1) O documento apresenta uma revisão de funções trigonométricas e introduz o primeiro limite fundamental, que determina as derivadas das funções trigonométricas. 2) É definido o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas são definidas geometricamente para ângulos no primeiro quadrante e de forma analítica para números reais. 3) O primeiro limite fundamental estabelece que o limite de senx/x quando x tende a zero é igual a 1.
O documento apresenta os principais conceitos da trigonometria. Aborda triângulos retângulos e as relações trigonométricas neles envolvidas, como seno, cosseno e tangente. Também define ângulos centrais, ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno, apresentando suas propriedades e gráficos.
Este documento apresenta os principais pontos notáveis de um triângulo: o baricentro, o incentro, o ortocentro e o circuncentro. Explica que o baricentro é o ponto de encontro das medianas, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas, o ortocentro é o ponto de encontro das alturas e o circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. Apresenta também exercícios resolvidos sobre esses conceitos.
Este documento discute vetores e cinemática vetorial. Ele apresenta proposições sobre grandezas escalares e vetoriais, analisa vetores coplanares formando uma linha poligonal fechada, e discute a soma de vetores.
O documento apresenta conceitos básicos de cálculo vetorial em mecânica clássica, incluindo noções de vetores e escalares, triângulo retângulo, representação de vetores, soma e subtração de vetores, projeção ortogonal de vetores e multiplicação de vetores.
1) O documento apresenta as relações métricas nos triângulos retângulos, incluindo as definições de catetos, hipotenusa, altura e projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
2) São apresentadas seis relações métricas nos triângulos retângulos envolvendo os catetos, hipotenusa, altura e projeções.
3) Exemplos de exercícios resolvidos são fornecidos para ilustrar a aplicação das relações nos cálculos de medidas nos triângulos ret
Questões Corrigidas, em Word: Refração - Conteúdo vinculado ao blog ht...Rodrigo Penna
Este arquivo faz parte do banco de materiais do Blog Física no Enem: http://fisicanoenem.blogspot.com/ . A ideia é aumentar este banco, aos poucos e na medida do possível. Para isto, querendo ajudar, se houver erros, avise-nos: serão corrigidos. Lembre-se que em Word costumam ocorrer problemas de formatação. Se quiser contribuir ainda mais para o banco, envie a sua contribuição, em Word, o mais detalhada possível para ser capaz de Ensinar a quem precisa Aprender. Ela será disponibilizada também, com a devida referência ao autor. Pode ser uma questão resolvida, uma apostila, uma aula em PowerPoint, o link de onde você a colocou, se já estiver na rede. Comente à vontade no blog. Afinal, é justamente assim que ensinamos a nossos alunos.
O documento descreve os conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) razões trigonométricas no triângulo retângulo como seno, cosseno e tangente; 2) conversão entre graus e radianos; 3) comprimento de arcos.
O documento apresenta os principais conceitos da trigonometria. Aborda triângulos retângulos e as relações trigonométricas neles envolvidas, como seno, cosseno e tangente. Também define ângulos centrais, ciclo trigonométrico e as funções seno e cosseno, apresentando suas propriedades e gráficos.
Este documento apresenta os principais pontos notáveis de um triângulo: o baricentro, o incentro, o ortocentro e o circuncentro. Explica que o baricentro é o ponto de encontro das medianas, o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes internas, o ortocentro é o ponto de encontro das alturas e o circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. Apresenta também exercícios resolvidos sobre esses conceitos.
Este documento discute vetores e cinemática vetorial. Ele apresenta proposições sobre grandezas escalares e vetoriais, analisa vetores coplanares formando uma linha poligonal fechada, e discute a soma de vetores.
O documento apresenta conceitos básicos de cálculo vetorial em mecânica clássica, incluindo noções de vetores e escalares, triângulo retângulo, representação de vetores, soma e subtração de vetores, projeção ortogonal de vetores e multiplicação de vetores.
1) O documento apresenta as relações métricas nos triângulos retângulos, incluindo as definições de catetos, hipotenusa, altura e projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
2) São apresentadas seis relações métricas nos triângulos retângulos envolvendo os catetos, hipotenusa, altura e projeções.
3) Exemplos de exercícios resolvidos são fornecidos para ilustrar a aplicação das relações nos cálculos de medidas nos triângulos ret
Questões Corrigidas, em Word: Refração - Conteúdo vinculado ao blog ht...Rodrigo Penna
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O documento descreve os conceitos básicos de trigonometria, incluindo: 1) razões trigonométricas no triângulo retângulo como seno, cosseno e tangente; 2) conversão entre graus e radianos; 3) comprimento de arcos.
1) A reflexão interna total ocorre quando a luz passa de um meio mais denso para um menos denso em um ângulo maior que o ângulo crítico.
2) A dispersão ocorre porque o índice de refração depende do comprimento de onda da luz, fazendo com que as cores se separem ao passar por um prisma.
3) O ângulo de Descartes de 42° é o ângulo no qual as cores do arco-íris chegam aos nossos olhos após sofrerem duas refrações na interface ar-água
O documento apresenta conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, incluindo: (1) definição de triângulo retângulo e razões trigonométricas; (2) propriedades das funções seno, cosseno e tangente de ângulos complementares; (3) tabela com valores de seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60°. Exemplos resolvidos ilustram a aplicação destes conceitos na resolução de problemas.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo razões trigonométricas, medidas de arcos, circunferência trigonométrica e definições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
2) As razões trigonométricas são definidas inicialmente para triângulos retângulos e depois generalizadas para ângulos arbitrários usando a circunferência trigonométrica.
