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Univali - Matemática para jogos 
Relações, Funções e Gráficos de Funções
Conjunto dos números Naturais – N 
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
Conjuntos Numéricos 
Conjunto dos números Inteiros – Z 
Z = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
O conjunto dos números naturais está contido no conjunto 
dos números inteiros relativos, isto é: 
N Ì Z 
NN ZZ
Conjunto dos números Racionais – Q 
● Composto pelas razões ou frações entre números inteiros, dízimas 
finitas, e dízimas infinitas periódicas. 
4,55 = 455 
1,3 = 13 
0,77777777... = 7 
● Números “com vírgula” que podem ser escritos a partir da divisão de 
dois inteiros. 
● Qualquer fração representa sempre uma dízima finita ou uma dízima 
infinita periódica,- logo, uma fração é um número racional. 
Z ÌQ 
QQ 
Conjuntos Numéricos 
NN ZZ 
100 
10 
9
Conjunto dos números Reais – 
ℜ 
● Composto pelos números racionais mais as dízimas infinitas não 
periódicas, isto é, números racionais + números irracionais. 
● Exemplo de Números Irracionais: 
Conjuntos Numéricos 
● Todas as raízes de números naturais que não sejam quadrados 
perfeitos (não inteira)... 2 55 30 
p=3,1415926535897932384626433832795......... 
e=2,718281828459045235360287.
Conjuntos Numéricos 
ℜ QQ NN ZZ
Alguns Números Interessantes 
Conjuntos Numéricos 
● O Neperiano pode ser obtido pela seguinte relação: 
● p  -  pode ser obtido pela seguinte relação: 
● Razão áurea e o equilíbrio das proporções.
Funções e o Plano Cartesiano 
● O plano cartesiano é feito através da junção de 
dois eixos, perpendiculares entre si que se 
cruzam no ponto 0, o qual é a origem de ambos 
os eixos. 
● O eixo horizontal é chamado de eixo das 
abscissas ou x. O eixo vertical é chamado de 
eixo das ordenadas ou y.
Funções e o Plano Cartesiano 
● Os eixos dividem o espaço quatro quadrantes 
enumerados no sentido anti-horário 
Quadrante 1: x>0 e y>0 
Quadrante 2: x<0 e y>0 
Quadrante 3: x<0 e y<0 
Quadrante 4: x>0 e y<0
Funções e o Plano Cartesiano 
● Cada ponto do plano cartesiano é identificado 
por um par de números chamados de 
coordenadas. 
● Para obter um ponto P, basta traçar as 
perpendiculares ao eixo x e y.
● Para dizer que P possui 
abscissa a e ordenadas b, 
escrevemos: 
Funções e o Plano Cartesiano 
● P ↔(a; b) ou P = (a; b) 
● Sempre que representar o plano 
cartesiano em conjuntos, o 
primeiro número é sempre a 
abscissa e o segundo é sempre 
a ordenada.
● Produto Cartesiano 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Considere dois conjuntos não vazios A e B: 
● A = {1,2,3} e B = {4,5} 
● Chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os 
pares ordenados | que x pertença ao conjunto A e y ao conjunto B. 
A x B = {(x; y)│x A e y B}. 
● A x B = { (1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5) } 
● B x A = { (4;1), (4;2), (4;3), (5;1), (5;2), (5;3) } 
● A x A = { (1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3), (3;1), (3;2), (3;3) } 
● B x B = { (4;4), (4;5), (5;4), (5;5) }
● Representação do Produto Cartesiano. 
● Há duas maneiras de produtos 
cartesianos 
● Por diagrama de flechas 
ou por diagrama cartesiano. 
● Considerando 
A = (1,2,3) e B = (4,5). 
Funções e o Plano Cartesiano 
1 
2 
3 
4 
5
● Domínio, Imagem e Gráficos 
● Chama-se domínio o conjunto de todos os 
elementos de A que está associado à pelo 
menos um elemento de B. 
● Chama-se imagem o conjunto de todos os 
elementos de B relacionados de pelo 
menos a um elemento de A. 
● AxB = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } 
● D = { -2,-1, 0, 1, 2} 
● Im = { 0, 1, 4 }. 
Funções e o Plano Cartesiano 
-2 
-1 
0 
1 
2 
0 
1 
4
Funções e o Plano Cartesiano 
R = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } 
D = { -2,-1, 0, 1, 2 } 
Im = { 0, 1, 4 }. 
CD = B
Funções e o Plano Cartesiano 
● Dada a relação h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} 
definida pela lei h(x) = x2 – 3x 
● Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função. 
● Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8} 
● Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40} 
● Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio. 
● Para x= – 3 y= – 32 – 3 . (–3) = 9 + 9 = 18 
● Para x= 0 y= 02 – 3 . (0) = 0 = 0 
● Para x= 3 y= 32 – 3 . (3) = 9 – 9 = 0 
● Para x= 8 y= 82 – 3 . (8) = 64 – 24 = 40 
● Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto 
Imagem da função. 
● Im = {0, 18, 40}
Funções e o Plano Cartesiano 
● Função 
Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada 
variável x em A, um único y em B. 
● Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: 
f : A → B 
Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada: 
● 1) domínio A da relação e 2) contradomínio B da relação. 
● 3) Todo elemento de A deve ter correspondente em B. 
● 4) Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente 
no contradomínio B. 
● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB
Funções e o Plano Cartesiano 
● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB 
… 
● Estamos interessados em funções com D e CD contidos no conjunto dos 
números reais, as chamadas funções reais de variável real. 
Ex.1: 
f(x) = 3x - 20 
D(f)=R, pois f(x) vale para R 
Im(f)=R, equação linear (visto mais adiante) 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas inequação 
3x – 20 = 0 (0 é a abscissa para y=0) 3x = 20 x = 20/3 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? idem 3x – 20 = 50
Funções e o Plano Cartesiano 
● Tipos de Funções 
1) Lineares e Afins 
a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função 
f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. 
f(x)= -3x ← resposta (função decresce) 
f(x)= 2x (descarta, é função decrescente) 
f(x)= x/2 (descarta, é função decrescente) 
O gráfico da função linear é uma reta 
que sempre passa pela origem p(0,0).
