1) O documento apresenta as noções básicas da Teoria de Conjuntos, definindo conjuntos, relações de pertença e inclusão, operações entre conjuntos como interseção, união, diferença e complementar de conjuntos. 2) É explicado o conjunto das partes de um conjunto e sua cardinalidade, sendo que a cardinalidade do conjunto das partes é igual a 2 elevado à cardinalidade do conjunto original. 3) A teoria de conjuntos é apresentada de forma intuitiva com exemplos para facilitar a compreensão dos conceitos fundamentais.

1. No¸oes elementares de Teoria de Conjuntos
c˜
12o Ano
Joaquim Bai˜o
a
VirtuaMAT
6 de Dezembro de 2012
Joaquim Bai˜o (VirtuaMAT)
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2. Defini¸˜o de conjunto
ca
Defini¸˜o intuitiva de conjunto
ca
O que ´ um conjunto?
e
Intuitivamente, um conjunto ´ uma colec¸˜o de objectos que verifica uma
e ca
determinada propriedade.
Defini¸˜o
ca
Ao conjunto que n˜o tem nenhum elemento designamos por conjunto
a
vazio. Este conjunto ´ representado por ∅.
e
Exemplos:
1 Z = {x : x ∈ Z} = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
2 A: ”O conjunto dos n´meros naturais menores ou iguais a 5”
u
A = {x : x ∈ N e x ≤ 5} = {x ∈ N : x ≤ 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
3 B: ”Resultado de dois lan¸amentos consecutivos de uma moeda”.
c
B = {(cara, cara), (cara, coroa), (coroa, cara), (coroa, coroa)}1
1
(1o lan¸amento, 2o lan¸amento)
c c
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3. Rela¸ao de Perten¸a e de Inclus˜o
c c a
Rela¸˜o de Perten¸a
ca c
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
Linguagem corrente Ling. Matem´tica
a
2 ´ elemento de A
e 2 pertence a A 2∈A
3 e 5 s˜o elementos de A 3 e 5 pertencem a A
a 3, 5 ∈ A
7 n˜o ´ elemento de A
a e 7 n˜o pertence a A
a 7∈A/
Exemplo 1: Seja S = {carta, email}
carta ´ elemento de S, ou seja, carta ∈ S;
e
telefone n˜o ´ elemento de S, ou seja, telefone ∈ S.
a e /
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4. Rela¸ao de Perten¸a e de Inclus˜o
c c a
Rela¸˜o de Inclus˜o
ca a
Defini¸˜o
ca
Sejam A e B conjuntos. Diz-se B est´ contido em A, ou que B ´ um
a e
subconjunto de A se todo o elemento de B ´ elemento de A.
e
Neste caso, escreve-se B ⊆ A.
Notas:
∅ ⊆ A e A ⊆ A.
Diz-se que B n˜o esta contido em A, ou que B n˜o ´ subconjunto
a a e
de A, se existe pelo menos um elemento de B que n˜o ´ elemento
a e
de A. Neste caso escreve-se B A.
Exemplo 2: Seja S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 5, 3} e C = {1, 9}, ent˜o:
a
B ⊆ S porque 1, 3, 5 ∈ B e 1, 3, 5 ∈ S;
C S porque 9 ∈ C mas 9 ∈ S.
/
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5. Opera¸˜es entre conjuntos
co Conplementar de um conjunto
Complementar de um conjunto
Defini¸˜o
ca
Seja A um subconjunto de um universo Ω (A ⊆ Ω). Chama-se
complementar de A ao conjunto de todos os elementos de Ω que n˜o s˜o
a a
elementos de A. Este conjunto representa-se por A.
Em linguagem matem´tica,
a
A = {x ∈ Ω : x ∈ A}
/
Exemplo 3:
Ω = {a, b, d, e, f , g }
A = {a, e, d}
A = {b, f , g }
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6. Opera¸˜es entre conjuntos
co Intersec¸˜o de Conjuntos
ca
Intersec¸˜o de conjuntos
ca
Defini¸˜o
ca
Sejam A e B dois subconjuntos de Ω (A, B ⊆ Ω). A intersec¸˜o de A
ca
com B ´ o conjunto dos elementos de Ω que pertencem a A e a B,
e
simultaneamente. Este conjunto representa-se por A ∩ B.
