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    Turma: 3º/4º Semestre


     Matemática Discreta

           Aula 8

    Indução Matemática
    Revisão para a Prova
Notas de Aula
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    do Gersting.
✔
    Correção da prova.




                                                             2/8
                          Matemática Discreta
Indução Matemática
1. P(1) é verdadeira
2. P(r) é verdadeira para todo r
 1≤ r≤ k → P(k+1) verdadeira




                                             3/8
                       Matemática Discreta
Ideias Principais
Indução matemática é uma técnica usada para
  demonstrar propriedades de números inteiros
  positivos.
Uma demonstração por indução não precisa
 começar no valor 1.
A indução pode ser usada para demonstrar
  resultados sobre quantidades, cujos valores são
  inteiros não-negativos arbitrários.
A indução fraca e a indução forte podem ser usadas
  para demonstrarem o mesmo resultado; no
  entanto, dependendo da situação, uma ou outra
  abordagem pode ser mais fácil de ser utilizada.
                                                    4/8
                      Matemática Discreta
Prove que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2 para todo inteiro
                       positivo n
Primeiro preciso provar para n = 1
P(1) → 1 = 12 OK
Vamos provar para n = 4 também.
P(4) → 1+3+..+(2*4-1) = 42
          1+3+5+7 = 16 OK
Assumimos que é verdade para n
P(n) → 1+3+5+...+(2n - 1) = n2 (Hipótese da indução)
Precisamo provar para n+1
P(n+1) → 1+3+5+...+(2n – 1) + (2(n+1) - 1) = (n+1)2
Desenvolvendo o primeiro termo da equação
1+3+5+...+(2n – 1) + (2(n+1) – 1) = (substituindo 1+3+5+...+(2n – 1) por
  n2 pela hipótese da indução) n2 + 2n + 2 – 1 = n2 + 2n + 1 = (n+1)2
  CQD.
                                                                       5/8
                              Matemática Discreta
Prove que n2 ≥ 3n para todo n ≥ 4
Como n começa em quatro precisamos provas a desigualdade para n=4
P(4) → n2 ≥ 3n → 42 ≥ 3*4 → 16 ≥ 12
A partir da prova para P(4) assumimos que é verdade para P(n)
P(n) → n2 ≥ 3n
Precisamos provar para n+1
P(n+1) → (n+1)2 ≥ 3(n+1) → n2 + 2n +1 ≥ 3n + 3


resolvendo somente o primeiro termo da equação
n2 + 2n +1 > 3n + 2n + 1 (pela hipótese da indução pois n 2 ≥ 3n)
           ≥ 3n + 8 + 1 (já que n ≥ 4)
           > 3n + 3
           = 3(n+1)
Portanto n2 + 2n +1 ≥ 3n+3)




                                                                    6/8
                                          Matemática Discreta
Prove que 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1

Precisamos provar para n=1
P(1) → 1+21 = 2(1+1) – 1 → 3 = 3 OK.
Assumimos que é verdade para n
P(n) → 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1
Precisamos provar para n+1
P(n+1) → 1+2+22+...+2n + 2(n+1)= 2(n+1+1) – 1
Resolvendo o primeiro termo da equação
1+2+22+...+2n + 2(n+1)= 2(n+1) -1 + 2(n+1) = 2(2(n+1)) – 1 que é igual
  ao 2º termo da P(n+1) → 2(n+2) - 1


                                                                         7/8
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Exercícios
1. Prove por indução
    (a) 1+2+3+...+n = n(n+1)/2
    (b) 1.1! + 2.2! + … + n.n! = (n+1)! -1
    (c) 2n ≥ n2 para n ≥ 5
    (d) (1+x)n > 1 + xn
2. O que está errado na demonstração por indução
  matemática? Iremos provar que n é igual a 1 + n.
  Suponha que P(n) é verdadeira.
      n = n+1
      somando 1 a ambos os lados
      n+1 = n+2 logo P(n+1) é verdadeira



