1) O documento discute estimação estatística, que envolve usar dados amostrais para fazer inferências sobre parâmetros populacionais. 2) Existem dois métodos para determinar estimadores de parâmetros: o método dos momentos e o método da máxima verossimilhança. 3) Um intervalo de confiança é um intervalo que tem probabilidade especificada de conter o verdadeiro valor do parâmetro, e é usado para estimar parâmetros com mais precisão do que um único valor pontual.
O documento discute testes de hipóteses estatísticas, incluindo: (1) o teste de hipótese avalia inferências sobre uma população com base em uma amostra; (2) a teoria de Popper afirma que não se pode provar nada, apenas refutar hipóteses; (3) os principais conceitos incluem hipótese estatística, teste de hipótese e tipos de hipóteses.
Ética deontológica vs ética teleológicaIsabel Moura
O documento discute duas perspectivas de fundamentação da ética: a ética deontológica e a ética consequencialista. A ética deontológica avalia ações com base na intenção, enquanto a ética consequencialista avalia com base nas consequências. O documento também analisa a decisão do presidente Truman de lançar bombas atômicas sobre Hiroshima e Nagasaki à luz dessas duas perspectivas éticas.
Este documento fornece dicas para redigir uma boa composição, incluindo planeamento, estrutura e revisão. Deve-se refletir sobre o tema, escolher o tipo de discurso, elaborar um plano com introdução, desenvolvimento e conclusão, e revisar o texto final.
A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O com ângulos de 90°, 180°, 270° e 360°. Também tem quatro simetrias de reflexão sobre os eixos que passam por O.
Matriz Profissional funções periódicas e não periódicas B1Carlos Ferreira
Este documento fornece informações sobre o exame do módulo B1 de Funções Periódicas e não Periódicas, incluindo os tópicos cobertos, o formato da prova, critérios de classificação e duração. A prova terá itens de escolha múltipla e construção sobre funções trigonométricas, racionais e triângulos retângulos. Os alunos terão 90 minutos para completá-la.
O autor resume o filme Os Mercenários 2 em três frases:
1) O filme reúne astros da ação dos anos 80 e 90, como Sylvester Stallone, Arnold Schwarzenegger e Bruce Willis, para a alegria dos fãs do gênero.
2) Diferentemente do primeiro filme, Os Mercenários 2 entrega sequências de ação bem feitas e um vilão à altura, além de muitos momentos cômicos.
3) Apesar de a trama não ser o foco, o filme agrada principalmente os fãs
Este documento fornece duas estruturas para realizar uma reflexão crítica. A primeira estrutura (Modelo A) descreve uma reflexão crítica como uma análise de um documento ou experiência para retirar ensinamentos. Ela inclui introdução, análise de conceitos, problematização, argumentação e conclusão. A segunda estrutura (Modelo B) foca na aplicação dos novos conhecimentos à vida pessoal e profissional do autor, explicando como influenciou e pode modificar a vida do autor.
O documento discute testes de hipóteses estatísticas, incluindo: (1) o teste de hipótese avalia inferências sobre uma população com base em uma amostra; (2) a teoria de Popper afirma que não se pode provar nada, apenas refutar hipóteses; (3) os principais conceitos incluem hipótese estatística, teste de hipótese e tipos de hipóteses.
Ética deontológica vs ética teleológicaIsabel Moura
O documento discute duas perspectivas de fundamentação da ética: a ética deontológica e a ética consequencialista. A ética deontológica avalia ações com base na intenção, enquanto a ética consequencialista avalia com base nas consequências. O documento também analisa a decisão do presidente Truman de lançar bombas atômicas sobre Hiroshima e Nagasaki à luz dessas duas perspectivas éticas.
Este documento fornece dicas para redigir uma boa composição, incluindo planeamento, estrutura e revisão. Deve-se refletir sobre o tema, escolher o tipo de discurso, elaborar um plano com introdução, desenvolvimento e conclusão, e revisar o texto final.
A figura tem quatro simetrias de rotação de centro O com ângulos de 90°, 180°, 270° e 360°. Também tem quatro simetrias de reflexão sobre os eixos que passam por O.
Matriz Profissional funções periódicas e não periódicas B1Carlos Ferreira
Este documento fornece informações sobre o exame do módulo B1 de Funções Periódicas e não Periódicas, incluindo os tópicos cobertos, o formato da prova, critérios de classificação e duração. A prova terá itens de escolha múltipla e construção sobre funções trigonométricas, racionais e triângulos retângulos. Os alunos terão 90 minutos para completá-la.
O autor resume o filme Os Mercenários 2 em três frases:
1) O filme reúne astros da ação dos anos 80 e 90, como Sylvester Stallone, Arnold Schwarzenegger e Bruce Willis, para a alegria dos fãs do gênero.
2) Diferentemente do primeiro filme, Os Mercenários 2 entrega sequências de ação bem feitas e um vilão à altura, além de muitos momentos cômicos.
3) Apesar de a trama não ser o foco, o filme agrada principalmente os fãs
Este documento fornece duas estruturas para realizar uma reflexão crítica. A primeira estrutura (Modelo A) descreve uma reflexão crítica como uma análise de um documento ou experiência para retirar ensinamentos. Ela inclui introdução, análise de conceitos, problematização, argumentação e conclusão. A segunda estrutura (Modelo B) foca na aplicação dos novos conhecimentos à vida pessoal e profissional do autor, explicando como influenciou e pode modificar a vida do autor.
O documento descreve o ceticismo, uma doutrina filosófica que questiona a possibilidade de se alcançar o conhecimento absoluto. Apresenta os principais pensadores céticos da Grécia Antiga como Pirro, Enesidemo e Sexto Empírico. Discute as vertentes filosófica e científica do ceticismo e seu papel em questionar correntes dogmáticas e verdades religiosas estabelecidas.
1) O documento apresenta anotações sobre física para o 10o e 11o anos, abordando temas como situações energéticas mundiais, fontes de energia, transferências e transformações de energia.
2) Inclui conceitos como lei da conservação da energia, diferentes formas de energia (mecânica, interna, cinética e potencial), escalas de temperatura, transferências de energia através de trabalho, calor e radiação.
3) Discutem-se também tópicos como espectro eletromagnético, absorção
Relatorio de fisica construao de um termmetroGabriela Mendes
Este relatório descreve uma experiência em que os estudantes construíram e calibraram um termômetro simples usando álcool colorido e um tubo de vidro. Eles observaram como o nível do álcool variava com a temperatura, indicando que pode ser usado para medir temperatura. Imagens ilustram o equipamento e os resultados obtidos quando o termômetro foi resfriado em gelo e aquecido.
Teoria como resolver um sistema de equações - graficamentetetsu
O documento descreve o método gráfico para resolver sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas. Ele mostra como construir tabelas para cada equação e traçar os pontos de interseção no plano cartesiano para encontrar a solução do sistema. A solução dada como exemplo é o ponto (5,1).
O documento resume os principais passos para realizar um teste de hipóteses estatísticas, incluindo: 1) Definir as hipóteses nula e alternativa; 2) Calcular a estatística do teste com base na amostra; 3) Determinar a região crítica com base no nível de significância; 4) Tomar uma decisão sobre aceitar ou rejeitar a hipótese nula de acordo com a regra de decisão. O documento fornece exemplos detalhados para ilustrar cada um desses passos.
O documento descreve experimentos com pilhas e eletrólise. A pilha de Daniell foi montada e mediu 0,96V, confirmando os princípios da reação redox. Na eletrólise, cobre foi depositado no eletrodo de alumínio após aplicação de voltagem, ilustrando a diferença entre reações espontâneas e forçadas.
Neste tipo de artigo pode apresentar-se uma obra bibliográfica, ou parte dela (um ou mais capítulos) ou ainda um recurso digital que sejam relevantes no contexto de uma disciplina ou área científica e que tenham sido publicados nos últimos dois anos. Podem fazer-se recensões críticas de documentos de várias tipologias, desde o científico ao literário.
Biblioteca do Agrupamento de Escolas do Neste tipo de artigo pode apresentar-se uma obra bibliográfica, ou parte dela (um ou mais capítulos) ou ainda um recurso digital que sejam relevantes no contexto de uma disciplina ou área científica e que tenham sido publicados nos últimos dois anos. Podem fazer-se recensões críticas de documentos de várias tipologias, desde o científico ao literário.
Biblioteca do Agrupamento de Escolas do Vale de Ovil - Baião
O relatório apresenta os resultados de um experimento sobre a Lei de Hooke utilizando molas. Foram medidas as deformações de duas molas ao aplicar diferentes massas e calculadas as constantes elásticas. O objetivo era comprovar a relação linear entre força e deformação prevista pela lei de Hooke para molas reais.
Este documento discute intervalos de confiança, que fornecem uma faixa de valores dentro da qual o parâmetro populacional verdadeiro tem uma certa probabilidade de estar localizado. Intervalos de confiança são construídos usando dados amostrais e fornecem uma estimativa do erro na estimativa pontual de um parâmetro. O documento também discute como calcular intervalos de confiança para a média populacional e proporção populacional usando estatística inferencial.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
Trabalho efetuado no âmbito da disciplina de Filosofia. Foi uma apresentação que fiz com dois colegas do 10º Ano (ano letivo 2009/2010) na Escola Secundária Alves Martins de Viseu.
Este relatório apresenta os resultados de uma experiência realizada para medir as dimensões e calcular a densidade de duas esferas de vidro de tamanhos diferentes. Foram medidas o diâmetro, a massa, a área, o volume e a densidade das esferas usando um paquímetro e uma balança analítica. Os resultados encontrados para cada esfera estão apresentados em tabelas.
