Análise Combinatória

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Matemática Discreta. Análise Combinatória

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Análise Combinatória

  1. 1. Combinatória
  2. 2. Sumário • Permutações • Combinações • Permutações e combinações com repetição
  3. 3. Permutações • Uma permutação é um arranjo ordenado de objetos. • Exemplo: ‣ Um código numérico de quatro dígitos decimais é uma permutação de 4 objetos ‣ 3457 é diferente de 7453
  4. 4. Número de Permutações • O número de permutações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos é denotado por P(n, r). • P(n, r) = n! / (n-r)!
  5. 5. Exemplo 1 • Quantas “cadeias” de 3 letras podem ser formadas a partir da palavra “compilar”, se nenhuma letra pode ser repetida?
  6. 6. Exemplo 2 • Dez atletas competem em um evento esportivo. São dadas medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras distintas podem ser dadas as medalhas?
  7. 7. Exemplo 3 • De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em uma fileira de seis cadeiras?
  8. 8. Exemplo 4 • Uma biblioteca tem 4 livros sobre sistemas operacionais, 7 sobre programação e 3 sobre estruturas de dados. De quantas maneiras diferentes esses livros podem ser arrumados em uma prateleira, dado que todos os livros sobre um mesmo assunto devem ficar juntos?
  9. 9. Casos Particulares • P(n, 0) = n! / n! = 1 • P(n, 1) = n! / (n-1)! = n • P(n, n) = n! / 0! = n!
  10. 10. Combinações • Uma combinação é um conjunto de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos. ‣ A ordem dos objetos não importa.
  11. 11. Número de Combinações • O número de combinações de r objetos distintos escolhidos entre n objetos distintos é denotado por C(n, r). • Pelo princípio da multiplicação: ‣ C(n, r) * r! = P(n, r) • Logo, C(n, r) = P(n, r)/r! = n! / [(r!)*(n-r)!]
  12. 12. Exemplo 5 • Quantas mãos de pôquer (com 5 cartas cada) podem ser distribuídas com um baralho padrão (52 cartas)?
  13. 13. Exemplo 6 • Em um evento esportivo, 10 atletas disputam vagas para as Olimpíadas. Quantos grupos diferentes de atletas podem ser classificados para as Olimpíadas, se existem existem 3 vagas?
  14. 14. Casos Particulares • C(n, 0) = 1 • C(n, 1) = n • C(n, n) = 1
  15. 15. Exercícios 1. Um clube de futebol tem 18 jogadores. De quantas maneiras pode-se escolher o time titular (11 jogadores)? 2. Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo contendo 19 alunos do primeiro ano e 34 do segundo. De quantas maneiras podemos selecionar 3 alunos do primeiro ano e 5 do segundo.
  16. 16. Resumo • A diferença entre combinações e permutações consiste em se os objetos são simplesmente selecionados ou se eles são selecionados e ordenados. ‣ A ordem é relevante => Permutações ‣ A ordem não é relevante => Combinações
  17. 17. Exemplo 7 • Considere um grupo de 7 alunos: 4 alunos de matemática e 3 alunos de física. De quantas maneiras podemos formar uma comissão com 2 alunos, contendo pelo menos um aluno de matemática?
  18. 18. Eliminando Repetições • Suponha que temos n objetos e k subconjuntos desses objetos, tais que os elementos dos subconjuntos são indistinguíveis entre si. Neste caso, o número de permutações distintas dos n objetos é n! (n1!)(n2!)···(nk!)
  19. 19. Exemplo 8 • Quantas permutações distintas podem ser feitas com os caracteres que formam a palavras “Flórida”? • Quantas permutações distintas podem ser feitas com os caracteres que formam a palavras “Mississipi”?
  20. 20. Permutações com Repetições • O número de permutações com repetições de r objetos entre n objetos distintos é: ‣ ‣ Neste caso, podemos ter r > n P(n, r) = nr
  21. 21. Exemplo 9 • Quantos números binários podemos formar com 3 dígitos?
  22. 22. Combinações com Repetições • O número de combinações com repetições de r objetos entre n objetos distintos é: ‣ ‣ Neste caso, podemos ter r > n C(n, r) = (r+n−1)! r!(n−1)!
  23. 23. Exemplo 10 • Um joalheiro, ao projetar uma jóia, decidiu usar cinco pedras preciosas escolhidas entre diamantes, rubis e esmeraldas. De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidas as pedras?
  24. 24. Problema de Contagem Técnica (sugerida) Possibilidades de resultados de eventos sucessivos Princípio da multiplicação Possibilidades de resultados de eventos disjuntos Princípio da adição Possibilidades de resultados dadas escolhas específicas em cada etapa Árvore de decisão Elementos em partes da interseção de conjuntos Princípio de inclusão e exclusão Arranjos ordenados de r objetos distintos entre n objetos P(n, r) = n! / (n-r)! Arranjos ordenados de r objetos entre n objetos P(n, r) = nr Maneiras de selecionar r objetos distintos entre n objetos C(n, r) = n! / r! (n-r)! Maneiras de selecionar r objetos entre n objetos C(n, r) = (r+n-1)! / r! (n-1)!

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