Os números complexos podem ser representados na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. As operações básicas com números complexos são: 1) Adição: z + w = (a + c) + (b + d)i 2) Multiplicação: z.w = (ac - bd) + (ad + bc)i 3) Inverso: o inverso de z = a + bi é z-1 = a - bi / (a2 + b2)

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS
Símbolos Matemáticos
a, b, ... variáveis e parâmetros = igual
A, B, ... conjuntos  diferente
 pertence a > maior que
 não pertence < menor que
 está contido  maior ou igual a
 menor ou igual a
 não está contido 

n! fatorial
contém

 somatório
não contém
 produtório
 existe 
 não existe
 infinito
| existe apenas um / existe um único  integral
| tal que
lim limite
 todo, qualquer
log logaritmo
ln logaritmo natural (neperiano)
 implica (se então) 
números naturais
 equivale (se e somente se) 
números inteiros
 união de conjuntos 
números racionais
 interseção de conjuntos 
números reais
 Conjunto vazio 
 ou 
 e 
~ negação (lógica)

2. Propriedades das desigualdades:
a) Se a > b e b > c  a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
b) Seja a > b :
 Se c >0  a . c > b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2
 Se c < 0  a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2
c) a > b  a + c > b +c ,  c  R
d) a > b e c > d  a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4
e) Se a > b > 0 e c > d >0  a . c > b. d
Valor Absoluto
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a
origem, independentemente do sentido.
a
 a , se a  0

 a , se a  0
Propriedades do Valor Absoluto
 a  0 e a  0  a  0
 a 2
 a 2


 a 2
 a 

 a < b, b > 0  - b < a < b 
 a > b, b > 0  a > b ou a < -b ou
 | a | = b, b > 0  a = b ou a = -b
 Se a, b  R  | a . b | = | a | . | b |
a 
a
 Se a, b  R , b  0 
b b
 Se a, b  R  | a + b |  | a | + | b | (Desigualdade Triangular)
 Se a, b  R  | a | - | b |  | a - b |  | a | + | b |

3. O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
Introdução
Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais.
Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas.
O conjunto dos números naturais ( ) é formado pelos números 0,1,2,...
= { 0,1,2,3,...}.
O conjunto dos números inteiros ( ) é formado pelos números naturais acrescido dos
números - 1,-2,-3,... .
= { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}
O conjunto dos números racionais ( ) é formado pelos números na forma a/b, onde a e
b são inteiros com b  0.
= { .....,-3,-2,-1,  1 ,0, 1 ,1,2,3,....}
22
Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples ,
a * 
=  | a  Z e b  Z 
b 
O conjunto dos números irracionais ( I ) é formado pelos números cuja representação
decimal infinita não é periódica. Ex:
2 = 1,4142136...
3 = 1,7320508...
 = 3,1415926...
O conjunto dos números reais ( ) é formado pelos números racionais e pelos
números irracionais.
QUI, sendoQII
Regras Básicas
Em estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação.
Para os números reais a e b associa-se um único número real, a + b, chamado soma de a
e b. Para os números reais a e b associa-se um único número real, a b , chamado produto
de a e b.
As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:

4.  Propriedade comutativa 

Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se: 
a + b = b + a a.b = b.a
 Propriedade associativa 
Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se
(a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc)
 Elemento Neutro 

Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real
a, tem-se: 
a + 0 = a a . 1 = a
 Elemento oposto e elemento inverso 

Existem únicos números reais, indicados 
– a ( chamado oposto) e
1 ( a  0) (chamado inverso), tal que
a
a + (–a) = 0 a .
1
= 1
a
 Propriedade distributiva 

Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se 
a (b + c ) = ab + ac
(b + c) a = ba + ca
Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados:
Cancelamento se a + b = a + c então b = c
se ab = ac e a  0 então b = c
Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a
para quaisquer a e b de , se ab = 0, então a = 0, ou b = 0.
Regras de sinal para quaisquer a e b de
–( –a) = a
(–a)b = – (ab) = a(–b)
(–a)(–b) = ab

5. Subtração
A diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e
b reais.
A regra dos sinais nos diz:
– ( a + b) = – a – b
Divisão
O quociente de b por a, onde a 0, indicado por
b , onde b é o numerador e a o a
denominador. Também é chamado fração
b . a
É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO !!
Soma de frações:
a  b  a  b (c  0)
c c c
a c 
ad  bc (b  0, d  0)
d bdb
Produto de frações:
a  c ac (b  0, d  0)
d bdb
Quociente de frações:
a
=a  db (b  0, d  0 e c  0)
c b c
d
Bibliografia:
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora.
São Paulo, 2002.
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000.

6. EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS
1) Quais das proposições são verdadeiras?
a) 3 
d)
1

2
b) N  e) 4
c) Z  f) 3
2) Complete, usando as propriedades especificadas:
a) 32 . 45 = (comutativa)
b) 5(2 +3 ) = (distributiva)
c) 7 + 0 = (elemento neutro)
d) 3 . 1 = (elemento inverso)
3
3) Efetue:
a) (-4)(-3)=..........
b) (2)(-4)(3) =..............
c) (-3)6 =...............
4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real:
( ) – (– a + 3) = a + 3
( ) – (1 – a) = –1 + a
( ) –2 – a = – (2 + a)
5) Efetue:
a) 1  7  e) 8  4 
3 3 5 3
2

3

 1   6 
b) f)    
5 7  3   8 
2 1 12
c) -2 + =3 4 g) 10 
d) 2 3  1 
3
8
3 4 5
 2 
h)
3
2 
7
i) Sendo bcd  0 ,
a

a
=
bc cd

7. [Digite texto]
[Digite texto]
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS
INTRODUÇÃO:
1)a) V b) V c) V d) V e) V f) V
PROPRIEDADES
2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1
EFETUE
3) a) 12 b) – 24 c) – 18
REGRA DE SINAL
4) a) F b) V c) V
EFETUE
5) a)
8
3
b) 14  15  1
35 35
c) 8  1  32  3  29
3 4 12 12
NÚMEROS COMPLEXOS
Definição:
Númerocomplexoé todonúmeroque pode serescritonaforma
z = a + b i, onde a e b são númerosreaise i é a unidade imaginária.
Númerocomplexo Parte real Parte imaginária
2 + 3 i 2 3
2 - 3 i 2 -3
2 2 0
3 i 0 3
-3 i 0 -3
0 0 0
1- Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z=a + bi e w=c + di, definimos a
igualdade entre z e w, escrevendo z = w se, e somente se, a = c e b = d. Para que os números
complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3.

8. [Digite texto]
[Digite texto]
2- Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexo
denotado por -z=-(a+bi), isto é: -z = Oposto (a+bi) = (-a) + (-b)i. O oposto de z=-2+3i é o número
complexo -z=2-3i.
3- Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o número
complexo denotado por z*=a-bi, isto é: z* = conjugado (a+bi) = a + (-b)i. O conjugado de z=2-3i é o
número complexo z*=2+3i
4- Operações básicas com números complexos
Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais,
adição e produto, agindo sobre eles da seguinte forma:
Z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z.w = (a + bi).(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i.
5- Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária
Potênciasde i:Aotomar i=R[-1],temosumasequênciade valoresmuitosimplesparaas potênciasde
i:
Potência i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9
Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i
Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998. Como exemplo:
i402=i400.i2 = 1.(-1) = -1
6- Obtençãodo inversode umnúmerocomplexo:Paraobtero inversode umnúmerocomplexo, por
exemplo, o inverso de z=5+12i, deve-se:
Escrever o inverso desejado na forma de uma fração
Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z
Lembrarque i2 = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes, para
obter