A difração de raios X é uma técnica de caracterização de materiais cristalinos que utiliza a difração de raios X para identificar fases cristalinas. O documento descreve os princípios da difração de raios X, equipamentos como difratômetros de pó e câmaras Debye-Scherrer, e aplicações como a identificação de compostos cristalinos a partir de seus padrões de difração únicos.
1) O documento discute os conceitos fundamentais da transferência de calor, incluindo os três modos de transferência de calor: condução, convecção e radiação.
2) A condução é definida como a transferência de energia através de um meio sólido ou estacionário por diferenças de temperatura. A equação de Fourier descreve a taxa de transferência de calor por condução.
3) Exemplos ilustram cálculos de taxas de transferência de calor em placas planas simples e compostas e em cilindros ocos
O documento discute a diferença entre juízos de fato e juízos de valor. Juízos de fato são descritivos e objetivos, informando sobre a realidade de maneira factual. Juízos de valor são normativos e envolvem uma avaliação ou julgamento sobre como as coisas deveriam ser, não apenas como são. Enquanto juízos de fato podem ser verdadeiros ou falsos, juízos de valor dependem mais de valores e normas subjacentes.
O documento descreve a função PROJ.LIN no Excel, que realiza regressão linear usando mínimos quadrados. A função calcula os parâmetros da reta linear Y=aX+b a partir de conjuntos de dados X e Y, e também fornece estatísticas como desvios-padrão, R2 e teste F. O documento exemplifica como aplicar a função PROJ.LIN em uma planilha com dados de vendas e temperatura para gerar um modelo de regressão linear relacionando essas variáveis.
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte IIIMaths Tutoring
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre trigonometria de triângulos retângulos. Os exercícios abordam cálculos envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, bem como propriedades fundamentais como o Teorema de Pitágoras e a Fórmula Fundamental da Trigonometria. Alguns exercícios pedem para provar relações trigonométricas ou aplicá-las em problemas geométricos.
Rawls propõe uma teoria da justiça baseada no contrato social, onde indivíduos sob um "véu de ignorância" determinam princípios de justiça para organizar a sociedade de forma justa, como a liberdade igual para todos e desigualdades econômicas apenas se beneficiarem os mais desfavorecidos.
O documento discute o equilíbrio químico, definindo-o como a situação em que a proporção entre reagentes e produtos permanece constante ao longo do tempo. Aborda conceitos como reversibilidade de reações, constante de equilíbrio e como fatores como temperatura e catalisador podem deslocar o equilíbrio. Fornece exemplos como a evaporação da água para ilustrar reações reversíveis em equilíbrio.
O documento apresenta uma introdução à engenharia de produção, descrevendo seus desafios em produzir mais com menos recursos e ser o elo entre a parte técnica e administrativa. Apresenta suas áreas de atuação como produção, projetos, modelagem e administração de empresas. Finaliza dizendo que o engenheiro de produção pode trabalhar em diversos setores e que seu futuro é promissor.
O documento discute a profissão de engenheiro de produção, incluindo suas principais responsabilidades, áreas de atuação e perspectivas de mercado de trabalho. Engenheiros de produção vêm implementando novos padrões de qualidade e produtividade e atuam em diversas áreas como gestão da produção, qualidade, econômica e estratégica. O mercado requer profissionais com foco em competição, qualidade e eficiência.
O documento descreve o ceticismo, uma doutrina filosófica que questiona a possibilidade de se alcançar o conhecimento absoluto. Apresenta os principais pensadores céticos da Grécia Antiga como Pirro, Enesidemo e Sexto Empírico. Discute as vertentes filosófica e científica do ceticismo e seu papel em questionar correntes dogmáticas e verdades religiosas estabelecidas.
1) O documento apresenta anotações sobre física para o 10o e 11o anos, abordando temas como situações energéticas mundiais, fontes de energia, transferências e transformações de energia.
2) Inclui conceitos como lei da conservação da energia, diferentes formas de energia (mecânica, interna, cinética e potencial), escalas de temperatura, transferências de energia através de trabalho, calor e radiação.
3) Discutem-se também tópicos como espectro eletromagnético, absorção
Relatorio de fisica construao de um termmetroGabriela Mendes
Este relatório descreve uma experiência em que os estudantes construíram e calibraram um termômetro simples usando álcool colorido e um tubo de vidro. Eles observaram como o nível do álcool variava com a temperatura, indicando que pode ser usado para medir temperatura. Imagens ilustram o equipamento e os resultados obtidos quando o termômetro foi resfriado em gelo e aquecido.
Teoria como resolver um sistema de equações - graficamentetetsu
O documento descreve o método gráfico para resolver sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas. Ele mostra como construir tabelas para cada equação e traçar os pontos de interseção no plano cartesiano para encontrar a solução do sistema. A solução dada como exemplo é o ponto (5,1).
O documento resume os principais passos para realizar um teste de hipóteses estatísticas, incluindo: 1) Definir as hipóteses nula e alternativa; 2) Calcular a estatística do teste com base na amostra; 3) Determinar a região crítica com base no nível de significância; 4) Tomar uma decisão sobre aceitar ou rejeitar a hipótese nula de acordo com a regra de decisão. O documento fornece exemplos detalhados para ilustrar cada um desses passos.
O documento descreve experimentos com pilhas e eletrólise. A pilha de Daniell foi montada e mediu 0,96V, confirmando os princípios da reação redox. Na eletrólise, cobre foi depositado no eletrodo de alumínio após aplicação de voltagem, ilustrando a diferença entre reações espontâneas e forçadas.
Neste tipo de artigo pode apresentar-se uma obra bibliográfica, ou parte dela (um ou mais capítulos) ou ainda um recurso digital que sejam relevantes no contexto de uma disciplina ou área científica e que tenham sido publicados nos últimos dois anos. Podem fazer-se recensões críticas de documentos de várias tipologias, desde o científico ao literário.
Biblioteca do Agrupamento de Escolas do Neste tipo de artigo pode apresentar-se uma obra bibliográfica, ou parte dela (um ou mais capítulos) ou ainda um recurso digital que sejam relevantes no contexto de uma disciplina ou área científica e que tenham sido publicados nos últimos dois anos. Podem fazer-se recensões críticas de documentos de várias tipologias, desde o científico ao literário.
Biblioteca do Agrupamento de Escolas do Vale de Ovil - Baião
O relatório apresenta os resultados de um experimento sobre a Lei de Hooke utilizando molas. Foram medidas as deformações de duas molas ao aplicar diferentes massas e calculadas as constantes elásticas. O objetivo era comprovar a relação linear entre força e deformação prevista pela lei de Hooke para molas reais.
Este documento discute intervalos de confiança, que fornecem uma faixa de valores dentro da qual o parâmetro populacional verdadeiro tem uma certa probabilidade de estar localizado. Intervalos de confiança são construídos usando dados amostrais e fornecem uma estimativa do erro na estimativa pontual de um parâmetro. O documento também discute como calcular intervalos de confiança para a média populacional e proporção populacional usando estatística inferencial.
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
Trabalho efetuado no âmbito da disciplina de Filosofia. Foi uma apresentação que fiz com dois colegas do 10º Ano (ano letivo 2009/2010) na Escola Secundária Alves Martins de Viseu.
Este relatório apresenta os resultados de uma experiência realizada para medir as dimensões e calcular a densidade de duas esferas de vidro de tamanhos diferentes. Foram medidas o diâmetro, a massa, a área, o volume e a densidade das esferas usando um paquímetro e uma balança analítica. Os resultados encontrados para cada esfera estão apresentados em tabelas.
A difração de raios X é uma técnica de caracterização de materiais cristalinos que utiliza a difração de raios X para identificar fases cristalinas. O documento descreve os princípios da difração de raios X, equipamentos como difratômetros de pó e câmaras Debye-Scherrer, e aplicações como a identificação de compostos cristalinos a partir de seus padrões de difração únicos.
1) O documento discute os conceitos fundamentais da transferência de calor, incluindo os três modos de transferência de calor: condução, convecção e radiação.
2) A condução é definida como a transferência de energia através de um meio sólido ou estacionário por diferenças de temperatura. A equação de Fourier descreve a taxa de transferência de calor por condução.
3) Exemplos ilustram cálculos de taxas de transferência de calor em placas planas simples e compostas e em cilindros ocos
O documento discute a diferença entre juízos de fato e juízos de valor. Juízos de fato são descritivos e objetivos, informando sobre a realidade de maneira factual. Juízos de valor são normativos e envolvem uma avaliação ou julgamento sobre como as coisas deveriam ser, não apenas como são. Enquanto juízos de fato podem ser verdadeiros ou falsos, juízos de valor dependem mais de valores e normas subjacentes.
O documento descreve a função PROJ.LIN no Excel, que realiza regressão linear usando mínimos quadrados. A função calcula os parâmetros da reta linear Y=aX+b a partir de conjuntos de dados X e Y, e também fornece estatísticas como desvios-padrão, R2 e teste F. O documento exemplifica como aplicar a função PROJ.LIN em uma planilha com dados de vendas e temperatura para gerar um modelo de regressão linear relacionando essas variáveis.
Preparação exame nacional matemática 9.º ano - Parte IIIMaths Tutoring
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre trigonometria de triângulos retângulos. Os exercícios abordam cálculos envolvendo funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente, bem como propriedades fundamentais como o Teorema de Pitágoras e a Fórmula Fundamental da Trigonometria. Alguns exercícios pedem para provar relações trigonométricas ou aplicá-las em problemas geométricos.
