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Funções exponencial e logarítmica

polígrafo

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FUNC¸ ˜OES EXPONENCIAL E
LOGAR´ITMICA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Fun¸c˜ao Exponencial
Chamamos y = ax
de fun¸c˜ao exponencial de base a, para a > 0 e a = 1.
Esta fun¸c˜ao tem dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = (0, +∞).
Para a determina¸c˜ao da imagem, basta ver que se 0 < a < 1,
lim
x→−∞
ax
= +∞ e lim
x→+∞
ax
= 0
e para o caso a > 1,
lim
x→−∞
ax
= 0 e lim
x→+∞
ax
= +∞
Esses limites podem ser entendidos como consequˆencia das leis da opera-
¸c˜ao de potencia¸c˜ao:
• Se a > 1, por exemplo a = 2, ent˜ao a2
= 22
= 4, a3
= 23
= 8,
a4
= 24
= 16, e assim por diante, com o limite an
→ +∞ a medida que
n → +∞
• Tomando novamente a = 2, ent˜ao a−2
= 2−2
= 1/4 = 0, 25, a−3
=
2−3
= 1/8 = 0, 125, a−4
= 2−4
= 1/16 = 0, 0625, e assim por diante,
com o limite an
→ 0 a medida que n → −∞
• Para 0 < a < 1, suponhamos a = 1/2 = 0, 5, ent˜ao a2
= (1/2)2
=
1/4 = 0, 25, a3
= (1/2)3
= 1/8 = 0, 125, a4
= (1/2)4
= 1/16 = 0, 0625,
e assim por diante, com o limite an
→ 0 quando n → +∞
• Para a = 1/2 = 0, 5, ent˜ao a−2
= 22
= 4, a−3
= 23
= 8, a−4
= 24
= 16,
e assim por diante, com o limite an
→ +∞ quando n → −∞
1
GR´AFICO
Devemos considerar o seguinte:
• A curva da fun¸c˜ao est´a toda acima do eixo das abscissas pois ax
> 0
para todo x se a > 0
• O gr´afico da fun¸c˜ao cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1) pois
f(0) = a0
= 1
• f(x) = ax
´e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1 pela discuss˜ao
anterior, feita na defini¸c˜ao da imagem da fun¸c˜ao exponencial
• A fun¸c˜ao apresenta uma ass´ıntota horizontal sobre o eixo das abscissas
a > 1 0 < a < 1
FUNC¸ ˜AO EXPONENCIAL NATURAL
Seja e = 2, 71828182845 . . . , chamado de n´umero de Euler. Definimos a
fun¸c˜ao exponencial base e, chamada de fun¸c˜ao exponencial natural como:
f(x) = ex
A defini¸c˜ao do n´umero de Euler ´e dada por:
e = lim
x→+∞
1 +
1
x
x
2
2 Fun¸c˜ao Logar´ıtmica
Chamamos y = loga x, com a > 0 e a = 1, de fun¸c˜ao logar´ıtmica base a.
Esta fun¸c˜ao tem dom´ınio dom(f) = (0, +∞) e imagem img(f) = R.
A fun¸c˜ao logar´ıtmica e a fun¸c˜ao exponencial s˜ao fun¸c˜oes inversas uma da
outra, ou seja, se f(x) = loga x ent˜ao f−1
(x) = ax
.
GR´AFICO
Para esbo¸car o gr´afico da fun¸c˜ao logar´ıtmica devemos saber que:
• Toda a curva do gr´afico da fun¸c˜ao fica `a direita do eixo das ordenadas
• A curva do gr´afico cruza o eixo das abscissas em (1, 0)
• O gr´afico de f(x) = loga x ´e sim´etrico ao gr´afico de g(x) = ax
com
rela¸c˜ao `a reta h(x) = x, que ´e a bissetriz do 1o
e do 3o
quadrantes
a > 1 0 < a < 1
Observa¸c˜ao: a fun¸c˜ao exponencial est´a representada em cor azul e a fun¸c˜ao
logar´ıtmica est´a representada em cor vermelha.
3
FUNC¸ ˜AO LOGARITMO NATURAL
Podemos definir a fun¸c˜ao logar´ıtmica de base e, chamada de fun¸c˜ao loga-
ritmo natural, representada por f(x) = ln x, que ´e a fun¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao
exponencial natural, ou seja f−1
(x) = ex
.
