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Curso: Ciência da Computação
           Turma: 6ª Série


       Teoria da Computação

              Aula 14

Máquina de Turing – Máquina de Post
Planejamento
●   Hoje tem entrega da ATPS.
●   Combinar aula da próxima semana.
●   Nossa avaliação é dia 29 de Novembro.
●   Exercícios de Máquinas Universais.
Máquina de Turing
    Foi proposta por Alan Turing em 1936 e é
    universalmente conhecida e aceita como
   formalização de algoritmo. Trata-se de um
mecanismo simples que formaliza a ideia de uma
pessoa que realiza cálculos. O modelo possui no
   mínimo, o mesmo poder computacional de
    qualquer computador de propósito geral.




                                                  3
                  Teoria da Computação
Noção Intuitiva
    O ponto de partida de Turing foi analisar a situação na
     qual uma pessoa, equipada com um instrumento de
    escrita e um apagado, realiza cálculos numa folha de
              papel, organizada em quadrados.


Inicialmente, suponha que a folha de papel contém
somente os dados iniciais do problema. O trabalho da
pessoa pode ser resumido em sequências de operações
simples como segue:
●    Ler um símbolo de um quadrado;
●    Alterar um símbolo em um quadrado;
●    Mover os olhos para outro quadrado.
                                                              4
                         Teoria da Computação
Noção Intuitiva
Quando é encontrada alguma representação satisfatória para a resposta
desejada, a pessoa termina seus cálculos.
Hipóteses para o cálculos com a Máquina de Turing:
●   A natureza bidimensional do papel não é um requerimento essencial para
    os cálculos. Pode ser assumido que o papel consiste de uma fita infinita
    organizada em quadrados;
●   O conjunto de símbolos pode ser finito, pois se pode utilizar sequências de
    símbolos;
●   O conjunto de estados da mente da pessoa durante o processo de cálculo é
    finito. Mais ainda, entre esses estados, existem dois em particular: “estado
    inicial” e “estado final”, correspondendo ao início e ao fim dos cálculos,
    respectivamente;
●   O comportamento da pessoa a cada momento é determinado somente pelo
    seu estado presente e pelo símbolo para o qual sua atenção está voltada.
●   A pessoa é capaz de observar e alterar o símbolo de apenas um quadrado
    de cada vez, bem como de transferir sua atenção somente para um dos
    quadrados adjacentes.
                                                                                  5
                                Teoria da Computação
Máquina de Turing
É constituída por três partes:
(a) Fita. Usada simultaneamente como dispositivo de
  entrada, de saída e de memória do trabalho;
(b) Unidade de Controle. Reflete o estado corrente da
  máquina. Possui uma unidade de leitura e gravação
  (cabeça da fita), a qual acessa uma célula da fita de
  cada vez e movimenta-se para a esquerda ou para a
  direita;
(c) Programa ou Função de Transição. Função que
  define o estado da máquina e comanda as leituras, as
  gravações e o sentido de movimento da cabeça.


                                                          6
                        Teoria da Computação
Fita e Unidade de Controle
                                                                   Branco
    Início da Fita                       Entrada



                     Θ    a     b    b      b      c   a   β   β      a     b   ...
  Fita
                                                                                      Infinito




                     Controle




A unidade de controle possui um número pré-definido de estados.
A cabeça da fita lê o símbolo de uma célula de cada vez e grava
um novo símbolo. Após a leitura/gravação (a gravação é realizada
na mesma célula de leitura), a cabeça move uma célula para a
direita ou para a esquerda. O símbolo gravado e o sentido do
movimento são definidos pelo programa.                           7
                                    Teoria da Computação
Modelo Formal
Uma Máquina de Turing é um 8-upla:
             M = (∑, Q, ∏, q0, F, V, β, Ö)

onde:
∑: alfabeto de símbolos de entrada;
Q: conjunto de estados possíveis da máquina, o qual é finito;
∏ : Programa ou função de transição;
    ∏ : Qx( ∑ U V U {β, Ö}) → Qx( ∑ U V U {β, Ö}) x {E,d} a qual é uma função
parcial;
q0: Estado inicial da máquina tal que q0 é elemento de Q;

F: Conjunto de estados finais tal que F está contido em Q;
V: Alfabeto auxiliar;
β: Símbolo especial branco;

Ö: Marcador de início da fita.
                                                                                8
                                  Teoria da Computação
Modelo Formal cont.
O símbolo de início de fita ocorre exatamente uma vez e sempre na
célula mais à esquerda da fita, auxiliando na identificação de que a
cabeça da fita se encontra na célula mais à esquerda da fita. A função
programa (função):

considera                             para determinar
estado corrente                       novo estado
símbolo lido da fita                  símbolo a ser gravado
                                      sentido de movimente da cabeça,
                                      onde esquerda e direita são
                                      representados por E e D
                                      respectivamente
Assim tem-se que:
∏ (estado corrente, símbolo lido) = (novo estado, símbolo gravado,
sentido do movimento)
ou seja suponha p, q є Q, au ,av є ( ∑ U V U {β, Ö}) e
m є {E,D}):
π (p, au) = (q, av, m)                                                   9
                             Teoria da Computação
Função Programa
A função programa pode ser interpretada como
um grafo finito direto:

                            (au,av,m)
              p                                     q

                                         sentido        novo
   estado         símbolo                  do           estado
   corrente         lido                movimento


                                  símbolo
                                  gravado

Adicionalmente, a função programa pode ser
representada na forma de tabela. Como seria
uma tabela para representar a função
programa??? 5 minutos para pensar
                    Teoria da Computação
                                                                 10
Tabela Função Programa
π   Ö      ...     au          ...        av   ...   β
p                (q,av,m)
q




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                   Teoria da Computação
Máquina de Turing
O processamento de uma Máquina de Turing M = (∑, Q, π, q0, F, β, Ö)
para uma palavra de entrada w consiste na sucessiva aplicação da
função programa a partir do estado inicial q0 e da cabeça posicionada na
célula mais à esquerda da fita, até ocorrer uma condição de parada. O
processamento de M para a entrada w pode parar ou ficar um loop
infinito. A parada pode ser de duas maneiras: aceitando ou rejeitando a
entrada w. As condições de parada são as seguintes:
(a) Estado Final: A máquina assume um estado final: a máquina para e
   a palavra é aceita;
(b) Função indefinida: A função programa é indefinida para o argumento
   (símbolo lido e estado corrente): a máquina pára e a palavra de
   entrada é rejeitada;
(c) Movimento inválido: O argumento corrente da função programa
   define um movimento à esquerda e a cabeça da fita já se encontra
   na célula mais à esquerda: a máquina para e a palavra de entrada é
   rejeitada.
                                                                      12
                             Teoria da Computação
Máquina de Turing como Reconhecedores de
                   Linguagens
Uma das abordagens do estudo das Máquinas de
      Turing ou máquinas universais é como
     reconhecedores de linguagens, ou seja,
dispositivos capazes de determinar se uma dada
 palavra sobre o alfabeto de entrada pertence ou
           não a uma certa linguagem.




