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Análise Combinatória Professor  Luciano Ribeiro
ANÁLISE COMBINATÓRIA  é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar de enumerá-los. A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc.
Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como: loteria esportiva, loto, loteria federal, etc., além de utilizações mais específicas, como confecções de horários, de planos de produção, de números de placas de automóveis etc.
  Ex.: 2! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2 x 1 = 6  4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720   Convenção  0! = 1  1! = 1   Fatorial é uma operação !
Observação:  n! = n (n – 1)! Ex.: 8! = 8 . 7! 10! = 10 . 9! Exemplo:Simplificar a expressão:
O  Triângulo de Pascal  assim como o conhecemos, na verdade não foi descoberto por Pascal, ou por  Tartaglia , como é conhecido na Itália; na verdade o cálculo de combinações e arranjos, data  200 a.c. com Pingala,  na Índia. Na China, 1700 antes de Pascal , mas em 1.654 um famoso jogador denominado  “O Cavaleiro de Méré”  escreveu uma carta ao famoso matemático Blaise Pascal, propondo-lhe resolver alguns problemas matemáticos como jogos de dados e probabilidades.
Propriedades do Triângulo de Pascal
   Observamos que todas as linhas começãm e terminam em 1;    Na construção não é necessário calcular os coeficientes binomiais um a um. A partir da 3ª linha, cada elemento( com exceção do primeiro e do último) é a soma dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Esta propriedade é conhecida como relação de Stifel.
Triângulo Aritmético de Pascal ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 p= 0  p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8
Simetria O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se escrito da seguinte forma:
O s simétricos são iguais. ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 p= 0  p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8
A soma dos elementos de cada linha é uma  potência de 2 , cujo expoente corresponde à ordem da linha:c
Aplicação No conjunto A = { 1,2,3} o número de subconjuntos será 2 3  = 8 subconjuntos  ( soma das linhas) ,ou seja, P(A)={  ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 p= 0  p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8
Os números naturais aparecem em sequência na segunda diagonal.
Os números triangulares aparecem na 3ª diagonal, representam a soma dos naturais: 1; 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6, etc. Generalizando, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
Os números tetraédricos são o número de pontos com que se pode definir um tetraedro,
Seqüência de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,... Os números de Fibonacci aparecem com frequência na natureza, esses números começam pelo 1 e cada um dos seguintes é a soma dos dois anteriores. No Triângulo de Pascal os números de Fibonacci aparecem como  soma dos números das diagonais secundárias :
Curiosidade Retângulo Áureo e o Nautilus Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2.
Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.
Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13  ( figura abaixo), repita o processo para os outros quadrados,
Com as concordâncias dessas curvas, obtemos uma espiral como a do  Nautilus marinho .
Binômio de Newton Uma das aplicações que Pascal fazia era a determinação dos coeficientes binomiais, quando fazemos a expansão do binômio de Newton: O desenvolvimento acima tem como coeficientes os números da linha 2 do triângulo.
Já se desejarmos a expansão de  Pegaremos a linha 3, e assim por diante.
Herança Quantitativa ou Poligênica Na herança quantitativa dois ou mais pares de alelos determinam o fenótipo.Por isto é também chamada de herança poligênica. O número de fenótipos que podem ser encontrados depende do número de pares de alelos envolvidos, que chamamos de  n : O número de fenótipos =  2n +1
Quando estão envolvidos 2 pares de genes haverá 5 fenótipos possíveis. Se forem 3 pares serão 7 fenótipos; Se forem 4 pares serão 9 fenótipos e assim por diante. Sabemos que a frequência de fenótipos se distribui em uma curva normal, assunto que será abordado posteriormente.
Expressividade do caráter a = mínima, b = média, c = máxima
Cor da pele humana No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos ( N  ou  B ) ou não acrescentar nada, se não efetivos ( n  ou  b ).
Se acontecer um cruzamento entre dihíbridos, quais serão as proporções fenotípicas da descendência? Usando a  Genética : (quais são os gametas e os tipos possíveis de filhos gerados?)