3) As razões trigonométricas de qualquer ângulo podem ser calculadas redu
1. O ponto (16, 6) pertence à reta r porque 16 - 3k = -2, ou seja, 3k = 18 e k = 6. O ponto (1997, 666) está abaixo da reta r.
2. Se a = 0 e b = 0, a reta coincide com um dos eixos. Se ambos forem zero, qualquer reta que passe pela origem resolve o problema.
3. As coordenadas do ponto P são iguais às coordenadas dos pontos das outras medianas, logo P está nas três medianas.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre geometria e trigonometria. As questões incluem cálculos envolvendo ângulos em figuras geométricas como círculos e triângulos, determinação de medidas de lados e segmentos, e razões entre alturas de figuras inscritas e circunscritas. O gabarito fornece as respostas para cada uma das questões.
1) A reta r passa pelo ponto (4,2) e tem inclinação 1/3. O ponto (16,6) pertence a r. O ponto (1997,666) está acima de r.
2) A equação geral de uma reta na forma y=mx+b é apresentada.
3) As coordenadas de um ponto P são dadas em função dos parâmetros a e b.
4) Se M é o ponto médio do lado BC de um triângulo, então as coordenadas do ponto P da mediana AM que divide AM na razão 1/3 são d
05 tringulo retngulo e razes trigonomtricasresolvidos
Este documento apresenta três tópicos principais sobre triângulos retângulos e funções trigonométricas: 1) Definições de triângulo retângulo e razões trigonométricas. 2) Teorema de Pitágoras. 3) Definições de funções trigonométricas no triângulo retângulo e valores notáveis.
O documento apresenta um resumo sobre vetores em mecânica. Ele introduz vetores e orientação, definindo vetor como uma grandeza vetorial com módulo, direção e sentido. Explica métodos de adição de vetores como o paralelogramo e polígono. Apresenta conceitos como vetor oposto, diferença e componentes perpendiculares de vetores. Por fim, apresenta exercícios sobre o tema.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, as relações fundamentais entre essas funções e suas propriedades periódicas.
Relações métricas no triângulo retângulocon_seguir
O documento apresenta as definições e propriedades geométricas do triângulo retângulo. Ele define o triângulo retângulo, apresenta suas partes e relações métricas, como o Teorema de Pitágoras. O documento também fornece exemplos resolvidos de problemas que aplicam essas propriedades para calcular medidas desconhecidas em triângulos retângulos.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções trigonométricas, incluindo:
1) A definição de círculo trigonométrico e unidades angulares como radianos e graus;
2) As definições de seno, cosseno e tangente em termos do círculo trigonométrico;
3) Algumas relações trigonométricas básicas como a relação fundamental da trigonometria.
1) O documento discute a aceleração de um bloco sobre um plano inclinado sem atrito.
2) A aceleração é igual a g senθ, onde θ é o ângulo de inclinação do plano.
3) Isso significa que a aceleração de queda de um corpo sobre um plano inclinado não depende de sua massa.
1) O documento introduz os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) São apresentadas proposições fundamentais sobre as relações entre seno, cosseno e tangente de um ângulo e seu complemento.
3) Valores numéricos de seno, cosseno e tangente são dados para ângulos de 45°, 30° e 60°.
1. A área é a medida da extensão de uma superfície.
2. As áreas de figuras planas são calculadas usando fórmulas que levam em conta medidas como base, altura, comprimento de lados.
3. Exemplos de fórmulas de área incluem retângulo (base x altura), quadrado (lado ao quadrado), triângulo (base x altura dividida por 2).
Este documento trata de conceitos geométricos relacionados à esfera. Ele define superfície esférica, área da superfície esférica, volume da esfera, plano secante a uma esfera, área do fuso esférico e volume da cunha esférica. O documento também apresenta exemplos numéricos de cálculo destas grandezas.
www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br - Matemática - Exercício de TrigonometriaClarice Leclaire
Matemática - VideoAulas Sobre Exercícios Resolvidos de Trigonometria – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeMatematicanoRJ.Com.Br
Este documento apresenta as principais relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos. Descreve as relações entre os catetos, a hipotenusa e a altura, assim como as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Fornece também os valores destes para ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°.
1) A reflexão interna total ocorre quando a luz passa de um meio mais denso para um menos denso em um ângulo maior que o ângulo crítico.
2) A dispersão ocorre porque o índice de refração depende do comprimento de onda da luz, fazendo com que as cores se separem ao passar por um prisma.
3) O ângulo de Descartes de 42° é o ângulo no qual as cores do arco-íris chegam aos nossos olhos após sofrerem duas refrações na interface ar-água
O documento apresenta conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, incluindo: (1) definição de triângulo retângulo e razões trigonométricas; (2) propriedades das funções seno, cosseno e tangente de ângulos complementares; (3) tabela com valores de seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60°. Exemplos resolvidos ilustram a aplicação destes conceitos na resolução de problemas.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo razões trigonométricas, medidas de arcos, circunferência trigonométrica e definições de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.
2) As razões trigonométricas são definidas inicialmente para triângulos retângulos e depois generalizadas para ângulos arbitrários usando a circunferência trigonométrica.
3) As razões trigonométricas de qualquer ângulo podem ser calculadas redu
1. O ponto (16, 6) pertence à reta r porque 16 - 3k = -2, ou seja, 3k = 18 e k = 6. O ponto (1997, 666) está abaixo da reta r.
