Curso: Ciência da Computação         Turma: 3º Semestre         Matemática Discreta               Aula 3Arranjos, Permutaç...
Notas de Aula✔    O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 3 do livro    do Gersting.                                  ...
PermutaçõesPermutação é um arranjo ordenado de objetos.●    A ordem dos elementos é importante.●   Exemplo: dois sorteios ...
PermutaçõesExemplo: Queremos descobrir quantos números podem ser formados com 4 algarismos sem repetição dentro do números...
PermutaçõesEm geral a fórmula da permutação é:P(n,r) = n!/(n-r)! para 0 <= r <=n                                          ...
Exemplos: PermutaçõesP(4,2) = 4!/(4-2)! = 4*3*2*1/2*1 = 12.CalculeP(7,3)P(5,2)                                            ...
Casos de FronteiraVamos calcularP(n,0) = ??P(n,n) = ??P(n,1) = ??5 minutos para calcular                                  ...
Permutações: Casos de FronteiraVamos calcularP(n,0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1P(n,n) = n!/(n-n)! = n!/1 = n!P(n,1) = n!/(n-1)...
Permutações: ExemploQual é o número de permutações possíveis de 3 objetos a, b, c?n=3er=3P(3,3) = 3!/(3-3)! = 3! = 3*2*1 =...
Permutações: ExemploQuantas palavras de três letras (não necessariamente com sentido) podem ser formadas com as letras da ...
Permutações: ExemploUma biblioteca tem quatro livros sobre sistemas operacionais, sete sobre programação e três sobre estr...
Permutações: ExemploQuantas palavras de três letras (não necessariamente com sentido) podem ser formadas com as letras da ...
CombinaçõesÀs vezes, desejamos selecionar r objetos de um conjunto de n objetos, mas não desejamos relevar a ordem na qual...
CombinaçõesC(n,r) = n!/(n-r)!r!A ordem dos elementos não é importante.Exemplo: Um garoto tem um carro vermelho, um amarelo...
CombinaçõesExemplo: Um garoto tem um carro vermelho, um amarelo, um azul e outro verde. Quantas combinações de 2 carros po...
Combinações: Casos EspeciaisOs casos especiais para C(n, r) são C(n, 0), C(n, 1) e C(n, n).CalculeC(n,0) = ???C(n,1) = ???...
Combinações: Casos EspeciaisOs casos especiais para C(n, r) são C(n, 0), C(n, 1) e C(n, n).C(n,0) = n!/(n-0)!0! = n!/n! = ...
Lista de Exercícios                            18/18      Matemática Discreta
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  1. 1. Curso: Ciência da Computação Turma: 3º Semestre Matemática Discreta Aula 3Arranjos, Permutações e Combinações
  2. 2. Notas de Aula✔ O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 3 do livro do Gersting. 2/18 Matemática Discreta
  3. 3. PermutaçõesPermutação é um arranjo ordenado de objetos.● A ordem dos elementos é importante.● Exemplo: dois sorteios da mega sena pode ter o seguinte resultado ● 1º - 5 10 21 50 33 14 ● 2º – 14 21 10 5 50 33 ● Os resultados são iguais?● No entanto quando pegamos os números de telefone 23416079 e 32416079 eles são diferentes.● Na permutação a ordem dos elementos é importante. 3/18 Matemática Discreta
  4. 4. PermutaçõesExemplo: Queremos descobrir quantos números podem ser formados com 4 algarismos sem repetição dentro do números naturais. – Pela regra da multiplicação temos 10.9.8.7. – Isso significa escolher 4 objetos distintos de um total de 10 elementos. – Podemos escrever P(10,4) → Permutação de 10 tomados 4 a 4.A fórmula da permutação pode ser escrita na forma de fatorial.Para um inteiro positivo n, fatorial de n é definido como n(n - 1)(n - 2)...1 e denotado por n!; além disso, 0! é definido como tendo valor 1.Pela definição de n!, vemos que n! = n(n - 1)! 4/18 Matemática Discreta