NnBb x NnBb   Gametas produzidos por ambos:  NB, Nb, nB e nb Gametas NB Nb nB nb NB NNBB NNBb NnBB NnBb Nb NNBb NNbb NnBb Nnbb nB NnBB NnBb nnBB nnBb nb NnBb Nnbb nnBb nnbb
Fenótipos  Número de genes Negro(NNBB ) 4 genes efetivos e 0 não efetivos mulatos escuros  (NNBb ou nNBB ) 3 genes efetivos e 1 não efetivo  mulatos médios  (NNbb, nnBB ou NnBb ) 2 genes efetivos e 2 não efetivos mulatos claros  (Nnbb ou nnBb ) 1 gene efetivo e 3 não efetivos Branco (nnbb ) 0 genes efetivos e 4 não efetivos
Usando o  Triângulo de Pascal :   Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou b)  Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4. no. genes  coeficientes  0 1 1 1  1 2 1  2  1 3 1  3  3  1 4 1  4  6  4  1
Portanto, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1 negro : 4 mulatos escuros: 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco.  1 negro  4 efetivos e 0 não efetivo  4 mulatos escuros  3 efetivos e 1 não efetivo  6 mulatos médios  2 efetivos e 2 não efetivos  4 mulatos claros  1 efetivo e 3 não efetivos  1 branco  0 efetivo e 4 não efetivos
Princípio Fundamental de Contagem ,[object Object],[object Object],[object Object]
02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas(a,b,c) onde a    {C,K},b    {C,K} e c    {C,K}, logo, o resultado procurado é 2.2.2 = 8
C – C – C C – C – K C – K – C C – K – K K – C – C K – C – K K – K – C K – K - K Pelo o Diagrama da Árvore K C K C C K C K C K C K C K
03. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)?    9   x  9  x  9  =  729 números  
E se fossem com algarismos distintos? 9  x  8  x  7  =  504 números
04. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?   Resolução:  Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9  x  9  x  8  x  7 O número não começar por 0 (zero), logo:  9 . 9 . 8. 7 = 4.536   Resposta: 4.536 números
05. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?     1º lugar  2º lugar  3º lugar  6  x  5  x  4  =  120 possibilidades
06. Quantos são os divisores de 72?  Os divisores de 72 são do tipo 2 x  . 3 y  (pois 72=2 3 .3 2 ) onde: x    {0, 1, 2, 3} e y    {0, 1, 2}. Logo teremos: 4 possibilidades para x e 3 possibilidades para y.  Total: 4 x 3 = 12
07. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva? Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2. Pelo P.F.C., teremos: Jogo 1  Jogo 2  Jogo 14   C 1   C m  C 2  C 1   C m  C 2  C 1   C m  C 2 3  x  3  x...x  3  = 3 14
EM RESUMO: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas. 2º) Quantas opções cada escolha tem. 3º) Multiplicar tudo!    Se o problema não depender da ordem  ( por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.
08.  Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem? Resolução: de A para B = 3 possibilidades de B para C = 4 possibilidades Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 . 4 = 12 Resposta: 12 modos
09.   A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido?
Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480   Resposta: 480 placas   Resolução:   Placa:  2  .  2  .  5  .  4  .  3  .  2
10. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7? 5  x  4  x  3     5 x 4 x 3 = 60   Respostas:  60 números
11.   Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, incluindo-se os números que formam o prefixo?  
Resolução:  Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Prefixo     7  x  6  x  5  x  4 colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840   Resposta: 840 números
12.  Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas?  
Resolução: Para se colocar 01 peça temos 16 maneiras .  Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras. Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576 Resposta:  576 maneiras
13.   Um torneiro esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola  E  inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola  F   conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe  E  não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe  F .
Resolução: Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes: Escola E    6. 4 = 24 maneiras Escola F    5 . 3 = 15 maneiras
Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras . Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de:  (6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos: 360 – 18 = 342  Resposta: 342 maneiras
14. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor?
Resolução: Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por: 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720 Resposta:  6.720 modos
15) (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a: a) 9 b) 15 c) 20 d) 24 e) 30
Resolução: Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9 Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opções; Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opções. Total de tentativas : 04 x 05 = 20 Portanto n = 20 tentativas.
