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Funções
Noção intuitiva Par ordenado Produto cartesiano Relação Funções através de conjuntos
Domínio-Imagem- Contradomínio Gráfico de uma Função Raízes da Função Função crescente
Função decrescente Valor Mínimo Valor máximo Função par Função ímpar
Função bijetora Função sobrejetora Função injetora Função inversa Função composta
Função constante Função do 1º grau Inequação do 1º grau Função quadrática
Função do 2º grau crescente e decrescente Raízes ou zeros da função do 2º grau
Inequação da função quadrática Função modular Inequação modular Voltar ao supervisor
TALES DE MILETO
HISTÓRIA
Funções
Noção intuitiva de função
Toda vez que procuramos estabelecer
uma relação entre duas grandezas variáveis,
recorremos ao estudo de funções.
Preço a pagar = quantidade de litros x preço por litro
10
R$2,20
R$2,20
R$2,20
25
15
R$22,00
R$55,00
R$33,00
Funções
Nesta relação temos duas grandezas variáveis
preço a pagar(pp) e quantidade de litros(ql),
podemos estabelecer entre pp e ql a seguinte
relação expressa pela fórmula matemática.
pp= ql x 2,20
pp ql pl
Preço a pagar = quantidade de litros x preço por litro
10
R$2,20
R$2,20
R$2,20
25
15
R$22,00
R$55,00
R$33,00
Funções
pp= ql x 2,20
pp ql pl
A tabela nos informa que:
• a quantidade ql de combustível é uma grandeza variável;
• o preço a pagar pp é uma grandeza variável;
• todos os valores de ql estão associados valores de pp;
• a cada valor de ql está associado um único valor de pp;
Preço a pagar = quantidade de litros x preço por litro
Funções
pp= ql x 2,20
variável dependente
variável independente
constante
Quando tratamos de conjuntos, nós o fazemos
sem a preocupação com a ordem de seus
elementos. Assim {a,b,c}={b,c,a}.
Funções
Conceito de par ordenado
Se um conjunto possui dois elementos m e n,
onde m deva ser o primeiro elemento e n o
segundo, então o conjunto desses elementos
é chamado par ordenado e será representado
por (m,n).
Propriedade
Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais
Se e somente se, a=c e b=d
(a,b)=(c,d) a=c e b=d
Funções
Conceito de par ordenado

Ex.: Calcular a e b no seguinte caso:
(a,b)=(2,5) então pela propriedade
a=2 e b=5
Qualquer par ordenado de números reais
pode ser representado no plano cartesiano
por um ponto.
Dizemos que:
• P é ponto de coordenadas a e b;
• o número a é chamado de abscissa de P;
• o número b é chamado ordenada de P;
• a origem do sistema é o ponto O(0,0).
Funções
Gráfico cartesiano do par ordenado
Observe a representação de alguns pontos:
Funções
Gráfico cartesiano do par ordenado
a) A(2,4) b) B(-2,3) c) C(-3,0) d) D(3,-2)
Resolução
0 1 2 3 4 5
-2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
x
y
A
.
B.
-3
C
.
D
. abscissas
o
r
d
e
n
a
d
a
s
Dados os conjuntos A={1,2,3,} e B={4,5},
formar todos os pares ordenados, onde
o primeiro elemento pertence a A e o
segundo pertence a B.
Obtemos:
(1,4) (1,5) (2,4) (2,5)(3,4)(3,5)
Funções
Produto cartesiano
Definição de produto cartesiano
Se A e B são conjuntos não-vazios,chama-se
produto cartesiano de A por B o conjunto de
todos os pares ordenados (x,y) em que
X A e y B, isto é:
A x B={(x,y) | x A e y B
 
 
Número de elementos de A x B
Funções
Produto cartesiano
Se A tem m elementos e B tem n elementos.
Então A x B terá m.n elementos.
Obs.:O produto cartesiano, não é comutativo
A x B = B x A
Número de elementos de A x B
Funções
Conceitos de Relação
Dados os conjuntos A={1,2} e B={2,3,4}
A x B={(1,2);(1,3);)(1,4);(2,2);(2,3);(2,4)}
1º Obter o produto cartesiano de A e B
2º Do produto cartesiano selecionar os
pares ordenados (x,y) que satisfaçam
por exemplo a lei x+y =4, ou seja:
R={(1,3);(2,2)}
Obs.: R é um subconjunto de A x B
DEFINIÇÃO
Funções
Conceitos de Relação
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação
de A em B qualquer subconjunto de A x B , isto é:
R é uma relação de A em B R A X B


Estudo de funções através de conjuntos
Vamos tomar como ponto de
partida dois conjuntos A e B sendo,
A={2,6,8} B={0,4,6,8,9,10,21}
e a relação x= y+2, x A e y B
 
Estudo de funções através de conjuntos
A={2,6,8} B={0,4,6,8,9,21}
a relação x= y+2, x A e y B
 
A
B
2
6
8
0
4
6
8
9
10
11
X=2 y=2+2=4
X=6 y=6+2=8
X=8 y =8+2=10
X y
2 4
6 8
8 10
1ª
Estudo de funções através de conjuntos
A
B
2
6
8
0
4
6
8
9
10
11
•todos os elementos de A estão associados a elementos de B
•cada elemento de A está associado a um único elemento
de B
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula
y=x+2 é uma função de A em B.
Estudo de funções através de conjuntos
A
B
-3
0
2
7
0
2
7
15
18
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula
y=x não é uma função de A em B, pois -3 de A não tem
correspondente no conjunto B.
2º Dados os conjuntos A={-3,0,2,7} B={0,2,7,15,18}, com
A relação de A em B expressa pela fórmula y=x, com
x A e y B.
 
Estudo de funções através de conjuntos
A B
-2
0
2
3
0
4
9
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula
y=x 2 é uma função de A em B, pois todos os elementos
de A tem correspondente em B
3º Dados os conjuntos A={-2,0,2,3} B={0,4,9}, com
A relação de A em B expressa pela fórmula y=x 2, com
x A e y B.
 
Estudo de funções através de conjuntos
A
B
16
81
-2
2
3
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula
y 4=x não é uma função de A em B, pois o elemento 16
do conjunto A estão associados dois elementos (-2 e 2)
do conjunto B.
3º Dados os conjuntos A={16,81} B={-2,2,3}, com
A relação de A em B expressa pela fórmula y 4=x , com
x A e y B.
 
