O documento descreve um projeto educacional chamado "Matemática em Gotas" criado por José Luiz Maria Teixeira para auxiliar estudantes no aprendizado de matemática. Fornece informações de contato do autor e condições de uso do material, que só pode ser utilizado para estudo individual ou em instituições sem fins lucrativos, devendo citar o autor corretamente.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
Este documento apresenta as soluções de 10 questões de matemática de um exame para cursos de formação de sargentos das Forças Armadas Brasileiras em 2013-14. As questões cobrem tópicos como progressão aritmética, sistemas de equações, porcentagem e logaritmos.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
Este documento apresenta um índice-controle de estudos para aulas de 55 a 63. Cada linha apresenta o título da aula, a página correspondente no material didático e as colunas para anotações sobre Atividades Desenvolvidas (AD), Tarefas Mínimas (TM) e Tarefas Complementares (TC) realizadas em cada aula.
O documento apresenta exercícios sobre potenciação e propriedades de potências. Inclui questões sobre cálculo de potências, escrita de potências em forma decimal ou científica, simplificação de expressões e conversão entre bases. Há também exercícios complementares sobre o tema.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
O documento apresenta 12 questões de matemática resolvidas pelo professor Fabrício Maia, abordando tópicos como funções, logaritmos, equações e sistemas de equações, polinômios e geometria analítica.
Este documento apresenta as soluções de 10 questões de matemática de um exame para cursos de formação de sargentos das Forças Armadas Brasileiras em 2013-14. As questões cobrem tópicos como progressão aritmética, sistemas de equações, porcentagem e logaritmos.
O documento apresenta 4 questões de matemática sobre conjuntos numéricos, progressões aritméticas e geométricas, polinômios e números complexos. A questão 33 analisa condições sobre números complexos e conclui que o elemento de menor módulo pertence à reta 3x + 2y = 0.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
Este documento apresenta um índice-controle de estudos para aulas de 55 a 63. Cada linha apresenta o título da aula, a página correspondente no material didático e as colunas para anotações sobre Atividades Desenvolvidas (AD), Tarefas Mínimas (TM) e Tarefas Complementares (TC) realizadas em cada aula.
O documento apresenta exercícios sobre potenciação e propriedades de potências. Inclui questões sobre cálculo de potências, escrita de potências em forma decimal ou científica, simplificação de expressões e conversão entre bases. Há também exercícios complementares sobre o tema.
O documento apresenta um conjunto de exercícios sobre conjuntos matemáticos. O primeiro exercício pede para identificar se afirmações sobre conjuntos dados são verdadeiras ou falsas. O segundo exercício pede para calcular a interseção e diferença de conjuntos dados. O terceiro exercício pede para calcular o valor de expressões envolvendo interseção e diferença de conjuntos dados.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento apresenta 5 questões de matemática com suas respectivas resoluções. A questão 1 trata de colorir países em um mapa usando o menor número de cores possível. A questão 2 calcula a quantidade mínima de álcool que deve ser adicionada em uma mistura. A questão 3 calcula a altura mínima para empilhar cubos de tamanhos decrescentes.
1) O documento apresenta cálculos de raízes de números inteiros e expressões algébricas, incluindo decomposição, simplificação e propriedades de radicais.
2) São resolvidos exercícios de extração de raiz quadrada, cúbica e n-ésima de números, além de simplificação e introdução de fatores externos em radicais.
3) O documento também aborda cálculos com radicais em expressões algébricas, determinação de valores que tornam afirmações verdadeiras e resolução de problemas
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento contém 15 questões sobre vários tópicos matemáticos como cálculos, proporcionalidade direta e inversa, sequências numéricas e expressões algébricas. As questões abordam também conceitos como moléculas, feiras periódicas, temperatura, conversão de unidades e organização de mesas e cadeiras.
O documento explica os conceitos básicos de potenciação, incluindo:
1) A definição matemática de potenciação como a=an, onde a é a base e n é o expoente;
2) Exemplos ilustrativos de cálculo de potenciações;
3) Propriedades fundamentais de potenciação, como a elevação de potências a uma nova potência e divisão de potências.
