Este documento discute conceitos de análise combinatória, incluindo princípio de contagem, fatorial, arranjo simples, permutação simples, combinação simples, permutações com elementos repetidos e permutações circulares, ilustrando cada conceito com exemplos numéricos.

2. Assuntos abordados neste slide:
Analise combinatória:
 Principio de contagem
 Fatorial
 ARRANJO SIMPLES
 PERMUTAÇÃO SIMPLES
 COMBINAÇÃO SIMPLES.
 PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS
 PERMUTAÇÕESCIRCULARES
 Exercícios.

3. Analise Combinatória
Olá nesta aula veremos as características da analise combinatória envolvendo alguns
probleminhas que podemos resolver através deste conceito matemático.Desde de cedo você
aprende a contar,então você já sabe combinatória basta apenas relembrar o assunto,certo?
Vamos lá!

4. Problemas de contagem
Um probleminha que surge logo quando você vai calcular algum problema de combinatória é
quando somar? ou quando multiplicar?Veja o quadro abaixo:
Multiplicar (*) Princípio
Soma (+) Principio aditivo Mulplicativo ou Teorema
Fundamental de contagem
Divisão em casos do problema - Decisões em sequência do
Ideia do OU problema -Ideia do E

5. Problemas 1: Eu tenho: 4 uva e 3 pera,resolva minhas duvidas!
1º problema:De quantas maneiras eu posso escolher uma fruta.Veja que se formos falar o
problema falaríamos assim:”1 uva ou 1 pera?”Olha a ideia do “ou” então: (divide em casos),
Caso seja uva é 4 + 3 pera= 7 possibilidades de frutas
2º problema:De quantas maneiras eu posso escolher 1 uva e 1 pera.Você viu o “e” então sem duvida
estamos diante de (decisões em sequencias).1 uva e 1 pera então:4*3=12 maneiras.
Obs.:As multiplicações decorre de uma soma.
Suponha que você tenha escolhido a uva 1 e depois você precisa escolher uma pera,da forma
quando dividiremos em casos ou "soma",veja como fica abaixo:
U1:pA,pB,pC 3 opções- U2:pA,pB,pC 3 opções- U3:pA,pB,pC 3 opções- U4:pA,pB,pC 3 opções então
decorre que 3+3+3+3=12 possibilidades diferentes que é o mesmo no multiplicativo 4*3=12
possibilidade.
E ai você pode fazer das 2 maneiras basta escolher aquela que pra você é a mais fácil.

6. Problema 2: Quando o problema pedi para resolvermos o caso sem repetir nenhum elemento
do problema,estamos diante de um problema com possibilidades distintas. Se ligue sempre
quando aparecer a palavra “distintos”,assim fica fácil saber o que deve aplicar.
Ex:
Quantas placas de veículos podem ser criadas,se forem usadas 2 letras de um alfabeto de 26
letras,seguidas por 4 algarismos?
Letras Algarismos
1ª 2ª 1ª 2ª 3ª 4ª
26 25 10 9 8 7 Possibilidades
Logo:26*25*10*9*8*7= 3.276.000 possibilidades Obs.:Não há necessidade de se calcular quando o
resultado for grande assim ,basta simplificar quando possível em forma de potencia.

7. Fatorial
Quando nos deparamos com problemas,tais que a contagem fica assim:3*2*1=6 ou seja é o
resultado de sucessivos cálculos de números naturais,estamos diante de um numero fatorial
,que se escreve assim (n!).
Ex: De quantas maneiras podemos organizar 7 alunos em uma fila?
Pelo principio da contagem pode ser:1º ,2º 3º...7º ou 7º,6º,5º...1º ,na verdade a ordem não
importa e se repetir ou não também não vem ao caso,então podemos calcular assim:
7! (lê-se 7 fatorial)=7*6*5*4*3*2*1=5.040 maneiras Blz!

8. ARRANJO SIMPLES
Agora galera,veremos formulas para se resolver problemas de analise combinatória de forma
rápida e precisa,levando em consideração a não repetição de elementos.Vamos lá!
A ordem importa {A,B,C} diferente de {B, A, C}
Formula:
Onde:
A n,p = n! / (n-p)!
A= arranjo
P=partes ou grupos;
N=total de elementos.
Obs1. Tanto o arranjo como a combinação são agrupamentos de K elementos distintos escolhidos
a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo, se mudarmos a ordem
dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento; na combinação,
mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos o mesmo agrupamento.