2. Se a = 0 e b = 0, a reta coincide com um dos eixos. Se ambos forem zero, qualquer reta que passe pela origem resolve o problema.
3. As coordenadas do ponto P são iguais às coordenadas dos pontos das outras medianas, logo P está nas três medianas.
Este documento contém 10 questões de matemática sobre geometria e trigonometria. As questões incluem cálculos envolvendo ângulos em figuras geométricas como círculos e triângulos, determinação de medidas de lados e segmentos, e razões entre alturas de figuras inscritas e circunscritas. O gabarito fornece as respostas para cada uma das questões.
1) A reta r passa pelo ponto (4,2) e tem inclinação 1/3. O ponto (16,6) pertence a r. O ponto (1997,666) está acima de r.
2) A equação geral de uma reta na forma y=mx+b é apresentada.
3) As coordenadas de um ponto P são dadas em função dos parâmetros a e b.
4) Se M é o ponto médio do lado BC de um triângulo, então as coordenadas do ponto P da mediana AM que divide AM na razão 1/3 são d
05 tringulo retngulo e razes trigonomtricasresolvidos
Este documento apresenta três tópicos principais sobre triângulos retângulos e funções trigonométricas: 1) Definições de triângulo retângulo e razões trigonométricas. 2) Teorema de Pitágoras. 3) Definições de funções trigonométricas no triângulo retângulo e valores notáveis.
O documento apresenta um resumo sobre vetores em mecânica. Ele introduz vetores e orientação, definindo vetor como uma grandeza vetorial com módulo, direção e sentido. Explica métodos de adição de vetores como o paralelogramo e polígono. Apresenta conceitos como vetor oposto, diferença e componentes perpendiculares de vetores. Por fim, apresenta exercícios sobre o tema.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos, as relações fundamentais entre essas funções e suas propriedades periódicas.
Relações métricas no triângulo retângulocon_seguir
O documento apresenta as definições e propriedades geométricas do triângulo retângulo. Ele define o triângulo retângulo, apresenta suas partes e relações métricas, como o Teorema de Pitágoras. O documento também fornece exemplos resolvidos de problemas que aplicam essas propriedades para calcular medidas desconhecidas em triângulos retângulos.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções trigonométricas, incluindo:
1) A definição de círculo trigonométrico e unidades angulares como radianos e graus;
2) As definições de seno, cosseno e tangente em termos do círculo trigonométrico;
3) Algumas relações trigonométricas básicas como a relação fundamental da trigonometria.
1) O documento discute a aceleração de um bloco sobre um plano inclinado sem atrito.
2) A aceleração é igual a g senθ, onde θ é o ângulo de inclinação do plano.
3) Isso significa que a aceleração de queda de um corpo sobre um plano inclinado não depende de sua massa.
1) O documento introduz os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo.
2) São apresentadas proposições fundamentais sobre as relações entre seno, cosseno e tangente de um ângulo e seu complemento.
3) Valores numéricos de seno, cosseno e tangente são dados para ângulos de 45°, 30° e 60°.
1. A área é a medida da extensão de uma superfície.
2. As áreas de figuras planas são calculadas usando fórmulas que levam em conta medidas como base, altura, comprimento de lados.
3. Exemplos de fórmulas de área incluem retângulo (base x altura), quadrado (lado ao quadrado), triângulo (base x altura dividida por 2).
Este documento trata de conceitos geométricos relacionados à esfera. Ele define superfície esférica, área da superfície esférica, volume da esfera, plano secante a uma esfera, área do fuso esférico e volume da cunha esférica. O documento também apresenta exemplos numéricos de cálculo destas grandezas.
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Este documento apresenta as principais relações métricas e trigonométricas em triângulos retângulos. Descreve as relações entre os catetos, a hipotenusa e a altura, assim como as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo. Fornece também os valores destes para ângulos notáveis de 30°, 45° e 60°.
The document describes how in Genesis, all humans originally spoke the same language but decided to build a tower to reach heaven, so God scattered them across the earth and made them speak different languages. It then discusses how King Nebuchadnezzar of Babylon besieged Jerusalem and took captives including King Jehoiakim to Babylon, located in the ancient region of Shinar. Shinar is described as a broad term referring to Mesopotamia between the Tigris and Euphrates rivers where early civilizations like Babylon and Uruk first developed.
Técnicas para el Desarrollo de habilidades personales y profesionales mediante la psicología positiva
con temas como motivación, talento,comunicación, trabajo en equipo, psicología
y coaching. Para charlas de motivación soy motivador en Costa Rica Eduardo Gómez A
http://www.enriquecetupsicologia.com
The document discusses the author's favorite sports, which include football, basketball, volleyball, tennis, cycling, swimming, and gymnastics. The author notes that they sometimes play football, enjoyed practicing basketball for three years, hopes to join a volleyball team, plays tennis on the beach during holidays, wants to buy a new bike for cycling, likes swimming for fitness, and enjoys doing gymnastics involving different exercises.
Klaudia is a 14-year-old girl who enjoys pizza, chips, ice cream, singing, listening to music, writing songs, and playing tennis in her free time. She dislikes apple juice, pineapple, math, and hip hop music. Klaudia's mother works as an accountant, is 49 years old, and her sister works in pharmacy and is 29 years old.
