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RELAÇÃO
• Dados os conjuntos A e B, qualquer subconjunto do
produto cartesiano A x B é chamado de relação de A
em B.
• Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e
B = { 1, 2, 3, 4 } e o produto cartesiano A x B.
• A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3),
(2,4)}
Qual é o conjunto dos pares A x B onde o 1º elemento
é igual ao 2º elemento?
R = { ( 1,1 ), (2,2) } R ⊂ A x B
Prof. Meire de Fátima
Lei de formação:
• Existe uma lei de formação entre os conjuntos
A e B. No caso do exemplo anterior temos:
R = { (x,y) | x ∈ A, y ∈ B e y = x }
1
2
1
2
3
4y = x
A B
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DOMÍNIO E IMAGEM
Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 }
e a relação R de A em B, tal que:
R = { { (x, y ) | x ∈ A, y ∈ B e y = 2 x }
R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) }
Domínio: { 1, 2, 3 ) primeiros elementos dos pares
Imagem: { 2, 4 6 } segundos elementos dos pares
Prof. Meire de Fátima
Relação Inversa
• Seja dada a relação R, tal que:
R = { (1,3 ), (2, 5 ), ( 3, 8) }
invertendo os valores dos pares obtemos
a relação inversa de R
R -1
= { (3,1), (5, 2 ), (8, 3 ) }
Prof. Meire de Fátima
FUNÇÕES
• Sejam dois conjuntos A ≠ Ø e B ≠ Ø , e uma
relação f de A em B. Dizemos que f é uma
função ou aplicação de A em B se a todo
elemento x ∈ A associa-se um único
elemento y ∈ B, tal que o par ( x, y ) ∈ f.
• Lemos: f : A B
Ou y = f ( x )
Prof. Meire de Fátima
Observações:
• 1- Toda função é uma relação
• 2- Nem toda relação é uma função.
Vamos verificar os casos:
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.
.
.
.
.
.
Vários elementos de A
associarem-se ao
mesmo elemento em B
.
.
.
.
.f
Sobrar elementos em B
A
B
A B
Proibido:
A
B
Sobrar elementos em A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A B
Um elemento de A associar-
se a vários elementos em B
Permitido:
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. Domínio:
É o conjunto de partida das flechas ( A ), são os
valores de x na função.
. Contradomínio:
É o conjunto de chegada das flechas ( B ), são todos
os valores de B.
. Imagem:
São as respostas encontradas para o y.
Imagem pode ser uma parte ou igual ao conjunto B
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Função sobrejetora:
Uma função f : A B é sobrejetora
quando o conjunto imagem coincide
com o contradomínio B.
Prof. Meire de Fátima
A B
f
REPARE QUE NÃO
HÁ ELEMENTO
SOBRANDO EM B
Função sobrejetora:
Prof. Meire de Fátima
Função Injetora:
Uma função f : A B é injetora
quando a dois diferentes valores
de A correspondem dois diferentes
valores em B.
Prof. Meire de Fátima
REPARE QUE CADA
ELEMENTO DE B SÓ PODE
CORRESPONDER A UM
ELEMENTO DE A.
A
B
Função Injetora:
Função bijetora:
Uma função f : A B é bijetora
quando é sobrejetora e injetora ao
mesmo tempo.
REPARE QUE
NÃO SOBRA
ELEMENTO EM B
E CHEGA UMA
ÚNICA FLECHA
EM CADA
ELEMENTO DE B.
A B
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FUNÇÃO CRESCENTE:
Forma geral: y = ax + b
Se a > 0, ou seja o valor de a é positivo
A função é crescente.
Observe:
y = 2 x + 9
a = 2 e 2 > 0 f(x) é crescente∴
Prof. Meire de Fátima
Consideremos a função f : A B e sejam x1  A e x2 
A sendo x1 < x2 . A função é estritamente crescente se
f(x1 ) < f(x2 ) . Observe o gráfico:
x
y
x1
x2
f(x1 )
f(x2 )
0
Gráfico da função crescente:
x1 < x 2 f(x1 ) < f(x 2 )
Prof. Meire de Fátima
Função decrescente:
Forma geral: f(x) = a x + b
Se a < 0 ( a é negativo)
A função é decrescente.
Observe:
f(x) = - 2 x + 9
a = -2 ( função decrescente)
Prof. Meire de Fátima
Gráfico da função decrescente:
x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 )
Consideremos a função f : A B e sejam x1 
A e x2  A sendo x1 < x2 . A função é
estritamente decrescente se
f(x1 ) > f(x2 ) . Observe o gráfico:
Prof. Meire de Fátima
x
Y
x1 x2
f(x1 )
f(x 2 )
0
x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 )
Prof. Meire de Fátima
Função constante:
Forma geral: f(x) = ax + b
Se a = 0 temos f(x) = b ( valor constante)
Observe:
y = 2
f(x) = -3, etc.
