Deslocamento+e+lançamento1

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Deslocamento+e+lançamento1

  1. 1. Tópicos de cinemática vetorial: lançamento horizontal, vertical e composição de movimentos Neste tópico são analisados os movimentos parabólicos resultantes de lançamentos horizontais e oblíquos de corpos nas proximidades da Terra, desprezando-se a resistência do ar e considerando o princípio da independência dos movimentos si-multâneos, devido ao célebre físico italiano Galileu (1564-1642). Princípio da independência dos movimentos simultâneos (Galileu) “Quando um corpo apresenta um movimento composto, cada um deles se realiza como se os demais não existissem, e no mesmo intervalo de tempo”. A figura representa um barco que, com veloci-dade Vb em relação às águas, é capaz de atravessar o rio num tempo Δt. Caso não existisse correnteza, o barco, navegando em 90° com a margem, chegaria ao ponto Q na margem oposta. Como existe a corren-teza atuando com velocidade Vc, o barco, no mesmo intervalo de tempo Δt, chega à margem oposta num ponto R distante Vc. Δt do ponto Q. Isso porque, ao longo da travessia, foi sendo arrastado para a direita com a mesma velocidade da correnteza. O barco apresenta um movimento composto por dois MRUs: um perpendicular à margem, com velocidade Vb (chamada velocidade relativa); outro, no sentido da correnteza e com a velocidade desta (chamada velocidade de arrastamento). Esses dois movimentos simultâneos atuam independentemente um do outro durante o intervalo Δt de travessia e o resultado é a chegada do barco ao ponto R, distando Vc. Δt do ponto Q (aliás, se soltarmos uma boia em Q no instante em que o barco parte de P ela chegará a R junto com o barco). 1 EM_V_FIS_006 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  2. 2. 2 EM_V_FIS_006 Lançamento horizontal no vácuo O movimento do projétil é composto por um MRU para a direita com velocida-de de módulo vx ( g é normal a vx; daí, a velocidade em x não é alterada) e por um MRUA na direção ver-tical para baixo (porque a aceleração da gravidade é constante e dirigida para baixo). Para a determinação das grandezas envolvidas, basta aplicar as equações do MRU e as do MRUV. Assim: •• Tempo de voo (t): É o tempo que o corpo vpermanece em queda. Para calculá-lo, basta aplicar a equação do espaço no MRUV: s – s= vt + gt2/2. Sendo s – s= H, v=0 e 000 0t= t, vem H = g. t2 / 2 ou vv tv = 2H g •• Alcance (A): O alcance é obtido multiplican-do o módulo da velocidade horizontal pelo tempo de voo: A= vX . tv •• Velocidade vertical (vY): Para calcular o mó-dulo da velocidade vertical em certo instante t, basta aplicar a equação da velocidade no MRUA, com v0 = 0. Daí: vY = g . t •• Vetor velocidade: Conhecidos vX e vY, a soma vetorial das duas velocidades nos dará o vetor velocidade instantânea em t. v = v2 x + v2 y arctg = vy vx Observação: As grandezas verticais, tais como velocidade, aceleração e deslocamento, estão sendo consideradas positivas nas fórmulas anteriores por-que o eixo y está orientado para baixo. Caso o eixo y estivesse orientado para cima as grandezas citadas seriam negativas. Lançamento oblíquo no vácuo v = vox Na subida tem-se a composição de um MRU no eixo x e de um MRUR no eixo y; na descida tem-se o mesmo MRU em x e um MRUA no eixo y. A velocidade inicial em x vale v0x = v0 cos . Esse valor se mantém (velocidade do MRU), pois sendo nula a projeção do vetor aceleração da gravidade sobre o eixo x, alteração alguma resulta no módulo de qualquer vetor com essa direção. A velocidade inicial em y vale v0y= v0 sen . Essa velocidade vai decaindo em módulo até atingir o valor zero no ponto mais alto da trajetória (onde ocorre a altura máxima H), em virtude do que, nesse ponto, se tem v = v0x = vx = v0 cos . O vetor velocidade instantânea em qualquer instante t pode ser determinado de maneira análoga àquela vista no lançamento horizontal. É importante frisar que o lançamento oblíquo é a composição de um lançamento vertical com um MRU. Assim, tudo aquilo visto no lançamento vertical vale igualmente agora na direção do eixo y. Para o cálculo das grandezas envolvidas, basta aplicarmos as equações dos movimentos componentes: MRU e MRUR na subida, MRU e MRUA na descida: •• Tempo de voo (tv): Basta aplicar a equação da velocidade do MRUR na direção do eixo y: Tem-se v0y = v0 sen e velocidade final nula, onde: 0=v0 sen – gts, onde ts= tv/2 é o tempo de subida. Vem: ts=v0 sen /g ou tv = 2v0 sen /g. Note que, para a mesma velocidade inicial, o tempo de voo máximo vale 2 v0/g°, que corresponde a sen = 1 ou = 90°. •• Alcance (A): Para o cálculo do alcance, basta aplicar o tna equação do MRU na direção v do eixo x: A=vt=vcos . 2vsen /g=v2. sen(2 )/g. xv0 00 Então: A = 2 sen2θ g V0 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  3. 