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Produto cartesiano e função 1º ano do ensino medio

  1. 1. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 1 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio Produto CartesianoPar ordenado: conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo símbolo (x, y) onde x e y são númerosreais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada. Ex: Par ordenado (6, -3) : abscissas = 6 e ordenada= -3.Plano Cartesiano: também conhecido como sistema de coordenadas retangulares; Trata-se de um conceitointroduzido no século XVII pelo matemático e filósofo francês René Descartes, para representar graficamente o parordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, numponto denominado origem. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixodas ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a suaordenada, ou seja, O (0, 0).Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regiões, que são denominadas Quadrantes. Temosentão o seguinte quadro resumo: QUADRANTE ABCISSA ORDENADA 1º quadrante + + 2º quadrante - + 3º quadrante - - 4º quadrante + -Obs:1) a equação do eixo Ox é y = 0 e do eixo Oy é x = 0.2) o gráfico de y = x é uma reta denominada bissetriz 3) o gráfico de y = -x é uma reta denominada bissetrizdo primeiro quadrante. do segundo quadrante.Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B oconjunto indicado por A X B, formado por todos os pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence aoconjunto A e o segundo elemento pertence ao conjunto B:A X B= {(x, y) | x ∈A e y ∈ B} Obs.: Para saber quantos elementos existem neste conjunto, basta multiplicar a quantidade de elementos doconjunto A pela quantidade de elementos do conjunto B. Exemplo: Dados os conjuntos A= {5,6} e B= {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano A X B;a) representação ou forma tabular:A X B = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)}Observe que os primeiros elementos dos pares ordenados pertencem ao conjunto A e os segundos pertencem aoconjunto B. Essa forma de representação é denominada forma tabular.b) representação ou forma gráfica:
  2. 2. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 2 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioObserve que, para representar graficamente o produto cartesiano A X B, os elementos do conjunto A são dispostosno eixo das abscissas(horizontal) e os elementos do conjunto B, no eixo das ordenadas(vertical) estando, cada parordenado do produto, associado a um único ponto do gráfico.Atividade de Sistematização1. Dados os conjuntos M = {1,3,5} e N = {2,4}, determinar o produto cartesiano M X N e N X M nasrepresentações tabular e gráfica.2. Considerando os conjuntos A = {x ∈ ℤ | -2 ≤ x ≤ 1} e B = {3,4}, determinar A X B nas representações ouformas tabular e gráfica.3. Dados os conjuntos E = {x ∈ ℕ | x ≤ 2}, F = {4,5} e G = {-1,0}, determine a forma tabular dos produtos:a. EXFb. FXEc. FXGd. EXG4. Sendo C = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x ≤ 4} e D = {y ∈ ℤ | -1 ≤ y < 3}, determine a forma gráfica dos produtos:a. C X Db. D X C FunçõesDefiniçãoDados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se função (ouaplicação) de A em B, representada porf : A → B ou y = f(x), a qualquer relação binária que associa acada elemento de A, um único elemento de B.Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função,exige-se que a cada x ∈ A esteja associado um único y ∈ B,podendo entretanto existir y ∈ B que não esteja associado anenhum elemento pertencente ao conjunto A.Nota: na notação y = f(x), entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja: y está associado a x atravésda função f.Exemplos:f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto, 11 é imagem de 2 pela função f;f(5) = 4.5 + 3 = 23, portanto 23 é imagem de 5 pela função f:f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.Para definir uma função, necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio) e de uma fórmula ou umalei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
  3. 3. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 3 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioQuando D(f) (domínio) ⊂ R e CD(f)(contradomínio) ⊂ R, sendo R o conjunto dos números reais, dizemosque a função f é uma função real de variável real. Na prática, costumamos considerar uma função real de variávelreal como sendo apenas a lei y = f(x) que a define, sendo o conjunto dos valores possíveis para x, chamado dedomínio e o conjunto dos valores possíveis para y, chamado de conjunto imagem da função. Assim, porexemplo, para a função definida por y = 1/x, temos que o seu domínio é D(f) = R*, ou seja o conjunto dos reaisdiferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero), e o seu conjunto imagem é também R*, já que sey = 1/x, então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero.Nota: o símbolo ⊂ significa “contido em”.Dada uma função f : A → B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x, y) ∈ f onde x∈ A e y ∈ B, num sistema de coordenadas cartesianas. O gráfico obtido será o gráfico da função f.Assim, por exemplo, sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f, podemos dizer que:a) a projeção da curva sobre o eixo dos x, nos dá o domínio dafunção.b) a projeção da curva sobre o eixo dos y, nos dá o conjunto imagemda função.c) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função,intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto.Veja a figura ao lado, relativa aos itens 1, 2 e 3 acima:Tipos de funçõesFunção sobrejetora ou sobrejetiva Função bijetora ou bijetivaÉ aquela cujo conjunto imagem é igual ao Uma função é dita bijetora, quando é ao mesmocontradomínio. tempo, injetora e sobrejetora.Exemplo: Exemplo: Função injetora ou injetiva Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio, possuem imagens distintas, isto é: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2). Exemplo:Atividade de sistematização:1) Considere três funções f, g e h, tais que:A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.A função g atribui a cada país, a sua capitalA função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
  4. 4. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 4 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioPodemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:a) f, g e hb) f e hc) g e hd) apenas he) nenhuma delas2) (UNIFESP-02) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte propriedade: “a valores distintos de x correspondemvalores distintos de y”. Tais funções são chamadas injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos aparecemabaixo, é injetora? Paridade das funçõesFunção parA função y = f(x) é par, quando ∀ x ∈ D(f) , f(- x) = f(x) ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( x ) = f(- x). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fatoé que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo dasordenadas.O símbolo ∀, lê-se “qualquer que seja”.Exemplo:y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17O gráfico ao lado é de uma função par.Função ímparA função y = f(x) é ímpar, quando ∀ x ∈ D(f) , f(- x = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f(-x) = - f(x). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüênciadesse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0),origem do sistema de eixos cartesianos.Exemplo:y = x3 é uma função ímpar, pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.O gráfico ao lado é de uma função ímpar:Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.
  5. 5. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 5 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioExemplo:O gráfico ao lado representa uma função que não possui paridade,pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não ésimétrica em relação à origem.Domínio e conjunto imagem de uma função real de variável realPodemos dizer que uma função f: A → B, definida por y = f (x) é uma função real de variável real, quando osconjuntos A e B são subconjuntos de R, sendo R o conjunto dos números reais.Seja a função f: A → B; y = f (x).Nestas condições, temos x ∈ A e y ∈ B. Os valores de xconstituem o domínio da função f e os valores de yconstituem o conjunto imagem da função f. O conjuntoB é chamado contradomínio.Nestas condições, determine o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções reais de variável real:1)y=1+ xObservando que a raiz quadrada de x é um número real se e somente se x for positivo ou nulo, vemos que acondição de existência para y é que x ≥ 0. Portanto, o domínio da função dada será D = {x ∈ R; x ≥ 0} = R+(conjunto dos números reais não negativos).Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.Teremos então: y – 1 = x . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivoou nulo, deveremos ter y – 1 ≥ 0 ou y ≥ 1. Portanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 1} = [1, ∞)ou seja, o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 1.2) y = 3 + x - 5 . Neste caso, a condição de existência para y é que x – 5 ≥ 0 ou seja, x ≥ 5. O domínio da funçãodada será D = {x ∈ R ; x ≥ 5} = [5 , ∞), ou seja, o intervalo de todos os números reaismaiores ou iguais a 5.Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.Teremos então: y – 3 = x - 5 . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivoou nulo, deveremos ter y – 3 ≥ 0 ou y ≥ 3. Portanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 3} = [3, ∞)ou seja, o conjunto dos números reais maiores ou iguais a 3.3) y = 2 + - xNeste caso, a condição de existência para y é que – x ≥ 0. Multiplicando ambos os membros dessa desigualdadepor – 1, ela muda de sentido, ou seja, x ≤ 0. Portanto, o domínio da função será D = {x ∈ R; x ≤ 0} = R –(conjunto dos números reais não positivos).Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.Teremos então: y – 2 = - x . Como a raiz quadrada de um número real positivo ou nulo é outro número positivoou nulo, deveremos ter y – 2 ≥ 0 ou y ≥ 2.