Funções e o Plano Cartesiano 
● Tipos de Funções 
1) Lineares e Afins 
a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função 
f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. 
f(x)= -3x 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
o eixo das abscissas ? 
Calcular a inequação –3x = 0, logo, x = 0 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
y = 50 ? idem – 3x = 50 | x = – 50/3 
● D(f)=R (domínio livre) Im(f)=R (equação linear)
Funções e o Plano Cartesiano 
● Tipos de Funções 
1) Lineares e Afins 
b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. 
Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa 
f(x)=ax+b 
f(x)= -3x + 1 (descarta, é função decrescente) 
f(x)= 2x + 7 (se x=0, y seria +7 ) 
f(x)= x/2 + 4 ← resposta (se x=0, sobra +4 ) 
(corresponde ao gráfico) 
Se b != 0, o gráfico da função linear é 
uma reta que não passa pela origem p(0,0).
● Tipos de Funções 
1) Lineares e Afins 
b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. 
Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa 
f(x)=ax+b 
f(x)= x/2 + 4 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
o eixo das abscissas ? 
resolver inequação x/2 + 4 = 0 
x/2 = – 4 x = – 8 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
y = 50 ? inequação x/2 + 4 = 50 
● D(f)=R Im(f)=R (linear) 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções e o Plano Cartesiano 
● Tipos de Funções 
2) Função Identidade 
Uma função identidade é uma função f: R → R onde f(x)=x ou f(x)=-x 
3) Função Constante 
Seja b um número real. A função constante associa a cada x em R o 
valor f(x)=b
● Tipos de Funções 
4) Função Quadrática 
Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é 
uma função f: R → R que para cada x em R, f(x) = ax²+bx+c 
● f(x)= x² 
● f(x)= -4x² 
● f(x)= -x²+2x+7 
● f(x)= x²-4x+3 ← resp 
● f(x)= 2x²-3x 
A parábola é para cima, descartar de 
inicio x2 negativos; 
● x2 não, pois seria simétrica em x=0; 
● sobra as 2 últimas, deduz-se que substituir 
x=50 (por ex.), o valor de y=~2000 
Funções e o Plano Cartesiano
● Tipos de Funções 
4) Função Quadrática 
f(x)= x²-4x+3 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
o eixo das abscissas ? Resolver por báscara 
a igualdade x²-4x+3 =0 para encontrar as 2 raízes 
x1 = 3 x2 = 1 se construir o gŕafico, esses pontos são o cruzamento da função para em y=0 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta 
y = 50 ? idem anterior, x²-4x+3 =50 | x²-4x-47 
● D(f)=R, pois intervalo não é especificado, e vai de (–inf, +inf) 
● Im(f)= próximos slides 
Funções e o Plano Cartesiano
● Tipos de Funções 
4) Função Quadrática 
f(x)= x²-4x+3 
● Prestar atenção que para funções quadráticas a imagem 
inicia do vértice da parábola. (figura ao lado) 
● Primeiro temos que calcular onde está esse vértice em x 
● Usamos a relação Vy = ( x, y ) = ( – b / 2a , – Delta / 4a ) 
x = –b / 2a → x = – ( – 4 ) / 2.1 → x = 4 / 2 → x = 2 
● Para achar y, podemos substituir x=2 em x²-4x+3 ou, 
● Resolver o Delta = b2 – 4.a.c → y = – Delta / 4a 
● Para ambos os casos, temos y = – 1 
Funções e o Plano Cartesiano
● Tipos de Funções 
4) Função Quadrática 
f(x)= x²-4x+3 
Ainda não determinamos a imagem 
Sabemos que se ( x = 2, y = – 1 ) 
● Como nossa parábola é voltada para cima, a 
imagem é limitada de –1 até +infinito 
● Im(f) = [–1, +inf ) 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções e o Plano Cartesiano 
4) Função Quadrática 
f(x) = x2 – 3x, somente em [-10, 40) 
D(f)= [ –10, 40 ) domínio é limitado 
Vy = ( 1.5, –2.25 ) 
Im(f)=[ –2.25, ? ] idem anterior para o 
vértice, mas a imagem vai até quanto ? 
Observar que temos 2 limites, [ – 10 e 40 ) 
Para o lado negativo, o valor máximo de y é 130 (substituindo x= –10 na função) 
Para o lado positivo, o valor máximo de y é menor que 1.480 (substituindo x= 40 na função) 
● Pois o intervalo é aberto em 40. Mesmo que x=39.9999999, jamais o valor de y = 1480 
logo, Im(f)=[ –2.25, 1480 )
Funções e o Plano Cartesiano 
4) Função Quadrática 
f(x) = x2 – 3x, somente em [-10, 40) 
continua.... 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das 
abscissas ? 
Idem anterior x1 = 3 x2 = 0 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? 
Idem anterior x1 = 8.728 x2 = –5.728 
● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = -3 ? 
se Vy = ( 1.5, –2.25 ), não existe y < –2.25, logo não existe y = – 3 
se resolver por báscara, não existe raíz cujo y intercepte –3 (raíz é negativa)
4) Função Quadrática 
Funções e o Plano Cartesiano 
● A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do 
valor obtido para o radicando, chamado discriminante: 
● quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; 
● quando Δ é zero, há só uma raiz real; 
● quando Δ é negativo, não há raiz real.
● Tipos de Funções 
5) Função cúbica 
Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função 
cúbica é uma função f : R → R que para cada x em R, associa 
f(x) = ax³+bx²+cx+d 
f(x)= x³ 
f(x)= -4x³ 
f(x)= 2x³ + x² – 4x + 3 
f(x)= -7x³ + x² + 2x + 7 
Funções e o Plano Cartesiano
Delimitando o domínio e Imagem de uma função 
● Alguns elementos não possuem correspondente associado para todo R. 
● Ou seja... nem toda relação é uma função. 
● Logo, costuma-se definir D(f) em função do conjunto onde f(x) infere. 
● Exemplo 1: Considere a seguinte função real, que calcula a raiz de um 
número real. 
