila, foi questionado da
seguinte forma:
- "De que cor são os olhos desses dois jovens que acabo de interrogar?"
O terceiro escravo respondeu: "O primeiro tem olhos castanhos e, o
segundo, olhos azuis."
Em que ordem os escravos se encontravam, de acordo com a cor dos olhos
de cada um?
Olhos castanhos - o escravo fala a verdade
Olhos azuis - o escravo mente
Se o primeiro escravo tiver olhos castanhos, ele dirá que tem olhos
castanhos.
Se o primeiro escravo tiver olhos azuis, ele dirá que tem olhos
castanhos (pois eles mentem).
Na pergunta feita ao segundo escravo da fila, ele respondeu que o
primeiro havia dito que tem olhos azuis. Portanto, o segundo escravo é
mentiroso! Então concluimos que o segundo tem olhos azuis.
O terceiro escravo disse que o primeiro tem olhos castanhos e o segundo
tem olhos azuis. Como já concluimos que o segundo tem olhos azuis,
então o terceiro fala a verdade, e portanto tem olhos castanhos. E pela
afirmação feita por ele, concluimos que o primeiro tem olhos castanhos
também.

101. Sendo assim, como haviam apenas dois escravos de olhos castanhos, os
outros têm olhos azuis. A fila ficou da seguinte maneira:
Olhos castanhos
Olhos azuis
Olhos castanhos
Olhos azuis
Olhos azuis

102. Você tem uma balança de 2 pratos e 12 tomates, sendo que:
- 11 tem o mesmo peso
- 1 tem o peso diferente (não sabemos se é mais leve ou mais pesado)
Com apenas três pesagens, descubra qual é o tomate diferente e se ele é
mais leve ou mais pesado.