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CADERNOS PPT




ESTASTÍTICA
INFERENCIAL
   5º Semestre


                   LUAN GUERRA
FACEBOOK


         Não curtir? Por quê?




           SUGESTÕES
     cadernosppt@gmail.com.br
AVISO
Esse material foi criado a partir do caderno
de um aluno do curso de administração.

Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte
didática como: livros, artigos científicos, etc.


Observação:
O objetivo dessa apresentação é
simplesmente ajudar o estudante, nada além
disso.
CONCEITO
POPULAÇÃO
População é conjunto de elementos sobre
os quais queremos informações.



Ex.: Paulistanos, veículos, cães
abandonados, produtos para vender.
AMOSTRA
Uma parte do conjunto (sub-conjunto) da
população.



Ex.: Moradores da Paulista, raça de cães,
final de placa.
AMOSTRAGEM QUANDO USAR?
Exemplos:

Economia

Confiabilidade

Radipez de processamento

Teste destrutivo
MÉTODOS DE AMOSTRAGENS
         TIPOS
AMOSTRAGEM CONVENIÊNCIA
Os entrevistados são escolhidos por conveniência:

–   Menos Confiável
–   Baixo Custo
–   Boa para obter idéias sobre determinação assunto
–   Boa como pesquisa exploratória


EXEMPLO

Grupo de estudantes, de igrejas, membros de
organização sociais, lojas de departamentos
questionários destacáveis em revistas, entrevistas com
“pessoas na rua”.
AMOSTRAGEM JULGAMENTO
São selecionados com base no julgamento do
pesquisador, que usando sua experiência,
escolhe os elementos a serem incluídos na
amostra.

EXEMPLOS
Amostragem por julgamento: Testes de
mercado para avaliar o potencial de um novo
produto, seleção de distritos eleitorais
representativos para uma pesquisa de voto.
AMOSTRAGEM QUOTAS
1º - Classificação da população em termos de propriedades;

2º - Determinação da ´proporção da população para cada
   característica;

3º - Fixação de quotas para cada entrevistador;


   EXEMPLO

   Amostragem por quota: Pesquisa sobre o "trabalho das mulheres
   na atualidade“. Descobrem-se as proporções (%) dessas
   características na população, como 47% de homens e 53% de
   mulheres.
   Quando n = 50 pessoas, tem-se 23 homens e 27 mulheres. Então o
   pesquisador receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres.
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
                      É o processo de
                      retirada dos elementos
SORTEIO NÃO VICIADO   de uma população no
                      qual cada unidade tem
                      a mesma oportunidade
                      de integrar a amostra.
    AMOSTRA

                        USO DE TABELAS DE
                       NÚMEROS ALEATÓRIOS
EXEMPLO - AMOSTRAGEM
              ALEATÓRIA SIMPLES
Empresa deseja selecionar amostra de 20 trabalhadores
de horário integral a partir da população de 500
colaboradores nessa situação.

Associar um código de 3 dígitos a cada colaborador,
ordenados por ordem alfabética, de 001 a 500.

Escolher, ao acaso, um dígito de partida na Tabela de
Números Aleatórios

Indo da esquerda para a direita, e de cima para baixo,
na tabela, selecionar 20 números com 3 dígitos entre
001 e 500, sem pular ou repetir, identificando assim a
amostra.
EXEMPLO - AMOSTRAGEM
    ALEATÓRIA SIMPLES
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
• Decidir tamanho de amostra N
• Calcular

• Selecionar 1. Item aleatoriamente
• Selecionar os demais itens a partir desse
  inicial
AMOSTRAGEM
      ESTRAFICADA PROPORCIONAL
• A população é dividido em 2 ou mais
  grupos.

• Aplica-se, em cada grupo, a amostragem
  aleatória simples.
AMOSTRAGEM
       CONGLOMERADO (CLUSTERS)
• População é composta de vários
  CLUSTERS representativos.

• Aplica-se AAS nos CLUSTERS

• Combinam-se as amostras em um única
VARIÁVEL
                 DEFINIÇÃO

As variáveis qualitativas pode ser ordinal
(possui ordem natural) ou nominal (não possui
ordem natural).

As variáveis quantitativas pode ser discreta
(assume valores exatos) ou contrários (assume
valores aproximados).


Exemplo: População de cães abandonados.
VARIÁVEL
É a característica que queremos estudar.
As variáveis podem ser:

Qualitativa
Os valores são qualidades ou atributos.


Quantitativas
Os valores são quantidade.
EXEMPLOS
Variáveis Qualitativas:
 Ordinal – Porte, size
 Nominal – raça, cor


Variáveis Quantitativas:
 Discreta – Nº de Dentes INTERVALOS ESPECÍFICOS
 Contínua – Peso, altura
VARIAÇÕES
Quantitativa Contínua
Quantitativa Discreta

Qualitativa Ordinal
Qualitativa Nominal
CLASSIFICAÇÃO
                EXERCÍCIO

Moradores de uma cidade

Camisetas à venda em uma loja
V. Quant. Discreta: Preço
V. Qual. Nominal: Marca, cor
V. Qual. Ordinal: Tamanho

Alunos desta sala
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE
CARACTERÍSTICA DA
      DISTRIBUIÇÃO NORMAL
                • Formato de sino
                • Simétrica
                • Média, Mediana e Moda
                  iguais.
                • A posição é dada pela
                  média, μ.
                • A dispersão é dada pela
                  desvio padrão, σ.
                • A área total sob a curva é
                  igual a 1
                • Do ponto de vista teórico,
                  a distribuição possui
                  amplitude de -∞ à +∞.
ÁREA = 1
FUNÇÃO DENSIDADE DE
PROBABILIDADE NORMAL
EXEMPLO
• Qual é a maior média?
EXEMPLO
• Qual a curva normal tem desvio padrão maior?



                          σ =15




                                  σ =25
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS

É a distribuição normal Z , que tem média.
O e desvio-padrão 1.

Qualquer distribuição normal x com média
μ e desvio-padrão o pode ser transformado
em Z através de mudança de variável.
EXEMPLOS

                                       Distribuição Normal




Quanto menor o formato do “sino” maior será a aproximação dos dados
                             avaliados.
FÓRMULA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO
EXEMPLO
• Calcule a probabilidade do valor Z
  correspondente à variável aleatória normal
  estar entre 0,00 e 1,00, ou seja, P(0,00 < Z <
  1,00).
• Esboce o gráfico.
RESOLUÇÃO
     Olhar a TABELA de
     Distribuição Normal
     Padrão:

     P(0 < Z < 1) = 0,3413

              ou


          34,13%
ENCONTRANDO
EXERCÍCIO
• X representa o tempo (em segundos) para
  fazer o download de uma imagem da
  internet. Supondo que X é normal com
  média 8,0 e desvio-padrão 5,0.

• Encontre P(x < 8,6)
RESOLUÇÃO
TABELA
RESOLUÇÃO




  P = 0,50 + 0,0478 = 0,5478
EXERCÍCIO
• X representa o tempo levado (em
  segundos) para fazer o download de uma
  imagem da internet.
  Supondo que X é normal com média 8,0 e
  desvio-padrão 5,0.

• Encontre P(X > 8,6).
RESOLUÇÃO


       0,5478




P(x > 8,6) = P(Z >0,12) = 1 – P(Z < 0,12)

      P(x > 8,6) = P(Z >0,12) = 1 – 0,5478 = 0,4522
EXERCÍCIO
Supondo x normal com média 8,0 e desvio
padrão 5,0. Encontre P(8,0 < x < 8,6).
RESOLUÇÃO
TABELA
RESOLUÇÃO
P(8,0 < x < 8,6) = 0,0478




                            4,78%
EXERCÍCIO
Calcular P(Z < 0,32).
TABELA
RESOLUÇÃO




P = 0,50 + 0,1255 = 0,6255

                   62,55%
EXERCÍCIO
Calcular P(0 < Z < 1,71).
TABELA
RESOLUÇÃO
P(0 < x < 1,71) = 0,4564




                           45,64%
EXERCÍCIO
Calcular P(1,32 < Z < 1,79).
TABELA
RESOLUÇÃO
P(1,32 < Z < 1,79)

P(Z = 1,79) – P(Z = 1,32)

P = 0,4633 – 0,4066

P = 0,0567

                            5,67%
EXERCÍCIO
Calcular P( Z < - 1,3).

                          SIMETRIA
TABELA
RESOLUÇÃO
P( Z < -1,3)
                   0,5       0,4032




P(Z > 1,3)

P = 0,5 – 0,4032

P = 0,0968

                         9,68%
EXERCÍCIO
O tempo gasto no exame vestibular de uma
universidade tem distribuição Normal, com
média 120 min. e desvio padrão 15 min.

a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a
probabilidade que ele termine o exame antes de
100 min.