                                               13
                   Teoria da Computação
Linguagem Aceita por uma Máquina de Turing
Seja M = (∑, Q, ∏ , q0, F, β, Ö) uma máquina de Turing. Então:
a) A Linguagem Aceita por M, denotada por ACEITA(M) ou L(M), é
o conjunto de todas as palavras pertencentes a ∑* aceitas por M,
ou seja:
   ACEITA(M) = {w | M ao processar w є ∑* pára em um estado q f
є F}
b) A Linguagem Rejeitada por M, denotada por REJEITA(M) é o
conjunto de todas as palavras de ∑* rejeitadas por M, ou seja:
   REJEITA(M) = {w | M ao processar w є ∑* pára em um estado
q não є F}
c) A linguagem para qual M fica em loop infinito, denotada por
LOOP(M), é o conjunto de todas as palavras de ∑* para as quais
M fica processando indefinidamente.
                                                                 14
                          Teoria da Computação
Mais informações sobre Máquina de Turing e
          Reconhecimento de Linguagens
●   ACEITA(M) U REJEITA(M) U LOOP(M) = ∑*
●   ACEITA(M) ∩ REJEITA(m) = Ø
●   ACEITA(M) ∩ LOOP(M) = Ø
●   REJEITA(M) ∩ LOOP(M) = Ø
    e, portanto:
●   ACEITA(M) ∩ REJEITA(M) ∩ LOOOP(M) = Ø
    Consequentemente, o complemento de:
●   ACEITA(M) é REJEITA(M) U LOOP(M)
●   REJEITA(M) é ACEITA(M) U LOOP(M)
●   LOOP(M) é ACEITA(M) U REJEITA(M)
    ou seja, uma Máquina de Turing como reconhecedor particiona o
    conjunto de palavras sobre o alfabeto ∑ em classes de equivalência.
                                                                      15
                             Teoria da Computação
Máquina de Turing – Duplo
                  Balanceamento
Considere a linguagem: Duplo_Bal = {anbn | n>=0}
    Quais são as palavras aceitas por essa linguagem???
A Máquina de Turing:
    MT_Duplo_Bal = ({a,b}, {q0,q1,q2,q3,q4}, ∏, q0 , {q4}, {A,B}, β, Ö} é
tal que:
    ACEITA(MT_Duplo_Bal) = Duplo_Bal
    REJEITA(MT_Duplo_Bal) = ∑* - Duplo_Bal
E, portanto, LOOP(MT_Duplo_Bal) = Ø
----------------------------------------------------------------------------------------
O algoritmo apresentado reconhece o primeito símbolo a, o qual é
marcado como A, e movimenta a cabeça da fita à direita, procurando o b
correspondente, o qual é marcado como B. Este ciclo é repetido
sucessivamente até identificar para cada a o seu correspondente b.
Adicionalmente, o algoritmo garante que qualquer outra palavra que não  16
esteja na forma a b é rejeitada.Note-se que o símbolo de início da fita
                 n n
                             Teoria da Computação
Máquina de Turing – Duplo
               Balanceamento
O algoritmo apresentado reconhece o primeiro símbolo a, o qual é
marcado como A, e movimenta a cabeça da fita à direita,
procurando o b correspondente, o qual é marcado como B. Este
ciclo é repetido sucessivamente até identificar para cada a o seu
correspondente b. Adicionalmente, o algoritmo garante que
qualquer outra palavra que não esteja na forma anbn é
rejeitada.Note-se que o símbolo de início da fita não tem influência
na solução proposta.




                                                                   17
                           Teoria da Computação
18
Teoria da Computação
Sequência de Processamento da Máquina de
      Turing para a Sequência aabb




                                           19
               Teoria da Computação
Máquina de Turing – Duplo
               Balanceamento
Essa linguagem é um exemplo clássico e de fundamental importância no
estudo das linguagens, por permite estabelecer analogia com linguagens
que possuem duplo balanceamento como, por exemplo:
a.Linguagens bloco-estruturadas do tipo BEGINnENDn, com a linguagem
de programação Pascal;
b. Linguagem com parênteses balanceados na forma (n)n , como as
expressões aritméticas, presentes na maioria das linguagens de
programação.




                                                                    20
                            Teoria da Computação
Exercício
Considere a Máquina de Turing vista em aula.
Verifique qual o estado final após a computação
para as seguintes palavras:
ab
aba
aaba
aaabbb




                                                  21
                   Teoria da Computação
Máquina de Post
Assim como Turing, Emil Leon Post propôs, também em 1936, um
modelo de Máquina Universal denominado Máquina de Post.
Uma máquina de Post consiste, basicamente, de duas partes:

a) Variável X. Trata-se de uma variável do tipo fila e é utilizada como
entrada, saída e memória de trabalho.

b) Programa. É uma sequência finita de instruções, representado como
um diagrama de fluxos (espécie de fluxograma), onde cada vértice é
uma instrução. As instruções pode ser de quatro tipos:
    Partida
    Parada
    Desvio
    Atribuição
A variável X não possui tamanho nem limites fixos. Seu comprimento é
igual ao comprimento da palavra correspondente armazenada. Os
símbolos podem pertencer ao alfabeto de entrada ou a {#}. único
símbolo auxiliar. Inicialmente, o valor de X é a palavra de entrada. Caso
X não contenha símbolos, a entrada é vazia representada por ε.
                                                                          22
                              Teoria da Computação
Definição da Máquina de Post
Uma máquina de Post é uma tripla:

   M={ ∑, D, #}

Onde:
    ∑ alfabeto de símbolos de entrada;
    D programa ou diagrama de fluxos construído a partir de
componentes elementares denominados partida, parada, desvio e
atribuição;
    # símbolo auxiliar.