● f(x)= 
● x=-1; não possui raiz real, logo sqrt(x<0) não possuem raízes reais. 
● D(f) = [ 0, +inf ) 
Funções e o Plano Cartesiano 
 x 
Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
Delimitando o domínio e Imagem de uma função 
● Exemplo 2: considere as funções f(x) e g(x) abaixo: 
● f(x) = 3x + 5 onde f : [ 0, +inf ) → R 
● g(x) = 3x + 5 
D(f) = [ 0, +inf ) 
Im(f) = [ 5, +inf ) 
D(g) = R 
Im(g) = R 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções e o Plano Cartesiano 
Delimitando o domínio e Imagem de uma função 
● Cada função abaixo, tem características distintas 
● 1) f : R → R definida por f(x)=x² 
Dom(f)=R Im(f)= [ 0, +inf ) 
● 2) f : [0, 2] → R definida por f(x)=x² 
Dom(f)=[0,2] Im(f)=[ 0,4 ] 
● 3) A função modular é definida por f : R → R tal que f(x)= |x| 
Dom(f)=R Im(f)= +inf 
e seu gráfico ?
Exercícios 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
1) Uma semi-circunferência é dada pela função real f : R → R: 
Todos estes resolve-se por equações 
ou inequações (resolução em aula) 
f  x=4−x2 
x2 f  x= x22 
f  x= 1 
2) 7) 
3) 
f  x= 3 
x−3 
f  x= x 
4) O objetivo é encontrar na função onde 
um “problema” pode ocorrer 
5) 
ex.: raízes negativas, divisão por 0 
6) 
Funções e o Plano Cartesiano 
3x−9 
f  x=1−x 
12 
f  x= 3x2 
2x6−3x15 
x2−2x−8
Exercícios 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
1) Uma semi-circunferência é dada pela função real f : R → R: 
● Resolvendo por báscara, encontra-se as 
raízes -2 e 2 (conforme gráfico) 
● Qualquer valor menor que -2 ou maior que 
2, faria com que a equação tivesse raízes 
negativas. 
● Logo, D(f) = [–2, 2] 
● Imagem idem anteriores, calculando por Vy, encontramos x=0, e y=2, conforme gráfico. 
Im(f) = [2, .....] como a parábola tende à –inf, se não tivéssemos o problema de raízes negativas 
essa seria a resposta – Im(f) = [2, –inf ] 
● Mas, como o intervalo vai somente de -2 a 2, aplica-se x=-2 e x=2 à função, para encontrar o 
valor da imagem, que é 0 para qualquer uma das 2 raízes 
● Logo, Im(f) = [2, 0] ou Im(f) = [0, 2] 
Funções e o Plano Cartesiano 
f  x=4−x2
Exercícios 
Funções e o Plano Cartesiano 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
2) 
f  x= 1 
x2 
● É fácil observar que o divisor não pode ser 0. Resolvemos a seguinte igualdade para encontrar o 
valor de x cuja função zera: 
x + 2 = 0 (queremos ver quando x+2 zera) 
x = –2 
Concluímos matematicamente que o valor de x não pode ser –2. 
● Logo, D(f) = R – {--2} “Reais menos o –2” 
● O gráfico ao lado demonstra isso, cujo x=--2 jamais terá um y, 
não importa o quão próximo de –2 seja x. (ex.1.999999999) 
Imagem resolução em aula (não cobrado na prova para esse 
tipo de função) 
Im(f) = R – {0} y nunca cruza o eixo 0 (resolver por limites. ex: x =+99999 e x =-99999) 
e tende a –inf, +inf, conforme se aproxima de –2
Exercícios 
Funções e o Plano Cartesiano 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
3) 
f  x= 3 
● Idem 2 
x−3 
● x - 3 = 0 (queremos ver quando x-3 zera) 
x = 3 
Concluímos matematicamente que o valor de x não pode ser 3. 
● Logo, D(f) = R – {3} “Reais menos o 3” 
● O gráfico ao lado demonstra isso, cujo x=3 jamais terá um y, 
não importa o quão próximo de 3 seja x. (ex.2.999999999) 
Im(f) = R – {0} y nunca cruza o eixo 0 (idem anterior) 
e tende a –inf, +inf, conforme se aproxima de 3
Exercícios 
Funções e o Plano Cartesiano 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
4) 
f  x= x 
3x−9 
● Idem anteriores, resolver equação para não zerar 
● 3x – 9 = 0 (queremos ver quando zera) 
x = 3 
Concluímos matematicamente que o valor de x não pode ser 3. 
● Logo, D(f) = R – {3} “Reais menos o 3” 
● O gráfico ao lado demonstra isso, cujo x=--2 jamais terá um y, 
não importa o quão próximo de 3 seja x. (ex.2.999999999) 
Imagem resolução em aula (não cobrado na prova 
para esse tipo de função) 
Im(f) = R – {1/3} y nunca cruza o eixo 1/3 (x / 3x) 
e tende a –inf, +inf, conforme se aproxima de 3.
Exercícios 
Funções e o Plano Cartesiano 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
5) 
● Outra raíz, idem anteriores 
Qualquer número elevado a ½ é raíz 
● Resolvendo a inequação, temos que 
1 – x >= 0 (maior ou igual a zero, jamais menor) 
1 >= +x 
x <= 1 
x = 1 → sqrt( 0 ) 
x = 0 → sqrt( 1 ) 
x = –1 → sqrt( 2 ) 
x = –2 → sqrt( 3 ) logo, D(f) = R, tal que x <= 1 ou [-1, –inf ) 
Im(f) = [ 0, +inf ) fácil verificar isso ! 
f  x=1−x 
12
Exercícios 
Funções e o Plano Cartesiano 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
6) 
f  x= 3x2 
2x6−3x15 
● Obviamente, aqui temos 2 situações: 
– as 2 raízes não podem ser negativas ao analisadas individualmente 
– o divisor não pode ser igual a zero 
● Resolvendo 2x + 6 >= 0 temos x >= –3 
● Resolvendo –3x + 15 >= 0 temos x <= 5 (cuidado com os sinais, que invertem as inequações) 
● Logo, temos um intervalo aqui: 
– situação 1 : x >= –3 
– situação 2 : x <= 5 
– A intersecção disso é um intervalo em [–3, 5] 
● Qualquer valor fora disso torna uma das raízes negativas.... !!!!!!! aí está o domínio ! 