Rawls propõe uma teoria da justiça baseada no contrato social, onde indivíduos sob um "véu de ignorância" determinam princípios de justiça para organizar a sociedade de forma justa, como a liberdade igual para todos e desigualdades econômicas apenas se beneficiarem os mais desfavorecidos.
O documento discute o equilíbrio químico, definindo-o como a situação em que a proporção entre reagentes e produtos permanece constante ao longo do tempo. Aborda conceitos como reversibilidade de reações, constante de equilíbrio e como fatores como temperatura e catalisador podem deslocar o equilíbrio. Fornece exemplos como a evaporação da água para ilustrar reações reversíveis em equilíbrio.
O documento apresenta uma introdução à engenharia de produção, descrevendo seus desafios em produzir mais com menos recursos e ser o elo entre a parte técnica e administrativa. Apresenta suas áreas de atuação como produção, projetos, modelagem e administração de empresas. Finaliza dizendo que o engenheiro de produção pode trabalhar em diversos setores e que seu futuro é promissor.
O documento discute a profissão de engenheiro de produção, incluindo suas principais responsabilidades, áreas de atuação e perspectivas de mercado de trabalho. Engenheiros de produção vêm implementando novos padrões de qualidade e produtividade e atuam em diversas áreas como gestão da produção, qualidade, econômica e estratégica. O mercado requer profissionais com foco em competição, qualidade e eficiência.
O documento apresenta um curso de introdução à engenharia de produção, discutindo o papel do engenheiro de produção, regulamentação profissional e tópicos como gestão de operações, qualidade, ergonomia e segurança no trabalho. Ele também descreve linhas de formação como processos produtivos, logística e engenharia da sustentabilidade, além de fornecer referências bibliográficas básicas e complementares sobre o tema.
Este documento apresenta o plano de ensino da disciplina Introdução à Engenharia de Produção ministrada no curso de Engenharia de Produção Agroindustrial da Universidade Estadual do Paraná - Campus de Campo Mourão. O plano detalha a ementa, objetivos, programa, metodologia e avaliação da disciplina.
Apresentação de Introdução à Engenharia de ProduçãoMarcel Gois
O documento apresenta os detalhes de uma disciplina introdutória de engenharia de produção em uma universidade, incluindo o professor responsável, conteúdo, ementa, objetivos de aprendizagem e avaliação dos alunos.
O documento discute vários tópicos relacionados à engenharia organizacional, incluindo gestão de projetos, gestão estratégica e organizacional, gestão do desempenho organizacional, redes de empresas, gestão da informação e gestão do conhecimento. O foco é ajudar as organizações a se adaptarem continuamente às mudanças no ambiente externo e interno para se manterem eficientes e competitivas.
1) O documento introduz conceitos básicos de estatística descritiva e inferência estatística.
2) Ele explica como estimar a média populacional usando a média amostral e como calcular intervalos de confiança para a média.
3) São apresentados exemplos numéricos de como calcular intervalos de confiança para a média populacional em diferentes situações.
Um intervalo de confiança indica a margem de incerteza de um resultado ao estimar um parâmetro populacional com base em uma amostra. Quanto mais estreito for o intervalo, maior a probabilidade do resultado representar a população original. Intervalos de confiança consideram fatores como tamanho da amostra e variabilidade dos dados para estimar os limites inferior e superior da probabilidade de o valor real estar dentro desse intervalo.
Cap5 - Parte 2 - Intervalo De Confiança 1Regis Andrade
1) O documento discute conceitos fundamentais de inferência estatística, incluindo amostra, estimativa amostral, estimador, inferência, estimador não-tendencioso.
2) É apresentado o cálculo de intervalos de confiança para a média populacional baseado em uma amostra, considerando variância conhecida e desconhecida.
3) O método de cálculo de intervalo de confiança para proporções populacionais é explicado e ilustrado com um exemplo.
1) O documento discute técnicas de amostragem e tratamento de dados faltantes para realizar inferência estatística.
2) Aborda conceitos como população, amostra, estimativa pontual, intervalo de confiança e testes de hipóteses.
3) Fornece exemplos de como estimar parâmetros como média e proporção utilizando estatísticas amostrais.
1) O documento discute conceitos estatísticos como distribuições de frequências, medidas de tendência central, inferência estatística e testes de hipóteses;
2) É apresentada a distribuição normal e suas propriedades, utilizada para modelar amostras retiradas de populações;
3) É mostrado um exemplo de teste de hipóteses para verificar se a média salarial de uma amostra difere da média populacional.
O documento discute distribuições de probabilidade, distribuição normal, teorema do limite central, intervalos de confiança para médias e proporções. O teorema do limite central estabelece que a distribuição das médias de amostras tende para uma distribuição normal quando o tamanho da amostra aumenta, independentemente da distribuição original da população. Intervalos de confiança fornecem uma faixa de valores prováveis para parâmetros populacionais com base em amostras.
[1] O documento discute conceitos estatísticos como distribuição amostral, teorema do limite central e intervalos de confiança. [2] É explicado que as médias de amostras aleatórias de uma população se aproximam de uma distribuição normal e que o erro padrão da média pode estimar a precisão da média amostral. [3] O documento mostra como calcular intervalos de confiança para estimar faixas nos quais a média populacional verdadeira provavelmente se encontra.
Este documento discute procedimentos estatísticos para testes de hipóteses, incluindo: 1) escolha entre testes paramétricos e não paramétricos dependendo do tamanho e distribuição das amostras; 2) formulação de hipóteses nulas e alternativas; 3) cálculo e interpretação de estatísticas de teste como o teste t. Exemplos ilustram como aplicar esses procedimentos para testar diferenças entre médias em diferentes tipos de amostras.
1) O documento discute o modelo de regressão linear normal clássico, incluindo a hipótese de normalidade dos resíduos e propriedades dos estimadores sob essa hipótese.
2) É explicado como construir intervalos de confiança para os parâmetros β1, β2 e variância dos resíduos σ2 usando distribuições t e qui-quadrado respectivamente.
3) Testes de hipóteses também são discutidos como meio de inferir se as estimativas estão próximas dos parâmetros reais da população.
Este documento descreve os conceitos básicos de inferência estatística, incluindo:
1) A relação entre populações e amostras e como amostras aleatórias são usadas para inferir propriedades da população;
2) Definições de estatísticas, estimativas, estimadores e propriedades desejáveis de estimadores como não tendenciosidade e eficiência;
3) Exemplos de estimadores comuns como a média e variância amostral.
O documento discute parâmetros e estatísticas populacionais e amostrais. Define parâmetros como medidas que descrevem características da população e estatísticas como funções de variáveis aleatórias amostrais. Explica como estimativas amostrais como média e proporção são usadas para fazer inferências sobre parâmetros desconhecidos da população. Também cobre intervalos de confiança para média, variância e proporção populacionais.
1) O documento discute conceitos estatísticos como distribuição normal, uniforme e probabilidades. 2) A distribuição normal é descrita como uma das mais importantes e amplamente usadas em pesquisas, com média e desvio padrão como parâmetros. 3) Exemplos ilustram como calcular probabilidades usando a distribuição normal reduzida e tabelas Z.
Este documento discute como determinar o tamanho adequado de uma amostra para pesquisas. Explica que uma amostra deve ser representativa o suficiente para permitir generalizações sobre a população, mas pequena o suficiente para ser factível. Fornece fórmulas para calcular o tamanho da amostra com base na estimativa da média, proporção ou quando a população é finita.
Modelo de regressão linear: aspectos teóricos e computacionais Rodrigo Rodrigues
Este documento apresenta os conceitos e técnicas de regressão linear simples utilizando o software estatístico R. A análise é aplicada a um conjunto de dados sobre tartarugas nas ilhas Galápagos e estima a relação entre número de espécies e espécies endêmicas. Os resultados são analisados por meio de gráficos, testes estatísticos e intervalos de confiança para avaliar a significância do modelo.
O documento discute intervalos de confiança, definindo-o como uma faixa de valores dentro da qual se espera que esteja localizado o parâmetro populacional com um determinado nível de certeza. Explica como calcular intervalos de confiança para a média populacional com base na média e desvio padrão amostral, variando o nível de confiança de 95% para 99%. Também aborda o cálculo do tamanho ideal de uma amostra para estimar proporções na população com um determinado grau de precisão.
1. O documento discute a distribuição amostral da média da amostra (X), que descreve como a média da amostra se comporta em relação à média da população. 2. Explica que o valor esperado de X é igual à média da população, enquanto o desvio-padrão de X mede a variabilidade da média da amostra. 3. O teorema do limite central estabelece que X se aproxima de uma distribuição normal para amostras grandes, permitindo estimar a probabilidade de X estar em determinados intervalos
1. O documento discute regressão linear e correlação linear, com o objetivo de prever uma variável dependente (Y) a partir de uma ou mais variáveis independentes (X).
2. A regressão linear simples usa uma única variável X para prever Y, enquanto a regressão linear múltipla usa múltiplas variáveis X.
3. A correlação de Pearson mede o grau de relacionamento entre variáveis X e Y, usando o coeficiente de correlação r, que varia de -1 a 1 indicando uma relação negativa ou positiva.
1. O documento apresenta conceitos básicos de probabilidade e estatística, incluindo variáveis aleatórias, população, amostra, distribuições estatísticas e regressão.
2. Aborda métodos de ajuste de distribuições teóricas como normal, log-normal e Gumbel a dados reais e conceitos como função de probabilidade, tempo de retorno e correlação.
3. Discutem testes para verificar a homogeneidade de séries temporais e regressão para relacionar variáveis.
1) O documento apresenta conceitos básicos de inferência estatística, incluindo distribuições de frequências, teste de hipóteses, intervalo de confiança e testes para uma ou mais médias.
2) São descritos testes estatísticos como z, t e qui-quadrado para análise de uma ou duas médias e proporções.
3) São explicadas condições e pressupostos para a aplicação correta desses testes e como interpretá-los.
O documento descreve distribuições estatísticas importantes como a binomial, Poisson e normal. A distribuição binomial descreve experimentos de Bernoulli com parâmetros n e p. A distribuição de Poisson descreve o número de eventos em um intervalo de tempo ou espaço com parâmetro λ. Ambas convergem para a distribuição normal quando seus parâmetros tendem ao infinito. A distribuição normal descreve variáveis aleatórias com média μ e desvio padrão σ.
O documento descreve as distribuições de probabilidade contínuas, incluindo a distribuição uniforme e a distribuição normal. A distribuição uniforme possui função densidade constante dentro de um intervalo, enquanto a distribuição normal tem forma de sino simétrico em torno da média. O documento fornece fórmulas para calcular média, variância e probabilidades nestas distribuições.
1) O documento descreve os principais conceitos de probabilidade e estatística, incluindo probabilidades, variáveis aleatórias, distribuições de probabilidade e amostragem.
2) É dividido em capítulos que cobrem tópicos como álgebra de eventos, probabilidade condicional, distribuições discretas e contínuas, estimação e testes de hipóteses.
3) Fornece definições, fórmulas e propriedades relacionadas a esses tópicos para apoiar o estudo desse campo.
1) A Revolução de Outubro de 1917 estabeleceu a Rússia como o primeiro estado socialista do mundo, liderado pelos bolcheviques de Lenin.
2) Isso levou a uma guerra civil entre os bolcheviques "vermelhos" e os oponentes "brancos" que derrubou a economia russa.
3) A Nova Política Econômica foi introduzida em 1921 para recuperar a economia através de medidas como a desnacionalização parcial e o comércio privado limitado.
A Revolução Russa de 1917 resultou na queda da monarquia czarista e no estabelecimento do governo bolchevique sob Lenin. Dois momentos marcaram a revolução: a de Fevereiro derrubou o czar e instaurou um governo provisório, enquanto a de Outubro colocou os bolcheviques no poder através da tomada do Palácio de Inverno. Isso levou à criação da União Soviética.
O documento descreve a transição de Portugal da monarquia para a Primeira República entre 1890-1926, caracterizada por instabilidade política devido a 45 governos em 16 anos. Também descreve a transição da Rússia do Império Czarista para a União Soviética sob Lenin e Stalin, incluindo a abolição da propriedade privada e a coletivização forçada da agricultura.
A situação na Rússia no início do século XX era de instabilidade. O czar Nicolau II foi responsável pelo "Domingo Sangrento" em 1905, quando tropas atiraram em manifestantes pacíficos. Em 1917, duas revoluções ocorreram na Rússia: a Revolução de Fevereiro derrubou o czar e a Revolução de Outubro levou os bolcheviques de Lenin ao poder.
A Revolução Soviética ocorreu na Rússia em 1917 liderada por Lenine e Trotsky. Isto levou ao fim da monarquia czarista e à transformação do país numa ditadura comunista sob o governo de Lenine, retirando a Rússia da 1a Guerra Mundial. Uma guerra civil entre o Exército Branco e o Exército Vermelho deixou o país em fome e miséria até 1920.
Este documento descreve a ascensão de Estaline ao poder na União Soviética após a morte de Lenine e sua implementação de políticas estalinistas, incluindo a nacionalização da economia, a coletivização forçada da agricultura e a repressão violenta de qualquer oposição, resultando na morte de milhões de pessoas. O documento também lista as principais características do estalinismo, como o partido único, a repressão, a polícia política e o culto da personalidade.
Este documento descreve os conceitos fundamentais relacionados com os stocks e a função de aprovisionamento numa empresa. Apresenta as diferentes classificações de materiais, produtos e stocks, e define o âmbito e as atribuições da função de aprovisionamento, destacando a sua importância estratégica para a organização. Explora também os diferentes modelos de gestão de stocks, incluindo gestão por análise estatística, gestão por encomenda e gestão mista.
Gestão da cadeia de abastecimento versão finalcarneiro62
1. O documento discute a cadeia de abastecimento e seus processos. 2. São descritas as fases de decisão na cadeia de abastecimento, como estratégica, planejamento e operação. 3. São explicados os macroprocessos da cadeia de abastecimento nas empresas, como CRM, ISCM e SRM.
O documento discute os conceitos fundamentais da contabilidade de custos e contabilidade analítica. Apresenta a importância destes sistemas de informação para a gestão das organizações e tomada de decisões. Explica a diferença entre a contabilidade geral, que mede resultados globais, e a contabilidade analítica, que permite medir e analisar custos, proveitos e resultados de forma desagregada.
O documento apresenta um programa sobre Contabilidade Financeira II, abordando conceitos como contabilidade, demonstrações financeiras, normalização contabilística, análise do balanço, valores a receber e pagar e acréscimos e diferimentos.
O documento apresenta um resumo de três tópicos principais sobre Direito Penal:
1) Define Direito Penal como um ramo do Direito Público que estabelece crimes e respectivas penas e medidas de segurança.
2) Distingue penas de medidas de segurança, sendo as primeiras aplicadas em função da culpa e as segundas baseadas na perigosidade do delinquente.
3) Apresenta os fundamentos do Direito Penal na Constituição, que proíbe certas penas e medidas de segurança com base no princípio da humanidade.
Este documento estabelece o regime comum de mobilidade entre serviços da administração pública portuguesa, visando o aproveitamento racional dos funcionários e agentes públicos. Define instrumentos de mobilidade geral como transferência, permuta, requisição e destacamento, e instrumentos de mobilidade especial como reafectação e reinício de funções. Estabelece também procedimentos para a mobilidade em casos de extinção, fusão ou reestruturação de serviços.
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Estimação
A Estatística Descritiva tem por objectivo resumir ou descrever característi-
cas importantes de dados populacionais conhecidos. Na Inferência Estatística
utilizamos os dados amostrais para fazer inferências (ou generalizações) sobre
a população. As duas principais aplicações da estatística inferencial envol-
vem a utilização de dados amostrais para estimar o valor de um parâmetro
populacional e para formular uma conclusão sobre a população.
Vamos estudar como, a partir de estatísticas baseadas numa amostra
aleatória, podemos fazer inferências ou generalizações acerca do valor de
parâmetros de uma distribuição.
1 Estimador e estimativa
Um estimador (ou estimador pontual) de um parâmetro θ de uma popula-
ção é uma estatística amostral pΘ utilizada para obter uma aproximação do
parâmetro populacional θ. Por exemplo, a média amostral X é estimador
pontual da média μ da população.
Uma estimativa de um parâmetro θ de uma população é um valor espe-
cífico pθ, de uma estatística amostral pΘ, usado para aproximar o parâmetro
populacional θ. Por exemplo, o valor x do estimador X, calculado de uma
amostra aleatória é estimativa da média μ da população.
1.1 Métodos para determinar estimadores
Existem dois métodos gerais para obter estimadores de parâmetros da popu-
lação: o método dos momentos e o método da máxima verosimilhança.
O método dos momentos - devido a Karl Pearson - é um dos mais antigos
métodos de estimação pontual. De fácil aplicação, apesar de falta de uma
sólida justificação teórica, fornece frequentemente estimadores aceitáveis.
O método da máxima verosimilhança é um método melhor, o qual requer
usualmente soluções numéricas de equações não lineares. E se antes o método
dos momentos se popularizou face a esta dificuldade, a sua razão de ser desa-
pareceu face às facilidades computacionais actuais. Deve dizer-se, contudo,
que as estimativas do método dos momentos são ainda usadas como primeira
aproximação nos procedimentos iterativos para a resolução das equações de
verosimilhança.
O estudo destes dois métodos não faz parte do programa da disciplina de
Probabilidades e Estatística.
Estimação
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1.1.1 Propriedades dos estimadores
1. Consistência: A consistência indica que, quanto maior for a amostra,
maior é a probabilidade do valor estimado do parâmetro estar próximo
de θ. Um estimador dir-se-á consistente se e só se P
”
| pΘ ´ θ |ď ε
ı
Ñ 1
quando n Ñ 8, @ε ą 0. Note-se que a consistência é fundamental-
mente, uma propriedade para grandes amostras.
2. Não enviesamento: Um estimador diz-se não enviesado se o valor espe-
rado por amostragem do estimador pΘ coincidir com θ, isto é, E
”
pΘ
ı
“
θ. Caso E
”
pΘ
ı
‰ θ, o estimador pΘ diz-se enviesado e a função b pθq,
dada por
b
´
pΘ
¯
“ E
”
pΘ
ı
´ θ
mede o enviesamento do estimador.
3. Eficiência e erro quadrático médio: Entre estimadores não-enviesados,
preferimos o estimador com menor variância, isto é, o estimador mais
eficiente. A eficiência de um estimador não-enviesado é a variância da
sua distribuição amostral. O erro quadrático médio de um estimador
pontual pΘ é definido como sendo o valor esperado do quadrado da
distância entre pΘ e θ, isto é,
EQM
´
pΘ
¯
“ E
„´
pΘ ´ θ
¯2
j
.