16. Observe o diagrama O número de ligações distintas entre X e Z é: a) 39 b) 41 c) 35 d) 45
Resolução: Possíveis caminhos XRZ = 3.1 = 3 XRYZ = 3.3.2 = 18 XYZ = 1.2 = 2 XSYZ = 3.2.2 = 12 XSZ = 3.2 = 6 TOTAL = 41
17. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que  podem ser formados com os  algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a: a) 10 b) 20 c) 48 d) 52 e) 100
Resolução: é um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeriam o erro de fazer o cálculo:  4 x 5 x 5 = 100(errado!) Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos,assim:
Nº com algarismos repetido mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados  Usando o P.F.C. teremos: Nº com algarismos repetidos = x Nº com algarismos distintos  = 4x4x3 = 48 Total de nº formados =  4x5x5 = 100 Portanto, x + 48 = 100   x = 52 Resposta : Letra D.
18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é: a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 49! Resolução:  50  x  49  = 2450
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]
d) Com as letras  BR  juntas nesta ordem? Resolução: BR  juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é 5! = 120 e) Com as letras  BR  juntas em qualquer ordem ? Resolução:  Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240
f) Quantos anagramas podemos formar com a palavra  ARARA ? g) E com a palavra  ITATIAIA  ? h) E com a palavra  APROVADO  ?
20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas.Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas seqüências de cores podemos observar? Resolução:É como se fosse uma seqüência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com repetição, ou seja,
21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo–se da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?
Idem solução anterior, é uma anagrama com repetição do tipo: DDDDCCC , ou seja: .Q P .
22.O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra APOSTA e que não apresentam as letras A juntas é: a) 120 b) 240 c) 360 d) 480 e) 600
Resolução: TOTAL – A  juntas  = A  separadas
23.O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre: a) 15.000.000 e 25.000.000 b) 25.000.000 e 35.000.000 c) 35.000.000 e 45.000.000 d) 45.000.000 e 55.000.000 Resolução:
24. Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O número de modos distintos de se escolherem os discos é: a) 12 b) 42 c) 160 d) 1.120 e) 1.200
Resolução:   Beatles  x  Rolling Stones  x  U2
25.Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a: a) 55 b) 65 c) 110 d) 121 Resolução: Precisamos de mãos :
26.Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é: a) 35 b) 38 c) 40 d) 42
Resolução:
27. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente? a) 120 b) 240 c) 14.400 d) 86.400 e) 3.608.800
Resolução:  Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala;
28.O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é: a) 250 b) 321 c) 504 d) 576
Resolução: Para ser múltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades, portanto:
29.Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é: a) 63 b) 79 c) 127 d) 182 e) 201
Resolução: Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa.As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo: 2  .  2  .  2  .  2  .  2  .  2  = 64 – 1 (todas apagadas) = 63
30. O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto ( . ) ou pelo traço ( - ). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código Morse é: a) 16 b) 64 c) 30 d) 8 e) 36
Resolução: Pode-se formar palavras de uma, duas , três ou quatro letras e as opções por letra são duas( ponto ou traço), logo:
31. O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é: a) 45 b) 90 c) 1022 d) 101
Resolução: São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022 (opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)
32.(BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
Resolução:   É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fundamental de contagem: Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja: pares diferentes , ou  ,  portanto o item está correto.
33.(BB/2007)Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas
Resolução:   É um problema de permutação repetida onde as cores são como letras e o total de faixas(7) como uma palavra de 07 letras, ou seja: formas, portanto o item está correto.
34. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. Resolução:  1ª agência x 2ª agência x 3ª agência
35. Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações. Resolução: 4.4.4.4.4.4 = 4 6 , maneiras, portanto o item está errado
36.(UFMG2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo,incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois,juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a) 70 b) 35 c) 45 d) 55
RESOLUÇÂO:  Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos)
Soluções inteiras não negativas de uma equação linear Ex.: Considere a equação linear  x + y = 5, quantas soluções inteiras não negativas podemos obter: (0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0), portanto teremos 6 soluções inteiras não negativas.
Considere agora a equação  x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande , e corremos o risco de esquecer alguma solução. Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero.
Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:
Logo teremos uma permutação com elementos repetidos( como em ARARA), assim:
Portanto existem 36 soluções inteiras positivas para a equação.
Arranjo Simples
Permutação simples Pn = n! Permutação com repetição
Combinação simples
Permutação Circular P = ( n – 1)!

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Análise Combinatória

  • 2. ANÁLISE COMBINATÓRIA é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar de enumerá-los. A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de cartas, etc.
  • 3. Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como: loteria esportiva, loto, loteria federal, etc., além de utilizações mais específicas, como confecções de horários, de planos de produção, de números de placas de automóveis etc.
