Guia de matemática para pré-vestibular com

PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
MATEMÁTICA
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A,
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71

1
EM_V_MAT_014
Análise
Combinatória:
Permutação,
Combinação
e Binômio
de Newton
Permutações
com repetições
Exemplo 1:``
Quantas arrumações podem ser feitas com as seis letras
b, a, n, a, n, a?
Formaremos as arrumações escolhendo primeiro as três
posições em que os a’s ficarão, isto é 





206
3
= maneiras.
Agora, vamos escolher as suas posições (entre as três
remanescentes) em que os n’s ficarão, isto é 





3
3
2 =
maneiras e, finalmente, na última posição fica o b. Dessa
maneira, existem 20 . 3 . 1 = 60 arrumações.
Teorema: se existem n objetos dos quais k1
são do
tipo 1, k2
são do tipo 2, ..., e km
são do tipo m, onde k1
+
k2
+ ... + km
= n, então o número de arrumações destes
n objetos denotado por P(n; k1
, k2
, ..., km
) é












=
2
1
1
m21
k
k-n






3
2
k
k-k1-n






m
m
k
k-k1...-n...
k
n
)k,...,k,k;n(P
!!...kk!k
n!
m21
=
Demonstração: Além do argumento utilizado no
exemplo acima, escolhendo as posições para um dos
tipos dentre aquelas que restarão, podemos provar
o teorema anterior da seguinte forma:
Suponhamos que para cada tipo dos ki
objetos
do tipo i sejam dados índices 1, 2, 3, ..., m, tornado-os
distintos. Existem, nesse caso n! arrumações destes
n objetos distintos. Enumeremos n! arrumações de
objetos distintos, relacionando todas as P(n; k1
, k2
, ...,
km
) disposições (sem índices) dos objetos e, então,
para cada disposição são colocados os índices de
todos os modos possíveis. Por exemplo, da disposi-
ção baanna os índices podem ser colocados nos a’s
de 3! maneiras:
b a1
a2
n n a3
b a2
a1
n n a3
b a3
a1
n n a2
b a3
a2
n n a1
b a1
a3
n n a2
b a2
a3
n n a1

2
EM_V_MAT_014
Para cada uma dessas 3! formas de indexar os
a’s, existem 2! maneiras para indexar os n´s. Em
geral, uma disposição qualquer terá k1
! modos de
indexar os k1
objetos do tipo 1, k2
! modos para o tipo
2, ..., km
modos para o tipo n. Então
ou
!k!...k!k.)k...,,k,k;n(P!n m21m21=
!k...!k!k
!n
)k...,,k,k;n(P
m21
m21 =
Combinações
com repetição
Exemplo 2:``
de quantas formas diferentes podemos comprar seis
cachorros-quentes, escolhendo entre três variedades
distintas?
Para resolver problemas de escolhas com repetição,
precisamos fazer uma correspondência com um
problema relacionado a uma escolha sem repetição.
Suponhamos que as três variedades sejam sem mo-
lho, com molho e completo, e que a atendente tenha
anotado o seguinte pedido
sem molho com molho completo
x xxxx x
Se cada x representa um cachorro-quente, então
o pedido acima significa um sem molho, quatro com
molho e um completo. Uma vez que todos os aten-
dentes saibam que esta é a sequência dos pedidos
de cachorros-quentes (sem molho, com molho, com-
pleto), podemos omitir os nomes das variedades es-
crevendo apenas x | xxxx | x. Assim, qualquer pedido
de k cachorros-quentes consiste numa sequência de
k x’s e dois |’s. Reciprocamente, toda sequência de
k x’s e dois |’s representa um pedido: os x’s antes
do primeiro | representa o número de cachorros sem
molho: os x’s entre os dois |’s representa o número
de cachorros com molho e os x’s finais representam o
número de cachorros completos. Deste modo, existe
uma correspondência um a um entre pedidos e tais
sequências, mas o número de encadeamento de seis
x’s e dois |’s é simplesmente o número de escolhas
de duas posições na ordem para os |’s. Por isso, a
resposta é 





.28
8
2
=
Teorema: o número de escolhas com repetição
de k objetos dentre n tipos de objetos é 