Teoria de conjuntos fichas de exercícios wilkerfilipel
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre teoria de conjuntos. Os exercícios abordam tópicos como definição de conjuntos, determinação de subconjuntos, operações entre conjuntos e afirmações lógicas envolvendo conjuntos.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre relações e funções matemáticas. Os exercícios abordam tópicos como: explícitação de conjuntos e relações; domínio, contradomínio e imagem de relações; propriedades de relações como reflexividade, simetria e transitividade; definição e características de funções; composição e inversa de funções; e zeros de funções.
O documento apresenta exercícios de conjuntos numéricos, cálculo algébrico, fatoração, frações algébricas e equações do 1o e 2o grau. Inclui definições e exemplos resolvidos de cada tópico, além de listas de exercícios para o estudante praticar.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
As três frases principais são:
1) O valor da expressão é 1681.
2) A forma mais simples da expressão é a25⋅b10.
3) A forma mais simples da expressão é 16.
Este documento apresenta um sumário de uma apostila de matemática dividida em 5 unidades que abordam tópicos como operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais e exponenciais.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções matemáticas. Aborda conceitos como conjunto domínio, conjunto imagem e propriedades de funções como composição e adição. Há também problemas envolvendo interpretação e representação gráfica de funções.
Este documento fornece instruções sobre uma prova de múltipla escolha com questões de Matemática, Física, Biologia e Química. Ele informa que o caderno de provas será reciclado e contém 56 questões distribuídas entre as disciplinas, além de instruções gerais sobre a realização da prova.
1) Ralf, David e Rubinho ocuparam as três primeiras posições da corrida desde o início, sem alteração.
2) A liderança mudou de mãos entre os três competidores nove vezes.
3) A segunda e terceira posições trocaram de lugar oito vezes.
O documento apresenta conceitos básicos de matemática como expressões numéricas, prioridade de operações e potenciação. Expressões numéricas envolvem operações com números e a colocação correta de parênteses é importante para determinar o resultado. A prioridade de operações em uma expressão segue a ordem: 1) potenciação/radiciação, 2) multiplicação/divisão, 3)adição/subtração. Potenciação define a elevação de um número à potência de um expoente, onde a base elevada ao expoente resulta no produto de si mesma
O documento descreve a pesquisa do cientista brasileiro Miguel Nicolelis, que desenvolveu uma interface cérebro-máquina permitindo que macacos movam braços robóticos com a mente. Sua pesquisa pode levar ao desenvolvimento de neuropróteses que permitam que pessoas tetraplégicas andem novamente no futuro. Nicolelis fundou o instituto NatalNeuro no Brasil para expandir pesquisas em neurociência.
El documento presenta un curso de computación de la Universidad Técnica Particular de Loja, Ecuador. El objetivo general es enseñar herramientas informáticas como Microsoft Word, Excel, PowerPoint e Internet de manera agradable y eficaz. Explica conceptos básicos de computadoras incluyendo hardware, software y partes principales como la tarjeta madre, procesador y memoria. Luego describe las partes y funciones principales de Microsoft Word como las barras de menú, formato, desplazamiento y estado. Finalmente resume comandos de Word como sele
Matemática provas de vestibulares ita 1.101 questões + gabaritosprof. Renan Viana
1) O documento apresenta a distribuição de 1101 questões de vestibulares do ITA por assuntos de trigonometria, com a porcentagem de questões em cada tópico.
2) Os principais tópicos abordados são sistemas (10,08%), trigonometria (9,35%), polinômios (8,99%) e geometria plana (8,99%).
3) Há também questões sobre funções trigonométricas, geometria analítica e logaritmos, entre outros assuntos.
Este documento apresenta 5 questões de matemática com suas respectivas resoluções. A questão 1 trata de colorir países em um mapa usando o menor número de cores possível. A questão 2 calcula a quantidade mínima de álcool que deve ser adicionada em uma mistura. A questão 3 calcula a altura mínima para empilhar cubos de tamanhos decrescentes.
1) O documento apresenta cálculos de raízes de números inteiros e expressões algébricas, incluindo decomposição, simplificação e propriedades de radicais.
2) São resolvidos exercícios de extração de raiz quadrada, cúbica e n-ésima de números, além de simplificação e introdução de fatores externos em radicais.