MUDANC¸ A DE BASE
Para n´umeros positivos a, b e x com a = 1 e b = 1, temos:
logb x =
loga x
loga b
Por exemplo, log5 10 = ln 10
ln 5
REPRESENTANDO QUALQUER EXPONENCIAL POR MEIO
DA EXPONENCIAL NATURAL
Vale a seguinte rela¸c˜ao entre uma exponencial de base a e a exponencial
natural:
f(x) = ax
⇔ f(x) = ex ln a
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
1. loga 1 = 0, porque a0
= 1
2. logaa = 1, porque a1
= a
3. loga(uv) = loga u + loga v (regra do produto)
4. loga
u
v
= loga u − loga v (regra do quociente)
5. loga un
= n loga u (regra da potˆencia)
6. loga au
= u (composi¸c˜ao da fun¸c˜ao com sua inversa)
7. aloga u
= u (composi¸c˜ao da fun¸c˜ao com sua inversa)
EXEMPLO DE USO DAS PROPRIEDADES
loga(9xy5
) = loga 9 + loga x + loga y5
= loga 32
+ loga x + loga y5
=
2 loga 3 + loga x + 5 loga y
4
3 Solu¸c˜ao de Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes Expo-
nenciais e Logar´ıtmicas
1. Resolva 20 1
2
x
3
= 5
(a) 20 1
2
x
3
= 5
(b) 1
2
x
3
= 1
4
(c) 1
2
x
3
= 1
2
2
(d) x
3
= 2
(e) x = 6
2. Resolva log10 x2
= 2
(a) log10 x2
= 2
(b) log10 x2
= log10 102
[porque x = loga ax
= log10 102
= 2 pela
propriedade 6]
(c) x2
= 102
(d) x2
= 100
(e) x = 10 ou x = −10
3. Resolva 2 ln(x + 1) = 4
(a) 2 ln(x + 1) = 4
(b) ln(x + 1) = 2
(c) x + 1 = e2
[pela aplica¸c˜ao da exponencial natural em ambos os
lados da equa¸c˜ao, eln(x+1)
= x + 1 pela propriedade 7]
(d) x = e2
− 1
4. Resolva 2 log10 x − 4 log10 3 > 0
(a) 2 log10 x − 4 log10 3 > 0
(b) 2 log10 x > 4 log10 3
(c) log10 x > 2 log10 3
(d) log10 x > log10 32
[pela propriedade 5]
5
(e) x > 32
(f) x > 9
(g) S = {x ∈ R|x > 9} ou S = (9, +∞)
5. Resolva −2 ln(ex) > 4
(a) −2 ln(ex) > 4
(b) ln(ex) < −2 [propriedade das inequa¸c˜oes]
(c) ln e + ln x < −2 [pela propriedade 3]
(d) 1 + ln x < −2 [pela propriedade 2]
(e) ln x < −3
(f) x < e−3
[pela propriedade 7]
(g) S = {x ∈ R|x < e−3
} ou (−∞, e−3
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  • 1. FUNC¸ ˜OES EXPONENCIAL E LOGAR´ITMICA Prof. Dr. Carlos A. P. Campani 1 Fun¸c˜ao Exponencial Chamamos y = ax de fun¸c˜ao exponencial de base a, para a > 0 e a = 1. Esta fun¸c˜ao tem dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = (0, +∞). Para a determina¸c˜ao da imagem, basta ver que se 0 < a < 1, lim x→−∞ ax = +∞ e lim x→+∞ ax = 0 e para o caso a > 1, lim x→−∞ ax = 0 e lim x→+∞ ax = +∞ Esses limites podem ser entendidos como consequˆencia das leis da opera- ¸c˜ao de potencia¸c˜ao: • Se a > 1, por exemplo a = 2, ent˜ao a2 = 22 = 4, a3 = 23 = 8, a4 = 24 = 16, e assim por diante, com o limite an → +∞ a medida que n → +∞ • Tomando novamente a = 2, ent˜ao a−2 = 2−2 = 1/4 = 0, 25, a−3 = 2−3 = 1/8 = 0, 125, a−4 = 2−4 = 1/16 = 0, 0625, e assim por diante, com o limite an → 0 a medida que n → −∞ • Para 0 < a < 1, suponhamos a = 1/2 = 0, 5, ent˜ao a2 = (1/2)2 = 1/4 = 0, 25, a3 = (1/2)3 = 1/8 = 0, 125, a4 = (1/2)4 = 1/16 = 0, 0625, e assim por diante, com o limite an → 0 quando n → +∞ • Para a = 1/2 = 0, 5, ent˜ao a−2 = 22 = 4, a−3 = 23 = 8, a−4 = 24 = 16, e assim por diante, com o limite an → +∞ quando n → −∞ 1