3. Note que, para a mesma velocidade inicial, o alcance máximo vale v0 2/g, o que corresponde a sen (2 )=1 ou = 45°. •• Altura máxima (H): Para o cálculo de H, basta aplicar Torricelli ao eixo y na subida: 02 = (v0sen )2 – 2gH ou H=(v0sen )2/2g. Note que, se =45°, vem H= v0 2/4g = A/4; ou seja, para =45°, existe uma relação simples entre o alcance (A) e a altura máxima ou flecha (H): A=4H. Referencial O corpo em relação ao qual podemos identifi-car se um outro corpo qualquer está em movimento ou repouso é chamado de referencial. Seu estudo reveste-se de especial importância, considerando que as formas das trajetórias, posições, velocidades e acelerações dos corpos móveis dependem do refe-rencial considerado. A figura a seguir, em que se despreza a resis-tência do ar, considera o exemplo em que um avião deixa cair uma bomba: Trajetória da bomba, vista do avião (Referencial móvel) v v 1 2 v3 Trajetória da bomba, vista do solo (Referencial fixo) Movimentos relativo, de arrastamento e absoluto Consideremos o exemplo da figura acima: o corpo móvel é a bomba; o referencial móvel é o avião; o referencial fixo é o solo. O movimento do corpo móvel (bomba) em rela-ção ao referencial móvel (avião) é chamado movimen-to relativo. Na figura acima, a velocidade relativa é a de módulo igual a V2. O movimento do referencial móvel (avião) em re-lação ao referencial fixo (solo) é chamado movimento 006 FIS_de arrastamento. Na figura apresentada, a velocidade V_de arrastamento é a de módulo igual a V. 1EM_3 O movimento do corpo móvel (bomba) em rela-ção ao referencial fixo (solo) é chamado movimento absoluto. Na figura. acima, a velocidade absoluta é a de módulo igual a V3. Um observador no avião, que pudesse ver a bomba por um visor situado na fuselagem e imedia-tamente acima do ponto de onde ela foi solta, a veria cair sempre na vertical, em MRUA, enquanto o avião não alterasse sua altitude, pois ela continuaria em MRU para a direita, com a mesma velocidade com que voava o avião no instante em que a liberou. A composição dos movimentos Ainda quanto à figura do exemplo anterior, para a determinação da posição, velocidade e aceleração da bomba em dado instante, basta considerar a com-posição dos dois movimentos MRU (horizontal para a direita) e MRUA (na vertical para baixo), tratados independentemente um do outro, em obediência ao Princípio da Independência dos Movimentos Simultâneos, já analisado anteriormente, e aplicar a identidade vetorial: v absoluta v relativa + v arrastamento 1. (PUC) Uma bola rolou para fora de uma mesa de 80cm de altura e avançou horizontalmente, desde o instante em que abandonou a mesa até o instante em que atingiu o chão, 80cm. Considerando g = 10m/s2, a velocidade da bola, ao abandonar a mesa, era de: a) 8,0m/s b) 5,0m/s c) 4,0m/s d) 2,0m/s e) 1,0m/s `` Solução: D Trata-se de lançamento horizontal em que o alcance(A) vale 80cm. Assim, A = v0 . tv , onde tv é o tempo de voo. Admitindo desprezível a resistência do ar, o que o exercício deixou implícito, pode-se calcular o tempo de voo aplicando a equação do espaço na direção do eixo vertical (oy): H = gtv2 2 → tv2 = 2H g = 0,80m 5,0m/s2 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  4. 4. 4 EM_V_FIS_006 tv2 = 0,16s portanto tv = 0,40s Substituindo-se na fórmula do alcance tem-se que: 0,80m = V0.0,40s então: V0 = 2,0m/s (UEL) O que acontece com 2. o movimento de dois corpos de massas diferentes, ao serem lançados hori-zontalmente com a mesma velocidade, de uma mesma altura e ao mesmo tempo, quando a resistência do ar é desprezada? a) O objeto de maior massa atingirá o solo primeiro. b) O objeto de menor massa atingirá o solo primeiro. c) Os dois atingirão o solo simultaneamente. d) O objeto mais leve percorrerá distância maior. e) As acelerações de cada objeto serão diferentes. `` Solução: C O exercício é interessante, pois o que importa é a velo-cidade inicial de ambos os corpos (é verdade que, para imprimir ao corpo de maior massa a mesma velocidade que a do outro, é despendida maior energia, devido ao fato de a inércia ser maior; isso, no entanto, não interfere na cinemática da questão, e pode causar, vez por outra, alguma confusão em análise mais afoita). Se as velocidades iniciais são iguais e os lançamentos simultâneos, os corpos chegarão ao solo no mesmo instante e suas trajetórias, por estarmos desprezando a resistência do ar, serão paralelas. A alternativa correta, portanto, é a letra C. 3. (UFPI) Dois projéteis, I e II, são lançados de uma mesma posição, com velocidades iniciais de mesmo módulo v0 e diferentes ângulos de lançamento. As trajetórias dos projéteis estão mostradas na figura a seguir. Sobre os módulos das velocidades e das acelerações dos projéteis nos pontos 1 e 2 podemos afirmar corretamente que: a) v1 > v2 e a1 = a2 b) v1 = v2 e a1 = a2 c) v1 < v2 e a1 = a2 d) v1 = v2 e a1 > a2 e) v1 < v2 e a1 > a2 `` Solução: B A altura máxima atingida na tragetória I é maior do que a altura máxima atingida na tragetória II e, portanto, temos que V> V. Da equação de Torricelli, temos oyI oyII que Vy 2 = Voy 2 – 2g h, portanto, Vy1>Vy . Como Vx1< Vx2 precisamos calcular o módulo das velocidades V1 e V2 para obtermos a resposta. Logo, temos: V1 2 = Vx1 2 + Vy1 2 = Vx1 2 + Voy1 2 – 2g h1 = V2 – 2g ho 1 V2 2 = Vx2 2 + Vy2 2 = Vx2 2 + Voy2 2 – 2g h2 = Vo 2 – 2g h2. Como h1 = h2 temos que V1 2 = V2 2, e, portanto, V1 = V2 , embora V1y > V2y e V1x < V2x . A aceleração atuante nos dois casos é apenas a aceleração da gravidade e, portanto, a1 = a2 = g. Note que os diferentes ângulos de lançamento determi-naram trajetórias distintas e diferentes alturas máximas. 4. (UFRJ) Duas mesas de 0,80m de altura estão apoiadas sobre um piso horizontal, como mostra a figura a seguir. Duas pequenas esferas iniciam os seus movimentos simultaneamente do topo da mesa: 1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velo-cidade v0 na direção horizontal, apontando para a outra esfera, com módulo igual a 4m/s. 2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre. Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam o chão, pede-se: a) O tempo de queda das esferas. b) A distância x horizontal entre os pontos iniciais do movimento. `` Solução: Aplicando a equação dos espaços à esfera da direita: Δs = g t 2/2 ou 0,80 = 5t2 ou t = 0,40s. Aplicando a equação do alcance à esfera da esquerda, vem: x = v0 . t ou x = 4,0m/s . 0,4s = 1,6m. Há controvérsias, nos dias de hoje, acerca de onde se originou o futebol. Segundo alguns, esse esporte foi Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  5. 5. uma evolução de uma prática voltada para o treinamento de soldados, na China Antiga e chamada kemari: 16 jogadores se dividiam em duas equipes para jogar uma bola de couro, cheia de chinas e cabelos, de pé em pé, sem derrubar, dentro de duas estacas que ficavam fincadas no chão e ligadas por um fio de cera. Outros defendem a causa de o jogo ter suas raízes na Grécia Antiga, por volta do século I a.C., com o epyskiros, jogo militar disputado em Esparta, que usava como bola uma bexiga de boi cheia de areia e era disputada por dois times de quinze jogadores cada um. O jogo grego chegou a Roma e, já na Idade Média, transformou-se no harpastum, jogo em que militares se dividiam em defensores e atacantes para a disputa da partida. Foi na Itália, em 1529, que a nobreza adotou o então gioco del calcio, com dez juízes e disputado por 27 jogadores de cada lado, com posições fixas e, pela primeira vez, sem poderem dar socos e pontapés. No século XVII o jogo foi para a Inglaterra; lá, em 1660, surgiram regulamentações: o campo teria de medir 80m x 120m, o número de jogadores foi fixado, nas extremidades do campo deveriam existir dois postes de madeira com afastamento de um metro, a bola teria de ser de couro, cheia de ar e passar entre os postes. Em 1848, numa conferência realizada em Cambridge, foi estabelecido um código único de regras. Em 1862, apareceu o mais antigo time de futebol: o Notts County; no ano seguinte, 1863, foi formada a Football Association e realizado o primeiro jogo internacional, com o empate de 0 a 0 entre Inglaterra e Escócia. Em 1868 surgiu a figura do árbitro e, a partir daí, a evolução se acelerou: apito, travessão, redes, pênalti e número de jogadores por equipe (11). Em 1885 teve início o profissionalismo no futebol e, em 1888, foi formada a Football League. Em 1901 surgiu o limite das áreas; em 1907 foi instituída a “lei do impedimento”. A FIFA foi instituída em Paris, no ano de 1904. Em 1908 o futebol foi admitido nos jogos olímpicos e a primeira seleção a ser campeã foi a da Inglaterra, ao vencer a da Dinamarca por 2 a 0. Em 1930 ocorreu a primeira Copa do Mundo e a equipe campeã foi a do Uruguai. O Brasil já levantou cinco títulos mundiais nessas competições (1958 – Suécia; 1962 – Chile; 1970 – México; 1994 – Estados Unidos; 2002 – Coréia/Japão), sendo atualmente a única equipe ostentando o título de Pentacampeã Mundial de Futebol. A última Copa do Mundo foi realizada na Alemanha, em 2006. 5. (Fuvest) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma câmera digital, foi possível recons-tituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela 006 FIS_atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que V_bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão EM_5 representadas na figura. Após o choque, que é elástico, a bola retorna ao chão e o jogo prossegue. a) Estime o intervalo de tempo t1, em segundos, que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B. b) Estime o intervalo de tempo t2, em segundos, du-rante o qual a bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque. c) Represente, em sistema de eixos, em função do tempo, as velocidades horizontal Vx e vertical Vy da bola em sua trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão, identificando por Vx e Vy, respectivamente, cada uma das curvas. Note e adote: Vy é positivo quando a bola sobe. Vx é positivo quando a bola se move para a direita. `` Solução: a) hmax = Voy 2 2g Voy = 2ghmax Voy = 2 . 10 . 5 Voy = 10m/s VyA = Voy – gtA 0 = 10 – 10tA tA = 1,0 s hB = ho + VoytB – gtB 2 2 4,2 = 0 + 10tB – 5tB 2 5tB 2 – 10tB + 4,2 = 0 tB = 1,4s tBA = tB – tA = 1,4 – 1,0 = 0,4s b) VyB = Voy – gtB = 10 – 10 . 1,4 VyB = – 4m/s Vx = XAB/ tAB = 6 0,4 Vx = 15m/s A colisão com a parede não altera a componente vertical da velocidade da bola, pois a força atuante (normal) é puramente horizontal e, portanto, tem como único efeito a mudança no sentido da compo-nente horizontal da velocidade da bola. Logo, após o choque temos: V1 = –4m/s e V= –15m/s. yB’yB’ Então: h= h’+ V’t– gt2 c oB oyB c 2 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  6. 