O erro quadrático médio é igual à soma da variância com o quadrado
do enviesamento. Assim, o erro quadrático médio de um estimador é a
sua variância quando o estimador é não-enviesado:
EQM
´
pΘ
¯
“ V ar
”
pΘ
ı
`
”
b
´
pΘ
¯ı2
.
Podemos, então, generalizar o conceito de eficiência: a eficiência de um
estimador é o erro quadrático médio da sua distribuição amostral.
4. Suficiência: Se for possível condensar, numa simples estatística, toda
a informação amostral relevante para o parâmetro a estimar, essa es-
tatística diz-se um estimador suficiente para o parâmetro em análise.
A estatística pΘ diz-se suficiente (ou exaustiva) para θ, se retira da
amostra observada x1, x2, . . . , xn toda a informação desejada sobre θ.
Qualquer outra informação contida na amostra, além do valor da es-
tatística suficiente, não contém mais informações sobre θ. Isto implica
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que as inferências sobre θ, obtidas de amostras distintas que conduzam
ao mesmo valor pθ de pΘ, são as mesmas, ou seja, a distribuição con-
dicional da amostra aleatória X1, X2, . . . , Xn, dado o valor de pΘ, não
depende de θ.
1.2 Estimação por intervalos de confiança
Em vários problemas de inferência estatística está-se interessado em construir
uma família de conjuntos - colecções de pontos - que contenham o verdadeiro
valor do parâmetro desconhecido com uma probabilidade alta especificada.
Tais colecções são vulgarmente conhecidas por intervalos de confiança.
Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma amplitude
(ou um intervalo) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro
valor da população. Um intervalo de confiança está associado a um nível
de confiança que é uma medida da nossa certeza de que o intervalo con-
tém o parâmetro populacional. Pretende-se construir intervalos que conte-
nham o valor do parâmetro populacional desconhecido com uma certa pro-
babilidade. Um intervalo de confiança aleatório para o parâmetro θ é um
intervalo
ı
pΘ1; pΘ2
”
, onde pΘ1 e pΘ2 são duas estatísticas amostrais tais que
P
”
pΘ1 ă θ ă pΘ2
ı
“ 1 ´ α, com 0 ă α ă 1, onde 1 ´ α é o nível de confi-
ança e α o nível de significância. Para uma amostra em particular obtêm-se
estimativas para as estatísticas amostrais pθ1 e pθ2. Diferentes amostras produ-
zem estimativas de intervalo diferentes, obtendo-se o intervalo deterministaı
pθ1; pθ2
”
. O nível de confiança é a probabilidade 1´α (normalmente expressa
como valor percentual equivalente) de o intervalo de confiança aleatório con-
ter o verdadeiro valor do parâmetro populacional. O nível de confiança é
também chamado grau de confiança ou coeficiente de confiança.
O nível de significância α pα P s0, 1rq é a probabilidade do intervalo de
confiança aleatório não conter o verdadeiro valor do parâmetro θ. Quanto
mais pequena for a amplitude de um intervalo de confiança, maior é a precisão
desse intervalo. Idealmente, um intervalo de confiança deverá ter amplitude
pequena e nível de confiança elevado. Infelizmente, para um tamanho da
amostra fixo, o coeficiente de confiança só pode aumentar, se a amplitude do
intervalo também aumentar. Além disso, em geral, para valores do coefici-
ente de confiança elevados, a amplitude do intervalo de confiança aumenta
rapidamente.
São escolhas comuns para o nível de confiança: 90% (com α “ 0, 1), 95%
(com α “ 0, 05) e 99% (com α “ 0, 01). A mais comum é a opção 95%, por-
que proporciona bom equilíbrio entre a precisão (reflectida na amplitude do
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intervalo de confiança) e a confiabilidade (expressa pelo nível de confiança),
no entanto, pode ser utilizado outro nível de confiança.
Como vimos, a estimativa intervalar consiste em um intervalo e está asso-
ciada a um nível de confiança. O nível de confiança 1´α deve ser interpretado
como uma probabilidade, do intervalo de confiança aleatório conter o parâme-
tro θ, anterior à realização da amostragem e portanto, anterior à estimação
dos limites do intervalo. Este aspecto da probabilidade ser anterior à realiza-
ção da amostragem é fundamental. Na prática, não se sabe se um intervalo
determinista
ı
pθ1, pθ2
”
, obtido de uma amostra particular, contém ou não o
parâmetro θ, porque o valor de θ é desconhecido. Devemos ter em conta que
θ é um valor fixo e não uma variável aleatória; portanto, é errado dizer que
há 95% de hipóteses de θ estar no intervalo determinista. Qualquer intervalo
de confiança contém, ou não contém θ e como θ é fixo e desconhecido, não
existe a probabilidade de θ estar num intervalo.
Existe a probabilidade condicional, posterior à realização da amostragem,
P
”
pΘ1 ă θ ă pΘ2 | pΘ1 “ pθ1; pΘ2 “ pθ2
ı
“
"
0 , se o intervalo não contém θ
1 , se o intervalo contém θ
.
O nível de confiança não se refere ao evento condicional
pΘ1 ă θ ă pΘ2 | pΘ1 “ pθ1; pΘ2 “ pθ2,
o intervalo de confiança observado, que nada tem de aleatório, mas refere-se
ao intervalo pΘ1 ă θ ă pΘ2 e indica a probabilidade deste intervalo aleatório
conter o parâmetro θ. Ou seja, o nível de confiança indica a proporção de
vezes que os intervalos observados
ı
pθ1, pθ2
”
contêm o parâmetro θ. Interpre-
tamos este intervalo de confiança como se segue: Se seleccionássemos muitas
amostras diferentes de tamanho n da população e construíssemos um inter-
valo de 95% de confiança análogo para cada amostra, 95% desses intervalos
conteriam efectivamente o parâmetro populacional θ.
Para a construção de um intervalo de confiança deverá proceder-se da
seguinte forma:
1. identificar a população, a sua distribuição e o parâmetro a estimar;
2. estabelecer um nível de confiança e o tamanho da amostra;
3. escolher a variável fulcral, que é a estatística a escolher para estimar o
parâmetro. A variável fulcral contém o parâmetro a estimar na sua ex-
pressão e a sua distribuição não pode depender do parâmetro a estimar
nem de quaisquer outros valores que se desconheçam;
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4. identificar a distribuição amostral da variável fulcral;
5. construir o intervalo de confiança aleatório;
6. determinar os extremos do intervalo de confiança a partir dos valores
da amostra observada, obtendo o intervalo de confiança determinista.
Nota 1.1. Consultar o quadro resumo sobre intervalos de confiança para
uma e duas populações.
1.2.1 Intervalo de confiança para a média
• Se σ é conhecido, X é uma variável aleatória com distribuição normal
e n qualquer então
sI1´αrμ “
j
X ´
σ
?
n
Z1´ α
2
; X `
σ
?
n
Z1´ α
2
„
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0; 1q;
α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
• Se σ é conhecido, X é uma variável aleatória com distribuição arbitrária
e n ą 30 então
sI1´αrμ “
j
X ´
σ
?
n
Z1´ α
2
; X `
σ
?
n
Z1´ α
2
„
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0; 1q;
• Se σ é desconhecido, X é uma variável aleatória com distribuição arbi-
trária e n ą 30 então
sI1´αrμ “
j
X ´
S
?
n
Z1´ α
2
; X `
S
?
n
Z1´ α
2
„
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0; 1q;
Estimação
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• Se σ é desconhecido, X é uma variável aleatória com distribuição nor-
mal e n qualquer então
sI1´αrμ “
j
X ´
S
?
n
tn´1;1´ α
2
; X `
S
?
n
tn´1;1´ α
2
„
,
onde tn´1;1´ α
2
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição tn´1.
α/2 α/2
1−α
0
n−1;1− α/2−t n−1;1− α/2t
Quando utilizamos dados amostrais para estimar uma média populacional
μ, a margem de erro, denotada por E, é a diferença máxima provável (com
probabilidade 1´α) entre a média amostral observada X e a verdadeira média
populacional μ. A margem de erro E também é chamada erro máximo da
estimativa e pode ser obtida por:
σ
?
n
Z1´ α
2
ou
S
?
n
Z1´ α
2
ou
S
?
n
tn´1;1´ α
2
,
conforme o caso.
Assim, antes de efectuar a amostragem, pode estimar-se, com um nível
de confiança de 1 ´ α dado, o tamanho n da amostra que garante um erro
máximo de estimativa (precisão) que não ultrapasse um valor ε desejado.
Para isso, consoante o caso, resolvemos a inequação:
σ
?
n
Z1´ α
2
ď ε
ou
S
?
n
Z1´ α
2
ď ε,
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em ordem a n, obtendo-se, respectivamente:
n ě
ˆ
σZ1´ α
2
ε
˙2
ou
n ě
ˆ
SZ1´ α
2
ε
˙2
,
pelo que basta tomar para n o menor inteiro que satisfaz a desigualdade.
É imediato concluir que para diminuir o erro é necessário aumentar o
tamanho da amostra. Nos casos em que a variância populacional σ2
é desco-
nhecida, antes de se determinar a ordem de grandeza de n recorre-se a uma
amostra preliminar de tamanho n ą 30 para calcular S.
Exemplo 1.1. Um fabricante produz peças de peso especificado em 200 gra-
mas. Querendo estimar o verdadeiro peso médio num grande lote a fornecer
ao seu maior cliente, seleccionou 35 peças ao acaso, que depois de pesadas
forneceram os seguintes valores:
ř35
i“1 xi “ 7140 e
ř35
i“1 pxi ´ xq2
“ 560.