                                                                23
                           Teoria da Computação
Definição da Máquina de Post
As componentes elementares de um diagrama de fluxos são como
segue:
a) Partida. Existe somente uma instrução de início (partida) em um        partida
programa.

b) Parada. Existem duas alternativas de instruções de parada em
um programa, uma de aceitação (aceita) e outra de rejeição
(rejeita), representadas como ilustrado ao lado.
                                                                       aceita       rejeita
c) Desvio ou teste. Determina o fluxo de programa de acordo com o
símbolo mais à esquerda da palavra armazenada na variável X
(início da fila). Também deve ser prevista a possibilidade de X
conter a palavra vazia. Portanto é um desvio condicional, e trata-se
de uma função total, ou seja, definida para todos os valores do
domínio. Assim, se o cardinal de ∑ é n, então existem n+2 arestas
de desvios condicionais, pois se deve incluir as possibilidades de #
e ε, como ilustrado na figura ao lado, onde X ← ler(X)
denota uma leitura destrutiva ou seja, que lê o simbolo mais
à esquerda da palavra, retirando da mesma o símbolo lido.

d) Atribuição. Concatena o símbolo indicado (pertencente a
∑ U {#}) à direita da palavra armazenada na variável X (fim               X ← Xs
da fila). A operação de atribuição é representada com
ilustrado ao lado.                                                                    24
                                    Teoria da Computação
Máquina de Post
Em um diagrama de fluxos, existe somente uma instrução de
partida, mas podem existir diversas (zero ou mais) instruções
de parada, tanto de aceitação como de rejeição. Uma palavra
de entrada é aceitada ou rejeitada, se a computação, iniciada
com a variável X, contendo a entrada, atingir uma instrução
aceita ou rejeita, respectivamente. Note-se que é
perfeitamente possível uma Máquina de Post ficar em loop
infinito.
Em um desvio, se X contém a palavra vazia ε, então segue o
fluxo correspondente. Caso contrário, lê o símbolo mais à
esquerda da palavra X e o remove após a decisão de qual
aresta do fluxo indica a próxima instrução.



                                                           25
                        Teoria da Computação
Exemplo da Máquina de Post – Duplo Balanceamento

Considere a seguinte linguagem já discutida nessa aula: Duplo_Bal =
{anbn | n>= 0}
A Máquina de Post: Post_Duplo_Bal = ({a,b}, D, #)
Onde D, como ilustrado no próximo slide, é tal que:
    ACEITA(Post_Duplo_Bal) = Duplo_Bal
    REJEITA(Post_Duplo_Bal) = ∑* - Duplo_Bal
E, potanto, LOOP(Post_Duplo_Bal) = Ø




                                                                      26
                            Teoria da Computação
Exemplo da Máquina de Post – Duplo Balanceamento

O algoritmo lê e remove o primeiro símbolo a. Apoś, realiza uma
varredura circular em busca do correspondente b. Esta varredura é
realizada através de sucessivas leitura (remoções), armazenando o
símbolo lido à direita de X. Ao encontrar o b, este é removido, e uma
nova varredura circular é realizada até o fim da palavra de entrada
(identificado pelo símbolo auxiliar #, atribuído a X no início do
processamento). Este ciclo é repetido até restar a palavra vazia ou
ocorrer alguma condição de rejeição.




                                                                        27
                             Teoria da Computação
28
Teoria da Computação
Aplicar a Máquina de Post do Algoritmo Anterior para:

●   aabb
●   ab
●   abb




                                                            29
                        Teoria da Computação
Exercícios
1. Elabore uma Máquina de Turing M sobre o alfabeto {a,b} tal que:
     ACEITA(M) = {w | w inicia com a e, após cada, existe pelo menos um b}
     LOOP(M) = {w | w não є ACEITA(MP) e existe pelo menos um b entre dois a}
     REJEITA(M) = {a,b}* - (ACEITA(M) U LOOP(M))
     Por exemplo:
     ab, abbab є ACEITA(MP)
     b, aba, abbaba є REJEITA(MP)
2. Compare o algoritmo da Máquina de Turing com o da Máquina de Post para Duplo_Bal. Qual
você acha que é mais eficiente. Teça seus comentários a respeito dos dois algoritmos.
3, Elabore uma Máquina de Post sobre o alfabeto {a,b} tal que:
     ACEITA(P) = {ANBN | m>n>=0}
     REJEITA(P) = {a,b}* - ACEITA(P)




                                                                                            30
                                     Teoria da Computação

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Bingo da potenciação e radiciação de números inteiros
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Aula 10 maquinade turing

  • 1. Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série Teoria da Computação Aula 14 Máquina de Turing – Máquina de Post
  • 2. Planejamento ● Hoje tem entrega da ATPS. ● Combinar aula da próxima semana. ● Nossa avaliação é dia 29 de Novembro. ● Exercícios de Máquinas Universais.
  • 3. Máquina de Turing Foi proposta por Alan Turing em 1936 e é universalmente conhecida e aceita como formalização de algoritmo. Trata-se de um mecanismo simples que formaliza a ideia de uma pessoa que realiza cálculos. O modelo possui no mínimo, o mesmo poder computacional de qualquer computador de propósito geral. 3 Teoria da Computação
  • 4. Noção Intuitiva O ponto de partida de Turing foi analisar a situação na qual uma pessoa, equipada com um instrumento de escrita e um apagado, realiza cálculos numa folha de papel, organizada em quadrados. Inicialmente, suponha que a folha de papel contém somente os dados iniciais do problema. O trabalho da pessoa pode ser resumido em sequências de operações simples como segue: ● Ler um símbolo de um quadrado; ● Alterar um símbolo em um quadrado; ● Mover os olhos para outro quadrado. 4 Teoria da Computação
  • 5. Noção Intuitiva Quando é encontrada alguma representação satisfatória para a resposta desejada, a pessoa termina seus cálculos. Hipóteses para o cálculos com a Máquina de Turing: ● A natureza bidimensional do papel não é um requerimento essencial para os cálculos. Pode ser assumido que o papel consiste de uma fita infinita organizada em quadrados; ● O conjunto de símbolos pode ser finito, pois se pode utilizar sequências de símbolos; ● O conjunto de estados da mente da pessoa durante o processo de cálculo é finito. Mais ainda, entre esses estados, existem dois em particular: “estado inicial” e “estado final”, correspondendo ao início e ao fim dos cálculos, respectivamente; ● O comportamento da pessoa a cada momento é determinado somente pelo seu estado presente e pelo símbolo para o qual sua atenção está voltada. ● A pessoa é capaz de observar e alterar o símbolo de apenas um quadrado de cada vez, bem como de transferir sua atenção somente para um dos quadrados adjacentes. 5 Teoria da Computação
  • 6. Máquina de Turing É constituída por três partes: (a) Fita. Usada simultaneamente como dispositivo de entrada, de saída e de memória do trabalho; (b) Unidade de Controle. Reflete o estado corrente da máquina. Possui uma unidade de leitura e gravação (cabeça da fita), a qual acessa uma célula da fita de cada vez e movimenta-se para a esquerda ou para a direita; (c) Programa ou Função de Transição. Função que define o estado da máquina e comanda as leituras, as gravações e o sentido de movimento da cabeça. 6 Teoria da Computação