● D = [–3, 5] prove isso em { -10 -4 -3 -2 0 2 3 4 5 6 } 
● Descartamos que o divisor seja 0, o que nunca ocorre dentro desse intervalo !!!!
Exercícios 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
6) 
● Desenhando o gráfico da função neste intervalo, vemos que ela é contínua. 
● Logo, podemos determinar a imagem aplicando 
o limite negativo e o positivo na função: 
● x=–3 teremos y=–1.429 
● x= 5 teremos y=4.25 
● Logo, Im(f) = [–1.429, 4.25 ] 
● Fácil, fácil !!!! 
Funções e o Plano Cartesiano 
f  x= 3x2 
2x6−3x15
Exercícios 
Funções e o Plano Cartesiano 
Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 
7) 
f  x= x22 
x2−2x−8 
● O divisor não pode ser zero 
● No entanto, temos uma equação do segundo grau no divisor. Logo, será zero quando o valor de 
x for igual às raízes que interceptam a abscissa. 
● Resolver da mesma forma que as demais, temos: 
x2 – 2x – 8 = 0 
logo, a equação zera quando x1 = 4 e x2 = –2, 
exatamente como demonstrado no gráfico ao lado 
● D(f) = R – {–2, 4} 
● Im(f) = R – { 1 }, conforme visto em aula que 
x2 / x2 = 1 
e tende a –inf, +inf em y, conforme se aproxima de –2 e 4
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
● Uma função f : A → B é injetora se quaisquer dois elementos distintos 
de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: 
● Ou senão para f(x1)=f(x2) implica que x1=x2. 
● Exemplo 1) A função f : R → R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois 
sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois 
valores diferentes para f(x). 
● Exemplo 2) A função f : R → R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois 
para x=1 temos f(1)=6 e 
para x=-1 temos f(-1)=6.
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
Injetora somente o gráfico da função g
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
● Uma função f: A → B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem 
de pelo menos um elemento de A. 
● Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente 
igual a B que é o contradomínio da função, ou seja: 
para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). 
● Exemplo 1) A função f: R → R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois 
todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. 
● Exemplo 2) A função f: R → [0, +inf) definida por f(x)=x² é sobrejetora, 
pois todo elemento pertencente a [0, +inf) é imagem de pelo menos um 
elemento de R pela função.
Funções e o Plano Cartesiano 
Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras 
● Exemplo 3) A função f: R → R definida por f(x)=x² não é sobrejetora, 
pois f(-2) = 4 = f(2), e … 
se x²>0, não existe y < 0 em Im(f). 
Exemplo 4) A função f : R → R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, 
pois o número -1 é elemento do contradomínio R, e não é imagem de 
qualquer elemento do domínio, ou seja, y sempre é maior que 0.
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● Uma função f : A → B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e 
sobrejetora. 
● Exemplo 1: A função f : R → R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é 
injetora e sobrejetora. 
● Exemplo 2: A função g : [0,+inf] → [0,+inf] dada por g(x)=x2 é bijetora 
pois para que tenhamos g(x) = y 
basta que tenhamos x2 = y, logo x = y1/2
Funções Pares e Ímpares 
● Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, 
tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em 
relação ao eixo vertical OY. 
Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois 
f(-x)=x²=f(x). 
Outra função par é 
g(x)=cos(x) 
pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x) 
Funções e o Plano Cartesiano
Funções Pares e Ímpares 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, 
tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em 
relação à origem do sistema cartesiano. 
Exemplo: 
f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: 
f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) 
g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x).
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Crescente e Decrescente 
● Função decrescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que 
sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). 
Seja a função f : R → R definida por f(x)=-8x+2. Para os valores: a=1 e 
b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e 
f(a)>f(b) então a função é decrescente.
Funções e o Plano Cartesiano 
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● Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x 
e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). 
Seja a função f : R → R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e 
b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e 
f(a)<f(b) então a função é crescente..
Funções e o Plano Cartesiano 
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Funções Explícitas, Implícitas e Paramétricas 
A função pode ser escrita de três formas diferentes: 
● Paramétrica (parametrizável) 
r = [x(t) y(t)], ou seja 
x=x(t) e y=y(t), onde t é um parâmetro variável t1< t < t2 
● Exemplo: 
Uma reta: 
● r(t)=(1-t)r(0) + r(1); onde r(0) é a posição inicial do segmento dos 
segmento e r(1)= posição final do segmento de reta 
● Uma curva qualquer 
● r(t)=[t^3-0.5*t^2+1 -0.2*t^3-0.4*t^2+t ]
Funções Inversas 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Dada uma função bijetora f : A → B, denomina-se função inversa de f à 
função g : B → A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a 
em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1 
● Exemplo: sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f: A → B 
definida por f(x)=2x e g: B → A definida por g(x)=x/2. Observemos nos 
gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.
Funções Inversas 
Funções e o Plano Cartesiano
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● Obtenção da inversa: 
Funções e o Plano Cartesiano 
● Seja f: R → R, f(x)=x+3. 
Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. 
Isolando x obteremos x=y-3 
● Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Trocando x por y e y por 
x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. 
Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.
Funções Inversas 
● f(x) = 4x-5 (linha azul) 
Funções e o Plano Cartesiano 
● g(x) = (y+5) / 4 (linha verde) 
● [0, 5] 
● f(x) = x2 (linha azul) 
● g(x) = x1/2 (linha verde)
Funções Inversas 
Funções e o Plano Cartesiano 
x (3y – 5) = 2y +3 
3xy – 5x = 2y + 3 
3xy – 2y = 3 + 5x 
y (3x – 2) = 3 + 5x 
f  x=2x3 
3x−5 
y=2x3 
3x−5 
f  x=5x3 
3x−2 
x=2y3 
3y−5
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Contínuas e Discretas 
Algumas das funções que vimos até o momento são contínuas 
a b
Funções e o Plano Cartesiano 
Funções Contínuas e Discretas 
Outras das funções que vimos até o momento não são contínuas 
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x in R, [0, 10] 
f(x) = x – 1 
x in R, x > 12 
f(x) = 12
Funções e o Plano Cartesiano 
Sinal Discreto – Discretizado 
1. Uma variável discreta pode assumir um número finito (e geralmente 
pequeno) de valores. 
