Aula 9 inducao matematica ii

6.926 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação

Aula 9 inducao matematica ii

  1. 1. Curso: Ciência da Computação Turma: 3º/4º Semestre Matemática Discreta Aula 8 Indução Matemática Revisão para a Prova
  2. 2. Notas de Aula✔ O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 2 do livro do Gersting.✔ Correção da prova. 2/8 Matemática Discreta
  3. 3. Indução Matemática1. P(1) é verdadeira2. P(r) é verdadeira para todo r 1≤ r≤ k → P(k+1) verdadeira 3/8 Matemática Discreta
  4. 4. Ideias PrincipaisIndução matemática é uma técnica usada para demonstrar propriedades de números inteiros positivos.Uma demonstração por indução não precisa começar no valor 1.A indução pode ser usada para demonstrar resultados sobre quantidades, cujos valores são inteiros não-negativos arbitrários.A indução fraca e a indução forte podem ser usadas para demonstrarem o mesmo resultado; no entanto, dependendo da situação, uma ou outra abordagem pode ser mais fácil de ser utilizada. 4/8 Matemática Discreta
  5. 5. Prove que 1+3+5+...+(2n - 1) = n2 para todo inteiro positivo nPrimeiro preciso provar para n = 1P(1) → 1 = 12 OKVamos provar para n = 4 também.P(4) → 1+3+..+(2*4-1) = 42 1+3+5+7 = 16 OKAssumimos que é verdade para nP(n) → 1+3+5+...+(2n - 1) = n2 (Hipótese da indução)Precisamo provar para n+1P(n+1) → 1+3+5+...+(2n – 1) + (2(n+1) - 1) = (n+1)2Desenvolvendo o primeiro termo da equação1+3+5+...+(2n – 1) + (2(n+1) – 1) = (substituindo 1+3+5+...+(2n – 1) por n2 pela hipótese da indução) n2 + 2n + 2 – 1 = n2 + 2n + 1 = (n+1)2 CQD. 5/8 Matemática Discreta
  6. 6. Prove que n2 ≥ 3n para todo n ≥ 4Como n começa em quatro precisamos provas a desigualdade para n=4P(4) → n2 ≥ 3n → 42 ≥ 3*4 → 16 ≥ 12A partir da prova para P(4) assumimos que é verdade para P(n)P(n) → n2 ≥ 3nPrecisamos provar para n+1P(n+1) → (n+1)2 ≥ 3(n+1) → n2 + 2n +1 ≥ 3n + 3resolvendo somente o primeiro termo da equaçãon2 + 2n +1 > 3n + 2n + 1 (pela hipótese da indução pois n 2 ≥ 3n) ≥ 3n + 8 + 1 (já que n ≥ 4) > 3n + 3 = 3(n+1)Portanto n2 + 2n +1 ≥ 3n+3) 6/8 Matemática Discreta
  7. 7. Prove que 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1 para qualquer n ≥ 1Precisamos provar para n=1P(1) → 1+21 = 2(1+1) – 1 → 3 = 3 OK.Assumimos que é verdade para nP(n) → 1+2+22+...+2n = 2n+1 – 1Precisamos provar para n+1P(n+1) → 1+2+22+...+2n + 2(n+1)= 2(n+1+1) – 1Resolvendo o primeiro termo da equação1+2+22+...+2n + 2(n+1)= 2(n+1) -1 + 2(n+1) = 2(2(n+1)) – 1 que é igual ao 2º termo da P(n+1) → 2(n+2) - 1 7/8 Matemática Discreta
  8. 8. Exercícios1. Prove por indução (a) 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 (b) 1.1! + 2.2! + … + n.n! = (n+1)! -1 (c) 2n ≥ n2 para n ≥ 5 (d) (1+x)n > 1 + xn2. O que está errado na demonstração por indução matemática? Iremos provar que n é igual a 1 + n. Suponha que P(n) é verdadeira. n = n+1 somando 1 a ambos os lados n+1 = n+2 logo P(n+1) é verdadeira 8/8 Matemática Discreta

×