(a) Apresente uma estimativa para o peso médio das peças do lote;
Como X “
řn
i“1 Xi
n
obtém-se x “
ř35
i“1 xi
35
“ 7140
35
“ 204 gramas.
(b) Construa um intervalo de confiança a 95% para o peso médio das peças
do lote;
Seja X - “peso, em gramas, das peças do lote”. Pretendemos um inter-
valo de confiança para o verdadeiro peso médio das peças.
– Parâmetro a estimar: μ;
– Tipo de população: desconhecida;
– Dimensão da amostra: n “ 35;
– Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
– Variável fulcral: X´μ
S?
n
9„N p0; 1q;
– Outros dados: Como S “
c
řn
i“1pXi´Xq
2
n´1
obtém-se s “
bř35
i“1pxi´xq2
34
“
b
560
34
“ 4, 058;
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α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
com ´Z1´ α
2
“ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α
2
“ Z0,975 “ 1, 96.
Logo tem-se
P
„
´Z1´ α
2
ă X´μ
S?
n
ă Z1´ α
2
j
“ 1 ´ α ô
ô P
„
´1, 96 ă X´μ
S?
n
ă 1, 96
j
“ 0, 95 ô
ô P
”
´1, 96 ˆ S?
n
ă X ´ μ ă 1, 96 ˆ S?
n
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
X ´ 1, 96 ˆ S?
n
ă μ ă X ` 1, 96 ˆ S?
n
ı
“ 0, 95.
Obtendo-se, o intervalo aleatório:
sI0,95rμ “
j
X ´ 1, 96 ˆ
S
?
n
; X ` 1, 96 ˆ
S
?
n
„
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
μ “
j
204 ´ 1, 96 ˆ
4, 058
?
35
; 204 ` 1, 96 ˆ
4, 058
?
35
„
“
“ s202, 656; 205, 344r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o peso médio das
peças do lote se situe entre 202, 656 gramas e 205, 344 gramas.
(c) Qual deve ser a dimensão mínima da amostra para que a amplitude do
intervalo de confiança a 95% para o peso médio seja inferior a 1, 75?
Amplitude do intervalo “
´
X ` 1, 96 ˆ S?
n
¯
´
´
X ´ 1, 96 ˆ S?
n
¯
“ 2ˆ
1, 96 ˆ S?
n
. Pretende-se que Amplitude ă 1, 75 ô 2 ˆ 1, 96 ˆ 4,058?
n
ă
1, 75 ô n ą 80, 63. A dimensão mínima da amostra é de 81 peças.
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Exemplo 1.2. O tempo em horas de funcionamento sem falha de um com-
ponente electrónico tem distribuição aproximadamente normal. Para esti-
mar os parâmetros da referida distribuição foi recolhida uma amostra aleató-
ria de 15 componentes para os quais foram observados os tempos de fun-
cionamento. Obtiveram-se os seguintes resultados:
ř15
i“1 xi “ 147180 eř15
i“1 x2
i “ 1446552944.
(a) a) Indique estimativas pontuais do tempo médio de funcionamento sem
falha e do desvio padrão do tempo de funcionamento sem falha deste
tipo de componentes.
Como X “
řn
i“1 Xi
n
obtém-se x “
ř15
i“1 xi
15
“ 147180
15
“ 9812 horas.
Como S “
břn
i“1 X2
i ´nX
2
n´1
obtém-se s “
b
1446552944´15ˆ98122
14
“
?
173056 “
416 horas.
(b) b) Construa um intervalo de confiança a 95% para o tempo médio de
funcionamento sem falha de um componente electrónico.
Seja X - “tempo de funcionamento sem falha de um componente electró-
nico em horas”. Pretendemos um intervalo de confiança para o tempo
médio de funcionamento sem falha de um componente electrónico.
– Parâmetro a estimar: μ;
– Tipo de população: normal;
– Dimensão da amostra: n “ 15;
– Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
– Variável fulcral: X´μ
S?
n
„ tn´1;
– Outros dados: x “ 9812 e s “ 416;
α/2 α/2
1−α
0
n−1;1− α/2−t n−1;1− α/2t
com ´tn´1;1´ α
2
“ ´t14;0,975 “ ´2, 1448 e tn´1;1´ α
2
“ t14;0,975 “
2, 1448.
Estimação
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Logo tem-se
P
„
´tn´1;1´ α
2
ă X´μ
S?
n
ă tn´1;1´ α
2
j
“ 1 ´ α ô
ô P
„
´2, 1448 ă X´μ
S?
n
ă 2, 1448
j
“ 0, 95 ô
ô P
”
´2, 1448 ˆ S?
n
ă X ´ μ ă 2, 1448 ˆ S?
n
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
X ´ 2, 1448 ˆ S?
n
ă μ ă X ` 2, 1448 ˆ S?
n
ı
“ 0, 95.
Obtendo-se, o intervalo aleatório:
sI0,95rμ “
j
X ´ 2, 1448 ˆ
S
?
n
; X ` 2, 1448 ˆ
S
?
n
„
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
μ “
j
9812 ´ 2, 1448 ˆ
416
?
15
; 9812 ` 2, 1448 ˆ
416
?
15
„
“
“ s9581, 625; 10042, 375r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o tempo médio de
funcionamento sem falha de um componente electrónico se situe entre
9581, 625 horas e 10042, 375 horas.
1.2.2 Intervalo de confiança para a proporção
Se n ą 30 (amostras grandes) então
sI1´αrp “
ff
pp ´ Z1´ α
2
c
pp p1 ´ ppq
n
; pp ` Z1´ α
2
c
pp p1 ´ ppq
n
«
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição N p0; 1q.
Erro máximo da estimativa:
E “ Z1´ α
2
c
pp p1 ´ ppq
n
.
Tamanho da amostra:
n ě pp p1 ´ ppq
ˆ
Z1´ α
2
ε
˙2
,
onde ε é o valor do erro pretendido.
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Exemplo 1.3. O dono de uma ervanária produz um chá, relativamente ao
qual, afirma ser eficaz em pelo menos 85% dos casos para curar dores de
cabeça. Num inquérito feito a 250 pessoas, 198 concordaram que o chá cura
de facto as dores de cabeça. Construa um intervalo de confiança com um
nível de 95% para a percentagem de potenciais consumidores que concordam
com o dono da ervanária.
Seja X - “número de consumidores que concorda com o dono da ervaná-
ria”. Pretendemos um intervalo de confiança para a percentagem de potenci-
ais consumidores que concordam com o dono da ervanária.
• Parâmetro a estimar: p;
• Tipo de população: Bernoulli;
• Dimensão da amostra: n “ 250;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral: pp´pb
ppp1´ppq
n
9„N p0; 1q;
• Outros dados: pp “ 198
250
“ 0, 792;
α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
com ´Z1´ α
2
“ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α
2
“ Z0,975 “ 1, 96.
Logo tem-se
P
„
´Z1´ α
2
ă pp´pb
ppp1´ppq
n
ă Z1´ α
2
j
“ 1 ´ α
P
„
´1, 96 ă pp´pb
ppp1´ppq
n
ă 1, 96
j
“ 0, 95 ô
ô P
„
´1, 96 ˆ
b
ppp1´ppq
n
ă pp ´ p ă 1, 96 ˆ
b
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n
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“ 0, 95 ô
ô P
„
pp ´ 1, 96 ˆ
b
ppp1´ppq
n
ă p ă pp ` 1, 96 ˆ
b
ppp1´ppq
n
j
“ 0, 95.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
11/23
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,95rp “
ff
pp ´ 1, 96 ˆ
c
pp p1 ´ ppq
n
; pp ` 1, 96 ˆ
c
pp p1 ´ ppq
n
«
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
p “
ff
0, 792 ´ 1, 96 ˆ
c
0, 792 ˆ 0, 208
250
;
0, 792 ` 1, 96 ˆ
c
0, 792 ˆ 0, 208
250
«
“
“ s0, 7417; 0, 8423r.
Estima-se que a percentagem de potenciais consumidores que concordam com
o dono da ervanária se situe entre 74, 17% e 84, 23%, a um nível de confiança
de 95%.
1.2.3 Intervalo de confiança para a variância duma população nor-
mal
sI1´αrσ2 “
ff
pn ´ 1q S2
χ2
n´1;1´ α
2
;
pn ´ 1q S2
χ2
n´1; α
2
«
,
onde χ2
n´1;1´ α
2
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição χ2
n´1 e χ2
n´1; α
2
é o
percentil 100 ˆ α
2
da distribuição χ2
n´1.
Este resultado não deve ser usado no caso de populações claramente não
normais.
α/2
1−α
n−1;1− α/2χ
α/2
2
n−1;α/2χ2
Se pretendermos obter o intervalo de confiança para o desvio padrão faz-se
sI1´αrσ “
ffd
pn ´ 1q S2
χ2
n´1;1´ α
2
;
d
pn ´ 1q S2
χ2
n´1; α
2
«
.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
12/23
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
Exemplo 1.4. Um laboratório pretende avaliar a variabilidade associada ao
resultado de um determinado método de análise química. Com esse objectivo,
efectuaram-se 17 análises a uma determinada substância em que se seguiu
o referido método, em condições perfeitamente estabilizadas. A variância
amostral dos resultados, expressos numa determinada unidade, foi de 2, 70.
