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Números racionais
Racionais Positivos e Racionais Negativos
O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.

Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam
quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros,
com divisor diferente de zero.
Por exemplo:
(+17) : (-4) =

é um número racional negativo

Números Racionais Positivos

Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.
(+8) : (+5)

(-3) : (-5)

Números Racionais Negativos

São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.
(-8) : (+5)
(-3) : (+5)

Números Racionais: Escrita Fracionária

têm valor igual a

e representam o número racional

.

Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na
forma fracionária:

Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor
diiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma
fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros.

Operações com números racionais decimais
Adição
Considere a seguinte adição:
1,28 + 2,6 + 0,038
Transformando em frações decimais, temos:

Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.
Exemplos:
1,28 + 2,6 + 0,038

35,4 + 0,75 + 47

6,14 + 1,8 + 0,007
Subtração
Considere a seguinte subtração:
3,97 - 2,013
Transformando em fração decimais, temos:

Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com
as demais.
Exemplos:
3,97 - 2,013

17,2 - 5,146

9 - 0,987

Multiplicação
Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5

Transformando em fração decimais, temos:
Método prático
Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos
a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja
igual à soma dos números de casas decimais do fatores.
Exemplos:
3,49 · 2,5

1,842 · 0,013

Observação:
1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método
prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao
número de casas decimais do fator decimal. Exemplo:
5 · 0,423 = 2,115
2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula
para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos
0,05 =

= 5%

1,17 =

= 117%

5,8 = 5,80 =

= 580%

Divisão
1º: Divisão exata
Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05

Transformando em frações decimais, temos:
Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Suprimimos as vírgulas;
3º) Efetuamos a divisão.
Exemplos:
1,4 : 0,05
Igualamos as casa decimais:
Suprimindo as vírgulas:

Efetuado a divisão
1,40
140

: 0,05
: 5

Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28.
6 : 0,015
Igualamos as casas decimais
Suprimindo as vírgulas

Efetuando a divisão
6,000
6.000

: 0,015
: 15

Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.
Efetuando a divisão
4,096 : 1,6
Igualamos as casas decimais
Suprimindo as vírgulas

4,096 : 1,600
4.096 : 1.600

Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades.
Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a
determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero
resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos.
Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto,
uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos.

O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo.
Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.
Efetuando a divisão

0,73 : 5
Igualamos as casas decimais
Suprimindo as vírgulas

0,73
73

:
:

5,00
500

Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamos um
zero à direita do três. Assim:

Continuamos a divisão, obtemos:

Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146.

Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão.
Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto.
Exemplos:
2,346 : 2,3

Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor
(2.300). Colocamos, então, um zero no
quociente e acrescentamos mais um zero ao
resto.

Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02.

Observação:
Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a
esquerda uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

2º : Divisão não-exata
No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por
excesso.
Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:
Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma
unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4.
Logo:

Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que:
3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade.
4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade.
Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos:

Podemos afirmar que:
3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo.
3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo.
Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos:

Podemos afirmar que:
3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo.
3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo.
Observação:

1.

As expressões têm o mesmo significado:

- Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos.
- Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e,
assim, sucessivamente.
2.
Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos
significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do
quociente, respectivamente. Exemplos:
13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos)
13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos)
13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo)
Cuidado!
No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemos
completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal
aproximação. Exemplo:
O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é

Potenciação
As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural
seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim:
2

(3,5) = 3,5 · 3,5 = 12,25
3
(0,4) = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064

1

(0,64) = 0,64
0
(0,18) = 1

Raiz Quadrada
A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando
o mesmo numa fração decimal. Assim:

Expressões Numéricas
No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas
regras aplicadas às expressões com números fracionários.
Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando
todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo:

= 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25
= 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25
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Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes.
Exemplos:

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Números racionais representação fracionária e decimal - operações e propriedades