Magda is a 14-year-old girl from Poland who lives in Zator and attends school there. She enjoys singing and taking part in singing competitions. Her favorite musician is Bob Marley. She comes from a large family, with her mother Ewa who is a nurse, her father Władysław who is a shop assistant, her 27-year-old sister Aneta who is a housewife and has a husband named Irek who is a lorry driver and their 5-year old son Wojtek. She wishes everyone good luck from Zator.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo definições de triângulo retângulo, relações trigonométricas, funções seno, cosseno e tangente. Explica as relações entre os elementos do triângulo retângulo e introduz noções como ângulos notáveis, ciclo trigonométrico e arcos congruentes. Fornece definições formais das funções trigonométricas e apresenta suas propriedades gráficas.
1) O documento descreve a história da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até seu desenvolvimento moderno. 2) A trigonometria surgiu para medir triângulos e foi desenvolvida por astrônomos gregos como Hiparco de Niceia. 3) Ao longo dos séculos, matemáticos indianos, árabes e europeus contribuíram para estabelecer as principais relações e fórmulas trigonométricas.
1) O documento apresenta um resumo histórico da trigonometria, desde suas origens na Grécia Antiga até os desenvolvimentos modernos.
2) É introduzido o triângulo retângulo e o Teorema de Pitágoras, que relaciona os lados desse tipo de triângulo.
3) São definidas as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente para um triângulo retângulo e apresentados alguns valores notáveis dessas funções.
1. O documento apresenta 10 questões sobre física que abordam tópicos como campo elétrico de uma esfera carregada, campo eletromagnético em um capacitor de placas paralelas, mecânica quântica em poços de potencial e decaimento de múons.
2. As questões envolvem cálculos de campo elétrico, força, energia, probabilidade, momento angular, equações de Lagrange e Hamilton, e processos termodinâmicos em uma cavidade ressonante.
3. São abordados conce
O documento explica os conceitos básicos de triângulo retângulo, incluindo a definição, os nomes dos lados, as relações trigonométricas e o Teorema de Pitágoras. É apresentado um exemplo numérico para ilustrar cada conceito-chave.
Razões trigonométricas no triângulo retângulocomentada
O documento apresenta conceitos básicos de trigonometria em triângulos retângulos, incluindo: (1) definição de triângulo retângulo e razões trigonométricas; (2) propriedades das funções seno, cosseno e tangente de ângulos complementares; (3) tabela com valores de seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60°. Dois exemplos resolvidos ilustram aplicações destes conceitos na resolução de problemas.
1) O documento discute as principais circunferências de um triângulo - a circunferência inscrita, a circunferência circunscrita e as circunferências exinscritas.
2) Ele estabelece relações entre os raios dessas circunferências e os lados do triângulo, como S = pr para a circunferência inscrita e abc = 4RS para a circunferência circunscrita.
3) O texto também aborda pontos como a localização dos pontos de tangência e uma desigualdade interess
1) O documento introduz conceitos de trigonometria no triângulo retângulo, incluindo definições de termos como cateto e hipotenusa.
2) A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas como medir a altura de prédios e a distância entre a Terra e a Lua.
3) O texto explica propriedades geométricas do triângulo retângulo como os ângulos, lados, altura e relações métricas entre os lados.
Este documento apresenta soluções de exercícios de geometria plana e espacial para o curso de nivelamento de engenharia química da UFAL. Os exercícios incluem determinar ângulos, áreas e volumes utilizando teoremas geométricos como Pitágoras e semelhança de triângulos.
O documento descreve os principais conceitos da trigonometria no triângulo retângulo, incluindo: (1) definição de arcos e ângulos, medidas de arcos e unidades de medida; (2) razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) e suas propriedades; (3) leis dos senos e cossenos para resolver problemas em triângulos quaisquer.
O documento apresenta os conceitos fundamentais de trigonometria, incluindo elementos do triângulo retângulo, definições de seno, cosseno e tangente, relações entre essas razões trigonométricas e exemplos numéricos. Também aborda conceitos geométricos como circunferência, cordas, segmentos secantes e tangentes, comprimento e área da circunferência e de setores circulares, e área de figuras planas como retângulo, quadrado e triângulo.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria relacionados ao triângulo retângulo e ao círculo trigonométrico, incluindo definições de seno, cosseno e tangente.
2) São mostradas as relações fundamentais entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo e são calculados os valores numéricos das funções trigonométricas para alguns ângulos específicos.
3) Exemplos numéricos ilustram o cálculo de medidas desconhecidas em situações
Questoes Resolvidas Exame Unificado de Fisica 2015-2.pdf17535069649
1) O documento apresenta 10 questões sobre física que abordam tópicos como eletromagnetismo, mecânica quântica, termodinâmica estatística.
2) As questões incluem cálculos de campo magnético, força eletromotriz induzida, propagação de ondas em meios condutores, momentos e energias de sistemas de partículas, oscilações mecânicas, potenciais centrais, confinamento quântico e distribuições de probabilidade.
3) São solicit
O documento apresenta as correções de um teste intermédio de matemática com 13 questões. As correções incluem explicações detalhadas dos raciocínios e cálculos envolvidos nas respostas.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria de triângulos retângulos, incluindo as relações entre os ângulos e os lados desses triângulos.
2) São definidas as funções seno, cosseno e tangente para ângulos agudos de um triângulo retângulo em termos dos lados do triângulo.
3) Vários exemplos ilustram como aplicar essas relações trigonométricas para resolver problemas geométricos e de engenharia.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria de triângulos retângulos, incluindo as relações entre os ângulos e os lados desses triângulos.
2) São definidas as funções seno, cosseno e tangente para ângulos agudos de um triângulo retângulo em termos dos lados do triângulo.