 −+
k
1nk
Demonstração: Como fizemos anteriormente, os
x’s antes do primeiro | conta o número de objetos do
primeiro tipo, os x’s entre o primeiro e o segundo |’s
conta o número de objetos do segundo tipo, ..., e os x’s
após o (n – 1) – ésimo| conta o número de objetos do
n-ésimo tipo ( n – 1 traços são necessários para separar
n tipos). O número de sequências com k x’s e (n – 1) |’s
é





 −+
k
1)(nk
Distribuições
Geralmente um problema de distribuição é
equivalente a um problema de arrumação ou de
escolha com repetição. Problemas especializados de
distribuição devem ser divididos em subcasos que
possam ser contados por intermédio de permutações
e combinações simples. Um roteiro geral para modelar
problemas de distribuição é: distribuições de objetos
distintos correspondem a arrumações e distribuições
de objetos idênticos correspondem a escolhas.
Dessa maneira, distribuir k objetos distintos
em n urnas diferentes é equivalente a colocar os
objetos em linha e atribuir o nome de cada uma das
n diferentes urnas em cada objeto. Assim, existem





k vezes
n . n . n . ... n = nk
distribuições. Se ki
objetos devem ir
para a urna i, existem P(n; k1
, k2
, ..., kn
) distribuições.
Por outro lado, o processo de distribuir k objetos
idênticos em n urnas distintas é equivalente a escolher
um subconjunto (não-ordenado) de k nomes de urnas,
com repetição, entre as n escolhas de urnas. Assim,
existem
1)!(nk!
1)!n(k
k
1nk
−
−+
=




 −+ distribuições.
Os problemas de escolhas com repetição podem
ser formulados de três formas equivalentes, a saber:
O número de maneiras de escolhermos k ob-1)
jetos com repetição dentre n tipos de objetos
diferentes.
O número de formas de distribuir k objetos2)
idênticos em n urnas distintas.
O número de soluções inteiras não-negativas3)
da equação x1
+ x2
+ ... + xn
= k.
É importante que sejamos capazes de rees-
crever um dado problema enunciado em uma das

3
EM_V_MAT_014
formas acima sob as outras duas. Muitos acham a
versão 2 o meio conveniente de olhar para tais pro-
blemas em virtude de sua distribuição ser mais fácil
de visualizar (na cabeça de alguém). Além disso,
o argumento original com pedido de cachorros-
-quentes, que utilizamos para deduzir fórmula para
escolhas com repetição, foi na realidade um modelo
de distribuição. A versão 3 é a mais geral (e mais
abstrata) do problema.
Permutações circulares
Consideremos n objetos distintos e disponha-
mos esses n objetos em torno de um círculo.
Se n > 3, podemos imaginar esses objetos situ-
ados nos vértices de um polígono, por exemplo um
polígono regular.
O quadro abaixo apresenta as disposições dos
objetos A, B, C, D em torno de um círculo.
A
D
C
B A C
B
D
B
A
C
D
B
A
D
C
A
D
B
C
D
A
C
B
B
D
A
C
C
B
D
A
A
C
D
B
B
A
C
D
D
B
A
C
C
D
B
A
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
C
C
C
A
A
A
D
D
D
B
B
D
D
D
A
A
B
A
B
B
B
C
C
C
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
D
Observamos, então, que:
A 1.ª coluna do quadro foi obtida fixando-se o
objeto A e permutando-se os objetos B, C, D de todos
os modos possíveis, isto é, 3!=6 modos. Em cada
linha uma disposição pode ser obtida de outra por
uma rotação conveniente e dadas duas disposições
em linhas diferentes, nenhuma pode ser obtida da
outra por qualquer rotação.
Assim, chama-se permutação circular de n obje-
tos distintos qualquer disposição desses objetos em
torno de um círculo e duas permutações circulares
são indistinguíveis se, e somente se, uma pode ser
obtida a partir da outra por uma rotação convenien-
te, como por exemplo duas permutações quaisquer
de uma mesma linha do quadro. Diremos ainda que
duas permutações circulares são distinguíveis se, e
somente se, uma não pode ser obtida da outra por
qualquer rotação como, por exemplo, duas permuta-
ções quaisquer em linhas diferentes do quadro.
Portanto, no cálculo das permutações circula-
res interessa apenas a posição relativa dos objetos
entre si, isto é, o número de permutações circulares
distinguíveis.
O número de permutações circulares de n obje-
tos, denotado por (PCn
), é igual a n!/n, isto é
)!1n(
n
!n
)PC( n −==
Consideremos o produto indicado:
(a + b + c)(m + n)(x + y + z + w)
Para se formar um termo do produto indicado
acima, devemos escolher uma parcela em cada um
dos polinômios e efetuar o produto das mesmas.
Assim, por exemplo, escolhendo a parcela b no
primeiro polinômio, n no segundo e z no terceiro, for-
mando o termo bnz, do desenvolvimento do produto.
Alguns outros termos do desenvolvimento do
produto acima são:
amx, anw, cmy etc.
Desenvolvimento
de (x + a)n
; n IN
Consideremos a igualdade:
(x + a)n
= (x + a)(x + a) ... (x +a) (1)
Para se formar um termo do produto (x + a).(x + a)
... (x +a) devemos escolher uma parcela em cada um
dos n fatores x +a e efetuar o produto das mesmas.
Por exemplo, se escolhermos p letras a em p
dos n binômios, e n – p letras x dos n – p binômios
restantes, então um termo genérico do desenvolvi-
mento de (x + a)n
é da forma:
n
p n-p
n pp
a a...ax x... x a x com p 0,1,2,...,n (2)
-
= =
6447448
123123
O número de termo da forma (2) é, então, igual
ao número de modos de escolhermos p letras a n
binômios, x +a, isto é, p
nC .
Por conseguinte, reduzindo todos os termos da
forma ap
xn–p
, encontramos um único termo, a saber:
p
nC ap
xn–p (3)
Finalmente, fazendo em (3) p variar de 0 até n,
encontramos todos os termos (reduzidos) do desen-
volvimento de (x + a)n
.