9. [Digite texto]
[Digite texto]
7- Diferença de números complexos: A diferença entre os números complexos z=a+bi e w=c+di é o
número complexo obtido pela soma entre z e -w, isto é: z-w=z+(-w).
Exemplo:A diferençaentre oscomplexosz=2+3i e w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i.
8- Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não
nulo) é definida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w-1, isto é: z/w=z.w-1.
Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e o
denominador da fração z/w pelo conjugado de w:
9- Representação geométrica de um número complexo
10- Módulode um númerocomplexo,se z=a+bi é umnúmerocomplexo,entãor2=a2+b2 e a medida
da hipotenusaserápordefinição,omódulodonúmerocomplexoz,denotadopor|z|,istoé:
11- Argumentode umnúmerocomplexo:Oânguloø formadoentre osegmentoOZe o eixoOX,é
denominadooargumentodonúmerocomplexoz.Pelasdefiniçõesdatrigonometriacirculartemos
as trêsrelações:cos(ø)=a/r, sen(ø)/r, tan(ø)=b/a.Porexperiência,observamosque é melhorusaro
cossenoouo senodo ângulopara definirbemoargumento,umavezque a tangente apresenta
algunsproblemas.
12- Formapolar de um númerocomplexo:Dasduasprimeirasrelaçõestrigonométricasapresentadas
anteriormente,podemos escrever:
z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) =r (cosø + i senø) e estaúltimaé a forma polardo númerocomplexoz.
13- Multiplicaçãode complexosnaformapolar:Consideremososnúmeroscomplexos:
z = r (cos m + i senm) e w = s (cosn + i senn)
Realizamosoprodutoentre estesnúmerosdaformausual e reescrevemosoprodutonaforma:
z . w = r s [cos (m+n) + i sen(m+n)]
14- Potênciade umnúmerocomplexonaformapolar

10. [Digite texto]
[Digite texto]
Seguindooprodutoacima,poderemosobterapotênciade ordemkde umnúmerocomplexo.Como
z = r [cos(m) + i sen(m)], então zk= rk [cos(km) +i sen(km)].
TERMO GERAL DE UMA P.A
Considereuma P.A finitaqualquer(a1,a2,a3,a4,... , an) de razão iguala r, sabemosque:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r …
a n = a1 + (n – 1) . r
Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguintefórmula:
a n = a1 + (n – 1) . r
Soma dostermosde uma P.A finita
Se tivermosuma P.A finita qualquer,para somarmososseustermos(elementos) chegaremosà
seguintefórmula para somarmososn elementosdeuma P.A finita.
Sn = (a1 + an) . n
2
Propriedadesúteisna resolução de problemas
As progressõesaritméticas(PA) possuemalgumaspropriedadesquesão bastanteúteisna resolução
de problemas,principalmentealgunspropostosnosvestibulares.
1ª propriedade:soma dostermoseqüidistantes.
Numa PA,ostermosopostos,ou eqüidistantes,ou seja,osqueestão à mesma distância do termo
central da PA,têm a mesma soma.
2ª propriedade:média aritmética.
Observea PA infinita(3, 10, 17, 24, 31, 38, ...).
Se tomarmostrêsde seustermos:

11. [Digite texto]
[Digite texto]
e fizermos , ou seja,setirarmosa média aritmética dostermos "da ponta", obteremos
,queé o termo do meio.
E isso tambémacontecepara quaisquertrêstermosconsecutivosda PA.
No caso deuma PA comum número ímparde termos,essa propriedadevalepara termosopostos:
Há tambémduasobservaçõesquenão consideradaspropriedades,masfacilitama resolução de
problemas.
1ª observação:PAsdesconhecidasde3,4, ou 5 termos.
Sempreque umexercício se referir a uma PA desconhecida com3, 4 ou 5 termosé útil utilizar:
3 termos - (x - r, x,x + r)
4 termos - (x - 3r, x - r, x + r, x + 3r)
5 termos - (x - 2r, x - r, x,x + r, x + 2r)
Assim,evita-seo uso de muitasincógnitas,poiso naturalseria utilizar a, b,c, d, e para os termos
desconhecidos.
2ª observação:decomporostermosemfunção do 1º termo e da razão.
Em problemasquese referema termosaleatóriosde uma PA,porexemplo, , é útil diminuiro
número deincógnitas,decompondoessestermospormeio da fórmula do termo geral.