( o gráfico é paralelo ao eixo Ox)
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Gráfico da função constante:
x1< x2 f(x1) = f(x2 )
Consideremos a função f : A B e sejam x1 
A e x2  A sendo x1 < x2 . A função é
estritamente CONSTANTE se
f(x1 ) = f(x2 ) para quaisquer valores de x1 e x2
.Observe o gráfico:
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X
Y
0
X1 X2
f(x1) f(x2)
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FUNÇÃO INVERSA:
SEJA f: A B onde y = f(x) = 2x.
Sendo A = (1,3) e B = (2,6). Qual a imagem
de f?
1
3
2
6
A
B
MUITO SIMPLES!
A FUNÇÃO É BIJETORA
ASSIM A IMAGEM = CONTRADOMÍNIO, PORTANTO
Im = { 2,6 }
AGORA OBSERVE ESTA FUNÇÃO:
2
6
1
3
B
A
ENGRAÇADO, A FUNÇÃO FOI INVERTIDA
O QUE ERA IMAGEM VIROU DOMÍNIO E O QUE ERA DOMINIO VIROU
IMAGEM!
Dom = { 2, 6 } Im = { 1, 3 }
Conj. de partida Valores de y
y = x / 2
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Se f : A B for uma função bijetora , a
função inversa de f é uma função definida
de B em A e indicada por f –1
: B A
Veja que se (x, y) ε f  ( y , x ) ε f –1
1
3
2
6
2
6
1
3
A B
f
B A
f –1
Y = 2 x
Y = x / 2
Se f = { ( 1, 3), (2, 6) } e
f -1
= { (3, 1), (6, 2) }, o x virou y e o y virou x.
Vejamos a maneira prática de achar a
função inversa de uma função dada.
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x = 2 y
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f ( x ) = 2 x e sua inversa f –1
(x) = x /2
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FUNÇÃO INVERSA
• Dada uma função f: A B, bijetora, denomina-se
função inversa de f a função g: B A tal que se f( a )
= b, então g (b) = a
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Processo para determinar a inversa de uma função:
• Sendo f( x ) = 4 x , vamos determinar a
inversa de f (x) ou seja f -1
• Basta trocar x por y e y por x
• Isolar y
• Y = 4 x trocando: x = 4y
x / 4 = y ( inversa )
y = 4 x  y = x / 4
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• GRÁFICOS DE FUNÇÕES INVERSAS
x Y=f(x)
0 2
1 3
2 4
x Y=f(x)
0 -2
1 -1
2 0
f
Reta y=x
f-1
2
3
4
1 2
-1
-2
x
y
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f(x) = x 2
e f -1
(x) = √ x
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• Os gráficos das funções inversas são
simétricos em relação a reta y = x que
representa a bissetriz dos quadrantes
ímpares. Isso ocorre em todos os casos de
função inversa.
• (x, y) e (y, x) são pontos simétricos em
relação a bissetriz dos 1º e 3º quadrantes
( ímpares) y = x
• FUNÇÃO PAR
Considere a função f(x) = x 2
Seu gráfico é dado por:
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Observe que:
• f (1 ) = 12
= 1
• f (-1) = (-1)2
= 1
f(1) = f (- 1) = 1, tem a mesma imagem
Uma função é considerada par se e somente
se f ( x ) = f ( - x ) para x ∈ R
O gráfico é simétrico em relação ao eixo y
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FUNÇÃO ÍMPAR
• Vamos considerar a função f ( x ) = x 3
• f( 1 ) = 1 3
= 1 f(2) = 2 3
= 8
• f(-1) = (-1) 3
= -1 f(-2) = (-2) 3
= -8
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Dizemos que f(x) é ímpar se tiver imagens
opostas f(-x) = - f(x)
O gráfico de f(x) é simétrico em relação
ao ponto O (origem )
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F(2) = 8
F(-1) = -1
F(-1) = -1
F(-2) = -8
x y
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
F(1) = 1
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Como identificar uma função:
• Dado um gráfico qualquer, basta traçar uma
reta paralela ao eixo y.
• Se ela cortar o gráfico em mais de um
ponto, significa que NÃO É FUNÇÃO.
Prof. Meire de Fátima
• Observe:
Corta o gráfico em
mais de um ponto
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Corta o gráfico em
um único ponto.