3) O documento também aborda cálculos com radicais em expressões algébricas, determinação de valores que tornam afirmações verdadeiras e resolução de problemas
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
O documento contém 15 questões sobre vários tópicos matemáticos como cálculos, proporcionalidade direta e inversa, sequências numéricas e expressões algébricas. As questões abordam também conceitos como moléculas, feiras periódicas, temperatura, conversão de unidades e organização de mesas e cadeiras.
O documento explica os conceitos básicos de potenciação, incluindo:
1) A definição matemática de potenciação como a=an, onde a é a base e n é o expoente;
2) Exemplos ilustrativos de cálculo de potenciações;
3) Propriedades fundamentais de potenciação, como a elevação de potências a uma nova potência e divisão de potências.
Teoria de conjuntos fichas de exercícios wilkerfilipel
Este documento apresenta um conjunto de exercícios sobre teoria de conjuntos. Os exercícios abordam tópicos como definição de conjuntos, determinação de subconjuntos, operações entre conjuntos e afirmações lógicas envolvendo conjuntos.
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre relações e funções matemáticas. Os exercícios abordam tópicos como: explícitação de conjuntos e relações; domínio, contradomínio e imagem de relações; propriedades de relações como reflexividade, simetria e transitividade; definição e características de funções; composição e inversa de funções; e zeros de funções.
O documento apresenta exercícios de conjuntos numéricos, cálculo algébrico, fatoração, frações algébricas e equações do 1o e 2o grau. Inclui definições e exemplos resolvidos de cada tópico, além de listas de exercícios para o estudante praticar.
O documento apresenta uma introdução sobre a importância do estudo da matemática no dia a dia e resume os principais tópicos abordados: funções do 1o grau, equações de 2o grau, resolução de equações fracionárias e explicações sobre raízes, coeficientes angulares e progressões.
As três frases principais são:
1) O valor da expressão é 1681.
2) A forma mais simples da expressão é a25⋅b10.
3) A forma mais simples da expressão é 16.
Este documento apresenta um sumário de uma apostila de matemática dividida em 5 unidades que abordam tópicos como operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais e exponenciais.
O documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções matemáticas. Aborda conceitos como conjunto domínio, conjunto imagem e propriedades de funções como composição e adição. Há também problemas envolvendo interpretação e representação gráfica de funções.
Este documento fornece instruções sobre uma prova de múltipla escolha com questões de Matemática, Física, Biologia e Química. Ele informa que o caderno de provas será reciclado e contém 56 questões distribuídas entre as disciplinas, além de instruções gerais sobre a realização da prova.
1) Ralf, David e Rubinho ocuparam as três primeiras posições da corrida desde o início, sem alteração.
2) A liderança mudou de mãos entre os três competidores nove vezes.
3) A segunda e terceira posições trocaram de lugar oito vezes.
O documento apresenta conceitos básicos de matemática como expressões numéricas, prioridade de operações e potenciação. Expressões numéricas envolvem operações com números e a colocação correta de parênteses é importante para determinar o resultado. A prioridade de operações em uma expressão segue a ordem: 1) potenciação/radiciação, 2) multiplicação/divisão, 3)adição/subtração. Potenciação define a elevação de um número à potência de um expoente, onde a base elevada ao expoente resulta no produto de si mesma
O documento descreve a pesquisa do cientista brasileiro Miguel Nicolelis, que desenvolveu uma interface cérebro-máquina permitindo que macacos movam braços robóticos com a mente. Sua pesquisa pode levar ao desenvolvimento de neuropróteses que permitam que pessoas tetraplégicas andem novamente no futuro. Nicolelis fundou o instituto NatalNeuro no Brasil para expandir pesquisas em neurociência.
El documento presenta un curso de computación de la Universidad Técnica Particular de Loja, Ecuador. El objetivo general es enseñar herramientas informáticas como Microsoft Word, Excel, PowerPoint e Internet de manera agradable y eficaz. Explica conceptos básicos de computadoras incluyendo hardware, software y partes principales como la tarjeta madre, procesador y memoria. Luego describe las partes y funciones principales de Microsoft Word como las barras de menú, formato, desplazamiento y estado. Finalmente resume comandos de Word como sele
O documento descreve o significado do tempo litúrgico do Advento na Igreja Católica. O Advento é um tempo de preparação para a celebração do Natal que recorda as três vindas de Cristo: Sua primeira vinda humilde há 2000 anos, Sua segunda vinda gloriosa no fim dos tempos, e Sua vinda intermédia e contínua hoje através da Igreja e dos sacramentos. É também um tempo mariano que toma Maria como modelo de esperança e um tempo eclesial de oração, anúncio da esperança em
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo a soma, diferença, quadrado e cubo de termos. Inclui identidades como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 e (a + b)(a - b) = a2 - b2. O texto também fornece exemplos para aplicar essas fórmulas em expressões algébricas.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo a soma e diferença de termos, como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 e (a + b)(a - b) = a2 - b2. Também mostra como desenvolver expressões como (a + b)3, (a - b)3 e produtos da soma pela diferença de termos. Exercícios são fornecidos para aplicar essas fórmulas.