12. [Digite texto]
[Digite texto]
Assim,utiliza-se no lugarde no lugarde .
TERMO GERAL DA P.G.
Comoem umaP.A.pode se achar todosos seustermosa partirde qualquertermoe darazão, em
uma P.G.,issotambémé possível,sendoafórmuladenominada termogeral daP.G..Veja:
a2 / a1 = q → a2 = a1 . q a3 / a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q . q → a3 = a1 . q2
a4 / a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a1 . q2
. q → a4 = a1 . q3
( e assimpor diante)
Uma PG de razão q pode serescritaassim:
PG( a1,a2, a3, a4, ....,an-1 an)
Aplicandoadefiniçãode PG,podemosescrevê-lade umaoutraforma:
PG( a1,a1. q, a1. 2q, a1. 3q, a1.4q, ..., a1.q(n-1)
Portanto,o termogeral será: an = a1 . qn - 1
Assim,concluímosque an = a1 . qn - 1
é a fórmulaque rege a demonstraçãoacima,lembrandoque,se
não tivéssemosoprimeirotermodaP.G.,mastivéssemosoutrocomooterceiro,usaríamosa
seguinte fórmula: an = ak . qn - k
an → é o últimotermoespecificamente pedido
ak → é o primeirotermoescolhido
k → é a posiçãodo termo ak
n → é a posiçãodotermoan
2- P.G. com três termosconsecutivos
Para trêstermosem P.G. (a1, a2, a3 ) vale a propriedade:“otermodo meioé a médiageométricados
outrosdois”.ou,com outras palavras, o quadradodotermo domeioé igual aoprodutodosoutros
doistermos.Ouseja (a2)2
= a1 . a3
3-Produtodostermosde uma PG finita.
Em uma PG finitade n termose razão q, o produtode doistermoseqüidistantesdosextremosé igual
ao produtodos extremos.
Com base nessapropriedade,podemosestabelecerumafórmulaparao produtodos n termosda
PG.
Pn= (a1.an)n/2

13. [Digite texto]
[Digite texto]
Exemplo:
Obtenhao produtodosseisprimeirostermosdaPG (4,8,16,......)
a6= a1.q5
=> a6 = 4.25
=> a6 = 128
P6 =(a1.a6)6/2
P6 =(4.128)3
=> P6 = 5123
4 - somados n primeirostermosde umaP.G.é dada pelasseguintesrelações:
Sn= (an.q-a1)/q-1 ou Sn= a1.(qn
-1)/(q-1)
5-Soma dostermosde uma PG decrescente e ilimitada(infinita)
Considere umaPGILIMITADA ( infinitostermos) e decrescente.Nestascondições,
podemos considerarque nolimiteteremosan=0. Substituindonafórmulaanterior,encontraremos:
Sn= a1/(1-q)
EXERCÍCIOS
Exercício1: (PUC-RIO2010)
Sejamx e y númerostaisque osconjuntos{0, 7, 1} e {x,y, 1} são iguais.Então,podemosafirmarque:
A) x = 0 e y = 5
*B) x + y = 7
C) x = 0 e y = 1
D) x + 2 y = 7
E) x = y
Exercício2: (PUC-RIO2009)
Numcolégiode 100 alunos,80 gostamde sorvete de chocolate,70 gostamde sorvete de creme e 60
gostamdos doissabores.Quantosnãogostamde nenhumdosdoissabores?
A) 0 . *B) 10 C) 20 D) 30 E) 40
Exercício3: (PUC-RIO2007)
Uma prova com duas questõesfoi dadaauma classe de quarentaalunos.Dezalunosacertaramas
duas questões,25acertaram a primeirae 20 acertaram a segundaquestão.Quantosalunoserraram
as duas questões?
A) 40 B) 10 C) nenhum D) 8 *E) 5
Exercício4: (UDESC 2009)