Considere X com o tempo gasto no exame
vestibular.
TRANSFORMANDO
RESOLUÇÃO
TRANSFORMANDO

        SIMETRIA
TABELA
RESOLUÇÃO
P( Z < -1,33)
                   0,5       0,4082




P(Z > 1,33)

P = 0,5 – 0,4082

P = 0,0918

                         9,18%
CONTINUAÇÃO
O tempo gasto no exame vestibular de
uma universidade tem distribuição Normal,
com média 120 min. e desvio padrão 15
min.

b) Qual deve ser o tempo de prova de
modo a permitir que 95% dos
vestibulandos terminem no prazo
estipulado?
ÁREA
TABELA
         Encontre o valor mais aproximado
         de 0,45.
         Esse valor corresponderá 95%.
RESOLUÇÃO
CONTINUAÇÃO
O tempo gasto no exame vestibular de
uma universidade tem distribuição Normal,
com média 120 min. e desvio padrão 15
min.

c) Qual é o intervalo central de tempo, tal
que 90% dos estudantes gastam para
completar o exame?
ESTIMAÇÃO POR PONTOEXEMPLO
Usando os dados da EAI, calculamos a
média e o desvio padrão correspondentes
aos dados de salário anual.
ESTIMAÇÃO POR PONTOEXEMPLO
• 1500 dos 2500 gerentes concluíram o programa
  de treinamento. Se admitirmos que p denota a
  proporção da população que concluiu o
  programa de treinamento, temos:



• O salário médio anual da população ( =$51800),
  o desvio padrão ( =$4000) e a proporção da
  população que concluiu o treinamento (p=0,60)
  são parâmetros característicos da população de
  gerentes da EAI.
EXEMPLO II
• Suponha que as informações necessárias sobre todos os gerentes do
  EAI não estivessem prontamente disponíveis no banco de dados da
  empresa. Como o diretor de pessoal da empresa pode obter
  estimativas dos parâmetros populacionais usando uma amostra de
  gerentes em vez de todos os 2500 gerentes da população?

• Para selecionar uma AAS:
   – 1º. Atribuir números de 1 a 2500 aos gerentes
   – 2º. Consultar tabela de números aleatórios ou usar programa para obter
     número aleatório (EXCEL, etc.)
   – 3º. Repetir o cálculo da média, desvio padrão e da proporção para
     amostra.
EXEMPLO II
• Resumo das estimações por ponto obtidas
  de uma amostra aleatória simples de 30
  gerentes da EAI
EXERCÍCIO III
 Os dados a seguir são de uma amostra
 aleatória simples:
               5 8 10 7 10 14

• Qual é a estimação por ponto da
  média da população?
EXERCÍCIO III
• b) Qual é a estimação por ponto do desvio
  padrão da população?
EXERCÍCIO
Uma AAS dos dados de cinco meses de venda forneceu
a seguinte informações:




a) Desenvolva uma estimação por ponto do número
médio de unidades da população vendidas por mês.

b) Desenvolva a estimação por ponto do desvio padrão
da população?
A
CALCULANDO NA HP12C       CALCULANDO NA HP12C

F FIN                 F FIN
Nº ∑+                 94∑+
Nº ∑+                 100∑+
Nº ∑+                 85∑+
Nº ∑+                 94∑+
Nº ∑+                 92∑+
g 0 ( x ) = Média
                      g 0 ( x ) = 93
B
   CALCULANDO NA HP12C                      CALCULANDO NA HP12C


F FIN                                   F FIN
Nº ∑+                                   94 ∑+
Nº ∑+                                   100 ∑+
Nº ∑+                                   85 ∑+
Nº ∑+                                   94 ∑+
Nº ∑+                                   92 ∑+
g 0 ( x ) = Média                       g 0 ( x ) = 93
g ∑+ ( ∑- ) = Desvio Padrão             g ∑+ ( ∑- ) = 5,38


Anote o valor do DESVIO PADRÃO, pois a calculadora exibirá por alguns segundos.
EXERCÍCIO
Uma pergunta de uma pesquisa realizada com
uma amostra de 150 indivíduos produziu 75
respostas “sim”, 55 respostas “não” e 20
respostas “sem opinião”.


a) Qual é a estimação por ponto da proporção
da população que respondeu Sim?

b) Qual é a estimação por ponto da proporção
da população que respondeu Não?
RESOLUÇÃO

DADOS:

150 – Total
75 – Sim
55 – Não
20 – Sem Opinião
RESOLUÇÃO
PROBABILIDADE


A)
p = 75/150 = 0,50 = 50%


B)
p = 55/150 = 0,3667 = 36,7%
HISTOGRAMA
 AMOSTRAL
 EXEMPLIFICAÇÃO
Distribuição da frequência de x em 500
      ASS de 30 gerentes da EAI:
Histograma da frequência relativa dos valores
de x em 500 ASS com tamanho 30 cada uma.
Histograma da frequência relativa dos valores
de p em 500 ASS com tamanho 30 cada uma.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAIS
                  PROPRIEDADES
  O valor esperado para a média das amostras é igual
  média das população


                      μx = μ
μx = Valor esperado para a média da amostra
μ = Média da População
  Quando o valor esperado de um estimador por ponto for
  igual ao parâmetro populacional, dizemos que o
  estimador do ponto é sem viés
DESVIO PADRÃO DAS MÉDIAS
      DAS AMOSTRAS
Use a seguinte expressão para calcular DESVIO
PADRÃO das médias das amostras:




Sempre que:
– A população for infinita (não consigo “mensurar”)
– A população for finita e o tamanho da amostra for MENOR
  ou IGUAL a 5% do tamanho da população, ou seja, n/N =
  0,05
MAIOR QUE 5%
Caso não o problema utilize premissas diferentes
destas:

– A população for infinita
– A população for tinta e o tama:nho da amostra for ou
  igual a 5% do tamanho da população, ou seja, n/N = 0,05


Utilize a fórmula abaixo:
EXEMPLIFICAÇÃO
O desvio padrão dos salários anuais da
população de 2500 gerentes da EAI é 4.000. A
população é finita, com n = 2500. O tamanho da
amostra, 30, é menor que 5% do tamanho da
população, logo podemos ignorar o fator de
correção para populações finitas e usar:
EXEMPLIFICAÇÃO
Como o resultado é finito e o tamanho da
amostra é MENOR que 5%.

População = 2500
Amostra = 30           Dados: 30/2500 = 0,012

A partir do resultado dos dados acima,
optaremos por essa fórmula:
EXEMPLIFICAÇÃO
1500 dos 2500 gerentes concluíram o
programa de treinamento. Admitindo que
p denota a proporção da população que
concluiu o programa de treinamento. Qual
o valor esperado de P?
EXEMPLIFICAÇÃO
ERRO PADRÃO DA PROPORÇÃO AMOSTRAL
A proporção da população de 2500 gerentes que
participaram do programa de treinamento gerencial é P =
0,60.
Dada uma amostra com tamanho 30, qual o erro padrão da
proporção P ?

O tamanho da amostra, 30, é menor que 5% do tamanho
da população, logo podemos ignorar o fator de correção
para populações finitas e usar.
EXERCÍCIO
  Você escreve os valores da população [1, 3, 5, 7] em
  pedaços de papel e os coloca em uma caixa.
  Você seleciona dois papéis aleatoriamente, com
  substituições.

a) Liste todas as amostras possíveis de tamanho n = 2 e
   calcule a média de cada.

b) Represente essas médias que formam a distribuição
   amostra de média das amostras em um histograma.

c) Encontre a média e o desvio padrão da média das
   amostras. Compare seus resultados com a média μ=4 e
   desvio padrão 2,236 da população.
A
B
C
C
C
C
Desvio Padrão:

–1,5811
–2,236

Podemos afirmar que são compatíveis.
C




    0,56
LIMITE CENTRAL
    TEOREMA
EXEMPLIFICAÇÃO
EXEMPLIFICAÇÃO
TABELA
EXEMPLIFICAÇÃO
EXERCÍCIO
Em certa semana o preço médio da gasolina na
Califórnia foi de US$ 1,164 por galão. Qual é a
probabilidade de que o preço médio em uma
amostra de 38 postos esteja entre US$ 1,169 e
US$ 1,179?

Admita que o desvio padrão seja de US$ 0,049.
RESOLUÇÃO
Z1
Z2
TABELA Z1
TABELA Z2
RESULTADO
P(Z1 < Z < Z2)

P(0,63 < Z < 1,9)

P(Z = 1,9) – P(Z = 0,63)

P = 0,4713 – 0,2357


                           P = 0,2356
EXEMPLO
O presidente da Doerman Distributors acredita
que 30% das encomendas feitas à firma são
provenientes de clientes que compram pela
primeira vez. Uma AAS de 100 pedidos será
usada para estimar a proporção de clientes que
compram pela primeira vez. Supondo que o
presidente esteja correto e p=30.

Qual é o erro padrão de p ?
EXEMPLO
BINOMIAL PROPRIEDADES
• O experimento consiste em uma sequência de n ensaios
  idênticos

• Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Referimo-
  nos a um como um sucesso e ao outro como um
  fracasso.

• A probabilidade de um sucesso, p, não se modifica de
  ensaio para ensaio. A probabilidade de um fracasso (1-
  p), não se modifica de ensaio para ensaio.

• Os ensaios são independentes.
EXEMPLIFICAÇÃO

Um produto manufaturado pode ser
classificado em perfeito ou defeituoso; a
resposta de um questionário pode ser
verdadeira ou falsa; as chamadas
telefônicas   podem     ser  locais    ou
interurbanas.
EXEMPLIFICAÇÃO
 Qual é a probabilidade de termos 3 caras
 quando uma moeda honesta for lançada 4
 vezes?

Distribuição de Probabilidades de Caras no
  Lançamento simultâneo de 4 Moedas
  honestas.
EXEMPLIFICAÇÃO RESOLUÇÃO
BINOMIAL GRÁFICO
TABELA
CONDIÇÃO


     Média = μ = np
EXEMPLIFICAÇÃO
           DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Decida se você pode usar a distribuição normal para
aproximar x, o número de pessoas que responderam
sim.

a) Para 51% dos adultos nos EUA, a promessa final de
ano mais importante foi a de se exercitar mais. Você
seleciona aleatoriamente 65 adultos deste grupo e lhes
pergunta se a promessa foi cumprida.

Neste experimento binomial, n=65, p=0,51 e q=0,49
RESOLUÇÃO
EXERCÍCIO
Decida se você pode usar a distribuição
normal para aproximar x, o número de
pessoas que responderam sim.

b) 15% dos adultos nos EUA não fazem
promessa de final de ano. Você seleciona
aleatoriamente 15 adultos deste grupo e
lhes pergunta se fizeram promessa de
final de ano.
RESOLUÇÃO

     TESTANDO A CONDIÇÃO




       NÃO PODE APROXIMAR
BINOMIAIS DISTRIBUIÇÃO
Suponha que o diretor da empresa EAI
queira  saber    qual     a    distribuição
AMOSTRAL de P que pode ser
aproximada da pela distribuição normal.
CORREÇÃO DE CONTINUIDADE
Para calcular probabilidades binomiais exatas,
pode-se usar a fórmula binomial para cada valor
de x e adicionar os resultados.

Geometricamente, isso corresponde a adicionar
as áreas das barras no histograma da
probabilidade.

Cada barra tem largura de uma unidade e x é o
ponto médio do intervalo
CORREÇÃO DO ERRO




                       P (x = c)




         P(c-0,5 < x < c 0,5)
CORREÇÃO DE CONTINUIDADE
Quando utilizarmos uma distribuição
normal contínua pata aproximar uma
probabilidade binomial, movemos uma
unidade 0,5 para a esquerda e direita do
centro para incluir todos os valores
possíveis de x do intervalo. Isto chama-se
CORREÇÃO PELA CONTINUIDADE.
DEMONSTRAÇÃO
          DISTRIBUIÇÃO
             NORMAL




          BINOMIAL
EXEMPLIFICAÇÃO
Encontre a probabilidade de se obter entre 3 e 6
caras, inclusive, em 10 lançamentos de uma
moeda honesta, usando (a) a distribuição
binomial e (b) a aproximação normal para
distribuição binomial.

–   (a) a distribuição binomial
–   X = caras que apareceram em 10 lançamentos
–   n = tentativas = 10 lançamentos
–   p = probabilidade de sucesso = 0,50
–   Q = probabilidade de fracasso = 0,50
FÓRMULAS
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO
• (b) a aproximação normal para
  distribuição binomial.

 Tratando os dados como contínuos, segue
 que 3 a 6 caras podem ser consideradas
 como 2,5 a 6,5 caras.
RESOLUÇÃO
GRÁFICO
ESTIMATIVA INTERVALAR
A estimativa pontual obtida é igual a 12,4
e a margem de erro 2,1. Qual a estimativa
intervalar?
Represente na reta numérica. Interprete o
resultado.
NÍVEL DE CONFIANÇA
O nível de confiança c é a probabilidade
de que o intervalo estimado contenha o
parâmetro populacional.

Pelo teorema do limite central, n>30, a
distribuição de amostragem das médias
amostrais é uma distribuição normal.
INTERPRETAÇÃO




INTERPRETAÇÃO:
A média populacional está no intervalo 10,3<μ<14,5
EXERCÍCIO
Se c = 90% então 5% da área está à
esquerda de -zc = 1,645 e 5% está à
direita de zc= 1,645.
INTERPRETAÇÃO




Os valores críticos são valores que
separam amostras estatísticas que são
prováveis das que são improváveis ou
incomuns.
RESOLUÇÃO
Encontre o valor mais próximo de 45%.
RESOLUÇÃO
Encontre o valor mais próximo de 45%.

                      RESULTADO
                        Zc = 1,645
MARGEM DE ERRO
Também chamada de erro máximo da
estimativa ou tolerância é a maior
distância possível entre o ponto de
estimativa e o valor do parâmetro que está
estimado.




Se n>30 o desvio padrão da amostra s
pode ser usado no lugar de σ.
EXERCÍCIO
Pesquisadores de mercado usam o
número de frases por anúncio como
medida de legibilidade de anúncios de
revistas. Tomando uma amostra aleatória
do número de frases encontrados em 50
anúncios. Para o nível de confiança de
95%, encontre a margem de erro para a
média do número de frases em todos os
anúncios de revistas. Interprete o
resultado.
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO
EXERCÍCIO

  Com 95% de confiança, você
  pode dizer que a média
  populacional do número de
  frases está entre 11,0 e 13,8.
EXERCÍCIO
Considere o intervalo de confiança de 90%
construído no exemplo anterior.




Se um número grande amostras for coletado e o
intervalo de confiança for criado para cada
amostra, ~90% desses intervalos conterão μ.
TAMANHO DA AMOSTRA
Para a mesma amostra estatística, conforme o
nível de confiança aumenta, o intervalo de
confiança fica mais largo. Conforme o intervalo
de confiança fica mais largo, a precisão da
estimativa decresce o nível de confiança é
aumentar o tamanho da amostra.

Mas, qual tamanho de amostra é necessário
para garantir certo nível de confiança para
uma margem de erro dada?
TAMANHO DA AMOSTRA
Dado o nível de confiança c e uma margem de
erro E, do tamanho mínimo da amostra n
necessário para estimar a média populacional μ é:




Se for desconhecido, você estimá-lo usando s,
dado que você tenha uma amostra preliminar com
pelo menos 30 elementos.
EXERCÍCIO
  CONSIDERE O ÚLTIMO EXERCÍCIO
          REALIZADO.

Quantos anúncios de revista devem ser
incluídos na amostra se você quer estar
95% confiante de que a média amostral
esteja dentro de uma frase da média
populacional?
EXEMPLO




       MENCIONA NO EXERCÍCIO


INTERPRETAÇÃO
Quando necessário, arredonde (para cima) para obter um
número inteiro 97 é o número mínimo de anúncios de revista
para serem incluídos na amostra.
DISTRIBUIÇÃO t
Nas situações reais o desvio padrão da
população é desconhecido. Limitações, como
tempo e custo, impedem a coleta de amostras
com o tamanho 30 ou mais. Emprega-se nesta
caso, a distribuição t.

DEFINIÇÃO
Se n<30 e a distribuição de uma variável
aleatório x for aproximadamente normal, então a
distribuição t é:
DISTRIBUIÇÃO t
• É uma família de curvas determinada pelos
  graus de liberdade (g.I).
                              As caudas na distribuição t
                              são “mais grossas” do que
                              aquelas na distribuição
                              normal padrão.




• Depois de 30 g.I., a distribuição t está muito
  próxima à distribuição normal padrão z.
DISTRIBUIÇÃO t
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Encontre o valor crítico tc para uma
confiança de 95% quando o tamanho da
amostra é 15.
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Pela tabela, tc = 2,145. No gráfico temos a
distribuição t para 14 graus de liberdade,
c = 0,95 e tc = 2,145
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t

            INTERPRETAÇÃO:
            95% da área sob a
            curva da distribuição t
            com 14 graus de
            liberdade está entre
            t= + 2,145.
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
Encontre o valor crítico tc para uma
confiança de 90% quando o tamanho da
amostra é 22.

a) Identifique os graus de liberdade
b) Identifique o nível de confiança c
c) Use a tabela para encontra tc
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t
a) Identifique os graus de liberdade


                           90%




                                       n = 22
EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t

          g.l. = n – 1 = 22 – 1 = 21
DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO
Distribuição:

A estimativa pontual para σ² e s² e a estimativa
pontual σ e s.

Se a variável x tem distribuição normal, então a
distribuição de:
HIPÓTESE ESTABELECENDO
HIPÓTESE ESTABELECENDO
A Hipótese nula H0 contém uma
afirmação de igualdade, tal como ≤, = ou ≥.

A Hipótese alternativa Ha é o
complemento da hipótese nula. É uma
afirmação que deve ser verdadeira se H0
for falsa e contém uma afirmação de
desigualdade estrita, tal como, >, ≠ e <.
HIPÓTESE ESTABELECENDO
HIPÓTESE EXEMPLO
Escreva a afirmação como uma sentença
matemática. Afirme as hipóteses nula e
alternativa e identifique qual representa a
afirmação.

– Uma universidade pública alega que a
  proporção de seus estudantes que se
  graduaram em 4 anos é de 82%.
HIPÓTESE RESOLUÇÃO
HIPÓTESE EXEMPLO
Escreva a afirmação como uma sentença
matemática. Afirme as hipóteses nula e
alternativa e identifique qual representa a
afirmação.

– Um fabricante de torneiras anuncia que o
  índice médio de fluxo de água de certo tipo
  de torneira é menor que 11 litros por minuto.
HIPÓTESE RESOLUÇÃO
HIPÓTESE EXERCÍCIO
Escreva a afirmação
como uma sentença
matemática. Afirme as
hipóteses nula e
alternativa e identifique
qual representa a
afirmação.

– Uma indústria de cereais
  anuncia que o peso médio
  dos conteúdos de suas
  caixas de 0,57 kg de cereal
  é mais do que 0,57 kg.
TIPOS DE ERRO




Erro tipo I ocorre se a hipótese nula for
rejeitada quando é verdadeira.

Erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for
rejeitada quando é falsa.
HIPÓTESE EXEMPLO
O limite para contaminação por
salmonela por frango é 20%. Um
inspetor de carnes reporta que o frango
produzido por uma empresa excede o
limite. Você realiza um teste de
hipóteses para determinar se a
afirmação do inspetor de carne é
verdadeira. Quando irá ocorrer um erro
tipo I ou tipo II? Qual é mais sério?
HIPÓTESE RESOLUÇÃO
         Erro tipo I ocorre se a
         proporção real de frango
         contaminado for ≤ 0,2, mas H0
         foi rejeitada.

         Erro tipo II ocorre se a
         proporção real de frango
         contaminado for > 0,2, mas H0
         não foi rejeitada.

         O erro do tipo II é mais sério,
         pois pode resultar em doenças
         ou mortes causadas pelos
         frangos contaminados que foram
         comprados pelo consumidor.
NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA
Em um teste de hipótese, o nível de significância é sua
probabilidade máxima permissível para cometer um erro
tipo I. Ele é denotado por α.

Níveis de significância comumente usados:

   α = 0,10          α = 0,05         α = 0,01

Embora o controle de um erro do tipo II em testes de
hipóteses não seja comum, ele pode ser feito. A
probabilidade de um erro do tipo II é denotada por β.
VALOR P
Se H0 for verdadeira, um valor P (ou valor de
probabilidade) de um teste de hipótese é a
probabilidade de se obter uma estatística
amostral com valores tão extremos ou mais
extremos do que aquela determinada a partir
dos dados da amostra.

Uma maneira de se decidir se rejeitamos a H0 é
determinar se a probabilidade de se obter uma
estatística de teste padronizada é menor que o
nível de significância.
TESTE UNICAUDAL À ESQUERDA
             EXEMPLO
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo menos que (<), o teste de
hipótese será um teste unicaudal à
esquerda.
TESTE UNICAUDAL À DIREITA
             EXEMPLO
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo maior que (>), o teste de
hipótese será um teste unicaudal à
direita.
TESTE BICAUDAL
Se a hipótese alternativa Ha contém o
símbolo de não igualdade (≠), o teste de
hipótese será um teste bicaudal. Cada
cauda tem uma área de ½ p.
TESTE EXERCÍCIO
Para a afirmação dada estabeleça H0 e Ha.
Determine se o teste de hipótese é unicaudal à
esquerda, à direita ou bicaudal. Descreva uma
distribuição de amostragem normal e sombreie
a área para o valor P.

Uma universidade pública que a proporção de
seus estudantes que se graduaram em 4 anos é
82%.
TESTE RESOLUÇÃO
TESTE - VALOR P
Para usar um valor P para chegar a uma
conclusão em um teste de hipótese, compare o
valor P com α.

– 1. Se P ≤ α, então rejeito H0.
– 2. Se P > α, então falhe em rejeitar H0.

Falhar em rejeitar a H0 não significa que você
tenha aceitado a hipótese nula como
verdadeira. Diz apenas que não há evidência
suficiente para rejeitar a H0.
TESTE EXERCÍCIO
O valor P para o teste de hipótese é P=0,0237. Qual sua
decisão se o nível de significância é α = 0,05 e α = 0,01?

– Como 0,0237 ≤ 0,05, então rejeito H0.
  REJEITA H0

– Como 0,0237 > 0,01, então falho ao rejeitar H0.
  FALHA EM REJEITA H0

Quanto menor o valor de P, mais evidência há a favor da
rejeição de H0. O valor de P fornece a você o menor nível
de significância para o qual a estatística da amostra
permite que você rejeite a H0.
TESTE EXERCÍCIO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01? Use um
valor P.
TESTE RESOLUÇÃO




No nível de significância de 1%, há evidência suficiente
para concluir que a média do tempo de entrega é < 30
minutos.
TESTE RESOLUÇÃO
Depois de determinar a estatística do
teste padronizada do teste de hipótese e a
área correspondente da estatística do
teste, realize um dos passos a seguir para
encontrar o valor P.
TESTE EXERCÍCIO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01? Use um
valor P.
TESTE RESOLUÇÃO




No nível de significância de 1%, há evidência suficiente
para concluir que a média do tempo de entrega é < 30
minutos.
REGRA DE DECISÃO
DEFINIÇÃO

Para usar um valor P para chegar a uma
conclusão em um teste de hipótese, compare o
valor P com α.

– Se P < α, então rejeitar H0
– Se P > α, então falhe em rejeitar H0
EXEMPLO
Em um anúncio, uma pizzaria afirma que
a média de seu tempo de entrega é menor
que 30 minutos. Uma seleção aleatória de
36 tempos de entrega tem média amostral
de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5
minutos. Há evidência suficiente para
apoiar a firmação em α = 0,01?
Use um valor P.
RESOLUÇÃO




No nível de significância de 1%, há evidência suficiente para
concluir que a média do tempo de entrega é < 30 minutos.
RESOLUÇÃO
EXEMPLO
Você acha que a afirmação do
investimento médio da
franquia mostrada no gráfico é
incorreta, então você
seleciona aleatoriamente 30
franquias e determina o
investimento necessário para
cada.

A média amostral de
investimento é $135.000 com
desvio padrão de $30.000. Há
evidência suficiente para
apoiar sua afirmação em α =
0,05. Use um valor P.
TESTE DE HIPÓTESE

           = 143260

           ≠ 143260



α = 0,05
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO




RESPOSTA
P é maior “>” que α, logo você falha em
rejeitar à hipótese H0
REJEIÇÃO
Uma região de rejeição (ou região
crítica) da distribuição amostral é a
amplitude de valores para a qual a
hipótese nula não é provável. Se uma
estatística de teste está nessa região, a
hipótese nula é rejeitada. Um valor crítico
z0 separa a região de rejeição de não
rejeição.
ENCONTRANDO VALORES CRÍTICOS
 EM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
EXEMPLO
Encontre o valor crítico e a região de
rejeição para um teste unicaudal à
esquerda com α = 0,01.
EXEMPLO
Encontre o valor crítico e a região de
rejeição para um teste bicaudal à
esquerda com α = 0,05.
REGRA DE DECISÃO BASEADA
  NA REGIÃO DE REJEIÇÃO
Se a estatística padronizada z do teste:
 – Estiver na região de rejeição, então rejeite H0.
 – Não estiver na região de rejeição, então falhe em
   rejeitar H0.
EXEMPLO
Funcionários de uma grande firma de
contabilidade afirmam que a média dos
salários dos contadores é menor que a de
seu concorrente, que é $45.000. Uma
amostra aleatória de 30 dos contadores
da firma tem média de salário de $43.500
com desvio padrão de $5.200. Com α =
0,05, teste a afirmação dos funcionários.
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO




            1,645
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO
        ÁREA = -1,645
              Z = -1,579



No nível de significância de 5%, não há
evidência suficiente para apoiar a
afirmação dos funcionários de que a
média < $45.000.
REGIÃO DE REJEIÇÃO
Uma região de rejeição (ou região
crítica) da distribuição amostral é a
amplitude de valores para a qual a
hipótese nula não é provável. Se uma
estatística de teste está nessa região, a
hipótese nula é rejeitada.
Um valor crítico z0 separa a região de
rejeição de não rejeição.
VALORES CRÍTICOS DISTRIBUIÇÃO T
EXERCÍCIO
Um revendedor de carros usados diz que o
preço médio de um Honda Pilot LX 2005 é de
pelo menos $23.900. Você suspeita que essa
afirmação é incorreta e descobre que uma
amostra aleatória de 14 veículos similares tem
média de preço de $23.000 e desvio padrão de
$1.113. Há evidências suficientes para rejeitar a
afirmação do revendedor em α = 0,05?
Assuma que a população é normalmente
distribuída.
DADOS RELEVANTES

Quando a quantidade é menor que n < 30,
utiliza-se a tabela DISTRIBUIÇÃO T.

No caso desse exercício, estamos
trabalhando com uma amostra de 14
VEÍCULOS.
RESOLUÇÃO
RESPOSTA




No nível de significância de 5%, há
evidência suficiente para rejeitar a
afirmação de que a média é de pelo
menos $23.900.
EXERCÍCIO
Uma indústria afirma que a média do nível do
pH do rio mais próximo é 6,8. Você seleciona 19
amostras de água e mede os níveis de pH de
cada uma. A média amostral e o desvio padrão
são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há
evidência suficiente para rejeitar a afirmação da
indústria em α = 0,05?