Estudo de funções através de conjuntos
Definição:
Dados dois conjuntos A e B, não vazios e uma relação
f de A em B, essa relação f é uma função quando a
cada elemento x do conjunto A está associado um e
um só elemento y do conjunto B.
Representação matemática
f: A B
Lê-se: f é uma função de A em B
Obs.: podemos usar y= x-2 ou f(x)=x-2
y=x2-5x+6 ou f(x)=x2-5x+6
y e f(x) tem o mesmo significado na linguagem matemática
Domínio, imagem e contradomínio
Dados os conjuntos A={0,2,3} e B={0,2,3,4,5} e a
função f:A B definida por y=x +2.
0
2
3
2
4
5
0
3
Pelo diagrama define-se
•O conjunto A é denominado domínio e indicado por D
O domínio de uma função é também, chamado campo de
definição ou campo de existência da função.
A
B
Domínio, imagem e contradomínio
Dados os conjuntos A={0,2,3} e B={0,2,3,4,5} e a
função f:A B definida por y=x +2.
0
2
3
2
4
5
0
3
Pelo diagrama define-se
• O conjunto {2,4,5}, que é um subconjunto de B, é
denominado conjunto imagem da função: Im={2,4,5}
A
B
Neste caso: 2 é imagem de 0; f(0)=2
4 é imagem de 2; f(2) =4
5 é imagem de 3; f(3)=5
Domínio, imagem e contradomínio
Dados os conjuntos A={0,2,3} e B={0,2,3,4,5} e a
função f:A B definida por y=x +2.
0
2
3
2
4
5
0
3
Pelo diagrama define-se
• O conjunto B, tal que Im B , é denominado
contradomínio da função.
A
B

CD={0,2,3,4,5}
Gráfico de uma função
Dada uma relação f (função ou não) , se
representarmos no plano cartesiano todos os
pares ordenados (x,y), com x D(f) e y=f(x)
obteremos um conjunto de pontos que é o
gráfico de f.
2

Gráfico de uma função
Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico
da função f(x)= 2x-1 para o domínio
D(f)= {-1,0,1,2,3}
Resolução
Para x=-1 y=2(-1) –1=-2-1=-3
x=0 y=2.0 –1 =-1
x=1 y=2.1-1 =1
x=2 y=2.2-1 =3
x=3 y=2.3-1 =5
(x,y)=(-1,-3)(0,-1)(1,1)(2,3)(3,5)
y
x
1
2
3
-
1
4
-3
A
1
B
2 3
5
C
D
.
.
.
.
Gráfico de uma função
Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico
da função f(x)= 2x-1 para o domínio
D(f)= {-1,0,1,2,3} y
x
1
2
3
-
1
4
-3
A
1
B
2 3
5
C
D
.
.
.
.
Os pontos A, B, C e D estão
sobre a reta. Qualquer ponto
determinado pela função
Y=2x-1 estará sobre a reta.
Gráfico de uma função
Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico
da função f(x)= 2x-1 para o domínio
D(f)= {-1,0,1,2,3} y
x
1
2
3
-
1
4
-3
A
1
B
2 3
5
C
D
.
.
O domínio da função está
definido no intervalo
D(f) = {x R | -1 x 3
 
Neste caso deve-se considerar
também o conjunto de todos
os pontos (x,y) com x entre –1 e 3
e y=2x-1
Nesse caso, o gráfico é o segmento AD.
Gráfico de uma função
Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico
da função f(x)= 2x-1 para o domínio
D(f)= {-1,0,1,2,3} y
x
1
2
3
-
1
4
-3
A
1
B
2 3
5
C
D
.
.
Os pontos A e D mostram o
Intervalo de definição seu
início e fim.
Se o domínio é o conjunto R,
então o gráfico prossegue
Indefinidamente.
Gráfico de uma função
Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico
da função f(x)= x2 -1 para o domínio
D(f)= {-2 x 2} y
x
A
D
.
Pontos(x,y):
x=-2 y=3
x=-1 y=0
x=0 y=-1
x=1 y=0
x=2 y=3


-1
-2
3
2
1
.
.
.
B
C
E
-1
O gráfico da função y=x 2 –1 é uma
Curva nesse caso é uma parábola.
.
Analisar o gráfico para reconhecer se
representa função ou relação
Verificar se o conjunto de pontos das figuras
constituem gráficos de uma função com
domínio D={1,2,3,4}
x
y
1 2 3 4
1
2
3
O gráfico representa uma função, pois cada x
pertencente a D tem uma única imagem.
Imagem
Analisar o gráfico para reconhecer se
representa função ou relação
Verificar se o conjunto de pontos das figuras
constituem gráficos de uma função com
domínio D={1,2,3,4}
x
y
1 2 3 4
1
2
3
O gráfico não representa uma função, pois
o elemento x=4 possui duas imagens: y=1
e y=3.
Imagem
y=3
y=1
Analisar o gráfico para reconhecer se
representa função ou relação
Para reconhecer se um gráfico representa
uma função , verifique se qualquer reta
paralela ao eixo Oy intercepta somente
um ponto do domínio:
x
y
Nesse exemplo a reta encontra a curva em um só
ponto. O gráfico acima representa função.
Imagem
domínio
Analisar o gráfico para reconhecer se
representa função ou relação
Para reconhecer se um gráfico representa
uma função , verifique se qualquer reta
paralela ao eixo Oy intercepta somente
um ponto do domínio:
x
y
Nesse exemplo a reta encontra a curva em mais
de um ponto. O gráfico acima não representa
função.
Imagem
domínio
Reta paralela a Oy
Raízes da função
Se f(x)=0, então x chama-se zeros ou raízes da
função.
x
y
Imagem
domínio
1 2 3 4
A B
f(1)=0
f(4)=0
Os números 1 e 4 são os zeros ou raízes da função
A(1,0) e b(4,0)
Funções crescentes
Considerando o intervalo A do gráfico,
observamos que quando x aumenta de
valor o mesmo ocorre com y. Nesse caso
a função é crescente
x
y
Imagem
domínio
A
Funções decrescentes
Considerando o intervalo A do gráfico,
observamos que quando x aumenta de
valor y diminui de valor. Nesse caso
a função é decrescente.
x
y
Imagem
domínio
A
Funções crescente e decrescentes
Conclusão final:
Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um
conjunto A D(f), com x1 < x2 , diz-se
que a função é crescente em A se f(x1) < f(x2) e
decrescente se f(x1) > f(x2)
x
y
Imagem
domínio

Função
crescente
Função
decrescente
Funções: Valor Mínimo
Sendo uma função f: R R e seu gráfico:
x
y
Imagem
domínio
f(x)  f(4)
Para todo x do seu domínio, tem-se
f(4) =-1 nesse caso ela não assume nenhum valor menor
que –1, então 4 é minimante da função e o valor f(4)=-1
é o seu valor mínimo.
-1
4
Ponto de mínimo V=(4,-1)
v
Funções: Valor Máximo
Sendo uma função f: R R e seu gráfico:
x
y
Imagem
domínio
f(x) f(1)
Para todo x do seu domínio, tem-se
Assim, dizemos que 1 é um maximante da função e
que f(1)=4 é o seu valor máximo.
1
4
Ponto de máximo V=(1,4)
v

Funções: Valor Mínimo
Generalização
x
y
Imagem
domínio
f(x) f(x0)
f(x)
x0
v

X0 minimante de f
y0 =f(x0) é o valor mínimo da função. Ponto do gráfico
de mínimo V(x0,y0)
Funções: Valor Máximo
Generalização
x
y
Imagem
domínio
f(x) f(x0)
f(x)
x0
v
X0 maximante de f
y0 =f(x0) é o valor máximo da função. Ponto do gráfico
de máximo V(x0,y0)

Funções: Valor Mínimo e Máximo
Generalização
x
y
Imagem
domínio
v
Fica claro no gráfico que a função não
possui maximante e nem minimante.
Funções:
Função par
x
y
Imagem
domínio
Função par é a função na qual f(-x) =f(x), x D(f)
 
Seja a função f(x)=x2 -3
f(-1)=f(1)=-2
f(-2)=f(2)=1
f(-3)=f(3)=6
-4
-1
-2
1
Funções:
Função ímpar
x
y
Imagem
domínio
Função ímpar é a função na qual f(-x) =-f(x), x D(f)
 
Seja a função f(x)=x3
f(-2)=-8 e f(2)=8 f(-2)=-f(2)
f(-1)=-1 e f(1)=1 f(-1)=-f(1)
-2
-8
1
1
-1 2
Funções:
Função bijetora
Uma função f: A B é bijetora quando cada
elemento do contradomínio B é imagem de um
único elemento de A .
a
b
c
f
g
h
A
B
f
Funções:
Função sobrejetora
Uma função f: A B é sobrejetora quando a
Imagem de uma função for igual ao seu
contradomínio.
2
4
6
8
3
5
7
A
B
f
Funções:
Função injetora
Uma função f: A B é injetora quando
para quaisquer x1 e x2 do domínio tais que
x1 x2 tivermos f(x1) f(x2 )
A
B
f
 
Função inversa
Sendo dada a função bijetora: f:A B,
chama-se função inversa de f, indicada
por f- 1, a função f-1:B A que associa
cada y de B ao elemento x de A, tal que
y =f(x).
Tomemos como exemplo a função y=2x+1
para melhor entender esse conceito.
1º passo
Determinar a lei que define f-1(x),
No caso em que f(x)=2x +1
Sendo y=2x +1
f(x) calcular x=f-1(y)
Isolar x em y=2x+1 2x=y-1 x=
2
y-1
II
I
Função inversa
2ºpasso:
Comparando I e II
y - 1
2
função inversa de f(x)
f-1(y) =
Ou deixando a variável x livre temos
f-1(x) =
x - 1
2
Função inversa
f-1(x) =
x - 1
2
Gráfico
f(x)=2x-1
x=0 y=-1 (0,-1)
x=2 y=3 (2,3)
f-1(x) = x - 1
2
x=1 y=1 (1,1)
x=3 y=2 (3,2)
f-1(x) =
2
x - 1
Função composta
Dadas as funções: f: A B e g: B C,
Chama-se função composta de f e g a
função(g f): A C, tal que (g f)(x)=g(f(x)).
Ex.: Através dos conjuntos
A={1,2,3} , B={2,3,4,5} e C={4,9,16,25}
e as funções f:A B definida por y=x+1
e g:B C, definida por z=y2
1
2
3
2
3
4
5
4
9
16
25
A
B C
f g
h
Função composta
Ex.: o gráfico mostra que existe uma função h:A C
h(1)=4=g(2)=g(f(1));
h(2)=9=g(3)=g(f(2));
1
2
3
2
3
4
5
4
9
16
25
A
B C
f g
h
Regra
Primeiro aplica-se ao elemento x a função f obtendo-se
f(x), a seguir aplica-se g em f(x), obtendo-se g(f(x)), ou seja
h(x)=g(f(x)).
A função h:A C chama-se função composta de
g com f e a indicamos por g f (lê-se: g composta com f)
Função composta
Dadas as funções: f: A B e g: B C,
Chama-se função composta de f e g a
função(g f): A C, tal que (g f)(x)=g(f(x)).
Ex.: com as funções f(x)=3x-1 e g(x)=x2 +2
Calcule:
a)(g f)(x) b)(f g)(x)
Resolução
a)(g f)(x)=g(f(x))=g(3x-1)=(3x-1)2+2=9x2-6x+1=9x2-6x+3
b)(f g)(x)=f(g(x))=f(x2+2)=3(x2+2)-1= 3x2+6-1=3x2+5
Função
Função constante
Sendo k um número real , chama-se função
Constante a função f:R R, definida por
y=f(x)=k
Gráfico da função constante
y
x
k
f(x)=k
0
Função
Função de 1º grau
Chama-se função de 1º a função f:R R,
definida pela lei y=ax+b, com a e b reais
e a 0.

f(x) = ax +b (a R* e b R)
 
Coeficiente angular
Excluído o zero
Coeficiente linear
Função
Função de 1º grau
f(x) = ax +b
Excluído o zero
Se b=0, a função de 1º grau fica
reduzida à forma f(x)=ax
(a R* )

Função linear
f(x)=ax
Função linear
Função
Função de 1º grau
f(x) = ax +b
Ex.:
y=3x-2 onde a=3 e b=-2
Y=5-x onde a=-1 e b=5
Y= x-3 onde a= e b=-3
5 5
Função
Função de 1º grau
f(x) = ax +b
Se a=1 e b=0 a função se reduz a
f(x)=x
Função identidade
f(x)=x função indentidade
Função
Gráfico da função de 1º grau
f(x) = ax +b
O gráfico de uma função do 1º grau com a 0
é sempre uma reta do plano cartesiano é
denominada equação da reta
Construir o gráfico da função y=x-3
x
y x=2 y=-1
x=4 y=1
4
1

