Funcoes

Funções
Noção intuitiva Par ordenado Produto cartesiano Relação Funções através de conjuntos
Domínio-Imagem- Contradomínio Gráfico de uma Função Raízes da Função Função crescente
Função decrescente Valor Mínimo Valor máximo Função par Função ímpar
Função bijetora Função sobrejetora Função injetora Função inversa Função composta
Função constante Função do 1º grau Inequação do 1º grau Função quadrática
Função do 2º grau crescente e decrescente Raízes ou zeros da função do 2º grau
Inequação da função quadrática Função modular Inequação modular Voltar ao supervisor

Funções
Noção intuitiva de função
Toda vez que procuramos estabelecer
uma relação entre duas grandezas variáveis,
recorremos ao estudo de funções.

Preço a pagar = quantidade de litros x preço por litro
10
R$2,20
R$2,20
R$2,20
25
15
R$22,00
R$55,00
R$33,00
Funções
Nesta relação temos duas grandezas variáveis
preço a pagar(pp) e quantidade de litros(ql),
podemos estabelecer entre pp e ql a seguinte
relação expressa pela fórmula matemática.
pp= ql x 2,20
pp ql pl

10
R$2,20
R$2,20
R$2,20
25
15
R$22,00
R$55,00
R$33,00
Funções
pp= ql x 2,20
pp ql pl
A tabela nos informa que:
• a quantidade ql de combustível é uma grandeza variável;
• o preço a pagar pp é uma grandeza variável;
• todos os valores de ql estão associados valores de pp;
• a cada valor de ql está associado um único valor de pp;

Funções
pp= ql x 2,20
variável dependente
variável independente
constante

Quando tratamos de conjuntos, nós o fazemos
sem a preocupação com a ordem de seus
elementos. Assim {a,b,c}={b,c,a}.
Funções
Conceito de par ordenado
Se um conjunto possui dois elementos m e n,
onde m deva ser o primeiro elemento e n o
segundo, então o conjunto desses elementos
é chamado par ordenado e será representado
por (m,n).

Propriedade
Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais
Se e somente se, a=c e b=d
(a,b)=(c,d) a=c e b=d
Funções
Conceito de par ordenado

Ex.: Calcular a e b no seguinte caso:
(a,b)=(2,5) então pela propriedade
a=2 e b=5

Qualquer par ordenado de números reais
pode ser representado no plano cartesiano
por um ponto.
Dizemos que:
• P é ponto de coordenadas a e b;
• o número a é chamado de abscissa de P;
• o número b é chamado ordenada de P;
• a origem do sistema é o ponto O(0,0).
Funções
Gráfico cartesiano do par ordenado

Observe a representação de alguns pontos:
Funções
Gráfico cartesiano do par ordenado
a) A(2,4) b) B(-2,3) c) C(-3,0) d) D(3,-2)
Resolução
0 1 2 3 4 5
-2 -1
4
3
2
1
-1
-2
-3
x
y
A
.
B.
-3
C
.
D
. abscissas
o
r
d
e
n
a
d
a
s

Dados os conjuntos A={1,2,3,} e B={4,5},
formar todos os pares ordenados, onde
o primeiro elemento pertence a A e o
segundo pertence a B.
Obtemos:
(1,4) (1,5) (2,4) (2,5)(3,4)(3,5)
Funções
Produto cartesiano
Definição de produto cartesiano
Se A e B são conjuntos não-vazios,chama-se
produto cartesiano de A por B o conjunto de
todos os pares ordenados (x,y) em que
X A e y B, isto é:
A x B={(x,y) | x A e y B
 
 

Número de elementos de A x B
Funções
Produto cartesiano
Se A tem m elementos e B tem n elementos.
Então A x B terá m.n elementos.
Obs.:O produto cartesiano, não é comutativo
A x B = B x A

Número de elementos de A x B
Funções
Conceitos de Relação
Dados os conjuntos A={1,2} e B={2,3,4}
A x B={(1,2);(1,3);)(1,4);(2,2);(2,3);(2,4)}
1º Obter o produto cartesiano de A e B
2º Do produto cartesiano selecionar os
pares ordenados (x,y) que satisfaçam
por exemplo a lei x+y =4, ou seja:
R={(1,3);(2,2)}
Obs.: R é um subconjunto de A x B

