1. O documento descreve vários conceitos fundamentais sobre funções, incluindo produto cartesiano, gráfico de uma função, restrição de uma função, domínio e conjunto de chegada, funções injetiva, sobrejetiva e bijetiva, função composta, função inversa e paridade de uma função.
2. São também descritas transformações do gráfico de uma função, como deslocamentos, dilatações, compressões e simetrias. Aborda-se ainda a monotonia, extremos e concavidades de funções.
3. Por fim, explicam-
Tema de redação - As dificuldades para barrar o casamento infantil no Brasil ...
000 sintese funcoes
1. matA10 – funções
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Generalidades sobres funções
Produto cartesiano de A por B
, :A B a b a A b B , conjunto dos pares ordenados ,a b , em que a pertence a A e b pertence a B.
Gráfico de uma função
G A B é um gráfico de uma função de A em B quando e apenas quando para todo o a A existir um e somente um
elemento b B tal que ,a b G .
Restrição de uma função
Dados os conjuntos A e B, uma função :f A B e um conjunto C, uma restrição de f a C é a função:
| :C
Bf C A
f xx
Função real de variável real
É uma função cujo domínio e conjunto de chegada estão contidos em
Domínio e conjunto de chegada
No caso de uma função real de variável real ser definida pela sua expressão algébrica, convencionou-se que o conjunto de
chegada é e que o domínio é o conjunto dos números reais para os quais a expressão tem significado.
Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva
Seja a função :f A B ,
f é injetiva se e somente se:
1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x ou 1 2 1 2 1 2, ,x x A f x f x x x
Nota:
Uma função f é não injetiva se e somente se 1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x
f é sobrejetiva se e somente se para todo o y pertencente a B, existir um elemento x pertencente a A tal que y f x ,
ou seja, têm de coincidir os conjuntos de chegada e contradomínio fD B
f é bijetiva se f é injetiva e sobrejetiva
Função composta
Dadas as funções g : gD A e : ff D B , a função composta de f com g é a função : f gfog D B , tal que:
:f g g fD x x D g x D
,f gx D f g x f g x
Função inversa
Dada a função :f A B , bijetiva de A em B, a função inversa de f é dada por 1
:f B A
, tal que 1
,y B f y
é o único
elemento x A tal que f x y .
Relação entre as funções f e 1
f
Os gráficos das funções f e 1
f
são imagem um do outro pela reflexão axial cujo eixo é a reta de equação y x
1 1
f f x f f x x
Paridade de uma função
f é uma função par se e somente se , ,fx x D f x f x
f é uma função ímpar se e somente se , ,fx x D f x f x
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Transformações do gráfico de uma função
No eixo Oy
Deslocamentos f x a
Translação vertical associada ao vetor 0,a
fD D
Dilatações/
Compressões
af x
Contração na vertical de coeficiente a, se 0 1a
Dilatação na vertical de coeficiente a, se 1a
fD D
Simetrias f x
Simetria em relação ao eixo Ox
fD D
No eixo Ox
Deslocamentos f x a
Translação horizontal associada ao vetor ,0a
: fD x x D
Dilatações/
Compressões
f ax
Contração na horizontal de coeficiente
1
a
se 1a
Dilatação na horizontal de coeficiente
1
a
se 0 1a
: f
x
D x D
a
Simetrias f x
Simetria em relação ao eixo Oy
: fD x x D
Módulos
f x
Mantém os pontos de ordenada não negativa e efetua
uma simetria dos pontos de ordenada negativa
relativamente ao eixo Ox
fD D
f x
Mantém os pontos de abcissa não negativa e efetua uma
simetria dos mesmos relativamente ao eixo Oy
0 0:f fD D x x D
Monotonia, extremos e concavidades de uma função
Dada uma função real de variável real f e fA D , diz-se que:
f é estritamente crescente em A se 1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x
f é estritamente decrescente em A se 1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x
f é constante em A se 1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x
f é crescente, em sentido lato, em A se 1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x
f é decrescente, em sentido lato, em A se 1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x
f é monótona em A se f é crescente ou decrescente em A
Monotonia de uma função afim
Seja f definida, em , por f x ax b , 0a
f é crescente em , se 0a
f é decrescente em , se 0a
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Função limitada
Dada uma função real de variável real f de domínio fD , um número M é um:
minorante de f se ,fx D f x M
majorante de f se
Uma função que admite um minorante diz-se minorada e uma função que admite um majorante diz-se majorada.
Uma função que é simultaneamente minorada e majorada diz-se limitada.
Extremos absolutos
Dada uma função real de variável real f de domínio fD e ff a D , f a é:
mínimo absoluto de f se ,fx D f a f x
máximo absoluto de f se ,fx D f a f x
Noção de vizinhança
Dados um número real 0x e um número e um número real positivo r, designa-se por vizinhança r de 0x o intervalo
0 0,x r x r e representa-se por 0rV x .
Extremos relativos
Dada uma função real de variável real f de domínio fD , f tem:
um mínimo relativo (ou local) em fa D se existir 0r , tal que ,f rx D V a f a f x , e a é um
minimizante de f
um máximo relativo (ou local) em fa D se existir 0r , tal que ,f rx D V a f a f x , sendo a um
maximizante de f
Concavidade de uma função
Dada uma função real de variável real f, um dado intervalo fI D e quaisquer três pontos P, Q e R de abcissas em I que
P Q Rx x x , f tem:
concavidade voltada para baixo se o declive da reta PQ é superior do que o declive da reta QR
concavidade voltada para cima se o declive da reta PQ é inferior do que o declive da reta QR
Função quadrática
Um função quadrática f é definida por uma expressão do tipo 2
, , ,f x ax bx c a b c com 0a .