4
EM_V_MAT_014
Então,
pnpp
n
n
0p
n
xaC)ax( −
=
∑=+
Expandindo o somatório acima, temos:
++
++
++=+
−−−
−−−
...
xCxaC
xaCxaCxaC)ax(
1nn
n
11n1n
n
2n22
n
1n11
n
0n00
n
n
ou ainda,
n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 n
n n n(x a) x C a x C a x ... C a x a- - - -
+ = + + + + +
(I)
que é denominada Fórmula de Newton.
Termo geral do
desenvolvimento de (x + a)n
Todos os termos do desenvolvimento de (x + a)n
são obtidos de p–npp
n xaC quando fazemos neste termo, p
variar de 0 a n.
Por esse motivo, p–npp
n xaC é chamado de termo
geral.
Designado o 1.º, 2.º, 3.º, ... termos do desenvol-
vimento de (x + a)n
respectivamente por T1
, T2
, T3
, ...,
podemos observar que:
para p = 0 obtemos n00
n1 xaCT =
para p = 1 obtemos 1n11
n2 xaCT −
=
n3 xaCT −
=
n4 xaCT −
=
Istoé,aordemdecadatermoéigualàtaxadacom-
binação correspondente mais 1. Como a taxa da
combinação do termo geral é p, segue-se que este
termo é de ordem p + 1. Isto é,
pnpp
n1p xaCT −
+ = (II)
Desenvolvimento
de (x – a)n
, n IN
Substituindo-se, em (I), a por (–a), temos:
n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 n
n n n(x a) x C ( a) x C ( a) x ... C ( a) x ( a)- - - -
- = + - + - + + - + -
Mas, tendo em vista que:
(–a)P
= (–1 . a)P
= (–1)P
aP
n n 1 n 1 2 2 n 2 n 1 n 1 n
n n n(x a) x C ( a) x C ( a) x ... C ( a) x ( a)- - - -
- = + - + - + + - + -
obtemos finalmente:
nn1n
n
1n2n22
n
1n1
n
nn
a)1(xC)1(...xaCaxCx)ax( −+−+−+−=− −−−−
(III)
Termo geral da (III)
Para se obter o termo geral da (III), substituímos,
em (II), a por –a, obtendo:
Tp+1
= (–1)p
CP
n
ap
xn-P
(IV)
Propriedades
do desenvolvimento
de (x + a)n
1.ª Propriedade
O desenvolvimento de (x + a)n
tem n+1 ter-
mos, pois é um polinômio cujos coeficientes são:
n
n
2
n
1
n
0
n C...,,C,C,C
2.ª Propriedade
Os coeficientes de dois termos equidistantes
dos extremos são iguais.
De fato. Sejam Tp+1
e Tq+1
termos equidistantes
dos extremos, onde q deve ser determinado a partir
de n e p.
Consideremos o esquema:
+
+ = + + + + +
+ +
64444444744444448n 1
n n n(x a) x ... T ... T ...a
p 1 q 1
Então,
q +1 +p = n + 1 q = n – p Tq+1
= T’n–p+1
Por conseguinte, temos:
coeficiente de p
nC1pT =+
coeficiente de
n –p
nCn – p + 1T =
Mas, p
nCp–n
nC = (combinações complementares)
e, portanto, os coeficientes de dois termos equidis-
tantes dos extremos são iguais.
Quando n é ímpar, n +1 é par e o desenvolvi-
mento de (x +a)n
tem n +1
2
pares de dois termos
com coeficientes iguais.

