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O símbolo      significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

  Chamamos:


     de fração;

   a de numerador;

   b de denominador.


  Se a é múltiplo de b, então    é um número natural.

  Veja um exemplo:


  A fração   é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador.

Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim,      é um número
natural e 8 é múltiplo de 2.

   Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e
usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam
ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número
fracionário.




   Algumas vezes,      é um número natural. Outras vezes, isso não acontece.

Neste caso, qual é o significado de    ?

  Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre
essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se
dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:




  Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a
parte branca é a parte que sobrou do chocolate.




   As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ...


                            um meio                   dois quintos


                                                         quatro
                            um terço
                                                        sétimos


                           um quarto                  sete oitavos


                           um quinto                 quinze nonos


                           um sexto                    um décimo


                           um sétimo                 um centésimo


                           um oitavo                  um milésimo


                            um nono                  oito milésimos
Fração própria: o numerador é menor que o denominador:


  Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.


     Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.




  Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.


  Exemplo:            são equivalentes

  Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o
denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.


  Exemplo: obter frações equivalentes à fração     .




  Portanto as frações              são algumas das frações equivalentes a      .




   Uma fração equivalente a     , com termos menores, é     . A fração   foi obtida

dividindo-se ambos os termos da fração       pelo fator comum 3. Dizemos que a

fração    é uma fração simplificada de   .
A fração     não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível.

A fração     não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator
comum




  Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença
abaixo verdadeira?

                                       5.X=1

  Substituindo X, temos:

  X por 0 temos: 5.0 = 0
  X por 1 temos: 5.1 = 5.

  Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o
produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim,
surgem os números fracionários.

  Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.


  Portanto, uma fração      (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela

representam o mesmo número fracionário        .


  Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X =       , pois      .




  Temos que analisar dois casos:

  1º) denominadores iguais

    Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os
numeradores e conservar o denominador.

    Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os
numeradores e conservar o denominador.
Observe os exemplos:




  2º) denominadores diferentes

     Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter
frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das

frações. Exemplo: somar as frações            .

       Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10.


                     (10:5).4 = 8                       (10:2).5 = 25




      Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois
somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja,
utilizamos o caso 1.

                     !"              !
   •    MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL

       Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
       24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

               Se um número é divisível por outro, diferente de zero,
                                     então
                     dizemos que ele é múltiplo desse outro.

     Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número
pelos números naturais.

       Exemplo: os múltiplos de 7 são:
                 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
Observações importantes:
       1) Um número tem infinitos múltiplos
       2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

   •     MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)

         Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

         Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
         Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
         Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
         Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

     Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles.
Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

           O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de
           zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números.
                           Usamos a abreviação m.m.c.

   •     CÁLCULO DO M.M.C.

       Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a
fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

  1º) decompomos os números em fatores primos
  2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

              12 = 2 x 2 x 3
              30 =       2 x 3 x 5
       m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

       Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
       12 = 22 x 3
       30 = 2 x 3 x 5
       m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

             O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o
                                produto dos fatores
              comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior
                                    expoente.



   •     PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Neste processo decompomos todos os
       números ao mesmo tempo, num dispositivo como
       mostra a figura ao lado. O produto dos fatores
       primos que obtemos nessa decomposição é o
       m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo
       do m.m.c.(15,24,60)

              Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x
       5 = 120

   •   PROPRIEDADE DO M.M.C.

     Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste
caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:




                           m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

          Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos
                                os outros, então
                       ele é o m.m.c. dos números dados.


      Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é
igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:




                          m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

         Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto
                               desses números.


         !
Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por
numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos
exemplos abaixo:




   Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo
inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

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  • 1. O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero. Chamamos: de fração; a de numerador; b de denominador. Se a é múltiplo de b, então é um número natural. Veja um exemplo: A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2. Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário. Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de ? Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
  • 2. Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes: Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Roberval, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate. As frações recebem nomes especiais quando os denominadores são 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e também quando os denominadores são 10, 100, 1000, ... um meio dois quintos quatro um terço sétimos um quarto sete oitavos um quinto quinze nonos um sexto um décimo um sétimo um centésimo um oitavo um milésimo um nono oito milésimos
  • 3. Fração própria: o numerador é menor que o denominador: Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador. Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. Exemplo: são equivalentes Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero. Exemplo: obter frações equivalentes à fração . Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a . Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de .
  • 4. A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira? 5.X=1 Substituindo X, temos: X por 0 temos: 5.0 = 0 X por 1 temos: 5.1 = 5. Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários. Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário. Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número fracionário . Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois . Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.
  • 5. Observe os exemplos: 2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações . Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. (10:5).4 = 8 (10:2).5 = 25 Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1. !" ! • MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
  • 6. Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural • MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. • CÁLCULO DO M.M.C. Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. • PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
  • 7. Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 • PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. !
  • 8. Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo: Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo: