[1] O documento discute o conceito de integral definida e apresenta suas propriedades fundamentais. [2] Uma integral definida representa a área sob a curva de uma função contínua entre dois limites e pode ser aproximada por somas de retângulos. [3] O valor exato da integral é obtido fazendo a partição tender a zero e somando as áreas dos retângulos.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
Este documento apresenta um resumo do conteúdo de Matemática Aplicada à Economia ministrado pelo professor Francisco Leal Moreira. O documento aborda tópicos como funções de duas variáveis como domínio, imagem e curvas de nível; derivadas parciais de primeira e segunda ordem; máximos e mínimos de funções; integral indefinida e definida; e sua aplicação em conceitos econômicos como custo, produção, utilidade e demanda.
Funções de duas variáveis reais e curvas de nívelFran Cristina
O documento discute funções de duas variáveis reais, definindo-as como funções que associam um único número real a cada par de números reais no seu domínio. Explica o gráfico de tais funções como uma superfície no espaço tridimensional e introduz o conceito de curvas de nível como conjuntos de pontos no domínio que mapeiam para um valor constante da função.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
O documento apresenta um índice com os principais tópicos sobre funções reais de várias variáveis reais, incluindo funções de duas e três variáveis, domínio de uma função de duas variáveis, curvas de nível, derivadas parciais, função definida na forma implícita, diferencial e outros conceitos.
O documento discute derivadas direcionais, que fornecem a taxa de variação de uma função de várias variáveis em qualquer direção. A derivada direcional é definida como o limite da taxa de variação da função ao longo de uma reta na direção de um vetor unitário. Ela pode ser calculada como a combinação linear das derivadas parciais com os componentes do vetor unitário. Exemplos ilustram o cálculo da derivada direcional em diferentes situações.
Este documento discute funções de múltiplas variáveis, definindo-as como funções que envolvem duas ou mais variáveis independentes, como áreas de retângulos. Ele fornece exemplos de como calcular perímetros e diagonais de retângulos usando funções de duas variáveis. Também explica derivadas parciais como a derivada de uma função de várias variáveis com respeito a uma variável específica, mantendo as outras constantes.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
Este documento apresenta um resumo do conteúdo de Matemática Aplicada à Economia ministrado pelo professor Francisco Leal Moreira. O documento aborda tópicos como funções de duas variáveis como domínio, imagem e curvas de nível; derivadas parciais de primeira e segunda ordem; máximos e mínimos de funções; integral indefinida e definida; e sua aplicação em conceitos econômicos como custo, produção, utilidade e demanda.
Funções de duas variáveis reais e curvas de nívelFran Cristina
O documento discute funções de duas variáveis reais, definindo-as como funções que associam um único número real a cada par de números reais no seu domínio. Explica o gráfico de tais funções como uma superfície no espaço tridimensional e introduz o conceito de curvas de nível como conjuntos de pontos no domínio que mapeiam para um valor constante da função.
Função de duas variáveis, domínios e imagemIsadora Toledo
O documento define funções de duas variáveis reais e fornece exemplos para ilustrar conceitos como domínio, imagem e curvas de nível. O primeiro exemplo calcula o valor de uma função para um ponto específico e determina seu domínio e imagem. O segundo exemplo representa graficamente uma função através de curvas de nível e traça três curvas de nível específicas.
O documento apresenta um índice com os principais tópicos sobre funções reais de várias variáveis reais, incluindo funções de duas e três variáveis, domínio de uma função de duas variáveis, curvas de nível, derivadas parciais, função definida na forma implícita, diferencial e outros conceitos.
O documento discute derivadas direcionais, que fornecem a taxa de variação de uma função de várias variáveis em qualquer direção. A derivada direcional é definida como o limite da taxa de variação da função ao longo de uma reta na direção de um vetor unitário. Ela pode ser calculada como a combinação linear das derivadas parciais com os componentes do vetor unitário. Exemplos ilustram o cálculo da derivada direcional em diferentes situações.
Este documento discute funções de múltiplas variáveis, definindo-as como funções que envolvem duas ou mais variáveis independentes, como áreas de retângulos. Ele fornece exemplos de como calcular perímetros e diagonais de retângulos usando funções de duas variáveis. Também explica derivadas parciais como a derivada de uma função de várias variáveis com respeito a uma variável específica, mantendo as outras constantes.
Este documento apresenta os principais tópicos de Matemática I divididos em duas partes. A primeira parte contém os seguintes tópicos: Função Exponencial, Logaritmo, Polinômios, Análise Combinatória, Binômio de Newton, Matriz, Determinante e Sistemas Lineares. A segunda parte aborda Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e Geometria Espacial, especificamente Prisma, Pirâmide, Cilindro, Cone e Esfera.
1) O documento descreve funções de duas variáveis, definindo-as como funções cujo domínio é um subconjunto de R2 e cujo contradomínio é R. Apresenta exemplos de funções lineares, polinomiais e racionais.
2) Em seguida, discute como representar graficamente o domínio de funções de duas variáveis, apresentando exemplos com diferentes tipos de domínios como R2, R2-{(0,0)} e conjuntos definidos por desigualdades.
3) Por fim, aborda a construção de
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
O documento explica o que são curvas de nível e como elas representam gráficamente funções de duas variáveis. As curvas de nível são conjuntos de pontos no plano xOy com a mesma imagem z. O documento fornece exemplos de curvas de nível para funções como z=x2+y2 e discute como elas podem representar quantidades físicas como temperatura, pressão e potencial.
O documento discute campos vetoriais e integrais de linha. Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto de uma região. Campos vetoriais podem ser representados por suas componentes escalares ou por um campo escalar através do operador gradiente. Integrais de linha calculam o valor de uma função ao longo de uma curva no plano ou espaço.
Este documento apresenta quatro exercícios resolvidos sobre cálculo de integral de linha de campos vectoriais. O primeiro exercício calcula a integral de linha de um campo ao longo de uma curva paramétrica. O segundo utiliza o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência. O terceiro encontra um potencial para o campo e calcula o trabalho ao longo de uma espiral. O quarto decompõe o campo em duas partes e aplica o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma fronteira de
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
O documento explica o conceito de composição de funções, definindo-a como g(f(x)) e discutindo seu domínio. Ele fornece exemplos detalhados de como calcular o domínio da composição de diferentes funções, ilustrando com diagramas conceituais.
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃOCarlos Campani
O documento define o conceito de função matemática, explicando que uma função é uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do domínio corresponde a exatamente um elemento do contradomínio. Ele também descreve como representar funções através de diagramas, tabelas e notação funcional.