  6. 6. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 6 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioPortanto, o conjunto imagem da função é Im = {y ∈ R; y ≥ 2} = [2, ∞) ou seja, o conjunto dos números reaismaiores ou iguais a 2. x4) y = 2x − 6Aqui, a condição para a existência de y é que o denominador 2x – 6 seja diferente de zero, já que não existedivisão por zero. Portanto, 2x – 6 ≠ 0 ou seja, x ≠ 3. Assim, o domínio desta função é D = {x ∈ R; x ≠ 3} = R –{3}, ou seja, o conjunto de todos os números reais diferentes de 3.Para determinar o conjunto imagem, temos que achar os valores possíveis para y.Vamos então, explicitar x em função de y. Teremos: xDe y = , poderemos escrever: y(2x – 6) = x . Efetuando as operações indicadas, vem: 2x − 6 6y2xy – 6y = x ∴ 2xy – x = 6y ∴ x(2y – 1) = 6y ∴ x = . 2y −1 1Ora, como não existe divisão por zero, deveremos ter 2y – 1 ≠ 0 ou seja 2y ≠ 1 e, finalmente, y ≠ . Portanto, o 2conjunto imagem da função dada é: Im = {y ∈ R; y ≠ ½} = R – {½}, ou seja, o conjunto de todos os númerosreais diferentes de ½.5) y = x - 1 + 5 - xNeste caso, as condições para a existência de y são que x – 1 ≥ 0 e 5 – x ≥ 0. Logo, x ≥ 1 e 5 ≥ x o que é omesmo que 1 ≤ x ≤ 5, ou seja, o domínio da função é D = {x ∈ R; 1 ≤ x ≤ 5 } = [1, 5] (intervalo fechado dosnúmeros reais de 1 a 5).Para determinar o conjunto imagem, teremos que achar os valores possíveis para y.Como x pode variar em R (conjunto dos números reais) de 1 até 5, poderemos escrever para valores inteiros de x.Observação: claro que sendo x um número real, ele assume também valores não inteiros, os quais nãoutilizaremos aqui, pois complicaria os cálculos, desnecessariamente.y= x -1 + 5-xx=1⇒y= 1 -1 + 5 -1 = 0 + 4 =0+2=2x=2⇒y= 2 -1 + 5- 2 = 1 + 3 = 1 + 3 ≅ 1 + 1,732 ≅ 2,732x=3⇒y= 3 -1 + 5-3 = 2 + 2 = 2. 2 ≅ 2.1,414 ≅ 2,818x=4⇒y= 4 -1 + 5-4 = 3+ 1 = 1,732 + 1 ≅ 2,732x = 5 ⇒ y = 5 -1 + 5 - 5 = 4 + 0 = 2 + 0 = 2Observe que para x inteiro de 1 a 5, y variou de 2 até voltar novamente a a 2, passando pelo valor máximo2,818... = 2 2 .Portanto, o conjunto imagem desta função é Im = {y ∈ R; 2 ≤ y ≤ 2 2 } = [2, 2 2 ], ou seja, o intervalo fechadode números reais de 2 a 2 2 .Agora resolva este:Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = x-2 – 2-x ?Atividade de Sistematização1) Determine o domínio das seguintes funções: 2x − 1 x +1a) f(x) = x3 + x b) f(x) = c) f(x) = - 3x + 15 d) f(x) = e) f(x) = x-6 3x + 4 4x + 4
  7. 7. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 7 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio2) Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 900,00e uma variável que corresponde a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.a) Qual é a função que expressa o seu salário?b) Qual o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 100.000,00 em produtos?Função polinomial do 1º grauChamamos função polinomial do 1º grau a função f: ℝ → ℝ que associa a cada número real x, o número real ax +b, com a ≠ 0.Função polinomial do 1º grau f: ℝ → ℝ, sendo f(x) = ax + b com a, b ∈ ℝ e a ≠ 0.Exemplos :f(x) = 3x + 12, onde a = 3 e b = 12f(x) = -3x + 1, onde a = -3 e b = 1f(x) = 2x, onde a = 2 e b = 0Propriedades da função do 1º grau:1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta.2) na função f(x) = ax + b, se b = 0, f é dita função linear e se b ≠ 0 f é dita função afim.Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler - excepcional matemático suíço - 1701/1783).3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a .4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear.5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .6) se a > 0, então f é crescente.7) se a < 0, então f é decrescente.8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax, o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.Atividade de sistematização:1) Considerando a função f(x) = 3x + 1, determinar:a) os coeficientes angular e linearb) se a função é crescente ou decrescentec) f(2) e f(-3)2) Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. −53) Conhecendo a função f(x) = x , determinar: 2a) coeficientes angular e linearb) se a função é crescente ou decrescentec) f(-1) e f(2)d) x para que se tenha f(x) = 204) Uma função f é do 1º grau. As imagens de (-2) e de zero são 11 e 3, respectivamente. Qual é a lei de f?
  8. 8. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 8 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioGráfico de uma função do 1º grauA representação gráfica de uma função do 1º grau, y = ax + b (a ≠ 0), é uma reta não-paralela aos eixos Ox ouOy, sendo raiz ou zero da função a abcissa do ponto onde a reta intercepta o eixo Ox.A construção do gráfico de uma função do 1º grau, y = ax + b, pode ser feita:a) atribuindo-se alguns valores reais a x e obtendo-se valores de y, correspondentes, organizando-os em umatabela.b) localizando no plano cartesiano os pontos (x, y) e traçando a reta que passa por eles.Sabendo que o gráfico da função y = 2x + 3 é do 1.º grau, precisamos conhecer no mínimo dois de seus pontospara traçá-lo. Esses dois pontos podem ser obtidos atribuindo-se dois valores arbitrários para x e determinandosua imagem (y).Passo (a) Passo (b) x f(x) = 2x + 3 y (x, y) x=0 f(0) = 2.0 + 3 = 0 + 3 = 3 3 (0, 3) x = -1 f(-1) = 2.-1 + 3 = -2 + 3 = 1 1 (-1, 1) x = -2 f(-2) = 2.-2 + 3 = -4 + 3 = -1 -1 (-2, -1)Atividade de sistematização:1) sendo f: R → R, esboçar o gráfico das funções do 1º grau, determinar as suas raízes e classificar a função emcrescente/decrescente.a) f(x) = -3x + 1 b) f(x) = 2x c) f(x) = 2x + 2Função polinomial do 2º grauO salão de festas de um edifício tem a forma de um retângulo com 12 metros decomprimento e 8 metros de largura. Pretende-se aumentar x metros nocomprimento e x metros na largura desse salão. Qual é a lei matemática emfunção de x que representa a nova área A do salão em metros quadrados?O novo salão terá o formato de um retângulo de dimensões, em metros, (12 + x)e (8 + x). Assim, sua área A, em metros quadrados, será dada pela expressão A= (12 + x) . (8 + x).A = (12 + x) . (8 + x) ⇒ A = 96 + 12x + 8x + x2 ⇒ A = x2 + 20x + 96A lei obtida acima define uma função polinomial. Observe que x2 é o termo emque a variável apresenta expoente igual a 2, e esse é o maior expoente daexpressão. Então, o grau do polinômio é 2. Por isso, essa função é chamada defunção do 2o grau ou função quadrática.Na função quadrática de lei A(x) = x2 + 20x + 96, os coeficientes são a = 1, b = 20 e c = 96.Veja como é possível obter a nova área do salão de festas desse edifício para alguns valores de x.• se x = 1 ⇒ A(1) = 12 + 20.1 + 96 ⇒ A(1) = 117• se x = 5 ⇒ A(5) = 52 + 20.5 + 96 ⇒ A(5) = 221Pode-se dizer que 117 e 221 são, respectivamente, as imagens correspondentes a x = 1 e a x = 5.
  9. 9. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 9 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioPode-se ainda calcular o valor de x para o qual a nova área do salão seja igual a 192 m2. Para isso, basta resolvera equação x2 + 20x + 96 = 192, ou seja, x2 + 20x - 96 = 0. Assim, a = 1, b = 20, c = - 96.∆ = b2 – 4ac ⇒ ∆ = (20)2 - 4 . 1 . (-96) = 784 − 20 ± 784 − 20 ± 28x= ⇒ x= . Assim, x’ = 4 e x” = -24 2 .1 2No problema apresentado, x representa o valor de uma medida em metros. Nesse caso, x só pode assumir valoresmaiores que zero.Então, o valor de x para que a área seja igual a 192 m2 é igual a 4.Função quadráticaUma função é dita do 2º grau(quadrática) quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ≠ 0.Exemplos:f(x) = x2 - 2x + 1, onde a = 1, b = -2, c = 1;y = - x2, onde a = -1, b = 0, c = 0.Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c: é sempre uma parábola de eixo vertical.Construa o gráfico da função y=x²:Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x f(x) = y = x² y (x, y) -2 y = (-2)2 = 4 4 (-2, 4) -1 y = (-1)2 =1 1 (-1, 1) 0 y = (0)2 =0 0 (0, 0) 1 y = (1)2 =1 1 (1, 1) 2 y = (2)2 =4 4 (2, 4)O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outrospontos.Coordenadas do vértice A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y= x² -4x + 3Temos: a=1, b=-4 e c=3Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x² -4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2.y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1).  b ∆Ainda, podemos calcular o vértice por: V = − , −  , onde ∆ = b2 – 4ac  2a 4a 