Função
Gráfico da função de 1º grau
f(x) = ax +b
x
y
4
1
Interceptos
Os pontos que a reta
Intercepta os eixos
Ox e Oy são deno-
minados interceptos.
No exemplo:
Ox (3,0)
Oy (0,-3)
2
-3
o
-1
Genéricamente
Ox (-b/a,0)
Oy (0,b)
Função
Gráfico da função de 1º grau
f(x) = x
x
y
2
2
Bissetriz dos quadrantes ímpares
Função
Inequação de 1º grau
f(x)>0 f(x)<0
f(x) 0 f(x) 0


Resolução
1º passo:
Colocar a inequação na forma geral;
4x-3-1>0 forma geral 4x-4>0
Resolver a inequação 4x-3>1
2º passo:
encontrar a raiz; f(x)=0 4x-4=0
4x=4 x=1
3º passo:
Representação gráfica dos sinais de f(x)
1 +
-
4º passo:
solução
S={x R | x >1}

Forma geral
Função
Inequação de 1º grau: produto
f(x) .g(x) >0 f(x).g(x) <0
f(x) .g(x) 0 f(x) .g(x) 0


Resolução
Resolver a inequação (2x+6) . (-x+2) <0;
Forma geral
f g
Raiz de f: 2x+6=0 x=-3
Raiz de g: -x+2=0 x=2
Sinais f
g +
+
+ +
+ -
-
-
-
-3 2
f.g
Solução f.g<0 S={x R | x<-3 ou x>2

Função
Função quadrática ou função de 2º grau
Uma função f:R R, definida pela lei
y=ax2+bx+c, com a 0 e a, b, e c
do conjunto dos números reais, a definimos
como função quadrática.

F(x)=ax2+bx+c
Alguns exemplos de função quadrática:
y=2x2 –x+2 a=2, b=-1 e c=2
y=5x2+2x-3 a=5, b=2 e c=-3
y=x2-4 a=1, b=0 e c=-4
Y=5x2 a=5, b=0 e c=0
Função
Função quadrática ou função de 2º grau
Função quadrática completa
y=ax2+bx+c sendo a 0

y=ax2+bx+c
Função
Função quadrática ou função de 2º grau
Função quadrática incompleta sendo a 0

y=ax2+c
Se b=0 e c 0

Função
Função quadrática ou função de 2º grau
Função quadrática incompleta sendo a 0

y=ax2
Se b=0 e c=0
Função
Função quadrática ou função de 2º grau
Função quadrática incompleta sendo a 0

y=ax2 +c
Se b 0 e c=0

Função
Gráfico da função quadrática
A figura geométrica parábola representa no
plano cartesiano a função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
Concavidade
Voltada para cima
Eixo de simetria
vértice
vértice
Concavidade
Voltada para baixo
Função
Característica da função quadrática
A figura geométrica parábola representa no
plano cartesiano a função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
Concavidade
Voltada para cima
Ponto de mínimo
Ponto de máximo
Concavidade
Voltada para baixo
a>0 a<0
Função
Característica da função quadrática

y=ax2+bx+c
a 0
Concavidade
voltada para cima
Ponto de mínimo
Ponto de máximo
Concavidade
voltada para baixo
a>0
a<0
Pontos de máximo e mínimo
Função
Característica da função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
a>0
a<0
Conjunto imagem
y
v
yv
yv
v
y
Im={y R|y -
  
4a
Im = {y R|y -
 
4a

Função

y=ax2+bx+c a 0
a>0
a<0
Crescente e decrescente
y
v
v
y

f(x) decrescente x
f(x) crescente x
xv x
xv
xv

f(x) crescente x xv
f(x) decrescente x xv


X
xv
Função
Raízes ou zeros da função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
<0
 =B2 –4ac
Duas raízes distintas

 =0 Duas raízes iguais
 Não existem raízes reais
x1= 

b
2a
x2= 

b
2a
x1=x2= - b
2a
As raízes da equação quadrática ficam
determinadas pela solução da equação
ax2+bx+c=0
>0
Função
Estudo dos sinais da função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
<0

 =0

>0
x
sinal de a sinal de a
sinal de -a
x1 x2
x1= x2
sinal de a sinal de a
x
x
sinal de a
Função
Inequações de 2º grau
Chama-se inequação de 2º grau toda
desigualdade:
f(x) >0 f(x)<0
f(x) 0 f(x) 0
 
Forma geral
Veja o exemplo resolvido: encontrar a solução
da inequação x2-6x-16 0

 =36+64  =100
x= 6 10

2
x1=8
x2=-2
x
-2 8
S={x R |-2 x 8
 
+ +
-

FUNÇÃO MODULAR
Módulo ou valor absoluto
É a distância do ponto ao qual esse
número está associado, até a origem
do eixo
P O Q
PO = OQ
FUNÇÃO MODULAR
Módulo ou valor absoluto
Denomina-se módulo de um número real
x o próprio x se positivo ou nulo.
-x se o número é negativo.
x = x, se x 0

ou
X =-x, se x<0
FUNÇÃO MODULAR
Módulo ou valor absoluto
0 1 2 3
-3 -2 -1
|-3|=|3|
|-x|=|x, x R|
 
3 unidades
3 unidades
Na reta dos números reais, o módulo de um número
corresponde à distância desse número ao zero.
EQUAÇÃO MODULAR
Toda equação onde a variável
aparece entre módulos, deno-
minamos de equação modular.
|x|= x, se x 0
-x, se x 0


|x+6|=2 x+6=2 x=-6+2 x=-4
ou
–x-6=2 -x=2+6 x=-8
S={-8,-4}
INEQUAÇÃO MODULAR
Toda inequação modular onde a
variável aparece entre módulos,
denominamos de inequação modular.
|f(x)|> a
f(x)>a
ou
f(x)<-a

INEQUAÇÃO MODULAR
|f(x)|> a
f(x)>a
ou
f(x)<-a

Ex.: Obter a solução da inequação
|2x+3|>6
|2x+3|>6
3x+3>6  x>1
ou
3x+3<-6  x<-3
S=
1
-3
1
-3
S={x R| x<-3 ou x>1}