  5. 5. PermutaçõesEm geral a fórmula da permutação é:P(n,r) = n!/(n-r)! para 0 <= r <=n 5/18 Matemática Discreta
  6. 6. Exemplos: PermutaçõesP(4,2) = 4!/(4-2)! = 4*3*2*1/2*1 = 12.CalculeP(7,3)P(5,2) 6/18 Matemática Discreta
  7. 7. Casos de FronteiraVamos calcularP(n,0) = ??P(n,n) = ??P(n,1) = ??5 minutos para calcular 7/18 Matemática Discreta
  8. 8. Permutações: Casos de FronteiraVamos calcularP(n,0) = n!/(n-0)! = n!/n! = 1P(n,n) = n!/(n-n)! = n!/1 = n!P(n,1) = n!/(n-1)! = n(n-1)!/(n-1)! = n 8/18 Matemática Discreta
  9. 9. Permutações: ExemploQual é o número de permutações possíveis de 3 objetos a, b, c?n=3er=3P(3,3) = 3!/(3-3)! = 3! = 3*2*1 = 6São eles: – abc acb bac bca cab cba 9/18 Matemática Discreta
  10. 10. Permutações: ExemploQuantas palavras de três letras (não necessariamente com sentido) podem ser formadas com as letras da palavra "compilar", se não pudermos repetir letras?2 minutos para fazer. 10/18 Matemática Discreta
  11. 11. Permutações: ExemploUma biblioteca tem quatro livros sobre sistemas operacionais, sete sobre programação e três sobre estrutura de dados.Vamos ver de quantas maneiras esses livros podem ser arrumados em uma prateleira, considerando que todos os livros de cada assunto precisam estar juntos.Podemos pensar neste problema como uma sequência de sub-tarefas. Primeiro consideremos a sub-tarefa de arrumar os três assuntos.Existem 3! maneiras de fazer isto, isto é, 3! maneiras de ordenar os assuntos dos livros na prateleira.As etapas seguintes são arranjar os livros sobre sistemas operacionais (4! maneiras), arrumar os livros sobre programação (7! maneiras) e, então, arrumar os livros sobre estrutura de dados (3! maneiras).Portanto, pelo Princípio da Multiplicação, o número final de arranjos possíveis de todos os livros é (3!) (4!) (7!) (3!) = 4.354.560. 11/18 Matemática Discreta
  12. 12. Permutações: ExemploQuantas palavras de três letras (não necessariamente com sentido) podem ser formadas com as letras da palavra "compilar", se não pudermos repetir letras? Neste caso, desejamos saber o número de permutações de três objetos distintos tomados dentre oito objetos.A resposta é P(8, 3) = 8!/5! = 336. 12/18 Matemática Discreta
  13. 13. CombinaçõesÀs vezes, desejamos selecionar r objetos de um conjunto de n objetos, mas não desejamos relevar a ordem na qual eles são arranjados. Neste caso, estamos contando o número de combinações de r objetos distintos escolhidos dentre n objetos distintos, denotadas porC(n, r). 13/18 Matemática Discreta
  14. 14. CombinaçõesC(n,r) = n!/(n-r)!r!A ordem dos elementos não é importante.Exemplo: Um garoto tem um carro vermelho, um amarelo, um azul e outro verde. Quantas combinações de 2 carros podemos fazer.C(4,2) = 4!/(4-2)!2! = 4.3.2.1/2.2 = 6.Porque não é 12? 14/18 Matemática Discreta
  15. 15. CombinaçõesExemplo: Um garoto tem um carro vermelho, um amarelo, um azul e outro verde. Quantas combinações de 2 carros podemos fazer.Vamos descrever todas as combinações.(Ver, Ama)(Ver, Azu)(Ver,Verd)(Ama, Azu)(Ama,Verd)(Azu,Verd)Porque não podemos colocar o (Ama,Ver)? 15/18 Matemática Discreta
  16. 16. Combinações: Casos EspeciaisOs casos especiais para C(n, r) são C(n, 0), C(n, 1) e C(n, n).CalculeC(n,0) = ???C(n,1) = ???C(n,n) = ??? 16/18 Matemática Discreta
  17. 17. Combinações: Casos EspeciaisOs casos especiais para C(n, r) são C(n, 0), C(n, 1) e C(n, n).C(n,0) = n!/(n-0)!0! = n!/n! = 1C(n,1) = n!/(n-1)!1! = n(n-1)!/(n-1)! = nC(n,n) = n!/(n-n)!n! = n!/(o)!n! = 1 17/18 Matemática Discreta
  18. 18. Lista de Exercícios 18/18 Matemática Discreta

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