DEFINIÇÃO
Funções
Conceitos de Relação
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação
de A em B qualquer subconjunto de A x B , isto é:
R é uma relação de A em B R A X B



Estudo de funções através de conjuntos
Vamos tomar como ponto de
partida dois conjuntos A e B sendo,
A={2,6,8} B={0,4,6,8,9,10,21}
e a relação x= y+2, x A e y B
 

A={2,6,8} B={0,4,6,8,9,21}
a relação x= y+2, x A e y B
 
A
B
2
6
8
0
4
6
8
9
10
11
X=2 y=2+2=4
X=6 y=6+2=8
X=8 y =8+2=10
X y
2 4
6 8
8 10
1ª

A
B
2
6
8
0
4
6
8
9
10
11
•todos os elementos de A estão associados a elementos de B
•cada elemento de A está associado a um único elemento
de B
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula
y=x+2 é uma função de A em B.

A
B
-3
0
2
7
0
2
7
15
18
y=x não é uma função de A em B, pois -3 de A não tem
correspondente no conjunto B.
2º Dados os conjuntos A={-3,0,2,7} B={0,2,7,15,18}, com
A relação de A em B expressa pela fórmula y=x, com
x A e y B.
 

A B
-2
0
2
3
0
4
9
y=x 2 é uma função de A em B, pois todos os elementos
de A tem correspondente em B
3º Dados os conjuntos A={-2,0,2,3} B={0,4,9}, com
A relação de A em B expressa pela fórmula y=x 2, com
x A e y B.
 

A
B
16
81
-2
2
3
y 4=x não é uma função de A em B, pois o elemento 16
do conjunto A estão associados dois elementos (-2 e 2)
do conjunto B.
3º Dados os conjuntos A={16,81} B={-2,2,3}, com
A relação de A em B expressa pela fórmula y 4=x , com
x A e y B.
 

Definição:
Dados dois conjuntos A e B, não vazios e uma relação
f de A em B, essa relação f é uma função quando a
cada elemento x do conjunto A está associado um e
um só elemento y do conjunto B.
Representação matemática
f: A B
Lê-se: f é uma função de A em B
Obs.: podemos usar y= x-2 ou f(x)=x-2
y=x2-5x+6 ou f(x)=x2-5x+6
y e f(x) tem o mesmo significado na linguagem matemática

Domínio, imagem e contradomínio
Dados os conjuntos A={0,2,3} e B={0,2,3,4,5} e a
função f:A B definida por y=x +2.
0
2
3
2
4
5
0
3
Pelo diagrama define-se
•O conjunto A é denominado domínio e indicado por D
O domínio de uma função é também, chamado campo de
definição ou campo de existência da função.
A
B

0
2
3
2
4
5
0
3
• O conjunto {2,4,5}, que é um subconjunto de B, é
denominado conjunto imagem da função: Im={2,4,5}
A
B
Neste caso: 2 é imagem de 0; f(0)=2
4 é imagem de 2; f(2) =4
5 é imagem de 3; f(3)=5

0
2
3
2
4
5
0
3
• O conjunto B, tal que Im B , é denominado
contradomínio da função.
A
B

CD={0,2,3,4,5}

Gráfico de uma função
Dada uma relação f (função ou não) , se
representarmos no plano cartesiano todos os
pares ordenados (x,y), com x D(f) e y=f(x)
obteremos um conjunto de pontos que é o
gráfico de f.
2


Ex.: Representar no plano cartesiano o gráfico
da função f(x)= 2x-1 para o domínio
D(f)= {-1,0,1,2,3}
Resolução
Para x=-1 y=2(-1) –1=-2-1=-3
x=0 y=2.0 –1 =-1
x=1 y=2.1-1 =1
x=2 y=2.2-1 =3
x=3 y=2.3-1 =5
(x,y)=(-1,-3)(0,-1)(1,1)(2,3)(3,5)
y
x
1
2
3
-
1
4
-3
A
1
B
2 3
5
C
D
.
.
.
.