FUNÇÃO MODULAR
DEF.: Definimos função modular a função
f:R R, definida pela lei y=|x|

x, se x 0
f(x)=|x|
f(x)=
-x, se x < 0
Se x=-1 y=1
Se x=-2 y=2
x<0 x 0
Se x=0 y=0
Se x=1 y=1 x
Y=|x|

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  • 1. Funções Noção intuitiva Par ordenado Produto cartesiano Relação Funções através de conjuntos Domínio-Imagem- Contradomínio Gráfico de uma Função Raízes da Função Função crescente Função decrescente Valor Mínimo Valor máximo Função par Função ímpar Função bijetora Função sobrejetora Função injetora Função inversa Função composta Função constante Função do 1º grau Inequação do 1º grau Função quadrática Função do 2º grau crescente e decrescente Raízes ou zeros da função do 2º grau Inequação da função quadrática Função modular Inequação modular Voltar ao supervisor
  • 3. Funções Noção intuitiva de função Toda vez que procuramos estabelecer uma relação entre duas grandezas variáveis, recorremos ao estudo de funções.
  • 4. Preço a pagar = quantidade de litros x preço por litro 10 R$2,20 R$2,20 R$2,20 25 15 R$22,00 R$55,00 R$33,00 Funções Nesta relação temos duas grandezas variáveis preço a pagar(pp) e quantidade de litros(ql), podemos estabelecer entre pp e ql a seguinte relação expressa pela fórmula matemática. pp= ql x 2,20 pp ql pl
  • 5. Preço a pagar = quantidade de litros x preço por litro 10 R$2,20 R$2,20 R$2,20 25 15 R$22,00 R$55,00 R$33,00 Funções pp= ql x 2,20 pp ql pl A tabela nos informa que: • a quantidade ql de combustível é uma grandeza variável; • o preço a pagar pp é uma grandeza variável; • todos os valores de ql estão associados valores de pp; • a cada valor de ql está associado um único valor de pp;
  • 6. Preço a pagar = quantidade de litros x preço por litro Funções pp= ql x 2,20 variável dependente variável independente constante
  • 7. Quando tratamos de conjuntos, nós o fazemos sem a preocupação com a ordem de seus elementos. Assim {a,b,c}={b,c,a}. Funções Conceito de par ordenado Se um conjunto possui dois elementos m e n, onde m deva ser o primeiro elemento e n o segundo, então o conjunto desses elementos é chamado par ordenado e será representado por (m,n).
  • 8. Propriedade Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais Se e somente se, a=c e b=d (a,b)=(c,d) a=c e b=d Funções Conceito de par ordenado  Ex.: Calcular a e b no seguinte caso: (a,b)=(2,5) então pela propriedade a=2 e b=5
  • 9. Qualquer par ordenado de números reais pode ser representado no plano cartesiano por um ponto. Dizemos que: • P é ponto de coordenadas a e b; • o número a é chamado de abscissa de P; • o número b é chamado ordenada de P; • a origem do sistema é o ponto O(0,0). Funções Gráfico cartesiano do par ordenado
  • 10. Observe a representação de alguns pontos: Funções Gráfico cartesiano do par ordenado a) A(2,4) b) B(-2,3) c) C(-3,0) d) D(3,-2) Resolução 0 1 2 3 4 5 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 x y A . B. -3 C . D . abscissas o r d e n a d a s
  • 11. Dados os conjuntos A={1,2,3,} e B={4,5}, formar todos os pares ordenados, onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo pertence a B. Obtemos: (1,4) (1,5) (2,4) (2,5)(3,4)(3,5) Funções Produto cartesiano Definição de produto cartesiano Se A e B são conjuntos não-vazios,chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) em que X A e y B, isto é: A x B={(x,y) | x A e y B    
  • 12. Número de elementos de A x B Funções Produto cartesiano Se A tem m elementos e B tem n elementos. Então A x B terá m.n elementos. Obs.:O produto cartesiano, não é comutativo A x B = B x A
  • 13. Número de elementos de A x B Funções Conceitos de Relação Dados os conjuntos A={1,2} e B={2,3,4} A x B={(1,2);(1,3);)(1,4);(2,2);(2,3);(2,4)} 1º Obter o produto cartesiano de A e B 2º Do produto cartesiano selecionar os pares ordenados (x,y) que satisfaçam por exemplo a lei x+y =4, ou seja: R={(1,3);(2,2)} Obs.: R é um subconjunto de A x B
  • 14. DEFINIÇÃO Funções Conceitos de Relação Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B , isto é: R é uma relação de A em B R A X B  
  • 15. Estudo de funções através de conjuntos Vamos tomar como ponto de partida dois conjuntos A e B sendo, A={2,6,8} B={0,4,6,8,9,10,21} e a relação x= y+2, x A e y B  
  • 16. Estudo de funções através de conjuntos A={2,6,8} B={0,4,6,8,9,21} a relação x= y+2, x A e y B   A B 2 6 8 0 4 6 8 9 10 11 X=2 y=2+2=4 X=6 y=6+2=8 X=8 y =8+2=10 X y 2 4 6 8 8 10 1ª
  • 17. Estudo de funções através de conjuntos A B 2 6 8 0 4 6 8 9 10 11 •todos os elementos de A estão associados a elementos de B •cada elemento de A está associado a um único elemento de B Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y=x+2 é uma função de A em B.
  • 18. Estudo de funções através de conjuntos A B -3 0 2 7 0 2 7 15 18 Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y=x não é uma função de A em B, pois -3 de A não tem correspondente no conjunto B. 2º Dados os conjuntos A={-3,0,2,7} B={0,2,7,15,18}, com A relação de A em B expressa pela fórmula y=x, com x A e y B.  