  • 7. Fita e Unidade de Controle Branco Início da Fita Entrada Θ a b b b c a β β a b ... Fita Infinito Controle A unidade de controle possui um número pré-definido de estados. A cabeça da fita lê o símbolo de uma célula de cada vez e grava um novo símbolo. Após a leitura/gravação (a gravação é realizada na mesma célula de leitura), a cabeça move uma célula para a direita ou para a esquerda. O símbolo gravado e o sentido do movimento são definidos pelo programa. 7 Teoria da Computação
  • 8. Modelo Formal Uma Máquina de Turing é um 8-upla: M = (∑, Q, ∏, q0, F, V, β, Ö) onde: ∑: alfabeto de símbolos de entrada; Q: conjunto de estados possíveis da máquina, o qual é finito; ∏ : Programa ou função de transição; ∏ : Qx( ∑ U V U {β, Ö}) → Qx( ∑ U V U {β, Ö}) x {E,d} a qual é uma função parcial; q0: Estado inicial da máquina tal que q0 é elemento de Q; F: Conjunto de estados finais tal que F está contido em Q; V: Alfabeto auxiliar; β: Símbolo especial branco; Ö: Marcador de início da fita. 8 Teoria da Computação
  • 9. Modelo Formal cont. O símbolo de início de fita ocorre exatamente uma vez e sempre na célula mais à esquerda da fita, auxiliando na identificação de que a cabeça da fita se encontra na célula mais à esquerda da fita. A função programa (função): considera para determinar estado corrente novo estado símbolo lido da fita símbolo a ser gravado sentido de movimente da cabeça, onde esquerda e direita são representados por E e D respectivamente Assim tem-se que: ∏ (estado corrente, símbolo lido) = (novo estado, símbolo gravado, sentido do movimento) ou seja suponha p, q є Q, au ,av є ( ∑ U V U {β, Ö}) e m є {E,D}): π (p, au) = (q, av, m) 9 Teoria da Computação
  • 10. Função Programa A função programa pode ser interpretada como um grafo finito direto: (au,av,m) p q sentido novo estado símbolo do estado corrente lido movimento símbolo gravado Adicionalmente, a função programa pode ser representada na forma de tabela. Como seria uma tabela para representar a função programa??? 5 minutos para pensar Teoria da Computação 10
  • 11. Tabela Função Programa π Ö ... au ... av ... β p (q,av,m) q 11 Teoria da Computação
  • 12. Máquina de Turing O processamento de uma Máquina de Turing M = (∑, Q, π, q0, F, β, Ö) para uma palavra de entrada w consiste na sucessiva aplicação da função programa a partir do estado inicial q0 e da cabeça posicionada na célula mais à esquerda da fita, até ocorrer uma condição de parada. O processamento de M para a entrada w pode parar ou ficar um loop infinito. A parada pode ser de duas maneiras: aceitando ou rejeitando a entrada w. As condições de parada são as seguintes: (a) Estado Final: A máquina assume um estado final: a máquina para e a palavra é aceita; (b) Função indefinida: A função programa é indefinida para o argumento (símbolo lido e estado corrente): a máquina pára e a palavra de entrada é rejeitada; (c) Movimento inválido: O argumento corrente da função programa define um movimento à esquerda e a cabeça da fita já se encontra na célula mais à esquerda: a máquina para e a palavra de entrada é rejeitada. 12 Teoria da Computação
  • 13. Máquina de Turing como Reconhecedores de Linguagens Uma das abordagens do estudo das Máquinas de Turing ou máquinas universais é como reconhecedores de linguagens, ou seja, dispositivos capazes de determinar se uma dada palavra sobre o alfabeto de entrada pertence ou não a uma certa linguagem. 13 Teoria da Computação
  • 14. Linguagem Aceita por uma Máquina de Turing Seja M = (∑, Q, ∏ , q0, F, β, Ö) uma máquina de Turing. Então: a) A Linguagem Aceita por M, denotada por ACEITA(M) ou L(M), é o conjunto de todas as palavras pertencentes a ∑* aceitas por M, ou seja: ACEITA(M) = {w | M ao processar w є ∑* pára em um estado q f є F} b) A Linguagem Rejeitada por M, denotada por REJEITA(M) é o conjunto de todas as palavras de ∑* rejeitadas por M, ou seja: REJEITA(M) = {w | M ao processar w є ∑* pára em um estado q não є F} c) A linguagem para qual M fica em loop infinito, denotada por LOOP(M), é o conjunto de todas as palavras de ∑* para as quais M fica processando indefinidamente. 14 Teoria da Computação