O documento descreve as funções trigonométricas na forma geral f(x) = a + b.trig(cx + d), onde trig pode ser seno, cosseno ou tangente. Explica que os parâmetros a, b, c e d alteram aspectos como valor e período da função. Fornece exemplos de como esses parâmetros afetam o gráfico e como calcular o período. Por fim, apresenta um exercício resolvido.
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
O documento apresenta exercícios sobre curvas paramétricas, integral de linha e o teorema de Green no plano. Nos exercícios 4.1A-E são pedidos para esboçar gráficos de curvas paramétricas e verificar se são regulares. O exercício 4.1F calcula o comprimento de uma hélice. Os exercícios 4.2A-N calculam diferentes integrais de linha usando parametrizações de curvas ou o teorema de Green.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...Bowman Guimaraes
1) O documento apresenta a resolução de cinco exercícios que envolvem o cálculo de integrais de linha de campos vetoriais ao longo de diferentes curvas no espaço.
2) No primeiro exercício, calcula-se o integral de linha de um campo vetorial definido em R3 ao longo de uma espiral.
3) Nos exercícios seguintes calculam-se integrais de linha de campos vetoriais definidos em R2 ao longo de curvas como circunferências e elipses, utilizando técnicas como o Teorema de
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
1) O documento apresenta exercícios sobre cálculo diferencial e integral, incluindo aproximações lineares, derivadas de ordem superior, máximos e mínimos.
2) É solicitado calcular derivadas, integrar funções, aproximar valores e esboçar gráficos de funções.
3) As respostas fornecem os cálculos das derivadas, aproximações dos valores solicitados e esboços dos gráficos conforme pedido nos exercícios.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
O documento discute Cálculo Numérico, que busca encontrar soluções aproximadas de problemas por meio de métodos de cálculo. Explica que é necessário definir a precisão ou erro tolerado para cada problema. Apresenta exemplos de como encontrar taxas implícitas em condições de venda e discute métodos numéricos como forma de resolver equações para as quais não há métodos algébricos.
O documento descreve técnicas de substituição trigonométrica para calcular integrais envolvendo funções trigonométricas e radiciais. Apresenta exemplos de como substituir x por funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente para calcular integrais definidas. Também discute como decompor frações racionais em frações parciais para calcular suas integrais.
O documento descreve técnicas de integração envolvendo completar quadrados e funções trigonométricas. A seção 18.1 explica como completar quadrados permite reduzir integrais a formas que podem ser resolvidas usando uma tabela de integrais. A seção 18.2 trata de integrais envolvendo funções sen e cos, mostrando como reduzi-las a integrais de polinômios.
1) O documento descreve funções de duas variáveis, definindo-as como funções cujo domínio é um subconjunto de R2 e cujo contradomínio é R. Apresenta exemplos de funções lineares, polinomiais e racionais.
2) Em seguida, discute como representar graficamente o domínio de funções de duas variáveis, apresentando exemplos com diferentes tipos de domínios como R2, R2-{(0,0)} e conjuntos definidos por desigualdades.
3) Por fim, aborda a construção de
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
O documento explica o que são curvas de nível e como elas representam gráficamente funções de duas variáveis. As curvas de nível são conjuntos de pontos no plano xOy com a mesma imagem z. O documento fornece exemplos de curvas de nível para funções como z=x2+y2 e discute como elas podem representar quantidades físicas como temperatura, pressão e potencial.
O documento discute campos vetoriais e integrais de linha. Um campo vetorial é uma função que associa um vetor a cada ponto de uma região. Campos vetoriais podem ser representados por suas componentes escalares ou por um campo escalar através do operador gradiente. Integrais de linha calculam o valor de uma função ao longo de uma curva no plano ou espaço.
Este documento apresenta quatro exercícios resolvidos sobre cálculo de integral de linha de campos vectoriais. O primeiro exercício calcula a integral de linha de um campo ao longo de uma curva paramétrica. O segundo utiliza o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma circunferência. O terceiro encontra um potencial para o campo e calcula o trabalho ao longo de uma espiral. O quarto decompõe o campo em duas partes e aplica o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo de uma fronteira de
O documento discute aplicações de derivadas em cálculo diferencial e integral, incluindo máximos e mínimos de funções, pontos críticos e classificação de pontos críticos. Exemplos de problemas de maximização e minimização são apresentados e discutidos os conceitos de velocidade e aceleração como derivadas de posição no tempo e velocidade no tempo, respectivamente.
O documento discute conceitos iniciais sobre derivadas, incluindo: (1) Galileu descreveu a relação entre espaço e tempo na queda dos corpos, mas faltava o cálculo diferencial; (2) Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial para medir a taxa de mudança de fenômenos físicos; (3) Isso permitiu explicar o mundo com matemática e desencadeou avanços científicos e tecnológicos.
O documento explica o conceito de composição de funções, definindo-a como g(f(x)) e discutindo seu domínio. Ele fornece exemplos detalhados de como calcular o domínio da composição de diferentes funções, ilustrando com diagramas conceituais.
FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃOCarlos Campani
O documento define o conceito de função matemática, explicando que uma função é uma relação entre dois conjuntos onde cada elemento do domínio corresponde a exatamente um elemento do contradomínio. Ele também descreve como representar funções através de diagramas, tabelas e notação funcional.
O documento descreve as funções trigonométricas na forma geral f(x) = a + b.trig(cx + d), onde trig pode ser seno, cosseno ou tangente. Explica que os parâmetros a, b, c e d alteram aspectos como valor e período da função. Fornece exemplos de como esses parâmetros afetam o gráfico e como calcular o período. Por fim, apresenta um exercício resolvido.
Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.
O documento apresenta exercícios sobre curvas paramétricas, integral de linha e o teorema de Green no plano. Nos exercícios 4.1A-E são pedidos para esboçar gráficos de curvas paramétricas e verificar se são regulares. O exercício 4.1F calcula o comprimento de uma hélice. Os exercícios 4.2A-N calculam diferentes integrais de linha usando parametrizações de curvas ou o teorema de Green.
Este documento discute o tópico da derivação em matemática. Explica o conceito de derivada como sendo a inclinação de uma curva e apresenta exemplos de como calcular derivadas de funções como polinomiais, irracionais, funções do produto e quociente. Também apresenta aplicações da derivação em economia, como o cálculo de custos marginais e médios de uma empresa.
[1] O documento apresenta exercícios sobre derivadas de funções, incluindo cálculo de derivadas usando a definição, regras de derivação, regra da cadeia e derivação implícita. [2] São abordados conceitos como função derivável, derivabilidade, equações de retas tangentes e normais. [3] Há exercícios sobre logaritmos, exponenciais, funções trigonométricas e suas derivadas.
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis unid iiiBruno Luz
1) O documento apresenta os conceitos de integrais duplas e integração por partes.
2) São mostrados exemplos de cálculo de integrais imediatas, integrais definidas e integrais por substituição.
