1) O documento discute conceitos fundamentais de inferência estatística, incluindo amostra, estimativa amostral, estimador, inferência, estimador não-tendencioso. 2) É apresentado o cálculo de intervalos de confiança para a média populacional baseado em uma amostra, considerando variância conhecida e desconhecida. 3) O método de cálculo de intervalo de confiança para proporções populacionais é explicado e ilustrado com um exemplo.

1. Inferência Estatística – Parte 1 Intervalo de Confiança Prof. Gercino Monteiro Filho

2. Intervalo de Confiança Conceitos Fundamentais Amostra É o conjunto de informações obtido em uma pesquisa pelo qual, devido à impossibilidade de fazer o censo, é utilizado para tirar conclusões sobre parâmetros e/ou características de uma população. Estimativa Amostral É a avaliação de um parâmetro da população usando dos dados de uma amostra

3. Conceitos Fundamentais - Continuação Estimador É o modelo matemático utilizado para se fazer uma estimativa. Inferência Metodologia pelo qual permite avaliar característica de uma população baseado em dados de uma amostra. Estimador Não-Tendencioso É todo estimador em que o modelo matemático pelo qual o valor esperado na amostra é igual ao valor real de uma população.

4. Estimadores Importantes de uma pesquisa. Considere em uma pesquisa uma variável aleatória X, associada à população alvo cuja média é μ e variância seja σ 2 , e que dela seja extraída uma amostra; Considere agora que esta amostra seja X 1 ― X 2 ― X 3 ― . . . ― X n n é o tamanho da amostra.

5. Estimadores Importantes de uma pesquisa. Média Amostral: Em que E denota o valor esperado que seja a média.

6. Estimadores Importantes de uma pesquisa. Variância Amostral: Onde V designa a variância de cada componente.

7. Estimadores Importantes de uma pesquisa. Proporção Amostral: Em que os valores possíveis de X i são:

8. Característica especial da variável X Devido à grande abrangência em variáveis de pesquisa, um caso muito importante é quando a variável aleatória X possuir distribuição normal, quando isto ocorrer denota-se:

9. Da média Esta propriedade nos afirma que a média amostral é um estimador não-tendencioso da média da população.

10. Da Variância Se a amostra for independente, então: A Esta propriedade nos afirma que a variância da média amostral é um estimador não-tendencioso da variância da população bastando para isto multiplicar pelo tamanho da amostra, desde que esta amostra seja coletada de forma INDEPENDENTE.

11. Da Normalidade Com amostra independente, Esta propriedade nos afirma que se uma variável aleatória possui distribuição normal na população, quando dela extrai uma amostra independente, a média amostral também possui distribuição normal.

12. Da Proporção Se p é a proporção de um evento na população, então: E Se a amostra for independente, então:

13. Graus de Liberdade Em modelos matemáticos de análise, existem muitos deles que necessita do valor de um número inteiro para tirar conclusões e este numero foi batizado de Graus de Liberdade, sendo que para cada tipo de análise é dado de forma não idêntica.

14. Intervalo de Confiança Quando avalia o valor de um parâmetro da população, baseado em valores de uma amostra, o que se tem na realidade é uma estimativa e pelo qual se avaliar por um único valor (por ponto) não existe modelos matemáticos capazes de medir a precisão desta estimativa. Intervalo de confiança faz esta mesma estimativa, porém utilizando um intervalo matemático sendo que mede a validade desta extensão de valores de amostra para população.

15. Nível de Confiança É a probabilidade de que o intervalo encontrado contém o valor real do parâmetro procurado. Notação: 1 - α.

16. Nível de Significância É a probabilidade de que o intervalo encontrado NÃO contém o valor real do parâmetro procurado, isto é, a probabilidade de que o valor do parâmetro em estudo tem na realidade um valor fora do intervalo construído. Notação: α.

17. Observações: A estatística prefere citar o nível de significância no relatório de uma pesquisa. O valor do Nível de Significância é estipulado pelo pesquisador, sendo que em sua maioria e de acordo com padrões internacionais é usado α = 0,05; ou seja, um risco de 5,0%.

18. Intervalo de Confiança para a Média Condições iniciais: X seja a variável em análise; X tenha distribuição normal, isto é: Seja uma amostra aleatória independente de x

19. I. C. da a Média Pelas condições iniciais e as propriedades de estimadores, tem que: Aplicando propriedades da normal chega a:

20. I. C. da a Média Usando os modelos matemáticos da Distribuição Normal chega a: Ao qual fazendo as devidas simplificações teremos:

21. I. C. da a Média O intervalo matemático: É chamado de Intervalo de Confiança da média ao nível de significância α.

22. I. C. da a Média - Limites

23. Erro Padrão de Estimativa

24. Comentário Note que pelo modelo matemático que foi deduzido, para encontrar o Intervalo de Confiança para a média μ é necessário que conheça o valor da variância populacional, mas se utiliza é uma amostra é obvio que esta variância é desconhecida, assim sendo para encontrar o intervalo de confiança parte do teorema:

25. IC da Média Variância Desconhecida

26. Propriedades da Distribuição t-Student

27. Propriedades da Distribuição t-Student

28. Intervalo de Confiança da media com variância desconhecida Pelas características vistas chega a: t com distribuição t-Student com (n-1) graus de liberdade.

29. IC Média - Exemplo Pesquisa: Fazer avaliação de recuperação de pacientes submetidos a cirurgias cardíacas. Acadêmica Roberta Rubiane Vaz Teodoro Quanto ao tempo de cirurgia, os valores encontrados do sexo feminino foram (min): 200 265 345 210 240 230 250 270 205 265 210 325 230 220 255 285 295 260 220 250 130 230 240 280 310 225 250 255 260 200 270 235 195 230 Construa o intervalo de confiança para o tempo médio de duração deste tipo de cirurgia, para o sexo feminino ao nível de 5,0% de significância.

30. IC Média – Exemplo - Solução Estimativas pontuais: Da Média: Da variância

31. IC Média – Exemplo - Solução Variância desconhecida usa a t-Student Graus de Liberdade: 34 – 1 = 33; Na tabela ao Nível de 5,0% obteve: t = 2,0345 O Intervalo é: Chega a:

32. Intervalo de Confiança para a proporção p. Proporção é a razão entre o total de resultados pelos quais está de conformidade com uma condição pré-estabelecida e o total de resultados existentes, sendo chamada de freqüência relativa, ao qual pode ser transformado em porcentagem bastando multiplicar o seu resultado por 100,0%.

33. Intervalo de Confiança para a proporção p. Uma proporção, para ser avaliada, é necessário que se tenha uma amostra suficientemente grande, e assim para criar o intervalo de confiança de p, utiliza diretamente a Distribuição Normal.

34. Intervalo de Confiança de p. Neste caso basta usar o resultado das propriedades P4 e P5 e substituí-los na fórmula do Intervalo da Média com variância conhecida, assim procedendo fica:

35. Intervalo de Confiança de p - Componentes

36. Intervalo de Confiança de p - Exemplo Pesquisa: Avaliar fatores que contribui com o peso de criança ao nascer. (Dra. Margareth Giglio) Nesta pesquisa foram observadas 19189 crianças que nasceram no ano de 2002 em Goiânia, sendo que destas 1124 nasceram com peso abaixo de 2500g, e classificadas como desnutridas. Construa, ao nível de 5,0% de significância, o intervalo de confiança da proporção de crianças que nascem desnutridas.

37. IC p – Solução do exemplo Seja p a proporção, na população de todas as crianças ao nascer que sejam desnutridas. Pelos dados do problema tem que: n = 19 189 e n(A) = 1 124; Com estes dados vem:

38. IC p – Solução do exemplo Na tabela da Normal padrão, ao nível de 5,0% tem que o valor crítico de z é: z 0 = 1,96. O erro padrão de estimativa é: O intervalo de confiança ao nível de 5,0% é: Resposta

39. Intervalo de Confiança FIM