  • 2. GR´AFICO Devemos considerar o seguinte: • A curva da fun¸c˜ao est´a toda acima do eixo das abscissas pois ax > 0 para todo x se a > 0 • O gr´afico da fun¸c˜ao cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1) pois f(0) = a0 = 1 • f(x) = ax ´e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1 pela discuss˜ao anterior, feita na defini¸c˜ao da imagem da fun¸c˜ao exponencial • A fun¸c˜ao apresenta uma ass´ıntota horizontal sobre o eixo das abscissas a > 1 0 < a < 1 FUNC¸ ˜AO EXPONENCIAL NATURAL Seja e = 2, 71828182845 . . . , chamado de n´umero de Euler. Definimos a fun¸c˜ao exponencial base e, chamada de fun¸c˜ao exponencial natural como: f(x) = ex A defini¸c˜ao do n´umero de Euler ´e dada por: e = lim x→+∞ 1 + 1 x x 2
  • 3. 2 Fun¸c˜ao Logar´ıtmica Chamamos y = loga x, com a > 0 e a = 1, de fun¸c˜ao logar´ıtmica base a. Esta fun¸c˜ao tem dom´ınio dom(f) = (0, +∞) e imagem img(f) = R. A fun¸c˜ao logar´ıtmica e a fun¸c˜ao exponencial s˜ao fun¸c˜oes inversas uma da outra, ou seja, se f(x) = loga x ent˜ao f−1 (x) = ax . GR´AFICO Para esbo¸car o gr´afico da fun¸c˜ao logar´ıtmica devemos saber que: • Toda a curva do gr´afico da fun¸c˜ao fica `a direita do eixo das ordenadas • A curva do gr´afico cruza o eixo das abscissas em (1, 0) • O gr´afico de f(x) = loga x ´e sim´etrico ao gr´afico de g(x) = ax com rela¸c˜ao `a reta h(x) = x, que ´e a bissetriz do 1o e do 3o quadrantes a > 1 0 < a < 1 Observa¸c˜ao: a fun¸c˜ao exponencial est´a representada em cor azul e a fun¸c˜ao logar´ıtmica est´a representada em cor vermelha. 3
  • 4. FUNC¸ ˜AO LOGARITMO NATURAL Podemos definir a fun¸c˜ao logar´ıtmica de base e, chamada de fun¸c˜ao loga- ritmo natural, representada por f(x) = ln x, que ´e a fun¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao exponencial natural, ou seja f−1 (x) = ex . MUDANC¸ A DE BASE Para n´umeros positivos a, b e x com a = 1 e b = 1, temos: logb x = loga x loga b Por exemplo, log5 10 = ln 10 ln 5 REPRESENTANDO QUALQUER EXPONENCIAL POR MEIO DA EXPONENCIAL NATURAL Vale a seguinte rela¸c˜ao entre uma exponencial de base a e a exponencial natural: f(x) = ax ⇔ f(x) = ex ln a PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 1. loga 1 = 0, porque a0 = 1 2. logaa = 1, porque a1 = a 3. loga(uv) = loga u + loga v (regra do produto) 4. loga u v = loga u − loga v (regra do quociente) 5. loga un = n loga u (regra da potˆencia) 6. loga au = u (composi¸c˜ao da fun¸c˜ao com sua inversa) 7. aloga u = u (composi¸c˜ao da fun¸c˜ao com sua inversa) EXEMPLO DE USO DAS PROPRIEDADES loga(9xy5 ) = loga 9 + loga x + loga y5 = loga 32 + loga x + loga y5 = 2 loga 3 + loga x + 5 loga y 4
  • 5. 3 Solu¸c˜ao de Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes Expo- nenciais e Logar´ıtmicas 1. Resolva 20 1 2 x 3 = 5 (a) 20 1 2 x 3 = 5 (b) 1 2 x 3 = 1 4 (c) 1 2 x 3 = 1 2 2 (d) x 3 = 2 (e) x = 6 2. Resolva log10 x2 = 2 (a) log10 x2 = 2 (b) log10 x2 = log10 102 [porque x = loga ax = log10 102 = 2 pela propriedade 6] (c) x2 = 102 (d) x2 = 100 (e) x = 10 ou x = −10 3. Resolva 2 ln(x + 1) = 4 (a) 2 ln(x + 1) = 4 (b) ln(x + 1) = 2 (c) x + 1 = e2 [pela aplica¸c˜ao da exponencial natural em ambos os lados da equa¸c˜ao, eln(x+1) = x + 1 pela propriedade 7] (d) x = e2 − 1 4. Resolva 2 log10 x − 4 log10 3 > 0 (a) 2 log10 x − 4 log10 3 > 0 (b) 2 log10 x > 4 log10 3 (c) log10 x > 2 log10 3 (d) log10 x > log10 32 [pela propriedade 5] 5
  • 6. (e) x > 32 (f) x > 9 (g) S = {x ∈ R|x > 9} ou S = (9, +∞) 5. Resolva −2 ln(ex) > 4 (a) −2 ln(ex) > 4 (b) ln(ex) < −2 [propriedade das inequa¸c˜oes] (c) ln e + ln x < −2 [pela propriedade 3] (d) 1 + ln x < −2 [pela propriedade 2] (e) ln x < −3 (f) x < e−3 [pela propriedade 7] (g) S = {x ∈ R|x < e−3 } ou (−∞, e−3 ) 6