9. Ex:
1) Uma corrida (torneio) é disputada por 4 atletas. Quantos são os possíveis resultados para os
três primeiros lugares (ouro, prata e bronze)?
Resp. N=4 e P= 3, A 4,3 = 4.3.2 => A 4,3 = 24
2) Quantas comissões de 3 elementos podemos formar dispondo de 6 elementos, sendo que um
deve ser presidente, outro tesoureiro e outro deve ser secretário?
Resp.N=4 e P=3, A 6, 3 = 6.5.4 = 120 comissões
Obs.:Lembre-se sempre que (N )será o numero total de elementos e (P ) será as posições ou
agrupamentos que queremos formar.

10. PERMUTAÇÃO SIMPLES
PERMUTAÇÃO SIMPLES (a ordem importa) – Chama-se permutação simples de n elementos
qualquer o arranjo simples desses n elementos tomados n a n.
Formula: P n = n!
Exemplos.
P=permutação;
N=Numero total de elementos.
1) Quantos são o anagrama da palavra livro.
Resp. P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
2) De quantas maneiras podemos arrumar 20 livros numa prateleira de uma estante?
Resp. P 20 = 20!

11. COMBINAÇÃO SIMPLES
A ordem não importa.
Formula: C n,p = n! / (n-p)!*p!
Exemplos.
1) De um grupo de 5 mesa tenistas três serão escolhidos para representar o Brasil. Quantos trios
podemos formar? Solução: 5.4.3/3! = 10
2) Quantas cores podemos conseguir a partir das três cores fundamentais,
combinadas(misturadas) duas a duas? Resp. C3,2 = 3
3) Quantas combinações alimentares podemos fazer com 7 alimentos se só devemos associar três
em cada refeição? Resp. C7,2 = 7! / (73)! 3! = 35
4) De um grupo de 10 tenistas dois serão escolhidos para disputar um torneio de duplas. Quantas
duplas podem ser formadas? Resp. C10,2 = 45 duplas

12. Agora veremos exemplos de formulas onde a repetição é permitida.
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS
De modo geral, se temos n elementos, dos quais n1 são iguais a a1 (a1 representa, por exemplo uma letra), n2
são iguais a a2 (a2 representa outra letra), n3 são iguais a a3,...,nr são iguais a ar, o número de
permutações possíveis é dado por:
Formula: P(n; n1,n2,...,nr) = n! / n1!.n2!....nr!
Exemplos
1) Quantos são os anagramas da palavra PARAÍBA.Solução: Se as letras fossem diferentes a resposta seria
7!. Como as três letras “A” são iguias, quando trocamos entre si obtemos o mesmo anagrama e não um
anagrama distinto, o que aconteceria se fossem diferentes. Isso faz com que na nossa contagem de 7!
tenhamos contado o mesmo anagrama várias vezes, 3! Vezes precisamente, pois há 3! modos de trocar
as letras “A” entre si. A resposta é 7!/3! = 840
2) Quantos são os anagramas da palavra PASSARELA? Solução: P(9;3,2) = 9! / 3!.2!

13. PERMUTAÇÕESCIRCULARES
Quando elementos são dispostos ao redor de um círculo, a cada disposição possível chamamos de
permutação circular. Além disso, duas permutações circulares são consideradas idênticas
se, e somente se, quando percorremos a circunferência no sentido anti horário (ou horário) a
partir de um mesmo elemento das duas permutações, encontramos elementos que formam
sequencias iguais.
Fórmula: P c(n) = n! / n = (n-1)!
Exemplos.
1) Quantos colares podemos formar usando quatro contas, todas diferentes?
Solução: Pc(4) = (41)! = 6.
2) De quantas formas 5 pessoas podem sentar ao redor de uma mesa circular?
Solução: Pc(5) = (51)! = 24.