3) Exemplos de resolução de integrais por partes são apresentados para revisão do tema.
Www.math.ist.utl.pt ~jmourao cii_exercicios_aula12. integ. de linha de um cam...Bowman Guimaraes
1) O documento apresenta a resolução de cinco exercícios que envolvem o cálculo de integrais de linha de campos vetoriais ao longo de diferentes curvas no espaço.
2) No primeiro exercício, calcula-se o integral de linha de um campo vetorial definido em R3 ao longo de uma espiral.
3) Nos exercícios seguintes calculam-se integrais de linha de campos vetoriais definidos em R2 ao longo de curvas como circunferências e elipses, utilizando técnicas como o Teorema de
Este capítulo introduz o conceito de derivada de uma função. Primeiro define-se a reta tangente ao gráfico de uma função num ponto e apresenta-se a definição formal de derivada. Em seguida, define-se funções deriváveis e explica-se a interpretação geométrica da derivada como o coeficiente angular da reta tangente.
1) O documento apresenta exercícios sobre cálculo diferencial e integral, incluindo aproximações lineares, derivadas de ordem superior, máximos e mínimos.
2) É solicitado calcular derivadas, integrar funções, aproximar valores e esboçar gráficos de funções.
3) As respostas fornecem os cálculos das derivadas, aproximações dos valores solicitados e esboços dos gráficos conforme pedido nos exercícios.
O capítulo descreve a integração dupla de funções de duas variáveis sobre retângulos. A integral dupla é definida como o limite da soma de Riemann quando a partição tende a zero. A integral dupla tem significado geométrico como o volume de um sólido limitado por um plano e a função. O teorema de Fubini relaciona a integral dupla com as integrais iteradas.
O documento discute Cálculo Numérico, que busca encontrar soluções aproximadas de problemas por meio de métodos de cálculo. Explica que é necessário definir a precisão ou erro tolerado para cada problema. Apresenta exemplos de como encontrar taxas implícitas em condições de venda e discute métodos numéricos como forma de resolver equações para as quais não há métodos algébricos.
O documento descreve técnicas de substituição trigonométrica para calcular integrais envolvendo funções trigonométricas e radiciais. Apresenta exemplos de como substituir x por funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente para calcular integrais definidas. Também discute como decompor frações racionais em frações parciais para calcular suas integrais.
O documento descreve técnicas de integração envolvendo completar quadrados e funções trigonométricas. A seção 18.1 explica como completar quadrados permite reduzir integrais a formas que podem ser resolvidas usando uma tabela de integrais. A seção 18.2 trata de integrais envolvendo funções sen e cos, mostrando como reduzi-las a integrais de polinômios.
O documento descreve o método de integração por partes. Este método permite calcular integrais indefinidas da forma ∫u dv transferindo o cálculo para a integral ∫v du, através da fórmula de integração por partes. Exemplos ilustram como escolher as funções u e v de acordo com um critério baseado no anagrama "LIATE", que organiza diferentes tipos de funções.
O documento descreve a restinga do Rio Grande do Norte, abordando sua localização, clima, solo, relevo, vegetação e áreas de preservação, como a RPPN Mata Estrela, RDS Ponta do Tubarão e o Parque das Dunas. Conclui que a restinga enfrenta processo de abandono e grande risco de extinção devido à falta de políticas de conservação e ao desenvolvimento urbano.
O documento discute diversas espécies de cactos encontradas na Caatinga brasileira. Apresenta informações sobre a família Cactaceae, características morfológicas como espinhos, flores e frutos. Destaca espécies como o mandacaru, facheiro e xique-xique, descrevendo seus aspectos botânicos e importância ecológica e cultural.
O documento descreve a caatinga do Rio Grande do Norte, incluindo sua localização, características de clima, vegetação, solos e fauna. Também discute intervenções humanas que causaram degradação e desertificação em algumas áreas, e medidas para a conservação do bioma, como a Estação Ecológica do Seridó.
O documento descreve a formação e características das restingas ao longo da costa brasileira. Apresenta as principais adaptações da flora e fauna a este ecossistema costeiro arenoso, sujeito a fatores como salinidade, variações térmicas e escassez hídrica. Detalha também a classificação e transição entre diferentes zonas de vegetação ao longo da planície costeira, incluindo dunas móveis e fixas.
1) O documento descreve o cálculo do volume de sólidos através da integral definida, representando o volume como a soma de elementos inifinitesimais.
2) É introduzida a noção de elemento inifinitesimal de volume dV e mostrado como a integral de dV entre limites fornece o volume total.
3) São apresentados exemplos de cálculo do volume de um tronco de pirâmide e de um sólido de revolução.
1) O documento descreve o cálculo do volume de sólidos através da integral definida, considerando seções transversais perpendiculares a um eixo.
2) O volume é dado pela soma dos volumes elementares de cada seção, sendo este dado pelo produto da área da seção pelo comprimento do elemento.
3) Como exemplo, calcula-se o volume de um tronco de pirâmide através desta abordagem.
O documento descreve a generalização das funções trigonométricas na forma f(x) = a + b trig (cx + d), onde a, b, c e d são constantes. Explica o significado de cada constante e como calcular o período das funções. Fornece um exemplo para ilustrar a aplicação da fórmula geral.
1. O documento é uma prova de cálculo diferencial e integral com 3 questões.
2. A primeira questão pede para determinar uma função f que satisfaça certas condições.
3. As outras duas questões pedem para calcular integral definida de funções dadas e escolher uma entre duas subquestões.
Este documento discute substituições trigonométricas e integrais de funções racionais. Apresenta três procedimentos de substituições trigonométricas ilustrados geometricamente e exemplos de cálculo de integrais usando essas substituições. Também explica como decompor funções racionais em frações parciais quando o denominador tem raízes reais distintas ou raízes múltiplas.
1) O documento discute métodos numéricos para calcular integrais quando não é possível resolver analiticamente. 2) A integração numérica envolve substituir a função por um polinômio que a aproxime no intervalo de integração. 3) As fórmulas de Newton-Cotes, como a regra dos trapézios, aproximam a integral dividindo o intervalo em subintervalos de igual comprimento.
1) O documento apresenta um teste de cálculo com 7 questões sobre integrais, funções e áreas.
2) A primeira questão pede que se mostre uma igualdade envolvendo integrais de funções. A segunda pede o cálculo de dois integrais definidos. A terceira pede o cálculo de um integral e a aplicação do Teorema do Valor Médio.
3) A quarta questão pede o cálculo da área delimitada pelos gráficos de duas funções. A quinta mostra que o integral de uma função ímpar sobre um intervalo
O documento apresenta 20 questões de matemática sobre diversos tópicos como funções, limites, geometria, álgebra linear e lógica. As questões envolvem cálculos, resolução de equações e sistemas de equações, análise de funções, provas lógicas e geometria espacial.