Assuma que a população é normalmente
distribuída.
DADOS:
RESOLUÇÃO
                n = 19
                σ = 0,24
                gl = 18


            -1,85
TABELA
RESOLUÇÃO
RESPOSTA




Não há evidências!
TESTE DE HIPÓTESE PROPORÇÃO
Um centro de pesquisas declara que
menos de 20% dos usuários de Internet
têm rede sem fio em suas casas. Em uma
amostra aleatória de 100 adultos, 15%
dizem que têm rede sem fio em casa.
Com α = 0,01 há evidências suficientes
para apoiar a declaração do pesquisador?
EXEMPLO
Um fabricante de tacos de golfe afirma que os
golfistas podem diminuir seus placares usando
os tacos de golfe recém-projetados para ele.
Oito jogadores de golfe são escolhidos
aleatoriamente e é pedido a cada um que
forneça seu mais recente placar. Após usar os
novos tacos por um mês, é pedido novamente
aos jogadores que forneçam seus placares
recentes. Os placares para cada um estão na
tabela. Assumindo que os placares são
distribuídos normalmente, existe evidência
suficiente para apoiar a afirmação do fabricante
para α = 0,10?
DADOS




                   ATENÇÃO
“diminuir placar” significa:
placar antigo > placar novo

       d = (placar antigo) – (placar novo)
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO




     No nível de significância
     de 10%, há evidência
     suficiente para apoiar a
     afirmação do fabricante
     de que os placares foram
     menores com os novos
     tacos de golfe.
EXERCÍCIO              DIFERENTE



Um legislador estadual quer determinar se seu
índice de desempenho (0-100) mudou do ano
passado para este. A tabela mostra o índice de
desempenho do legislador para 16 eleitores
selecionados aleatoriamente para o ano
passado e para este. Em α = 0,01, há evidência
suficiente para concluir que o desempenho do
legislador mudou? Assuma que os índices de
desempenho são normalmente distribuídos.
EXERCÍCIO
RESOLUÇÃO
RESOLUÇÃO
No nível de significância de 1% não há
evidência suficiente para concluir que a
classificação de desempenho do
legislador mudou.