5
EM_V_MAT_014
3.ª Propriedade
A soma dos coeficientes de (x + a)n
é 2n
.
De fato, fazendo em
,nax1–na1–n
nC...2–nx2
nC1–nax1
nCnxna)(x +++++=+
x = a = 1, temos:
1C...CC11)(1 1n–
n
2
n
1
n
n
+++++=+ ou
n
2
n
nC
1–n
nC...
2
nC
1
nC
0
nC =+++++
4.ª Propriedade
No desenvolvimento de (x + a)n
a soma dos
coeficientes dos termos de ordem ímpar é igual à
soma dos coeficientes dos termos de ordem par.
De fato, fazendo em
++++++=+ −−−−− 22n2n
n
3n33
n
2n22
n
1n1
n
nn
xaC...xaCxaCaxCx)ax(
n1n1n
n axaC ++ −−
x = 1 e a = –1, temos:
n1n
n
1n2n
n
2n3
n
2
n
1
n
n
)1(C)1(C)1(...CCC1)11(0 −+−+−++−+−=−= −−−−
...CCC...CCC 5
n
3
n
1
n
4
n
2
n
0
n ++++++= )(−
Corolário
A soma dos coeficientes do desenvolvimento
de (x – a)n
é 0.
A figura abaixo representa o mapa de uma cidade, na1.
qual há sete avenidas na direção norte-sul e seis aveni-
das na direção leste-oeste.
A
B
C
Quantos são os trajetos de comprimento mínimo,a)
ligando o ponto A ao ponto B?
Quantos desses trajetos passam porb) C?
Solução:``
Para ir de A até B, deve-se andar para a direita seisa)
vezes e para cima cinco vezes. O número de ordens
em que isso pode ser feito é 462.
6!5!
11!
P6,5
11 ==
Outra Resposta:
Para ir de A até B, deve-se andar para a direita seis
vezes e para cima cinco vezes, num total de 11
“passos”. O número de ordens em que isso pode ser
feito é o número de modos de escolher quais seis
dos 11 “passos” serão dados para a direita,

462
6!5!
11!
C6
11 == .
Para ir de A até C, deve-se andar para a direita qua-b)
tro vezes e para cima quatro vezes. O número de
ordens em que isso pode ser feito é 4,4
8P . Para ir de
C até B, deve-se andar para a direita duas vezes e
para cima uma vez. O número de ordens em que
isso pode ser feito é 2,1
3P .
A resposta é 4,4
8P .
2,1
3P = 70 x 3 = 210.
Outra Resposta:
Para ir de A até C, deve-se andar para a direi-
ta quatro vezes e para cima quatro vezes. O nú-
mero de ordens em que isso pode ser feito é o
número de modos de escolher quais quatro dos
oito “passos” serão dados para a direita, 4
8C . Para ir
de C até B, deve-se andar para a direita duas ve-
zes e para cima uma vez. O número de ordens em
que isso pode ser feito é o número de modos de
escolher quais dois dos três “passos” serão dados
para a direita, 2
3C .
A resposta é 4
8C . 2
3C = 70 x 3 = 210.
Quantos números de sete dígitos, maiores que2.
6 000 000, podem ser formados usando apenas os
algarismos 1,3,6,6,6,8,8?
Solução:``
180
2!2!1!1!
6!
P2,2,1,1
6 ==
números começados por 6 e
120
3!1!1!1!
6!
P3,1,1,1
6 ==
números começados por 8.
A resposta é 180 + 120 = 300.
Dada a equação x3. 1
+ x2
+ x3
= 7, calcule:
o número de soluções inteiras positivas.a)
o número de soluções inteiras não-negativas.b)