1. O documento discute cálculo de áreas sob curvas e integral definida, apresentando fórmulas e exemplos para calcular áreas e somar retângulos de Riemann.
2. É introduzido o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivadas e integrais definidas, permitindo calcular integrais através de primitivas.
3. Propriedades das integrais definidas são listadas, como adição, multiplicação por constante e integração por partes.
1) O documento discute conceitos fundamentais de integrais, incluindo função primitiva, integral indefinida, métodos de integração como substituição e por partes, e aplicações como cálculo de áreas e volumes.
2) São apresentados exemplos detalhados de como aplicar os métodos de integração a funções específicas.
3) Exercícios são fornecidos no final para que o leitor teste seu entendimento dos conceitos discutidos.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
1) O documento descreve alguns conceitos sobre funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento da função quando x tende para o infinito.
2) Dois exemplos são dados para ilustrar esses conceitos, esboçando os gráficos das funções f(x) = 2x+1/(x-2) e y = x2 - 2x + 2/(x-1).
3) Os gráficos mostram retas assintotas verticais quando o denominador se anula
O documento resume os principais conceitos de cálculo utilizando MATLAB, incluindo:
1) A derivada aproximada por meio de secantes e a definição matemática de derivada.
2) A interpolação polinomial para aproximar funções através de polinômios.
3) Métodos de integração numérica como trapézios para calcular integral definida.
O documento descreve o método de integração por partes. Este método permite calcular integrais indefinidas da forma ∫u dv transferindo o cálculo para uma integral da forma ∫v du, através da fórmula de integração por partes. Exemplos ilustram como escolher as funções u e v de acordo com um critério baseado no anagrama "LIATE", que organiza diferentes tipos de funções.
O documento discute o conceito de interpolação numérica, que consiste em substituir funções complexas por funções mais simples como polinômios para facilitar operações como derivação e integração. A interpolação polinomial é abordada, onde polinômios de graus diferentes são usados para diferentes quantidades de pontos de amarração. A tabela de diferenças divididas e o método de Newton são apresentados como formas de se determinar polinômios interpoladores.
O documento descreve técnicas de integração envolvendo completar quadrados e funções trigonométricas. A seção 18.1 explica como completar quadrados permite reduzir integrais a formas que podem ser resolvidas usando uma tabela de integrais. A seção 18.2 trata de integrais envolvendo funções sen e cos, mostrando como reduzi-las a integrais de polinômios.
O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre diferenciais e integrais. Explica que a diferencial de uma função é o produto da derivada pelo acréscimo da variável independente e representa uma aproximação da variação da função. Também define o que é a integral indefinida, que é o processo inverso da diferenciação e representa a família de primitivas de uma função. Por fim, fornece exemplos sobre como calcular integrais imediatas.
O documento descreve uma aula sobre funções matemáticas. Ele define funções, explica seus componentes (domínio e contradomínio) e fornece exemplos de diferentes tipos de funções, incluindo funções geradas por dados experimentais, modelos matemáticos, expressões polinomiais e outras. Além disso, discute como manipular funções através de deslocamentos, reflexões e expansões/contrações de seus gráficos.
1) O documento apresenta a definição formal de integral definida e explica como ela calcula a área sob a curva de uma função contínua entre dois limites.
2) A integral definida pode ser interpretada geometricamente como a área da região delimitada pelo gráfico da função, eixo x e os limites do intervalo.
3) O Teorema Fundamental do Cálculo fornece uma maneira mais fácil de calcular muitas integrais definidas ao invés de usar diretamente a definição.
O documento introduz o conceito de derivadas, explicando o que são derivadas, como calculá-las e suas aplicações. Ele fornece exemplos de como usar derivadas para calcular velocidade, inclinação de curvas e tangentes. O documento também apresenta as regras gerais para derivar funções como potências, soma, produto e quociente.
1) O documento discute integrais indefinidas, que são antiderivadas ou primitivas de funções.
2) Duas primitivas de uma mesma função diferem entre si por uma constante.
3) A integral indefinida de uma função f no intervalo I é a primitiva genérica de f em I, denotada por ∫f(x)dx = F(x) + C, onde C é uma constante genérica.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
O documento discute regras de L'Hôpital para calcular limites indeterminados na forma 0=0 ou 1=1 usando derivadas. Apresenta exemplos de aplicação das regras para cálculo de limites envolvendo funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Discutem-se também novas formas indeterminadas como 00, 10 e 11 e procedimentos para lidar com esses casos.
Este documento presenta las derivadas de las funciones trigonométricas. (1) Introduce las derivadas de seno y coseno, mostrando que (sen x)0 = cos x y (cos x)0 = -sen x. (2) Luego presenta las derivadas de tangente, cotangente, secante y cosecante usando las reglas de derivación de funciones compuestas y cuocientes. (3) Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas de arcoseno, arcocoseno y arcotangente y deriva sus expresiones.
1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
1) O documento apresenta o Teorema 10.1 que deriva funções exponenciais e logarítmicas.
2) É mostrada a derivada de f(x) = ex como sendo f'(x) = ex e de f(x) = ax como sendo f'(x) = ax ln a.
3) Também são mostradas as derivadas de funções logarítmicas.
1) O documento apresenta uma revisão sobre funções exponenciais e logarítmicas e introduz o número e.
2) É feita uma revisão sobre potências com bases reais positivas e expoentes reais. Logaritmos são definidos como o expoente ao qual se eleva a base para obter o valor.
3) O número e é definido como o limite de uma sequência e demonstrado que é irracional.
O documento descreve estratégias para determinar os valores máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo, sem recorrer ao gráfico da função. Explica que os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos ou extremidades do intervalo, e que as derivadas nesses pontos são iguais a zero de acordo com o Teorema de Weierstrass. Apresenta um exemplo para ilustrar o procedimento.
1) A aula apresenta como derivadas podem ser usadas como ferramentas auxiliares no esboço de gráficos de funções, fornecendo informações qualitativas sobre o comportamento da função.
2) É definido o que significa uma função ser crescente ou decrescente em um intervalo e apresentado o Teorema 6.1, que relaciona o sinal da derivada ao comportamento da função.
3) São definidos pontos de máximo e mínimo locais de uma função e apresentado o Teorema 6.2, que relaciona o sinal
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
O documento apresenta as noções de derivada como inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função e novas regras de derivação, como a derivada de um produto e a derivada da inversa de uma função. É introduzido o conceito geométrico de derivada ligado à aproximação linear local de uma função por sua tangente e são mostradas equações de retas tangentes e normais a curvas.