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x
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F(x)
x
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO
DOMÍNIO:
• Você já sabe que:
Não existe divisão por zero.
Não existe raíz de índice par de número real
negativo. Assim:
4 / 0 não é definido
√-3 não é definida nos reais.
POR ISTO, QUANDO APARECE LETRAS NO
DENOMINADOR OU NO RADICAL:
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• Devemos estabelecer a condição de existência
do domínio da função:
• Exemplos:
y = 4 / x ( x deve ser diferente de zero)
C.E: { x IR/ x ≠ 0 }∊
Assim D = { x IR/ x ≠ 0 }∊
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C.E: x + 2 ≠ 0C.E: x + 2 ≠ 0
x ≠ -2x ≠ -2 { x{ x IR/ x ≠ -2 }∊ IR/ x ≠ -2 }∊
Assim D=Assim D= { x{ x IR/ x ≠ -2 }∊ IR/ x ≠ -2 }∊
• √x + 3 = 0
x + 3 ≥ 0 ( a raíz deve ser maior ou igual a zero)
x ≥ -3
C.E: { x IR/ x ≥ -3 }∊
5 + x5 + x
√√ x – 2x – 2 ( a raíz deve ser maior que zero)( a raíz deve ser maior que zero)
C.E:C.E: { x{ x IR/ x > 2 }∊ IR/ x > 2 }∊
= 0
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Atividades:
• Estabeleça a condição de existência do
domínio das funções abaixo:
• A) x + 9 = 0
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• D) √2x + 5 = 0
• E) 5x + 9 / 3x + 16 = 0
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• Respostas:
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• B) D = { x IR / x ≠ -7 }∊
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Função inversa

  • 1. RELAÇÃO • Dados os conjuntos A e B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B é chamado de relação de A em B. • Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 1, 2, 3, 4 } e o produto cartesiano A x B. • A x B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4)} Qual é o conjunto dos pares A x B onde o 1º elemento é igual ao 2º elemento? R = { ( 1,1 ), (2,2) } R ⊂ A x B Prof. Meire de Fátima
  • 2. Lei de formação: • Existe uma lei de formação entre os conjuntos A e B. No caso do exemplo anterior temos: R = { (x,y) | x ∈ A, y ∈ B e y = x } 1 2 1 2 3 4y = x A B Prof. Meire de Fátima
  • 3. DOMÍNIO E IMAGEM Sejam os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e B = { 1, 2, 4, 5, 6 } e a relação R de A em B, tal que: R = { { (x, y ) | x ∈ A, y ∈ B e y = 2 x } R = { (1, 2 ), (2, 4 ), (3, 6 ) } Domínio: { 1, 2, 3 ) primeiros elementos dos pares Imagem: { 2, 4 6 } segundos elementos dos pares Prof. Meire de Fátima
  • 4. Relação Inversa • Seja dada a relação R, tal que: R = { (1,3 ), (2, 5 ), ( 3, 8) } invertendo os valores dos pares obtemos a relação inversa de R R -1 = { (3,1), (5, 2 ), (8, 3 ) } Prof. Meire de Fátima
  • 5. FUNÇÕES • Sejam dois conjuntos A ≠ Ø e B ≠ Ø , e uma relação f de A em B. Dizemos que f é uma função ou aplicação de A em B se a todo elemento x ∈ A associa-se um único elemento y ∈ B, tal que o par ( x, y ) ∈ f. • Lemos: f : A B Ou y = f ( x ) Prof. Meire de Fátima
  • 6. Observações: • 1- Toda função é uma relação • 2- Nem toda relação é uma função. Vamos verificar os casos: Prof. Meire de Fátima
  • 7. . . . . . . Vários elementos de A associarem-se ao mesmo elemento em B . . . . .f Sobrar elementos em B A B A B Proibido: A B Sobrar elementos em A . . . . . . . . . . A B Um elemento de A associar- se a vários elementos em B Permitido: Prof. Meire de Fátima