6
EM_V_MAT_014
Solução:``
Podemos identificar o problema do cálculo do nú-a)
mero de soluções inteiras positivas dessa equação
com o seguinte problema:
Escrevendo-se em fila sete algarismos iguais a 1, de
quantos modos podemos separar esses algarismos
em três grupos, onde cada grupo contém pelo me-
nos um algarismo?
1 1 1 1 1 1 1
Observemos que entre os sete algarismos há seis
espaços; se colocarmos elementos de separação
(como barras verticais) em dois desses espaços,
obteremos uma disposição correspondente a uma
solução da equação dada. Assim, por exemplo, a
disposição:
1 | 1 1 1 1 | 1 1
corresponde à solução (1, 4, 2).
Reciprocamente, cada solução inteira positiva da
equação corresponde a um modo de se colocar as
duas barras em dois dos seis espaços.
Por exemplo, a solução (2, 3, 2) corresponde à dis-
posição:
1 1 | 1 1 1 | 1 1
Então, o número de soluções inteiras positiva da
equação
x1
+ x2
+ x3
= 7
é igual ao número de modos de se escolher dois dos
seis espaços, para se colocar as duas barras, isto é:

15
2
6
=





Um raciocínio análogo para a equação
x1
+ x2
+ ... + xn
= k(k natural)
nos fornece o número de soluções inteiras positi-
vas:






−
−
1n
1k
Com efeito, supondo escritos em fila n algarismos
iguais a 1, devemos separá-los em n-grupos, tendo
cada grupo pelo menos um algarismo.
1 1 1 1 1 1 ... 1
Basta, então, escolher n-1 dos k-1 espaços entre os
algarismos para se colocar as n-1 barras, o que pode
ser feito de






−
−
1n
1k
modos.
Se n = k, a equação x1
+ x2
+ ... + xn
= k possui uma
única solução, e se n > k a equação não possui so-
lução inteira positiva.
Seja ainda a equação xb) 1
+ x2
+ x3
= 7 e determi-
nemos, agora, o número de soluções inteiras não-
negativas, Isto é, soluções como
(7, 0, 0), (5, 1, 1), (4, 2, 1), (0, 2, 5) etc.
Suponhamos escritas todas estas soluções em uma
mesma coluna, e somente uma unidade a cada in-
teiro dessas soluções, obtendo soluções inteiras po-
sitivas de uma nova equação.
x1
+ x2
+ x3
= 10
Quantos anagramas da palavra ARATACA começam4.
por consoante?
Solução:``
Seja o esquema:
7651 PPPPPP 432P
Acontecimentos N.º de ocorrências
A1
: escolha de uma
consoante para ocupar
a posição P1
3
A2
: ocupação das seis
posições restantes pelas
seis letras restantes,
após ter ocorrido A1
.
1.1.4
6P
Pelo princípio multiplicativo o número pedido é:
90
4!1!1!
6!3
P3 114
6 =
⋅
=⋅ ⋅⋅
De quantos modos cinco meninos e cinco meninas po-5.
dem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas
de mesmo sexo não fiquem juntas?
Solução:``
Há (PC)5 = 4! modos de formar uma roda com as me-
ninas. Depois disso, os cinco meninos devem ser postos
nos cinco lugares entre as meninas, o que pode ser feito
de 5! modos.
A resposta é 4! x 5! = 24 x 120 = 2 880