1) O documento discute velocidade instantânea e derivadas. É introduzida a noção de velocidade instantânea como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.
2) A derivada de uma função é definida como o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável independente quando esta última tende a zero.
3) Regras para calcular a derivada de funções como xn são apresentadas, assim como notações comuns para representar derivadas.
O documento apresenta os elementos básicos de um relatório de pesquisa, incluindo a introdução, revisão da literatura, considerações metodológicas, resultados e discussões, e conclusões. A introdução descreve o objetivo, justificativa, metodologia e resultados da pesquisa. A revisão da literatura analisa pesquisas anteriores sobre o tema. As considerações metodológicas detalham a amostra, coleta e análise de dados. Os resultados e discussões apresentam os achados em relação às questões da pesquisa. Por
A Caatinga é o único bioma exclusivamente brasileiro, localizado no semi-árido nordestino. Sua vegetação é composta por árvores e arbustos espinhosos e xerófitos que perdem as folhas na estação seca. Apesar de sua biodiversidade, a Caatinga sofre com a degradação causada pelo desmatamento para agricultura e pecuária. Unidades de conservação buscam proteger remanescentes deste ecossistema único.
O autor critica o "Zé Ninguém" por ser facilmente manipulado por líderes que prometem liberdade mas na verdade o mantém como escravo. O autor afirma que só o próprio "Zé Ninguém" pode conquistar a verdadeira liberdade, reconhecendo suas próprias limitações e assumindo responsabilidade por sua vida.
1. Aula 17
Integrais de¯nidas e o
Teorema Fundamental do C¶lculo
a
17.1 A integral de¯nida
Seja y = f (x) uma fun»~o cont¶
ca ³nua em um intervalo fechado [a; b].
Subdividamos o intervalo [a; b] atrav¶s de n + 1 pontos x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn ,
e
tais que
a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b
O conjunto de pontos } = fx0 = a; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn = bg constitui uma subdivis~o a
ou parti»~o do intervalo [a; b].
ca
Tomemos ainda pontos c1 ; c2 ; c3 ; : : : ; cn¡1 ; cn em [a; b], tais que
c1 2 [x0 ; x1 ] = [a; x1 ];
c2 2 [x1 ; x2 ];
.
.
.
ci 2 [xi¡1 ; xi ];
.
.
.
cn 2 [xn¡1 ; xn ]:
Sejam
¢x1 = x1 ¡ x0
¢x2 = x2 ¡ x1
.
.
.
¢xi = xi ¡ xi¡1
.
.
.
¢xn = xn ¡ xn¡1
146
2. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 147
E formemos a soma
P
n
S = f (c1 )¢x1 + f(c2 )¢x2 + ¢ ¢ ¢ + f (cn )¢xn = f(ci )¢xi .
i=1
Esta ¶ uma soma integral de f , no intervalo [a; b], correspondente µ parti»~o }, e
e a ca
µ escolha de pontos intermedi¶rios c1 ; : : : ; cn .
a a
Pn
Note que, quando f (x) > 0 em [a; b], a soma integral de f , S = f (ci )¢xi , ¶
e
i=1
a soma das ¶reas de n ret^ngulos, sendo o i-¶simo ret^ngulo, para 1 · i · n, de base
a a e a
¢xi e altura f(ci ). Isto ¶ ilustrado na ¯gura 17.1.
e
y
y = f(x)
f(cn)
.....
f(c3 )
f(c2 )
f(c1 )
x
a = x0 c1 x1 c2 x2 c3 x3 xn-1 c n xn = b
∆ x1 ∆ x2 ∆ x3 ∆ xn
Figura 17.1.
Seja ¢ o maior dos n¶meros ¢x1 , ¢x2 , : : : , ¢xn . Escrevemos
u
¢ = maxf¢x1 ; ¢x2 ; : : : ; ¢xn g = max ¢xi
Tal ¢ ¶ tamb¶m chamado de norma da parti»~o }.
e e ca
¶
E poss¶ demonstrar que, quando consideramos uma sucess~o de subdivis~es
³vel a o
a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, do intervalo [a; b], fazendo com que ¢ = max ¢xi torne-
se mais e mais pr¶ximo de zero (e o n¶mero n, de sub-intervalos, torne-se cada vez
o u
maior), as somas integrais S, correspondentes a essas subdivis~es, v~o tornando-se cada
o a
vez mais pr¶ximas deRum n¶mero R °, chamado integral de¯nida de f , no intervalo
o u real
b b
[a; b] e denotado por a f , ou por a f (x) dx.
Em outras palavras, quando formamos uma seqÄ^ncia de parti»~es }1 , }2 , : : : ,
ue co
}k , : : : , do intervalo [a; b], de normas respetivamente iguais a ¢1 , ¢2 , : : : , ¢k , : : : ,
associando a cada parti»~o um conjunto de pontos intermedi¶rios (os ci 's), e forman-
ca a
3. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 148
do ent~o uma seqÄ^ncia de somas integrais S1 ; S2 ; : : : ; Sk ; : : : , sendo lim ¢k = 0,
a ue
Rb k!+1
teremos lim Sk = ° = a f, para algum n¶mero real °.
u
k!+1
De modo mais simpli¯cado, a integral de¯nida de f, de a at¶ b (ou no intervalo [a; b])
e
¶ o n¶mero real
e u
Z b X n
°= f (x) dx = lim S = lim f (ci )¢xi
a ¢!0 max ¢xi !0
i=1
Observa»~o 17.1 Se f(x) > 0 no intervalo [a; b], quando max ¢xi ! 0, o n¶mero k,
ca u
de sub-intervalos tende a 1.
Os ret^ngulos ilustrados na ¯gura 17.1 tornam-se cada vez mais estreitos e nu-
a
merosos µ medida em que max ¢xi torna-se mais e mais pr¶ximo de 0.
a o
Pn
Neste caso, lim i=1 f (ci )¢xi de¯nir¶ a ¶rea compreendida entre a curva
a a
max ¢xi !0
y = f (x), o eixo x, e as retas verticais x = a, x = b.
Sumarizando,
Se f (x) > 0 em [a; b], temos
Z b
f(x) dx = (¶rea sob o gr¶¯co de f , de x = a at¶ x = b)
a a e
a
Rb
Observa»~o 17.2 Por outro lado, se f (x) < 0 para todo x 2 [a; b], teremos a f(x) dx
ca
= ¡A, sendo A a ¶rea (positiva) da regi~o plana compreendida entre o eixo x, o gr¶¯co
a a a
de f , e as retas x = a e x = b.
Note que, neste caso, feita uma subdivis~o a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, e
a
escolhidos os pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, teremos
X
n
f (ci )¢xi < 0
i=1
pois f (ci ) < 0 para cada i, e ¢xi > 0 para cada i.