  • 4.   Ex.: 2! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2 x 1 = 6 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 Convenção 0! = 1 1! = 1 Fatorial é uma operação !
  • 5. Observação: n! = n (n – 1)! Ex.: 8! = 8 . 7! 10! = 10 . 9! Exemplo:Simplificar a expressão:
  • 6. O Triângulo de Pascal assim como o conhecemos, na verdade não foi descoberto por Pascal, ou por Tartaglia , como é conhecido na Itália; na verdade o cálculo de combinações e arranjos, data 200 a.c. com Pingala, na Índia. Na China, 1700 antes de Pascal , mas em 1.654 um famoso jogador denominado “O Cavaleiro de Méré” escreveu uma carta ao famoso matemático Blaise Pascal, propondo-lhe resolver alguns problemas matemáticos como jogos de dados e probabilidades.
  • 8. Observamos que todas as linhas começãm e terminam em 1;  Na construção não é necessário calcular os coeficientes binomiais um a um. A partir da 3ª linha, cada elemento( com exceção do primeiro e do último) é a soma dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Esta propriedade é conhecida como relação de Stifel.
  • 9.
  • 10. Simetria O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se escrito da seguinte forma:
  • 11.
  • 12. A soma dos elementos de cada linha é uma potência de 2 , cujo expoente corresponde à ordem da linha:c
  • 13. Aplicação No conjunto A = { 1,2,3} o número de subconjuntos será 2 3 = 8 subconjuntos ( soma das linhas) ,ou seja, P(A)={  ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
  • 14.
  • 15. Os números naturais aparecem em sequência na segunda diagonal.
  • 16. Os números triangulares aparecem na 3ª diagonal, representam a soma dos naturais: 1; 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6, etc. Generalizando, 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
  • 17.
  • 18. Os números tetraédricos são o número de pontos com que se pode definir um tetraedro,
  • 19.
  • 20. Seqüência de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,... Os números de Fibonacci aparecem com frequência na natureza, esses números começam pelo 1 e cada um dos seguintes é a soma dos dois anteriores. No Triângulo de Pascal os números de Fibonacci aparecem como soma dos números das diagonais secundárias :
  • 21.
  • 22. Curiosidade Retângulo Áureo e o Nautilus Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2.
  • 23. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.
  • 24. Usando um compasso, trace um quarto de círculo no quadrado de lado L=13 ( figura abaixo), repita o processo para os outros quadrados,
  • 25. Com as concordâncias dessas curvas, obtemos uma espiral como a do Nautilus marinho .
  • 26. Binômio de Newton Uma das aplicações que Pascal fazia era a determinação dos coeficientes binomiais, quando fazemos a expansão do binômio de Newton: O desenvolvimento acima tem como coeficientes os números da linha 2 do triângulo.
  • 27. Já se desejarmos a expansão de Pegaremos a linha 3, e assim por diante.
  • 28. Herança Quantitativa ou Poligênica Na herança quantitativa dois ou mais pares de alelos determinam o fenótipo.Por isto é também chamada de herança poligênica. O número de fenótipos que podem ser encontrados depende do número de pares de alelos envolvidos, que chamamos de n : O número de fenótipos = 2n +1
  • 29. Quando estão envolvidos 2 pares de genes haverá 5 fenótipos possíveis. Se forem 3 pares serão 7 fenótipos; Se forem 4 pares serão 9 fenótipos e assim por diante. Sabemos que a frequência de fenótipos se distribui em uma curva normal, assunto que será abordado posteriormente.
  • 30. Expressividade do caráter a = mínima, b = média, c = máxima
  • 31. Cor da pele humana No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envolvendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos ( N ou B ) ou não acrescentar nada, se não efetivos ( n ou b ).
  • 32. Se acontecer um cruzamento entre dihíbridos, quais serão as proporções fenotípicas da descendência? Usando a Genética : (quais são os gametas e os tipos possíveis de filhos gerados?)