  • 8. . Domínio: É o conjunto de partida das flechas ( A ), são os valores de x na função. . Contradomínio: É o conjunto de chegada das flechas ( B ), são todos os valores de B. . Imagem: São as respostas encontradas para o y. Imagem pode ser uma parte ou igual ao conjunto B Prof. Meire de Fátima
  • 9. Função sobrejetora: Uma função f : A B é sobrejetora quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio B. Prof. Meire de Fátima
  • 10. A B f REPARE QUE NÃO HÁ ELEMENTO SOBRANDO EM B Função sobrejetora: Prof. Meire de Fátima
  • 11. Função Injetora: Uma função f : A B é injetora quando a dois diferentes valores de A correspondem dois diferentes valores em B. Prof. Meire de Fátima
  • 12. REPARE QUE CADA ELEMENTO DE B SÓ PODE CORRESPONDER A UM ELEMENTO DE A. A B Função Injetora:
  • 13. Função bijetora: Uma função f : A B é bijetora quando é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. REPARE QUE NÃO SOBRA ELEMENTO EM B E CHEGA UMA ÚNICA FLECHA EM CADA ELEMENTO DE B. A B Prof. Meire de Fátima
  • 14. FUNÇÃO CRESCENTE: Forma geral: y = ax + b Se a > 0, ou seja o valor de a é positivo A função é crescente. Observe: y = 2 x + 9 a = 2 e 2 > 0 f(x) é crescente∴ Prof. Meire de Fátima
  • 15. Consideremos a função f : A B e sejam x1  A e x2  A sendo x1 < x2 . A função é estritamente crescente se f(x1 ) < f(x2 ) . Observe o gráfico: x y x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) 0 Gráfico da função crescente: x1 < x 2 f(x1 ) < f(x 2 ) Prof. Meire de Fátima
  • 16. Função decrescente: Forma geral: f(x) = a x + b Se a < 0 ( a é negativo) A função é decrescente. Observe: f(x) = - 2 x + 9 a = -2 ( função decrescente) Prof. Meire de Fátima
  • 17. Gráfico da função decrescente: x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 ) Consideremos a função f : A B e sejam x1  A e x2  A sendo x1 < x2 . A função é estritamente decrescente se f(x1 ) > f(x2 ) . Observe o gráfico: Prof. Meire de Fátima
  • 18. x Y x1 x2 f(x1 ) f(x 2 ) 0 x1 < x 2 f(x1 ) > f(x 2 ) Prof. Meire de Fátima
  • 19. Função constante: Forma geral: f(x) = ax + b Se a = 0 temos f(x) = b ( valor constante) Observe: y = 2 f(x) = -3, etc. ( o gráfico é paralelo ao eixo Ox) Prof. Meire de Fátima
  • 20. Gráfico da função constante: x1< x2 f(x1) = f(x2 ) Consideremos a função f : A B e sejam x1  A e x2  A sendo x1 < x2 . A função é estritamente CONSTANTE se f(x1 ) = f(x2 ) para quaisquer valores de x1 e x2 .Observe o gráfico: Prof. Meire de Fátima
  • 21. X Y 0 X1 X2 f(x1) f(x2) Prof. Meire de Fátima
  • 22. FUNÇÃO INVERSA: SEJA f: A B onde y = f(x) = 2x. Sendo A = (1,3) e B = (2,6). Qual a imagem de f? 1 3 2 6 A B MUITO SIMPLES! A FUNÇÃO É BIJETORA ASSIM A IMAGEM = CONTRADOMÍNIO, PORTANTO Im = { 2,6 }
  • 23. AGORA OBSERVE ESTA FUNÇÃO: 2 6 1 3 B A ENGRAÇADO, A FUNÇÃO FOI INVERTIDA O QUE ERA IMAGEM VIROU DOMÍNIO E O QUE ERA DOMINIO VIROU IMAGEM! Dom = { 2, 6 } Im = { 1, 3 } Conj. de partida Valores de y y = x / 2 Prof. Meire de Fátima
  • 24. Se f : A B for uma função bijetora , a função inversa de f é uma função definida de B em A e indicada por f –1 : B A Veja que se (x, y) ε f  ( y , x ) ε f –1 1 3 2 6 2 6 1 3 A B f B A f –1 Y = 2 x Y = x / 2
  • 25. Se f = { ( 1, 3), (2, 6) } e f -1 = { (3, 1), (6, 2) }, o x virou y e o y virou x. Vejamos a maneira prática de achar a função inversa de uma função dada. Se f : A B, definida por y = 2 x: 1)troca-se x por y e y por x: x = 2 y 2) Isola-se o y: x = 2y x / 2 = y f ( x ) = 2 x e sua inversa f –1 (x) = x /2 Prof. Meire de Fátima