2. Uma variável discreta pode ser usada para realizar uma representação 
simplificada de uma grandeza física que é contínua no tempo. 
Exemplo: funções em matlab realizadas até o momento (“step”) 
3. Variáveis discretas sempre serão funções não-contínuas. 
(ou seja, são representadas por) 
4. Em computadores os sinais são representados por variáveis discretas por 
causa da forma que os números são representados : 
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  • 1. Univali - Matemática para jogos Relações, Funções e Gráficos de Funções
  • 2. Conjunto dos números Naturais – N N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Conjuntos Numéricos Conjunto dos números Inteiros – Z Z = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros relativos, isto é: N Ì Z NN ZZ
  • 3. Conjunto dos números Racionais – Q ● Composto pelas razões ou frações entre números inteiros, dízimas finitas, e dízimas infinitas periódicas. 4,55 = 455 1,3 = 13 0,77777777... = 7 ● Números “com vírgula” que podem ser escritos a partir da divisão de dois inteiros. ● Qualquer fração representa sempre uma dízima finita ou uma dízima infinita periódica,- logo, uma fração é um número racional. Z ÌQ QQ Conjuntos Numéricos NN ZZ 100 10 9
  • 4. Conjunto dos números Reais – ℜ ● Composto pelos números racionais mais as dízimas infinitas não periódicas, isto é, números racionais + números irracionais. ● Exemplo de Números Irracionais: Conjuntos Numéricos ● Todas as raízes de números naturais que não sejam quadrados perfeitos (não inteira)... 2 55 30 p=3,1415926535897932384626433832795......... e=2,718281828459045235360287.
  • 6. Alguns Números Interessantes Conjuntos Numéricos ● O Neperiano pode ser obtido pela seguinte relação: ● p - pode ser obtido pela seguinte relação: ● Razão áurea e o equilíbrio das proporções.
  • 7. Funções e o Plano Cartesiano ● O plano cartesiano é feito através da junção de dois eixos, perpendiculares entre si que se cruzam no ponto 0, o qual é a origem de ambos os eixos. ● O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas ou x. O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas ou y.
  • 8. Funções e o Plano Cartesiano ● Os eixos dividem o espaço quatro quadrantes enumerados no sentido anti-horário Quadrante 1: x>0 e y>0 Quadrante 2: x<0 e y>0 Quadrante 3: x<0 e y<0 Quadrante 4: x>0 e y<0
  • 9. Funções e o Plano Cartesiano ● Cada ponto do plano cartesiano é identificado por um par de números chamados de coordenadas. ● Para obter um ponto P, basta traçar as perpendiculares ao eixo x e y.
  • 10. ● Para dizer que P possui abscissa a e ordenadas b, escrevemos: Funções e o Plano Cartesiano ● P ↔(a; b) ou P = (a; b) ● Sempre que representar o plano cartesiano em conjuntos, o primeiro número é sempre a abscissa e o segundo é sempre a ordenada.
  • 11. ● Produto Cartesiano Funções e o Plano Cartesiano ● Considere dois conjuntos não vazios A e B: ● A = {1,2,3} e B = {4,5} ● Chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados | que x pertença ao conjunto A e y ao conjunto B. A x B = {(x; y)│x A e y B}. ● A x B = { (1;4), (1;5), (2;4), (2;5), (3;4), (3;5) } ● B x A = { (4;1), (4;2), (4;3), (5;1), (5;2), (5;3) } ● A x A = { (1;1), (1;2), (1;3), (2;1), (2;2), (2;3), (3;1), (3;2), (3;3) } ● B x B = { (4;4), (4;5), (5;4), (5;5) }
  • 12. ● Representação do Produto Cartesiano. ● Há duas maneiras de produtos cartesianos ● Por diagrama de flechas ou por diagrama cartesiano. ● Considerando A = (1,2,3) e B = (4,5). Funções e o Plano Cartesiano 1 2 3 4 5
  • 13. ● Domínio, Imagem e Gráficos ● Chama-se domínio o conjunto de todos os elementos de A que está associado à pelo menos um elemento de B. ● Chama-se imagem o conjunto de todos os elementos de B relacionados de pelo menos a um elemento de A. ● AxB = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } ● D = { -2,-1, 0, 1, 2} ● Im = { 0, 1, 4 }. Funções e o Plano Cartesiano -2 -1 0 1 2 0 1 4
  • 14. Funções e o Plano Cartesiano R = { (-2;4), (-1;1), (0;0), (1;1), (2;4) } D = { -2,-1, 0, 1, 2 } Im = { 0, 1, 4 }. CD = B
  • 15. Funções e o Plano Cartesiano ● Dada a relação h: {-3, 0, 3, 8} —>{-2, 0, 15, 18, 27, 40} definida pela lei h(x) = x2 – 3x ● Indique o Domínio, Contra-Domínio e Imagem desta função. ● Domínio é o conjunto de saída: {-3, 0, 3, 8} ● Contradomínio é o conjunto de chegada: {-2, 0, 15, 18, 27, 40} ● Agora devemos ver a imagem de cada um dos elementos do domínio. ● Para x= – 3 y= – 32 – 3 . (–3) = 9 + 9 = 18 ● Para x= 0 y= 02 – 3 . (0) = 0 = 0 ● Para x= 3 y= 32 – 3 . (3) = 9 – 9 = 0 ● Para x= 8 y= 82 – 3 . (8) = 64 – 24 = 40 ● Como encontramos todas as imagens, podemos agora formar o conjunto Imagem da função. ● Im = {0, 18, 40}
  • 16. Funções e o Plano Cartesiano ● Função Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. ● Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: f : A → B Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada: ● 1) domínio A da relação e 2) contradomínio B da relação. ● 3) Todo elemento de A deve ter correspondente em B. ● 4) Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no contradomínio B. ● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB
  • 17. Funções e o Plano Cartesiano ● Logo, função pode ser vista como uma linha no plano, contida em AxB … ● Estamos interessados em funções com D e CD contidos no conjunto dos números reais, as chamadas funções reais de variável real. Ex.1: f(x) = 3x - 20 D(f)=R, pois f(x) vale para R Im(f)=R, equação linear (visto mais adiante) ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas inequação 3x – 20 = 0 (0 é a abscissa para y=0) 3x = 20 x = 20/3 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? idem 3x – 20 = 50
  • 18. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. f(x)= -3x ← resposta (função decresce) f(x)= 2x (descarta, é função decrescente) f(x)= x/2 (descarta, é função decrescente) O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem p(0,0).
