1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial. 2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas. 3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.

1. Aula 14
Taxas relacionadas. Diferenciais
14.1 Taxas relacionadas
Na linguagem do c¶lculo diferencial, se uma vari¶vel u ¶ fun»~o da vari¶vel v, a taxa
a a e ca a
du
de varia»~o (instant^nea) de u, em rela»~o a v, ¶ a derivada
ca a ca e .
dv
Em v¶rias problemas de c¶lculo, duas ou mais grandezas vari¶veis est~o rela-
a a a a
cionadas entre si por uma equa»~o. Por exemplo, na equa»~o v1 =v2 = (sen µ1 )=(sen µ2 ),
ca ca
temos quatro vari¶veis, v1 , v2 , µ1 e µ2 , relacionadas entre si.
a
Se temos vari¶veis, digamos u, v e w, relacionadas entre si por uma equa»~o,
a ca
podemos ainda ter as tr^s como fun»~es de uma unica vari¶vel s. Por deriva»~o impl¶
e co ¶ a ca ³cita,
ou µs vezes, por deriva»~o em cadeia, podemos relacionar as v¶rias derivadas du , dv e
a ca a ds ds
dw du dv
ds
, ou ainda, por exemplo, dv , dw , etc. Problemas em que duas ou mais grandezas
vari¶veis est~o inter-relacionadas, e nos quais s~o levadas em conta as taxas de varia»~es
a a a co
instant^neas, de algumas grandezas em rela»~o a outras, s~o chamados, na literatura
a ca a
do c¶lculo, de problemas de taxas relacionadas.
a
Exemplo 14.1 Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura H e raio do
topo circular igual a R. Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque come»a a encher-se
c
de ¶gua, a uma vaz~o constante de k litros por minuto. Exprima a velocidade com que
a a
sobe o n¶ da ¶gua (dh=dt), em fun»~o da profundidade h. Com que velocidade a
³vel a ca
¶gua sobe no instante em que h = 0 ?
a
1
Solu»~o. O volume da ¶gua quando esta tem profundidade h ¶ dado por V = 3 ¼r2 h,
ca a e
sendo r o raio da superf¶ (circular) da ¶gua. Veja ¯gura 14.1.
³cie a
Sendo R o raio do topo da caixa, e H sua altura, por raz~es de semelhan»a de
o c
tri^ngulos, temos r=R = h=H, da¶ r = Rh=H.
a ³
117

2. Taxas relacionadas. Diferenciais 118
R R
r H r H
h h
Figura 14.1.
Assim sendo, obtemos
µ ¶2
1 Rh ¼R2 3
V = ¼ h= h
3 H 3H 2
A taxa de varia»~o do volume de ¶gua no tempo, isto ¶, sua vaz~o, ¶ constante, ou seja
ca a e a e
dV
= k (litros por minuto).
dt
dV dV dh dV
Por deriva»~o em cadeia, temos
ca = ¢ . Como = k, temos ent~o
a
dt dh dt dt
¼R2 2 dh dh kH 2 1
k= h ¢ , ou seja, = ¢
H2 dt dt ¼R2 h2
Assim, estabelemos que a velocidade de subida do n¶ da ¶gua ¶ inversamente
³vel a e
proporcional ao quadrado de sua profundidade.
Quando h = 0, temos, dh = +1. Na pr¶tica, este resultado nos diz que nossa
dt
a
modelagem matem¶tica n~o nos permite determinar a velocidade de subida da ¶gua no
a a a
instante em que o tanque come»a a encher-se.
c
Exemplo 14.2 Uma escada de 5 m de comprimento est¶ recostada em uma parede. A
a
base da escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa (velocidade) de 2 cm/seg.
Com que velocidade cai o topo da escada, no momento em que a base da escada est¶ a
a 3 m da parede ?
Solu»~o. Na ¯gura 14.2 temos um diagrama geom¶trico para o problema, em que deno-
ca e
tamos por x e y as dist^ncias da base e do topo da escada µ base da parede, respecti-
a a
vamente.
dx
Temos = 2 (cm/seg).
dt

3. Taxas relacionadas. Diferenciais 119
escada vista
de perfil
y
5
x
Figura 14.2.
Pelo teorema de Pit¶goras, x2 +y 2 = 25, da¶ derivando implicitamente em rela»~o
a ³, ca
dx dy
a t, temos 2x ¢ + 2y ¢ = 0, ou seja,
dt dt
dy dx
y¢ = ¡x ¢
dt dt
dy
Quando x = 3 m = 300 cm, temos y = 4 m = 400 cm, e ent~o
a = ¡1;5 cm/seg.
dt
Nesse instante, a velocidade com que o topo da escada cai ¶ 1;5 cm/seg.
e
14.2 Diferenciais
Quando uma fun»~o f (x) ¶ deriv¶vel em um ponto x0 , temos
ca e a
f (x0 + ¢x) ¡ f(x0 )
lim = f 0 (x0 )
¢x!0 ¢x
Assim, se chamamos
f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 )
¡ f 0 (x0 ) = "
¢x
teremos lim " = 0.
¢x!0
Assim, sendo ¢f = f(x0 + ¢x) ¡ f(x0 ), temos ¢f = f 0 (x0 )¢x + " ¢ ¢x.
Como " ¼ 0 quando j¢xj ¶ su¯cientemente pequeno, temos, para um tal ¢x, a
e
aproxima»~o
ca
¢f ¼ f 0 (x0 ) ¢ ¢x

4. Taxas relacionadas. Diferenciais 120
Chama-se diferencial de f em x0 a express~o simb¶lica
a o
df(x0 ) = f 0 (x0 ) dx
O produto f 0 (x0 ) ¢ ¢x ¶ o valor da diferencial de f no ponto x0 , df (x0 ), quando
e
dx = ¢x.
A express~o dx, diferencial da vari¶vel x, pode assumir qualquer valor real. A im-
a a
port^ncia da diferencial ¶ que quando dx = ¢x e este ¶ su¯cientemente pequeno,
a e e
temos
¢f ¼ df
ou, mais explicitamente,
f(x0 + ¢x) ¡ f(x0 ) ¼ f 0 (x0 )¢x
e em geral, ¶ mais f¶cil calcular f 0 (x0 ) ¢ ¢x do que f (x0 + ¢x) ¡ f (x0 ).
e a
Nos prim¶rdios do c¶lculo, matem¶ticos diziam que dx seria uma varia»~o in-
o a a ca
¯nitesimal" de x, atribu¶ a x0 , e que df (x0 ) seria a varia»~o in¯nitesimal, sofrida por
³da ca
f (x0 ), correspondente µ varia»~o dx atribu¶ a x0 . Esses matem¶ticos chegavam a
a ca ³da a
escrever f (x + dx) ¡ f (x) = f 0 (x) dx".
Ainda hoje, muitos textos de c¶lculo para ci^ncias f¶
a e ³sicas, referem-se a um ele-
mento de comprimento dx," um elemento de carga el¶trica dq," um elemento de
e
massa dm," um elemento de ¶rea dA," etc., quando querem referir-se a quantidades
a
in¯nitesimais" dessas grandezas.
Na ¯gura 14.3 temos uma interpreta»~o geom¶trica da diferencial de uma fun»~o
ca e ca
f em um ponto x0 , quando dx assume um certo valor ¢x.
y
P
f( x 0 + ∆ x)
t
Q
∆y
P0 dy
f( x 0)
x0 x0 + ∆ x x
dx = ∆x
Figura 14.3. Note que, quanto menor ¢x, melhor a aproxima»~o dy ¼ ¢y. Na ¯gura,
ca
t ¶ a reta tangente ao gr¶¯co de f no ponto (x0 ; f (x0 )). As coordenadas do ponto Q,
e a
sobre a reta t, s~o x0 + ¢x e f (x0 ) + f 0 (x0 )¢x (veri¯que).
a

5. Taxas relacionadas. Diferenciais 121
Sumarizando, quando x sofre uma varia»~o ¢x,
ca
1. ¢y = f (x + ¢x) ¡ f(x) ¶ a varia»~o sofrida por f (x);
e ca
2. dy = f 0 (x)¢x ¶ a diferencial de f, em x, para dx = ¢x;
e
3. ¢y ¼ dy, se ¢x ¶ su¯cientemente pequeno.
e
Convenciona-se dizer ainda que
¢x
4. ¶ a varia»~o relativa de x, correspondente µ varia»~o ¢x;
e ca a ca
x
¢y dy
5. ¼ ¶ a varia»~o relativa de y = f(x), correspondente µ varia»~o ¢x,
e ca a ca
y y
sofrida por x.
Exemplo 14.3 Mostre que se h ¶ su¯cientemente pequeno, vale a aproxima»~o
e ca
p h
a2 + h ¼ a + (a > 0)
2a
p p
Com tal f¶rmula, calcule valores aproximados de
o 24 e 104. Compare com resultados
obtidos em uma calculadora.
p
Solu»~o. Sendo y = f (x) =
ca x, usamos a aproxima»~o ¢y ¼ dy.
ca
1
Temos ¢y = f(x + ¢x) ¡ f (x) e dy = f 0 (x) dx = p dx.
2 x
Tomando x = a2 e dx = ¢x = h, teremos
p p
a2 + h ¡ a2 ¼ 2a , e portanto
h
p h
a2 + h ¼ a +
2a
Temos ent~o
a
p p ¡1
24 = 52 + (¡1) ¼ 5 + = 4;9, e
2¢5
p p 4
104 = 102 + 4 ¼ 10 + = 10;2.
2 ¢ 10
p p
³amos 24 ¼ 4;898979 e 104 ¼ 10;198039.
Por uma calculadora, obter¶
Dizemos que um n¶mero real x est¶ representado em nota»~o cient¶
u a ca ³¯ca quando
escrevemos x na forma x = a ¢ 10 , com 1 · jaj < 10 e n inteiro (positivo ou negativo).
n
Assim, por exemplo, em nota»~o cient¶
ca ³¯ca temos os n¶meros 2; 46 ¢ 10¡5 e 4; 584 ¢ 1011 ,
u
enquanto que, convertendo µ nota»~o cient¶
a ca ³¯ca os n¶meros ¡0; 023 ¢ 108 e 452; 36 ¢ 103 ,
u
teremos
¡0;023 ¢ 108 = ¡2;3 ¢ 106 , e 452;36 ¢ 103 = 4;5236 ¢ 105 .

6. Taxas relacionadas. Diferenciais 122
1 1
Exemplo 14.4 Estimar, em nota»~o cient¶
ca ³¯ca, uma aproxima»~o de
ca ¡ 2,
(n + 1)2 n
quando n = 1028 .
Solu»~o. (uma calculadora pode n~o dar conta desta tarefa)
ca a
1 2
Sendo f (x) = 2
, temos df = ¡ 3 dx.
x x
1 1
¡ 2 = f (n + 1) ¡ f (n) = ¢f , para x = n e ¢x = 1.
(n + 1)2 n
Pela aproxima»~o ¢f ¼ df , teremos, quando n = 1028 ,
ca
2 ¡2
¢f ¼ f 0 (n)¢x = ¡ 3 = 84 = ¡2 ¢ 10¡84 .
n 10
Exemplo 14.5 Quando estima-se que a medida de uma grandeza ¶ M unidades, com
e
poss¶ erro de E unidades, o erro relativo dessa medi»~o ¶ E=M. O erro relativo da
³vel ca e
medi»~o indica o erro m¶dio (cometido na medi»~o) por unidade da grandeza.
ca e ca
O raio r de uma bolinha de a»o ¶ medido, com a medi»~o sujeita a at¶ 1% de
c e ca e
erro. Determine o maior erro relativo que pode ocorre na aferi»~o de seu volume.
ca
Solu»~o. O volume de uma bola de raio r ¶ dado por V = 4 ¼r3 .
ca e 3
Sendo V = 4 ¼r3 , temos dV = 4¼r2 dr.
3
O erro ¢V , na aferi»~o do volume, correspondente ao erro ¢r na medi»~o do
ca ca
raio, quando ¢r ¶ bem pequeno, ¶ aproximadamente dV . Temos ent~o
e e a
¢V dV 4¼r2 (¢r) 3¢r
¼ = =
V V (4=3)¼r 3 r
Para ¢r = §0;01 (erro m¶ximo relativo na medi»~o do raio), temos
r
a ca ¢V
V
¼ §0;03, e
portanto 3% ¶ o maior erro poss¶ na medi»~o do volume.
e ³vel ca
Observa»~o 14.1 Se o gr¶¯co de f afasta-se muito rapidamente da reta tangente ao
ca a
ponto (x0 ; f (x0 )), quando x afasta-se de x0 , a aproxima»~o ¢y ¼ dy pode falhar, quan-
ca
do tomamos um valor de ¢x que julgamos su¯cientemente pequeno, por n~o sabermos
a
qu~o su¯cientemente pequeno" devemos tom¶-lo. Isto pode ocorrer quando a derivada
a a
f 0 (x0 ) tem valor absoluto muito grande.
Como um exemplo, seja f (x) = x100 .
Temos f (1;08) = (1;08)100 ¼ 2199;76, por uma calculadora con¯¶vel (con¯ra).
a
No entanto, o uso de diferenciais nos d¶ f (1+¢x) ¼ f (1)+f 0 (1)¢x = 1+100¢x,
a
e portanto, para ¢x = 0;08, f (1;08) ¼ 1 + 100 ¢ 0;08 = 9.
A raz~o dessa discrep^ncia ¶ que f 0 (1) = 100, o que torna o gr¶¯co de f com
a a e a
alta inclina»~o no ponto x0 = 1. Nesse caso, somente um valor muito pequeno de ¢x
ca