6. 6 EM_V_FIS_006 Substituindo na 2.ª equação a 1.ª, vem 2 vC = 3,6km/h e, portanto, vC = 1,8km/h. 7. (PUCPR) A figura representa um avião, que mergulha fazendo um ângulo de 30° com a horizontal, seguindo uma trajetória retilínea entre os pontos A e B. No solo, considerado como plano horizontal, está representada a sombra da aeronave, projetada verticalmente, e um ponto de referência C. Considere as afirmativas que se referem ao movimento da aeronave no trecho AB, e assinale a alternativa correta: a) A velocidade do avião em relação ao ponto C é maior que a velocidade de sua sombra, projetada no solo, em relação ao mesmo ponto. b) A velocidade do avião é nula em relação à sua som-bra projetada no solo. c) A velocidade do avião em relação ao ponto C é igual à velocidade de sua sombra, projetada no solo em relação ao mesmo ponto. d) A velocidade do avião em relação à sua sombra projetada no solo é maior que a velocidade de sua sombra em relação ao ponto C. e) A velocidade da sombra em relação ao ponto C in-depende da velocidade do avião. `` Solução: Para o que se segue, seja V o módulo da velocidade do avião no trecho AB. a) Correto: a do avião em relação a C vale V, enquanto a da sombra em relação ao mesmo ponto vale V cos 30° = 0,866V. b) Errado: o avião se aproxima de sua sombra com ve-locidade vertical para baixo de módulo V sen 30° = V/2. c) Errado: considerando o exposto na justificativa da alternativa a. d) Errado: a velocidade do avião em relação à sombra tem módulo V/2 e a desta em relação a C tem mó-dulo igual a 0,866V; portanto, maior que aquela. e) Errado: essa velocidade, como já dito, tem módulo igual a 0,866V; assim, depende da velocidade do avião. 0 = 4,2 – 4tc – 5tc 2 5tc 2 + 4tc – 4,2 = 0 tc = 0,6s Finalmente, o intervalo de tempo total, desde o ins-tante em que a bola é chutada até o momento em que atinge o solo é dado por: t = tB + tc t = 1,4 + 0,6 t = 2,0s c) Vx Vx 6. (Mackenzie) Uma lancha, subindo um rio, percorre, em relação às margens, 2,34km em 1 hora e 18 minutos. Ao descer o rio, percorre a mesma distância em 26 minutos. Observa-se que, tanto na subida como na descida, o módulo da velocidade da lancha em relação à água é o mesmo. O módulo da velocidade da correnteza, em km/h, em relação às margens é: a) 5,4 b) 4,5 c) 3,6 d) 2,7 e) 1,8 `` Solução: E Sendo vC a velocidade da correnteza, vb a velocidade rela-tiva (do barco em relação à água) e vs, vd as velocidades absolutas (do barco em relação às margens) na subida e na descida do rio, respectivamente, tem-se: vs = vb - vc = 2,34 / 78 = 0,03km/min = 1,8km/h (1.ª opção) vd = vb + vc = 2,34 / 26 = 0,09km/min = 5,4km/h (2.ª opção) Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  7. 7. 8. (UERJ) Um barco move-se em águas tranquilas, segun-do um observador em repouso no cais, com velocidade de módulo constante v. Num dado instante, uma pessoa de dentro do barco dispara um sinalizador no sentido contrário ao seu movimento. Para o observador no cais, o módulo v’ da velocidade com que o barco passa a se deslocar, após o disparo, obedece à seguinte relação: a) v’ = 0 b) 0 < v’ < v c) v’ = v d) v’ > v `` Solução: D Já se falou rapidamente na 3.ª Lei de Newton, o Princípio da Ação e da Reação: “quando um corpo exerce sobre outro uma força, esse reage, exercendo sobre o primeiro uma reação igual em módulo e direção, mas em sentido contrário”. Abordaremos em módulo futuro as Leis de Newton com maior aprofundamento. Pelo citado Princípio, quando o sinalizador é disparado em sentido contrário ao do movimento do barco, o meio exte-rior (ar) recebe a ação de uma força; segue-se a reação em sentido contrário, que pode ser decomposta numa força vertical e numa horizontal no sentido do movimento. Esse efeito faz aumentar a velocidade do barco em relação às margens (velocidade absoluta), donde V’ >V . 9. (UERJ) Na figura a seguir, o retângulo representa a janela de um trem que se move com velocidade constante e não-nula, enquanto a seta indica o sentido de movimento do trem em relação ao solo. Dentro do trem, um passageiro sentado nota que começa a chover. Vistas por um observador em repouso em relação ao solo terrestre, as gotas da chuva caem verticalmente. Na visão do passageiro que está no trem, a alternativa que melhor descreve a trajetória das gotas através da janela é: a) 006 FIS_b) V_EM_7 c) d) `` Solução: A A velocidade do trem (VT ) é a velocidade de arrasta-mento, desejamos achar a relativa (VR ) e o observador no solo vê a direção da velocidade absoluta (VABS ), ou seja, VR = VABS – VT VABS = VRT + VT Basta montarmos o triângulo das velocidades de modo a satisfazer à identidade vetorial de a velocidade absoluta ser a soma vetorial das velo-cidades relativa e de arrastamento. 