Em linguagem matem´tica,
a
A ∩ B = {x ∈ Ω : x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo 4:
A = {5, 7, 3, 2, 4, 8}
B = {2, 3, 15, 6, 10}
A ∩ B = {2, 3}
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7. Opera¸˜es entre conjuntos
co Intersec¸˜o de Conjuntos
ca
Intersec¸˜o de conjuntos (cont.)
ca
Defini¸˜o
ca
Sejam A, B ⊆ Ω. A e B dizem-se disjuntos se
A∩B =∅
Exemplo 5:
A = {1, 3, 5}
B = {2, 4, 6}
A∩B =∅
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8. Opera¸˜es entre conjuntos
co Intersec¸˜o de Conjuntos
ca
Defini¸˜o
ca
Sejam A, B ⊆ Ω. Chama-se A excepto B, ou complementar de B em
A, ao conjunto que cont´m todos os elementos de A que n˜o s˜o
e a a
elementos de B. Este conjunto representa-se por A B.
Em linguagem matem´tica,
a
A B = {x ∈ Ω : x ∈ A e x ∈ B}.
/
Notas:
Na pr´tica, A B ´ o conjunto que resulta de, a todos os elementos
a e
de A ”retirar”todos os elementos que est˜o em B.
a
AB =A∩B
Exemplo 6: Recorrendo aos conjuntos do Exemplo 4:
A = {5, 7, 3, 2, 4, 8}
B = {2, 3, 15, 6, 10}
A B = {5, 7, 4, 8}
B A = {15, 6, 10}.
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9. Opera¸˜es entre conjuntos
co Reuni˜o de Conjuntos
a
Reuni˜o de conjuntos
a
Defini¸˜o
ca
Sejam A, B ⊆ Ω. A reuni˜o de A com B ´ o conjunto de todos os
a e
elementos de Ω que pertencem a A ou a B. Dito de outra forma, ´ o
e
conjunto de todos os elementos que pertencem a pelo menos um dos
dois conjuntos A e B. Este conjunto representa-se por A ∪ B.
Em linguagem matem´tica,
a
A ∪ B = {x ∈ Ω : x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo 7: Voltando a recorrer aos conjuntos do Exemplo 4:
A = {5, 7, 3, 2, 4, 8}
B = {2, 3, 15, 6, 10}
A ∪ B = {5, 7, 3, 2, 15, 6, 10}
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10. Opera¸˜es entre conjuntos
co Propriedades da Intersec¸˜o e da reuni˜o
ca a
Proriedades da Intersec¸˜o e da Reuni˜o
ca a
Sejam A, B ⊆ Ω
Intersec¸˜o
ca Reuni˜o
a
A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A;
Propriedade associativa: Propriedade associativa:
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
A ∩ Ω = A; A ∪ Ω = Ω;
A ∩ ∅ = ∅; A ∪ ∅ = A;
A ∩ A = ∅. A ∪ A = Ω.
Se A ⊂ B ent˜o A ∩ B = A;
a Se A ⊂ B ent˜o A ∪ B = B.
a
Propriedade distributiva Leis de De Morgan
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ); A ∩ B = A ∪ B;
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ). A ∪ B = A ∩ B.
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11. O conjunto das partes
O conjunto das partes de um conjunto
Defini¸˜o
ca
Seja A ⊆ Ω. Define-se o conjuntos das partes de A como o conjunto
cujos elementos s˜o todos os subconjuntos de A. Este conjunto
a
representa-se por P(A).
Notas:
∅ ∈ P(A) porque ∅ ⊆ A;
A ∈ P(A) porque A ⊆ A.
Exemplo 8:
Seja A = {1, 2, 3}. Ent˜o,
a
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
.
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12. Cardinalidade de conjuntos
Cardinalidade de conjuntos
Defini¸˜o
ca
Seja A ⊆ Ω. O cardinal de A ´ o n´mero de elementos de A.
e u
Representa-se por A.
Exemplo 9: Recorrendo ao exemplo anterior:
A=3
P(A) = 8 = 23 = 2 A .
Genericamente,
Proposi¸˜o
ca
Seja A ⊆ Ω. Ent˜o P(A) = 2 A .
a
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