7
EM_V_MAT_014
Uma pulseira deve ser cravejada com um rubi, uma7.
esmeralda, um topázio, uma água-marinha, uma turma-
lina e uma ametista. De quantos modos isso pode ser
feito, supondo:
que a pulseira tem fecho e um relógio engasta-a)
do no fecho;
que a pulseira tem fecho;b)
que a pulseira não tem fecho e o braço só podec)
entrar na pulseira em um sentido;
que a pulseira não tem fecho e o braço poded)
entrar na pulseira nos dois sentidos.
Solução:``
As seis pedras devem ser postas em 6 lugares.a)
A resposta é P6 = 6! = 720.
Agora, a pulseira pode entrar no braço de doisb)
modos diferentes, de modo que uma mesma
pulseira pode, colocada no braço, apresentar
pedras na ordem ABCDEF ou FEDCBA.
A resposta é 720/2 = 360.
Sem o fecho, a pulseira pode rodar no braço.c)
A resposta é (PC)6 = 5! = 120.
Agora, a pulseira pode entrar no braço de doisd)
modos diferentes, de modo que uma mesma
pulseira pode, colocada no braço, apresentar
pedras na ordem ABCDEF ou FEDCBA.
A resposta é 120/2 = 60.
Solução:``
Pela fórmula (III), temos:
2 5 2 5 1 2 4 2 2 2 3 3 3 2 2
5 5 5
4 4 2 5
5
10 8 6 2 4 3 2 4 5
(2x - y) = (2x ) -C y(2x ) +C y (2x ) -C y (2x ) +
C y (2x )- y =
32x -80x y +80x y -40x y +10x y - y
Calcule o 5.º teb) rmo do desenvolvimento de
8
2
x
1
yx
2
1






−
Solução:``
Neste caso, n = 8 e p + 1 = 5 . ⋅ . p = 4.
Termo geral:
pnpp
n
p
1p xaC1)(T −
+ −=
Por conseguinte,
44
4
2
4
4
8
4
5 yx
8
35
yx
2
1
x
1
C(–1)T =











=
Calcule, sem desenvolver, o termo independente de x9.
de
14
3x
2
–43x 





Solução:``
Termo geral:
7p–56.xp–14.3p.2p
14Cp(–1)
3p–4p–56.xp–14.3p.2p
14Cp(–1)
p–14)4(3x
p
3x
2p
14Cp(–1)
p–nxpap
nCn(–1)1pT
=
=






=
=+
Para que o termo seja independente de x, deve-se ter:
8p07p–56 =∴=
Logo, o termo pedido é:
688
14
688
14
8
9 3.2.C3.2.C1)(T =−=
De quantos modos n casais podem formar uma roda6.
de ciranda de modo que cada homem permaneça ao
lado de sua mulher?
Solução:``
Há (PC)n = (n – 1)! modos de formar uma roda com as
n mulheres. Depois disso, para cada um dos n maridos
há dois modos de entrar na roda: à direita ou à esquerda
de sua mulher.
A resposta é (n – 1)!2n.
8.
Desenvolver (2xa) 2
–y)5
(UFES-2001) Uma agência bancária cadastra as con-10.
tas de seus clientes usando um número N de quatro
algarismos, seguido de um dígito de controle, o qual
é definido como o resto da divisão de N11
por 7. Por
exemplo, na conta 2001-6, o algarismo de controle
6 é o resto da divisão de (2001)11
por 7; isso pode
ser comprovado escrevendo-se

8
EM_V_MAT_014
2001 = 7 x 286 - 1
e, a seguir, utilizando o binômio de Newton para
desenvolver a potência (7 x 286-1)11
.
Por esse raciocínio, ou equivalente, o algarismo de
controle da conta número 2003 é igual a:
1a)
2b)
3c)
4d)
5e)
Solução:`` A
2003 = 7 x 286 + 1
Pelo desenvolvimento do binômio de Newton o único
que não é fator de 7 é o último, ou seja, 1.
De quantos modos n casais podem formar uma roda13.
de ciranda de modo que cada homem permaneça ao
lado de sua mulher e que pessoas de mesmo sexo não
fiquem juntas?
Usando as fórmulas, calcule os desenvolvimentos das14.
seguintes potências:
(x + a)a) 3
(x – a)b) 3
(x + a)c) 6
(x – a)d) 7
(3a + 2b)e) 5
(x – 2y)f) 7
Usando as fórmulas (II) ou (IV), calcule:15.
O 5.º termo de (x + 2y)a) 11
O 4.º termo de (1 – 2x)b) 12
O 3.º tc) ermo de
O 5.º termo ded)
O 6.º termo dee)
O 5.º termo def)
Aplicando a Lei16. de formação dos termos, calcule o
desenvolvimento dos seguintes binômios:
a)
(3x + 2y)b) 5
c)
d)
e)
(3af) 2
+ 1)5
Determine o termo independente do desenvolvimento17.
de
Determine os termos médios do desenvolvimento de18.
Calcule sem desenvolver, o termo independente de x19.
de .
Quantas são as soluções inteiras não-negativas de1.
x + y + z + w = 3?
x + y + z + w < 6?
Quantas são as soluções inteiras positivas de3.
x + y + z = 10?
Quantas são as soluções inteiras positivas de4.
x + y + z < 10?
Quantas são as peças de um dominó comum?5.
I6. m
= {1, 2, ..., m} e In
= {1, 2, ..., n}. Quantas são as funções
f: Im
In
não decrescentes?
De quantos modos podemos colocar em fila sete letras7.
A, seis letras B e cinco letras C de modo que não haja
duas letras B juntas?
Qual é o número máximo de termos de um polinômio8.
homogêneo do grau p com n variáveis?
Qual é o número máximo de termos de um polinômio9.
do grau p com n variáveis?
AfábricaXproduzoitotiposdebombons,quesãovendidos10.
emcaixasde30bombons(deummesmotipoousortidos).
Quantas caixas diferentes podem ser formadas?
De quantos modos podem ser pintados seis objetos11.
iguais usando três cores diferentes?
De quantos modos n crianças podem formar uma roda12.
de ciranda de modo que duas dessas crianças perma-
neçam juntas? E de modo que p(p < n) dessas crianças
permaneçam juntas?