                                                     8/8
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Aula 9 inducao matematica ii

  • 1. Curso: Ciência da Computação Turma: 3º/4º Semestre Matemática Discreta Aula 8 Indução Matemática Revisão para a Prova
  • 2. Notas de Aula ✔ O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 2 do livro do Gersting. ✔ Correção da prova. 2/8 Matemática Discreta
  • 3. Indução Matemática 1. P(1) é verdadeira 2. P(r) é verdadeira para todo r 1≤ r≤ k → P(k+1) verdadeira 3/8 Matemática Discreta
  • 4. Ideias Principais Indução matemática é uma técnica usada para demonstrar propriedades de números inteiros positivos. Uma demonstração por indução não precisa começar no valor 1. A indução pode ser usada para demonstrar resultados sobre quantidades, cujos valores são inteiros não-negativos arbitrários. A indução fraca e a indução forte podem ser usadas para demonstrarem o mesmo resultado; no entanto, dependendo da situação, uma ou outra abordagem pode ser mais fácil de ser utilizada. 4/8 Matemática Discreta
  • 5. Prove que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2 para todo inteiro positivo n Primeiro preciso provar para n = 1 P(1) → 1 = 12 OK Vamos provar para n = 4 também. P(4) → 1+3+..+(2*4-1) = 42 1+3+5+7 = 16 OK Assumimos que é verdade para n P(n) → 1+3+5+...+(2n - 1) = n2 (Hipótese da indução) Precisamo provar para n+1 P(n+1) → 1+3+5+...+(2n – 1) + (2(n+1) - 1) = (n+1)2 Desenvolvendo o primeiro termo da equação 1+3+5+...+(2n – 1) + (2(n+1) – 1) = (substituindo 1+3+5+...+(2n – 1) por n2 pela hipótese da indução) n2 + 2n + 2 – 1 = n2 + 2n + 1 = (n+1)2 CQD. 5/8 Matemática Discreta
  • 6. Prove que n2 ≥ 3n para todo n ≥ 4 Como n começa em quatro precisamos provas a desigualdade para n=4 P(4) → n2 ≥ 3n → 42 ≥ 3*4 → 16 ≥ 12 A partir da prova para P(4) assumimos que é verdade para P(n) P(n) → n2 ≥ 3n Precisamos provar para n+1 P(n+1) → (n+1)2 ≥ 3(n+1) → n2 + 2n +1 ≥ 3n + 3 resolvendo somente o primeiro termo da equação n2 + 2n +1 > 3n + 2n + 1 (pela hipótese da indução pois n 2 ≥ 3n) ≥ 3n + 8 + 1 (já que n ≥ 4) > 3n + 3 = 3(n+1) Portanto n2 + 2n +1 ≥ 3n+3) 6/8 Matemática Discreta
  • 7. Prove que 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1 Precisamos provar para n=1 P(1) → 1+21 = 2(1+1) – 1 → 3 = 3 OK. Assumimos que é verdade para n P(n) → 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 Precisamos provar para n+1 P(n+1) → 1+2+22+...+2n + 2(n+1)= 2(n+1+1) – 1 Resolvendo o primeiro termo da equação 1+2+22+...+2n + 2(n+1)= 2(n+1) -1 + 2(n+1) = 2(2(n+1)) – 1 que é igual ao 2º termo da P(n+1) → 2(n+2) - 1 7/8 Matemática Discreta
  • 8. Exercícios 1. Prove por indução (a) 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 (b) 1.1! + 2.2! + … + n.n! = (n+1)! -1 (c) 2n ≥ n2 para n ≥ 5 (d) (1+x)n > 1 + xn 2. O que está errado na demonstração por indução matemática? Iremos provar que n é igual a 1 + n. Suponha que P(n) é verdadeira. n = n+1 somando 1 a ambos os lados n+1 = n+2 logo P(n+1) é verdadeira 8/8 Matemática Discreta