  • 26. FUNÇÃO INVERSA • Dada uma função f: A B, bijetora, denomina-se função inversa de f a função g: B A tal que se f( a ) = b, então g (b) = a Prof. Meire de Fátima
  • 27. Processo para determinar a inversa de uma função: • Sendo f( x ) = 4 x , vamos determinar a inversa de f (x) ou seja f -1 • Basta trocar x por y e y por x • Isolar y • Y = 4 x trocando: x = 4y x / 4 = y ( inversa ) y = 4 x  y = x / 4 Prof. Meire de Fátima
  • 28. • GRÁFICOS DE FUNÇÕES INVERSAS x Y=f(x) 0 2 1 3 2 4 x Y=f(x) 0 -2 1 -1 2 0 f Reta y=x f-1 2 3 4 1 2 -1 -2 x y Prof. Meire de Fátima
  • 29. f(x) = x 2 e f -1 (x) = √ x Prof. Meire de Fátima
  • 30. • Os gráficos das funções inversas são simétricos em relação a reta y = x que representa a bissetriz dos quadrantes ímpares. Isso ocorre em todos os casos de função inversa. • (x, y) e (y, x) são pontos simétricos em relação a bissetriz dos 1º e 3º quadrantes ( ímpares) y = x
  • 31. • FUNÇÃO PAR Considere a função f(x) = x 2 Seu gráfico é dado por: Prof. Meire de Fátima
  • 32. Observe que: • f (1 ) = 12 = 1 • f (-1) = (-1)2 = 1 f(1) = f (- 1) = 1, tem a mesma imagem Uma função é considerada par se e somente se f ( x ) = f ( - x ) para x ∈ R O gráfico é simétrico em relação ao eixo y Prof. Meire de Fátima
  • 33. FUNÇÃO ÍMPAR • Vamos considerar a função f ( x ) = x 3 • f( 1 ) = 1 3 = 1 f(2) = 2 3 = 8 • f(-1) = (-1) 3 = -1 f(-2) = (-2) 3 = -8 Tem imagens opostas 1 é oposto de -1 Dizemos que f(x) é ímpar se tiver imagens opostas f(-x) = - f(x) O gráfico de f(x) é simétrico em relação ao ponto O (origem ) Prof. Meire de Fátima
  • 34. F(2) = 8 F(-1) = -1 F(-1) = -1 F(-2) = -8 x y -2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8 F(1) = 1 Prof. Meire de Fátima
  • 35. Como identificar uma função: • Dado um gráfico qualquer, basta traçar uma reta paralela ao eixo y. • Se ela cortar o gráfico em mais de um ponto, significa que NÃO É FUNÇÃO. Prof. Meire de Fátima
  • 36. • Observe: Corta o gráfico em mais de um ponto Não é função Corta o gráfico em um único ponto. È função. x F(x) F(x) x
  • 37. CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO DOMÍNIO: • Você já sabe que: Não existe divisão por zero. Não existe raíz de índice par de número real negativo. Assim: 4 / 0 não é definido √-3 não é definida nos reais. POR ISTO, QUANDO APARECE LETRAS NO DENOMINADOR OU NO RADICAL: Prof. Meire de Fátima
  • 38. • Devemos estabelecer a condição de existência do domínio da função: • Exemplos: y = 4 / x ( x deve ser diferente de zero) C.E: { x IR/ x ≠ 0 }∊ Assim D = { x IR/ x ≠ 0 }∊ y = 5x / x + 2y = 5x / x + 2 C.E: x + 2 ≠ 0C.E: x + 2 ≠ 0 x ≠ -2x ≠ -2 { x{ x IR/ x ≠ -2 }∊ IR/ x ≠ -2 }∊ Assim D=Assim D= { x{ x IR/ x ≠ -2 }∊ IR/ x ≠ -2 }∊
  • 39. • √x + 3 = 0 x + 3 ≥ 0 ( a raíz deve ser maior ou igual a zero) x ≥ -3 C.E: { x IR/ x ≥ -3 }∊ 5 + x5 + x √√ x – 2x – 2 ( a raíz deve ser maior que zero)( a raíz deve ser maior que zero) C.E:C.E: { x{ x IR/ x > 2 }∊ IR/ x > 2 }∊ = 0 Prof. Meire de Fátima
  • 40. Atividades: • Estabeleça a condição de existência do domínio das funções abaixo: • A) x + 9 = 0 • B) 3 / x + 7 = 0 • C) 5x / √ 2x – 3 = 0 • D) √2x + 5 = 0 • E) 5x + 9 / 3x + 16 = 0 Prof. Meire de Fátima
  • 41. • Respostas: • A) não há restrições, D = IR∴ • B) D = { x IR / x ≠ -7 }∊ • C) D = { x IR / x > 3/2 }∊ • D) D = { x IR / x ≥ - 5/2 }∊ • E) D = { x IR / x ≠ -16/3 }∊ Prof. Meire de Fátima