9
EM_V_MAT_014
Calcule, sem desenvolver, o termo máximo de20. .
Calcule, sem desenvolver, o termo21. máximo de .
Quantos números inteiros entre 1 e 100 000 têm soma1.
dos algarismos igual a 6?
x1
+ x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
= 20 nas quais exatamente
três incógnitas são nulas? Em quantas, pelo menos três
são nulas?
Os números inteiros compreendidos entre 100 000 e3.
999 999 são divididos em classes de modo que dois
números diferentes estão na mesma classe se, e só se,
eles têm os mesmos algarismos, diferindo apenas na
ordem. Assim, por exemplo, 552 221 e 125 252 estão na
mesma classe. Quantas classes são assim formadas?
Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x +4.
y + z + w = 20 nas quais x > y?
Quantos inteiros entre 1 e 100 000, inclusive, têm a5.
propriedade: “cada dígito é menor ou igual ao seu
sucessor”?
Uma urna contém n bolas, das quais devem ser esco-6.
lhidas p bolas. Determine:
O número Aa) P
n
de seleções ordenadas, se repetições
não são permitidas (essas seleções são denomina-
das arranjos simples de classe p das n bolas);
O número de seleções desordenadas (isto é, sele-b)
ções que só diferem pela ordem são consideradas
iguais), se repetições não são permitidas;
O número ARc) P
n
de seleções ordenadas, se repeti-
ções são permitidas (essas seleções são chama-
das de arranjos completos de classe p das n bolas.
Também são usados os nomes arranjos com repo-
sição ou arranjos com repetição);
O número de seleções desordenadas, se repeti-d)
ções são permitidas.
Sejam A e B conjuntos de números naturais com7.
#A = p e #B = n
Quantas são as funções f: Aa) B?
Quantas são as funções injetoras f: Ab) B?
Quantas são as funções f: Ac) B estritamente cres-
centes?
Quantas são as funções f: Ad) B não-decrescentes?
Sugira uma definição formal para Ce) P
n
, CRP
n
, AP
n
, ARP
n
.
Seja A um conjunto com #A = n.8.
Quantas são as funções f: Aa) A bijetoras?
Sugira uma definição formal para Pb) n
.
De quantos modos podemos escolher três números, não9.
necessariamente distintos, no conjunto {1, 2, ..., 150} de
modo que a soma dos números escolhidos seja divisível
por 3? E se os números devessem ser distintos?
Quantas permutações de sete letras A e sete letras B,10.
nas quais não há três letras A adjacentes, existem?
De quantas maneiras é possível colocar seis anéis dife-11.
rentes em quatro dedos?
São dados n pontos em círculo. Quantos n-ágonos12.
(não necessariamente convexos) existem com vértices
nesses pontos?
De quantos modos cinco mulheres e seis homens podem13.
formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres
permaneçam juntas?
Quantos dados diferentes existem se a soma das faces14.
opostas deve ser 7?
Calcule, sem desenvolver, a soma dos coeficientes dos15.
termos de (2x - 3x2
y2
)17
.
Determine o coeficiente de x16. 3
no desenvolvimento de:
(2x – 3)4
(x + 2)5
(CICE-70)17.
Sejam, a = 10150
, b = 9950
+ 10050
. Pode-se afirmar que:
a > ba)
a < bb)
a = bc)
a = bd) 50
N.R.A.e)
Calcule a soma dos coeficientes dos termos de or-18.
dem ímpar e a soma dos coeficientes dos termos de
ordem par do desenvolvimento de: (2x – 3y)n
.
Calcular o valor da seguinte soma:19.
Calcular o valor da seguinte soma:20.
Sendo n par, calcule o valor da seguinte soma:21.
Se k é par, calcule a soma:22. .