10. Pela chaminé de um navio são eliminados gases e va-pores decorrentes da queima de óleo combustível. Isso ocasiona a aderência, em suas paredes internas, de uma fuligem que, se não for retirada periodicamente, pode gerar situações de incêndio. Essa necessidade é atendi-da, estando o navio no mar, por uma manobra intitulada “limpeza de chaminé”, que consiste no seguinte: 1) o pessoal de serviço na Máquina pede autorização ao Oficial de Quarto, responsável pela manobra do navio, para realizar a referida limpeza; 2) o Oficial de Quarto manda aguardar e, enquanto isso, guina o navio para o rumo adequado, que de-pende de sua velocidade, de forma a que o vento aparente ou relativo saia na perpendicular a um dos bordos do navio (ou o da direita (boreste – BE) de quem olha para a frente da embarcação (proa) ou o da esquerda (bombordo – BB)); 3) com o navio estabilizado no referido rumo, o Ofi-cial de Quarto autoriza a realização da limpeza, que consiste em liberar pela chaminé jatos de ar sob pressão, o que dura cerca de 10 minutos; 4) o pessoal da Máquina comunica ao Oficial de Quar-to o término da limpeza e este manobra o navio para o rumo anterior ou para um rumo adequado a retomar a posição anterior. A operação libera grande quantidade de fuligem negra e, se não obedecida a condição de sair per-pendicularmente por sotavento (bordo por onde sai o vento; oposto de barlavento, bordo por onde entra o vento), parte dela cairá sobre o navio, sujan-do- o completamente. Agora, coloque-se no lugar de Oficial de Quarto de um navio navegando no rumo 040, com vinte nós e, Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  8. 8. 8 EM_V_FIS_006 sendo 030 a direção do vento real e 15 nós a sua intensidade, ambos fornecidos pelo anemômetro. Você irá autorizar a “limpeza de chaminé” a 10 nós, com sotavento a boreste (BE). Para que rumo você deverá guinar, antes de autorizar a manobra? `` Solução: Sendo o vetor tr aquele que representa a velocidade de seu navio e tw o do rumo e intensidade do vento (a direção do vento é a marcação de onde ele vem; o rumo do vento é aquela marcação para onde ele vai), o problema pode ser resolvido graficamente com o dis-positivo da figura, chamado “rosa de manobra”, em que as circunferências concêntricas têm raios 5, 10, 15 e 20 milhas náuticas (1mi = 1 852m), neste nosso exemplo. Passo 1: trace o vetor tw, que representa o rumo e intensidade do vento real (210–15 nós) (1 nó = 1 milha/h = 1’/h). Passo 2: do ponto w trace uma tangente à circun-ferência de raio = 10’ (velocidade com que seu navio executará a manobra), para o lado compatível com o bordo desejado para ser o de sotavento, considerando que o sentido do vento aparente é de r para w. Passo 3: ligue o ponto central t ao de tangência e de-termine o vetor tr, que dá o rumo (158) em que seu navio deverá executar a manobra a 10 nós de velocidade. t W r 1. (PUC-Rio) Na ausência de resistência do ar, um objeto largado sob um avião voando em linha reta horizontal com velocidade constante: a) subirá acima do avião e depois cairá. b) rapidamente ficará para trás. c) rapidamente ultrapassará o avião. d) oscilará para frente e para trás do avião. e) permanecerá sob o avião. 2. (Fuvest) Uma bola cai de uma mesa horizontal de 80cm de altura, atingindo o chão a uma distância horizontal de 2,0m da vertical que passa pelo ponto de lançamento. Sua velocidade na horizontal, ao abandonar a mesa, era de: (g = 10m/s2) a) 4m/s b) 5m/s c) 8m/s d) 10m/s e) 15m/s 3. (Cesgranrio) Para bombardear um alvo, um avião em voo horizontal, a uma altitude de 2,0km, solta uma bomba quando a sua distância horizontal até o alvo é de 4,0km. Admite-se que a resistência do ar seja desprezível. Para atingir o mesmo alvo, se o avião voasse com a mesma velocidade, mas agora a uma altitude de apenas 0,50km, ele teria que soltar a bomba a uma distância horizontal do alvo igual a: a) 0,25km b) 0,50km c) 1,0km d) 1,5km e) 2,0km 4. (PUC-Minas) Um homem, em pé, sobre a carroceria de um caminhão que se move em uma estrada reta com ve-locidade constante, lança uma pedra verticalmente para cima. Com relação ao movimento da pedra, desprezando o atrito com o ar, é correto afirmar que: a) ela cairá ao chão, atrás do caminhão, se a velocida-de deste for grande. b) ela cairá nas mãos do homem, qualquer que seja a velocidade do caminhão. c) em relação à estrada, a pedra tem movimento retilí-neo uniformemente acelerado. d) em relação ao caminhão, o movimento da pedra é retilíneo uniforme. e) em relação ao homem, a trajetória da pedra é a de um projétil. 5. (Feso) Na figura abaixo, duas partículas, 1 e 2, são lan-çadas obliquamente no vácuo com velocidades iniciais v1 e v2, respectivamente, formando ângulos diferentes com a horizontal. Os tempos de voo dessas partículas (isto é, os tempos que elas levam para voltar ao atingir o mesmo plano horizontal de lançamento) valem, res-pectivamente, t1 e t2. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  9. 