Lista 2 - FUV - Resolução

4.511 visualizações

Publicada em

Resolução da lista 2 de Funções de Uma Variável, sobre funções, limites e derivadas

Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Lista 2 - FUV - Resolução

  1. 1. RESOLUÇÃO DA LISTA 2 Funções de uma variável Prof. Cláudio N. Meneses1 Defina os seguintes termos: 1. Função f: D  E, domínio de f, contra-domínio de f, imagem de f e gráfico de f; Função f: D  E é uma relação entre os conjuntos D e E, na qual vale a seguinte condição: O conjunto D é chamado de domínio e o E contra-domínio. A imagem de f é um conjunto numérico contido em E (podendo ser o próprio conjunto E), que contém todos os valores de f(x) para todo x do domínio. Gráfico de f é o conjunto dos pares ordenados (x,y), tal que 2. Função definida por partes; São funções que são definidas de diferentes formas em diferentes intervalos do domínio. Ex.: 3. Função valor absoluto; É a função denotada por f(x) = |x| e definida por: 4. Função par; São funções que possuem simetria com o eixo y, i.e., funções que f(x) é sempre igual a f(-x). 5. Função impar; São funções que possuem simetria com a origem do plano cartesiano, o ponto O = (0,0), i.e., funções em que f(x) é sempre igual a –f(-x). 6. Função crescente em um dado intervalo; Uma função é crescente em determinado intervalo se, e somente se 7. Função decrescente em um dado intervalo; Uma função é decrescente em determinado intervalo, se e somente se Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  2. 2. 8. Função linear e coeficiente angular de uma função linear; É uma função do tipo: f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. Conjunto domínio e o conjunto imagem são iguais ao conjunto dos números reais (considerando o domínio mais amplo). A constante a representa o coeficiente angular da reta, que é definido como a tangente do menor ângulo que a reta forma com o eixo x.9. Polinômio; Polinômio é uma expressão algébrica definida da seguinte forma onde, O domínio de uma função polinomial é o conjunto dos números reais.10. Função racional; É uma função definida como sendo o quociente de dois polinômios, ou seja, se h(x) é uma função racional, então pode ser escrita da seguinte forma Seu domínio é .11. Função algébrica; São funções que podem ser escritas a partir de operações algébricas (soma, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes) envolvendo polinômios.12. Funções exponenciais; São funções definidas assim:13. Funções logarítmicas; São funções assim definidas:14. Funções transcedentais; São funções não algébricas, tais como as logarítmicas, exponenciais, trigonométricas etc. Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  3. 3. 15. Limite de uma função, limite à esquerda de um ponto, limite à direita de um ponto; Dizemos “o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L” e escrevemos se pudermos tomar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos quanto quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados), mas não igual a a. Dizemos que “o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L” e escrevemos se pudermos tomar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x menor que a. Dizemos que “o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é igual a L” e escrevemos se pudermos tomar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x maior que a. 1 16. Limites infinitos; Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Então significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (para +∞) ou pequenos (para -∞) tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. 17. Assíntota vertical de uma curva; Dada uma função f, que ou , dizemos que a reta vertical x = a é a assíntota vertical da curva definida pela função f. Ou seja, a assíntota vertical é uma reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no ponto a. 18. Definição precisa de limites e definição precisa de limites laterais; Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente o número a. O limite de f(x) quando x tende a a será L, se a seguinte afirmativa for verdadeira: 21 STEWART, James. Cálculo 1. 6 ed. Cengage Learning. p. 782 LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. v1. 3 ed. Harbra. p. 58 Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  4. 4. Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo aberto (a, c). Então o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é L se, 3 Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo aberto (d, a). Então o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é L se, 3 19. Função contínua em um número; Uma função é contínua em um número quando seu gráfico não apresenta um “salto” naquele ponto. Formalmente, uma função f é contínua no ponto a, com , se, e somente se, 20. Função contínua à esquerda de um dado número; Uma função f é contínua à esquerda de um dado ponto a, com , se, e somente se, 21. Função contínua à direita de um dado número; Uma função f é contínua à direita de um dado ponto a, com , se, e somente se, 22. Função contínua em um intervalo; Uma função é contínua em um intervalo aberto, se, e somente se, ela for contínua em todos os números do intervalo aberto. Uma função será contínua no intervalo [a,b] se, e somente se, ela for contínua no intervalo aberto (a,b), contínua à direita de a e contínua à esquerda de b.2 Explique, com suas próprias palavras, os significados dos seguintes resultados: 1. Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se e somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez; Pela definição de função todo x pertencente ao domínio deve estar relacionado a um, e único, y pertencente ao contra-domínio. Se traçada uma reta vertical ao3 LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. v1. 3 ed. Harbra. p. 73-74 Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  5. 5. gráfico e ela cortar a curva mais de uma vez significa que um único valor de x está relacionado a mais de um valor de y, fazendo, assim, com que a curva não seja uma função.2. se e somente se e ; L só pode ser o limite de f(x), quando x tende a a, se quando x tender a a pelos dois lados, faz com que f(x) se aproxime cada vez mais perto de L, de forma convergente.3. Se f(x) = g(x) quando x ≠ a, então , desde que o limite exista; É trivial que se duas funções são iguais seus limites também serão. Cabe apenas a ressalva da importância da informação x ≠ a. Essa informação é disposta pois mesmo as duas funções sendo iguais, elas podem estar escritas de formas diferentes, de modo que uma delas não esteja definida no ponto a.4. Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os limites de f e g existem quando x tende a a, então É trivial que se há uma relação de „grandeza‟ entre duas funções, seus limites terão a mesma relação, se considerando a tendência da abscissa a um mesmo ponto. Sem perda de generalidade é possível - imaginando no plano cartesiano duas retas, ambas com o mesmo coeficiente angular e separadas horizontalmente por alguns pontos - visualizar que o limite da função menor será menor que da função maior, para x tendendo ao mesmo ponto.5. Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e então Intuitivamente, se as funções f e h tiverem o mesmo limite quando x tende a um determinado ponto a, uma função de valores intermediários terá, necessariamente, o mesmo limite. As proximidades desse ponto a (ou, possivelmente o próprio a) serão iguais nas três funções. O ponto a, ou proximidades, é um ponto convergente das três funções.6. Se f e g forem contínuas no número a e se c for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em a:(a) f + g Como f(x) e g(x) são contínuas em a, então pela definição de continuidade: Utilizando as propriedades de limites, sabe-se que: Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  6. 6. Portanto, f + g é contínua no ponto a.(b) f – g Considerando que f – g = f + (-g) observa-se que este é um caso particular do item (a).(c) cf Como f(x) é contínuas em a, então pela definição de continuidade: Logo, para cf(x): o que confirma que a função é contínua em a.(d) fg Pela definição de continuidade: Portanto, fg é contínua.(e) Pela definição de continuidade: Portanto, é contínua.7. (a) Qualquer polinômio é contínuo em todo o seu domínio; ou seja em . Tomando um ponto qualquer e a função polinomial genérica . f é uma função contínua, se, e somente se, Resolvendo o limite, a partir das propriedades: Portanto, toda função polinomial e contínua. (b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é contínua em seu domínio. Tomando um ponto qualquer e a função h é contínua se, e somente se, Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  7. 7. Calculando o limite por meio das propriedades: Portanto, toda função racional é contínua em seu domínio.8. Os seguinte tipos de funções são contínuas para todo número em seus domínios: (a) polinômios (b) funções racionais Demonstração de ambos feita acima. (c) funções raízes (d) funções trigonométricas (e) funções trigonométricas inversas (f) funções exponenciais (g) funções logarítmicas Basta um esboço dos gráficos de cada função acima para notar que são contínuas. Algumas funções trigonométricas inversas possuem “saltos” em seu gráfico, por exemplo, a função arccos no ponto , entretanto são pontos que não pertencem ao domínio da função, portanto não faz sentido falar em continuidade nesses valores.9. Seja f contínua em b e , então . Significa que Esta é a propriedade que permite algumas, entre outras, manipulações conhecidas, como: i) ii) iii)10. Se g for contínua em um número a e f contínua em g(a), então a função composta dada por é contínua em a. Sendo g uma função continua em a, temos que Sendo f contínua em b = g(a), temos, pelo teorema explicado no exercício anterior: comprovando, assim, que é contínua em a. Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia
  8. 8. 11. Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a,b] e seja N um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) ≠ f(b). Então existe um número c em (a,b) tal que f(c) = N. Se a função é contínua, no gráfico existirão infinitos pontos entre f(a) e f(b). Certamente traçando uma a reta horizontal y = N entre os pontos, essa reta cortará um ou mais pontos do gráfico, que correspondem à abscissa c. Rodrigo Thiago Passos Silva Universidade Federal do ABC – Santo André Bacharelado em Ciência e Tecnologia

×