Funcoes varias variaveis

Universidade Católica Portuguesa
Funções reais
de
várias variáveis reais
Matemática I
Margarida Macedo
Setembro de 2014

Alguns dos exemplos e exercícios apresentados foram
retirados de provas e outros documentos de trabalho
elaborados em colaboração com os restantes elementos
da equipa de Matemática:
José Júlio Meira Ramos
Margarida Corte-Real
Maria Helena Correia
Maria Manuela Maia

Funções reais de várias variáveis reais
Margarida Macedo – FEG_UCP 1
Índice
1. Funções de várias variáveis ................................................................................... 2
2. Domínio de uma função de duas variáveis ............................................................ 6
3. Curvas de nível de uma função de duas variáveis ................................................. 11
4. Derivadas parciais .................................................................................................. 16
4.1. Derivadas de 1ª ordem .................................................................................... 16
4.2. Derivadas de 2ª ordem ou superior ................................................................. 21
4.3. Derivada da função composta – Regra da cadeia ........................................... 27
5. Função definida na forma implícita ....................................................................... 31
5.1. Teorema da Função Implícita ......................................................................... 31
5.2. Derivada da Função definida na forma implícita ............................................ 31
6. Diferencial ............................................................................................................. 36
7. Polinómio de Taylor .............................................................................................. 41
8. Homogeneidade ..................................................................................................... 43
9. Optimização ........................................................................................................... 47
9.1. Extremos livres de funções com duas variáveis ............................................. 47
9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas variáveis ............................ 48
9.3. Cálculo de extremos condicionados de funções com duas variáveis .............. 51
9.3.1. Condições de igualdade – método da função auxiliar de Lagrange ...... 51
9.3.2. Condições de desigualdade – método da Karush-Kuhn-Tucker ............ 57
Bibliografia ............................................................................................................ 60

1. Funções de várias variáveis
Uma função pode ser definida como uma relação entre dois conjuntos, onde a cada
elemento do domínio (um subconjunto do conjunto de partida) está associado um e um só
elemento do contradomínio (um subconjunto do conjunto de chegada). Nas funções reais
com uma variável real, tanto os objectos como as imagens são números reais. Este
capítulo aborda conceitos relativos a funções reais de várias variáveis reais, ou seja, o
domínio é um subconjunto de n
R
  RxxxxR in
n
 ;,...,, 21
Em particular:
Função de duas variáveis: Uma função f de duas variáveis é uma relação que associa a
cada par ordenado de números reais (x,y) um único valor real representado por f(x,y). Pode-
se representar ),( yxfz  para tornar explícitos os valores tomados por f num ponto
genérico. As variáveis x e y são variáveis independentes, e z a variável dependente.
Ou seja, uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um subconjunto de
2
 e cuja imagem é um subconjunto de  . Uma maneira de visualizar tal função é pelo
diagrama sagital, onde o domínio D é representado como um subconjunto do plano Oxy.
Exemplo:
Função de Produção de Cobb-Douglas – função que relaciona a produção com as
variáveis quantidade de trabalho e capital:
 
 1
),( yCxyxp ( parâmetro real)

em que x representa o número de unidades de trabalho, y o número de unidades de capital e
p(x,y) o número de unidades produzidas a eles associado.
Problema:
Um fabricante estima que a produção de determinado produto, medida em unidades,
admite como modelo 4,06,0
100),( yxyxf  , em que x representa o trabalho (em
pessoas/hora) e y o capital em milhares de unidades monetárias.
a) Qual é o nível de produção quando x = 1000 e y = 500?
b) Como é afectada a produção quando se duplicam as quantidades de trabalho e
capital?
c) Como é afectada a produção quando se triplicam as quantidades de trabalho e
capital?
Resolução:
a)  4,06,0
5001000100)500,1000(f 75785,83 (unidades)
b)     ),(2100222100)2,2( 4,06,04,06,04,06,0
yxfyxyxyxf  
a produção duplica
c)     ),(3100333100)3,3( 4,06,04,06,04,06,0
yxfyxyxyxf  
a produção triplica
Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o conjunto de
todos os pontos (x, y, z) em 3
 tal que ),( yxfz  e (x, y) pertencem ao domínio D.

Exemplos:
1) yxyxf 236),(  no 1º octante
2) 22
9),( yxyxg 
3) 22
4),( yxyxh  .
4)
22
)3(),( 22 yx
eyxyxf 


5) yxyxf sensen),( 
6)
xy
yx
yxf
sensen
),( 
Função de três variáveis: uma função f de três variáveis é uma relação que associa a cada
terno ordenado (x, y, z) de um domínio 3
D um único número real representado por
),,( zyxf .
Exemplo:
Pagamento mensal para amortização de um empréstimo
t
r
cr
trcM 12
12
1
1
1
12),,(















em que M é o pagamento mensal para a amortização de um empréstimo de c u.m. em t
anos, à taxa anual de r.

2. Domínio de uma função de duas variáveis
Domínio de uma função f é o conjunto dos elementos do conjunto de partida para os quais
a expressão analítica que define a função tem significado. Em particular, se a função f é
de duas variáveis, o domínio da função dá origem a um conjunto de pares ordenados que
constituem um domínio plano.
Para determinar o domínio de uma função, independenetemente do número de variáveis,
deveremos ter em conta que:
 O denominador de uma fracção deverá ser diferente de zero
 O argumento de um logaritmo deverá ser maior que zero
 O radicando de uma raíz de índice par deverá ser maior ou igual a zero
 O argumento de um arcsen ou arccos deverá estar compreendido entre -1 e 1
Exemplos:
Determinar analiticamente e representar geometricamente o domínio de algumas
funções:
1)
1
1
),(



x
yx
yxf
  0101:, 2
 xyxRyxD
2) )ln(),( 2
xyxyxf 
  0:, 22
 xyRyxD

3) 22
9),( yxyxg 
  
  9:,
09:,
222
222


yxRyx
yxRyxD
4)
yx
yx
yxf


 ln),(
 




































xy
xy
xy
xy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
RyxD
0
0
0
0
0
0:, 2
5)
x
y
xf
1
ln
)( 
 
11
1
0
1
ln
00
1
0
1
ln0
1
:, 2




















x
xx
x
x
xx
RyxD
y
0 x
y = - x y y = x
x
x=1

6)   






2
arcsenln 2 x
yxz y x=2
  2 2
2 2
, : 0 1 1
2
0
1 1 2 2
2
x
D x y R x y
x y x y
x
x
 
        
 
   
      
0
7)
x
yx
yxf
2
ln),(

 y
y = x
  2
, : 0
2
0 0
0
2 2 0 2 0 0 0
x y
D x y R
x
x y x y y x y xx y
x x x x x
 
   
 
            
       
         
0 x
8) 2
2
ln),(
y
x
yxf 
y
 
2
2
2
2
2
, : 0
0 0 0
x
D x y R
y
x
x y
y
  
   
  
    
9)
22
22
4ln
),(
yxxy
yx
yxg



  
  
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
, : 4 0 0 0
4 0 4 0 4
0 0 0
0 0
0 0
0 0
D x y R x y xy x y
x y x y x y
xy x y
x y x y y x y x
x y x y x y
x y x y y x y x
         
         
    
             
            
           
x = 2
0
x

2
x
-2
10)   22
1
1
,
yx
x
yxf



 2 2 2
( , ) : 0 1 0D x y R x x y       1
2 2 2 2
1 0 1x y x y     
-1 1 x
11)  
yx
x
yxf

,
2
( , ) : 0
x
D x y R
x y
 
   
 
0 0 0 0
0
0 0
x x x xx
x y x y y x y xx y
      
       
         
12.  
xyx
xyx
yxf
2
2
, 22
22



 
 
 
 
2 2
2
2 2
2 22 22 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 2 22 2
2
( , ) : 0
2
1 1 1 12 0 2 02
0
2 2 0 2 0 1 1 1 1
x y x
D x y R
x y x
x y x yx y x x y xx y x
x y x x y x x y x x y x y
   
   
   
                  
       
                  
y = - x
y = x

-
x
y
13)  , arccos
x
f x y x
y
 
  
 
2
( , ) : 1 1
x
D x y R
y
 
     
 
1 1 1 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
x x x x y x y
y y y y y
x y x y x y x y
y y y y
y x y x
y y
 
           
              
          
         
   
  
   0 0
y x y x
y y
       
    
    
y = x y = -x
0 x 0 x
-1 1

A intersecção das duas figuras fica:
y = -x y = x
0 x
3. Curvas de nível de uma função de duas variáveis
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as linhas (no domínio de f), com
equação kyxf ),( , onde k é uma constante real.
Uma curva de nível kyxf ),( é o conjunto de todos os pontos do domínio de f nos quais
o valor de f é k. Por outras palavras, mostra onde o gráfico de f tem cota k.
Consequentemente, todos os pontos de determinada curva de nível têm a mesma imagem.
x

Na figura da página anterior, pode ser observada a relação entre curvas de nível e os traços
horizontais. As curvas de nível kyxf ),( são apenas traços do gráfico de f no plano
horizontal kz  projetado sobre o plano Oxy. A superfície será mais inclinada onde as
curvas de nível estiverem mais próximas uma das outras e mais plana onde as curvas de
nível estiverem mais distantes uma das outras.
Exemplos:
Esboçar algumas curvas de nível de algumas funções:
1) yxyxf 236),( 
2) 22
9),( yxyxg 
As figuras abaixo mostram algumas curvas de nível geradas por computador juntamente
com os gráficos correspondentes.
3) 22
4),( yxyxh 

4)
22
),( yx
xyeyxf 

5)
1
3
),( 22



yx
y
yxf
As curvas de nível são utilizadas, entre outras aplicações, para a elaboração de mapas
topográficos. Neste caso, ),( yxf representa a elevação (em metros) em um ponto  yx,
de latitude x e longitude y. Na colina da figura esboçada (em três dimensões) encontram-se
as curvas correspondentes às elevações de 0, 100, 200, 300 e 400 metros, por exemplo.
Essas curvas podem ser encaradas como tendo sido obtidas cortando-se a colina em
“fatias” paralelas à base. O “caminho” ao longo de uma dessas curvas permanece sempre à
mesma altitude.

Mapa análogo é utilizado para indicar a profundidade da água num lago. Um exemplo é o
da figura abaixo, em que ),( yxf é a profundidade da água no ponto  yx, . Esse mapa
informa as partes do lago que devem ser evitadas por esquiadores aquáticos.
Como outra ilustração das curvas de nível, a figura ao lado exibe um mapa meteorológico,
em que ),( yxf representa a temperatura durante certo dia. Ao longo das curvas e do
nível, chamadas curvas isotérmicas, a temperatura é constante. Quando ),( yxf representa
a pressão barométrica em  yx, as curvas de nível neste caso serão chamadas isobáricas.
No caso das funções de três variáveis x, y e
z, então, por definição, as superfícies de
nível de f são os gráficos de kzyxf ),,(
para valores convenientes de k. Fazendo
210 ,, wwwk  , os gráficos resultantes serão
superfícies 210 ,, SSS , ilustradas ao lado. A
função ),,( zyxf não se altera quando um
ponto ),,( zyx se move ao longo de uma
dessas superfícies. Se ),,( zyxf é a
temperatura em ),,( zyx , as superfícies de nível são superfícies isotérmicas, e a
temperatura é constante em cada superfície. Se ),,( zyxf representa o potencial elétrico,
as superfícies de nível são superfícies equipotenciais, e a voltagem não se altera se
),,( zyx permanece em uma dessas superfícies.

Exemplos:
1) Determinar as curvas de nível da função  
yx
x
yxf

, :

x
k
x y


é impossível se k < 0, logo não existe curva de nível;
 0 0
x
x y x
x y
    

(eixo dos yy, excepto a origem (0,0))
 Se k > 0:
2
2 2 2
2
1x x k
k k x k x k y y x
x y x y k

       
 
As curvas pedidas são as que pertencem à família de semi-rectas de origem em
(0,0), sem incluir esse ponto, já que y x , de acordo com o domínio da função.
2) Determinar a curva de nível de valor 0 da função  
xyx
xyx
yxf
2
2
, 22
22


 :
2 2
2 2 2 2
2 2
2
0 2 0 2 0
2
x y x
x y x x y x
x y x
 
        
 
A curva é a circunferência de centro (-1,0) e raio 1, excepto o ponto (0,0).
3) Determinar a curva de nível de  , arccos
x
f x y x
y
 
  
 
à qual pertence o ponto  1,0 :
arccos
0 arccos0 0
arccos 0 0 arccos 0 0 1 0
x
x k
y
k k
x x x
x x x x y x
y y y
 
 
 
   
   
               
   
A curva de nível pedida é a reunião das rectas x = 0 (eixo dos yy) e y = x, sem incluir
a origem, já que esta não pertence ao domínio.

4. Derivadas parciais
4.1. Derivadas de 1ª ordem
Seja f uma função de duas variáveis; as suas derivadas parciais de 1ª ordem são as funções
x
f


e
y
f


definidas por
h
yxfhyxf
yx
y
f
h
yxfyhxf
yx
x
f
h
h
),(),(
lim),(
),(),(
lim),(
0
0










Estas são as derivadas parciais de 1ª ordem.
Outras notações:
 
  ),(),(,
),(),(,
yxfyxf
y
yx
y
f
yxfyxf
x
yx
x
f
y
x












Regra prática para determinar as derivadas parciais de ),( yxfz  :
(1) Para determinar
x
f


, considera-se y como uma constante e deriva-se ),( yxf em
relação a x.
(2) Para determinar
y
f


, considera-se x como uma constante e deriva-se ),( yxf em
relação a y.
Exemplo: Sendo 2323
2),( yyxxyxf  , então
 
  yyxyx
y
f
xyxyx
x
f
43,
23,
22
32







Para dar uma interpretação geométrica para as derivadas parciais, recorde-se que a equação
),( yxfz  representa a superfície S (que corresponde ao gráfico de f). Se cbaf ),( ,
então o ponto ),,( cbaP pertence a S. Fixando by  , restringimos a nossa atenção à curva
1C na qual o plano vertical by  intercepta S. Da mesma forma, o plano vertical ax 
intercepta S na curva 2C . As curvas 1C e 2C passam pelo ponto P.
As derivadas parciais
x
f


e
y
f


podem ser interpretadas geometricamente como as
inclinações das retas tangentes em ),,( cbaP às linhas 1C e 2C de S nos planos by  e
ax  .
Por outro lado, se ),( yxfz  , então
x
f


representa a taxa de variação de z com relação a x
quando y é mantido fixo. Da mesma forma,
y
f


representa a taxa de variação de z em
relação a y quando x é mantido fixo.
Exemplos:
1) 22
24),( yxyxf  
   
   


















41,14,
21,12,
y
f
yyx
y
f
x
f
xyx
x
f

2) 







y
x
yxf
1
sen),( 
 






























2
11
cos
1
1
1
cos
y
x
y
x
y
f
yy
x
x
f
3)
1
( , )
2
x y
f x y
x y
 

 

 
   
 
   
2 2
2 2
2 1 2 3
2 2
2 1 2 1
2 2
x y x yf y
x x y x y
x y x yf x
y x y x y
      
 
    

       
    
4) ( , )g x y xy 
2
2
g y
x xy
g x
y xy



 


5)
5
( , )
4
y
h x y
x




 
 2
5
4
1
4
yh
x x
h
y x
 

 


 
6)
2 2
2 2
5 3
( , )
x y
f x y
x y




   
   
   
   
2 2 2 2
2
2 22 2 2 2
2 2 2 2
2
2 22 2 2 2
10 2 5 3 16
6 2 5 3 16
x x y x x yf xy
x
x y x y
y x y y x yf x y
y
x y x y
      

 

  
  
  
7) 2 2
cosz x y 
   
2
2 2 2
2 cos
2cos sen 2 sen cos sen 2
z
x y
x
z
x y y x y y x y
y


       

8)  arctgz xy 
 
 
2
2
1
1
z y
x xy
z x
y xy

 

 
 
9) arctg
y
z
x
 
  
 

2
2
2
1
1
1
y
z x
x y
x
z x
y y
x



  
  
  



       

10)
2
2
( , ) ln
2
x y
f x y
x
 
    

   
 
  
2 2
22
2 2 2
2
2
2 2
2
2 2 2
2 4 2
2
2
1
12
2
x x x y x
xf x xy
x x y x y x
x
f x
y x y x y
x
    


 
 
   
 


    
 
11)
x y
z
y x
  
2
2
1
1
z y
x y x
z x
y xy

 

   

12)
2
1
( , )
2
x y
h x y
 
  
 

2 2
2
2 21 1 1
ln ln 2
2 2 2
1
ln 2 2
2
x y x y
x y
h
y y
x
h
xy
y
                 
      

  
     
  
De modo análogo, podem ser definidas derivadas parciais de funções de três ou mais
variáveis:
h
zyxfhzyxf
zyx
z
f
h
zyxfzhyxf
zyx
y
f
h
zyxfzyhxf
zyx
x
f
h
h
h
),,(),,(
lim),,(
),,(),,(
lim),,(
),,(),,(
lim),,(
0
0
0















Genericamente:
Se u é uma função de n variáveis, ),..,,( 21 nxxxu  , a sua derivada parcial em relação à sua
i-ésima variável é:
 
h
xxxfxxhxxxf
x
u niniii
h
i
),...,,...,(,...,,,,...,
lim 1111
0



 


Exemplos:
1) zezyxf xy
ln),,(  
 
 
 



















z
e
zyx
z
f
zxezyx
y
f
zyezyx
x
f
xy
xy
xy
,,
ln,,
ln,,
2)
2 2 2
x y z
t e  
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
x y z
x y z
x y z
t
x e
x
t
y e
y
t
z e
z
 
 
 
 
 

 


 

4.2. Derivadas de 2ª ordem ou superior
Se f é uma função de duas variáveis, as suas derivadas parciais
x
f


e
y
f


são funções de
duas variáveis; de modo que podemos considerar novamente as suas derivadas parciais em
ordem a qualquer uma das variáveis, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f.
Assim, sendo ),( yxfz  temos as seguintes notações:
  xxxx ff
x
f
xx
f













2
2
  yyyy ff
y
f
yy
f













2
2
  xyyx ff
x
f
yxy
f












2
  yxxy ff
y
f
xyx
f












2

Exemplo:
Voltando a um exemplo anterior,   2323
2, yyxxyxf  , já tinham sido calculadas as
derivadas de 1ª ordem:
    yyxyx
y
f
xyxyx
x
f
43,e23, 2232






; assim,
        2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
6,e6,,46,,26, xyyx
xy
f
xyyx
yx
f
yxyx
y
f
yxyx
x
f












O facto de
xy
f
yx
f



 22
e serem iguais, resulta do Teorema de Clairaut-Schwarz-Young:
“Dada uma função  yxf , e   fDyx 00, , se as funções
xy
f
yx
f



 22
e forem ambas
contínuas em  00, yx , então    00
2
00
2
,, yx
xy
f
yx
yx
f





” (a generalidade das funções
utilizadas em Economia e Gestão verificam este pressuposto).
As derivadas parciais de ordem três ou superior também podem ser definidas de modo
análogo; por exemplo, 


























2
22
2
3
y
f
xxy
f
yxy
f
(ou seja, devem ser calculadas três
derivadas sucessivas, uma em ordem a x e duas em ordem a y, por qualquer ordem).
Exemplo:
Sendo )3(sen),,( yzxzyxf  , calcular
zxy
f


2
4
:
   
 
   yzxzyzxz
zyx
f
yzxz
yx
f
yzxz
yx
f
yzx
x
f














3cos63seny3
3cos3
3sen33cos3
2
2
4
2
2
3
2

Exercícios resolvidos:
1) Dada a função
x
y
xf
1
ln
)(  , calcular
f
x


e
f
y


.
Resolução:
22
2
1
ln
1
ln
1
1
























x
x
y
x
x
x
y
x
f
e
x
y
f
1
ln
1



2) Seja g(x,y) = arctg
yx
yx


. Mostre que 0
g g
x y
x y
 
 
 
.
Resolução:
 
 
 
 
 
 
yx
yx
yxx
x
yx
yx
yx
x
yx
x
yx
yx
yx
yx
yx
x
y
g
yx
yx
yxx
y
yx
yx
yx
x
yx
y
yx
yx
yx
yx
yx
y
x
g






































221
2
2
221
2
2
2
2
2
2
substituindo,
     
0
222















































yx
yx
yxx
xyxy
yx
yx
yxx
x
y
yx
yx
yxx
y
x
y
g
y
x
g
x

3) Dada a função   






2
arcsenln 2 x
yxz , calcule
z
x


.
Resolução:
 
  2
2
2
2
2
2
4
1
ln
2
arcsen
1
2
1
2
1
ln
2
arcsen
1
x
yx
x
yx
x
yx
x
yxx
z





























4) Mostre que se 22
yxz  então 033 2
22







y
z
y
yx
z
x .
Resolução:
 
    2222
2
2222
222
22
22
22
2
2
2222
2
22
222
2222
2
2
2
2
2
2
yxyx
x
yxyx
yyx
yx
yx
y
yyx
y
z
yxyx
y
yx
yx
y
y
yx
z
yx
y
yx
y
y
z


























Substituindo:
   
033
2222
2
2222
2






yxyx
x
y
yxyx
y
x
5) Seja 2
2
ln),(
y
x
yxf  ; calcular
f
x


e
f
y


.
Resolução:
2
2 4
2 2
2 2
2 2
2 2
x x y
f fy y
x x y yx x
y y

 
    
 

6) Sendo   22
1
1
,
yx
x
yxf


 , calcule as derivadas de 1ª ordem de f.
Resolução:
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1 1
2 1
1
1
1
1
x
x y x
x x yf
x x y
y
x
x yf
y x y

    
 

  

 
 

  
7) Considere a função  , arctg
x y
U x y
x y
 
  
 
. Determine o conjunto de pontos  yx, que
satisfazem a equação  yxU
y
U
xy
x
U
yx ,22






.
Resolução:
 
 
 
   
   
 
   
       
2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
, arctg
2
1
2
1
2 2
0
x y
U x y
x y
x y x y
x yU y
x x y x yx y
x y
x y x y
x yU x
y x y x yx y
x y
U U y x
x y y x x y y x
x y x y x y x y x y
 
  
 
  

 
    
   
   
 
 
    
   
  
   
       
arctg 0 0
x y x y
x y x y
x y x y
  
        
  
Os pontos que verificam a condição indicada são os pontos da recta y = x, excepto o
ponto ( 0,0 ).

