polígrafo

1. FUNC¸ ˜OES EXPONENCIAL E
LOGAR´ITMICA
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Fun¸c˜ao Exponencial
Chamamos y = ax
de fun¸c˜ao exponencial de base a, para a > 0 e a = 1.
Esta fun¸c˜ao tem dom´ınio dom(f) = R e imagem img(f) = (0, +∞).
Para a determina¸c˜ao da imagem, basta ver que se 0 < a < 1,
lim
x→−∞
ax
= +∞ e lim
x→+∞
ax
= 0
e para o caso a > 1,
lim
x→−∞
ax
= 0 e lim
x→+∞
ax
= +∞
Esses limites podem ser entendidos como consequˆencia das leis da opera-
¸c˜ao de potencia¸c˜ao:
• Se a > 1, por exemplo a = 2, ent˜ao a2
= 22
= 4, a3
= 23
= 8,
a4
= 24
= 16, e assim por diante, com o limite an
→ +∞ a medida que
n → +∞
• Tomando novamente a = 2, ent˜ao a−2
= 2−2
= 1/4 = 0, 25, a−3
=
2−3
= 1/8 = 0, 125, a−4
= 2−4
= 1/16 = 0, 0625, e assim por diante,
com o limite an
→ 0 a medida que n → −∞
• Para 0 < a < 1, suponhamos a = 1/2 = 0, 5, ent˜ao a2
= (1/2)2
=
1/4 = 0, 25, a3
= (1/2)3
= 1/8 = 0, 125, a4
= (1/2)4
= 1/16 = 0, 0625,
e assim por diante, com o limite an
→ 0 quando n → +∞
• Para a = 1/2 = 0, 5, ent˜ao a−2
= 22
= 4, a−3
= 23
= 8, a−4
= 24
= 16,
e assim por diante, com o limite an
→ +∞ quando n → −∞
1

2. GR´AFICO
Devemos considerar o seguinte:
• A curva da fun¸c˜ao est´a toda acima do eixo das abscissas pois ax
> 0
para todo x se a > 0
• O gr´afico da fun¸c˜ao cruza o eixo das ordenadas no ponto (0, 1) pois
f(0) = a0
= 1
• f(x) = ax
´e crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1 pela discuss˜ao
anterior, feita na defini¸c˜ao da imagem da fun¸c˜ao exponencial
• A fun¸c˜ao apresenta uma ass´ıntota horizontal sobre o eixo das abscissas
a > 1 0 < a < 1
FUNC¸ ˜AO EXPONENCIAL NATURAL
Seja e = 2, 71828182845 . . . , chamado de n´umero de Euler. Definimos a
fun¸c˜ao exponencial base e, chamada de fun¸c˜ao exponencial natural como:
f(x) = ex
A defini¸c˜ao do n´umero de Euler ´e dada por:
e = lim
x→+∞
1 +
1
x
x
2

3. 2 Fun¸c˜ao Logar´ıtmica
Chamamos y = loga x, com a > 0 e a = 1, de fun¸c˜ao logar´ıtmica base a.
Esta fun¸c˜ao tem dom´ınio dom(f) = (0, +∞) e imagem img(f) = R.
A fun¸c˜ao logar´ıtmica e a fun¸c˜ao exponencial s˜ao fun¸c˜oes inversas uma da
outra, ou seja, se f(x) = loga x ent˜ao f−1
(x) = ax
.
GR´AFICO
Para esbo¸car o gr´afico da fun¸c˜ao logar´ıtmica devemos saber que:
• Toda a curva do gr´afico da fun¸c˜ao fica `a direita do eixo das ordenadas
• A curva do gr´afico cruza o eixo das abscissas em (1, 0)
• O gr´afico de f(x) = loga x ´e sim´etrico ao gr´afico de g(x) = ax
com
rela¸c˜ao `a reta h(x) = x, que ´e a bissetriz do 1o
e do 3o
quadrantes
a > 1 0 < a < 1
Observa¸c˜ao: a fun¸c˜ao exponencial est´a representada em cor azul e a fun¸c˜ao
logar´ıtmica est´a representada em cor vermelha.
3

4. FUNC¸ ˜AO LOGARITMO NATURAL
Podemos definir a fun¸c˜ao logar´ıtmica de base e, chamada de fun¸c˜ao loga-
ritmo natural, representada por f(x) = ln x, que ´e a fun¸c˜ao inversa da fun¸c˜ao
exponencial natural, ou seja f−1
(x) = ex
.
MUDANC¸ A DE BASE
Para n´umeros positivos a, b e x com a = 1 e b = 1, temos:
logb x =
loga x
loga b
Por exemplo, log5 10 = ln 10
ln 5
REPRESENTANDO QUALQUER EXPONENCIAL POR MEIO
DA EXPONENCIAL NATURAL
Vale a seguinte rela¸c˜ao entre uma exponencial de base a e a exponencial
natural:
f(x) = ax
⇔ f(x) = ex ln a
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
1. loga 1 = 0, porque a0
= 1
2. logaa = 1, porque a1
= a
3. loga(uv) = loga u + loga v (regra do produto)
4. loga
u
v
= loga u − loga v (regra do quociente)
5. loga un
= n loga u (regra da potˆencia)
6. loga au
= u (composi¸c˜ao da fun¸c˜ao com sua inversa)
7. aloga u
= u (composi¸c˜ao da fun¸c˜ao com sua inversa)
EXEMPLO DE USO DAS PROPRIEDADES
loga(9xy5
) = loga 9 + loga x + loga y5
= loga 32
+ loga x + loga y5
=
2 loga 3 + loga x + 5 loga y
4

5. 3 Solu¸c˜ao de Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes Expo-
nenciais e Logar´ıtmicas
1. Resolva 20 1
2
x
3
= 5
(a) 20 1
2
x
3
= 5
(b) 1
2
x
3
= 1
4
(c) 1
2
x
3
= 1
2
2
(d) x
3
= 2
(e) x = 6
2. Resolva log10 x2
= 2
(a) log10 x2
= 2
(b) log10 x2
= log10 102
[porque x = loga ax
= log10 102
= 2 pela
propriedade 6]
(c) x2
= 102
(d) x2
= 100
(e) x = 10 ou x = −10
3. Resolva 2 ln(x + 1) = 4
(a) 2 ln(x + 1) = 4
(b) ln(x + 1) = 2
(c) x + 1 = e2
[pela aplica¸c˜ao da exponencial natural em ambos os
lados da equa¸c˜ao, eln(x+1)
= x + 1 pela propriedade 7]
(d) x = e2
− 1
4. Resolva 2 log10 x − 4 log10 3 > 0
(a) 2 log10 x − 4 log10 3 > 0
(b) 2 log10 x > 4 log10 3
(c) log10 x > 2 log10 3
(d) log10 x > log10 32
[pela propriedade 5]
5

6. (e) x > 32
(f) x > 9
(g) S = {x ∈ R|x > 9} ou S = (9, +∞)
5. Resolva −2 ln(ex) > 4
(a) −2 ln(ex) > 4
(b) ln(ex) < −2 [propriedade das inequa¸c˜oes]
(c) ln e + ln x < −2 [pela propriedade 3]
(d) 1 + ln x < −2 [pela propriedade 2]
(e) ln x < −3
(f) x < e−3
[pela propriedade 7]
(g) S = {x ∈ R|x < e−3
} ou (−∞, e−3
)
6