3) Vários exemplos ilustram como aplicar essas relações trigonométricas para resolver problemas geométricos e de engenharia.
O documento apresenta conceitos básicos sobre circunferência e círculo, incluindo elementos como raio, corda, diâmetro e suas relações métricas. Também aborda polígonos regulares inscritos na circunferência, definindo seus elementos e estabelecendo relações entre o raio da circunferência, o lado do polígono e o apótema.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, o teorema de Pitágoras, definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas de adição e multiplicação para as funções trigonométricas.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, e valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°. Também discute os conceitos de período e gráficos das funções seno, cosseno e tangente.
O documento apresenta os conceitos básicos de trigonometria, incluindo as relações trigonométricas em triângulos retângulos, as definições de seno, cosseno e tangente, valores notáveis dessas funções para ângulos de 30°, 45° e 60°, e fórmulas para adição e multiplicação de arcos.
O documento descreve a restinga do Rio Grande do Norte, abordando sua localização, clima, solo, relevo, vegetação e áreas de preservação, como a RPPN Mata Estrela, RDS Ponta do Tubarão e o Parque das Dunas. Conclui que a restinga enfrenta processo de abandono e grande risco de extinção devido à falta de políticas de conservação e ao desenvolvimento urbano.
O documento descreve a formação e características das restingas ao longo da costa brasileira. Apresenta as principais adaptações da flora e fauna a este ecossistema costeiro arenoso, sujeito a fatores como salinidade, variações térmicas e escassez hídrica. Detalha também a classificação e transição entre diferentes zonas de vegetação ao longo da planície costeira, incluindo dunas móveis e fixas.
O documento descreve técnicas de substituição trigonométrica para calcular integrais envolvendo funções trigonométricas e radiciais. Apresenta exemplos de como substituir x por funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente para calcular integrais definidas. Também discute como decompor frações racionais em frações parciais para calcular suas integrais.
O documento descreve técnicas de integração envolvendo completar quadrados e funções trigonométricas. A seção 18.1 explica como completar quadrados permite reduzir integrais a formas que podem ser resolvidas usando uma tabela de integrais. A seção 18.2 trata de integrais envolvendo funções sen e cos, mostrando como reduzi-las a integrais de polinômios.
[1] O documento discute o conceito de integral definida e apresenta suas propriedades fundamentais. [2] Uma integral definida representa a área sob a curva de uma função contínua entre dois limites e pode ser aproximada por somas de retângulos. [3] O valor exato da integral é obtido fazendo a partição tender a zero e somando as áreas dos retângulos.
O documento descreve o método de integração por partes. Este método permite calcular integrais indefinidas da forma ∫u dv transferindo o cálculo para a integral ∫v du, através da fórmula de integração por partes. Exemplos ilustram como escolher as funções u e v de acordo com um critério baseado no anagrama "LIATE", que organiza diferentes tipos de funções.
1) O documento discute integrais indefinidas, que são antiderivadas ou primitivas de funções.
2) Duas primitivas de uma mesma função diferem entre si por uma constante.
3) A integral indefinida de uma função f no intervalo I é a primitiva genérica de f em I, denotada por ∫f(x)dx = F(x) + C, onde C é uma constante genérica.
1) O documento discute taxas relacionadas e diferenciais, que são conceitos importantes do cálculo diferencial.
2) Taxas relacionadas envolvem quantidades variáveis que estão relacionadas entre si por uma equação, e suas taxas de variação instantânea podem ser calculadas usando derivadas.
3) Diferenciais fornecem uma aproximação para como uma função muda quando sua variável independente muda uma pequena quantidade.
O documento discute regras de L'Hôpital para calcular limites indeterminados na forma 0=0 ou 1=1 usando derivadas. Apresenta exemplos de aplicação das regras para cálculo de limites envolvendo funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Discutem-se também novas formas indeterminadas como 00, 10 e 11 e procedimentos para lidar com esses casos.
Este documento presenta las derivadas de las funciones trigonométricas. (1) Introduce las derivadas de seno y coseno, mostrando que (sen x)0 = cos x y (cos x)0 = -sen x. (2) Luego presenta las derivadas de tangente, cotangente, secante y cosecante usando las reglas de derivación de funciones compuestas y cuocientes. (3) Finalmente, introduce las funciones trigonométricas inversas de arcoseno, arcocoseno y arcotangente y deriva sus expresiones.
1) O documento apresenta o Teorema 10.1 que deriva funções exponenciais e logarítmicas.
2) É mostrada a derivada de f(x) = ex como sendo f'(x) = ex e de f(x) = ax como sendo f'(x) = ax ln a.
3) Também são mostradas as derivadas de funções logarítmicas.
1) O documento apresenta uma revisão sobre funções exponenciais e logarítmicas e introduz o número e.
2) É feita uma revisão sobre potências com bases reais positivas e expoentes reais. Logaritmos são definidos como o expoente ao qual se eleva a base para obter o valor.
3) O número e é definido como o limite de uma sequência e demonstrado que é irracional.
O documento descreve estratégias para determinar os valores máximo e mínimo de uma função contínua em um intervalo, sem recorrer ao gráfico da função. Explica que os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos ou extremidades do intervalo, e que as derivadas nesses pontos são iguais a zero de acordo com o Teorema de Weierstrass. Apresenta um exemplo para ilustrar o procedimento.
