Este documento discute equações diferenciais parciais lineares de primeira ordem e o Teorema de Existência e Unicidade para o Problema de Cauchy. O documento introduz conceitos como operador diferencial parcial, equações diferenciais parciais lineares e não lineares, classificação de EDPs, e exemplos importantes como a equação de Laplace e equações de calor e onda.

1. Equac~oes Diferenciais Parciais e o Teorema de Exist^encia e Unicidade para o
Problema de Cauchy, caso linear
Cristiane C. F. Cintra1y, Luciana B. Goecking2
1Discente do curso de Matematica Licenciatura da Universidade Federal de Alfenas.
2Docente do Instituto de Ci^encias Exatas da Universidade Federal de Alfenas.
Resumo: Seja
de R2 uma regi~ao aberta, I um intervalo aberto e a equac~ao linear de primeira
ordem n~ao homog^enea em sua forma mais geral a(x; y)ux +b(x; y)uy = c(x; y) e a condic~ao ini-cial
u((t); (t)) = f(t) em que a, b e c s~ao de classe C1 em
que contem a curva suave
= ((t); (t)); t 2 I, chamada curva inicial do problema. Este tipo de problema e chamado
um Problema de Cauchy. Para resolvermos este problema de Cauchy sera de import^ancia fun-damental
o conceito das curvas caracterstica da equac~ao, pois estas representam o ponto de
partida na busca da soluc~ao para o problema.Tambem, veremos que a forma como as curvas ca-racter
sticas intersectam a curva inicial ((t); (t)) dada determina se o problema tera soluc~ao
unica, in

2. nitas soluc~oes ou se a soluc~ao n~ao existe. Veremos o Teorema de Exist^encia e Unici-dade
que nos da as condic~oes necessarias para a exist^encia e unicidade da soluc~ao do Problema
de Cauchy mencionado. E
importante observar que o Teorema de Exist^encia e Unicidade nos
garante apenas resultados locais, ja que o comportamento das curvas caractersticas longe da
curva inicial pode tornar-se demasiado complexo.
Palavras-chave: Problema de valor inicial, mudanca de variaveis, curva caracterstica.
Abstract: It
of R2 is a open region, I an open interval and the linear equation of

3. rst or-der
non homogeneous in its most general form a(x; y)ux + b(x; y)uy = c(x; y) and the initial
condition u((t); (t)) = f(t) that a, b and c are C1 class in
that contains the smoth curve
= ((t); (t)); t 2 I, initial curve of problem. This type of problem is called a Cauchy Pro-blem.
To solve this Cauchy problem is fundamental the concept of characteristic curves of the
equation, since these represent the starting point in the search for solution to the problem. Also,
we will see that the way in which the characteristic curves intersect the initial curve ((t); (t))
given determines whether the problem will have unique solution, endless solutions or if the so-lution
does not exist. We will see the Existence and Uniqueness Theorem that gives us the
necessary conditions for the existence and uniqueness of solution of Cauchy Problem cited. It is
important to note that the Existence and Uniqueness Theorem guarantees us just local results,
since the behavior of the characteristic curves away from the initial curve can become to complex.
Keywords: Initial value problem, variable changes, curve feature.
yCorresponding author: cristiane.uai@oi.com.br.
Sigmae, Alfenas, v.1, n.1, p. 44-56. 2012.

4. Cintra e Goecking (2012) 45
Introduc~ao
As Equac~oes Diferenciais Parciais (EDP's) s~ao utilizadas para descrever acontecimentos f-
sicos, biologicos, entre outros. Da a grande relev^ancia de seu estudo.
De acordo com Bassanezi e Junior (1988, p. 2) ...as Equac~oes Diferenciais talvez sejam o
ramo da matematica que tenha maior proximidade e interac~oes com outras ci^encias.
Muitos fen^omenos que ocorrem na otica, mec^anica, biologia, entre outros, podem ser mo-delados
por Equac~oes Diferenciais Parciais. A Elasticidade e a Din^amica dos Fluidos, [...]
tiveram seu desenvolvimento em comum com uma grande e boa parte da teoria matematica
destas equac~oes. (BASSANEZI; JUNIOR, 1988, p. 469). A soluc~ao de inumeros problemas de
import^ancia pratica e cient