Observa»~o 17.3 Se o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b], ¶ como o gr¶¯co esbo»ado
ca a e a c
na ¯gura 17.2, ent~o, sendo A1 , A2 , A3 e A4 as ¶reas (positivas) indicadas na ¯gura,
a a
teremos Z b
f (x) dx = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4
a
Observa»~o 17.4 Pode-se demonstrar que se f ¶ cont¶
ca e ³nua em [a; b], o limite
Pn Rb
lim i=1 f(ci )¢xi = a f n~o depende das sucessivas subdivis~es a = x0 < x1 <
a o
max ¢xi !0
¢ ¢ ¢ < xn = b, e nem das sucessivas escolhas de pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ]
para cada i.
4. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 149
y
y = f(x)
A1 A3
b x
a
A2
A4
Rb
Figura 17.2. a
f = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4 .
Observa»~o 17.5 Se, para uma P c~o g, de¯nida em [a; b], n~o necessariamente
ca fun»a a
cont¶
³nua, existir o limite lim i=1 g(ci )¢xi (xi 's e ci 's tal como antes), dizemos
n
max ¢xi !0
que g ¶ integr¶vel em [a; b], e de¯nimos, tal como antes,
e a
Z b X
n
g(x) dx = lim g(ci )¢xi
a max ¢xi !0
i=1
R1
Exemplo 17.1 Sendo f(x) = x2 , calcular 0 f (x) dx, ou seja, determinar a ¶rea com-
a
preendida entre a par¶bola y = x2 e o eixo x, no intervalo 0 · x · 1.
a
Para calcular a integral pedida, vamos primeiramente subdividir o intervalo [0; 1] em n
sub-intervalos de comprimentos iguais a ¢x = 1=n, ou seja, tomaremos
x0 = 0, x1 = 1=n, x2 = 2=n, : : : , xn¡1 = (n ¡ 1)=n e xn = n=n = 1.
Neste caso, ¢x1 = ¢x2 = ¢ ¢ ¢ = ¢xn = 1=n.
Tomaremos ainda ci = xi = i=n, para i = 1; 2; : : : ; n.
Teremos a soma integral
X
n X
n
1
S= f (ci )¢xi = f (i=n) ¢
i=1 i=1
n
X µ i ¶2 1 X i 2
n n
= ¢ =
i=1
n n i=1
n3
1 X 2 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2
n
= 3 i =
n i=1 n3
Pode ser demonstrado que 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), fato que usaremos
6
aqui.
Assim, como ¢x ! 0 se e somente se n ! 1, temos
5. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 150
Z 1 Z 1 X
n
f (x) dx = x2 dx = lim f (ci )¢xi
0 0 max ¢xi !0
i=1
2 2 2
1 + 2 + ¢¢¢n
= lim
n3 n!1
n(n + 1)(2n + 1) 2 1
= lim = =
n!1 6n 3 6 3
A ¶rea procurada ¶ igual a 1=3 (de unidade de ¶rea).
a e a
Proposi»~o 17.1 Se f ¶ cont¶
ca e ³nua no intervalo [a; b], sendo m e M os valores m¶ximo
a
³nimo de f, respectivamente, no intervalo [a; b], ent~o
e m¶ a
Z b
m(b ¡ a) · f(x) dx · M (b ¡ a)
a
y
M
A" B"
m A' B'
A B
a b x
Rb
Figura 17.3. m(b ¡ a) · a
f · M (b ¡ a).
Abaixo, faremos uma demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Antes por¶m, daremos
ca ca e
uma interpreta»~o geom¶trica dessa proposi»~o, no caso em que f > 0 em [a; b]. Da
ca e ca
a ³nimo e m¶ximo de f (x)
¯gura 17.3, em que m e M s~o, respectivamente, os valores m¶ a
para x 2 [a; b], temos
¶rea ABB 0 A0 · (¶rea sob o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b]) · ¶rea ABB 00 A00 .
a a a a
Da¶
³, Z b
m(b ¡ a) · f (x) dx · M(b ¡ a)
a
Demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Tomando-se uma subdivis~o qualquer de [a; b],
ca ca a
a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b
e tomando-se pontos ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, temos
X n Xn
f(ci )¢xi · M¢xi
i=1 i=1
6. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 151
pois f (ci ) · M , e ¢xi > 0, para cada i. Da¶
³,
X
n X
n X
n
f(ci )¢xi · M¢xi = M ¢xi = M (b ¡ a)
i=1 i=1 i=1
pois
X
n
¢xi = ¢x1 + ¢x2 + ¢ ¢ ¢ + ¢xn = b ¡ a
i=1
Logo,
X
n
lim f (ci )¢xi · M (b ¡ a)
max ¢xi !0
i=1
e portanto Z b
f(x) dx · M (b ¡ a)
a
Rb
Analogamente, deduzimos que a
f (x) dx ¸ m(b ¡ a).
Assumiremos sem demonstra»~o as seguintes propriedades.
ca
Proposi»~o 17.2 Se f e g s~o cont¶
ca a ³nuas em [a; b], ent~o, sendo k uma constante e
a
a < c < b,
Rb Rb Rb
1. a (f (x) + g(x)) dx = a f (x) dx + a g(x) dx
Rb Rb
2. a k ¢ f(x) dx = k ¢ a f (x) dx
Rc Rb Rb
3. a f (x) dx + c f (x) dx = a f(x) dx
Rb Rb
4. se f (x) · g(x), para todo x 2 [a; b], ent~o a f (x) dx · a g(x) dx
a
Observa»~o 17.6 Sendo f cont¶
ca ³nua em [a; b], s~o adotadas as seguintes conven»~es
a co
(de¯ni»~es).
co
Ra
(i) a f (x) dx = 0
Ra Rb
(ii) b f (x) dx = ¡ a f (x) dx
Adotadas essas conven»~es, a proposi»~o 17.2, acima enunciada, continua ver-
co ca
dadeira qualquer que seja a ordem dos limites de integra»~o a, b e c, podendo ainda dois
ca
deles (ou os tr^s) coincidirem.
e
Teorema 17.1 (Teorema do valor m¶dio para integrais) Se f ¶ cont¶
e e ³nua no in-
tervalo [a; b], existe c 2 [a; b] tal que
Z b
f (x) dx = f (c) ¢ (b ¡ a)
a
7. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 152
Adiante faremos a demonstra»~o deste teorema. Uma interpreta»~o geom¶trica
ca ca e
do teorema do valor m¶dio para integrais, no caso em que f (x) > 0 em [a; b], ¶ feita na
e e
¯gura 17.4.
y
A' B'
f(c)
A B
a c b x
Rb
Figura 17.4. Teorema do valor m¶dio para integrais:
e a
f = (¶rea sob o gr¶¯co de f)
a a
0 0
= (¶rea ABB A ) = f (c)(b ¡ a).
a
Para demonstrarmos o teorema do valor m¶dio para integrais, usaremos o Teorema
e
do valor intermedi¶rio.
a
y
f(b)
y
0
f(a)
a x b x
0
Figura 17.5. Para cada y0 , tal que f (a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal que
f (x0 ) = y0 .