1) O documento descreve conceitos de funções algébricas, incluindo zeros no denominador, retas assintotas verticais e inclinadas, e comportamento do gráfico quando x tende a valores extremos.
2) Dois exemplos são resolvidos graficamente para ilustrar esses conceitos, incluindo detectar retas assintotas e analisar variação, concavidades e comportamento no infinito.
3) O documento introduz o conceito de retas assintotas inclinadas, discutindo como determinar seus coeficientes
1) A aula apresenta como derivadas podem ser usadas como ferramentas auxiliares no esboço de gráficos de funções, fornecendo informações qualitativas sobre o comportamento da função.
2) É definido o que significa uma função ser crescente ou decrescente em um intervalo e apresentado o Teorema 6.1, que relaciona o sinal da derivada ao comportamento da função.
3) São definidos pontos de máximo e mínimo locais de uma função e apresentado o Teorema 6.2, que relaciona o sinal
Limite laterais são limites calculados quando x tende para um ponto de descontinuidade da esquerda ou da direita. Este documento explica o conceito de limites laterais para uma função f(x) = x + |x| que tem limites diferentes à esquerda e à direita quando x tende para 0.
1) O documento introduz limites como ferramentas para estudar o comportamento de funções reais, fornecendo informações sobre suas propriedades gráficas.
2) A definição formal de limite é matematicamente sofisticada, mas uma exploração intuitiva do conceito através de exemplos é mais útil para calcular limites.
3) Limites podem ser finitos, infinitos ou indeterminados, e seu cálculo depende do comportamento da função quando o valor da variável se aproxima de um ponto.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
O documento apresenta as noções de derivada como inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função e novas regras de derivação, como a derivada de um produto e a derivada da inversa de uma função. É introduzido o conceito geométrico de derivada ligado à aproximação linear local de uma função por sua tangente e são mostradas equações de retas tangentes e normais a curvas.
1) O documento discute velocidade instantânea e derivadas. É introduzida a noção de velocidade instantânea como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.
2) A derivada de uma função é definida como o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável independente quando esta última tende a zero.
3) Regras para calcular a derivada de funções como xn são apresentadas, assim como notações comuns para representar derivadas.
1. Aula 11
Fun»~es trigonom¶tricas e o
co e
primeiro limite fundamental"
Nesta aula estaremos fazendo uma pequena revis~o de fun»oes trigonom¶tricas e apre-
a c~ e
sentando um limite que lhes determina suas derivadas.
11.1 Pequena revis~o de trigonometria
a
11.1.1 Trigonometria geom¶trica
e
Consideremos os tri^ngulos ABC e A0 B 0 C 0 da ¯gura 11.1. Os dois tri^ngulos s~o
a a a
semelhantes, pois seus ^ngulos internos s~o iguais (congruentes). Assim, temos
a a
AB AB 0 BC B0C 0 BC B0C 0
= ; = ; =
AC AC 0 AC AC 0 AB AB 0
AB
Assim, sendo ABC um tri^ngulo ret^ngulo, como na ¯gura 11.1 as raz~es
a a o AC
,
BC BC ^
e AB dependem somente da abertura µ = A.
AC
C'
C
θ
A B B'
Figura 11.1.
Chamamos
93
2. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 94
AB cateto adjacente ao ^ngulo µ
a
cosseno de µ = cos µ = =
AC hipotenusa
BC cateto oposto ao ^ngulo µ
a
seno de µ = sen µ = =
AC hipotenusa
BC cateto oposto ao ^ngulo µ
a
tangente de µ = tg µ = =
AB cateto adjacente ao ^ngulo µ
a
sen µ
Deduz-se imediatamente que tg µ = .
cos µ
Da trigonometria do ensino m¶dio, s~o bem conhecidos os valores
e a
µ cos µ sen µ tg µ
0 1 0 0
p p
30± 3=2 1=2 1= 3
p p
45± 2=2 2=2 1
p p
60± 1=2 3=2 3
90± 0 1 n~o se de¯ne
a
_
Se P Q ¶ um arco de um c¶
e ³rculo de raio r, correspondente a um ^ngulo central de
a
_
abertura ®, o comprimento c de P Q ¶ dado por
e
c = r ¢ (medida de ® em radianos)
Q
c
O α
r
P
Figura 11.2. c = r ¢ ® (quando ® ¶ medido em radianos).
e
_
Assim, o comprimento c do arco P Q ¶ diretamente proporcional a r e a ®. Quando
e
±
® = 360 , temos
c = comprimento da circunfer^ncia = 2¼ ¢ r
e
Assim sendo,
360± = 360 graus = 2¼ radianos, ou seja 180± = ¼
3. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 95
_
Se r = 1 = uma unidade de comprimento, o comprimento c do arco P Q ¶
e
simplesmente a medida de ® em radianos.