10
EM_V_MAT_014
Calcule a soma:23.
Prove que:24.
a)
b)
Calcule a soma:25.
n
p = 0
(–1)p 1
p + 1
C
p
n
Calcul26. e a soma:
n
p = 0
(–1)p–1 1
p + 1
C
p
n
Cal27. cule a soma:
n
p = 0
2p+1
C
p
n
p + 1

11
EM_V_MAT_014
201.
1262.
363.
844.
285.
6.
17. 359 072
8.
9.
10 295 47210.
2811.
12.
2 . (n – 2)! e
p! . (n–p)!, respectivamente.
2 . (n–1)!.13.
14.
xa) 3
+ 3ax2
+ 3a2x
+ a3
xb) 3
- 3ax2
+ 3a2
x - a3
xc) 6
+ 6ax5
+ 15a2
x4
+ 20a3
x3
+ 15a4
x2
+ 6a5
x + a6
xd) 7
– 7ax6
+ 21a2
x2
– 35a3
x4
+ 35a4
x3
– 21a6
x2
+
7a6
x – a7
(3a)e) 5
+ 5(2b)(3a)4
+ 10(2b)2
(3a)3
+ 10(2b)3
(3a)2
+ 5(2b)4
(3a) + (2b)5
xf) 7
- 7(2y)x6
+ 21(2y)2
x5
- 35(2y)3
x4
+ 35(2y)4
x3
–
– 21(2y)g) 5
x2
+ 7(2y)6
x - (2y)7
15.
5 280xa) 7
y4
–1 760xb) 3
c)
d)
e)
f)

12
EM_V_MAT_014
16.
a)
243xb) 5
+ 810x4
y + 1 080x3
y2
+ 720x2
y3
+ 240xy4
+ 32y5
c)
d)
e)
f)
7017.
– 560
27
18. x12
y4 e
280
81
x9
y3
19.
20.
21.
2101.
2.
3 420a)
3 711b)
5 0043.
8254.
2 0015.
6.
a)
b)
ARc) p
n
= np
d)
7.
na) p
.
b) n p
c) , n p
d)
Sejam A e B conjuntos ordenados com #A = p ee)
#B = n. Cp
n
é o número de funções f : A B estri-
tamente crescentes.
CRp
n
é o número de funções f : A B não-decres-
centes.
Ap
n
é o número de funções f : A –+ B injetivas.
ARp
n
é o número de funções f : A B.
8.
n!.a)
é o número de funções bijetivas de um conjunto,b)
cujo número de elementos é n, em si mesmo.
191 300 e9.
183 800, respectivamente.
1 01610.
1 29611.
n!/(2n) =12.
(n – 1)!
2
86 400.13.
214.
–115.
168 x16. 3
A17.
18.
19.
20.
21. , se n par.
Observação:
Se n é ímpar,
poisonúmerodetermosépareasparcelasequidistantes
dos extremos são simétricas.
22.
23.
ou
(demonstração)24.
1
n + 125.

13
EM_V_MAT_014
n
n + 1
26.
1
n + 1
27. . (2n+1
–1)

14
EM_V_MAT_014

15
EM_V_MAT_014

16
EM_V_MAT_014

Guia de matemática para pré-vestibular com

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Guia de matemática para pré-vestibular com

Semelhante a Guia de matemática para pré-vestibular com (20)

Mais de Everton Moraes

Mais de Everton Moraes (20)

Último

Último (20)

Guia de matemática para pré-vestibular com