14. Permutação circular
Raciocínio
1. Primeiro formamos o círculo com, por exemplo, 4 elementos.
2. Depois percorremos o círculo num sentido (horário ou anti horário, tanto faz), até
completarmos uma volta. Após estes quatro passos(para o caso específico do nosso exemplo)
iremos obter o mesmo resultado, pois os consecutivos serão os mesmos. Cuidado, não basta
que os vizinhos da esquerda e da direita sejam os mesmos, os consecutivos é que deverão ser
os mesmos.
3. Na operação 2 podemos associar a cada passo uma permutação em linha. No caso, 4
permutações em linha irão corresponder a somente uma permutação circular.
4. Em função de 2, podemos estabelecer a seguinte regra de três:: 4 (permutações em linha) está
para 1 (permutação circular) assim como 4! está para x. Resolvendo, temos: x = 4! / 4 = (41)!
Generalizando temos: Pc = (n1)!

15. 01) Com 5 homens e 5 mulheres, de quantos modos se pode formar
um casal?
R: 25

16. 02) Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas
usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter
apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras
adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?
R: 192

17. 03) Quantos são os números de três dígitos distintos?
R: 9x9x8=648

18. 04) O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras
têm de 1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código Morse?
R: 2+4+8+16=30

19. 05) a) Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360?
b) Quantos desses divisores são pares?
c) Quantos são ímpares?
d) Quantos são quadrados perfeitos?
R: a) 24 b) 18 c) 6 d) 4

20. 06) Quantos são os números pares de três dígitos distintos?
R: 72+256=328

21. 07) a) Quantos são os anagramas da palavra “calor”?
b) Quantos começam por consoante?
R: a) 5!=120 b) 3x4!=72

22. 08) De quantos modos podemos arrumar em fila 5 livros diferentes
de Matemática, 3 livros diferentes de Estatística e 2 livros
diferentes de Física, de modo que livros de uma mesma matéria
permaneçam juntos?
R: 3!5!3!2!=8640

23. 09) Quantos são os anagramas da palavra BOTAFOGO?
R:8!/3!=6720

24. 10) De quantos modos podemos dividir 8 objetos em um grupo de 5
objetos e um de 3 objetos?
R: 8!/(5!3!)=56

25. 11) De quantos modos 5 crianças podem formar uma roda de ciranda?
R: 120/5=24

26. 12-(UFSCar SP-07) Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três
áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o
grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso.
Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o
total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a:
a) 46.
b) 59.
c) 77.
d) 83.
e) 91.
Resp:D

27. 13-(Mackenzie SP-07) Em uma sala de aula há 25 alunos, quatro deles considerados gênios. O
número de grupos, com três alunos, que pode ser formado, incluindo pelo menos um dos
gênios, é:
a) 580
b) 1200
c) 970
d) 1050
e) 780
Resp:C

28. 14-(UFF RJ-07) Hoje em dia, é possível realizar diversas operações bancárias a partir de um computador pessoal ligado à
Internet. Para esse acesso, o cliente de determinado banco, após digitar o número de sua agência e conta corrente,
deverá introduzir uma senha de quatro dígitos a partir de um teclado virtual como o da figura. Para inserir um dígito
da senha da sua conta corrente, o cliente deste banco deve clicar em um dos quatro botões indicados pela inscrição
“clique aqui”; isto é, para inserir o dígito 4, por exemplo, pode-se clicar no botão “clique aqui” situado abaixo dos
dígitos “0, 4 ou 7” ou naquele situado abaixo dos dígitos “2, 4 ou 8”.
Pode-se afirmar que o número total de senhas compostas por quatro dígitos distintos que estão associadas à
sequencia de “cliques”, primeiro, no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8; depois, no botão correspondente aos
dígitos 0, 4 ou 7; novamente no botão correspondente aos dígitos 1, 5 ou 8 e, por último, no botão correspondente aos
dígitos 0, 4 ou 7, é igual a:
a) 12 b) 24 c) 36 d) 54 e) 81 Resp:C

29. 15-(UEPB PB-06) O número de triângulos que podemos obter à partir dos 8 pontos distintos
distribuídos pela circunferência abaixo, é igual a:
a) 56
b) 28
c) 14
d) 24
e) 48
Resp :A

30.  Bosquilha ,Alessandra.Minimanual compacto de matemática:teoria e
pratica:ensino médio/Alessandra Bosquilha,Marlene Lima Pires
Corrêa,Tânia Cristina Neto,G viveiro.---2 ª edição.rev.---São Paulo
:Editora Rideel.