  • 1. Números racionais Racionais Positivos e Racionais Negativos O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto. Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero. Por exemplo: (+17) : (-4) = é um número racional negativo Números Racionais Positivos Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais. (+8) : (+5) (-3) : (-5) Números Racionais Negativos São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes. (-8) : (+5)
  • 2. (-3) : (+5) Números Racionais: Escrita Fracionária têm valor igual a e representam o número racional . Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária: Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diiferente de zero), ou seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador são números inteiros. Operações com números racionais decimais Adição Considere a seguinte adição: 1,28 + 2,6 + 0,038 Transformando em frações decimais, temos: Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais. Exemplos: 1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0,75 + 47 6,14 + 1,8 + 0,007
  • 3. Subtração Considere a seguinte subtração: 3,97 - 2,013 Transformando em fração decimais, temos: Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais. Exemplos: 3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987 Multiplicação Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5 Transformando em fração decimais, temos: Método prático Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores. Exemplos:
  • 4. 3,49 · 2,5 1,842 · 0,013 Observação: 1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo: 5 · 0,423 = 2,115 2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos: 3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos
  • 5. 0,05 = = 5% 1,17 = = 117% 5,8 = 5,80 = = 580% Divisão 1º: Divisão exata Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05 Transformando em frações decimais, temos: Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Suprimimos as vírgulas; 3º) Efetuamos a divisão. Exemplos: 1,4 : 0,05 Igualamos as casa decimais: Suprimindo as vírgulas: Efetuado a divisão 1,40 140 : 0,05 : 5 Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28. 6 : 0,015 Igualamos as casas decimais Suprimindo as vírgulas Efetuando a divisão 6,000 6.000 : 0,015 : 15 Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400. Efetuando a divisão 4,096 : 1,6 Igualamos as casas decimais Suprimindo as vírgulas 4,096 : 1,600 4.096 : 1.600 Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960 décimos.
  • 6. Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos. O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56. Efetuando a divisão 0,73 : 5 Igualamos as casas decimais Suprimindo as vírgulas 0,73 73 : : 5,00 500 Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero à direita do três. Assim: Continuamos a divisão, obtemos: Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146. Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão. Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto. Exemplos: 2,346 : 2,3 Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor (2.300). Colocamos, então, um zero no quociente e acrescentamos mais um zero ao
  • 7. resto. Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02. Observação: Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos: 2º : Divisão não-exata No caso de uma divisão não-exata determinamos o quociente aproximado por falta ou por excesso. Seja, por exemplo, a divisão de 66 por 21:
  • 8. Tomando o quociente 3 (por falta), ou 4 (por excesso), estamos cometendo um erro que uma unidade, pois o quociente real encontra-se entre 3 e 4. Logo: Assim, na divisão de 66 por 21, temos: afirmar que: 3 é o quociente aproximado por falta, a menos de uma unidade. 4 é o quociente aproximado por excesso, a menos de uma unidade. Prosseguindo a divisão de 66 por 21, temos: Podemos afirmar que: 3,1 é o quociente aproximado por falta, a menos de um décimo. 3,2 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um décimo. Dando mais um passo, nessa mesma divisão, temos: Podemos afirmar que: 3,14 é o quociente aproximado por falta, a menos de um centésimo. 3,15 é o quociente aproximado por excesso, a menos de um centésimo. Observação: 1. As expressões têm o mesmo significado: - Aproximação por falta com erro menor que 0,1 ou aproximação de décimos. - Aproximação por falta com erro menor que 0,01 ou aproximação de centésimos e, assim, sucessivamente. 2. Determinar um quociente com aproximação de décimos, centésimos ou milésimos significa interromper a divisão ao atingir a primeira, segunda ou terceira casa decimal do quociente, respectivamente. Exemplos:
  • 9. 13 : 7 = 1,8 (aproximação de décimos) 13 : 7 = 1,85 (aproximação de centésimos) 13 : 7 = 1,857 (aproximação de milésimo) Cuidado! No caso de ser pedido um quociente com aproximação de uma divisão exata, devemos completar com zero(s), se preciso, a(s) casa(s) do quociente necessária(s) para atingir tal aproximação. Exemplo: O quociente com aproximação de milésimos de 8 de 3,2 é Potenciação As potências nas quais a base é um número decimal e o expoente um número natural seguem as mesma regras desta operação, já definidas. Assim: 2 (3,5) = 3,5 · 3,5 = 12,25 3 (0,4) = 0,4 · 0,4 · 0,4 = 0,064 1 (0,64) = 0,64 0 (0,18) = 1 Raiz Quadrada A raiz quadrada de um número decimal pode ser determinada com facilidade, transformando o mesmo numa fração decimal. Assim: Expressões Numéricas No cálculo de expressões numérico envolvendo números decimais seguimos as mesmas regras aplicadas às expressões com números fracionários.
  • 10. Em expressões contendo frações e números decimais, devemos trabalhar transformando todos os termos em um só tipo de número racional. Exemplo: = 0,05 + 0,2 · 0,16 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,032 : 0,4 + 0,25 = 0,05 + 0,08 + 0,25 = 0,38 Em expressões contendo dízimas, devemos determinar imediatamente suas geratrizes. Exemplos: