Permutações e combinações

Análise Prof. Marcelo Lopes Análise
Comb. www.geometriamar.com.br Comb.

PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES EXEMPLO 03 : Quantos são os anagramas da palavra
“BOTAFOGO”?
Há alguns (poucos) problemas de Combinatória que, embora sejam
aplicações do princípio básico, aparecem com muita freqüência. SOLUÇÃO : Se as letras fossem diferentes a resposta seria 8! .
Para esses problemas, vale a pena saber de cor as suas respostas. Como as três letras “O” são iguais, quando as trocamos entre si
obtemos o mesmo anagrama e não um anagrama distinto, o que
O primeiro desses problemas é o: aconteceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa
contagem de 8! tenhamos contado o mesmo anagrama várias
Problema das permutações simples
vezes, 3! vezes precisamente, pois há 3! modos de trocar as
De quantos modos podemos ordenar em fila n objetos distintos?
letras “O” entre si.
A escolha do objeto que ocupará o primeiro lugar pode ser feita de n
modos; a escolha do objeto que ocupará o segundo lugar pode ser
8! 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3!
feita de n − 1 modos; a escolha do objeto que ocupará o terceiro A resposta é = = 6720
3! 3!
lugar pode ser feita de n − 2 modos, etc...; a escolha do objeto que
ocupará o último lugar pode ser feita de 1 modo.
De modo geral, o número de permutações de n objetos, dos quais α
são iguais a A, β são iguais a B, γ são iguais a C, etc, é chamado
Cada ordem que se dá aos objetos é chamada de uma permutação
de permutação com repetição tais que:
simples dos objetos. Assim, por exemplo, as permutações simples
das letras a, b e c são (abc), (acb), (bac), (bca), (cab) e (cba).
n!
Pnα ,β,γ ,... =
α !β ! γ !...
Portanto, o número de permutações simples de n objetos distintos,
ou seja, o número de ordens em que podemos colocar n objetos
EXEMPLO 04 : Quantos são os anagramas da palavra
distintos é Pn = n! = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × ... × 1 .
“ADSUMUS”?

EXEMPLO 01 : Quantos são os anagramas da palavra “calor”? SOLUÇÃO : Se as letras fossem diferentes a resposta seria 7! .
Quantos começam por consoante? Como as duas letras “S” são iguais e as duas letras “U” são iguais,
quando as trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um
SOLUÇÃO : Cada anagrama corresponde a uma ordem de anagrama distinto, o que aconteceria se fossem diferentes.
colocação dessas 5 letras. O número de anagramas é
P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 . 7! 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!
A resposta é P72,2 = = = 1260
Para formar um anagrama começado por consoante devemos 2!2! 2 × 1× 2!
primeiramente escolher a consoante (3modos) e, depois, arrumar as
quatro letras restantes em seguida à consoante ( 4! = 24 modos).
Há 3 × 24 = 72 anagramas começados por consoante. EXEMPLO 06 : De quantos modos 5 crianças podem formar uma
roda de ciranda?

EXEMPLO 02 : De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros A E
diferentes de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros
B E A D
diferentes de Física, de modo que livros de uma mesma matéria
permaneçam juntos?

C D B C
SOLUÇÃO : Podemos escolher a ordem das matérias de 3!
modos. Feito isso, há 5! modos de colocar os livros de Matemática
SOLUÇÃO : À primeira vista parece que para formar uma roda com
nos lugares que lhe foram destinados, 3! modos para os de as cinco crianças basta escolher uma ordem para elas, o que
Estatística e 2! modos para os de Física. poderia ser feito de 5! = 120 modos. Entretanto, as rodas ABCDE e
A resposta é 3! × [ 5! × 3! × 2! ] = 6 × 120 × 6 × 2 = 8640 EABCD são iguais, pois na roda o que importa é a posição relativa
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das crianças entre si e a roda ABCDE pode ser “virada” na roda 14. O número de anagramas da palavra ALAMEDA que não
EABCD. Como cada roda pode ser “virada” de cinco modos apresenta as 4 vogais juntas é:
(ABCDE, EABCD, DEABC, CDEAB, BCDEA), a nossa contagem de a. 96
120 rodas contou cada roda 5 vezes e a resposta é 120
5 = 24 . b. 744
c. 816

De modo geral, o número de modos de colocar n objetos em círculo, d. 840

de modo que disposições que possam coincidir por rotação sejam e. 632

consideradas iguais, isto é, o número de permutações circulares de
n objetos é:

15. Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e
n! n × (n − 1)!
PCircular = = = (n − 1)!
n n quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma
mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas

EXERCÍCIOS PROPOSTOS pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o
pai e a mãe fiquem juntos?
11. O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e a. 48
terminam por vogal é: b. 24
a. 24 c. 60
b. 48 d. 120
c. 96 e. 36
d. 120
e. 144
16. Dois meninos e três meninas formarão uma roda dando-se as
mãos. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de
modo que os dois meninos não fiquem juntos?
12. O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem a. 12
vogal, nem consoantes fiquem juntas é: b. 24

a. 12 c. 36
b. 36 d. 48

c. 48 e. 60

d. 60
e. 72
O segundo problema importante é o:

Problema das combinações simples
13. Quantos anagramas da palavra PALCO podemos formar de De quantos modos podemos selecionar p objetos distintos entre n
maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas ? objetos distintos dados?
a. 48 Cada seleção de p objetos é chamada de uma combinação simples
b. 24 de classe p dos n objetos. Assim, por exemplo, as combinações
c. 96 simples de classe 3 dos objetos a, b, c, d, e são {a,b,c} , {a,b,d} ,
d. 120 {a,b,e} , {a,c,d} , {a,c,e} , {a,d,e} , {b,c,d} , {b,c,e} , {b,d,e} e
e. 36
{c,d,e} .
Representamos o número de combinações simples de classe p de n

elementos por Cp . Assim, C 3 .
n 5

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Para resolver o problema das combinações simples basta notar que 19. Dois grupos de excursionistas, um deles com 20 elementos e o
selecionar p entre os n objetos equivale a dividir os n objetos em um outro com 15 elementos, encontram-se em um certo local de
grupo de p objetos, que são os selecionados, e um grupo de n − p um país distante. Se todas as pessoas de um grupo
objetos, que são os não-selecionados. cumprimentarem todas as pessoas do outro grupo, o número

n! de cumprimentos será igual a:
Cp =
n
p!× (n − p)! a. 300
b. 380

EXEMPLO 05 : De quantos modos podemos dividir 8 objetos em c. 210

um grupo de 5 objetos e um de 3 objetos? d. 480
e. 288

SOLUÇÃO : Um processo de fazer a divisão é colocar os objetos
em fila; os 5 primeiros formam o grupo de 5 e os 3 últimos formam o 20. Para a seleção foram convocados 2 goleiros, 6 zagueiros, 7

grupo de 3. meios de campo e 4 atacantes. De quantos modos é possível

Há 8! modos de colocar os objetos em fila. escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de
campo e 2 atacantes?
Entretanto, note que filas como abcde | fgh e badce | ghf são
a. 2800
filas diferentes e geram a mesma divisão em grupos. Cada divisão
b. 7000
em grupos foi contada uma vez para cada ordem dos objetos dentro
c. 6300
de cada grupo. Há 5!× 3! modos de arrumar os objetos em cada
d. 6500
grupo. Cada divisão em grupos foi contada 5!× 3! vezes.
e. 4900

8!
A resposta é = 56 21. Um amigo mostrou-me 5 livros diferente de matemática, 7
5!3!
livros de física, 10 de química e pediu para eu escolher 2
livros, com a condição de que eles não fossem da mesma
17. São dados os pontos A, B, C, D e E sobre uma reta m e F, G,
matéria. De quantas maneiras posso fazer isso?
H e I sobre uma reta n, paralela a m. Quantos triângulos
a. 155
podem ser formados unindo-se estes pontos?
b. 165
a. 110
c. 175
b. 90
d. 185
c. 80
e. 195
d. 35
e. 70
22. (UFSC) Um experimento consiste em lançar uma moeda 6
vezes. Considera-se como resultado desse experimento a
seqüência das faces obtidas no 1º, 2º, 3º, 4º, 5º e 6º
18. O diretor de um pronto-socorro dispõe de 5 médicos, 4
lançamento, respectivamente. Por exemplo, indicando por c a
enfermeiros e 4 atendentes para escalar uma equipe de
face “cara” e por k a face “coroa”, um resultado possível desse
plantão. A equipe é formada por 3 médicos, 2 enfermeiros e 1
experimento é a seqüência (c, c, k, c, k, c).
atendente. Determine o número de equipes diferentes que o
O número de resultados possíveis desse experimento
diretor poderá formar.
apresentando quatro caras e duas coroas é:
a. 300
a. 30
b. 240
b. 24
c. 360
c. 20
d. 480
d. 18
e. 2880
e. 15

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