D(f)= {-1,0,1,2,3} y
x
1
2
3
-
1
4
-3
A
1
B
2 3
5
C
D
.
.
.
.
Os pontos A, B, C e D estão
sobre a reta. Qualquer ponto
determinado pela função
Y=2x-1 estará sobre a reta.

D(f)= {-1,0,1,2,3} y
x
1
2
3
-
1
4
-3
A
1
B
2 3
5
C
D
.
.
O domínio da função está
definido no intervalo
D(f) = {x R | -1 x 3
 
Neste caso deve-se considerar
também o conjunto de todos
os pontos (x,y) com x entre –1 e 3
e y=2x-1
Nesse caso, o gráfico é o segmento AD.

D(f)= {-1,0,1,2,3} y
x
1
2
3
-
1
4
-3
A
1
B
2 3
5
C
D
.
.
Os pontos A e D mostram o
Intervalo de definição seu
início e fim.
Se o domínio é o conjunto R,
então o gráfico prossegue
Indefinidamente.

da função f(x)= x2 -1 para o domínio
D(f)= {-2 x 2} y
x
A
D
.
Pontos(x,y):
x=-2 y=3
x=-1 y=0
x=0 y=-1
x=1 y=0
x=2 y=3


-1
-2
3
2
1
.
.
.
B
C
E
-1
O gráfico da função y=x 2 –1 é uma
Curva nesse caso é uma parábola.
.

Analisar o gráfico para reconhecer se
representa função ou relação
Verificar se o conjunto de pontos das figuras
constituem gráficos de uma função com
domínio D={1,2,3,4}
x
y
1 2 3 4
1
2
3
O gráfico representa uma função, pois cada x
pertencente a D tem uma única imagem.
Imagem

Verificar se o conjunto de pontos das figuras
constituem gráficos de uma função com
domínio D={1,2,3,4}
x
y
1 2 3 4
1
2
3
O gráfico não representa uma função, pois
o elemento x=4 possui duas imagens: y=1
e y=3.
Imagem
y=3
y=1

Para reconhecer se um gráfico representa
uma função , verifique se qualquer reta
paralela ao eixo Oy intercepta somente
um ponto do domínio:
x
y
Nesse exemplo a reta encontra a curva em um só
ponto. O gráfico acima representa função.
Imagem
domínio

Para reconhecer se um gráfico representa
uma função , verifique se qualquer reta
paralela ao eixo Oy intercepta somente
um ponto do domínio:
x
y
Nesse exemplo a reta encontra a curva em mais
de um ponto. O gráfico acima não representa
função.
Imagem
domínio
Reta paralela a Oy

Raízes da função
Se f(x)=0, então x chama-se zeros ou raízes da
função.
x
y
Imagem
domínio
1 2 3 4
A B
f(1)=0
f(4)=0
Os números 1 e 4 são os zeros ou raízes da função
A(1,0) e b(4,0)

Funções crescentes
Considerando o intervalo A do gráfico,
observamos que quando x aumenta de
valor o mesmo ocorre com y. Nesse caso
a função é crescente
x
y
Imagem
domínio
A

Funções decrescentes
Considerando o intervalo A do gráfico,
observamos que quando x aumenta de
valor y diminui de valor. Nesse caso
a função é decrescente.
x
y
Imagem
domínio
A

Funções crescente e decrescentes
Conclusão final:
Sendo x1 e x2 elementos quaisquer de um
conjunto A D(f), com x1 < x2 , diz-se
que a função é crescente em A se f(x1) < f(x2) e
decrescente se f(x1) > f(x2)
x
y
Imagem
domínio

Função
crescente
Função
decrescente

Funções: Valor Mínimo
Sendo uma função f: R R e seu gráfico:
x
y
Imagem
domínio
f(x)  f(4)
Para todo x do seu domínio, tem-se
f(4) =-1 nesse caso ela não assume nenhum valor menor
que –1, então 4 é minimante da função e o valor f(4)=-1
é o seu valor mínimo.
-1
4
Ponto de mínimo V=(4,-1)
v