  • 19. Estudo de funções através de conjuntos A B -2 0 2 3 0 4 9 Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y=x 2 é uma função de A em B, pois todos os elementos de A tem correspondente em B 3º Dados os conjuntos A={-2,0,2,3} B={0,4,9}, com A relação de A em B expressa pela fórmula y=x 2, com x A e y B.  
  • 20. Estudo de funções através de conjuntos A B 16 81 -2 2 3 Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula y 4=x não é uma função de A em B, pois o elemento 16 do conjunto A estão associados dois elementos (-2 e 2) do conjunto B. 3º Dados os conjuntos A={16,81} B={-2,2,3}, com A relação de A em B expressa pela fórmula y 4=x , com x A e y B.  
  • 21. Estudo de funções através de conjuntos Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e um só elemento y do conjunto B. Representação matemática f: A B Lê-se: f é uma função de A em B Obs.: podemos usar y= x-2 ou f(x)=x-2 y=x2-5x+6 ou f(x)=x2-5x+6 y e f(x) tem o mesmo significado na linguagem matemática
  • 22. Domínio, imagem e contradomínio Dados os conjuntos A={0,2,3} e B={0,2,3,4,5} e a função f:A B definida por y=x +2. 0 2 3 2 4 5 0 3 Pelo diagrama define-se •O conjunto A é denominado domínio e indicado por D O domínio de uma função é também, chamado campo de definição ou campo de existência da função. A B
  • 23. Domínio, imagem e contradomínio Dados os conjuntos A={0,2,3} e B={0,2,3,4,5} e a função f:A B definida por y=x +2. 0 2 3 2 4 5 0 3 Pelo diagrama define-se • O conjunto {2,4,5}, que é um subconjunto de B, é denominado conjunto imagem da função: Im={2,4,5} A B Neste caso: 2 é imagem de 0; f(0)=2 4 é imagem de 2; f(2) =4 5 é imagem de 3; f(3)=5
  • 24. Domínio, imagem e contradomínio Dados os conjuntos A={0,2,3} e B={0,2,3,4,5} e a função f:A B definida por y=x +2. 0 2 3 2 4 5 0 3 Pelo diagrama define-se • O conjunto B, tal que Im B , é denominado contradomínio da função. A B  CD={0,2,3,4,5}
  • 25. Gráfico de uma função Dada uma relação f (função ou não) , se representarmos no plano cartesiano todos os pares ordenados (x,y), com x D(f) e y=f(x) obteremos um conjunto de pontos que é o gráfico de f. 2 
  • 26. Gráfico de uma função Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico da função f(x)= 2x-1 para o domínio D(f)= {-1,0,1,2,3} Resolução Para x=-1 y=2(-1) –1=-2-1=-3 x=0 y=2.0 –1 =-1 x=1 y=2.1-1 =1 x=2 y=2.2-1 =3 x=3 y=2.3-1 =5 (x,y)=(-1,-3)(0,-1)(1,1)(2,3)(3,5) y x 1 2 3 - 1 4 -3 A 1 B 2 3 5 C D . . . .
  • 27. Gráfico de uma função Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico da função f(x)= 2x-1 para o domínio D(f)= {-1,0,1,2,3} y x 1 2 3 - 1 4 -3 A 1 B 2 3 5 C D . . . . Os pontos A, B, C e D estão sobre a reta. Qualquer ponto determinado pela função Y=2x-1 estará sobre a reta.
  • 28. Gráfico de uma função Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico da função f(x)= 2x-1 para o domínio D(f)= {-1,0,1,2,3} y x 1 2 3 - 1 4 -3 A 1 B 2 3 5 C D . . O domínio da função está definido no intervalo D(f) = {x R | -1 x 3   Neste caso deve-se considerar também o conjunto de todos os pontos (x,y) com x entre –1 e 3 e y=2x-1 Nesse caso, o gráfico é o segmento AD.
  • 29. Gráfico de uma função Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico da função f(x)= 2x-1 para o domínio D(f)= {-1,0,1,2,3} y x 1 2 3 - 1 4 -3 A 1 B 2 3 5 C D . . Os pontos A e D mostram o Intervalo de definição seu início e fim. Se o domínio é o conjunto R, então o gráfico prossegue Indefinidamente.
  • 30. Gráfico de uma função Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico da função f(x)= x2 -1 para o domínio D(f)= {-2 x 2} y x A D . Pontos(x,y): x=-2 y=3 x=-1 y=0 x=0 y=-1 x=1 y=0 x=2 y=3   -1 -2 3 2 1 . . . B C E -1 O gráfico da função y=x 2 –1 é uma Curva nesse caso é uma parábola. .
  • 31. Analisar o gráfico para reconhecer se representa função ou relação Verificar se o conjunto de pontos das figuras constituem gráficos de uma função com domínio D={1,2,3,4} x y 1 2 3 4 1 2 3 O gráfico representa uma função, pois cada x pertencente a D tem uma única imagem. Imagem
  • 32. Analisar o gráfico para reconhecer se representa função ou relação Verificar se o conjunto de pontos das figuras constituem gráficos de uma função com domínio D={1,2,3,4} x y 1 2 3 4 1 2 3 O gráfico não representa uma função, pois o elemento x=4 possui duas imagens: y=1 e y=3. Imagem y=3 y=1
  • 33. Analisar o gráfico para reconhecer se representa função ou relação Para reconhecer se um gráfico representa uma função , verifique se qualquer reta paralela ao eixo Oy intercepta somente um ponto do domínio: x y Nesse exemplo a reta encontra a curva em um só ponto. O gráfico acima representa função. Imagem domínio
  • 34. Analisar o gráfico para reconhecer se representa função ou relação Para reconhecer se um gráfico representa uma função , verifique se qualquer reta paralela ao eixo Oy intercepta somente um ponto do domínio: x y Nesse exemplo a reta encontra a curva em mais de um ponto. O gráfico acima não representa função. Imagem domínio Reta paralela a Oy