9. Se, no entanto, ambas as partículas atingem a mesma altura máxima h, é correto afirmar que: a) v1 < v2 e t1 = t2 b) v1 < v2 e t1 < t2 c) v1 > v2 e t1 > t2 d) v1 = v2 e t1 < t2 e) v1 = v2 e t1 = t2 6. (EsPCEx) Dois corpos A e B, situados a 10m do solo, são simultaneamente testados em um experimento. O corpo A é abandonado ao mesmo tempo em que B é lançado horizontalmente com uma velocidade inicial V0 = 20m/s. Desprezando-se a resistência do ar, a diferença entre o tempo de queda dos corpos A e B, em segundos, é: a) 3,0 b) 4,0 c) 0,0 d) 2,2 e) 1,8 7. (Cesgranrio) Na superfície horizontal do patamar supe-rior de uma escada, uma esfera de massa 10g rola de um ponto A para um ponto B, projetando-se no ar a partir deste ponto para os degraus inferiores. Cada degrau tem altura de 20cm e largura de 30cm. Considerando-se desprezível a resistência do ar e g = 10m/s2, a velocidade mínima que a esfera deve ter ao passar pelo ponto B, para não tocar no primeiro degrau logo abaixo, é, em m/s, igual a: a) 0,6 b) 0,8 c) 1,0 d) 1,2 e) 1,5 8. (UFBA) De um ônibus que trafega numa estrada reta e horizontal com velocidade constante de 20m/s desprende-se um parafuso, situado a 0,80m do solo e que se fixa à pista no local em que a atingiu. Tomando-se como referência uma escala cujo zero coincide com a vertical no instante em que se inicia a queda do parafuso e considerando-se g = 10m/s2, determine, em m, a que distância este será encontrado sobre a pista. 9. (Cefet-RJ) Uma bola de pingue-pongue rola sobre uma mesa com velocidade constante de 2m/s. Após sair da mesa, cai, atingindo o chão a uma distância de 0,80m dos pés da mesa. Adote g = 10m/s2, despreze a resistência do ar e determine: a) a altura da mesa; b) o tempo gasto para atingir o solo. 10. (FEI-SP) Um canhão dispara projéteis de 20kg com um ângulo de 30ºm relação à horizontal, com velocidade de 720km/h. Desprezando-se as resistências opostas pelo ar ao movimento e adotando g = 10m/s2, pergunta-se: qual o alcance do projétil? 11. (PUC-SP) Um saveiro, com o motor a toda potência, sobe um rio a 16km/h e desce a 30km/h, velocidades essas medidas em relação às margens do rio. Sabe-se que, tanto subindo como descendo, o saveiro tinha velocidade relati-va de mesmo módulo, e as águas do rio tinham velocidade constante v. Nesse caso, v, em km/h, é igual a: a) 7 b) 10 c) 14 d) 20 e) 28 12. (UERJ) A figura abaixo representa uma escuna atracada ao cais. Deixa-se cair uma bola de chumbo do alto do mastro (ponto O). Nesse caso, ela cairá ao pé do mastro (ponto Q). Quando a escuna estiver se afastando do cais, com velocidade constante, se a mesma bola for abandonada do mesmo ponto O, ela cairá no seguinte ponto da figura: a) P b) Q c) R d) S 13. (MED-SM-RJ) Descendo um rio, um barco com o mo-tor a toda potência, percorre 60km em 2h. Em sentido contrário, percorre 40km em igual intervalo de tempo. A velocidade do barco em relação às águas e a velocidade das águas em relação às margens do rio são, respecti-vamente, 006 FIS_V_EM_em km/h, iguais a: 9 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  10. 10. 10 EM_V_FIS_006 a) 12,5 e 7,5 b) 25 e 5 c) 25 e 20 d) 30 e 5 e) 30 e 20 14. (Fuvest) A janela de um trem tem dimensões de 80cm na horizontal e 60cm na vertical. O trem está em movimento retilíneo e uniforme horizontal com a velocidade de valor V. Um passageiro, dentro do trem, vê as gotas de chuva caírem inclinadas na direção da diagonal da janela. Su-pondo que as gotas, em relação ao solo, estejam caindo com velocidade V, na vertical, essa velocidade seria: a) 5V 3 4 b) V 4 3 c) V 5 8 d) V V 5 e) 15. (PUC-SP) Dois móveis estão dotados de Movimentos Uniformes sobre uma trajetória retilínea, de tal forma que a distância entre eles aumenta de 10 metros por segundo quando se deslocam no mesmo sentido e de 30 metros por segundo quando se deslocam no sentidos opostos. Os valores das velocidades desses móveis são: a) 20m/s e 10m/s b) 30m/s e 5m/s c) 30m/s e 20m/s d) 20m/s e 5m/s e) 25m/s e 10m/s 16. (Unirio) Dois móveis, S e T cruzam-se no ponto O, dirigindo-se segundo as direções s e t, com velocidades constantes vs = 10m/s e vt = 6m/s. Após certo tempo t, a velocidade de S em relação a T é mais bem representada por: (cos 53o = 0,60; sen 53o = 0,80) a) b) c) 53o d) e) 53o 17. (PUC-SP) Um degrau de escada rolante leva 60s para ir até o andar superior. Com a escada desligada, uma pessoa leva 90s para subi-la. Quanto tempo a mesma pessoa levaria para subir até o andar superior, se cami-nhasse sobre a escada rolante ligada? 18. (UFPE) Um veículo viaja na direção norte-sul com uma velocidade v1 = 40km/h. Um segundo veículo viajando na mesma direção mas em sentido oposto, tem velocidade v2 = 50km/h. Determine a velocidade relativa entre os dois veículos. 19. (Fuvest) Um disco roda sobre uma superfície plana, sem deslizar. A velocidade do centro O é v0 . Em relação ao plano: a) qual a velocidade V A do ponto A? b) qual a velocidade do ponto B? 1. (Fuvest) Um motociclista de motocross move-se com velocidade v = 10m/s, sobre uma superfície plana, dirigindo-se a uma rampa (em A), inclinada de 45º com a horizontal como indicado na figura. A trajetória do motociclista deverá atingir novamente a rampa a uma distância horizontal D (D = H), do ponto A aproximadamente igual a: Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  11. 