Funções: Valor Máximo
Sendo uma função f: R R e seu gráfico:
x
y
Imagem
domínio
f(x) f(1)
Para todo x do seu domínio, tem-se
Assim, dizemos que 1 é um maximante da função e
que f(1)=4 é o seu valor máximo.
1
4
Ponto de máximo V=(1,4)
v


Funções: Valor Mínimo
Generalização
x
y
Imagem
domínio
f(x) f(x0)
f(x)
x0
v

X0 minimante de f
y0 =f(x0) é o valor mínimo da função. Ponto do gráfico
de mínimo V(x0,y0)

Funções: Valor Máximo
Generalização
x
y
Imagem
domínio
f(x) f(x0)
f(x)
x0
v
X0 maximante de f
y0 =f(x0) é o valor máximo da função. Ponto do gráfico
de máximo V(x0,y0)


Funções: Valor Mínimo e Máximo
Generalização
x
y
Imagem
domínio
v
Fica claro no gráfico que a função não
possui maximante e nem minimante.

Funções:
Função par
x
y
Imagem
domínio
Função par é a função na qual f(-x) =f(x), x D(f)
 
Seja a função f(x)=x2 -3
f(-1)=f(1)=-2
f(-2)=f(2)=1
f(-3)=f(3)=6
-4
-1
-2
1

Funções:
Função ímpar
x
y
Imagem
domínio
Função ímpar é a função na qual f(-x) =-f(x), x D(f)
 
Seja a função f(x)=x3
f(-2)=-8 e f(2)=8 f(-2)=-f(2)
f(-1)=-1 e f(1)=1 f(-1)=-f(1)
-2
-8
1
1
-1 2

Funções:
Função bijetora
Uma função f: A B é bijetora quando cada
elemento do contradomínio B é imagem de um
único elemento de A .
a
b
c
f
g
h
A
B
f

Funções:
Função sobrejetora
Uma função f: A B é sobrejetora quando a
Imagem de uma função for igual ao seu
contradomínio.
2
4
6
8
3
5
7
A
B
f

Funções:
Função injetora
Uma função f: A B é injetora quando
para quaisquer x1 e x2 do domínio tais que
x1 x2 tivermos f(x1) f(x2 )
A
B
f
 

Função inversa
Sendo dada a função bijetora: f:A B,
chama-se função inversa de f, indicada
por f- 1, a função f-1:B A que associa
cada y de B ao elemento x de A, tal que
y =f(x).
Tomemos como exemplo a função y=2x+1
para melhor entender esse conceito.
1º passo
Determinar a lei que define f-1(x),
No caso em que f(x)=2x +1
Sendo y=2x +1
f(x) calcular x=f-1(y)
Isolar x em y=2x+1 2x=y-1 x=
2
y-1
II
I

Função inversa
2ºpasso:
Comparando I e II
y - 1
2
função inversa de f(x)
f-1(y) =
Ou deixando a variável x livre temos
f-1(x) =
x - 1
2

Função inversa
f-1(x) =
x - 1
2
Gráfico
f(x)=2x-1
x=0 y=-1 (0,-1)
x=2 y=3 (2,3)
f-1(x) = x - 1
2
x=1 y=1 (1,1)
x=3 y=2 (3,2)
f-1(x) =
2
x - 1

Função composta
Dadas as funções: f: A B e g: B C,
Chama-se função composta de f e g a
função(g f): A C, tal que (g f)(x)=g(f(x)).
Ex.: Através dos conjuntos
A={1,2,3} , B={2,3,4,5} e C={4,9,16,25}
e as funções f:A B definida por y=x+1
e g:B C, definida por z=y2
1
2
3
2
3
4
5
4
9
16
25
A
B C
f g
h

Função composta
Ex.: o gráfico mostra que existe uma função h:A C
h(1)=4=g(2)=g(f(1));
h(2)=9=g(3)=g(f(2));
1
2
3
2
3
4
5
4
9
16
25
A
B C
f g
h
Regra
Primeiro aplica-se ao elemento x a função f obtendo-se
f(x), a seguir aplica-se g em f(x), obtendo-se g(f(x)), ou seja
h(x)=g(f(x)).
A função h:A C chama-se função composta de
g com f e a indicamos por g f (lê-se: g composta com f)