Pode ser escrita na forma
2
f x a x h k , sendo ,h k as coordenadas do vértice da parábola que representa
esta função graficamente
2
b
h
a
e
2
4
4
b ac
k f h
a
Estudo da função do tipo
2
f x a x h k , 0a
Domínio
fD
Contradomínio
se 0a , então ,fD k
se 0a , então ,fD k
Monotonia
se 0a , f é decrescente em
,h e crescente em ,h
se 0a , f é decrescente em
,h e crescente em ,h
Paridade
se 0h , então f é par
se 0h , então f não é par
nem ímpar
x h é um eixo de simetria
Zeros
se 0k , então f tem um zero
se 0a
0, então tem dois zeros
0, então não tem zeros
k f
k f
se 0a
0, então não tem zeros
0, então tem dois zeros
k f
k f
Extremos
se 0a , então k é um mínimo
se 0a , então k é um máximo
Concavidade
se 0a , então f tem concavidade
voltada para cima
se 0a , então f tem concavidade
voltada para baixo
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Função definida por ramos
Quando uma função é definida por expressões
analíticas em diferentes partes do seu domínio,
diz-se que a função está definida por ramos.
Exemplo:
2 1
3 1
2 1
x se x
f x se x
x se x
Função módulo
A função módulo, definida em por f x x , pode ser
definida por ramos da seguinte forma:
0
0
x se x
f x x
x se x
As funções do tipo f x a x b c podem ser estudadas a partir da função f x x .
Domínio
fD
Contradomínio
se 0a , então ,fD c
se 0a , então ,fD c
Monotonia
se 0a , f é decrescente em
,b e crescente em ,b
se 0a , f é decrescente em
,b e crescente em ,b
Paridade
se 0b , então f é par
se 0b , então f não é par
nem ímpar
x b é um eixo de simetria
Zeros
se 0c , então f tem um zero
se 0a
0, então tem dois zeros
0, então não tem zeros
c f
c f
se 0a
0, então não tem zeros
0, então tem dois zeros
c f
c f
Extremos
se 0a , então c é um mínimo
se 0a , então c é um máximo
Equações e inequações com módulos
A resolução de equações e inequações com módulos resolvem-se aplicando as seguintes propriedades:
, se 0x k x k x k k
x k x k x k
x k x k x k
Função polinomial
Uma função polinomial não nula é uma função real de variável real que pode ser definida analiticamente por um polinómio
com uma só variável.
1
0 1 1...n n
n nf x a x a x a x a
onde 0 1 1, , ..., en na a a a são números reais, 0 0a e n é um número inteiro não negativo
Função cúbica
Uma função do tipo: 3 2
f x ax bx cx d , 0a é uma função cúbica.
Pode ter um zero, dois zeros ou três zeros.
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Função raiz quadrada
Seja
0 0
2
:f
x x
uma função injetiva, a função inversa de f, 1
f
, define-se por
1
00:f
x x
Os gráficos de funções do tipo f x a x b c podem ser obtidos a partir da função f x x .
Domínio
,fD b
Contradomínio
se 0a , então ,fD c
se 0a , então ,fD c
Monotonia
se 0a , f é crescente em fD
se 0a , f é decrescente em fD
Paridade
f não é par nem ímpar
Zeros
se 0c , então f tem um zero
se 0a
0, então tem um zero
0, então não tem zeros
c f
c f
se 0a
0, então não tem zeros
0, então tem um zero
c f
c f
Extremos
se 0a , então c é um mínimo e b
o minimizante
se 0a , então c é um máximo e b
o maximizante
Concavidade
se 0a , f tem concavidade
voltada para baixo
se 0a , f tem concavidade
voltada para cima
Função raiz cúbica
Seja
3
:f
x x
uma função injetiva, a função inversa de f, 1
f
, define-se por
1
3
:f
x x
Os gráficos de funções do tipo 3
f x a x b c podem ser obtidos a partir da função 3
f x x .
Domínio
fD
Contradomínio
fD
Monotonia
se 0a , f é crescente em fD
se 0a , f é decrescente em fD
Paridade
f não é par nem ímpar
Zeros
f tem um zero
Concavidade
se 0a
, , tem concavidade voltada para cima
, , tem concavidade voltada para baixo
x h f
x h f
se 0a
, , tem concavidade voltada para baixo
, , tem concavidade voltada para cima
x h f
x h f
Extremos
f não tem extremos
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Operações com funções
Dadas duas funções reais de variáveis real f e g de domínio fD e gD , um número real e um número racional r, designa-se
por:
função-soma de f com g a função:
f g x f x g x
f g f gD D D
função-produto de f com g a função:
f g x f x g x
f g f gD D D
função-quociente de f com g a função:
f xf
x
g g x
: 0f f g
g
D D x D g x
função-produto de f pelo escalar a função:
f x f x
f fD D
função-potência de expoente r de f a função:
rr
f x f x ; r
f
D é o conjunto de números reais x para os quais está definido
r
f x
o se 0: : 0r ff
r D x D f x
o se 0 : : 0r ff
r D x D f x
o se 0: : 0r ff
r D x D f x