5. ca em Mec^anica do Meio Contnuo depende do desenvolvimento da
teoria das EDP's.
Considere a equac~ao linear de primeira ordem n~ao homog^enea
a(x; y)ux + b(x; y)uy = c(x; y); (x; y) 2
u((t); (t)) = f(t); t 2 I
em que
R2 e um aberto, a; b; c 2 C1(
), I representa um intervalo aberto e
= ((t); (t))
e uma parametrizac~ao de uma curva qualquer em
, denominada Curva Inicial do problema.
Este tipo de problema e chamado um Problema de Cauchy.
O Problema de Cauchy e um problema classico dentro da teoria das Equac~oes Diferenciais.
A. L. Cauchy (1789-1857) demonstrou rigorosamente pela primeira vez, e por
tr^es metodos diferentes, a exist^encia de soluc~oes para uma vasta classe de
Equac~oes Diferenciais que inclui essencialmente todos os modelos conhecidos.
(BASSANEZI; JUNIOR, 1988, p. 9).
Vamos ver como resolver problemas de Cauchy para equac~oes lineares de primeira ordem com
duas variaveis independentes. Para isto, estudaremos o Teorema de Exist^encia e Unicidade para
o caso linear para o Problema de Cauchy. Este teorema nos fornecera as condic~oes necessarias
para que este problema tenha soluc~ao e para que esta seja unica.
Conceitos Fundamentais
Notac~oes
Seja
Rn um aberto e u :
! R uma func~ao diferenciavel. Se u = u(x1; :::; xn) e uma
func~ao de varias variaveis, usaremos diferentes notac~oes para as derivadas parciais de u. Por
exemplo,
(i)
@u
@x1
; ux1 ; @x1u ou D1u denota a derivada parcial de u em relac~ao a primeira variavel x1.
(ii)
@2u
@x2@x1
; ux1x2 ; @x2@x1u ou D2D1u denota a derivada de u primeiro em relac~ao a x1 e
depois a x2.
(iii)
@2u
@x2i
; uxixi ; @2
xiu ou D2
i u denota a derivada de segunda ordem de u com relac~ao a mesma
variavel xi.
Sigmae, Alfenas, v.1, n.1, p. 44-56. 2012.

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Equac~ao Diferencial Parcial
Uma Equac~ao Diferencial Parcial (EDP) e uma equac~ao que envolve variaveis independentes
x1; x2; :::; xn e derivadas parciais de uma func~ao (variavel dependente) u = u(x1; x2; :::; xn). Uma
EDP em n variaveis independentes x1; :::; xn e uma equac~ao da forma
F
x1; :::; xn; u;
@u
@xi
;
@2u
@xi@xj
; :::;
@mu
@xi1:::@xim
= 0 (1)
em que x = (x1; ::; xn) 2
, que representa um subconjunto aberto de Rn, u :
! R e uma
func~ao com derivadas parciais de ordem m.
Obs.: Um subconjunto
de Rn e aberto se, dado qualquer x0 2
, existe uma bola aberta de
raio r 0 centrada em x0 inteiramente contida em
.
Exemplos de EDP's:
1) ut = uxxx + uux
2) xux yuy = sen(xy)
3) (ux)2 x2 + ut = 0
Classi

7. cac~ao de uma EDP
Uma EDP pode ser classi

8. cada segundo sua ordem e linearidade.
A ordem de uma EDP e dada pela sua derivada parcial de maior ordem. Dizemos que a
EDP (1) e linear se F e linear em relac~ao a u e a todas as suas derivadas parciais; caso contrario
a EDP e dita n~ao linear.
O exemplo 1) e uma EDP linear de terceira ordem, no exemplo 2), temos uma EDP linear
de primeira ordem e no exemplo 3), a EDP e n~ao linear de primeira ordem.
Uma EDP linear de primeira ordem possui a forma geral
Xn
j=1
aj(x)Dju + b(x)u + c(x) = 0; (2)
em que algum dos coe