  • 19. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins a) Linear : seja a um número real. Uma função linear é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax. f(x)= -3x ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? Calcular a inequação –3x = 0, logo, x = 0 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? idem – 3x = 50 | x = – 50/3 ● D(f)=R (domínio livre) Im(f)=R (equação linear)
  • 20. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b f(x)= -3x + 1 (descarta, é função decrescente) f(x)= 2x + 7 (se x=0, y seria +7 ) f(x)= x/2 + 4 ← resposta (se x=0, sobra +4 ) (corresponde ao gráfico) Se b != 0, o gráfico da função linear é uma reta que não passa pela origem p(0,0).
  • 21. ● Tipos de Funções 1) Lineares e Afins b) Afim : Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f: R → R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b f(x)= x/2 + 4 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? resolver inequação x/2 + 4 = 0 x/2 = – 4 x = – 8 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? inequação x/2 + 4 = 50 ● D(f)=R Im(f)=R (linear) Funções e o Plano Cartesiano
  • 22. Funções e o Plano Cartesiano ● Tipos de Funções 2) Função Identidade Uma função identidade é uma função f: R → R onde f(x)=x ou f(x)=-x 3) Função Constante Seja b um número real. A função constante associa a cada x em R o valor f(x)=b
  • 23. ● Tipos de Funções 4) Função Quadrática Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f: R → R que para cada x em R, f(x) = ax²+bx+c ● f(x)= x² ● f(x)= -4x² ● f(x)= -x²+2x+7 ● f(x)= x²-4x+3 ← resp ● f(x)= 2x²-3x A parábola é para cima, descartar de inicio x2 negativos; ● x2 não, pois seria simétrica em x=0; ● sobra as 2 últimas, deduz-se que substituir x=50 (por ex.), o valor de y=~2000 Funções e o Plano Cartesiano
  • 24. ● Tipos de Funções 4) Função Quadrática f(x)= x²-4x+3 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? Resolver por báscara a igualdade x²-4x+3 =0 para encontrar as 2 raízes x1 = 3 x2 = 1 se construir o gŕafico, esses pontos são o cruzamento da função para em y=0 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? idem anterior, x²-4x+3 =50 | x²-4x-47 ● D(f)=R, pois intervalo não é especificado, e vai de (–inf, +inf) ● Im(f)= próximos slides Funções e o Plano Cartesiano
  • 25. ● Tipos de Funções 4) Função Quadrática f(x)= x²-4x+3 ● Prestar atenção que para funções quadráticas a imagem inicia do vértice da parábola. (figura ao lado) ● Primeiro temos que calcular onde está esse vértice em x ● Usamos a relação Vy = ( x, y ) = ( – b / 2a , – Delta / 4a ) x = –b / 2a → x = – ( – 4 ) / 2.1 → x = 4 / 2 → x = 2 ● Para achar y, podemos substituir x=2 em x²-4x+3 ou, ● Resolver o Delta = b2 – 4.a.c → y = – Delta / 4a ● Para ambos os casos, temos y = – 1 Funções e o Plano Cartesiano
  • 26. ● Tipos de Funções 4) Função Quadrática f(x)= x²-4x+3 Ainda não determinamos a imagem Sabemos que se ( x = 2, y = – 1 ) ● Como nossa parábola é voltada para cima, a imagem é limitada de –1 até +infinito ● Im(f) = [–1, +inf ) Funções e o Plano Cartesiano
  • 27. Funções e o Plano Cartesiano 4) Função Quadrática f(x) = x2 – 3x, somente em [-10, 40) D(f)= [ –10, 40 ) domínio é limitado Vy = ( 1.5, –2.25 ) Im(f)=[ –2.25, ? ] idem anterior para o vértice, mas a imagem vai até quanto ? Observar que temos 2 limites, [ – 10 e 40 ) Para o lado negativo, o valor máximo de y é 130 (substituindo x= –10 na função) Para o lado positivo, o valor máximo de y é menor que 1.480 (substituindo x= 40 na função) ● Pois o intervalo é aberto em 40. Mesmo que x=39.9999999, jamais o valor de y = 1480 logo, Im(f)=[ –2.25, 1480 )
  • 28. Funções e o Plano Cartesiano 4) Função Quadrática f(x) = x2 – 3x, somente em [-10, 40) continua.... ● Para qual valor de x a f(x) intercepta o eixo das abscissas ? Idem anterior x1 = 3 x2 = 0 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = 50 ? Idem anterior x1 = 8.728 x2 = –5.728 ● Para qual valor de x a f(x) intercepta y = -3 ? se Vy = ( 1.5, –2.25 ), não existe y < –2.25, logo não existe y = – 3 se resolver por báscara, não existe raíz cujo y intercepte –3 (raíz é negativa)
  • 29. 4) Função Quadrática Funções e o Plano Cartesiano ● A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando, chamado discriminante: ● quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas; ● quando Δ é zero, há só uma raiz real; ● quando Δ é negativo, não há raiz real.