  10. 10. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 10 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino MédioRelação entre a concavidade de uma parábola e o coeficiente a concavidade voltada para baixo concavidade voltada para cimaQuando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábolatem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo.2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo3) o vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde: b ∆ xv = − yv = − , onde ∆ = b2 - 4ac 2a 4a4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa x e x, que são as raízes da equação ax2 + bx + c = 0. −b+ ∆ −b− ∆ x’ = e x” = 2a 2a5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c). b6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = − . 2a ∆7) ymáximo = − ( a < 0 ). Concavidade da parábola voltada para baixo. 4a ∆8) ymínimo = − ( a > 0 ). Concavidade da parábola voltada para cima. 4a9) Forma fatorada: sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c, então ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir: y = a(x - x1).(x - x2).10) Im(f) = { y ∈ R; y ≥ - ∆ /4a } ( a > 0)11) Im(f) = { y ∈ R; y ≤ - ∆ /4a} ( a < 0)O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a 0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duaspossibilidades:
  11. 11. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 11 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio1ª - quando a > 0, 2ª quando a < 0, Imagem da função Imagem da função a>0 a<0Quadro resumo: a>0 a<0 ∆ = b2 – 4ac A parábola no plano cartesiano concavidade concavidade (boca) para cima (boca) para baixo ∆>0 Corta o eixo horizontal(eixo das abcissas) em 2há duas raízes reais e pontos distintas ∆=0 Toca em 1 ponto do eixo horizontal(eixo das abcissas) só uma raiz real ∆<0 Não corta o eixo horizontal(eixo das abcissas) não há raiz realAtividades de sistematização:1) Identificar a, b e c nas funções quadráticas abaixo, relacionando a concavidade da parábola com o coeficiente a.a) f(x) = x2 - 9x + 8 b) f(x) = -2x2 + 7x – 32) Determinar os zeros(as raízes) de cada uma das funções quadráticas abaixo:a) y = -x2 + 2x + 3 b) y = x2 – 2x + 1 c) y = -x2 + x – 13) Esboçar o gráfico da função y = 2x2 – 3x + 1, determinando: a) as raízes b) as coordenadas do vértice c) a classificação de yv (valor mínimo ou valor máximo da função) d) intersecção da curva com o eixo y
  12. 12. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 12 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio4) Esboçar o gráfico da função y = -x2 + x + 6, determinando: a) as raízes b) as coordenadas do vértice c) a classificação de yv (valor mínimo ou valor máximo da função) d) intersecção da curva com o eixo y5) Determinar o conjunto imagem das funções quadráticas:a) y = x2 – 2x – 3 b) y = -x2 + 6x – 9 c) y = x2 – 4Sinais da função quadráticaConsideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y énegativo e os valores de x para os quais y é positivos. Conforme o sinal do discriminante = b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:1º) ∆ > 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros(raízes) reais distintos (x1 ≠ x2). A parábola intercepta o eixoOx em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: quando a > 0 quando a < 0 y > 0 ⇔(x < x1 ou x > x2) y > 0 ⇔x1 < x < x2 y < 0 ⇔x1 < x < x2 y < 0 ⇔ (x < x1 ou x > x2) + _ _ + + _2º) ∆ = 0 Nesse caso a função quadrática admite um zero(raiz) real (x1 = x2). A parábola intercepta o eixo Ox em umponto e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo: quando a > 0 quando a < 0 _ _ + +
  13. 13. Escola Estadual de Ensino Médio Protásio Alves 13 Passo Fundo – RS Matemática – 1º ano do Ensino Médio3º) ∆< 0 Nesse caso a função quadrática não admite zeros(raízes) reais. A parábola não intercepta o eixo Ox e o sinal dafunção é o indicado nos gráficos abaixo: quando a > 0 quando a < 0 _ +Atividade de sistematização:1) O esquema mostra o estudo dos sinais de uma função quadrática. Dê o sinal do coeficiente a e do discriminante ∆.a) - + - b) + + x x x’ x” x’ = x”c) - - - d) + - + x x x’ x”2) Determine o domínio e o conjunto imagem das funções:a) f(x) = x2 – 9x + 20 b) f(x) = -x2 – 4x – 43) O valor máximo da função f(x) = -x2 + 2x + 2 tem ordenada:A( ) 2 B( ) 3 C( ) 4 D( ) 5 E( ) 6Referências:BARRETO FILHO, Benigno & SILVA, Cláudio Xavier da. Matemática aula por aula. 1. ed. São Paulo: FTD, 2003.GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.

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