  • 33. NnBb x NnBb Gametas produzidos por ambos: NB, Nb, nB e nb Gametas NB Nb nB nb NB NNBB NNBb NnBB NnBb Nb NNBb NNbb NnBb Nnbb nB NnBB NnBb nnBB nnBb nb NnBb Nnbb nnBb nnbb
  • 34. Fenótipos Número de genes Negro(NNBB ) 4 genes efetivos e 0 não efetivos mulatos escuros (NNBb ou nNBB ) 3 genes efetivos e 1 não efetivo mulatos médios (NNbb, nnBB ou NnBb ) 2 genes efetivos e 2 não efetivos mulatos claros (Nnbb ou nnBb ) 1 gene efetivo e 3 não efetivos Branco (nnbb ) 0 genes efetivos e 4 não efetivos
  • 35. Usando o Triângulo de Pascal : Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos = 2 (n ou b) Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4. no. genes coeficientes 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1
  • 36. Portanto, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1 negro : 4 mulatos escuros: 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco. 1 negro 4 efetivos e 0 não efetivo 4 mulatos escuros 3 efetivos e 1 não efetivo 6 mulatos médios 2 efetivos e 2 não efetivos 4 mulatos claros 1 efetivo e 3 não efetivos 1 branco 0 efetivo e 4 não efetivos
  • 37.
  • 38. 02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas(a,b,c) onde a  {C,K},b  {C,K} e c  {C,K}, logo, o resultado procurado é 2.2.2 = 8
  • 39. C – C – C C – C – K C – K – C C – K – K K – C – C K – C – K K – K – C K – K - K Pelo o Diagrama da Árvore K C K C C K C K C K C K C K
  • 40. 03. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)?    9 x 9 x 9 = 729 números  
  • 41. E se fossem com algarismos distintos? 9 x 8 x 7 = 504 números
  • 42. 04. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?   Resolução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9 x 9 x 8 x 7 O número não começar por 0 (zero), logo: 9 . 9 . 8. 7 = 4.536   Resposta: 4.536 números
  • 43. 05. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?   1º lugar 2º lugar 3º lugar  6 x 5 x 4 = 120 possibilidades
  • 44. 06. Quantos são os divisores de 72? Os divisores de 72 são do tipo 2 x . 3 y (pois 72=2 3 .3 2 ) onde: x  {0, 1, 2, 3} e y  {0, 1, 2}. Logo teremos: 4 possibilidades para x e 3 possibilidades para y. Total: 4 x 3 = 12
  • 45. 07. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva? Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2. Pelo P.F.C., teremos: Jogo 1 Jogo 2 Jogo 14   C 1 C m C 2 C 1 C m C 2 C 1 C m C 2 3 x 3 x...x 3 = 3 14
  • 46. EM RESUMO: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas. 2º) Quantas opções cada escolha tem. 3º) Multiplicar tudo!  Se o problema não depender da ordem ( por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.
  • 47. 08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem? Resolução: de A para B = 3 possibilidades de B para C = 4 possibilidades Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 . 4 = 12 Resposta: 12 modos
  • 48. 09. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido?
  • 49. Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 . 2 . 5. 4. 3. 2 = 480 Resposta: 480 placas Resolução: Placa: 2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2
  • 50. 10. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7? 5 x 4 x 3  5 x 4 x 3 = 60   Respostas: 60 números
  • 51. 11. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, incluindo-se os números que formam o prefixo?  
  • 52. Resolução: Algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 Prefixo  7 x 6 x 5 x 4 colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: 7 . 6 . 5. 4 = 840 Resposta: 840 números
  • 53. 12. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas?  
  • 54. Resolução: Para se colocar 01 peça temos 16 maneiras . Para a 3ª e 4ª peças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras. Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576 Resposta: 576 maneiras
  • 55. 13. Um torneiro esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F .
  • 56. Resolução: Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes: Escola E  6. 4 = 24 maneiras Escola F  5 . 3 = 15 maneiras
  • 57. Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras . Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de:  (6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos: 360 – 18 = 342  Resposta: 342 maneiras
  • 58. 14. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor?
  • 59. Resolução: Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por: 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720 Resposta: 6.720 modos
  • 60. 15) (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a: a) 9 b) 15 c) 20 d) 24 e) 30
  • 61. Resolução: Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9 Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opções; Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opções. Total de tentativas : 04 x 05 = 20 Portanto n = 20 tentativas.