8) Dada a função definida por  , arccos
x
f x y x
y
 
  
 
,
a) Calcule as derivadas de 1ª ordem da função.
b) Calcule  1,02
2
x
f


e  ,0
2
yx
f


.
Resolução:
a)
222
arccos
1
arccos
xy
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
f
























22
2
2
2
2
1
xyy
x
y
x
y
x
y
f












b)
2
2 2 2 2
2 2 2 22
2 2 2 2 22 2 2 2
2
21 1
x x
y x x y x
y x y xf
x y x y xy x y x

    
 
     
   
 
2
2
0
1 0
1 1 00,1 1 1 2
1 01 0
f
x
 
        

   
 
 
3
2 2 2 2 2
2 2 2 22
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2 2
2
0 0
0, 0
0
x x
xy y x x y x y x
y x y xf
x y y y x y y x
f
x y

 

    
 
 
   
 
 
  
9) Seja f uma função real de variável real diferenciável e h uma função real de duas
variáveis reais definida por
 22
),(
yxf
y
yxh

 . Mostre que  yxxh
y
h
xy
x
h
y ,2






.

Resolução:
 
  
     
  
 
  
   
    
 
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
3 2 2 2 2 3 2 2
2
2 2 2 22 2 2 2
' 2
' 2
2 ' 2 '
,
y f x y xh
x
f x y
f x y y f x y yh
y
f x y
xy f x y xyf x y xy f x yh h xy
y xy x h x y
x y f x yf x y f x y
   



     



       
     
   
4.3. Derivada da função composta – Regra da cadeia
1º caso: Seja ),( yxfz  uma função diferenciável de x e y, onde )(tgx  e )(thy  são
funções diferenciáveis em t. Então z é uma função diferenciável de t e
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz






x
u t
y
Exemplo:
Se 42
3xyyxz  , onde  tx 2sen e ty cos , determinar
dt
dz
quando t = 0.
  t
dt
dy
t
dt
dx
xyx
y
z
yxy
x
z
sene2cos2,12,32 324






       
           tttttttt
txyxtyxy
dt
dz
sencos2sen122sen2cos2cos3cos2sen2
sen122cos232
324
324


      6230sen0cos0sen120sen0cos20cos30cos0sen2 324
0






tdt
dz

2° caso: Seja ),( vufz  uma função diferenciável de u e v, onde ),( yxgu  e ),( yxhv 
são funções diferenciáveis em x e y.
u x
z
v y
Então z é uma função diferenciável de x e de y, ou seja, admite derivadas parciais
contínuas dadas por:
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z












e
y
v
v
z
y
x
u
z
y
z












Exemplo: Sendo yez x
sen , onde 2
stx  tsy 2
 , determinar
s
z


e
t
z


.
    sttsettsestyetye
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z ststxx
2cossen2cossen 222222













    222222
cos2sencos2sen stsesttsesyestye
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z ststxx













Caso Geral: Os casos anteriores podem-se generalizar de acordo com o número de
funções e de variáveis envolvidas. Assim, sendo u uma função diferenciável
de n variáveis nxxx ,..,,. 21 , onde cada jx é uma função diferenciável de m
variáveis mttt ,...,, 21 , tem-se
i
n
niii t
x
x
u
t
x
x
u
t
x
x
u
t
u

















...2
2
1
1
para cada i = 1, 2,..., m.

1) Sendo

















y
x
yxu senln),( , 2
3)( ttx  e 2
1)( tty  , calcule
dt
du
utilizando a regra
da derivação da função composta.
Resolução:
 
2
2 3 2
4 4 4 42 2 2 2 2
1
21
cos cos
6
1sen sen
6 3 3 3
cotg cotg
1 1 2 1 1 1
x
yx x
yy y ydu u dx u dy t
t
dt x dt y dt x x t
y y
t t t t
t t t t t
 
   
                 
      
      
   
   
    
   
       
2) Seja 






y
x
yxz arctg),( , vuvux sin),(  e vuvuy cos),(  . Utilizando a regra da
derivação da função composta, mostre que 0


u
z
e 1


v
z
.
Resolução:
x u
z
y v
2
2 2 2 2
2 2
1
sen cos
sen cos
1 1
sen cos - sen cos
0
x
z z x z y y v x vy y
v v
u x u y u y xx x
y y
u v v u v v
y x

     
       
        
    
   
 

 
   
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
1
cos sen
cos sen
1 1
cos sen
1
sin cos
x
z z x z y yu v xu vy y
u v u v
v x v y v y xx x
y y
u v u v
u v u v

     
        
        
    
   

 


3) Sendo gfz . , em que






122
2
yxg
ef y
, verifique, através da aplicação das regras de
derivação composta, que é verdadeira a expressão  
y
f
g
y
z





1 .
Resolução:


























y
y
g
ye
y
f
f
g
z
g
f
z y
2
2
2
 
   
y
f
gyxye
yeyeyxyfyeg
y
g
g
z
y
f
f
z
y
z
y
yyy
















122
22122
22
22
2
222
4) Sendo  zyxh ,, tal que   ee
x
h



0,,0 ,   10,,0 


e
y
h
e   ee
z
h



0,,0 , mostre que
    22
1ln,,sin),( xexyhyxH y
 verifica     01,01,0 





y
H
x
H
.
Resolução:
u x
h v
w y        , 0,1 , , 0, ,0x y u v w e  
         x
dx
dw
wvu
w
h
yx
x
u
wvu
u
h
yx
x
H
.,,,.,,,










    2
22
1
2
.cos.,
x
x
w
h
yxy
u
h
yx
x
H








        ee
u
h
wvu
u
h
x
H














)0cos(.0,,00cos.)0(),1(),1,0(1,0
         y
y
v
wvu
v
h
yx
y
u
wvu
u
h
yx
y
H












.,,,.,,,
    y
e
v
h
xyxy
u
h
yx
x
H
.2.cos., 2








    eee
v
h
y
H





 1
.0,,01,0 ; logo,     01,01,0 





y
H
x
H
f
g
z
x
y

5. Função definida na forma implícita
Em R, geralmente, uma função está definida por uma expressão do tipo y = f(x), ou seja, y
está definida como função de x na forma explícita. Por exemplo, 73 25
 xxy .
No entanto, por vezes, as funções são dadas de forma implícita, ou seja por uma equação
do tipo F(x, y) = 0. No exemplo apresentado, seria 073 25
 xxy .
Dada uma equação do tipo F(x,y) = 0, nem sempre é possível explicitar uma das variáveis
em função da outra. Ainda assim, em determinadas condições, continua a ser possível
calcular a derivada y’(x) ou
dx
dy
.
5.1. Teorema da Função Implícita
Seja F: 2
; se:
(1)   0, 00 yxF ,
(2)
y
f
x
f




e existem e são contínuas numa vizinhança V de  00 , yx
(3)
y
f


  0, 00 yx
então, a equação F(x, y) = 0 define implicitamente y como função de x em qualquer
vizinhança de  00 , yx contida em V, isto é, existe uma função f derivável definida em V,
com y = f(x), tal que f  0x = 0y e F(x, f(x)) = 0. Os pontos que verificam as condições do
teorema acima chamam-se pontos ordinários.
5.2. Derivada da Função definida na forma implícita:
Nas condições do teorema anterior, é possível calcular y’, ou
dx
dy
:
y
F
x
F
dx
dy






Exemplo:
Determinar y’ se xyyx 633
 .
xy
xy
xy
yx
y
F
x
F
dx
dy
xy
y
F
yx
x
F
xyyxxyyx
yxF
2
2
63
63
63
63
066
2
2
2
2
2
2
),(
3333
























  
O Teorema da Função Implícita e a regra de derivação indicada podem ser generalizados a
funções de n variáveis reais. No caso de uma equação da forma F(x,y,z) = 0, que define z
como função implícita de x e y, tem-se:
z
F
x
F
x
z







e
z
F
y
F
y
z







Exemplo:
Determinar
y
z
x
z




e , se 16333
 xyzzyx .










































xyz
xzy
xyz
xzy
dy
z
xyz
yzx
xyz
yzx
dx
z
xyz
z
F
xzy
y
F
yzx
x
F
xyzzyxxyzzyx
zyxF
2
2
63
63
2
2
63
63
63
63
63
01616
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
),,(
333333
  

1) Admita que )(xfy  é uma função derivável definida implicitamente pela equação
12
 xyxy .
a) Mostre que    
1)(2
)(1
'
2



xfx
xf
xf , para todo o fDx  e 01)(2 xfx .
b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto (0,1).
Resolução:
a) 011
),(
22

  
yxF
xyxyxyxy
 
1)(2
)(1
12
1
)´(
22











xxf
xf
xy
y
y
F
x
F
xf ( note-se que y = f(x) )
b) Recorde-se que a equação da recta tangente ao gráfico de uma função y = f (x) num
ponto de abcissa 0x , é dada por
 000 )(')( xxxfxfy 
No exemplo em causa, fica   120)0('1  xyxfy
2) Sendo )(xfy  uma função definida implicitamente pela equação xyyx 633
 ,
determinar y’ no ponto de abcissa zero.
Resolução:
000
6
3
33


yyx
xyyx

Concluimos no primeiro exemplo da página 34, que
xy
xy
xf
2
2
)(' 2
2


 . Se substituirmos
x e y pelas coordenadas (0,0), fica
0
0
)(' xf , que não nos permite calcular o valor
pretendido. Isso resulta do facto de   00,0 


y
F
, o que contraria o Teorema da Função
Implícita – estamos em presença de um ponto singular. Nestas condições, a técnica de
cálculo da derivada é outra, que corresponde a derivar ambos os membros da igualdade em
ordem a x (de acordo com o seguinte exemplo):
 '6'336 2233
xyyyyxxyyx 
Substituindo (x,y) por (0,0), fica 0 = 0 (esta redundância resulta em todos os pontos
singulares); repetindo o processo (depois de simplificar a igualdade obtida):
 
0)'''(2'2''''22
0'22''6'33
2
2222


xyyyyyyyyx
xyyyyxxyyyyx
Substituindo (x,y) por (0,0), fica 0'0'2'2  yyy
3) Seja )(ln),( 22
yxyxg  ; calcule
dx
dy
no ponto   








2
,
2
,
ee
yx , em que )(xy é a
função definida implicitamente por 01),( yxg .
Resolução:
1)ln(),(01)ln(01),( 2222
 yxyxFyxyxg























0
22
2
2
2),(
2
,
2
22 ee
e
y
F
yx
y
y
yxF
ee
é um ponto ordinário, pode ser
usado qualquer um dos métodos
1º método:
y
yxF
x
yxF
dx
dy





),(
),(
















22
22
2),(
2),(
yx
y
y
yxF
yx
x
x
yxF
y
x
yx
y
yx
x
dx
dy




22
22
2
2
No ponto   








2
,
2
,
ee
yx , 1
2
2 
e
e
dx
dy
2º método:
01)(ln 22
 yx
y
x
yyyx
yx
yyx



'0'220
'22
22
No ponto   








2
,
2
,
ee
yx , 1
2
2 
e
e
dx
dy
4) Considere a função )(xy , definida na forma implícita por 2 2
3 2y x x y xy 
a) Calcule a derivada
dx
dy
nos pontos (1,1) e (0,0).
Resolução:
2 2
6 ' 3 4 2 ' 'yy x y xy x y y xy    
No ponto (1,1), fica:
3
2
''1'243'6  yyyy
Em (0,0) fica 0 = 0; derivando novamente,
'''')'''2(2)'(4'6'6''6''6
''243'6
2
22
xyyyyxxyxyyyyyyxyyxyy
xyyyxxyyxyy


Em (0,0) fica 0''20  yy

b) Calcule a derivada 2
2
dx
yd
no ponto (0,0).
Resolução:
Na alínea anterior, foi obtida a expressão
'''')'''2(2)'(4'6'6''6''6 2
xyyyyxxyxyyyyyyxyyxyy 
simplificando, fica
  0'''2''2'84'12''6'6 22
 xyyyxxyyyyxyyxy
Derivando novamente:
        
    0'''''''2'''''22
'''8'4''''12''''''''6''''26
2
2


xyyyyxxy
xyyyyyyyyyxyyxyyyxyy
Em (0,0), com y’ = 0 (determinado em a), fica:
            00''''20020080400120006006 2
 yy
Donde resulta 0'' 2
2

dx
yd
y no ponto (0,0).
6. Diferencial
Seja y = f (x) uma função real de variável real em que x é a variável independente.
Quando x sofre uma variação x, positiva ou negativa (a que chamamos incremento de x),
y também sofre uma variação correspondente, y (que pode ser positiva, negativa ou nula).
Em particular, quando x varia de x0 até x0 + x, y é a variação correspondente no valor
de y, de f (x0) até f (x0 + x), conforme ilustra a figura.
A variação exacta é dada por y = f (x0 + x) – f (x0).

y
Suponhamos que f é diferenciável em x0. Como f’(x0) é o declive da reta tangente ao
gráfico de f em (x0, f(x0)), dy = ’(x) dx.
Então, dy é uma aproximação da variação da função f quando x varia x0 até x0 + x, ou seja
  xxfxfxxfxxfxfxxfy  000000 ')()()(')()(
A dy chama-se diferencial da função f e é calculado pela expressão dy = ’(x) dx.
Este conceito é generalizado a funções de variável multidimensional:
Seja f uma função de várias variáveis independentes, n21 ...,,, xxx . Seja ix o incremento
da variável ix . Então, o incremento de )...,,,( n21 xxxfz  associado, z , é dado por
 z )...,,,()...,,,( n212211 xxxfxxxxxxf nn 
Para ilustrar a definição anterior, vamos considerar uma função de duas variáveis do tipo
z = f (x , y) , em particular a equação de um plano:
dy
dx
x0 + x
f(x0 + x)
f (x)
f(x0)
x0

Define-se diferencial dz de uma variável dependente )...,,,( n21 xxxfz  , através da
igualdade
n
n
x
x
f
x
x
f
x
x
f
dz 








 2
2
1
1
Esta noção de diferencial pode ser utilizada no cálculo do valor aproximado de uma
função num ponto:
Conhecidos o ponto inicial  n21 ...,,, xxx , o ponto objectivo (após as variações)
)...,,,( 2211 nn xxxxxx  e o diferencial dz, é possível calcular um valor aproximado
da imagem do ponto objectivo:
dzxxxfxxxxxxf nn  )...,,,()...,,,( n212211

Exemplo:
Dada a função xyxyxf  2
3),( , calcular:
a) A variação exacta de f quando (x,y) varia de (1,2) para (1,01 ; 1,98).
065,01065,1)2,1()98,1;01,1(  fff
b) O diferencial da função.
    yxxyxy
y
f
x
x
f
df 





 6
c) Um valor aproximado da variação de f, calculado com recurso à expressão do
diferencial, quando (x , y) varia de (1,2) para (1,01;1,98).
   
 
06,0
02,004,0
14
02,0298,1
01,0101,1
6
)2,1()2,1(





























f
f
yxf
y
y
f
x
x
f
f
y
x
yxxyxy
y
f
x
x
f
f
d) Um valor aproximado de f(1,01;1,98), calculado com recurso à expressão do
diferencial.
06,1)98,1;01,1(
06,01)98,1;01,1(
06,0)2,.1()98,1;01,1(



f
f
fff

Exercício resolvido:
Calcule, usando a noção de diferencial, um valor aproximado de
98,005,0 22
01,2

e .
Resolução:
Por analogia com a expressão enunciada, considera-se
zy
ezyxf
x
22
),,(


Ponto inicial: (2 , 0 , 1)
Ponto objectivo: (2,01 ; 0,05 ; 0,98)
02,0198,0
05,0005,0
01,0201,2



z
y
x
2
)1,0,2(
22
e
x
f
zy
e
x
f x













0
2
2
)1,0,2(
22
22















y
f
zy
zy
y
e
y
f
x
2
)1,0,2(
22
22
2
2
e
z
f
zy
zy
z
e
z
f
x















então
    2217,002,005,0001,0 22
)1,0,2()1,0,2()1,0,2(


























feef
z
z
f
y
y
f
x
x
f
f
donde resulta 61,7
98,005,01098,005,0 22
01,2
22
2
22
01,2






ef
ee

7. Polinómio de Taylor
Seja f uma função real de variável real com derivadas de ordem k para k = 1, 2, ..., n numa
vizinhança de a  fDa . Então, pode ser definido polinómio de Taylor de ordem n
gerado por f no ponto a:
n
n
k
k
k
n
k
k
n
ax
n
af
ax
k
af
ax
af
axafaf
ax
k
af
xP
)(
!
)(
...)(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()(
)(
!
)(
)(
)()(
2
0
)(



No caso particular de a = 0, chama-se polinómio de Mac-Laurin:
 

n
k
n
n
k
k
x
n
f
x
f
xffx
k
f
0
)(
2
)(
!
)0(
...
!2
)0´´(
)0´()0(
!
)0(
Estes conceitos, podem ser generalizados a funções de variável multidimensional, em
particular à funções de duas variáveis:
Seja f (x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem, contínuas numa
vizinhança do ponto  00, yx . Então o polinómio de Taylor de 1º grau é dado pela
expressão
 
 
 
 
 yy
y
f
xx
x
f
yxfxP
yxyx
0
0,0
0
0,0
00,)( 















 ;
analogamente
Seja f (x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª e 2ª ordem numa vizinhança do
ponto  00, yx . Então o polinómio de Taylor de 2º grau é dado pela expressão
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
2
2
,)(
0
2
2
2
0,0
00
2
0,0
0
2
2
2
0,0
0
0,0
0
0,0
00
yy
y
f
yyxx
yx
f
xx
x
f
yy
y
f
xx
x
f
yxfxP
yxyx
yxyxyx













































O polinómio de Taylor permite calcular um valor aproximado de uma função num ponto,
através de uma aproximação polinomial. A aproximação através do polinómio de Taylor
de grau 1, corresponde à aproximação com recurso ao diferencial, vista no ponto anterior.
A aproximação através do polinómio de Taylor de grau 2 é mais precisa, conforme pode
ser verificado através do exemplo do ponto anterior:
xyxyxf  2
3),(
Fazendo o desenvolvimento em torno do ponto (1,2)
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
2
2
21
2
1
212,1);(
2
2
2
2,1
2
2,1
2
2
2
2,12,12,1












































y
y
f
yx
yx
f
x
x
f
y
y
f
x
x
f
fyxf
 
46
2,1











x
f
yx
x
f
 
1
2,1











y
f
x
y
f
62
2



x
f
1
2



yx
f
02
2



y
f
        
        
0605,1)98,1;01,1(
298,1101,1)1(101,13298,1)1(101,141)98,1;01,1(
21)1(132)1(141);(
2
2



f
f
yxxyxyxf
Recorde-se que o valor aproximado calculado com recurso ao diferencial (ou polinómio de
Taylor de 1ª ordem) foi 1,06. O valor exacto calculado pela máquina é 1,0605.

8. Homogeneidade
Uma função RRf n
: é uma função homogénea de grau k ( )Rk  se e só se
      RDxxxxxxfxxxf fnn
k
n   ,,...,,,,...,,,...,, 212121
Exemplos:
1) 4 4 2 2
( , ) 2 3f x y x y x y  
           4 4 2 2 4 4 4 2 2 4
( , ) 2 3 2 3 ,f x y x y x y x y x y f x y             
Logo f é uma função homogénea de grau 4.
2)     baa
LCKCLKV
1
21,


        
   
 
 LKVLCKC
LCKCLCKCLKV
b
a
LKV
baaba
baaaabaa
,
,
,
1
21
1
1
21
1
21








  
Logo V é uma função homogénea de grau
b
a
.
3)   12, 2
 aabbag
      1212, 222
 aabababag 
Não é possível isolar a função, colocando uma potência de base  em evidência; logo, g
não é uma função homogénea.

Teorema de Euler
Seja RRf n
: uma função homogénea de grau k ( )Rk  ; então, tem-se que
 nn
n
xxxfkx
x
f
x
x
f
x
x
f
,...,, 212
2
1
1









em todos os pontos do Dfddddd
Exemplo:
Foi visto num exemplo anterior que a função 4 4 2 2
( , ) 2 3f x y x y x y   é homogénea
de grau 4.
Para verificar o Teorema de Euler, deve ser verificada a igualdade
 yxfy
y
f
x
x
f
,4





   
  ),(42348124
68646864
42244224
2242242323
yxfyyxxyyxx
yxyyxxyyxyxxyxy
y
f
x
x
f







Nota:
Seja RRf n
: uma função homogénea de grau k ( )Rk  ; então, as primeiras derivadas
parciais de f, se existirem, são homogéneas de grau 1k .
Exemplo:
4 4 2 2
( , ) 2 3f x y x y x y   23
64 xyx
x
f




       yx
x
f
yxxyxxyx
x
f
,6464, 3223323





 homogénea de grau 3

1. Para produzir determinado bem empregam-se dois factores produtivos 1FP e 2FP nas
quantidades anuais x e y respectivamente. A função de produção é dada por
6,05,0
100),( yxyxP  .
a) Verifique que a função P(x,y) é homogénea e determine o seu grau de
homogeneidade.
b) Determine a variação provocada em P pela diminuição percentual simultânea de
20% nos dois factores 1FP e 2FP .
Resolução:
a)     ),(100100),( 1,16,06,05,05,06,05,0
yxPyxyxyxP  
Logo, P é homogénea de grau 1,1.
b) ),(78,0),(8,0)8,0;8,0( 1,1
yxPyxPyxP 
Conclusão: quando os dois factores diminuem 20%, P diminui 22%.
2. Dada a função
  2/
),( 

yx
yx
yxh



Determine  de modo a que o grau de homogeneidade de ),( yxh seja 1.
Nota: Quando a homogeneidade é de grau 1, diz-se que é Homogeneidade Linear.
Resolução:
   
     
),(),( 2/
2/2/2/2/2/
yxh
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yxh 















 









21
2
 

.

3. As funções reais ),,( 321 xxxf e ),,( 321 xxxg são homogéneas de graus m e p ,
respectivamente.
a) Das funções a seguir indicadas, quais as homogéneas (indicando o grau)?
i) gf  ii) gf  iii)
g
f
b) Se m = 2, uma variação positiva simultânea de 10% de 1x , 2x e 3x , permite quantificar
a variação de f . Qual é essa variação?
c) Se p = 3, qual o valor de
1x
g


no ponto (1,0,0), sabendo que 4)0,0,1( g ?
Resolução:
a) i) gf  será homogénea se m = p; nessas condições será homogénea de grau m.
ii) gf  é homogénea de grau m + n:
 
  ),,(),,(),,(
),,(),,(),,(
321321321
321321321
xxxgfxxxgxxxf
xxxgxxxfxxxgf
pmpm





iii)
g
f
é homogénea de grau pm  :
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,( 321
321
321
321
321
321 xxx
g
f
xxxg
xxxf
xxxg
xxxf
xxx
g
f pm
p
m

 





b) ),,(21,1),,(1,1)1,1;1,1;1,1( 321321
2
321 xxxfxxxfxxxf 
Conclusão: quando 1x , 2x e 3x sofrem uma variação positiva simultânea de 10%, ou
seja, aparecem afectados do factor multiplicativo 1,1  xxxxx 1,11,0%10  , a
variação de f é de 21%.
c) Pelo Teorema de Euler,  321
3
3
2
2
1
1 ,,3 xxxg
x
g
x
x
g
x
x
g
x 








 ; no ponto (1,0,0),

9. Optimização
9.1. Extremos de funções com duas variáveis
Dada uma função f (x,y), dizemos que ela tem um máximo relativo (ou local) num ponto P0
 00, yx se existe uma vizinhança de P0 de modo que:
  ),(, 00 yxfyxf 
para todo ponto (x, y) do domínio de f na referida vizinhança.
Analogamente, dizemos que f tem um mínimo relativo num ponto P0  00, yx se existe uma
vizinhança de P0 de modo que:
  ),(, 00 yxfyxf 
para todo ponto (x, y) do domínio de f na referida vizinhança.
f tem um máximo absoluto em P0 se   ),(, 00 yxfyxf  para todos os pontos (x, y) do
domínio de f e o valor máximo é  00, yxf ; analogamente, f tem um mínimo absoluto em
P0 se   ),(, 00 yxfyxf  para todos os pontos (x, y) do domínio de f e o valor mínimo é
 00, yxf . O Teorema do Valor Extremo garante que se f (x,y) é uma função contínua num
conjunto fechado e limitado, então admite máximo e mínimo absolutos em R.
Se a função tem máximo ou mínimo relativo, dizemos que ela tem extremo relativo no
ponto; e se ela tem máximo ou mínimo absoluto, diz-se que ela tem extremo absoluto no
ponto.

9.2. Cálculo de extremos livres de funções com duas variáveis
Seja f uma função de duas variáveis; o ponto  00, yx é ponto crítico de f se:
























0
0
)0,0(
)0,0(
yx
yx
y
f
x
f
ou se uma ou ambas derivadas parciais de primeira ordem não existirem em  00, yx .
Teorema:
Se RRf 2
: tem um máximo ou mínimo relativo num ponto  00, yx , então  00, yx é
um ponto crítico da função f.
Como apenas vão ser estudadas funções diferenciáveis, o ou os pontos (x,y) que resultam
das soluções do sistema apresentado acima são os pontos críticos, ou seja, os pontos onde
poderá existir extremo. São as condições de 1ª ordem.
Calculados os pontos críticos, para determinar a sua natureza, usam-se as condições de 2ª
ordem: sendo 2
2
2
222
y
f
x
f
yx
f
















 ,
 
 
 
 




































seladepontouméquese-dizextremo;existenão,xpontono0
,xpontodonaturezaasobreconcluirpodesenada0
,xemrelativomáximoumadmitef0
,xemrelativomínimoumadmitef0
0
00
00
002
2
002
2
y
y
y
x
f
y
x
f

Exemplo:
1) Estudar a existência e natureza dos extremos de 8342),( 22
 xyxyxyxf .



















2
1
2
082
0322
y
x
yx
y
f
yx
x
f
ponto crítico 






2
1
,2
  02012822
2
8
2
2
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2






































x
f
e
y
f
x
f
yx
f
yx
f
y
f
x
f
Logo, a função f admite um mínimo no ponto 






2
1
,2 de valor 11
2
1
,2 





f .
2) Estudar a existência e natureza dos extremos de 22
),( xyyxf  .


















0
0
02
02
y
x
y
y
f
x
x
f
ponto crítico  0,0
  04220
0
2
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2



































y
f
x
f
yx
f
yx
f
y
f
x
f
Logo, a função f tem, em (0,0), um ponto de sela.
22 xyz 
P

y
x
z

3) Calcular e classificar os pontos críticos da função
343
3
4
3
1
),( 233
 yxxyxyxF .
As condições de 1ª ordem dão origem ao sistema



























11
31
044
023
0
0
2
2
yy
xx
y
xx
y
F
x
F
Os pontos criticos são (-1,-1), (-1,1), (3,-1) e (3,1).
Observando o quadro:
(-1,-1) (-1,1) (3,-1) (3,1)
222
2



x
x
F
- 4 - 4 4 4
y
y
F
82
2



- 8 8 - 8 8
0
2



yx
F
0 0 0 0
22











yx
F
- 


2
2
x
F
2
2
y
F


- 32 32 32 -32
conclui-se que:
em (-1,-1) existe um máximo de valor
3
4
)1,1( F
em (3,1) existe um mínimo de valor
3
44
)1,3( F
os pontos (-1,1), (3,-1) são pontos de sela.

Nota:
Os extremos absolutos podem ser identificados pela definição. Por exemplo:
1) Sendo 22
1),( yxyxf  , sabemos que
1),(110 2222
 yxfyxyx
1 é menor ou igual a todas as imagens por f; o seu valor é atingido para o mínimo valor
de 22
yx  , ou seja, no ponto (0,0).
Assim, f admite um mínimo absoluto em (0,0) cujo valor é f(0,0) = 1.
2) Sendo 22
5),( yxyxg  , sabemos que
55000 22222222
 yxyxyxyx
Ou seja, f admite um máximo absoluto em (0,0) cujo valor é f(0,0) = 5.
9.3. Cálculo de extremos condicionados de funções com duas variáveis
9.3.1. Condições de igualdade – método da Função Auxiliar de Lagrange
Seja f(x,y) uma função real com duas varáveis reais e g(x,y) = 0 uma condição que
relaciona as duas variáveis x e y (chamada condição de ligação).
Teorema de Lagrange:
Seja f uma função de duas variáveis independentes x e y com derivadas de primeira ordem
contínuas e g uma função de duas variáveis independentes x e y com primeiras derivadas
contínuas não nulas. Se f admite um extremo ),( 00 yxf quando sujeito à restrição
g(x, y) = 0, então existe um número real  (chamado multiplicador de Lagrange) tal que
       

















































0,00,00,00,0
,,
yxyxyxyx x
g
x
g
x
f
x
f
 .

Como consequência desse teorema, surge o método dos multiplicadores de Lagrange
para cálculo e classificação dos pontos críticos de uma função f(x,y) sujeita a uma
determinada restrição g(x,y) = 0:
(1) Construção da Função Auxiliar de Lagrange (ou Lagrangeana)
),(),(),,( yxgyxfyxL  
(2) Resolução do sistema


















0),(0
0
0
yxg
L
y
L
x
L

Os pontos (x,y) que verificam o sistema são os pontos críticos da função f(x,y)
sujeita à restrição g(x,y) = 0; ou seja, caso a função admita extremos, estes estão
entre os pontos determinados.
(3) Análise da natureza dos pontos críticos, através das condições de 2ª ordem,
semelhantes às indicadas para os extremos livres; assim, sendo
2
2
2
222
y
L
x
L
yx
L















 ,
 
 
 
 




































,xemrelativomáximoumadmite0
,xemrelativomínimoumadmite0
0
00
00
002
2
002
2
y
y
yf
x
L
yf
x
L

Exemplo:
1) Um produto P pode ser fabricado em duas máquinas diferentes. Sendo x a quantidade
produzida na máquina 1 e y a quantidade produzida na máquina 2, o custo de produzir o
produto P em cada uma das máquinas é dado por:
Custo de produzir P na máquina 1: 2
52 xx 
Custo de produzir P na máquina 2: 2
43 yy 
Pretende-se determinar as quantidades a produzir em cada uma das máquinas de forma
a minimizar o custo total de produção, sabendo que é necessário satisfazer uma procura
prevista de 50 unidades do produto P.
Pretende-se minimizar a função 22
4352),( yyxxyxf  , com a condição de ligação
50 yx .
















































18
401
18
499
9
2023
50
10283
102
50
83
102
050
083
0102
)504352),,( 22
x
y
yx
xy
x
yx
y
x
yx
L
y
y
L
x
x
L
yxyyxxyxL







 (
0100810
0
8
10
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2






































x
L
e
y
L
x
L
yx
L
yx
L
y
L
x
L
Logo, as quantidades 






18
499
,
18
401
),( yx minimizam o custo total de produção do produto
P.