11. a) 20m b) 15m c) 10m d) 7,5m e) 5m 2. (FEI-SP) Um avião, em voo horizontal 2 000m de altura, deve soltar uma bomba sobre um alvo móvel. A velo-cidade do avião é 432km/h, a do alvo é 10m/s, ambas constantes e de mesmo sentido, e g = 10m/s2. Para o alvo ser atingido, o avião deverá soltar a bomba a uma distância d, em metros, igual a: a) 2 000 b) 2 200 c) 2 400 d) 2 600 e) 2 800 3. (UFF) Uma criança arremessa uma bola de tênis contra um muro vertical. O ponto de lançamento situa-se 1,35m abaixo do topo do muro e a velocidade de lançamento tem módulo v e uma inclinação de 60° com relação à horizontal. Desprezando-se a resistência do ar. O menor valor de v para que a bola ultrapasse o muro é, aproximadamente, igual a: a) 2,7m/s b) 3,6m/s c) 4,8m/s d) 5,2m/s e) 6,0m/s 4. (Unicamp) De um ponto PM, a uma altura de 1,8m, lançou-se horizontalmente uma bomba de gás lacrimo-gêneo que atingiu os pés de um professor universitário à 20m de distância, como indica a figura. a) Quanto tempo levou a bomba para atingir o pro-fessor? b) Com que velocidade v0(em km/h) foi lançada a bomba? 5. (UERJ) Um projétil é lançado segundo um ângulo de 006 FIS_30° com a horizontal e com uma velocidade de 200m/s. V_Supondo a aceleração igual a 10m/s2 e desprezando a EM_11 resistência do ar, concluímos que o menor tempo gasto por ele para atingir a altura de 480m acima do ponto de lançamento será de: a) 8s b) 10s c) 9s d) 14s e) 12s 6. (ITA) Uma bola é lançada horizontalmente do alto de um edifício, tocando o solo decorridos aproximadamente 2s. Sendo de 2,5m a altura de cada andar, o número de andares do edifício é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) indeterminado, pois a velocidade horizontal de ar-remesso da bola não foi fornecida. 7. (UERJ) Um atirador de facas faz seus arremessos a partir de um ponto P, em direção a uma jovem que se encontra em pé, encostada em um painel de madeira. A altura do ponto P é de 2,0m e sua distância ao painel é de 3,0m. A primeira faca é jogada para o alto com a componente horizontal da velocidade igual a 3,0m/s e a componente vertical igual a 4,0m/s. A faca se move em um plano vertical perpendicular ao painel. Desprezando a resistência do ar e qualquer movimento de giro da faca em torno de seu centro de gravidade, determine a altura do ponto em que atinge o painel. 8. (Unicamp) Um habitante do planeta Bongo atirou uma flecha e obteve os gráficos abaixo. Sendo x a distância horizontal e y a vertical: a) Qual a velocidade horizontal da flecha? b) Qual a velocidade vertical inicial da flecha? c) Qual o valor da aceleração da gravidade no planeta Bongo? 9. (UFCE) Uma bola de 1cm de diâmetro rola do alto de uma escada com 99 degraus, a uma velocidade de 2m/s, conforme a figura. Os degraus da escada têm 18cm de altura e 18cm de largura. Desprezando a resistência do Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  12. 12. 12 EM_V_FIS_006 ar e considerando g = 10m/s2, determine o primeiro degrau atingido pela bola. 10. (UFRJ) Duas mesas de 0,80m de altura estão apoiadas sobre um piso horizontal, como mostra a figura abaixo. Duas pequenas esferas iniciam o seu movimento simul-taneamente do topo da mesa: 1) a primeira, da mesa esquerda, é lançada com velo-cidade V0 na direção horizontal, apontando para a outra esfera, com módulo igual a 4m/s; 2) a segunda, da mesa da direita, cai em queda livre. Sabendo que elas se chocam no momento em que tocam o chão, determine: a) o tempo de queda das esferas. b) a distância (x) horizontal entre os pontos iniciais do movimento. 11. (Unicamp) Até os experimentos de Galileu Galilei, pen-sava- se que quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante. Quando o im-petus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada. Consideremos que um canhão dispara pro-jéteis com uma velocidade inicial de 100m/s, fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus, o outro, Salviati, as ideias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil. Despreze o atrito com o ar. a) Qual o alcance do projétil? b) Qual a altura máxima alcançada pelo projétil, se-gundo os cálculos de Salviati? c) Qual a altura máxima calculada por Simplício? 12. (UFMG) Um cano de irrigação, enterrado no solo, ejeta água a uma taxa de 15 litros por minuto com uma velocidade de 10m/s. A saída do cano é apontada para cima fazendo um ângulo de 30º com o solo, como mostra a figura. Despreze a resistência do ar e considere g = 10m/s2, sen 30º = 0,50 e cos de 30º = 0,87 Calcule quantos litros de água estarão no ar na situação em que o jato d’água é contínuo, do cano ao solo. 13. (AFA) Uma esteira rolante com velocidade ve, transporta uma pessoa de A para B em 15s. Essa mesma distân-cia é percorrida em 30s se a esteira estiver parada e a velocidade da pessoa for constante e igual a vp. Se a pessoa caminhar de A para B, com a velocidade vp, sobre a esteira em movimento, cuja velocidade é ve, o tempo gasto no percurso, em segundos, será: a) 5 b) 10 c) 15 d) 30 14. (UEL) Duas cidades A e B distam entre si 400km. Da cidade A parte um móvel P dirigindo-se à cidade B e, no mesmo instante, parte de B outro móvel Q dirigindo-se a A. Os móveis P e Q executam movimentos uniformes e suas velocidades escalares são, em módulo, 30km/h e 50km/h, respectivamente. A distância da cidade A ao ponto de encontro dos móveis P e Q, em km, vale: a) 120 b) 150 c) 200 d) 240 e) 250 15. (UFF) Temos dois trens movendo-se com velocidades constantes vA e vB paralelamente um ao outro sendo vA > vB. Um deles mede 100m e o outro 140m. Quando os dois se movem no mesmo sentido, são necessários 40s para que um ultrapasse o outro. Quando os dois se movem em sentidos contrários são necessários 10s para que um passe pelo outro. As velocidades de A e B, em m/s, serão, respectivamente: a) 2 e 5 b) 10 e 18 c) 15 e 9 d) 16 e 8 e) 20 e 4 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  13. 