A ¶rea do setor circular de ^ngulo central ® tamb¶m ¶ proporcional a ®. Quando
a a e e
® = 2¼, temos a ¶rea de um c¶
a ³rculo de raio r: A = ¼r2 . Assim, um setor circular de
® 2
abertura ®, tem ¶rea A® = ¢ r (® em radianos).
a
2
11.1.2 Trigonometria anal¶
³tica
Para de¯nir as fun»~es trigonom¶tricas de vari¶vel real, consideramos um sistema carte-
co e a
siano ortogonal de coordenadas no plano. Nele, consideramos a circunfer^ncia de
e
2 2
equa»~o x + y = 1 (de centro em (0; 0) e raio 1). Esta circunfer^ncia ¶ o que
ca e e
chamaremos de c¶ ³rculo trigonom¶trico.
e
Dado um n¶mero real ®, tomamos A = (1; 0) e demarcamos, no c¶
u ³rculo trigo-
nom¶trico, um ponto P® tal que a medida do percurso de A a P® , sobre o c¶
e ³rculo
trigonom¶trico, ¶ igual a j®j (¯gura 11.3). Teremos o percurso AP® passando uma ou
e e
v¶rias vezes pelo ponto A, quando j®j > 2¼.
a
_
A partir do ponto A, o percurso AP® ¶ feito no sentido anti-hor¶rio (contr¶rio ao
e a a
sentido do movimento dos ponteiros do rel¶gio) se ® > 0, e ¶ feito no sentido hor¶rio
o e a
(no mesmo sentido do movimento dos ponteiros do rel¶gio) se ® < 0. Tal percurso ¶
o e
um arco orientado. Dizemos que ® ¶ a medida alg¶brica do arco orientado AP® .
e e
Assim, por exemplo, P¼ = P¡¼ = (¡1; 0), P¼=2 = (0; 1), P¡¼=2 = (0; ¡1),
p p p
P¼=4 = ( 2=2; 2=2), P¼=3 = ( 3=2; 1=2), e P0 = (1; 0) = P2¼ = P2n¼ , para cada
inteiro n.
Sendo ® 2 R, consideremos P® = (x® ; y® ), de¯nido como acima. De¯nimos
x® = cos ® = cosseno de ®;
y® = sen ® = seno de ®
Para estendermos a de¯ni»~o de tangente de ® a arcos orientados ®, tomamos
ca
um eixo y 0 , paralelo ao eixo y, de origem O0 = A, orientado positivamente para cima,
no qual usaremos a mesma escala de medidas do eixo y. Sendo ® 2 R, consideramos
a reta OP® . Se ® 6¼ § n¼, para todo n 2 Z, esta reta intercepta o eixo y 0 em T® .
= 2
Sendo t® a abcissa de T® no eixo y 0 , de¯nimos
t® = tg ® = tangente de ®
sen ®
Assim sendo, tg ® = .
cos ®
Se 0 < ® < ¼=2, os valores cos ®, sen ®, e tg ® coincidem com aqueles das
de¯ni»~es geom¶tricas de cosseno, seno e tangente, dadas na se»~o 11.1.1.
co e ca
Tamb¶m de¯nem-se as fun»~es trigonom¶tricas
e co e
4. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 96
y
P = (x α ,y α )
α
α
x
O A=(1,0)
Figura 11.3.
y y'
P Tα
α
α
x
O O' = A
Figura 11.4. No sistema Oxy, T® = (1; t® ) = (1; tg ®).
cos ®
cotangente de ® = cotg ® = (® 6n¼; 8n 2 Z)
=
sen ®
1 ¼
secante de ® = sec ® = (® 6 + n¼; 8n 2 Z)
=
cos ® 2
1
cossecante de ® = cosec ® = (® 6n¼; 8n 2 Z)
=
sen ®
Na ¯gura 11.5, ilustramos geom¶tricamente as seis fun»~es trigonom¶tricas de um
e co e
arco ® no primeiro quadrante, isto ¶, satisfazendo 0 < ® < ¼=2.
e
Listamos abaixo algumas f¶rmulas uteis, envolvendo as fun»oes trigonom¶tricas.
o ¶ c~ e
2 2 2 2 2 2
Aqui e sempre, cos a = (cos a) , sen a = (sen a) , tg a = (tg a) , etc.
1. cos2 a + sen2 a = 1 (isto porque x2 + ya = 1)
a
2
2. 1 + tg2 a = sec2 a (dividindo-se ambos os membros da equa»~o 1 por cos2 a)
ca
1+cotg a = cosec a (dividindo-se ambos os membros da equa»~o 1 por sen2 a)
2 2
ca
5. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 97
y y'
cotg α
x'
P tg α
cosec α 1
α
sen α α
A x
O cos α
sec α
Figura 11.5. Geometria das seis fun»~es trigonom¶tricas, no primeiro quadrante.
co e
y
1 y = sen x
-π 3 π /2
0 π /2 π 2π x
-1
y
y = cos x
1
- π /2 3π /2
0 π /2 π 2π x
-1
y
y = tg x
1
- π /2 3π /2
0 π /4 π /2 π x
-1
Figura 11.6. Gr¶¯cos das fun»~es seno, cosseno e tangente.
a co
3. sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a
sen(a ¡ b) = sen a cos b ¡ sen b cos a
6. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 98
cos(a + b) = cos a cos b ¡ sen a sen b
cos(a ¡ b) = cos a cos b + sen a sen b
4. cos(¡a) = cos a, sen(¡a) = ¡ sen a
sen(¡a) ¡ sen a
tg(¡a) = = = ¡ tg a
cos(¡a) cos a
5. sen 2a = sen(a + a) = 2 sen a cos a
cos 2a = cos(a + a) = cos2 a ¡ sen2 a
¡ ¢ ¡ ¢
6. cos a = sen ¼ ¡ a , sen a = cos ¼ ¡ a
2 2
11.2 O primeiro limite fundamental
Vamos admitir que as seis fun»~es trigonom¶tricas s~o cont¶
co e a ³nuas nos pontos onde est~o
a
de¯nidas.