  • 15. Mais informações sobre Máquina de Turing e Reconhecimento de Linguagens ● ACEITA(M) U REJEITA(M) U LOOP(M) = ∑* ● ACEITA(M) ∩ REJEITA(m) = Ø ● ACEITA(M) ∩ LOOP(M) = Ø ● REJEITA(M) ∩ LOOP(M) = Ø e, portanto: ● ACEITA(M) ∩ REJEITA(M) ∩ LOOOP(M) = Ø Consequentemente, o complemento de: ● ACEITA(M) é REJEITA(M) U LOOP(M) ● REJEITA(M) é ACEITA(M) U LOOP(M) ● LOOP(M) é ACEITA(M) U REJEITA(M) ou seja, uma Máquina de Turing como reconhecedor particiona o conjunto de palavras sobre o alfabeto ∑ em classes de equivalência. 15 Teoria da Computação
  • 16. Máquina de Turing – Duplo Balanceamento Considere a linguagem: Duplo_Bal = {anbn | n>=0} Quais são as palavras aceitas por essa linguagem??? A Máquina de Turing: MT_Duplo_Bal = ({a,b}, {q0,q1,q2,q3,q4}, ∏, q0 , {q4}, {A,B}, β, Ö} é tal que: ACEITA(MT_Duplo_Bal) = Duplo_Bal REJEITA(MT_Duplo_Bal) = ∑* - Duplo_Bal E, portanto, LOOP(MT_Duplo_Bal) = Ø ---------------------------------------------------------------------------------------- O algoritmo apresentado reconhece o primeito símbolo a, o qual é marcado como A, e movimenta a cabeça da fita à direita, procurando o b correspondente, o qual é marcado como B. Este ciclo é repetido sucessivamente até identificar para cada a o seu correspondente b. Adicionalmente, o algoritmo garante que qualquer outra palavra que não 16 esteja na forma a b é rejeitada.Note-se que o símbolo de início da fita n n Teoria da Computação
  • 17. Máquina de Turing – Duplo Balanceamento O algoritmo apresentado reconhece o primeiro símbolo a, o qual é marcado como A, e movimenta a cabeça da fita à direita, procurando o b correspondente, o qual é marcado como B. Este ciclo é repetido sucessivamente até identificar para cada a o seu correspondente b. Adicionalmente, o algoritmo garante que qualquer outra palavra que não esteja na forma anbn é rejeitada.Note-se que o símbolo de início da fita não tem influência na solução proposta. 17 Teoria da Computação
  • 19. Sequência de Processamento da Máquina de Turing para a Sequência aabb 19 Teoria da Computação
  • 20. Máquina de Turing – Duplo Balanceamento Essa linguagem é um exemplo clássico e de fundamental importância no estudo das linguagens, por permite estabelecer analogia com linguagens que possuem duplo balanceamento como, por exemplo: a.Linguagens bloco-estruturadas do tipo BEGINnENDn, com a linguagem de programação Pascal; b. Linguagem com parênteses balanceados na forma (n)n , como as expressões aritméticas, presentes na maioria das linguagens de programação. 20 Teoria da Computação
  • 21. Exercício Considere a Máquina de Turing vista em aula. Verifique qual o estado final após a computação para as seguintes palavras: ab aba aaba aaabbb 21 Teoria da Computação
  • 22. Máquina de Post Assim como Turing, Emil Leon Post propôs, também em 1936, um modelo de Máquina Universal denominado Máquina de Post. Uma máquina de Post consiste, basicamente, de duas partes: a) Variável X. Trata-se de uma variável do tipo fila e é utilizada como entrada, saída e memória de trabalho. b) Programa. É uma sequência finita de instruções, representado como um diagrama de fluxos (espécie de fluxograma), onde cada vértice é uma instrução. As instruções pode ser de quatro tipos: Partida Parada Desvio Atribuição A variável X não possui tamanho nem limites fixos. Seu comprimento é igual ao comprimento da palavra correspondente armazenada. Os símbolos podem pertencer ao alfabeto de entrada ou a {#}. único símbolo auxiliar. Inicialmente, o valor de X é a palavra de entrada. Caso X não contenha símbolos, a entrada é vazia representada por ε. 22 Teoria da Computação