Admitindo que o resultado das análises segue uma distribuição normal, cons-
trua um intervalo de confiança a 95% para o desvio padrão dos resultados do
método de análise química.
Seja X - “resultado de um determinado método de análise química”. Pre-
tendemos um intervalo de confiança para o verdadeiro desvio padrão dos
resultados do método de análise química. Vamos começar por construir o
intervalo de confiança para a variância.
• Parâmetro a estimar: σ2
;
• Tipo de população: normal;
• Dimensão da amostra: n “ 17;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral: pn´1qS2
σ2 „ χ2
n´1;
• Outros dados: s2
“ 2, 70;
α/2
1−α
n−1;1− α/2χ
α/2
2
n−1;α/2χ2
com χ2
n´1; α
2
“ χ2
16;0,025 “ 6, 9077 e χ2
n´1;1´ α
2
“ χ2
16;0,975 “ 28, 8454.
Logo tem-se
P
”
χ2
n´1; α
2
ă pn´1qS2
σ2 ă χ2
n´1;1´ α
2
ı
“ 1 ´ α ô
ô P
”
6, 9077 ă pn´1qS2
σ2 ă 28, 8454
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
6,9077
pn´1qS2 ă 1
σ2 ă 28,8454
pn´1qS2
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
pn´1qS2
28,8454
ă σ2
ă pn´1qS2
6,9077
ı
“ 0, 95.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
13/23
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
Obtendo-se, o intervalo aleatório:
sI0,95rσ2 “
j
pn ´ 1q S2
28, 8454
;
pn ´ 1q S2
6, 9077
„
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
σ2 “
j
16 ˆ 2, 70
28, 8454
;
16 ˆ 2, 70
6, 9077
„
“
“ s1, 4976; 6, 2539r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que variância dos resultados
do método de análise química se situe entre 1, 2238 e 2, 5008.
O intervalo de confiança para o desvio padrão será:
sI0,95r˚
σ “ s1, 4976; 6, 2539r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que o desvio padrão dos re-
sultados do método de análise química se situe entre 1, 2238 e 2, 5008.
1.2.4 Intervalo de confiança para a diferença de valores médios
com duas amostras independentes
• Se σ1 e σ2 são conhecidos, X1 e X2 seguem uma distribuição normal e
n1 e n2 quaisquer então
sI1´αrμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´
d
σ2
1
n1
`
σ2
2
n2
Z1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
`
d
σ2
1
n1
`
σ2
2
n2
Z1´ α
2
»
– ,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0, 1q;
• Se σ1 e σ2 são conhecidos, X1 e X2 seguem uma distribuição arbitrária
e n1 ą 30 e n2 ą 30 então
sI1´αrμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´
d
σ2
1
n1
`
σ2
2
n2
Z1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
`
d
σ2
1
n1
`
σ2
2
n2
Z1´ α
2
»
– ,
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
14/23
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0, 1q;
• se σ1 e σ2 são desconhecidos, X1 e X2 seguem uma distribuição arbi-
trária e n1 ą 30 e n2 ą 30 então
sI1´αrμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´
d
S1
2
n1
`
S2
2
n2
Z1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
`
d
S1
2
n1
`
S2
2
n2
Z1´ α
2
»
– ,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição
N p0, 1q;
• Se σ1 e σ2 são desconhecidos, as populações são homocedásticas pσ2
1 “ σ2
2q,
X1 e X2 seguem uma distribuição normal e n1 e n2 quaisquer então
sI1´αrμ1´μ2
“
‰`
X1 ´ X2
˘
´ A ˆ tn1`n2´2;1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
` A ˆ tn1`n2´2;1´ α
2
“
,
onde
A “
d
pn1 ´ 1q S1
2
` pn2 ´ 1q S2
2
n1 ` n2 ´ 2
ˆ
1
n1
`
1
n2
˙
e tn1`n2´2;1´ α
2
é o percentil 100 ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição tn1`n2´2;
• Se σ1 e σ2 são desconhecidos, as populações são heterocedásticas pσ2
1 ‰ σ2
2q,
X1 e X2 seguem uma distribuição normal e n1 e n2 quaisquer então
sI1´αrμ1´μ2
“
fi
fl
`
X1 ´ X2
˘
´
d
S1
1
2
n1
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2
n2
tr;1´ α
2
;
`
X1 ´ X2
˘
`
d
S1
2
n1
`
S2
2
n2
tr;1´ α
2
»
– ,
onde r é o número natural mais próximo de r˚
e este é dado por
r˚
“
´
S1
2
n1
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2
n2
¯2
1
n1´1
´
S1
2
n1
¯2
` 1
n2´1
´
S2
2
n2
¯2 .
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
15/23
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
Exemplo 1.5. Um campo experimental foi utilizado para testar o cresci-
mento de duas espécies florestais, A e B. Analisaram-se 200 árvores da
espécie A com 2 anos de idade, obtendo-se uma altura média de 145cm e um
desvio padrão de 15cm. Uma amostra de 150 árvores da espécie B, com a
mesma idade, conduziu a uma altura média de 141cm e um desvio padrão de
12cm. Pretende-se determinar o intervalo de confiança a 95% para a dife-
rença entre os valores esperados das alturas das duas espécies ao fim de dois
anos.
Sejam X1 - “altura, em cm, das árvores da espécie A” e X2 - “altura, em
cm, das árvores da espécie B”. Pretendemos um intervalo de confiança para
a diferença entre os valores esperados das alturas das duas espécies ao fim
de dois anos.
• Parâmetro a estimar: μ1 ´ μ2;
• Tipos de população: Quaisquer;
• Dimensão das amostras: n1 “ 200 e n2 “ 150;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral:
pX1´X2q´pμ1´μ2q
c
S2
1
n1
`
S2
2
n2
9„N p0; 1q;
• Outros dados: x1 “ 145, x2 “ 141, s1 “ 15 e s2 “ 12;
α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
com ´Z1´ α
2
“ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α
2
“ Z0,975 “ 1, 96.
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2
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c
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fl “ 0, 95 ô
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
ô P
„
´1, 96 ˆ
b
S2
1
n1
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S2
2
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X1 ´ X2
˘
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ˆ
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“ 0, 95 ô
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X1 ´ X2
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“ 0, 95.
Obtendo-se o intervalo aleatório:
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“
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X1 ´ X2
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´ 1, 96 ˆ
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–
e o intervalo determinista:
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μ1´μ2
“
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c
152
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`
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p145 ´ 141q ` 1, 96 ˆ
c
152
200
`
122
150
«
“
“ s1, 1698; 6, 8302r.
Estima-se que a diferença entre os valores esperados das alturas das duas
espécies ao fim de dois anos se situe entre 1, 1698cm e 6, 8302cm, a um nível
de confiança de 95%.
Exemplo 1.6. Um determinado método de análise permite determinar o
conteúdo de enxofre no petróleo bruto. Os ensaios efectuados em 10 e 8
amostras de 1kg de petróleo bruto, provenientes de furos pertencentes respec-
tivamente aos campos A e B, revelaram os seguintes resultados (em gramas):
• Campo A: 105, 111, 114, 112, 106, 110, 109, 107, 112, 110.
• Campo B: 101, 106, 104, 105, 103, 110, 108, 109.
Considere que o conteúdo de enxofre por quilograma de petróleo bruto, medido
em gramas para os dois campos, se pode considerar normal com variâncias
iguais e que as amostras obtidas são independentes. Determine um intervalo,
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
17/23
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com 95% de confiança, para a diferença entre os valores médios da quantidade
de enxofre por quilograma de petróleo proveniente de cada campo.
Sejam X1 - “conteúdo de enxofre no petróleo bruto no campo A, em gra-
mas” e X2 - “conteúdo de enxofre no petróleo bruto no campo B, em gramas”.
Pretendemos um intervalo de confiança para a diferença entre os valores mé-
dios da quantidade de enxofre por quilograma de petróleo proveniente de cada
campo.
• Parâmetro a estimar: μ1 ´ μ2;
• Tipos de população: Normais;
• Dimensão das amostras: n1 “ 10 e n2 “ 8;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral:
pX1´X2q´pμ1´μ2q
c
pn1´1qS2
1
`pn2´1qS2
2
n1`n2´2
´
1
n1
` 1
n2
¯ „ tn1`n2´2;
• Outros dados: x1 “ 109, 6, x2 “ 105, 75, s2
1 “ 8, 267 e s2
2 “ 9, 643;
α/2 α/2
1−α
0
n +n −2;1− α/2−t 1 2
n +n −2;1− α/2t 1 2
com ´tn1`n2´2;1´ α
2
“ ´t16;0,975 “ ´2, 1199 e tn1`n2´2;1´ α
2
“ t16;0,975 “
2, 1199.
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2
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c
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1
`pn2´1qS2
2
n1`n2´2
´
1
n1
` 1
n2
¯ ă 2, 1199
fi
fl “ 0, 95
Para aligeirar esta expressão podemos considerar
A “
d
pn1 ´ 1q S2
1 ` pn2 ´ 1q S2
2
n1 ` n2 ´ 2
ˆ
1
n1
`
1
n2
˙
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
18/23
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tendo-se
P
“
´2, 1199 ˆ A ă
`
X1 ´ X2
˘
´ pμ1 ´ μ2q ă 2, 1199 ˆ A
‰
“ 0, 95 ô
ô P
“`
X1 ´ X2
˘
´ 2, 1199 ˆ A ă μ1 ´ μ2 ă
`
X1 ´ X2
˘
`
`2, 1199 ˆ As “ 0, 95.
Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,95rμ1´μ2
“
‰`
X1 ´ X2
˘
´ 2, 1199 ˆ A;
`
X1 ´ X2
˘
` 2, 1199 ˆ A
“
.
Para obter o intervalo determinista teremos que calcular
A “
d
9 ˆ 8, 267 ` 7 ˆ 9, 643
16
ˆ
1
10
`
1
8
˙
“ 1, 413
e tem-se:
sI0,95r˚
μ1´μ2
“ sp109, 6 ´ 105, 75q ´ 2, 1199 ˆ 1, 413; p109, 6 ´ 105, 75q `
`2, 1199 ˆ 1, 413r “
“ s0, 855; 6, 845r.
Estima-se, com um nível de confiança de 95%, que a diferença entre os valo-
res médios da quantidade de enxofre por quilograma de petróleo proveniente
de cada campo se situe entre 0, 855 gramas e 6, 845 gramas.
1.2.5 Intervalo de confiança para a diferença de proporções com
duas amostras independentes
Se n1 ą 30 e n2 ą 30 (amostras grandes) então
sI1´αrp1´p2
“
ff
ppp1 ´ pp2q ´
d
pp1 p1 ´ pp1q
n1
`
pp2 p1 ´ pp2q
n2
Z1´ α
2
;
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d
pp1 p1 ´ pp1q
n1
`
pp2 p1 ´ pp2q
n2
Z1´ α
2
«
,
onde Z1´ α
2
“ Φ´1
`
1 ´ α
2
˘
é o percentil 100ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribuição N p0, 1q.
Estimação
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Resumos sobre Probabilidades e Estatística
Exemplo 1.7. Uma grande cadeia de venda a retalho pretende comparar os
hábitos de compra de homens e mulheres. Uma das variáveis em estudo con-
siste na proporção de vezes que uma compra é concretizada após a entrada
numa loja. Em 45 observações seleccionadas aleatoriamente, os homens re-
alizaram compras 27 vezes. No caso das mulheres, em 74 observações a
compra concretizou-se 32 vezes. Com base nestes dados, construa o intervalo
de confiança a 95% para a diferença entre as proporções de concretização de
compras entre homens e mulheres.
Sejam X1 - “número de vezes que a compra é concretizada pelos homens”
e X2 - “número de vezes que a compra é concretizada pelas mulheres”. Pre-
tendemos um intervalo de confiança para a diferença entre as proporções de
concretização de compras entre homens e mulheres.
• Parâmetro a estimar: p1 ´ p2;
• Tipos de população: Bernoulli;
• Dimensão das amostras: n1 “ 45 e n2 “ 74;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 95;
• Variável fulcral: ppp1´pp2q´pp1´p2qc
pp1p1´pp1q
n1
`
pp2p1´pp2q
n2
9„N p0; 1q;
• Outros dados: pp1 “ 27
45
“ 0, 6, pp2 “ 32
74
“ 0, 43, s1 “ 15 e s2 “ 12;
α/2 α/2
1−α
0
1− α/2−Z 1− α/2Z
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2
“ ´Z0,975 “ ´1, 96 e Z1´ α
2
“ Z0,975 “ 1, 96.
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`
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n2
ă 1, 96
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fl “ 0, 95 ô
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
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Área Departamental de Matemática
Resumos sobre Probabilidades e Estatística
ô P
”
´1, 96 ˆ
b
pp1p1´pp1q
n1
` pp2p1´pp2q
n2
ă ppp1 ´ pp2q ´ pp1 ´ p2q ă 1, 96ˆ
ˆ
b
pp1p1´pp1q
n1
` pp2p1´pp2q
n2
ı
“ 0, 95 ô
ô P
”
ppp1 ´ pp2q ´ 1, 96 ˆ
b
pp1p1´pp1q
n1
` pp2p1´pp2q
n2
ă p1 ´ p2 ă ppp1 ´ pp2q `
`1, 96 ˆ
b
pp1p1´pp1q
n1
` pp2p1´pp2q
n2
ı
“ 0, 95.
Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,95rp1´p2
“
ff
ppp1 ´ pp2q ´ 1, 96 ˆ
d
pp1 p1 ´ pp1q
n1
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pp2 p1 ´ pp2q
n2
; ppp1 ´ pp2q `
`1, 96 ˆ
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pp1 p1 ´ pp1q
n1
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pp2 p1 ´ pp2q
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«
e o intervalo determinista:
sI0,95r˚
p1´p2
“
ff
p0, 6 ´ 0, 43q ´ 1, 96 ˆ
c
0, 6 ˆ 0, 4
45
`
0, 43 ˆ 0, 57
74
;
p0, 6 ´ 0, 43q ` 1, 96 ˆ
c
0, 6 ˆ 0, 4
45
`
0, 43 ˆ 0, 57
74
«
“
“ s´0, 0118; 0, 3518r.
Estima-se que a diferença entre as proporções de concretização de compras
entre homens e mulheres se situe entre ´0, 0118 e 0, 3518, a um nível de
confiança de 95%.
1.2.6 Intervalo de confiança para o quociente de duas variâncias
de populações normais
Sejam X1, X2, . . . , Xn e Y1, Y2, . . . , Yn duas amostras aleatórias independentes
de dimensão n1 e n2, respectivamente, onde X „ N pμ1; σ1q e Y „ N pμ2; σ2q.
Então
sI1´αrσ2
1
σ2
2
“
ff
S1
2
S2
2 ˆ
1
F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; 1 ´ α
2
˘;
S1
2
S2
2 ˆ
1
F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; α
2
˘
«
,
onde F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; 1 ´ α
2
˘
designa o percentil 100ˆ
`
1 ´ α
2
˘
da distribui-
ção F pn1 ´ 1; n2 ´ 1q e F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; α
2
˘
designa o percentil 100 ˆ α
2
da
distribuição F pn1 ´ 1; n2 ´ 1q.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
21/23
Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Área Departamental de Matemática
Resumos sobre Probabilidades e Estatística
α/2
1−α
α/2
F (n −1;n −1;α/2)1 2 F (n −1;n −1;1−α/2)1 2
Exemplo 1.8. Pretende-se comparar o desempenho de duas máquinas, A
e B, no que diz respeito à precisão de fabrico de uma peça. A partir de
13 peças produzidas na máquina A e de 16 peças produzidas na máquina
B, obtiveram-se os seguintes resultados para a variância amostral de uma
determinada dimensão cotada no desenho: s2
1 “ 6, 32mm2
para a máquina
A e s2
2 “ 4, 8mm2
para a máquina B. Admitindo que para as duas máquinas
a distribuição da referida dimensão é normal, determine um intervalo de
confiança a 90% para a razão entre as variâncias σ2
1 e σ2
1.
Sejam X1 - “dimensão cotada no desenho de uma peça produzida na má-
quina A em mm” e X2 - “dimensão cotada no desenho de uma peça produ-
zida na máquina B em mm”. Pretendemos um intervalo de confiança para o
quociente entre as variâncias das dimensões cotadas no desenho para peças
produzidas nas duas máquinas.
• Parâmetro a estimar:
σ2
1
σ2
2
;
• Tipos de população: Normais;
• Dimensão das amostras: n1 “ 13 e n2 “ 16;
• Nível de confiança: 1 ´ α “ 0, 90;
• Variável fulcral:
S2
1
S2
2
ˆ
σ2
2
σ2
1
„ F pn1 ´ 1; n2 ´ 1q;
• Outros dados: s2
1 “ 6, 32, s2
2 “ 4, 8;
α/2
1− α
α/2
F (n −1;n −1;α/2)1 2 F (n −1;n −1;1−α/2)1 2
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
22/23
12. Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
Área Departamental de Matemática
Resumos sobre Probabilidades e Estatística
com F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; α
2
˘
“ F p12; 15; 0, 05q “ 1
F p15;12;0,95q
“ 1
2,6169
“
0, 3821 e F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; 1 ´ α
2
˘
“ F p12; 15; 0, 95q “ 2, 4753.
Logo tem-se
P
”
F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; α
2
˘
ă
S2
1
S2
2
ˆ
σ2
2
σ2
1
ă F
`
n1 ´ 1; n2 ´ 1; 1 ´ α
2
˘ı
“ 1 ´ α
P
”
0, 3821 ă
S2
1
S2
2
ˆ
σ2
2
σ2
1
ă 2, 4753
ı
“ 0, 9 ô
ô P
”
0, 3821 ˆ
S2
2
S2
1
ă
σ2
2
σ2
1
ă 2, 4753 ˆ
S2
2
S2
1
ı
“ 0, 9 ô
ô P
”
1
2,4753
ˆ
S2
1
S2
2
ă
σ2
1
σ2
2
ă 1
0,3817
ˆ
S2
1
S2
2
ı
“ 0, 9.
Obtendo-se o intervalo aleatório:
sI0,9rσ2
1
σ2
2
“
j
1
2, 4753
ˆ
S2
1
S2
2
;
1
0, 3817
ˆ
S2
1
S2
2
„
e o intervalo determinista:
sI0,9r˚
σ2
1
σ2
2
“
j
1
2, 4753
ˆ
6, 32
4, 8
;
1
0, 3817
ˆ
6, 32
4, 8
„
“
“ s0, 5319; 3, 4495r.
Estima-se que o quociente entre as variâncias das dimensões cotadas no de-
senho para peças produzidas nas duas máquinas se situe entre 0, 5319mm e
3, 4495mm, a um nível de confiança de 90%.
Estimação
C. Fernandes & P. Ramos
23/23