  • 30. ● Tipos de Funções 5) Função cúbica Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f : R → R que para cada x em R, associa f(x) = ax³+bx²+cx+d f(x)= x³ f(x)= -4x³ f(x)= 2x³ + x² – 4x + 3 f(x)= -7x³ + x² + 2x + 7 Funções e o Plano Cartesiano
  • 31. Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Alguns elementos não possuem correspondente associado para todo R. ● Ou seja... nem toda relação é uma função. ● Logo, costuma-se definir D(f) em função do conjunto onde f(x) infere. ● Exemplo 1: Considere a seguinte função real, que calcula a raiz de um número real. ● f(x)= ● x=-1; não possui raiz real, logo sqrt(x<0) não possuem raízes reais. ● D(f) = [ 0, +inf ) Funções e o Plano Cartesiano  x Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }
  • 32. Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Exemplo 2: considere as funções f(x) e g(x) abaixo: ● f(x) = 3x + 5 onde f : [ 0, +inf ) → R ● g(x) = 3x + 5 D(f) = [ 0, +inf ) Im(f) = [ 5, +inf ) D(g) = R Im(g) = R Funções e o Plano Cartesiano
  • 33. Funções e o Plano Cartesiano Delimitando o domínio e Imagem de uma função ● Cada função abaixo, tem características distintas ● 1) f : R → R definida por f(x)=x² Dom(f)=R Im(f)= [ 0, +inf ) ● 2) f : [0, 2] → R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2] Im(f)=[ 0,4 ] ● 3) A função modular é definida por f : R → R tal que f(x)= |x| Dom(f)=R Im(f)= +inf e seu gráfico ?
  • 34. Exercícios Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 1) Uma semi-circunferência é dada pela função real f : R → R: Todos estes resolve-se por equações ou inequações (resolução em aula) f  x=4−x2 x2 f  x= x22 f  x= 1 2) 7) 3) f  x= 3 x−3 f  x= x 4) O objetivo é encontrar na função onde um “problema” pode ocorrer 5) ex.: raízes negativas, divisão por 0 6) Funções e o Plano Cartesiano 3x−9 f  x=1−x 12 f  x= 3x2 2x6−3x15 x2−2x−8
  • 35. Exercícios Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 1) Uma semi-circunferência é dada pela função real f : R → R: ● Resolvendo por báscara, encontra-se as raízes -2 e 2 (conforme gráfico) ● Qualquer valor menor que -2 ou maior que 2, faria com que a equação tivesse raízes negativas. ● Logo, D(f) = [–2, 2] ● Imagem idem anteriores, calculando por Vy, encontramos x=0, e y=2, conforme gráfico. Im(f) = [2, .....] como a parábola tende à –inf, se não tivéssemos o problema de raízes negativas essa seria a resposta – Im(f) = [2, –inf ] ● Mas, como o intervalo vai somente de -2 a 2, aplica-se x=-2 e x=2 à função, para encontrar o valor da imagem, que é 0 para qualquer uma das 2 raízes ● Logo, Im(f) = [2, 0] ou Im(f) = [0, 2] Funções e o Plano Cartesiano f  x=4−x2
  • 36. Exercícios Funções e o Plano Cartesiano Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 2) f  x= 1 x2 ● É fácil observar que o divisor não pode ser 0. Resolvemos a seguinte igualdade para encontrar o valor de x cuja função zera: x + 2 = 0 (queremos ver quando x+2 zera) x = –2 Concluímos matematicamente que o valor de x não pode ser –2. ● Logo, D(f) = R – {--2} “Reais menos o –2” ● O gráfico ao lado demonstra isso, cujo x=--2 jamais terá um y, não importa o quão próximo de –2 seja x. (ex.1.999999999) Imagem resolução em aula (não cobrado na prova para esse tipo de função) Im(f) = R – {0} y nunca cruza o eixo 0 (resolver por limites. ex: x =+99999 e x =-99999) e tende a –inf, +inf, conforme se aproxima de –2
  • 37. Exercícios Funções e o Plano Cartesiano Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 3) f  x= 3 ● Idem 2 x−3 ● x - 3 = 0 (queremos ver quando x-3 zera) x = 3 Concluímos matematicamente que o valor de x não pode ser 3. ● Logo, D(f) = R – {3} “Reais menos o 3” ● O gráfico ao lado demonstra isso, cujo x=3 jamais terá um y, não importa o quão próximo de 3 seja x. (ex.2.999999999) Im(f) = R – {0} y nunca cruza o eixo 0 (idem anterior) e tende a –inf, +inf, conforme se aproxima de 3
  • 38. Exercícios Funções e o Plano Cartesiano Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 4) f  x= x 3x−9 ● Idem anteriores, resolver equação para não zerar ● 3x – 9 = 0 (queremos ver quando zera) x = 3 Concluímos matematicamente que o valor de x não pode ser 3. ● Logo, D(f) = R – {3} “Reais menos o 3” ● O gráfico ao lado demonstra isso, cujo x=--2 jamais terá um y, não importa o quão próximo de 3 seja x. (ex.2.999999999) Imagem resolução em aula (não cobrado na prova para esse tipo de função) Im(f) = R – {1/3} y nunca cruza o eixo 1/3 (x / 3x) e tende a –inf, +inf, conforme se aproxima de 3.
  • 39. Exercícios Funções e o Plano Cartesiano Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 5) ● Outra raíz, idem anteriores Qualquer número elevado a ½ é raíz ● Resolvendo a inequação, temos que 1 – x >= 0 (maior ou igual a zero, jamais menor) 1 >= +x x <= 1 x = 1 → sqrt( 0 ) x = 0 → sqrt( 1 ) x = –1 → sqrt( 2 ) x = –2 → sqrt( 3 ) logo, D(f) = R, tal que x <= 1 ou [-1, –inf ) Im(f) = [ 0, +inf ) fácil verificar isso ! f  x=1−x 12
  • 40. Exercícios Funções e o Plano Cartesiano Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 6) f  x= 3x2 2x6−3x15 ● Obviamente, aqui temos 2 situações: – as 2 raízes não podem ser negativas ao analisadas individualmente – o divisor não pode ser igual a zero ● Resolvendo 2x + 6 >= 0 temos x >= –3 ● Resolvendo –3x + 15 >= 0 temos x <= 5 (cuidado com os sinais, que invertem as inequações) ● Logo, temos um intervalo aqui: – situação 1 : x >= –3 – situação 2 : x <= 5 – A intersecção disso é um intervalo em [–3, 5] ● Qualquer valor fora disso torna uma das raízes negativas.... !!!!!!! aí está o domínio ! ● D = [–3, 5] prove isso em { -10 -4 -3 -2 0 2 3 4 5 6 } ● Descartamos que o divisor seja 0, o que nunca ocorre dentro desse intervalo !!!!