t = 1,369
t0 = 2,947

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Estastítica Inferencial

  • 1. CADERNOS PPT ESTASTÍTICA INFERENCIAL 5º Semestre LUAN GUERRA
  • 2. FACEBOOK Não curtir? Por quê? SUGESTÕES cadernosppt@gmail.com.br
  • 3. AVISO Esse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração. Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc. Observação: O objetivo dessa apresentação é simplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
  • 5. POPULAÇÃO População é conjunto de elementos sobre os quais queremos informações. Ex.: Paulistanos, veículos, cães abandonados, produtos para vender.
  • 6. AMOSTRA Uma parte do conjunto (sub-conjunto) da população. Ex.: Moradores da Paulista, raça de cães, final de placa.
  • 9. AMOSTRAGEM CONVENIÊNCIA Os entrevistados são escolhidos por conveniência: – Menos Confiável – Baixo Custo – Boa para obter idéias sobre determinação assunto – Boa como pesquisa exploratória EXEMPLO Grupo de estudantes, de igrejas, membros de organização sociais, lojas de departamentos questionários destacáveis em revistas, entrevistas com “pessoas na rua”.
  • 10. AMOSTRAGEM JULGAMENTO São selecionados com base no julgamento do pesquisador, que usando sua experiência, escolhe os elementos a serem incluídos na amostra. EXEMPLOS Amostragem por julgamento: Testes de mercado para avaliar o potencial de um novo produto, seleção de distritos eleitorais representativos para uma pesquisa de voto.
  • 11. AMOSTRAGEM QUOTAS 1º - Classificação da população em termos de propriedades; 2º - Determinação da ´proporção da população para cada característica; 3º - Fixação de quotas para cada entrevistador; EXEMPLO Amostragem por quota: Pesquisa sobre o "trabalho das mulheres na atualidade“. Descobrem-se as proporções (%) dessas características na população, como 47% de homens e 53% de mulheres. Quando n = 50 pessoas, tem-se 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres.
  • 12. AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES É o processo de retirada dos elementos SORTEIO NÃO VICIADO de uma população no qual cada unidade tem a mesma oportunidade de integrar a amostra. AMOSTRA USO DE TABELAS DE NÚMEROS ALEATÓRIOS
  • 13. EXEMPLO - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES Empresa deseja selecionar amostra de 20 trabalhadores de horário integral a partir da população de 500 colaboradores nessa situação. Associar um código de 3 dígitos a cada colaborador, ordenados por ordem alfabética, de 001 a 500. Escolher, ao acaso, um dígito de partida na Tabela de Números Aleatórios Indo da esquerda para a direita, e de cima para baixo, na tabela, selecionar 20 números com 3 dígitos entre 001 e 500, sem pular ou repetir, identificando assim a amostra.
  • 14. EXEMPLO - AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES
  • 15. AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA • Decidir tamanho de amostra N • Calcular • Selecionar 1. Item aleatoriamente • Selecionar os demais itens a partir desse inicial
  • 16. AMOSTRAGEM ESTRAFICADA PROPORCIONAL • A população é dividido em 2 ou mais grupos. • Aplica-se, em cada grupo, a amostragem aleatória simples.
  • 17. AMOSTRAGEM CONGLOMERADO (CLUSTERS) • População é composta de vários CLUSTERS representativos. • Aplica-se AAS nos CLUSTERS • Combinam-se as amostras em um única
  • 18. VARIÁVEL DEFINIÇÃO As variáveis qualitativas pode ser ordinal (possui ordem natural) ou nominal (não possui ordem natural). As variáveis quantitativas pode ser discreta (assume valores exatos) ou contrários (assume valores aproximados). Exemplo: População de cães abandonados.
  • 19. VARIÁVEL É a característica que queremos estudar. As variáveis podem ser: Qualitativa Os valores são qualidades ou atributos. Quantitativas Os valores são quantidade.
  • 20. EXEMPLOS Variáveis Qualitativas: Ordinal – Porte, size Nominal – raça, cor Variáveis Quantitativas: Discreta – Nº de Dentes INTERVALOS ESPECÍFICOS Contínua – Peso, altura
  • 22. CLASSIFICAÇÃO EXERCÍCIO Moradores de uma cidade Camisetas à venda em uma loja V. Quant. Discreta: Preço V. Qual. Nominal: Marca, cor V. Qual. Ordinal: Tamanho Alunos desta sala
  • 24. CARACTERÍSTICA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL • Formato de sino • Simétrica • Média, Mediana e Moda iguais. • A posição é dada pela média, μ. • A dispersão é dada pela desvio padrão, σ. • A área total sob a curva é igual a 1 • Do ponto de vista teórico, a distribuição possui amplitude de -∞ à +∞. ÁREA = 1
  • 26. EXEMPLO • Qual é a maior média?
  • 27. EXEMPLO • Qual a curva normal tem desvio padrão maior? σ =15 σ =25
  • 28. DISTRIBUIÇÃO NORMAL MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS É a distribuição normal Z , que tem média. O e desvio-padrão 1. Qualquer distribuição normal x com média μ e desvio-padrão o pode ser transformado em Z através de mudança de variável.
  • 29. EXEMPLOS Distribuição Normal Quanto menor o formato do “sino” maior será a aproximação dos dados avaliados.
  • 31. EXEMPLO • Calcule a probabilidade do valor Z correspondente à variável aleatória normal estar entre 0,00 e 1,00, ou seja, P(0,00 < Z < 1,00). • Esboce o gráfico.
  • 32. RESOLUÇÃO Olhar a TABELA de Distribuição Normal Padrão: P(0 < Z < 1) = 0,3413 ou 34,13%
  • 34. EXERCÍCIO • X representa o tempo (em segundos) para fazer o download de uma imagem da internet. Supondo que X é normal com média 8,0 e desvio-padrão 5,0. • Encontre P(x < 8,6)
  • 37. RESOLUÇÃO P = 0,50 + 0,0478 = 0,5478
  • 38. EXERCÍCIO • X representa o tempo levado (em segundos) para fazer o download de uma imagem da internet. Supondo que X é normal com média 8,0 e desvio-padrão 5,0. • Encontre P(X > 8,6).
  • 39. RESOLUÇÃO 0,5478 P(x > 8,6) = P(Z >0,12) = 1 – P(Z < 0,12) P(x > 8,6) = P(Z >0,12) = 1 – 0,5478 = 0,4522
  • 40. EXERCÍCIO Supondo x normal com média 8,0 e desvio padrão 5,0. Encontre P(8,0 < x < 8,6).
  • 43. RESOLUÇÃO P(8,0 < x < 8,6) = 0,0478 4,78%
  • 46. RESOLUÇÃO P = 0,50 + 0,1255 = 0,6255 62,55%
  • 49. RESOLUÇÃO P(0 < x < 1,71) = 0,4564 45,64%
  • 52. RESOLUÇÃO P(1,32 < Z < 1,79) P(Z = 1,79) – P(Z = 1,32) P = 0,4633 – 0,4066 P = 0,0567 5,67%
  • 53. EXERCÍCIO Calcular P( Z < - 1,3). SIMETRIA
  • 55. RESOLUÇÃO P( Z < -1,3) 0,5 0,4032 P(Z > 1,3) P = 0,5 – 0,4032 P = 0,0968 9,68%
  • 56. EXERCÍCIO O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min. e desvio padrão 15 min. a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é a probabilidade que ele termine o exame antes de 100 min. Considere X com o tempo gasto no exame vestibular.
  • 59. TRANSFORMANDO SIMETRIA
  • 61. RESOLUÇÃO P( Z < -1,33) 0,5 0,4082 P(Z > 1,33) P = 0,5 – 0,4082 P = 0,0918 9,18%
  • 62. CONTINUAÇÃO O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min. e desvio padrão 15 min. b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dos vestibulandos terminem no prazo estipulado?
  • 63. ÁREA
  • 64. TABELA Encontre o valor mais aproximado de 0,45. Esse valor corresponderá 95%.
  • 66. CONTINUAÇÃO O tempo gasto no exame vestibular de uma universidade tem distribuição Normal, com média 120 min. e desvio padrão 15 min. c) Qual é o intervalo central de tempo, tal que 90% dos estudantes gastam para completar o exame?
  • 67. ESTIMAÇÃO POR PONTOEXEMPLO Usando os dados da EAI, calculamos a média e o desvio padrão correspondentes aos dados de salário anual.
  • 68. ESTIMAÇÃO POR PONTOEXEMPLO • 1500 dos 2500 gerentes concluíram o programa de treinamento. Se admitirmos que p denota a proporção da população que concluiu o programa de treinamento, temos: • O salário médio anual da população ( =$51800), o desvio padrão ( =$4000) e a proporção da população que concluiu o treinamento (p=0,60) são parâmetros característicos da população de gerentes da EAI.
  • 69. EXEMPLO II • Suponha que as informações necessárias sobre todos os gerentes do EAI não estivessem prontamente disponíveis no banco de dados da empresa. Como o diretor de pessoal da empresa pode obter estimativas dos parâmetros populacionais usando uma amostra de gerentes em vez de todos os 2500 gerentes da população? • Para selecionar uma AAS: – 1º. Atribuir números de 1 a 2500 aos gerentes – 2º. Consultar tabela de números aleatórios ou usar programa para obter número aleatório (EXCEL, etc.) – 3º. Repetir o cálculo da média, desvio padrão e da proporção para amostra.
  • 70. EXEMPLO II • Resumo das estimações por ponto obtidas de uma amostra aleatória simples de 30 gerentes da EAI
  • 71. EXERCÍCIO III Os dados a seguir são de uma amostra aleatória simples: 5 8 10 7 10 14 • Qual é a estimação por ponto da média da população?
  • 72. EXERCÍCIO III • b) Qual é a estimação por ponto do desvio padrão da população?
  • 73. EXERCÍCIO Uma AAS dos dados de cinco meses de venda forneceu a seguinte informações: a) Desenvolva uma estimação por ponto do número médio de unidades da população vendidas por mês. b) Desenvolva a estimação por ponto do desvio padrão da população?
  • 74. A CALCULANDO NA HP12C CALCULANDO NA HP12C F FIN F FIN Nº ∑+ 94∑+ Nº ∑+ 100∑+ Nº ∑+ 85∑+ Nº ∑+ 94∑+ Nº ∑+ 92∑+ g 0 ( x ) = Média g 0 ( x ) = 93
  • 75. B CALCULANDO NA HP12C CALCULANDO NA HP12C F FIN F FIN Nº ∑+ 94 ∑+ Nº ∑+ 100 ∑+ Nº ∑+ 85 ∑+ Nº ∑+ 94 ∑+ Nº ∑+ 92 ∑+ g 0 ( x ) = Média g 0 ( x ) = 93 g ∑+ ( ∑- ) = Desvio Padrão g ∑+ ( ∑- ) = 5,38 Anote o valor do DESVIO PADRÃO, pois a calculadora exibirá por alguns segundos.
  • 76. EXERCÍCIO Uma pergunta de uma pesquisa realizada com uma amostra de 150 indivíduos produziu 75 respostas “sim”, 55 respostas “não” e 20 respostas “sem opinião”. a) Qual é a estimação por ponto da proporção da população que respondeu Sim? b) Qual é a estimação por ponto da proporção da população que respondeu Não?
  • 77. RESOLUÇÃO DADOS: 150 – Total 75 – Sim 55 – Não 20 – Sem Opinião
  • 78. RESOLUÇÃO PROBABILIDADE A) p = 75/150 = 0,50 = 50% B) p = 55/150 = 0,3667 = 36,7%
  • 80. Distribuição da frequência de x em 500 ASS de 30 gerentes da EAI:
  • 81. Histograma da frequência relativa dos valores de x em 500 ASS com tamanho 30 cada uma.
  • 82. Histograma da frequência relativa dos valores de p em 500 ASS com tamanho 30 cada uma.
  • 83. DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAIS PROPRIEDADES O valor esperado para a média das amostras é igual média das população μx = μ μx = Valor esperado para a média da amostra μ = Média da População Quando o valor esperado de um estimador por ponto for igual ao parâmetro populacional, dizemos que o estimador do ponto é sem viés
  • 84. DESVIO PADRÃO DAS MÉDIAS DAS AMOSTRAS Use a seguinte expressão para calcular DESVIO PADRÃO das médias das amostras: Sempre que: – A população for infinita (não consigo “mensurar”) – A população for finita e o tamanho da amostra for MENOR ou IGUAL a 5% do tamanho da população, ou seja, n/N = 0,05
