O documento descreve técnicas de integração envolvendo completar quadrados e funções trigonométricas. A seção 18.1 explica como completar quadrados permite reduzir integrais a formas que podem ser resolvidas usando uma tabela de integrais. A seção 18.2 trata de integrais envolvendo funções sen e cos, mostrando como reduzi-las a integrais de polinômios.

1. Aula 18
Ampliando o repert¶rio de t¶cnicas
o e
de integra»~o
ca
18.1 Completando quadrados
Da nossa tabela ampliada de integrais imediatas, tabela 15.1, p¶gina 135, temos as
a
integrais da tabela 18.1 abaixo.
Tabela 18.1. (a > 0, ¸ 60)
=
Z Z ¯ ¯
dx 1 x dx 1 ¯a + x¯
= arc tg + C = ln ¯ ¯ + C.
a2 + x2 a a a2 ¡ x2 2a ¯ a ¡ x ¯
Z Z p
dx x dx
p = arc sen + C p = ln jx + x2 + ¸j + C
a2 ¡ x2 a x2 + ¸
Voltaremos nossa aten»~o agora ao c¶lculo das integrais
ca a
Z Z
dx (Ax + B)dx
I1 = 2 + bx + c
I2 =
ax ax2 + bx + c
Z Z
dx (Ax + B)dx
I3 = p I4 = p
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
nas quais, a, b, c, A e B s~o n¶meros reais, e a 60.
a u =
Veremos que, para calcular cada uma das integrais I1 , I2 , I3 , e I4 , tudo (ou quase
tudo) que temos a fazer ¶ completar um quadrado em ax2 + bx + c, e ent~o usar a
e a
pequena tabela de integrais 18.1.
159

2. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 160
Lembramos que completar um quadrado em ax2 + bx + c ¶ escrever este trin^mio
e o
do segundo grau na forma a(x + m)2 + n.
Primeiramente, colocamos o coe¯ciente a em evid^ncia:
e
µ ¶
2 2 b c
ax + bx + c = a x + x +
a a
b c
Completamos ent~o o quadrado em x2 + x + :
a
a a
µ ¶2 µ ¶
2 ¯ ¯2
x + ¯x + ° = x + + °¡
2 4
Fazemos ent~o, para o c¶lculo de uma das integrais I1 , I2 , I3 , e I4 , a substitui»~o
a a ca
¯
u= x+ ; du = dx
2
e teremos
x2 + ¯x + ° = u2 § k 2
ax2 + bx + c = a(u2 § k 2 )
Agora, a menos de alguns pequenos ajustes, recairemos em integrais da tabela
18.1.
Z
dx
Exemplo 18.1 Calcular .
2x2 + 3x + 1
Solu»~o. Come»amos fazendo
ca c
µ ¶ "µ ¶2 #
2 2 3 1 3 9 1
2x + 3x + 1 = 2 x + x + =2 x+ ¡ +
2 2 4 16 2
"µ ¶2 # " µ ¶2 #
3 1 2 1
= 2 x+ ¡ =2 u ¡
4 16 4
sendo u = x + 3=4.
Como du = dx,
Z Z Z
dx du 1 du
= h ¡ 1 ¢2 i = 2 ¡ ¢2
2x2 + 3x + 1
2 u2 ¡ 4 u2 ¡ 1 4
Z ¯1 ¯
1 du 1 1 ¯ 4 + u¯
=¡ ¡ 1 ¢2 =¡ ¢ ln ¯ ¯+C (tabela 18.1)
2 ¡ u2 2 2 ¢ 1 ¯ 1 ¡ u¯
4 4
4
¯ ¯ ¯ ¯
¯ 1 + 4u ¯ ¯ ¯
¯
= ¡ ln ¯ ¯ + C = ¡ ln ¯ 1 + 4x + 3 ¯ + C
1 ¡ 4u ¯ ¯ 1 ¡ (4x + 3) ¯
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯ 4x + 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
¯
= ¡ ln ¯ ¯ + C = ¡ ln ¯ 2x + 2 ¯ + C = ln ¯ 2x + 1 ¯ + C
4x + 2 ¯ ¯ 2x + 1 ¯ ¯ 2x + 2 ¯

3. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 161
Z
x¡1
Exemplo 18.2 Calcular p dx.
1 ¡ x ¡ x2
Solu»~o. Come»amos fazendo
ca c
"µ ¶2 #
1 1
1 ¡ x ¡ x2 = ¡(x2 + x ¡ 1) = ¡ x + ¡ ¡1
2 4
"µ # 2 3
¶2 µ ¶2 Ã p !2
1 5 1 5 5
=¡ x+ ¡ = ¡4 x + ¡
2 4 2 2
à p !2 µ ¶
5 1 2
= ¡ x+
2 2
Sendo, u = x + 1=2, du = dx, e x = u ¡ 1=2,
Z Z
x¡1 x¡1
p dx = r³ ´ dx
1 ¡ x ¡ x2 p
5
2 ¡ ¢
1 2
2
¡ x+ 2
Z
u ¡ 3=2
= r³ ´ du
p 2
5
2
¡ u2
Z Z
u 3 1
= r³ ´2 du ¡ r³ ´2 du
p
5
2 p
5
2
¡ u2 2
¡ u2
1
=I¡ J
2
Z Z
u 1
sendo I = qp du, e J = qp du.
( 5=2)2 ¡ u2 ( 5=2)2 ¡ u2
p
Para o c¶lculo de I, fazemos w = ( 5=2)2 ¡ u2 , e ent~o dw = ¡2u du, e temos
a a
Z Z
u ¡ 1 dw
2
p
I= r³ ´2 du = p =¡ w+C
p w
5
2
¡ u2
v
uà p !2
u 5 p
= ¡t ¡ u2 = ¡ 1 ¡ x ¡ x2 + C
2
Por sua vez,

4. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 162
Z
1 u
J= r³ du = arc sen p +C
p ´2 5=2
5
2
¡u2
2u 2x + 1
= arc sen p + C = arc sen p +C
5 5
Portanto,
Z
x¡1 1
p dx = I ¡ J
1 ¡ x ¡ x2 2
p 1 2x + 1
= ¡ 1 ¡ x ¡ x2 ¡ arc sen p +C
2 5
18.2 Algumas integrais envolvendo fun»~es
co
trigonom¶tricas
e
R
18.2.1 Integrais da forma senm x cosn x dx, m e n inteiros n~o
a
negativos
Primeiro caso: m ou n ¶ um inteiro ¶
e ³mpar
R
Consideremos J = senm x cosn x dx.
Sendo m e n inteiros n~o negativos, no caso em que o expoente m ¶ ¶
a e ³mpar,
teremos m = 2k + 1, e ent~o
a
Z
J = sen2k+1 x cosn x dx
Z
= sen2k x cosn x sen x dx
Z
= (sen2 x)k cosn x sen x dx
Z
= (1 ¡ cos2 x)k cosn x sen x dx
Agora fazemos cos x = t, e ent~o dt = ¡ sen x dx, obtendo
a
Z Z
J = (1 ¡ t ) t (¡dt) = ¡ (1 ¡ t2 )k tn dt
2 k n
que ¶ uma integral de um polin^mio em t.
e o
Se m ¶ par, mas n ¶ ¶
e e ³mpar, transformamos a integral J em uma integral de um
polin^mio, por um procedimento an¶logo.
o a

5. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 163
R
Exemplo 18.3 Calcular J = sen6 x cos5 x dx.
Solu»~o.
ca
Z Z
6 5
J= sen x cos x dx = sen6 x cos4 x cos x dx
Z Z
= sen x(cos x) cos x dx = sen6 x(1 ¡ sen2 x)2 cos x dx
6 2 2
Z
= t6 (1 ¡ t2 )2 dt, sendo t = sen x, dt = cos x dx.
Teremos ent~o
a
Z Z
6 2 4
J= t (1 ¡ 2t + t ) dt = (t6 ¡ 2t8 + t10 ) dt
t7 2t9 t11
= ¡ + +C
7 9 11
sen7 x 2 sen9 x sen11 x
= ¡ + +C
7 9 11
Segundo caso: m e n s~o ambos pares
a
Neste caso, abaixamos os graus das pot^ncias de fun»~es trigonom¶tricas, mediante as
e co e
rela»~es
co
1 + cos 2a 1 ¡ cos 2a
cos2 a = sen2 a = (18.1)
2 2
ou seja, fazemos
Z Z
J= sen x cos x dx =
m n
sen2k x cos2` x dx
Z
=(sen2 x)k (cos2 x)` dx
Z µ ¶ µ ¶
1 ¡ cos 2x k 1 + cos 2x `
= dx
2 2
R
Exemplo 18.4 Calcular I = sen4 x cos2 x dx.
R R
Solu»~o.I = sen4 x cos2 x dx = (sen2 x)2 cos2 x dx
ca
Fazendo uso das rela»~es trigonom¶tricas 18.1, temos
co e
Z µ ¶2 µ ¶
1 + cos 2x 1 + cos 2x
I= dx
2 2
Z µ ¶µ ¶
1 ¡ 2 cos 2x + cos2 2x 1 + cos 2x
= dx
4 2

6. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 164
Z
1
= (1 + cos 2x ¡ cos2 2x + cos3 2x) dx
8
Z Z Z Z
1 1 1 2 1
= dx ¡ cos 2x dx ¡ cos 2x dx + cos3 2x dx
8 8 8 8
Calculando separadamente as quatro integrais, temos:
R
I1 = dx = x (juntaremos adiante todas as constantes em uma s¶) o
R
I2 = cos 2x dx = 1 sen 2x
2
Z Z
2 1 + cos 4x
I3 = cos 2x dx = dx (cos2 a = 1+cos 2a )
2
2
Z Z
1 1
= dx + cos 4x dx
2 2
x 1 1 x 1
= + ¢ sen 4x = + sen 4x
2 2 4 2 8
Z
I4 = cos3 2x dx (pot^ncia de cosseno, de expoente ¶
e ³mpar!)
Z Z
= cos 2x cos 2x dx = (1 ¡ sen2 2x) cos 2x dx
2
Z
dt
= (1 ¡ t2 ) ¢ (t = sen 2x, dt = 2 cos 2x dx, logo cos 2x dx = dt
2
)
2
µ ¶
1 t3 sen 2x sen3 2x
= t¡ = ¡
2 3 2 6
Finalmente,
Z
1
I= sen4 x cos2 x dx = (I1 ¡ I2 ¡ I3 + I4 )
8
1 1 1 1 1 1
= x¡ sen 2x ¡ x ¡ sen 4x + sen 2x ¡ sen3 2x + C
8 16 16 64 16 48
x sen 4x sen3 2x
= ¡ ¡ +C
16 64 48
18.3 F¶rmulas de redu»~o (ou de recorr^ncia)
o ca e
As f¶rmulas de redu»~o, ou f¶rmulas de recorr^ncia, freqÄentemente encontradas em
o ca o e u
t¶buas de integrais, s~o em geral obtidas atrav¶s de integra»~o por partes.
a a e ca
Nos exemplos abaixo, deduziremos duas delas e ilustraremos como s~o usadas.
a
Exemplo 18.5 Sendo n ¸ 2, deduzir a f¶rmula de redu»~o
o ca
Z Z
tg x secn¡2 x n ¡ 2
sec x dx =
n
+ ¢ secn¡2 x dx (18.2)
n¡1 n¡1

7. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 165
R
Solu»~o. Seja In =
ca secn x dx. Temos
Z Z Z
2
In = sec x dx = sec{z x sec x dx = uv ¡ v du
n
|
n¡2
} | {z }
u dv
Sendo u = secn¡2 x dx, temos
du = (n ¡ 2) secn¡3 x ¢ (sec x)0 dx = (n ¡ 2) secn¡3 x ¢ sec x tg x dx
= (n ¡ 2) secn¡2 x tg x dx
Sendo dv = sec2 x dx, tomamos v = tg x. Da¶ ³
Z
In = uv ¡ v du
Z
= tg x secn¡2
x ¡ tg x ¢ (n ¡ 2) secn¡2 x tg x dx
Z
= tg x secn¡2
x ¡ (n ¡ 2) secn¡2 x tg2 x dx
R
Agora, sendo J = secn¡2 x tg2 x dx, temos
Z Z
2
J = sec n¡2
x(sec x ¡ 1)dx = (secn x ¡ secn¡2 x)dx
Z Z
= sec x dx ¡ secn¡2 x dx = In ¡ In¡2
n
Assim sendo,
In = tg x secn¡2 x ¡ (n ¡ 2)J
= tg x secn¡2 x ¡ (n ¡ 2)(In ¡ In¡2 )
de onde
[1 + (n ¡ 2)]In = tg x secn¡2 x + (n ¡ 2)In¡2
e portanto
tg x secn¡2 x n ¡ 2
In = + In¡2
n¡1 n¡1
ou seja, Z Z
tg x secn¡2 x n ¡ 2
sec x dx =
n
+ secn¡2 x dx
n¡1 n¡1
R
Exemplo 18.6 Empregando a f¶rmula de redu»~o 18.2, calcule as integrais
R R o ca sec3 x dx,
4 5
sec x dx, e sec x dx.
Aplicando a f¶rmula 18.2, que acabamos de deduzir acima, temos, quando n = 3,
o
Z Z
3 tg x sec x 1
sec x dx = + sec x dx
2 2
tg x sec x 1
= + ln j sec x + tg xj + C
2 2

8. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 166
Aplicando a f¶rmula 18.2, para n = 4, temos
o
Z Z
4 tg x sec2 x 2
sec x dx = + sec2 x dx
3 3
2
tg x sec x 2
= + tg x + C
3 3
Para n = 5, temos
Z
tg x sec3 x 3
sec5 x dx = I5 = + I3
4 4
3
µ ¶
tg x sec x 3 tg x sec x 1
= + + I1
4 4 2 2
3
tg x sec x 3 tg x sec x 3
= + + ln j sec x + tg xj + C
4 8 8
Exemplo 18.7 Deduza a f¶rmula de recorr^ncia
o e
Z Z
1 n¡1
cos x dx = sen x cos
n n¡1
x+ cosn¡2 x dx
n n
R R
e ent~o, usando-a, calcule cos4 x dx e cos7 x dx.
a
Solu»~o.
ca Z Z Z
cos x dx =
n
cos{z x cos{z dx = uv ¡
|
n¡1
}| x } v du
u dv
Sendo u = cosn¡1 x, temos du = ¡(n ¡ 1) cosn¡2 x sen x dx.
Sendo dv = cos x dx, podemos tomar v = sen x. Ent~oa
Z Z
cosn x dx = sen x cosn¡1 x + (n ¡ 1) cosn¡2 x sen2 x dx
Z
= sen x cosn¡1
x + (n ¡ 1) cosn¡2 x(1 ¡ cos2 x) dx
µZ Z ¶
= sen x cosn¡1
x + (n ¡ 1) cos n¡2
x dx ¡ cos x dx
n
Logo,
Z Z Z
cos x dx = sen x cos
n n¡1
x + (n ¡ 1) cos n¡2
x dx ¡ (n ¡ 1) cosn x dx
Da¶
³, Z Z
n cos x dx = sen x cos
n n¡1
x + (n ¡ 1) cosn¡2 x dx
e ent~o
a Z Z
1 n¡1
cos x dx = sen x cosn¡1 x +
n
cosn¡2 x dx
n n

9. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 167
Deixamos para o leitor a aplica»~o desta f¶rmula, para obter
ca o
Z
1 3 3x
cos4 x dx =
sen x cos3 x + sen x cos x + +C
4 8 8
Z
1 6 8 16
cos7 x dx = sen x cos6 x + sen x cos4 x + sen x cos2 x + sen x + C
7 35 35 35
18.4 Problemas
Integrais que requerem completamento de quadrados
R 1
1. dx
x2 +2x+5
. Resposta. 2
arc tg x+1 + C.
2
R
2. dx
. Resposta. p1
arc tg 3x¡1 + C.
p
3x2 ¡2x+4 11 11
R ¯ x¡5 ¯
3. x2 ¡6x+5 . Resposta. 1 ln ¯ x¡1 ¯ + C.
dx
4
R 6x¡7
4. 3x2 ¡7x+11 dx. Resposta. ln j3x2 ¡ 7x + 11j + C.
R 3x¡1
5. x2 ¡x+1 dx. Resposta. 3 ln(x2 ¡ x + 1) + p3 arc tg 2x¡1 + C.
2
1 p
3
R
6. p2¡3x¡4x2 . Resposta. 1 arc sen 8x+3 + C.
dx
2
p
41
R 1
p
7. p3x2 +5x . Resposta. p3 ln j6x + 5 + 12(3x2 + 5x)j + C.
dx
R p
8. p3+4x¡4x2 dx. Resposta. ¡ 1 3 + 4x ¡ 4x2 + 7 arc sen 2x¡1 + C.
x+3
4 4 2
R 2ax+b p
9. pax2 +bx+c dx. Resposta. 2 ax2 + bx + c + C.
Integrais envolvendo fun»~es trigonom¶tricas
co e
R 1
1. sen3 x dx. Resposta. 3
cos3 x ¡ cos x + C.
R
2. sen5 x dx. Resposta. ¡ cos x + 2 cos3 x ¡ 1 cos5 x + C.
3 5
R
3. cos4 x sen3 x dx. Resposta. ¡ 1 cos5 x + 1 cos7 x + C.
5 7
R cos3 x
4. sen4 x
dx. Resposta. cosec x ¡ 1 cosec3 x + C.
3
Sugest~o. Use o mesmo procedimento descrito µ pagina 162, para o c¶lculo da
aR a a
integral senm x cosn x dx, quando m ou n ¶ um expoente ¶
e ³mpar.
R
5. sen4 x dx. Resposta. 3 x ¡ sen 2x + sen 4x + C.
8 4 32
R ³ ´
6 1 sen3 2x 3
6. cos x dx. Resposta. 16 5x + 4 sen 2x ¡ 3 + 4 sen 4x + C.

10. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 168
R 1
¡ sen 8x
¢
7. sen4 x cos4 x dx. Resposta. 128
3x ¡ sen 4x + 8
+ C.
Sugest~o. sen x cos x = 1 sen 2x.
a 2
R 3 2x
8. tg x dx. Resposta. tg2 + ln j cos xj + C.
Sugest~o. tg3 x = tg x tg2 x = tg x(sec2 x ¡ 1).
a
R
9. sec3 x dx. Resposta. 1 sec x tg x + 1 ln j sec x + tg xj + C.
2 2
R R 2
Sugest~o. sec x dx = sec x | {z dx. Depois, use a identidade tg2 x =
a 3
|{z} sec x }
u dv
sec2 x ¡ 1. Alternativamente, podemos fazer
R R 1 R cos R cos x dx
sec3 x dx = cos3 x dx = cos4x dx = (1¡sen2 x)2 , e ent~o u = sen x.
x
a
R
10. sec4 x dx. Resposta. tg x + 1 tg3 x + C.
3
Sugest~o. sec4 x = sec2 x sec2 x = (1 + tg2 x) sec2 x.
a
R sen3 x
11. p
3 dx. Resposta. 3 cos5=3 x + 3 cos¡1=3 x + C.
5
cos4 x
R ¯ x ¯
¯ tg ¡2 ¯
12. 4¡5dx x . Resposta. 1 ln ¯ 2 tg2x ¡1 ¯ + C.
sen 3 2
2 tg x
2 1¡tg2 x
Sugest~o. Use a identidade sen x =
a (temos tamb¶m cos x =
e 1+tg2
2
x ).
1 + tg2 x
2
2
2
Fa»a tg x = u, com
c 2
= arc tg u e ent~o dx = 1+u2 du.
x
2
a
R 2 p ³ ´
13. sen x2dx . Resposta. 2 arc tg tg 2 ¡ x + C.
1+cos x
px
1
Sugest~o. Como 1 + tg2 x = sec2 x, deduzimos cos2 x =
a 1+tg2 x
e
tg2
sen2 x = cos2 x tg2 x = x
1+tg2 x
. Fa»a t = tg x, x = arc tg t.
c
R
14. sen ax cos bx dx (a 6b). Resposta. ¡ cos(a+b)x ¡
= 2(a+b)
cos(a¡b)x
2(a¡b)
+ C.
Sugest~o. Considere as f¶rmulas abaixo, e some-as membro a membro.
a o
sen(a + b)x = sen ax cos bx + sen bx cos ax
sen(a ¡ b)x = sen ax cos bx ¡ sen bx cos ax
R sen(a¡b)x sen(a+b)x
15. sen ax sen bx dx (a 6b). Resposta.
= 2(a¡b)
¡ 2(a+b)
+C
Sugest~o. Desenvolva cos(a + b)x e cos(a ¡ b)x, e subtraia, membro a membro,
a
uma f¶rmula da outra.
o

11. ¶ ¶ »~
Ampliando o repertorio de tecnicas de integracao 169
F¶rmulas de redu»~o
o ca
1. Deduza a f¶rmula de recorr^ncia
o e
Z Z
tgn¡1 x
tg x dx =
n
¡ tgn¡2 x dx
n¡1
e ent~o, usando-a, calcule
a
R 4 2
(a) tg5 x dx. Resposta. tg4 x ¡ tg2 x ¡ ln j cos xj + C.
R 5 3
(b) tg6 x dx. Resposta. tg5 x ¡ tg3 x + tg x ¡ x + C
R R R
Sugest~o. tgn x dx = tgn¡2 x tg2 x dx = tgn¡2 x(sec2 x ¡ 1) dx.
a
2. Deduza as f¶rmulas de recorr^ncia
o e
Z Z
1 n¡1
(a) sen x dx = ¡ cos x sen
n n¡1
x+ senn¡2 x dx
n n
Z Z
1 n ax n
(b) x e dx = x e ¡
n ax
xn¡1 eax dx
a a