14. [Digite texto]
[Digite texto]
O que os brasileirosandamlendo?
O brasileiro lê,emmédia,4,7livrosporano. Este é um dosprincipaisresultadosdapesquisaRetratos
da Leiturano Brasil,encomendadapeloInstitutoPró-LivroaoIbope Inteligência,que também
pesquisouocomportamentodoleitorbrasileiro,aspreferênciase asmotivaçõesdosleitores,bem
como os canaise a formade acessoaoslivros.(Fonte:AssociaçãoBrasileirade encadernaçãoe
Restaure,adapt.)
Supõe-se que emumapesquisaenvolvendo660 pessoas,cujoobjetivoeraverificaroque elasestão
lendo,obtiveram-seosseguintesresultados:100 pessoaslêemsomenterevistas,300 pessoaslêem
somente livrose 150 pessoaslêemsomentejornais.
Supõe-se aindaque,dessas660 pessoas,80 lêemlivrose revistas,50lêemjornaise revistas,60lêem
livrose jornaise 40 lêemrevistas,jornaise livros.
Em relaçãoao resultadodessapesquisa,sãofeitasasseguintesafirmações:
I – Apenas40 pessoaslêempelomenosumdostrêsmeiosde comunicaçãocitados.
II – Quarentapessoaslêemsomenterevistase livros,e nãolêemjornais.
III – Apenas440 pessoaslêemrevistasoulivros.
Assinale aalternativacorreta.
A) Somente asafirmativasIe IIIsão verdadeiras.
B) Somente asafirmativasIe II são verdadeiras.
C) Somente asafirmativasI,IIe III são verdadeiras.
*D) Somente a afirmativaIIé verdadeira.
E) Somente aafirmativaIé verdadeira.
Exercício5: (UFF2010)
SegundoomatemáticoLeopoldKronecker(1823-1891), “Deus fezosnúmerosinteiros,orestoé
trabalhodo homem.”Osconjuntosnuméricossão,comoafirmaomatemático,umadas grandes
invençõeshumanas.Assim, emrelaçãoaoselementosdessesconjuntos,é corretoafirmarque:
A) o produtode doisnúmerosirracionaisé sempre umnúmeroirracional.
B) a soma de doisnúmerosirracionaisé sempre umnúmero irracional.
C) entre osnúmerosreais3 e 4 existe apenasumnúmeroirracional.
*D) entre doisnúmerosracionaisdistintosexiste pelomenosumnúmeroracional.
E) a diferençaentre doisnúmerosinteirosnegativosé sempre umnúmerointeironegativo.
6- Dado que A = {x ∊ ℕ | 1 < x < 4} e B = {x ∊ ℕ| 2 < x < 20}, entãoA⋂B=

15. [Digite texto]
[Digite texto]
(A) { } (B) {2} *(C) {3} (D) {2,3}
(E) {3,4}
7- Dado que 1 ≤ x ≤ 4 e 13 ≤ y ≤ 20, então
(A) o valormáximode x/yé 20
(B) o valormínimode x/yé 1
(C) o valormáximode x/yé 4
*(D) o valormáximode x/yé 4/13
(E) o valor máximode x/yé 5
8- Numgrupo de 61 pessoas18 gostamde seriados,masnãogostamde telenovelas;5pessoasnão
gostamde telenovelase nemde seriados;25% das pessoasque gostamde seriadostambémgostam
de telenovelas.
O total de pessoasdogrupoque gostam de telenovelas,masnãogostamde seriadosé:
a) 30 *b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
9 -Numasalade aula existem35alunos,22 jogam volei,17nadam e 8 jogamvolei e nadam.Quantos
alunosnãopraticam nenhumesporte?
a) 5 b) 7 c) 3 d) 6 * e) 4
10 – (Cesgranrio) –O mínimomúltiplocomumentre 2m,3 e 5 é 240. O expoente mé:
a) 2 b) 3 *c) 4 d) 5 e) 15
Achar a razão da PA (x, 2x + 5, 32). Resp. 37/3
Sabe-se que,numa PA, . Determine-a.. Resp. (4, 7, 10, 13, 16, ...).
11
- Sabe-se que oquartotermode umaPG é igual a 20 e o oitavotermoé igual a 320. Qual a razão
destaPG? R q = 2
12- Dada a PG (2,4,8,...), pede-se calcularodécimotermo. R a10 = 1024
13 - Na PG onde a5=1/32 e razão ¼ , calcule a1. R a1 = 8
14- Quantostermostemna PG (3,6,.....,48)? R n = 5
15- Calcule asoma dos10 primeirostermosdaPG (1,2,4,8,...) respostaS10 = 1023
16 - Calcule asoma dos termosda PG (1,2,4,8,...,256) resp 511
17-A soma dostermosda PG infinita(0,3; 0,03 ; 0,003 ; ...) é dada por? respS=3/9

16. [Digite texto]
[Digite texto]
18- Escreva a PG onde ( 2, x+1, 8).