  • 62. 16. Observe o diagrama O número de ligações distintas entre X e Z é: a) 39 b) 41 c) 35 d) 45
  • 63. Resolução: Possíveis caminhos XRZ = 3.1 = 3 XRYZ = 3.3.2 = 18 XYZ = 1.2 = 2 XSYZ = 3.2.2 = 12 XSZ = 3.2 = 6 TOTAL = 41
  • 64. 17. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a: a) 10 b) 20 c) 48 d) 52 e) 100
  • 65. Resolução: é um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeriam o erro de fazer o cálculo: 4 x 5 x 5 = 100(errado!) Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos,assim:
  • 66. Nº com algarismos repetido mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados Usando o P.F.C. teremos: Nº com algarismos repetidos = x Nº com algarismos distintos = 4x4x3 = 48 Total de nº formados = 4x5x5 = 100 Portanto, x + 48 = 100 x = 52 Resposta : Letra D.
  • 67. 18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é: a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 49! Resolução: 50 x 49 = 2450
  • 68.
  • 69. d) Com as letras BR juntas nesta ordem? Resolução: BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é 5! = 120 e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem ? Resolução: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240
  • 70. f) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA ? g) E com a palavra ITATIAIA ? h) E com a palavra APROVADO ?
  • 71. 20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas.Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas seqüências de cores podemos observar? Resolução:É como se fosse uma seqüência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com repetição, ou seja,
  • 72. 21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo–se da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?
  • 73. Idem solução anterior, é uma anagrama com repetição do tipo: DDDDCCC , ou seja: .Q P .
  • 74. 22.O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra APOSTA e que não apresentam as letras A juntas é: a) 120 b) 240 c) 360 d) 480 e) 600
  • 75. Resolução: TOTAL – A juntas = A separadas
  • 76. 23.O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre: a) 15.000.000 e 25.000.000 b) 25.000.000 e 35.000.000 c) 35.000.000 e 45.000.000 d) 45.000.000 e 55.000.000 Resolução:
  • 77. 24. Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O número de modos distintos de se escolherem os discos é: a) 12 b) 42 c) 160 d) 1.120 e) 1.200
  • 78. Resolução: Beatles x Rolling Stones x U2
  • 79. 25.Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a: a) 55 b) 65 c) 110 d) 121 Resolução: Precisamos de mãos :
  • 80. 26.Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é: a) 35 b) 38 c) 40 d) 42
  • 82. 27. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente? a) 120 b) 240 c) 14.400 d) 86.400 e) 3.608.800
  • 83. Resolução: Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala;
  • 84. 28.O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é: a) 250 b) 321 c) 504 d) 576
  • 85. Resolução: Para ser múltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades, portanto:
  • 86. 29.Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é: a) 63 b) 79 c) 127 d) 182 e) 201
  • 87. Resolução: Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa.As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1 (todas apagadas) = 63
  • 88. 30. O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto ( . ) ou pelo traço ( - ). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código Morse é: a) 16 b) 64 c) 30 d) 8 e) 36
  • 89. Resolução: Pode-se formar palavras de uma, duas , três ou quatro letras e as opções por letra são duas( ponto ou traço), logo:
  • 90. 31. O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é: a) 45 b) 90 c) 1022 d) 101
  • 91. Resolução: São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022 (opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)
  • 92. 32.(BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
  • 93. Resolução: É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio fundamental de contagem: Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja: pares diferentes , ou , portanto o item está correto.
  • 94. 33.(BB/2007)Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas
  • 95. Resolução: É um problema de permutação repetida onde as cores são como letras e o total de faixas(7) como uma palavra de 07 letras, ou seja: formas, portanto o item está correto.
  • 96. 34. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. Resolução: 1ª agência x 2ª agência x 3ª agência
  • 97. 35. Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações. Resolução: 4.4.4.4.4.4 = 4 6 , maneiras, portanto o item está errado
  • 98. 36.(UFMG2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo,incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois,juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a) 70 b) 35 c) 45 d) 55
  • 99. RESOLUÇÂO: Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos)
  • 100. Soluções inteiras não negativas de uma equação linear Ex.: Considere a equação linear x + y = 5, quantas soluções inteiras não negativas podemos obter: (0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0), portanto teremos 6 soluções inteiras não negativas.
  • 101. Considere agora a equação x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande , e corremos o risco de esquecer alguma solução. Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero.
  • 102. Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:
  • 103. Logo teremos uma permutação com elementos repetidos( como em ARARA), assim:
  • 104. Portanto existem 36 soluções inteiras positivas para a equação.
  • 106. Permutação simples Pn = n! Permutação com repetição
  • 108. Permutação Circular P = ( n – 1)!