1) O documento discute o conceito de fatoração de polinômios, apresentando diferentes métodos como fator comum, agrupamento e diferença de dois quadrados.
2) Exemplos e exercícios são fornecidos para cada método com o objetivo de praticar a fatoração de expressões algébricas.
3) Os principais métodos discutidos são fator comum, agrupamento, diferença de dois quadrados e trinômio perfeito.
1) O documento apresenta questões sobre conjuntos, funções e equações algébricas.
2) A questão 1 trata de subconjuntos de um conjunto universo U e relações entre eles.
3) A questão 2 envolve conversão de tipos de combustível em veículos e cálculo do número de carros tricombustíveis.
4) As demais questões abordam propriedades de funções, raízes de polinômios e equações algébricas.
1) O documento discute propriedades de potenciação, radiciação e fatoração, incluindo expoentes inteiros e fracionários.
2) A seção de potenciação explica propriedades como produto, quociente e potência de potência.
3) A radiciação é a operação inversa da potenciação e lida com expoentes fracionários.
4) A fatoração ensina como decompor expressões algébricas em produtos de fatores, incluindo fator comum, agrupamento e diferença de quadrados.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos. Inclui identidades como (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)(a + b) = a2 - b2. Há também exercícios para cálculo e desenvolvimento destas expressões algébricas.
O documento apresenta fórmulas para produtos notáveis e suas aplicações em fatoração de polinômios. Inclui identidades como (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 e (x + y)(x - y) = x2 - y2, além de exemplos e exercícios de fatoração usando fator comum e agrupamento.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais sobre operações com intervalos, funções polinomiais do primeiro grau e suas características.
2) São descritas as operações de união, intersecção e diferença entre intervalos, bem como exemplos ilustrativos.
3) As funções polinomiais do primeiro grau, também chamadas de funções afins, são definidas e exemplificadas, mostrando casos especiais e como representá-las graficamente.
O documento apresenta três problemas matemáticos relacionados a conjuntos, progressões aritméticas e equações. O primeiro problema trata de conjuntos e progressões aritméticas, o segundo de subconjuntos e o terceiro de equações complexas e soma de quadrados.
O documento resume os principais tópicos de matemática básica, incluindo operações com frações, equações de 1o e 2o grau, radicais, exponenciais e sistemas de equações. É dividido em 22 seções que cobrem esses tópicos e fornecem exemplos passo a passo de como resolvê-los.
O documento descreve um trabalho sobre módulo matemático. Apresenta uma introdução sobre o assunto e é dividido em seções sobre definição de módulo, interpretação geométrica, propriedades, exercícios resolvidos e propostos, equações modulares, inequações modulares e gabarito. O objetivo é ensinar o conceito de módulo de forma simples, com teoria e exercícios.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de exercícios para aplicação das regras aprendidas.
O documento apresenta as regras para fatoração de expressões algébricas utilizando produtos notáveis e agrupamento de termos. Inclui exemplos de fatoração de expressões envolvendo soma, diferença, quadrado e cubo de termos, além de trinômios perfeitos. Demonstra como colocar fatores comuns em evidência para fatorar expressões.
Este documento contém três problemas de equações diferenciais com as seguintes partes: solução homogênea, solução particular e solução geral. O documento fornece as soluções para cada parte dos três problemas apresentados.
O documento apresenta informações sobre funções polinomiais do 1o grau e suas características gráficas. Em menos de 3 frases:
O documento discute funções polinomiais do 1o grau, definindo-as como y=ax+b e apresentando suas formas gráficas de acordo com os valores de a, podendo ser crescentes ou decrescentes. Além disso, aborda conceitos como raiz, domínio e imagem dessas funções.