13. 16. (UFSC) Um trem viaja a uma velocidade constante de 50km/h. Ao mesmo tempo, cai uma chuva, com ausência de vento. O trajeto das gotas de água nos vidros laterais do trem são segmentos de reta que formam ângulos de 60o com a vertical. Determinar a velocidade das gotas, em relação ao solo. 17. (FEI-SP) A roda da figura rola, sem escorregar, para-lelamente a um plano vertical fixo. O centro O da roda tem velocidade constante v = 5m/s. Qual é o módulo da velocidade do ponto B no instante em que o diâmetro AB é paralelo ao plano de rolamento? 18. (AFA) Em um dia de chuva os pingos d’água caem com velocidade vertical constante e de intensidade 5,0m.s-1. Um carro se movimenta em uma estrada horizontal com velocidade constante e de intensidade 18km/h. a) Qual o ângulo entre a vertical do lugar e a trajetória dos pingos d’água em relação ao carro? b) Qual a intensidade da velocidade dos pingos d’água em relação ao carro? 19. (Cefet-PR) Uma criança deixa cair, do 15.o andar de um edifício, um vaso de cristal. No mesmo instante, uma pessoa na calçada a 15m do edifício, vendo a situação, começa a correr para pegar o vaso. Se cada andar tem altura de 3,0m, determine a velocidade mínima que a pessoa terá que correr, para o vaso não cair no chão, em m/s. Dados: despreze a resistência do ar e considere g = 10m/s2). 20. (FGV-SP) De duas cidadezinhas, ligadas por uma estrada reta de 10km de comprimento, partem simultaneamente, uma em direção à outra, duas carroças, puxadas cada uma por um cavalo e andando à velocidade de 5km/h. No instante da partida, uma mosca, que estava pousada na testa do primeiro cavalo, parte voando em linha reta, com velocidade de 15km/h e vai pousar na testa do segundo cavalo. Após um intervalo de tempo desprezível, parte novamente e volta, com a mesma velocidade de antes, em direção ao primeiro cavalo, até pousar em sua testa. E assim prossegue nesse vaivém, até que os dois cavalos se encontram e a mosca morre esmagada entre as duas testas. Quantos quilômetros percorreu a mosca? 21. (ITA) Um barco com motor em regime constante, desce um trecho de um rio em 2 horas e sobe o mesmo trecho em 4 horas. Quanto tempo levará o barco para percorrer o mesmo trecho, rio abaixo, com o motor desligado? 006 FIS_22. (Fuvest) O deslocamento de uma partícula no plano é V_definido pelas equações horárias: X = 3t + 1 e Y = 4t+ EM_2, onde X e Y são dados em metros e t em segundos. 13 a) Qual o módulo da velocidade? b) Qual a trajetória? 23. Suponha que você e um par de boias salva-vidas este-jam descendo um rio. Ambos salva-vidas estão a uma distância de 3 metros de você. Você está entre os dois salva-vidas e pode nadar com velocidade de 0,50m/s, em relação a água. Sendo a velocidade da correnteza em relação a margem de 2,50m/s, o tempo para alcançar a boia que desce o rio na sua frente é T1 e para alcançar a boia que desce o rio atrás de você é T2. Determinar a diferença entre T2 e T1. 24. (UFRJ) Considere que em uma corrida de automóvel o líder da prova e um retardatário mantêm em cada volta, uma velocidade escalar média constante de 300km/h e de 280km/h, respectivamente. a) Calcule a velocidade relativa do líder em relação ao retardatário. b) Calcule quantas voltas o líder terá que completar, após ultrapassar o retardatário, até alcançá-lo no-vamente. Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  14. 14. 14 EM_V_FIS_006 1. E 2. B 3. E 4. B 5. A 6. C 7. E 8. 8m. 9. a) 0,8m b) t = 0,4s 10. 2 000 3m 11. A 12. B 13. B 14. B 15. A 16. A 17. Δt = 36s 18. v = 90km/h 19. vA = 0 e vB = 2 v0. 1. A 2. B 3. E 4. a) 0,6s b) 120km/h 5. A 6. C Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  15. 15. 7. h = 1m 8. a) vx = 1,5m/s b) vy0 = 0 c) gB = 2m/s2 9. número de degraus = 8 0,18 ≅ 4,4; logo o quinto degrau é atingido pela bola. 10. a) 0,4s b) 1,6m 11. a) 500 3m b) 125m c) 500m 12. 0,25l 13. B 14. B 15. C 16. v = 28,9km/h 17. v = 5 2 m/s 18. a) α = 45º b) vR = 5 2 m/s 19. 5m/s 20. 15km 21. 8h 22. a) 5m/s b) y = 4x 3 + 2 3 23. As boias e o nadador estão inicialmente com a mesma velocidade (da correnteza), logo, em repouso um em re-lação aos outros. O tempo é o mesmo: t1= t2⇒ Δt = 0 24. 006 a) 20km/h FIS_V_b) 15 voltas EM_15 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
  16. 16. 16 EM_V_FIS_006 Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br

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