Função composta
Dadas as funções: f: A B e g: B C,
Chama-se função composta de f e g a
função(g f): A C, tal que (g f)(x)=g(f(x)).
Ex.: com as funções f(x)=3x-1 e g(x)=x2 +2
Calcule:
a)(g f)(x) b)(f g)(x)
Resolução
a)(g f)(x)=g(f(x))=g(3x-1)=(3x-1)2+2=9x2-6x+1=9x2-6x+3
b)(f g)(x)=f(g(x))=f(x2+2)=3(x2+2)-1= 3x2+6-1=3x2+5

Função
Função constante
Sendo k um número real , chama-se função
Constante a função f:R R, definida por
y=f(x)=k
Gráfico da função constante
y
x
k
f(x)=k
0

Função
Função de 1º grau
Chama-se função de 1º a função f:R R,
definida pela lei y=ax+b, com a e b reais
e a 0.

f(x) = ax +b (a R* e b R)
 
Coeficiente angular
Excluído o zero
Coeficiente linear

Função
f(x) = ax +b
Excluído o zero
Se b=0, a função de 1º grau fica
reduzida à forma f(x)=ax
(a R* )

Função linear
f(x)=ax
Função linear

Função
f(x) = ax +b
Ex.:
y=3x-2 onde a=3 e b=-2
Y=5-x onde a=-1 e b=5
Y= x-3 onde a= e b=-3
5 5

Função
f(x) = ax +b
Se a=1 e b=0 a função se reduz a
f(x)=x
Função identidade
f(x)=x função indentidade

Função
Gráfico da função de 1º grau
f(x) = ax +b
O gráfico de uma função do 1º grau com a 0
é sempre uma reta do plano cartesiano é
denominada equação da reta
Construir o gráfico da função y=x-3
x
y x=2 y=-1
x=4 y=1
4
1


Função
f(x) = ax +b
x
y
4
1
Interceptos
Os pontos que a reta
Intercepta os eixos
Ox e Oy são deno-
minados interceptos.
No exemplo:
Ox (3,0)
Oy (0,-3)
2
-3
o
-1
Genéricamente
Ox (-b/a,0)
Oy (0,b)

Função
f(x) = x
x
y
2
2
Bissetriz dos quadrantes ímpares

Função
Inequação de 1º grau
f(x)>0 f(x)<0
f(x) 0 f(x) 0


Resolução
1º passo:
Colocar a inequação na forma geral;
4x-3-1>0 forma geral 4x-4>0
Resolver a inequação 4x-3>1
2º passo:
encontrar a raiz; f(x)=0 4x-4=0
4x=4 x=1
3º passo:
Representação gráfica dos sinais de f(x)
1 +
-
4º passo:
solução
S={x R | x >1}

Forma geral

Função
Inequação de 1º grau: produto
f(x) .g(x) >0 f(x).g(x) <0
f(x) .g(x) 0 f(x) .g(x) 0


Resolução
Resolver a inequação (2x+6) . (-x+2) <0;
Forma geral
f g
Raiz de f: 2x+6=0 x=-3
Raiz de g: -x+2=0 x=2
Sinais f
g +
+
+ +
+ -
-
-
-
-3 2
f.g
Solução f.g<0 S={x R | x<-3 ou x>2


Função
Função quadrática ou função de 2º grau
Uma função f:R R, definida pela lei
y=ax2+bx+c, com a 0 e a, b, e c
do conjunto dos números reais, a definimos
como função quadrática.

