Análise combinatória

2.758 visualizações

Publicada em

1 comentário
4 gostaram
Estatísticas
Notas
Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.758
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
32
Comentários
1
Gostaram
4
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Análise combinatória

  1. 1. ANÁLISE COMBINATÓRIAAnálise combinatória é um estudo realizado na matemática e na lógica, responsável pelaanálise das possibilidades e das combinações. Observe alguns exemplos de exercíciosque são resolvidos utilizando análise combinatória.Se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória.Um homem possui cinco camisas, quatro calças, três paletós e dois pares de sapatos. Dequantos modos diferentes ele pode se vestir? Para saber essas combinações é necessárioutilizar as propriedades da análise combinatória.Para efetuar os cálculos desses problemas, devemos estudar algumas propriedades daanálise combinatória:- Princípio fundamental da contagem- Fatorial- Arranjos simples- Permutação simples- Combinação- Permutação com elementos repetidosAnálise combinatóriaAs permutações são agrupamentos formados pelos mesmos elementos, por isso diferementre si somente pela ordem dos mesmos.Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutações simples de seus elementos são: 234, 243,324, 342, 423 e 432.Indicamos o número de Permutações simples de n elementos distintos por Pn = n!Exemplo 1Quais os anagramas da palavra AMOR?Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras,de modo a formar ou não palavras.Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição,2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24anagramas.Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .Exemplo 2Formar os anagramas a partir da palavra PATO
  2. 2. Pelo Princípio Fundamental da Contagem podemos dizer que é possível formar 24sequências.P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAOAPTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPTTAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOAOAPT OATP OPTA OPAT OTPA OTAPExemplo 3Carlos e Rose têm três filhos: Sérgio, Adriano e Fabíola. Eles querem tirar uma foto derecordação na qual todos apareçam lado a lado. Quantas fotos diferentes podem serregistradas?A forma como irão se distribuir corresponde a uma permutação entre eles, então:P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.Análise combinatóriaA análise combinatória estuda dois tipos de agrupamentos: Arranjos e combinações.Sendo que diferem em arranjos simples, combinações simples.Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Porexemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos {1, 2 e 3} são:312, 321, 132, 123, 213, 231Esse agrupamento é um arranjo, pois a ordem dos elementos 1, 2 e 3 diferem. E éconsiderado simples, pois os elementos não se repetem.Para que tenhamos arranjos simples é preciso ter um conjunto de elementos distintos comuma quantidade qualquer de elementos, sendo que os arranjos simples formados irãopossuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade deelementos do conjunto.Veja o exemplo abaixo:Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementosde B.
  3. 3. Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76.Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode serrepresentada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois).Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade deelementos:A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos queeles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pelanatureza de seus elementos. Por exemplo:Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles sãodiferentes pela ordem dos seus elementos.Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles sãodiferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes.Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um númeronatural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinteforma: A n , pA fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é:
  4. 4. Exemplo 2:Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20primeiras letras do nosso alfabeto?Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, bastaaplicar a fórmula:A n , p = n!(n – p)!Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p= 5). Substitua a fórmula.Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabetounidas de 5 em 5 é 1860480.Arranjos simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os diferentes agrupamentosordenados que se podem formar com p dos n elementos dados.Indica-se por An,p ou Anp o total desses agrupamentos, que calculamos assim:An,p = n(n – 1)(n – 2) * ...*(n – p + 1) ou
  5. 5. Exemplos:A8,4 (onde n = 8 e p = 4)Arranjos e combinações simplesCombinações SimplesCombinações simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n) são os subconjuntos comexatamente p elementos que se podem formar com os n elementos dados.Indica-se por Cn,p , Cnp o número total de combinações de n elementos tomados p a pe calcula-se por C n,p =(Observação: Por serem subconjuntos, a ordem dos elementos não importa.)Exemplos:C6,2 (onde n = 6 e p = 2)Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. Sãoarranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos
  6. 6. um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de Aformado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão:Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois:Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entreoutras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemosacertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6,sessenta números tomados seis a seis.Na megassena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis.Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso querformar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantaspossíveis equipes podem ser formadas?