  • 35. Raízes da função Se f(x)=0, então x chama-se zeros ou raízes da função. x y Imagem domínio 1 2 3 4 A B f(1)=0 f(4)=0 Os números 1 e 4 são os zeros ou raízes da função A(1,0) e b(4,0)
  • 36. Funções crescentes Considerando o intervalo A do gráfico, observamos que quando x aumenta de valor o mesmo ocorre com y. Nesse caso a função é crescente x y Imagem domínio A
  • 37. Funções decrescentes Considerando o intervalo A do gráfico, observamos que quando x aumenta de valor y diminui de valor. Nesse caso a função é decrescente. x y Imagem domínio A
  • 38. Funções crescente e decrescentes Conclusão final: Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um conjunto A D(f), com x1 < x2 , diz-se que a função é crescente em A se f(x1) < f(x2) e decrescente se f(x1) > f(x2) x y Imagem domínio  Função crescente Função decrescente
  • 39. Funções: Valor Mínimo Sendo uma função f: R R e seu gráfico: x y Imagem domínio f(x)  f(4) Para todo x do seu domínio, tem-se f(4) =-1 nesse caso ela não assume nenhum valor menor que –1, então 4 é minimante da função e o valor f(4)=-1 é o seu valor mínimo. -1 4 Ponto de mínimo V=(4,-1) v
  • 40. Funções: Valor Máximo Sendo uma função f: R R e seu gráfico: x y Imagem domínio f(x) f(1) Para todo x do seu domínio, tem-se Assim, dizemos que 1 é um maximante da função e que f(1)=4 é o seu valor máximo. 1 4 Ponto de máximo V=(1,4) v 
  • 41. Funções: Valor Mínimo Generalização x y Imagem domínio f(x) f(x0) f(x) x0 v  X0 minimante de f y0 =f(x0) é o valor mínimo da função. Ponto do gráfico de mínimo V(x0,y0)
  • 42. Funções: Valor Máximo Generalização x y Imagem domínio f(x) f(x0) f(x) x0 v X0 maximante de f y0 =f(x0) é o valor máximo da função. Ponto do gráfico de máximo V(x0,y0) 
  • 43. Funções: Valor Mínimo e Máximo Generalização x y Imagem domínio v Fica claro no gráfico que a função não possui maximante e nem minimante.
  • 44. Funções: Função par x y Imagem domínio Função par é a função na qual f(-x) =f(x), x D(f)   Seja a função f(x)=x2 -3 f(-1)=f(1)=-2 f(-2)=f(2)=1 f(-3)=f(3)=6 -4 -1 -2 1
  • 45. Funções: Função ímpar x y Imagem domínio Função ímpar é a função na qual f(-x) =-f(x), x D(f)   Seja a função f(x)=x3 f(-2)=-8 e f(2)=8 f(-2)=-f(2) f(-1)=-1 e f(1)=1 f(-1)=-f(1) -2 -8 1 1 -1 2
  • 46. Funções: Função bijetora Uma função f: A B é bijetora quando cada elemento do contradomínio B é imagem de um único elemento de A . a b c f g h A B f
  • 47. Funções: Função sobrejetora Uma função f: A B é sobrejetora quando a Imagem de uma função for igual ao seu contradomínio. 2 4 6 8 3 5 7 A B f
  • 48. Funções: Função injetora Uma função f: A B é injetora quando para quaisquer x1 e x2 do domínio tais que x1 x2 tivermos f(x1) f(x2 ) A B f  
  • 49. Função inversa Sendo dada a função bijetora: f:A B, chama-se função inversa de f, indicada por f- 1, a função f-1:B A que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y =f(x). Tomemos como exemplo a função y=2x+1 para melhor entender esse conceito. 1º passo Determinar a lei que define f-1(x), No caso em que f(x)=2x +1 Sendo y=2x +1 f(x) calcular x=f-1(y) Isolar x em y=2x+1 2x=y-1 x= 2 y-1 II I
  • 50. Função inversa 2ºpasso: Comparando I e II y - 1 2 função inversa de f(x) f-1(y) = Ou deixando a variável x livre temos f-1(x) = x - 1 2
  • 51. Função inversa f-1(x) = x - 1 2 Gráfico f(x)=2x-1 x=0 y=-1 (0,-1) x=2 y=3 (2,3) f-1(x) = x - 1 2 x=1 y=1 (1,1) x=3 y=2 (3,2) f-1(x) = 2 x - 1
  • 52. Função composta Dadas as funções: f: A B e g: B C, Chama-se função composta de f e g a função(g f): A C, tal que (g f)(x)=g(f(x)). Ex.: Através dos conjuntos A={1,2,3} , B={2,3,4,5} e C={4,9,16,25} e as funções f:A B definida por y=x+1 e g:B C, definida por z=y2 1 2 3 2 3 4 5 4 9 16 25 A B C f g h
  • 53. Função composta Ex.: o gráfico mostra que existe uma função h:A C h(1)=4=g(2)=g(f(1)); h(2)=9=g(3)=g(f(2)); 1 2 3 2 3 4 5 4 9 16 25 A B C f g h Regra Primeiro aplica-se ao elemento x a função f obtendo-se f(x), a seguir aplica-se g em f(x), obtendo-se g(f(x)), ou seja h(x)=g(f(x)). A função h:A C chama-se função composta de g com f e a indicamos por g f (lê-se: g composta com f)
  • 54. Função composta Dadas as funções: f: A B e g: B C, Chama-se função composta de f e g a função(g f): A C, tal que (g f)(x)=g(f(x)). Ex.: com as funções f(x)=3x-1 e g(x)=x2 +2 Calcule: a)(g f)(x) b)(f g)(x) Resolução a)(g f)(x)=g(f(x))=g(3x-1)=(3x-1)2+2=9x2-6x+1=9x2-6x+3 b)(f g)(x)=f(g(x))=f(x2+2)=3(x2+2)-1= 3x2+6-1=3x2+5
  • 55. Função Função constante Sendo k um número real , chama-se função Constante a função f:R R, definida por y=f(x)=k Gráfico da função constante y x k f(x)=k 0
  • 56. Função Função de 1º grau Chama-se função de 1º a função f:R R, definida pela lei y=ax+b, com a e b reais e a 0.  f(x) = ax +b (a R* e b R)   Coeficiente angular Excluído o zero Coeficiente linear
  • 57. Função Função de 1º grau f(x) = ax +b Excluído o zero Se b=0, a função de 1º grau fica reduzida à forma f(x)=ax (a R* )  Função linear f(x)=ax Função linear
  • 58. Função Função de 1º grau f(x) = ax +b Ex.: y=3x-2 onde a=3 e b=-2 Y=5-x onde a=-1 e b=5 Y= x-3 onde a= e b=-3 5 5