  • 23. Definição da Máquina de Post Uma máquina de Post é uma tripla: M={ ∑, D, #} Onde: ∑ alfabeto de símbolos de entrada; D programa ou diagrama de fluxos construído a partir de componentes elementares denominados partida, parada, desvio e atribuição; # símbolo auxiliar. 23 Teoria da Computação
  • 24. Definição da Máquina de Post As componentes elementares de um diagrama de fluxos são como segue: a) Partida. Existe somente uma instrução de início (partida) em um partida programa. b) Parada. Existem duas alternativas de instruções de parada em um programa, uma de aceitação (aceita) e outra de rejeição (rejeita), representadas como ilustrado ao lado. aceita rejeita c) Desvio ou teste. Determina o fluxo de programa de acordo com o símbolo mais à esquerda da palavra armazenada na variável X (início da fila). Também deve ser prevista a possibilidade de X conter a palavra vazia. Portanto é um desvio condicional, e trata-se de uma função total, ou seja, definida para todos os valores do domínio. Assim, se o cardinal de ∑ é n, então existem n+2 arestas de desvios condicionais, pois se deve incluir as possibilidades de # e ε, como ilustrado na figura ao lado, onde X ← ler(X) denota uma leitura destrutiva ou seja, que lê o simbolo mais à esquerda da palavra, retirando da mesma o símbolo lido. d) Atribuição. Concatena o símbolo indicado (pertencente a ∑ U {#}) à direita da palavra armazenada na variável X (fim X ← Xs da fila). A operação de atribuição é representada com ilustrado ao lado. 24 Teoria da Computação
  • 25. Máquina de Post Em um diagrama de fluxos, existe somente uma instrução de partida, mas podem existir diversas (zero ou mais) instruções de parada, tanto de aceitação como de rejeição. Uma palavra de entrada é aceitada ou rejeitada, se a computação, iniciada com a variável X, contendo a entrada, atingir uma instrução aceita ou rejeita, respectivamente. Note-se que é perfeitamente possível uma Máquina de Post ficar em loop infinito. Em um desvio, se X contém a palavra vazia ε, então segue o fluxo correspondente. Caso contrário, lê o símbolo mais à esquerda da palavra X e o remove após a decisão de qual aresta do fluxo indica a próxima instrução. 25 Teoria da Computação
  • 26. Exemplo da Máquina de Post – Duplo Balanceamento Considere a seguinte linguagem já discutida nessa aula: Duplo_Bal = {anbn | n>= 0} A Máquina de Post: Post_Duplo_Bal = ({a,b}, D, #) Onde D, como ilustrado no próximo slide, é tal que: ACEITA(Post_Duplo_Bal) = Duplo_Bal REJEITA(Post_Duplo_Bal) = ∑* - Duplo_Bal E, potanto, LOOP(Post_Duplo_Bal) = Ø 26 Teoria da Computação
  • 27. Exemplo da Máquina de Post – Duplo Balanceamento O algoritmo lê e remove o primeiro símbolo a. Apoś, realiza uma varredura circular em busca do correspondente b. Esta varredura é realizada através de sucessivas leitura (remoções), armazenando o símbolo lido à direita de X. Ao encontrar o b, este é removido, e uma nova varredura circular é realizada até o fim da palavra de entrada (identificado pelo símbolo auxiliar #, atribuído a X no início do processamento). Este ciclo é repetido até restar a palavra vazia ou ocorrer alguma condição de rejeição. 27 Teoria da Computação
  • 29. Aplicar a Máquina de Post do Algoritmo Anterior para: ● aabb ● ab ● abb 29 Teoria da Computação
  • 30. Exercícios 1. Elabore uma Máquina de Turing M sobre o alfabeto {a,b} tal que: ACEITA(M) = {w | w inicia com a e, após cada, existe pelo menos um b} LOOP(M) = {w | w não є ACEITA(MP) e existe pelo menos um b entre dois a} REJEITA(M) = {a,b}* - (ACEITA(M) U LOOP(M)) Por exemplo: ab, abbab є ACEITA(MP) b, aba, abbaba є REJEITA(MP) 2. Compare o algoritmo da Máquina de Turing com o da Máquina de Post para Duplo_Bal. Qual você acha que é mais eficiente. Teça seus comentários a respeito dos dois algoritmos. 3, Elabore uma Máquina de Post sobre o alfabeto {a,b} tal que: ACEITA(P) = {ANBN | m>n>=0} REJEITA(P) = {a,b}* - ACEITA(P) 30 Teoria da Computação