  • 85. MAIOR QUE 5% Caso não o problema utilize premissas diferentes destas: – A população for infinita – A população for tinta e o tama:nho da amostra for ou igual a 5% do tamanho da população, ou seja, n/N = 0,05 Utilize a fórmula abaixo:
  • 86. EXEMPLIFICAÇÃO O desvio padrão dos salários anuais da população de 2500 gerentes da EAI é 4.000. A população é finita, com n = 2500. O tamanho da amostra, 30, é menor que 5% do tamanho da população, logo podemos ignorar o fator de correção para populações finitas e usar:
  • 87. EXEMPLIFICAÇÃO Como o resultado é finito e o tamanho da amostra é MENOR que 5%. População = 2500 Amostra = 30 Dados: 30/2500 = 0,012 A partir do resultado dos dados acima, optaremos por essa fórmula:
  • 88. EXEMPLIFICAÇÃO 1500 dos 2500 gerentes concluíram o programa de treinamento. Admitindo que p denota a proporção da população que concluiu o programa de treinamento. Qual o valor esperado de P?
  • 89. EXEMPLIFICAÇÃO ERRO PADRÃO DA PROPORÇÃO AMOSTRAL A proporção da população de 2500 gerentes que participaram do programa de treinamento gerencial é P = 0,60. Dada uma amostra com tamanho 30, qual o erro padrão da proporção P ? O tamanho da amostra, 30, é menor que 5% do tamanho da população, logo podemos ignorar o fator de correção para populações finitas e usar.
  • 90. EXERCÍCIO Você escreve os valores da população [1, 3, 5, 7] em pedaços de papel e os coloca em uma caixa. Você seleciona dois papéis aleatoriamente, com substituições. a) Liste todas as amostras possíveis de tamanho n = 2 e calcule a média de cada. b) Represente essas médias que formam a distribuição amostra de média das amostras em um histograma. c) Encontre a média e o desvio padrão da média das amostras. Compare seus resultados com a média μ=4 e desvio padrão 2,236 da população.
  • 91. A
  • 92. B
  • 93. C
  • 94. C
  • 95. C
  • 97. C 0,56
  • 98. LIMITE CENTRAL TEOREMA
  • 101. TABELA
  • 103. EXERCÍCIO Em certa semana o preço médio da gasolina na Califórnia foi de US$ 1,164 por galão. Qual é a probabilidade de que o preço médio em uma amostra de 38 postos esteja entre US$ 1,169 e US$ 1,179? Admita que o desvio padrão seja de US$ 0,049.
  • 105. Z1
  • 106. Z2
  • 109. RESULTADO P(Z1 < Z < Z2) P(0,63 < Z < 1,9) P(Z = 1,9) – P(Z = 0,63) P = 0,4713 – 0,2357 P = 0,2356
  • 110. EXEMPLO O presidente da Doerman Distributors acredita que 30% das encomendas feitas à firma são provenientes de clientes que compram pela primeira vez. Uma AAS de 100 pedidos será usada para estimar a proporção de clientes que compram pela primeira vez. Supondo que o presidente esteja correto e p=30. Qual é o erro padrão de p ?
  • 112. BINOMIAL PROPRIEDADES • O experimento consiste em uma sequência de n ensaios idênticos • Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Referimo- nos a um como um sucesso e ao outro como um fracasso. • A probabilidade de um sucesso, p, não se modifica de ensaio para ensaio. A probabilidade de um fracasso (1- p), não se modifica de ensaio para ensaio. • Os ensaios são independentes.
  • 113. EXEMPLIFICAÇÃO Um produto manufaturado pode ser classificado em perfeito ou defeituoso; a resposta de um questionário pode ser verdadeira ou falsa; as chamadas telefônicas podem ser locais ou interurbanas.
  • 114. EXEMPLIFICAÇÃO Qual é a probabilidade de termos 3 caras quando uma moeda honesta for lançada 4 vezes? Distribuição de Probabilidades de Caras no Lançamento simultâneo de 4 Moedas honestas.
  • 117. TABELA
  • 118. CONDIÇÃO Média = μ = np
  • 119. EXEMPLIFICAÇÃO DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Decida se você pode usar a distribuição normal para aproximar x, o número de pessoas que responderam sim. a) Para 51% dos adultos nos EUA, a promessa final de ano mais importante foi a de se exercitar mais. Você seleciona aleatoriamente 65 adultos deste grupo e lhes pergunta se a promessa foi cumprida. Neste experimento binomial, n=65, p=0,51 e q=0,49
  • 121. EXERCÍCIO Decida se você pode usar a distribuição normal para aproximar x, o número de pessoas que responderam sim. b) 15% dos adultos nos EUA não fazem promessa de final de ano. Você seleciona aleatoriamente 15 adultos deste grupo e lhes pergunta se fizeram promessa de final de ano.
  • 122. RESOLUÇÃO TESTANDO A CONDIÇÃO NÃO PODE APROXIMAR
  • 123. BINOMIAIS DISTRIBUIÇÃO Suponha que o diretor da empresa EAI queira saber qual a distribuição AMOSTRAL de P que pode ser aproximada da pela distribuição normal.
  • 124. CORREÇÃO DE CONTINUIDADE Para calcular probabilidades binomiais exatas, pode-se usar a fórmula binomial para cada valor de x e adicionar os resultados. Geometricamente, isso corresponde a adicionar as áreas das barras no histograma da probabilidade. Cada barra tem largura de uma unidade e x é o ponto médio do intervalo
  • 125. CORREÇÃO DO ERRO P (x = c) P(c-0,5 < x < c 0,5)
  • 126. CORREÇÃO DE CONTINUIDADE Quando utilizarmos uma distribuição normal contínua pata aproximar uma probabilidade binomial, movemos uma unidade 0,5 para a esquerda e direita do centro para incluir todos os valores possíveis de x do intervalo. Isto chama-se CORREÇÃO PELA CONTINUIDADE.
  • 127. DEMONSTRAÇÃO DISTRIBUIÇÃO NORMAL BINOMIAL
  • 128. EXEMPLIFICAÇÃO Encontre a probabilidade de se obter entre 3 e 6 caras, inclusive, em 10 lançamentos de uma moeda honesta, usando (a) a distribuição binomial e (b) a aproximação normal para distribuição binomial. – (a) a distribuição binomial – X = caras que apareceram em 10 lançamentos – n = tentativas = 10 lançamentos – p = probabilidade de sucesso = 0,50 – Q = probabilidade de fracasso = 0,50
  • 131. RESOLUÇÃO • (b) a aproximação normal para distribuição binomial. Tratando os dados como contínuos, segue que 3 a 6 caras podem ser consideradas como 2,5 a 6,5 caras.
  • 134. ESTIMATIVA INTERVALAR A estimativa pontual obtida é igual a 12,4 e a margem de erro 2,1. Qual a estimativa intervalar? Represente na reta numérica. Interprete o resultado.
  • 135. NÍVEL DE CONFIANÇA O nível de confiança c é a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional. Pelo teorema do limite central, n>30, a distribuição de amostragem das médias amostrais é uma distribuição normal.
  • 136. INTERPRETAÇÃO INTERPRETAÇÃO: A média populacional está no intervalo 10,3<μ<14,5
  • 137. EXERCÍCIO Se c = 90% então 5% da área está à esquerda de -zc = 1,645 e 5% está à direita de zc= 1,645.
  • 138. INTERPRETAÇÃO Os valores críticos são valores que separam amostras estatísticas que são prováveis das que são improváveis ou incomuns.
  • 139. RESOLUÇÃO Encontre o valor mais próximo de 45%.
  • 140. RESOLUÇÃO Encontre o valor mais próximo de 45%. RESULTADO Zc = 1,645
  • 141. MARGEM DE ERRO Também chamada de erro máximo da estimativa ou tolerância é a maior distância possível entre o ponto de estimativa e o valor do parâmetro que está estimado. Se n>30 o desvio padrão da amostra s pode ser usado no lugar de σ.
  • 142. EXERCÍCIO Pesquisadores de mercado usam o número de frases por anúncio como medida de legibilidade de anúncios de revistas. Tomando uma amostra aleatória do número de frases encontrados em 50 anúncios. Para o nível de confiança de 95%, encontre a margem de erro para a média do número de frases em todos os anúncios de revistas. Interprete o resultado.
  • 146. EXERCÍCIO Com 95% de confiança, você pode dizer que a média populacional do número de frases está entre 11,0 e 13,8.
  • 147. EXERCÍCIO Considere o intervalo de confiança de 90% construído no exemplo anterior. Se um número grande amostras for coletado e o intervalo de confiança for criado para cada amostra, ~90% desses intervalos conterão μ.
  • 148. TAMANHO DA AMOSTRA Para a mesma amostra estatística, conforme o nível de confiança aumenta, o intervalo de confiança fica mais largo. Conforme o intervalo de confiança fica mais largo, a precisão da estimativa decresce o nível de confiança é aumentar o tamanho da amostra. Mas, qual tamanho de amostra é necessário para garantir certo nível de confiança para uma margem de erro dada?
  • 149. TAMANHO DA AMOSTRA Dado o nível de confiança c e uma margem de erro E, do tamanho mínimo da amostra n necessário para estimar a média populacional μ é: Se for desconhecido, você estimá-lo usando s, dado que você tenha uma amostra preliminar com pelo menos 30 elementos.
  • 150. EXERCÍCIO CONSIDERE O ÚLTIMO EXERCÍCIO REALIZADO. Quantos anúncios de revista devem ser incluídos na amostra se você quer estar 95% confiante de que a média amostral esteja dentro de uma frase da média populacional?
  • 151. EXEMPLO MENCIONA NO EXERCÍCIO INTERPRETAÇÃO Quando necessário, arredonde (para cima) para obter um número inteiro 97 é o número mínimo de anúncios de revista para serem incluídos na amostra.
  • 152. DISTRIBUIÇÃO t Nas situações reais o desvio padrão da população é desconhecido. Limitações, como tempo e custo, impedem a coleta de amostras com o tamanho 30 ou mais. Emprega-se nesta caso, a distribuição t. DEFINIÇÃO Se n<30 e a distribuição de uma variável aleatório x for aproximadamente normal, então a distribuição t é:
  • 153. DISTRIBUIÇÃO t • É uma família de curvas determinada pelos graus de liberdade (g.I). As caudas na distribuição t são “mais grossas” do que aquelas na distribuição normal padrão. • Depois de 30 g.I., a distribuição t está muito próxima à distribuição normal padrão z.
  • 155. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t Encontre o valor crítico tc para uma confiança de 95% quando o tamanho da amostra é 15.
  • 157. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t Pela tabela, tc = 2,145. No gráfico temos a distribuição t para 14 graus de liberdade, c = 0,95 e tc = 2,145
  • 158. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t INTERPRETAÇÃO: 95% da área sob a curva da distribuição t com 14 graus de liberdade está entre t= + 2,145.
  • 159. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t Encontre o valor crítico tc para uma confiança de 90% quando o tamanho da amostra é 22. a) Identifique os graus de liberdade b) Identifique o nível de confiança c c) Use a tabela para encontra tc
  • 160. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t a) Identifique os graus de liberdade 90% n = 22
  • 161. EXEMPLO DISTRIBUIÇÃO t g.l. = n – 1 = 22 – 1 = 21
  • 162. DISTRIBUIÇÃO QUI-QUADRADO Distribuição: A estimativa pontual para σ² e s² e a estimativa pontual σ e s. Se a variável x tem distribuição normal, então a distribuição de:
  • 164. HIPÓTESE ESTABELECENDO A Hipótese nula H0 contém uma afirmação de igualdade, tal como ≤, = ou ≥. A Hipótese alternativa Ha é o complemento da hipótese nula. É uma afirmação que deve ser verdadeira se H0 for falsa e contém uma afirmação de desigualdade estrita, tal como, >, ≠ e <.
  • 166. HIPÓTESE EXEMPLO Escreva a afirmação como uma sentença matemática. Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual representa a afirmação. – Uma universidade pública alega que a proporção de seus estudantes que se graduaram em 4 anos é de 82%.