Teorema 17.2 (Teorema do valor intermedi¶rio) Seja f uma fun»~o cont¶
a ca ³nua no
intervalo [a; b]. Para cada y0 , tal que f(a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal que
f (x0 ) = y0 .
Ilustramos geometricamente o teorema do valor intermedi¶rio na ¯gura 17.5.
a
Como conseqÄ^ncia do teorema do valor intermedi¶rio, temos o teorema do anu-
ue a
lamento, j¶ explorado na aula 7, µ p¶gina 66:
a a a
8. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 153
(Teorema do anulamento) Sendo a < b, e f cont¶ ³nua em [a; b], se f(a) < 0 e
f (b) > 0 (ou se f(a) > 0 e f(b) < 0), ent~o a fun»~o f possui uma raiz no intervalo
a ca
[a; b].
Demonstra»~o. Como f(a) < 0 < f(b), pelo teorema do valor intermedi¶rio, existe
ca a
x0 2 [a; b] tal que f (x0 ) = 0.
Demonstra»~o do teorema 17.1. Sendo f cont¶
ca ³nua no intervalo [a; b], pelo teorema de
Weierstrass, p¶gina 69, aula 8, existem m; M 2 R tais que m = minff(x) j x 2 [a; b]g
a
e M = maxff (x) j x 2 [a; b]g. Al¶m disso, existem pontos x1 ; x2 2 [a; b] tais que
e
f (x1 ) = m e f(x2 ) = M .
Pela proposi»~o 17.1,
ca
Z b
m(b ¡ a) · f (x) dx · M(b ¡ a)
a
Da¶
³, Z
1 b
m· f (x) dx · M
b¡a a
1
Rb
Sendo ® = b¡a a f(x) dx, como f(x1 ) = m · ® · M = f (x2 ), pelo teorema do valor
intermedi¶rio, existe c 2 [a; b] (c entre x1 e x2 ) tal que f(c) = ®. Logo,
a
Z b
1
f(c) = f (x) dx
b¡a a
e portanto Z b
f(x) dx = f(c)(b ¡ a)
a
17.2 O teorema fundamental do c¶lculo
a
Teorema 17.3 (Teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o) Seja
a a f
³nua no intervalo [a; b]. Para cada x 2 [a; b], seja
uma fun»~o cont¶
ca
Z x
'(x) = f(t) dt
a
Ent~o
a
'0 (x) = f (x); 8x 2 [a; b]
Uma das conseqÄ^ncias imediatas do teorema fundamental do c¶lculo ¶ que
ue a e
Toda fun»~o cont¶
ca ³nua f, em um intervalo [a; b], possuiRuma primitiva (ou anti-derivada)
x
em [a; b], sendo ela a fun»~o ', de¯nida por '(x) = a f(t) dt, para cada x 2 [a; b].
ca
9. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 154
Demonstra»~o do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o.
ca a a
Para x em [a; b], e ¢x 60, com x + ¢x em [a; b], temos
=
Z x+¢x Z x
¢' = '(x + ¢x) ¡ '(x) = f(t) dt ¡ f (t) dt
a a
Z x+¢x Z a Z x+¢x
= f (t) dt + f(t) dt = f(t) dt
a x x
(Veja ¯guras 17.6a e 17.6b.)
(a) (b)
y y
y = f(x) y = f(x)
ϕ (x)
∆ϕ
a x b x a x x +∆x b x
Figura 17.6. (a) Interpreta»~o geom¶trica de '(x), x 2 [a; b]. (b) Interpreta»~o ge-
ca e ca
om¶trica de ¢', para ¢x > 0.
e
Pelo teorema do valor m¶dio para integrais, existe w entre x e x + ¢x tal que
e
Z x+¢x
f (t) dt = f (w) ¢ [(x + ¢x) ¡ x]
x
Assim sendo,
¢' = '(x + ¢x) ¡ '(x) = f (w)¢x
o que implica
¢'
= f (w); para algum w entre x e x + ¢x
¢x
Temos w ! x quando ¢x ! 0. Como f ¶ cont¶
e ³nua,
¢'
'0 (x) = lim = lim f (w) = lim f (w) = f(x)
¢x!0 ¢x ¢x!0 w!x
Como conseqÄ^ncia do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos a
ue a a
sua segunda vers~o, tamb¶m chamada f¶rmula de Newton-Leibniz. Ele estabelece uma
a e o
conex~o surpreendente entre as integrais inde¯nidas e as integrais de¯nidas.
a
10. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 155
Teorema 17.4 (Teorema fundamental do c¶lculo, segunda vers~o) Sendo f
a a
³nua no intervalo [a; b],
uma fun»~o cont¶
ca
Z Z b
se f(x) dx = F (x) + C ent~o
a f (x) dx = F (b) ¡ F (a)
a
Demonstra»R o. Pelo teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos que
c~
a a a
x
a fun»~o '(x) = a f (t) dt, a · x · b, ¶ uma primitiva de f (x) no intervalo [a; b], ou
ca e
seja, '0 (x) = f(x).
R
Se f(x) dx = F (x) + C, temos tamb¶m F 0 (x) = f(x). Logo, pela proposi»~o
e ca
15.1 existe uma constante k tal que
'(x) = F (x) + k; para todo x em [a; b]
Ra
Agora, '(a) = a
f(t) dt = 0. Logo, F (a) + k = 0, de onde ent~o k = ¡F (a).
a
Assim sendo, Z x
f (t) dt = '(x) = F (x) ¡ F (a)
a
Quando x = b, temos Z b
f (x) dx = F (b) ¡ F (a)
a
E costume denotar [F (x)]b = F (x)jb = F (b) ¡ F (a).
¶
R a a Rb
Ou seja, sendo f (x) dx = F (x) + C, temos a f (x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a).
a
Exemplo 17.2 Calcular a ¶rea compreendida entre a curva y = sen x e o eixo x, para
a
0 · x · ¼.
Solu»~o.
ca
Como sen x ¸ 0 quando 0 · x · ¼, y
y = sen x
temos que a ¶rea procurada ¶ dada pela
a
R¼ e
integral A = 0 sen x dx.
R
Temos sen x dx = ¡ cos x + C.