7. Taxas relacionadas. Diferenciais 123
torna v¶lida a aproxima»~o ¢f ¼ df . Por exemplo, (1;0005)100 ¼ 1;0513, por uma
a ca
calculadora, enquanto que, (1;0005)100 ¼ 1; 05, pela aproxima»~o ¢f ¼ df .
ca
14.3 Problemas
14.3.1 Problemas sobre taxas relacionadas
1. Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 5 m e raio da base
(isto ¶, do topo) de 1 m. O tanque se enche da ¶gua µ taxa de 2 m3 /min. Com que
e a a
velocidade sobe o n¶ da ¶gua no instante em que ela tem 3 m de profundidade ?
³vel a
50
Resposta. 9¼ m/min ¼ 1; 77 m/min.
2. O g¶s de um bal~o esf¶rico escapa µ raz~o de 2 dm3 /min. Mostre que a taxa de
a a e a a
varia»~o da superf¶ S do bal~o, em rela»~o ao tempo, ¶ inversamente propor-
ca ³cie a ca e
cional ao raio. Dado. A superf¶ de um bal~o de raio r tem ¶rea S = 4¼r2 .
³cie a a
3. Considere um avi~o em v^o horizontal, a uma
a o
altura h em rela»~o ao solo, com velocidade
ca
constante v, afastando-se de um observador A
que se encontra em terra ¯rme. Seja µ a ele- h
va»~o angular do avi~o, em rela»~o ao solo, a
ca a ca A θ
partir do observador. Determine, como fun»~o
ca
de µ, a taxa de varia»~o de µ em rela»~o ao
ca ca
tempo. Resposta. dµ = ¡ h sen µ.
dt
v
4. Um ponto m¶vel desloca-se, em um sistema de coordenadas cartesianas, ao longo
o
da circunfer^ncia x2 +y 2 = r2 (r constante) com uma velocidade cuja componente
e
em x ¶ dada por dx = y (cm/seg). Calcule a componente da velocidade em y,
e dt
dy
dt
. Seja µ o deslocamento angular desse ponto m¶vel, medido a partir do ponto
o
(1; 0) no sentido anti-hor¶rio. Calcule a velocidade angular dµ . Em que sentido
a dt
o ponto se desloca sobre a circunfer^ncia, no sentido hor¶rio ou no anti-hor¶rio ?
e a a
Respostas. dt = ¡x, dt = ¡1 (rad/seg), portanto o ponto se desloca no sentido
dy dµ
anti-hor¶rio.
a
5. Prende-se a extremidade A de uma
haste de 3 m de comprimento a y
A
uma roda de raio 1 m, que gira no
sentido anti-hor¶rio µ taxa de 0; 3
a a 1m 3m
radianos por segundo. A outra ex- θ B
tremidade da haste est¶ presa a um
a 0 x
anel que desliza livremente ao longo x
de um outra haste que passa pelo
contro da roda. Qual ¶ a velocidade
e
do anel quando A atinge a altura
m¶xima ? Resposta. ¡0; 3 m/seg.
a

8. Taxas relacionadas. Diferenciais 124
6. No exemplo 14.2, uma escada de 5 m de comprimento est¶ recostada em uma
a
parede. Mostre que ¶ ¯sicamente imposs¶ manter a base da escada escorregan-
e ³vel
do-se, afastando-se da parede a uma velocidade constante, at¶ o momento em que
e
o topo da escada toque o ch~o. Sugest~o. Avalie a velocidade com que o topo da
a a
escada toca o ch~o.
a
14.3.2 Problemas sobre diferenciais
1. Se w = z 3 ¡ 3z 2 + 2z ¡ 7, use a diferencial dw para obter uma aproxima»~o da
ca
varia»~o de w quando z varia de 4 a 3; 95. Resposta. ¢w ¼ ¡1; 30.
ca
2. Estima-se em 8 polegadas o raio de um disco plano circular, com margem de erro
de §0; 06 polegadas. Ulizando diferenciais, estime a margem de erro no c¶lculo da
a
¶rea do disco (uma face). Qual ¶ o erro relativo no c¶lculo dessa ¶rea ? Resposta.
a e a a
¢A ¼ dA = 3; 84¼ polegadas quadradas, com erro relativo de 1; 5%.
p
3. Usando diferenciais, deduza a f¶rmula aproximada 3 a3 + h ¼ a + 3a2 . Utilize-a
o h
p p
para calcular aproxima»~es de 3 63 e 3 65. (Compare com os resultados obtidos
co
em uma calculadora eletr^nica.) Respostas. 3; 98 e 4; 02.
o
4. Mostre que aplicando-se uma ¯na camada de tinta de espessura h, µ superf¶ de
a ³cie
uma bola esf¶rica de ¶rea externa S, o volume da esfera sofre um acr¶scimo de
e a e
aproximadamente S ¢ h.
5. A ¶rea A de um quadrado de lado s ¶ dada por s2 . Para um acr¶scimo ¢s de s,
a e e
ilustre geometricamente dA e ¢A ¡ dA.
Resposta. dA ¶ a ¶rea da regi~o sombreada.
e a a
¢A ¡ dA ¶ a ¶rea do quadrado menor, que
e a ∆s
aparece no canto superior direito.
s