  • 41. Exercícios Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 6) ● Desenhando o gráfico da função neste intervalo, vemos que ela é contínua. ● Logo, podemos determinar a imagem aplicando o limite negativo e o positivo na função: ● x=–3 teremos y=–1.429 ● x= 5 teremos y=4.25 ● Logo, Im(f) = [–1.429, 4.25 ] ● Fácil, fácil !!!! Funções e o Plano Cartesiano f  x= 3x2 2x6−3x15
  • 42. Exercícios Funções e o Plano Cartesiano Determine o gráfico da função, D(f), Im(f) para as funções dadas 7) f  x= x22 x2−2x−8 ● O divisor não pode ser zero ● No entanto, temos uma equação do segundo grau no divisor. Logo, será zero quando o valor de x for igual às raízes que interceptam a abscissa. ● Resolver da mesma forma que as demais, temos: x2 – 2x – 8 = 0 logo, a equação zera quando x1 = 4 e x2 = –2, exatamente como demonstrado no gráfico ao lado ● D(f) = R – {–2, 4} ● Im(f) = R – { 1 }, conforme visto em aula que x2 / x2 = 1 e tende a –inf, +inf em y, conforme se aproxima de –2 e 4
  • 43. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f : A → B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: ● Ou senão para f(x1)=f(x2) implica que x1=x2. ● Exemplo 1) A função f : R → R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x). ● Exemplo 2) A função f : R → R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.
  • 44. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 45. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras Injetora somente o gráfico da função g
  • 46. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f: A → B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. ● Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja: para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). ● Exemplo 1) A função f: R → R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. ● Exemplo 2) A função f: R → [0, +inf) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento pertencente a [0, +inf) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função.
  • 47. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Exemplo 3) A função f: R → R definida por f(x)=x² não é sobrejetora, pois f(-2) = 4 = f(2), e … se x²>0, não existe y < 0 em Im(f). Exemplo 4) A função f : R → R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R, e não é imagem de qualquer elemento do domínio, ou seja, y sempre é maior que 0.
  • 48. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 49. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 50. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 51. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras
  • 52. Funções e o Plano Cartesiano Injetoras, Sobrejetoras, Bijetoras ● Uma função f : A → B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. ● Exemplo 1: A função f : R → R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e sobrejetora. ● Exemplo 2: A função g : [0,+inf] → [0,+inf] dada por g(x)=x2 é bijetora pois para que tenhamos g(x) = y basta que tenhamos x2 = y, logo x = y1/2
  • 53. Funções Pares e Ímpares ● Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY. Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x) Funções e o Plano Cartesiano
  • 54. Funções Pares e Ímpares Funções e o Plano Cartesiano ● Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano. Exemplo: f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x).
  • 55. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente ● Função decrescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) > f(y). Seja a função f : R → R definida por f(x)=-8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b) então a função é decrescente.
  • 56. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente ● Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x < y, tivermos f(x) < f(y). Seja a função f : R → R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente..
  • 57. Funções e o Plano Cartesiano Funções Crescente e Decrescente
  • 58. Funções e o Plano Cartesiano Funções Explícitas, Implícitas e Paramétricas A função pode ser escrita de três formas diferentes: ● Paramétrica (parametrizável) r = [x(t) y(t)], ou seja x=x(t) e y=y(t), onde t é um parâmetro variável t1< t < t2 ● Exemplo: Uma reta: ● r(t)=(1-t)r(0) + r(1); onde r(0) é a posição inicial do segmento dos segmento e r(1)= posição final do segmento de reta ● Uma curva qualquer ● r(t)=[t^3-0.5*t^2+1 -0.2*t^3-0.4*t^2+t ]
  • 59. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano ● Dada uma função bijetora f : A → B, denomina-se função inversa de f à função g : B → A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1 ● Exemplo: sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f: A → B definida por f(x)=2x e g: B → A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.
  • 60. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano
  • 61. Funções Inversas ● Obtenção da inversa: Funções e o Plano Cartesiano ● Seja f: R → R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Isolando x obteremos x=y-3 ● Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.
  • 62. Funções Inversas ● f(x) = 4x-5 (linha azul) Funções e o Plano Cartesiano ● g(x) = (y+5) / 4 (linha verde) ● [0, 5] ● f(x) = x2 (linha azul) ● g(x) = x1/2 (linha verde)
  • 63. Funções Inversas Funções e o Plano Cartesiano x (3y – 5) = 2y +3 3xy – 5x = 2y + 3 3xy – 2y = 3 + 5x y (3x – 2) = 3 + 5x f  x=2x3 3x−5 y=2x3 3x−5 f  x=5x3 3x−2 x=2y3 3y−5
  • 64. Funções e o Plano Cartesiano Funções Contínuas e Discretas Algumas das funções que vimos até o momento são contínuas a b
  • 65. Funções e o Plano Cartesiano Funções Contínuas e Discretas Outras das funções que vimos até o momento não são contínuas a b x in R, [0, 10] f(x) = x – 1 x in R, x > 12 f(x) = 12
  • 66. Funções e o Plano Cartesiano Sinal Discreto – Discretizado 1. Uma variável discreta pode assumir um número finito (e geralmente pequeno) de valores. 2. Uma variável discreta pode ser usada para realizar uma representação simplificada de uma grandeza física que é contínua no tempo. Exemplo: funções em matlab realizadas até o momento (“step”) 3. Variáveis discretas sempre serão funções não-contínuas. (ou seja, são representadas por) 4. Em computadores os sinais são representados por variáveis discretas por causa da forma que os números são representados : sistema de numeração binário sistema de numeração hexadecimal