Na pr¶xima aula estaremos de¯nindo as fun»~es trigonom¶tricas inversas e cal-
o co e
culando as derivadas de todas as fun»~es trigonom¶tricas. Para calcular a derivada de
co e
sen x, e ent~o calcular as derivadas das demais fun»~es trigonom¶tricas, deduziremos
a co e
primeiramente o seguinte resultado, chamado na literatura do c¶lculo de primeiro limite
a
fundamental.
Proposi»~o 11.1 (Primeiro limite fundamental)
ca
sen x
lim =1
x!0 x
Demonstra»~o. Seja ® um n¶mero real, 0 < ® < ¼=2, e consideremos, no c¶
ca u ³rculo
_
trigonom¶trico, o arco AP de comprimento ®, sendo A = (1; 0) e P = P® .
e
Sejam P 0 a proje»~o ortogonal do ponto P no eixo x (P P 0 ? Ox), e T a interse»~o
ca ca
0
da reta OP com o eixo y das tangentes.
_
Temos ent~o P P 0 < AP , ou seja sen ® < ®.
a
Al¶m disso, a ¶rea do setor circular AOP ¶ dada por A® = ® r2 = ® .
e a e 2 2
tg ®
A ¶rea do tri^ngulo OAT ¶ dada por ¢ = 1 OA ¢ AT =
a a e 2 2
.
tg ®
Obviamente A® < ¢, da¶ ® <
³ 2 2
, e portanto ® < tg ®.
Sumarizando, sendo 0 < ® < ¼=2,
sen ® < ® < tg ®
7. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 99
y'
y T
P
1
α
x
O P' A
Figura 11.7.
® tg ® 1
Como sen ® > 0, temos ent~o 1 <
a < = . Comparando os inversos
sen ® sen ® cos ®
dos tr^s termos, obtemos
e
sen ®
cos ® < <1
®
Para ¡¼=2 < ® < 0 tamb¶m valem as desigualdades acima, j¶ que, se 0 < ® < ¼=2,
e a
sen(¡®) ¡ sen ® sen ®
cos(¡®) = cos ® e = = .
¡® ¡® ®
Agora faremos uso de um teorema sobre limites (que s¶ pode ser demonstrado a
o
partir de um tratamento formal da teoria de limites), o teorema do confronto ou teorema
do sandu¶ ³che:
Teorema 11.1 (Teorema do confronto, ou teorema do sandu¶ ³che) Sendo I ½
R um intervalo, sendo a 2 I, e f , g e h fun»oes de¯nidas para x 2 I, x 6a, se
c~ =
f (x) · g(x) · h(x) para todo x 2 I; x 6a, e se lim f(x) = lim h(x) = L, ent~o
= a
x!a x!a
lim g(x) = L. Vale o mesmo resultado para limites laterais (neste caso, a pode ser o
x!a
extremo inferior ou superior do intervalo I). Vale o mesmo resultado se a = +1 ou
¡1.
sen ®
No nosso caso, temos f (®) = cos ®, g(®) = e h(®) = 1, todas de¯nidas
®
para ¡¼=2 < ® < ¼=2, ® 60, satifazendo f(®) < g(®) < h(®).
=
Temos lim f(®) = lim cos ® = 1, e lim h(®) = lim 1 = 1.
®!0 ®!0 ®!0 ®!0
Portanto lim g(®) = 1, ou seja,
®!0
sen ®
lim =1
®!0 ®
sen x
Veremos adiante que o resultado lim = 1, primeiro limite fundamental, ¶
e
x!0 x
imprescind¶ para a dedu»~o das derivadas das fun»~es trigonom¶tricas. Note que as
³vel ca co e
8. »~ ¶
Funcoes trigonometricas e o primeiro limite fundamental 100
desigualdades sen x < x < tg x, empregadas no c¶lculo desse limite, s¶ fazem sentido
a o
se x 2 R, quando ent~o jxj ¶ a medida de um arco orientado (em radianos), em um
a e
c¶
³rculo trigonom¶trico.
e
¡ ¢
1 n
O segundo limite fundamental ¶ aquele j¶ visto na aula 9, lim 1 + n = e.
e a
n!+1
11.3 Problemas
sen x
1. Calcule os seguintes limites, lembrando-se de que lim x
= 1.
x!0
sen(x=3) sen ax sen2 2t sen x
(a) lim (b) lim (c) lim (d) lim
x!0 x x!0 bx t!0 t2 x!¼ x ¡ ¼
sen2 t 1 ¡ cos ax sen 3x
(e) lim (f) lim x cotg x (g) lim (h) lim
t!0 1 ¡ cos t x!0 x!0 bx x!0 sen 5x
2 sen x
(i) lim x sen (j) lim (k) lim x ¢ cos(1=x)
x!+1 x x!+1 x x!0
sen(x=3) sen(x=3)
Respostas. (a) 1=3. Sugest~o. Fa»a lim
a c x = lim 3 ¢ x=3 (b) a=b (c) 4
x!0 x!0
(d) ¡1. Sugest~o. Fa»a primeiramente a mudan»a de vari¶vel x ¡ ¼ = y.
a c c a (e) 1.
sen2 t sen2 t(1+cos t)
Sugest~o. lim 1¡cos t = lim (1¡cos t)(1+cos t) (f) 1 (g) 0 (h) 3=5 (i) 2
a (j) 0.
t!0 t!0
1 sen x 1
Sugest~o. Se x > 0, ¡ x ·
a x · x (k) 0. Sugest~o. Mostre que lim jx cos(1=x)j =
a
x!0
0, considerando que jx cos(1=x)j · jxj, e use o teorema do confronto (teorema 11.1).