  • 168. HIPÓTESE EXEMPLO Escreva a afirmação como uma sentença matemática. Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual representa a afirmação. – Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 11 litros por minuto.
  • 170. HIPÓTESE EXERCÍCIO Escreva a afirmação como uma sentença matemática. Afirme as hipóteses nula e alternativa e identifique qual representa a afirmação. – Uma indústria de cereais anuncia que o peso médio dos conteúdos de suas caixas de 0,57 kg de cereal é mais do que 0,57 kg.
  • 171. TIPOS DE ERRO Erro tipo I ocorre se a hipótese nula for rejeitada quando é verdadeira. Erro tipo II ocorre se a hipótese nula não for rejeitada quando é falsa.
  • 172. HIPÓTESE EXEMPLO O limite para contaminação por salmonela por frango é 20%. Um inspetor de carnes reporta que o frango produzido por uma empresa excede o limite. Você realiza um teste de hipóteses para determinar se a afirmação do inspetor de carne é verdadeira. Quando irá ocorrer um erro tipo I ou tipo II? Qual é mais sério?
  • 173. HIPÓTESE RESOLUÇÃO Erro tipo I ocorre se a proporção real de frango contaminado for ≤ 0,2, mas H0 foi rejeitada. Erro tipo II ocorre se a proporção real de frango contaminado for > 0,2, mas H0 não foi rejeitada. O erro do tipo II é mais sério, pois pode resultar em doenças ou mortes causadas pelos frangos contaminados que foram comprados pelo consumidor.
  • 174. NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA Em um teste de hipótese, o nível de significância é sua probabilidade máxima permissível para cometer um erro tipo I. Ele é denotado por α. Níveis de significância comumente usados: α = 0,10 α = 0,05 α = 0,01 Embora o controle de um erro do tipo II em testes de hipóteses não seja comum, ele pode ser feito. A probabilidade de um erro do tipo II é denotada por β.
  • 175. VALOR P Se H0 for verdadeira, um valor P (ou valor de probabilidade) de um teste de hipótese é a probabilidade de se obter uma estatística amostral com valores tão extremos ou mais extremos do que aquela determinada a partir dos dados da amostra. Uma maneira de se decidir se rejeitamos a H0 é determinar se a probabilidade de se obter uma estatística de teste padronizada é menor que o nível de significância.
  • 176. TESTE UNICAUDAL À ESQUERDA EXEMPLO Se a hipótese alternativa Ha contém o símbolo menos que (<), o teste de hipótese será um teste unicaudal à esquerda.
  • 177. TESTE UNICAUDAL À DIREITA EXEMPLO Se a hipótese alternativa Ha contém o símbolo maior que (>), o teste de hipótese será um teste unicaudal à direita.
  • 178. TESTE BICAUDAL Se a hipótese alternativa Ha contém o símbolo de não igualdade (≠), o teste de hipótese será um teste bicaudal. Cada cauda tem uma área de ½ p.
  • 179. TESTE EXERCÍCIO Para a afirmação dada estabeleça H0 e Ha. Determine se o teste de hipótese é unicaudal à esquerda, à direita ou bicaudal. Descreva uma distribuição de amostragem normal e sombreie a área para o valor P. Uma universidade pública que a proporção de seus estudantes que se graduaram em 4 anos é 82%.
  • 181. TESTE - VALOR P Para usar um valor P para chegar a uma conclusão em um teste de hipótese, compare o valor P com α. – 1. Se P ≤ α, então rejeito H0. – 2. Se P > α, então falhe em rejeitar H0. Falhar em rejeitar a H0 não significa que você tenha aceitado a hipótese nula como verdadeira. Diz apenas que não há evidência suficiente para rejeitar a H0.
  • 182. TESTE EXERCÍCIO O valor P para o teste de hipótese é P=0,0237. Qual sua decisão se o nível de significância é α = 0,05 e α = 0,01? – Como 0,0237 ≤ 0,05, então rejeito H0. REJEITA H0 – Como 0,0237 > 0,01, então falho ao rejeitar H0. FALHA EM REJEITA H0 Quanto menor o valor de P, mais evidência há a favor da rejeição de H0. O valor de P fornece a você o menor nível de significância para o qual a estatística da amostra permite que você rejeite a H0.
  • 183. TESTE EXERCÍCIO Em um anúncio, uma pizzaria afirma que a média de seu tempo de entrega é menor que 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem média amostral de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5 minutos. Há evidência suficiente para apoiar a firmação em α = 0,01? Use um valor P.
  • 184. TESTE RESOLUÇÃO No nível de significância de 1%, há evidência suficiente para concluir que a média do tempo de entrega é < 30 minutos.
  • 185. TESTE RESOLUÇÃO Depois de determinar a estatística do teste padronizada do teste de hipótese e a área correspondente da estatística do teste, realize um dos passos a seguir para encontrar o valor P.
  • 186. TESTE EXERCÍCIO Em um anúncio, uma pizzaria afirma que a média de seu tempo de entrega é menor que 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem média amostral de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5 minutos. Há evidência suficiente para apoiar a firmação em α = 0,01? Use um valor P.
  • 187. TESTE RESOLUÇÃO No nível de significância de 1%, há evidência suficiente para concluir que a média do tempo de entrega é < 30 minutos.
  • 188. REGRA DE DECISÃO DEFINIÇÃO Para usar um valor P para chegar a uma conclusão em um teste de hipótese, compare o valor P com α. – Se P < α, então rejeitar H0 – Se P > α, então falhe em rejeitar H0
  • 189. EXEMPLO Em um anúncio, uma pizzaria afirma que a média de seu tempo de entrega é menor que 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem média amostral de 28,5 minutos e desvio padrão de 3,5 minutos. Há evidência suficiente para apoiar a firmação em α = 0,01? Use um valor P.
  • 190. RESOLUÇÃO No nível de significância de 1%, há evidência suficiente para concluir que a média do tempo de entrega é < 30 minutos.
  • 192. EXEMPLO Você acha que a afirmação do investimento médio da franquia mostrada no gráfico é incorreta, então você seleciona aleatoriamente 30 franquias e determina o investimento necessário para cada. A média amostral de investimento é $135.000 com desvio padrão de $30.000. Há evidência suficiente para apoiar sua afirmação em α = 0,05. Use um valor P.
  • 193. TESTE DE HIPÓTESE = 143260 ≠ 143260 α = 0,05
  • 196. RESOLUÇÃO RESPOSTA P é maior “>” que α, logo você falha em rejeitar à hipótese H0
  • 197. REJEIÇÃO Uma região de rejeição (ou região crítica) da distribuição amostral é a amplitude de valores para a qual a hipótese nula não é provável. Se uma estatística de teste está nessa região, a hipótese nula é rejeitada. Um valor crítico z0 separa a região de rejeição de não rejeição.
  • 198. ENCONTRANDO VALORES CRÍTICOS EM UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
  • 199. EXEMPLO Encontre o valor crítico e a região de rejeição para um teste unicaudal à esquerda com α = 0,01.
  • 200. EXEMPLO Encontre o valor crítico e a região de rejeição para um teste bicaudal à esquerda com α = 0,05.
  • 201. REGRA DE DECISÃO BASEADA NA REGIÃO DE REJEIÇÃO Se a estatística padronizada z do teste: – Estiver na região de rejeição, então rejeite H0. – Não estiver na região de rejeição, então falhe em rejeitar H0.
  • 202. EXEMPLO Funcionários de uma grande firma de contabilidade afirmam que a média dos salários dos contadores é menor que a de seu concorrente, que é $45.000. Uma amostra aleatória de 30 dos contadores da firma tem média de salário de $43.500 com desvio padrão de $5.200. Com α = 0,05, teste a afirmação dos funcionários.
  • 204. RESOLUÇÃO 1,645
  • 206. RESOLUÇÃO ÁREA = -1,645 Z = -1,579 No nível de significância de 5%, não há evidência suficiente para apoiar a afirmação dos funcionários de que a média < $45.000.
  • 207. REGIÃO DE REJEIÇÃO Uma região de rejeição (ou região crítica) da distribuição amostral é a amplitude de valores para a qual a hipótese nula não é provável. Se uma estatística de teste está nessa região, a hipótese nula é rejeitada. Um valor crítico z0 separa a região de rejeição de não rejeição.
  • 209. EXERCÍCIO Um revendedor de carros usados diz que o preço médio de um Honda Pilot LX 2005 é de pelo menos $23.900. Você suspeita que essa afirmação é incorreta e descobre que uma amostra aleatória de 14 veículos similares tem média de preço de $23.000 e desvio padrão de $1.113. Há evidências suficientes para rejeitar a afirmação do revendedor em α = 0,05? Assuma que a população é normalmente distribuída.
  • 210. DADOS RELEVANTES Quando a quantidade é menor que n < 30, utiliza-se a tabela DISTRIBUIÇÃO T. No caso desse exercício, estamos trabalhando com uma amostra de 14 VEÍCULOS.
  • 212. RESPOSTA No nível de significância de 5%, há evidência suficiente para rejeitar a afirmação de que a média é de pelo menos $23.900.
  • 213. EXERCÍCIO Uma indústria afirma que a média do nível do pH do rio mais próximo é 6,8. Você seleciona 19 amostras de água e mede os níveis de pH de cada uma. A média amostral e o desvio padrão são de 6,7 e 0,24, respectivamente. Há evidência suficiente para rejeitar a afirmação da indústria em α = 0,05? Assuma que a população é normalmente distribuída.
  • 214. DADOS: RESOLUÇÃO n = 19 σ = 0,24 gl = 18 -1,85
  • 215. TABELA
  • 218. TESTE DE HIPÓTESE PROPORÇÃO Um centro de pesquisas declara que menos de 20% dos usuários de Internet têm rede sem fio em suas casas. Em uma amostra aleatória de 100 adultos, 15% dizem que têm rede sem fio em casa. Com α = 0,01 há evidências suficientes para apoiar a declaração do pesquisador?
  • 219. EXEMPLO Um fabricante de tacos de golfe afirma que os golfistas podem diminuir seus placares usando os tacos de golfe recém-projetados para ele. Oito jogadores de golfe são escolhidos aleatoriamente e é pedido a cada um que forneça seu mais recente placar. Após usar os novos tacos por um mês, é pedido novamente aos jogadores que forneçam seus placares recentes. Os placares para cada um estão na tabela. Assumindo que os placares são distribuídos normalmente, existe evidência suficiente para apoiar a afirmação do fabricante para α = 0,10?
  • 220. DADOS ATENÇÃO “diminuir placar” significa: placar antigo > placar novo d = (placar antigo) – (placar novo)
  • 222. RESOLUÇÃO No nível de significância de 10%, há evidência suficiente para apoiar a afirmação do fabricante de que os placares foram menores com os novos tacos de golfe.
  • 223. EXERCÍCIO DIFERENTE Um legislador estadual quer determinar se seu índice de desempenho (0-100) mudou do ano passado para este. A tabela mostra o índice de desempenho do legislador para 16 eleitores selecionados aleatoriamente para o ano passado e para este. Em α = 0,01, há evidência suficiente para concluir que o desempenho do legislador mudou? Assuma que os índices de desempenho são normalmente distribuídos.
  • 226. RESOLUÇÃO No nível de significância de 1% não há evidência suficiente para concluir que a classificação de desempenho do legislador mudou. t = 1,369 t0 = 2,947