2) Calcular os pontos críticos e, se possível, determinar a sua natureza, da função
yxyxyxf  3),( 2
, sujeita à condição 2
xy  -
0
),(
22


yxg
xyxy ; então )3),,( 22
xyyxyxyxL  ( .


























































3
1
81
16
9
4
1
0
0
13
049
13
02632
0
013
0232
2
2
2
22
2 





y
x
y
x
xy
x
xx
xy
x
xxxx
xy
L
x
y
L
xyx
x
L
   2 2
, , 3L x y x xy y y x     
pontos críticos: (0,0) para 1   e
4 16
,
9 81
 
 
 
para
1
3
  .
(0,0)
( 1   )
4 16
,
9 81
 
 
 
( 1
3
  )
222
2



x
L
4
3
4
02
2



y
L
0 0
3
2



yx
L
-3 -3
2
2
2
222
y
L
x
L
yx
L















 9 9
Como este exemplo demonstra, há casos em que o método da Função Auxiliar de Lagrange
não permite determinar a natureza do ponto crítico. Neste exemplo, um método alternativo
seria substituir, em f, y por 2
x e determinar os extremos da função f(x) pelo método
habitual. Tal não é do âmbito desta cadeira.

Quando a condição de ligação define em 2
R um conjunto fechado e limitado, deverá ser
tido em conta o Teorema do Valor Extremo:
Seja uma função f, real de duas variáveis reais, contínua no seu domínio, definida num
domínio fechado e limitado; então o conjunto das imagens de f é um conjunto limitado de
números reais e f possui valores máximo e mínimo absolutos nesse domínio.
Exemplo:
Seja a função xyyxf ),( condicionada pela elipse 44 22
 yx .
)44),,( 22
 yxxyyxL (







































































































4
1
2
2
2
4
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
4
12
2
4
044
2
0
4
044
02
08
22
2
22
2
22
22
2
22





y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
xy
x
y
x
xy
yx
y
x
y
x
y
yx
L
yx
y
L
xy
x
L

O sistema foi resolvido sob o pressuposto 0y ; note-se que se y = 0, então x = 0, valores
que não verificam a condição de ligação. Assim,
pontos críticos: 







2,
2
2
e 







 2,
2
2
para
4
1









 2,
2
2
e 







 2,
2
2
para
4
1










2,
2
2







4
1









 2,
2
2







4
1









 2,
2
2







4
1









 2,
2
2







4
1

82
2



x
L
- 2 - 2 2 2
22
2



y
L
2
1

2
1

2
1
2
1
1
2



yx
L
1 1 1 1
2
2
2
222
y
L
x
L
yx
L















 0 0 0 0
O método da Função Auxiliar de Lagrange não permitiu determinar a natureza dos pontos
críticos. No entanto, como a condição de ligação define um domínio fechado e limitado
para a função (já que se trata de uma elipse), pode-se concluir que
y
curvas de nível da função f(x,y) = xy








 2,
2
2








2,
2
2
-1 1 x








 2,
2
2








 2,
2
2
f admite máximos relativos em 







2,
2
2
e 







 2,
2
2
, ambos de valor 1;
f admite mínimos relativos em








 2,
2
2
e








 2,
2
2 , ambos de valor -1.

9.3.1. Condições de desigualdade – método de Karush-Kuhn-Tucker
Seja ),( yxfo que pretendemos minimizar, referenciada como função objectivo, sujeita às
condições de desigualdade
 
 
 









nn cyxg
cyxg
cyxg
,
...
,
,
22
11
para Rccc n ...,,, 21
(1) Construção da Lagrangeana 

n
i
iin yxgyxfyxL
1
01 ),(),(),...,,,(  .
(2) Definição das condições de Karush-Kuhn-Tucker (K-K-T):
as condições de K-K-T para o problema são
(3) Os pontos (x, y) para os quais existem constantes reais não negativas n ,...,1 que
satisfazem as condições enunciadas chamam-se pontos de K-K-T.
Mediante a satisfação de determinadas condições relativas às funções envolvidas, pode
afirmar-se que as condições de K-K-T são condições necessárias e suficientes para a
existência de extremo.
Problemas de maximização transformam-se em problemas de minimização da função
simétrica de 0f , ou seja  ),(min),(max 00 yxfyxf  .




















0
,...,1,0),(
,...,1,0),(
0
0
i
i
ii
niyxg
niyxg
y
L
x
L



Exemplo:
1) Máximo de f (x,y) = x + y, sujeita às condições x < 2, y < 4, x > 0 e y > 0.
Máximo de f(x,y) = x + y, é o mínimo de f(x,y) = - x – y. Por outro lado, as das condições
com desigualdades têm que ser alteradas para x - 2 < 0, y – 4 < 0, - x < 0 e - y < 0.
Assim:
       yxyxyxyxL  43214321 42),,,,,( 
10
10
4
3




2
1
impossível porque 03  e 04  . Logo x = 2 e y = 4.
Facilmente se verifica que o ponto (2,4) verifica as restantes condições de K-K-T.
Logo, em (2,4) a função admite um máximo de valor 6.
 
 
 
 











































0
0
0
0
00
00
404
202
000
000
4004
2002
01
01
4
3
2
1
44
33
22
11
42
31










yy
xx
yy
xx
yy
xx
yy
xx

Graficamente: y
4 (2,4)
x + y = 6
0 x
2
x + y = 0
2) Mínimo de yxyxg  )1ln(),( , com 2x + y < 2, x > 0 e y > 0.
       yxyxyxyxL  321321 221ln),,,,( 
 
10
0
12
1
02
1
1
0
1
11








3
2
xx
impossível porque 03  e 04  .
Logo x = 0 e y = 0; facilmente se verifica que o ponto (0,0) verifica as restantes condições
de K-K-T. No ponto (0,0) existe um mínimo de valor 0.
 
 
 



































0
0
0
00
00
022
000
000
0220022
01
02
1
1
3
2
1
33
22
11
31
21








yy
xx
yx
yy
xx
yxyx
x

Bibliografia:
Larson, R., e Edwards, B., Cálculo com aplicações. Livros Técnicos e Científicos Editora
Swokowski, E., Cálculo com Geometria Analítica. Makron Books
Hoffmann & Bradley, Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences.
McGraw-Hill
Weber, J., Matemática para Economia e Administração. Harbra
Pires, Cesaltina, Cálculo para Economistas. McGraw-Hill
Piskounov, N., Cálculo Diferencial e Integral (volume I). Lopes da Silva Editora
Dowling, E., Matemática Aplicada à Economia e Administração. McGraw-Hill
Demidovitch, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática. McGraw-Hill

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