  7. 7. ResoluçãoO número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão:Poderão ser formadas 4060 equipes.Fatorial e princípio fundamental da contagemFatorialConsiderando n um número natural maior que 1 (um), podemos definir como fatorial dessenúmero n (n!) o número:n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.Veja alguns exemplos:5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 1208! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 403206! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 72010! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800Princípio Fundamental da ContagemQuando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal forma queas possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n,consideramos então que o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo
  8. 8. produto m*n.Exemplo 1Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)Observando o ocorrido, vemos que o evento tem duas etapas com 2 possibilidades emuma e 6 em outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.Exemplo 2Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E dealgarismos distintos?Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3 algarismos.Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números de 3 algarismos distintos.Permutação com elementos repetidosPermutação de elementos repetidos deve seguir uma forma diferente da permutação, poiselementos repetidos permutam entre si. Para compreender como isso acontece veja oexemplo abaixo:A permutação da palavra MATEMÁTICA ficaria da seguinte forma:Sem levar em consideração as letras (elementos) repetidas, a permutação ficaria assim:P10 = 10! = 3.628.800Agora, como a palavra MATEMÁTICA possui elementos que repetem, como a letra A querepete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutaçãoentre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavraMATEMÁTICA será:Portanto, com a palavra MATEMÁTICA podemos montar 151200 anagramas.Seguindo esse raciocínio podemos concluir que, de uma maneira geral, a permutação comelementos repetidos é calculada utilizando a seguinte fórmula:
  9. 9. Dada a permutação de um conjunto com n elementos, alguns elementos repetemn1 vezes, n2 vezes e nn vezes. Então, a permutação é calculada:Exemplo 1:Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MARAJOARA, aplicando apermutação teremos:Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 anagramas.Exemplo 2:Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ITALIANA, aplicando apermutação teremos:Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 anagramas.Exemplo 3:Quantos anagramas com a palavra BARREIRA podem ser formados, sendo que deverácomeçar com a letra B?B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___↓ ↓1 P2,371 . P2,37 = 7! = 4202! . 3!Portanto, com a palavra BARREIRA podemos formar 420 anagramas.Permutação SimplesPodemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde oselementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. Aspermutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP.Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos aseguinte expressão P = n!.
  10. 10. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24Exemplo 1Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?Resolução:Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso depermutação simples.P = 4! = 24Exemplo 2De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula eSilvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?Resolução:Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutaçãosimples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem doselementos.P = n!P = 5!P = 5*4*3*2*1P = 120Portanto, o número de posições possíveis é 120.Permutando números e letrasTodas as pessoas devem possuir uma certidão de nascimento ou carteira de identidade. OCPF e o título de eleitor também são documentos imprescindíveis para qualquer cidadão.Todos esses documentos possuem o nome da pessoa e um número de identificação quefacilita o acesso às informações cadastrais de cada civil.Os veículos também possuem um cadastro com diversas informações sobre cor, modelo,ano, número de chassi, numeração do motor, potência, proprietário, endereço delocalização, entre outras. O acesso a esses dados cadastrais é realizado através da placade identificação do veículo.
  11. 11. Anteriormente, as placas eram formadas por uma combinação de duas letras e quatronúmeros. Considerando que o alfabeto é composto de 26 letras e nosso sistema denumeração por 10 dígitos, as permutações possíveis eram dadas por:26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 6.760.000Em cada coluna das letras temos a opção de 26 letras e, no caso dos números, a opçãode 10 dígitos.Conforme o aumento do número de carros no decorrer dos anos, os departamentosresponsáveis pelo registro dos carros em circulação resolveram adotar a presença de maisuma letra nas placas dos automóveis. Essa medida aumentou o número de possibilidadesde combinação. Observe:26 * 26 * 26 * 10 * 10 * 10 * 10 = 175.760.000Os cálculos apresentados fornecem todas as possíveis permutações, inclusive envolvendoidentificações de mesmas letras e números. Por exemplo:AAA – 0000PPP – 1111TTT – 8888XXX – 4444Caso seja necessário calcular o número de permutações somente de placas comelementos distintos, devemos adotar o seguinte cálculo matemático:26 * 25 * 24 * 10 * 9 * 8 * 7 = 78.624.000Exemplos:
  12. 12. ABC – 1234JDT – 8547PTA – 1238TDX – 5621Algumas outras restrições podem ser utilizadas na elaboração das placas. Veja:Somente as letras distintas26 * 25 * 24 * 10 * 10 * 10 * 10 = 156.000.000Exemplos:ABC – 2255PDR – 8888XTA – 8787NKS – 9025Somente os números distintos26 * 26 * 26 * 10 * 9 * 8 * 7 = 88.583.040ExemplosAAP – 1258BBV – 8742LKL – 5468HIJ – 7236EXERCICIOS1-De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paulae Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?
  13. 13. 2- De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seismulheres:a) em qualquer ordemb) iniciando com homem e terminando com mulher

×