  • 59. Função Função de 1º grau f(x) = ax +b Se a=1 e b=0 a função se reduz a f(x)=x Função identidade f(x)=x função indentidade
  • 60. Função Gráfico da função de 1º grau f(x) = ax +b O gráfico de uma função do 1º grau com a 0 é sempre uma reta do plano cartesiano é denominada equação da reta Construir o gráfico da função y=x-3 x y x=2 y=-1 x=4 y=1 4 1 
  • 61. Função Gráfico da função de 1º grau f(x) = ax +b x y 4 1 Interceptos Os pontos que a reta Intercepta os eixos Ox e Oy são deno- minados interceptos. No exemplo: Ox (3,0) Oy (0,-3) 2 -3 o -1 Genéricamente Ox (-b/a,0) Oy (0,b)
  • 62. Função Gráfico da função de 1º grau f(x) = x x y 2 2 Bissetriz dos quadrantes ímpares
  • 63. Função Inequação de 1º grau f(x)>0 f(x)<0 f(x) 0 f(x) 0   Resolução 1º passo: Colocar a inequação na forma geral; 4x-3-1>0 forma geral 4x-4>0 Resolver a inequação 4x-3>1 2º passo: encontrar a raiz; f(x)=0 4x-4=0 4x=4 x=1 3º passo: Representação gráfica dos sinais de f(x) 1 + - 4º passo: solução S={x R | x >1}  Forma geral
  • 64. Função Inequação de 1º grau: produto f(x) .g(x) >0 f(x).g(x) <0 f(x) .g(x) 0 f(x) .g(x) 0   Resolução Resolver a inequação (2x+6) . (-x+2) <0; Forma geral f g Raiz de f: 2x+6=0 x=-3 Raiz de g: -x+2=0 x=2 Sinais f g + + + + + - - - - -3 2 f.g Solução f.g<0 S={x R | x<-3 ou x>2 
  • 65. Função Função quadrática ou função de 2º grau Uma função f:R R, definida pela lei y=ax2+bx+c, com a 0 e a, b, e c do conjunto dos números reais, a definimos como função quadrática.  F(x)=ax2+bx+c Alguns exemplos de função quadrática: y=2x2 –x+2 a=2, b=-1 e c=2 y=5x2+2x-3 a=5, b=2 e c=-3 y=x2-4 a=1, b=0 e c=-4 Y=5x2 a=5, b=0 e c=0
  • 66. Função Função quadrática ou função de 2º grau Função quadrática completa y=ax2+bx+c sendo a 0  y=ax2+bx+c
  • 67. Função Função quadrática ou função de 2º grau Função quadrática incompleta sendo a 0  y=ax2+c Se b=0 e c 0 
  • 68. Função Função quadrática ou função de 2º grau Função quadrática incompleta sendo a 0  y=ax2 Se b=0 e c=0
  • 69. Função Função quadrática ou função de 2º grau Função quadrática incompleta sendo a 0  y=ax2 +c Se b 0 e c=0 
  • 70. Função Gráfico da função quadrática A figura geométrica parábola representa no plano cartesiano a função quadrática  y=ax2+bx+c a 0 Concavidade Voltada para cima Eixo de simetria vértice vértice Concavidade Voltada para baixo
  • 71. Função Característica da função quadrática A figura geométrica parábola representa no plano cartesiano a função quadrática  y=ax2+bx+c a 0 Concavidade Voltada para cima Ponto de mínimo Ponto de máximo Concavidade Voltada para baixo a>0 a<0
  • 72. Função Característica da função quadrática  y=ax2+bx+c a 0 Concavidade voltada para cima Ponto de mínimo Ponto de máximo Concavidade voltada para baixo a>0 a<0 Pontos de máximo e mínimo
  • 73. Função Característica da função quadrática  y=ax2+bx+c a 0 a>0 a<0 Conjunto imagem y v yv yv v y Im={y R|y -    4a Im = {y R|y -   4a 
  • 74. Função  y=ax2+bx+c a 0 a>0 a<0 Crescente e decrescente y v v y  f(x) decrescente x f(x) crescente x xv x xv xv  f(x) crescente x xv f(x) decrescente x xv   X xv
  • 75. Função Raízes ou zeros da função quadrática  y=ax2+bx+c a 0 <0  =B2 –4ac Duas raízes distintas   =0 Duas raízes iguais  Não existem raízes reais x1=   b 2a x2=   b 2a x1=x2= - b 2a As raízes da equação quadrática ficam determinadas pela solução da equação ax2+bx+c=0 >0
  • 76. Função Estudo dos sinais da função quadrática  y=ax2+bx+c a 0 <0   =0  >0 x sinal de a sinal de a sinal de -a x1 x2 x1= x2 sinal de a sinal de a x x sinal de a
  • 77. Função Inequações de 2º grau Chama-se inequação de 2º grau toda desigualdade: f(x) >0 f(x)<0 f(x) 0 f(x) 0   Forma geral Veja o exemplo resolvido: encontrar a solução da inequação x2-6x-16 0   =36+64  =100 x= 6 10  2 x1=8 x2=-2 x -2 8 S={x R |-2 x 8   + + - 
  • 78. FUNÇÃO MODULAR Módulo ou valor absoluto É a distância do ponto ao qual esse número está associado, até a origem do eixo P O Q PO = OQ
  • 79. FUNÇÃO MODULAR Módulo ou valor absoluto Denomina-se módulo de um número real x o próprio x se positivo ou nulo. -x se o número é negativo. x = x, se x 0  ou X =-x, se x<0
  • 80. FUNÇÃO MODULAR Módulo ou valor absoluto 0 1 2 3 -3 -2 -1 |-3|=|3| |-x|=|x, x R|   3 unidades 3 unidades Na reta dos números reais, o módulo de um número corresponde à distância desse número ao zero.
  • 81. EQUAÇÃO MODULAR Toda equação onde a variável aparece entre módulos, deno- minamos de equação modular. |x|= x, se x 0 -x, se x 0   |x+6|=2 x+6=2 x=-6+2 x=-4 ou –x-6=2 -x=2+6 x=-8 S={-8,-4}
  • 82. INEQUAÇÃO MODULAR Toda inequação modular onde a variável aparece entre módulos, denominamos de inequação modular. |f(x)|> a f(x)>a ou f(x)<-a 
  • 83. INEQUAÇÃO MODULAR |f(x)|> a f(x)>a ou f(x)<-a  Ex.: Obter a solução da inequação |2x+3|>6 |2x+3|>6 3x+3>6  x>1 ou 3x+3<-6  x<-3 S= 1 -3 1 -3 S={x R| x<-3 ou x>1} 
  • 84. FUNÇÃO MODULAR DEF.: Definimos função modular a função f:R R, definida pela lei y=|x|  x, se x 0 f(x)=|x| f(x)= -x, se x < 0 Se x=-1 y=1 Se x=-2 y=2 x<0 x 0 Se x=0 y=0 Se x=1 y=1 x Y=|x|  -2 -1 0 1 2 1 y decrescente crescente