Este documento resume conceitos básicos de matemática, incluindo: 1) conjuntos numéricos como números naturais, inteiros e reais; 2) as quatro operações fundamentais de adição, subtração, multiplicação e divisão; 3) como resolver equações do primeiro grau isolando a incógnita.
Produtos notáveis autor antonio carlos carneiro barrosoAntonio Carneiro
O documento descreve produtos notáveis em álgebra, incluindo o quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. Explica como resolver cada um algebraicamente e geometricamente, fornecendo exemplos.
Produtos NotáVeis Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
O documento discute produtos notáveis em álgebra, incluindo quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. Fornece exemplos de como resolver cada um desses produtos tanto algebraicamente quanto por meio de regras práticas.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios de matemática com 40 questões sobre conjuntos, funções e domínios.
2) As questões abordam tópicos como operações com conjuntos, produto cartesiano, gráficos de funções, equações funcionais e determinação de domínios.
3) A lista tem o objetivo de avaliar o conhecimento dos estudantes em diferentes conceitos fundamentais de álgebra.
1. MATEMÁTICA EM GOTAS é um projeto de sistema de ensino, criado por José Luiz Maria Teixeira . Objetivo: auxiliar o estudante no seu processo de aprendizagem da matemática. Contatos com o autor : Tel.: (82) 3334-3238 e-mail: fedati@ig.com.br FEDATI PRODUÇÕES CULTURAIS - Edição 1 – 2007 Críticas e sugestões serão bem recebidas.
2. Autor : José Luiz Maria Teixeira ( [email_address] ) Tel.: (82) 3334-3238 DAS CONDIÇÕES DE USO : Respeite os direitos autorais . Ao adquirir esse produto , o seu conteúdo só poderá ser utilizado para : 1) estudo individual; 2) exibição em instituições sem fins lucrativos, desde que não haja alteração de nenhuma espécie e a conexão seja feita da Internet. O nome do autor deve ser citado apropriadamente segundo as normas vigentes da ABNT. Quaisquer outros usos (como distribuição em cursos pagos) requerem a permissão prévia e expressa de José Luiz Maria Teixeira . A adesão a essas normas é fundamental para a continuidade desta obra. Caso testemunhe qualquer utilização desse material que viole essas condições , entre em contato conosco; sua identidade será resguardada. FRAÇÕES ALGÉBRICAS Parte 2 Edição 1 – 2007 Observação : Essa é um cópia liberada exclusivamente para os colegas da turma 2009.2 – Licenciatura – Matemática – UFAL .
5. A . S . V ( 2 ) Efetue, dando o resultado na forma mais simples : a) b) c) d) e) f) g) 1 o GRUPO h) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS
6. A . S . V ( 2 ) a) b) c) d) 1 o GRUPO RESPOSTAS = 12 8x + 9x + 10x = 12 27x = = 12a 4x + 18x - 3x = 12 19x = 15x 20 - 21 = = 2x 2 4 - 3x - 4 9x 15x 1
7. A . S . V ( 2 ) e) 1 o GRUPO RESPOSTAS = a ( a + 2 ) 3 ( a + 2 ) - a ( a - 2 ) = = a ( a + 2 ) 3a + 6 - a 2 + 2a = a ( a + 2 ) - a 2 + 5a + 6 ou - (a 2 - 5a - 6 ) a ( a + 2 ) ou a ( a + 2 ) a 2 - 5a - 6 - a 2 - 5a - 6 = ( a + 1 ) ( a – 6 ) OBSERVAÇÃO : f
8. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS f) = 2 ( x - 1 ) 1(3x + 1) - 2 ( x + 1 ) = = 2 ( x - 1 ) = = 3x + 1 - 2x - 2 2 ( x - 1 ) x - 1 e) = a ( a + 2 ) 3 ( a + 2 ) - a ( a - 2 ) = = a ( a + 2 ) 3a + 6 - a 2 + 2a = a ( a + 2 ) - a 2 + 5a + 6 ou - (a 2 - 5a - 6 ) a ( a + 2 ) ou a ( a + 2 ) a 2 - 5a - 6 -
9. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS g) = x ( 3 - x ) 3 ( 3 - x ) 3x ( 3 - x ) 3x - x 2 = x ( 3 - x ) 3x ( 3 - x ) = = h) Neste exercício achei interessante apresentar três resoluções, para que possa compará-las e analisá-las. Observação
10. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS = ( a + b ) ( a - b ) 2a ( a - b ) - ( b - a ) ( a + b ) = = ( a + b ) ( a - b ) = = ( a + b ) ( a - b ) 2a 2 - 2ab - ( ab + b 2 - a 2 - ab ) h) 1 o modo : 2a 2 - 2ab - ab - b 2 + a 2 + ab = 2a 2 - 2ab - b 2 + a 2 = ( a + b ) ( a - b ) = 2a ( a - b ) ( a + b ) ( a - b ) = ( a - b ) ( 2a + a + b ) ( a + b ) ( a - b ) = + ( a + b ) ( a - b ) ( a - b ) ( a - b ) ( a - b ) a 2 - b 2
11. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS = ( a + b ) ( a - b ) 2a ( a - b ) - ( b - a ) ( a + b ) = = ( a + b ) ( a - b ) = = ( a + b ) ( a - b ) ( a - b ) ( 2a + a + b ) 2a ( a - b ) + ( a - b ) h) 2 o modo : - ( b - a ) = - b + a = a - b ( a - b ) ( a - b ) ( a - b ) A tendência é efetuar os produtos como foi feito no 1 o modo. detalhe ( a + b )
12. A . S . V ( 2 ) 1 o GRUPO RESPOSTAS = h) 3 o modo : a + b 2a + a + b = 1 Observe : = Qual é a resolução mais “bonita” ?
14. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO a) b) c) d) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS Efetue, dando o resultado na forma mais simples :
15. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO a) RESPOSTAS = ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) 2 + 2 ( x + 2 ) + 1 ( 4 x - 16 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) x 2 - 4x + 4 + 2x + 4 + 4 x - 16 x 2 + 2x - 8 ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x + 4 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) x + 4 x + 2 = = = = = = = ( x - 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )
16. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO b) RESPOSTAS ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2 ( x + 2 ) + 3 ( x - 3 ) - 1 ( 4x - 7 ) ( x - 3 ) ( x + 2 ) 2x + 4 + 3x - 9 - 4x + 7 = = = = x + 2 ( x - 3 ) ( x + 2 ) = = = 1 ( x - 3 ) ( x + 2 )
17. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO c) RESPOSTAS ( x + 3 ) ( x - 3 ) 1 ( x 2 + x ) + 2 ( x + 3 ) + 1 ( x - 3 ) x 2 + x + 2x + 6 + x - 3 = = = = x 2 = ( x + 3 ) ( x - 3 ) + 4x + 3 ( x + 3 ) ( x - 3 ) = = ( x + 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) = x + 1 x - 3
18. A . S . V ( 2 ) 2 o GRUPO d) RESPOSTAS ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x ( x - 1 ) + 1 ( x - 1 ) - ( x + 2 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x 2 - 2x + x - 1 - ( x 2 - x + 2x - 2 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) x 2 ( x - 1 ) = = = = = = ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x 2 - 2x + x - 1 - x 2 + x - 2x + 2 ( x + 1 ) ( x - 1 ) = = ( x + 1 ) ( x - 1 ) = 2 x + 1 x - 1 = - 2x + 1
19. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Recordando : MULTIPLICAÇÃO a · c b · d Multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si ( cancelando os fatores comuns se houver ) . Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.
20. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Recordando : DIVISÃO · inverso d c Multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda. Observação : = =
21. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 1 = 2 b a 2 ou, se preferir : = a · b · b b · a · a · a = b a 2 Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.
22. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 2 = = 2 2y x inverso Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.
23. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 3 = ( x - 1 ) · 3x 2 ( x + 1 ) ( x - 1 ) 2x · = = 2 ( x + 1 ) 3x Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.
24. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 4 = = 3 x ( x + 2 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) = · x 2 2 = x ( x + 2 ) 3 ( x - 2 ) Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência.
25. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 5 = = a 2 + 2ab + b 2 a - b a + b 3a - 3b : Observação : = inverso a 2 + 2ab + b 2 a - b a + b 3a - 3b =
26. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S MULTIPLIÇÃO E DIVISÃO Exemplo 5 = = a 2 + 2ab + b 2 a - b a + b 3a - 3b a + b 3a - 3b • = ( a - b ) · ( a + b ) ( a + b ) · 3 ( a - b ) 2 = 1 3 ( a + b ) inverso Obs: Estamos considerando que as frações dadas satisfazem as condições de existência. a 2 + 2ab + b 2 a - b
28. A . S . V ( 3 ) 1 o Grupo - Efetue, dando o resultado na forma mais simples : a) b) c) d) e) f) g) h) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS ( Considere que as frações dadas satisfaçam ao domínio de validade )
29. A . S . V ( 3 ) a) b) c) d) RESPOSTAS = 6 = = = 2 = 3 = 3 1 o Grupo
30. A . S . V ( 3 ) 1 o Grupo e) f) RESPOSTAS = = = 3 ( x + 3 ) = = = = ( x - 2 ) ( y - 2 )
31. A . S . V ( 3 ) g) RESPOSTAS 1 o Grupo = = = = =
32. A . S . V ( 3 ) h) RESPOSTAS 1 o Grupo = = = = = = 2
34. A . S . V ( 3 ) 2 o Grupo - Efetue, dando o resultado na forma mais simples : a) b) c) d) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS ( Considere que as frações dadas satisfazem ao domínio de validade )
35. A . S . V ( 3 ) 2 o Grupo a) RESPOSTAS = = 2 3 b) = = = =
36. A . S . V ( 3 ) c) RESPOSTAS 2 o Grupo = = = = 3
37. A . S . V ( 3 ) d) RESPOSTAS 2 o Grupo = = = = ou
38. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = = Olha a potenciação de monômios ! Quer fazer uma revisão ? Exemplo 1 ( Considere que a fração dada satisfaça ao domínio de validade )
39. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = = Olha a potenciação de monômios ! Quer fazer uma revisão ? Exemplo 2 ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )
40. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = Olha os produtos notáveis ! Quer fazer uma revisão ? Exemplo 3 ( a + b ) ( a - b ) 2 2 = ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )
41. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = Exemplo 4 Olha o expoente negativo ! Precisa de uma revisão ? ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )
42. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Exemplo 5 Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = = Olha o expoente negativo ! Precisa de uma revisão ? ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )
43. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S POTENCIAÇÃO Exemplo 6 Elevam-se o numerador e o denominador à potência indicada. = Olha o expoente negativo ! Precisa de uma revisão ? = ( 5y ) 2 ( x - 3 ) 2 = ( Considere que a fração dada satisfaça o domínio de validade )
45. A . S . V ( 4 ) Calcule as seguintes potências, considerando que todas as bases estão definidas em R : a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) RESOLVA E DEPOIS CONFIRA AS RESPOSTAS
46. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : a) b) c) RESPOSTAS = = = + = = - x 3 = - x 3 + +
47. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : d) e) f) RESPOSTAS = - ( 4x 2 ) 3 ( 3y ) 3 = - 64x 6 27y 3 = ( a 2 b 4 ) 5 ( x 3 ) 5 = a 10 b 20 x 15 = - ( 3a 2 ) 3 ( 2b 3 ) 3 = - 27a 6 8b 9
48. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : g) h) i) RESPOSTAS = ( a - b ) 2 ( 3x 3 ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 9x 6 = ( 2mn ) 3 ( m + n ) 3 = 8m 3 n 3 m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 = ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) 2 = x 2 - 2x + 1 x 2 - 4x + 4 - -
49. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : g) h) i) RESPOSTAS = ( a - b ) 2 ( 3x 3 ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 9x 6 = ( 2mn ) 3 ( m + n ) 3 = 8m 3 n 3 m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 = ( x - 1 ) 2 ( x - 2 ) 2 = x 2 - 2x + 1 x 2 - 4x + 4 - -
50. A . S . V ( 4 ) Calcule as potências : j) k) l) RESPOSTAS = 5x 3 x - y = = 4p 2 q 2 m 2 n 2 = = x 6 x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3
51. Expressões envolvendo mais de uma operação. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S Obs: Considerar que as frações dadas satisfazem às condições de existência.
52. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S EXEMPLO 1 Simplificar a expressão = = = = a 2 + b 2 a 2 - b 2
53. F R A Ç Õ E S A L G É B R I C A S EXEMPLO 2 Simplifique a expressão = = 1