2 unidades de área
0 π x
R¼
Logo, A = 0
sen x dx = [¡ cos x]¼ = (¡ cos ¼)¡(¡ cos 0) = 1+1 = 2 (unidades
0
de ¶rea).
a
11. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 156
17.2.1 Integra»~o de¯nida, com mudan»a de vari¶vel
ca c a
Veremos agora que, quando fazemos mudan»a de vari¶vel (integra»~o por substitui»~o),
c a ca ca
no caso de uma integral de¯nida, podemos ¯nalizar os c¶lculos com a nova vari¶vel
a a
introduzida, sem necessidade de retornar µ vari¶vel original. Para tal, ao realizarmos a
a a
mudan»a de vari¶vel, trocamos adequadamente os limites de integra»~o.
c a ca
Suponhamos que y = f (x) de¯ne uma fun»~o cont¶
ca ³nua em um intervalo I, com
a; b 2 I, e que x = '(t) ¶ uma fun»~o de t deriv¶vel em um certo intervalo J ½ R,
e ca a
satisfazendo
1. f ('(t)) 2 I quando t 2 J.
2. '(®) = a, '(¯) = b, para certos ®; ¯ 2 J;
3. '0 (t) ¶ cont¶
e ³nua em J;
R
Sendo F (x) uma primitiva de f (x) em I, temos f(x) dx = F (x) + C, e como
vimos, tomando x = '(t), teremos dx = '0 (t) dt, e
R
f ('(t))'0 (t) dt = F ('(t)) + C.
Ent~o, Pelo teorema fundamental do c¶lculo,
a a
Z b
f(x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a) = F ('(¯)) ¡ F ('(®))
a
a
Z ¯
¯
= F ('(t))j® = f ('(t)) ¢ '0 (t) dt
®
R1 p
Exemplo 17.3 Calcular ¡1
x 1 + x2 dx.
R p p
Fazendo u = 1 + x2 , calculamos x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 + C.
3
Pelo teorema fundamental do c¶lculo,
a
R1 p p ¯1 p p
¡1
x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 ¯¡1 = 38 ¡
3 3
8
= 0.
Por outro lado, poder¶ ³amos ter trocado os limites de integra»~o, ao realizar a
ca
mudan»a de vari¶vel. O resultado seria:
c a
para x = ¡1, u = 2; e para x = 1, u = 2 (!). Ent~o
a
R1 p R2p
¡1
x 1 + x2 dx = 2 u ¢ 1 du = 0.
2
Exemplo 17.4 Calcular a ¶rea delimitada pela circunfer^ncia de equa»~o x2 + y 2 = a2 .
a e ca
12. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 157
calcular a ¶rea A desse c¶
Parap a ³rculo, basta calcular a ¶rea sob o semi-c¶
a ³rculo
y = a2 ¡ x2 , acima do eixo x, entre os pontos x = ¡a e x = a, ou seja, calcular
Z ap
A=2 = a2 ¡ x2 dx
¡a
Faremos a substitui»~o x = a sen t, ¡¼=2 · t · ¼=2.
ca
Para t = ¡¼=2, x = ¡a; para t = ¼=2, x = a.
Teremos ent~o dx = a cos t dt, a2 ¡ x2 = a2 cos2 t e, como cos t ¸ 0 no intervalo
p a
[¡¼=2; ¼=2], a2 ¡ x2 = a cos t.
Ra p R ¼=2
Logo, ¡a a2 ¡ x2 dx = ¡¼=2 a2 cos2 t dt.
Temos cos2 t + sen2 t = 1 e cos2 t ¡ sen2 t = cos 2t, logo
cos2 t = 1 (1 + cos 2t).
2
Assim,
Z ap Z ¼=2
a 2 ¡ x2 dx = a2 cos2 t dt
¡a ¡¼=2
Z
a2 ¼=2
= (1 + cos 2t) dt
2 ¡¼=2
· ¸¼=2
a2 1
= t + sen 2t
2 2 ¡¼=2
2
· ¸ · ¸
a ¼ 1 a2 ¼ 1 ¼a2
= + sen ¼ ¡ ¡ + sen(¡¼) =
2 2 2 2 2 2 2
a ³rculo ¶ A = ¼a2 .
E portanto a ¶rea do c¶ e
17.2.2 Integra»~o de¯nida, por partes
ca
Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~o fun»~es deriv¶veis no intervalo [a; b], com as
a co a
derivadas u0 (x) e v 0 (x) cont¶
³nuas em [a; b].
Temos (u ¢ v)0 = u0 ¢ v + u ¢ v0 = uv 0 + vu0 , e ent~o
a
Rb Rb Rb
a
[u(x)v(x)]0 dx = a u(x)v0 (x) dx + a v(x)u0 (x) dx.
Rb
Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a [u(x)v(x)]0 dx = u(x)v(x)jb . Portanto
a a
Rb Rb
a
u(x)v0 (x) dx = u(x)v(x)jb ¡ a v(x)u0 (x) dx.
a
Em nota»~o abreviada,
ca
Z b Z b
u dv = uvjb
a ¡ v du
a a
13. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 158
17.3 Problemas
Calcule as integrais de¯nidas listadas abaixo.
R1 dx
1. ¡1 1+x2
. Resposta. ¼=2.
R p2=2
2. p dx . Resposta. ¼=4.
0 1¡x2
R ¼=3
3. 0
tg x dx. Resposta. ln 2.
Rx
4. 1
dt
t
. Resposta. ln x.
Rx
5. 0
sen t dt. Resposta. 1 ¡ cos x.
R ¼=2
6. 0
sen x cos2 x dx. Resposta. 1=3.
R ¼=2 1¡tg2 x
7. 0
Resposta. 2p5 . Sugest~o. Use a identidade cos x =
dx
3+2 cos x
. ¼
a 1+tg2
2
x , fa»a
c
2
u= tg 2 , e 2
= arc tg u.
x x
R4 p
8. 1 px dx . Resposta. 3 2=2.
2+4x
R1
9. dx
¡1 (1+x2 )2
. Resposta. ¼
4
+ 1 . Sugest~o. Fa»a x = tg u.
2
a c
R5 p
10. 1
x¡1
x
dx. Resposta. 4 ¡ 2 arc tg 2.
R ¼=2 cos x dx
11. 0
Resposta. ln 4 .
6¡5 sen x+sen2 x
. 3
Rtp
12. Calcule a integral 0 a2 ¡ x2 dx (0 · t · a), sem usar antiderivadas, interpre-
p
tando-a como ¶rea sob a curva (semi-c¶
a ³rculo) y = a2 ¡ x2 , e acima do eixo x,
no intervalo [0; t] (¯gura 17.7).
y
a
x
0 t
Figura 17.7.
p 2
Resposta. 2 a2 ¡ t2 + a2 arc sen a . Sugest~o. Subdivida a ¶rea a ser calculada
t t
a a
em duas regi~es, como sugere a ¯gura.
o