F(x)=ax2+bx+c
Alguns exemplos de função quadrática:
y=2x2 –x+2 a=2, b=-1 e c=2
y=5x2+2x-3 a=5, b=2 e c=-3
y=x2-4 a=1, b=0 e c=-4
Y=5x2 a=5, b=0 e c=0

Função
Função quadrática completa
y=ax2+bx+c sendo a 0

y=ax2+bx+c

Função
Função quadrática incompleta sendo a 0

y=ax2+c
Se b=0 e c 0


Função

y=ax2
Se b=0 e c=0

Função

y=ax2 +c
Se b 0 e c=0


Função
Gráfico da função quadrática
A figura geométrica parábola representa no
plano cartesiano a função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
Concavidade
Voltada para cima
Eixo de simetria
vértice
vértice
Concavidade
Voltada para baixo

Função
Característica da função quadrática
A figura geométrica parábola representa no
plano cartesiano a função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
Concavidade
Voltada para cima
Ponto de mínimo
Ponto de máximo
Concavidade
Voltada para baixo
a>0 a<0

Função

y=ax2+bx+c
a 0
Concavidade
voltada para cima
Ponto de mínimo
Ponto de máximo
Concavidade
voltada para baixo
a>0
a<0
Pontos de máximo e mínimo

Função

y=ax2+bx+c a 0
a>0
a<0
Conjunto imagem
y
v
yv
yv
v
y
Im={y R|y -
  
4a
Im = {y R|y -
 
4a


Função

y=ax2+bx+c a 0
a>0
a<0
Crescente e decrescente
y
v
v
y

f(x) decrescente x
f(x) crescente x
xv x
xv
xv

f(x) crescente x xv
f(x) decrescente x xv


X
xv

Função
Raízes ou zeros da função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
<0
 =B2 –4ac
Duas raízes distintas

 =0 Duas raízes iguais
 Não existem raízes reais
x1= 

b
2a
x2= 

b
2a
x1=x2= - b
2a
As raízes da equação quadrática ficam
determinadas pela solução da equação
ax2+bx+c=0
>0

Função
Estudo dos sinais da função quadrática

y=ax2+bx+c a 0
<0

 =0

>0
x
sinal de a sinal de a
sinal de -a
x1 x2
x1= x2
sinal de a sinal de a
x
x
sinal de a

Função
Inequações de 2º grau
Chama-se inequação de 2º grau toda
desigualdade:
f(x) >0 f(x)<0
f(x) 0 f(x) 0
 
Forma geral
Veja o exemplo resolvido: encontrar a solução
da inequação x2-6x-16 0

 =36+64  =100
x= 6 10

2
x1=8
x2=-2
x
-2 8
S={x R |-2 x 8
 
+ +
-


FUNÇÃO MODULAR
Módulo ou valor absoluto
É a distância do ponto ao qual esse
número está associado, até a origem
do eixo
P O Q
PO = OQ

FUNÇÃO MODULAR
Denomina-se módulo de um número real
x o próprio x se positivo ou nulo.
-x se o número é negativo.
x = x, se x 0

ou
X =-x, se x<0

FUNÇÃO MODULAR
0 1 2 3
-3 -2 -1
|-3|=|3|
|-x|=|x, x R|
 
3 unidades
3 unidades
Na reta dos números reais, o módulo de um número
corresponde à distância desse número ao zero.

EQUAÇÃO MODULAR
Toda equação onde a variável
aparece entre módulos, deno-
minamos de equação modular.
|x|= x, se x 0
-x, se x 0


|x+6|=2 x+6=2 x=-6+2 x=-4
ou
–x-6=2 -x=2+6 x=-8
S={-8,-4}

INEQUAÇÃO MODULAR
Toda inequação modular onde a
variável aparece entre módulos,
denominamos de inequação modular.
|f(x)|> a
f(x)>a
ou
f(x)<-a


INEQUAÇÃO MODULAR
|f(x)|> a
f(x)>a
ou
f(x)<-a

Ex.: Obter a solução da inequação
|2x+3|>6
|2x+3|>6
3x+3>6  x>1
ou
3x+3<-6  x<-3
S=
1
-3
1
-3
S={x R| x<-3 ou x>1}


FUNÇÃO MODULAR
DEF.: Definimos função modular a função
f:R R, definida pela lei y=|x|

x, se x 0
f(x)=|x|
f(x)=
-x, se x < 0
Se x=-1 y=1
Se x=-2 y=2
x<0 x 0
Se x=0 y=0
Se x=1 y=1 x
Y=|x|

-2 -1 0 1
2
1
y
decrescente
crescente

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