9. cientes aj n~ao e identicamente nulo.
Ja no caso de equac~oes de segunda ordem, a forma mais geral de uma EDP linear e
Xn
i;j=1
aij(x)DiDju +
Xn
j=1
bj(x)Dju + c(x)u + d(x) = 0; (3)
em que algum dos coe

10. cientes aij n~ao e identicamente nulo.
Caso a EDP possua duas variaveis independentes x; y, as equac~oes (2) e (3) podem ser
reescritas, respectivamente,
A(x; y)ux + B(x; y)uy + C(x; y)u + D(x; y) = 0; (4)
A(x; y)uxx + 2B(x; y)uxy + C(x; y)uyy + D(x; y)ux + E(x; y)uy + F(x; y)u + G(x; y) = 0: (5)
Obs.: A equac~ao (5) n~ao contem o termo com uyx, pois procuramos soluc~oes u que s~ao duas
vezes continuamente diferenciaveis na regi~ao de interesse e, para tais func~oes, uxy = uyx.
Uma EDP linear e dita homog^enea se o termo que n~ao contem a variavel dependente e
identicamente nulo. O exemplo 1) e de uma EDP linear homog^enea e no exemplo 2) temos uma
EDP linear n~ao homog^enea.
As equac~oes (4) e (5) se tornam homog^eneas quando as func~oes D(x; y) e G(x; y) s~ao res-pectivamente
iguais a zero.
Sigmae, Alfenas, v.1, n.1, p. 44-56. 2012.

11. Cintra e Goecking (2012) 47
Tr^es EDP's importantes
1) A equac~ao de Laplace,
@2u
@x2 +
@2u
@y2 = 0;
e uma equac~ao linear de segunda ordem homog^enea.
2) Uma outra equac~ao importante e a equac~ao unidimensional de calor
@u
@t
= 2 @2u
@x2 ;
onde u = u(x; t), x 2 R, t 0 e 2 e uma constante. E
uma equac~ao de segunda ordem,
linear e homog^enea.
3) A equac~ao unidimensional de onda
@2u
@t2 = c2 @2u
@x2 :
e tambem linear, homog^enea e de segunda ordem.
Obs.: O termo unidimensional faz refer^encia ao fato de x ter dimens~ao espacial 1, enquanto t
representa o tempo.
O Operador Diferencial Parcial L
Consideremos uma EDP de primeira ou segunda ordem com n variaveis independentes
x1; :::; xn. Considerando uma equac~ao do tipo
Xn
i;j=1
aij(x)DiDju +
Xn
j=1
bj(x)Dju + c(x)u + d(x) = 0: (6)
Denotaremos por k a ordem da equac~ao, k = 1 ou k = 2. Note que se k = 1, ent~ao aij 0
quaisquer que sejam i; j 2 f1; :::; ng e existe j; 1 j n, tal que bj6 0.
Podemos colocar a equac~ao (6) na forma
Lu = f; (7)
em que f(x) = d(x) e
(Lu)(x) =
Xn
i;j=1
aij(x)DiDju(x) +
Xn
j=1
bj(x)Dju(x) + c(x)u(x): (8)
A cada func~ao u corresponde uma unica func~ao Lu. Assim, de

12. nimos o operador ou trans-forma
c~ao L. Considere
um subconjunto aberto de Rn, onde as func~oes aij ; bj e c, 1 i; j n;
s~ao contnuas em
e tomam valores reais. De

13. nimos, ent~ao
L : Ck(
) ! C(
) (9)
u7! Lu
onde Lu e dado pela formula (8) e Ck(
) e o conjunto das func~oes u :
7! R que s~ao k vezes
continuamente diferenciaveis.
O operador L representa um exemplo de um operador diferencial parcial. Como a equac~ao
(6) e linear, temos que o operador L de