O documento descreve conceitos matemáticos básicos para contadores, incluindo:
1) Representações dos conjuntos de números reais, racionais e inteiros;
2) Expressões algébricas e literais;
3) Funções do primeiro grau, incluindo gráficos crescentes e decrescentes.
1. O documento apresenta um sumário com os principais tópicos de matemática abordados, incluindo conjuntos numéricos, proporcionalidade, regra de três, porcentagem, juros, equações e funções.
2. É introduzido o conjunto dos números naturais N, inteiros Z, racionais Q e reais R, assim como suas principais propriedades e operações.
3. São definidos conceitos como sucessor, antecessor, números primos, critérios de divisibilidade e operações como fatoração, mdc e mmc
1) O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas representações, incluindo os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais.
2) As operações básicas de adição, subtração e multiplicação são explicadas, assim como a resolução de expressões numéricas e problemas envolvendo números desconhecidos.
3) São apresentadas definições importantes como divisão exata e aproximada, assim como propriedades da divisão de números naturais.
Este documento fornece uma introdução abrangente à matemática básica, incluindo:
I. Conjuntos numéricos e as quatro operações fundamentais com números decimais.
II. Números relativos, frações ordinárias, potências, radicais e expressões algébricas.
III. Equações do primeiro e segundo grau, inequações, proporcionalidade e geometria plana.
Este documento apresenta um caderno de atividades de matemática para o segundo semestre. Ele contém informações sobre conjuntos numéricos, expressões numéricas e algébricas, e introduz os principais conceitos necessários para o estudo da disciplina.
1) O documento é uma apostila sobre matemática básica para o curso de Agronomia da Pontifícia Universidade Católica do Paraná. 2) A apostila revisa tópicos fundamentais de matemática como conjuntos numéricos, números relativos, frações, potenciação e radicais. 3) O objetivo é preparar os alunos para as disciplinas de Matemática e Física Aplicada a Agronomia.
O documento apresenta um sumário com 15 tópicos de matemática financeira e conceitos relacionados a concursos para escriturário de banco, incluindo números, porcentagens, juros, taxas e planos de investimento.
O documento apresenta informações sobre:
1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e irracionais.
2) Conceitos de múltiplos, divisores, MDC e MMC.
3) Exemplos resolvidos de cálculo de MDC e MMC.
1) O documento apresenta um resumo sobre progressões aritméticas e geométricas, incluindo definições, fórmulas para o termo geral e propriedades.
2) Progressões aritméticas são sequências onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma razão constante. Progressões geométricas são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.
3) Fórmulas para calcular qualquer termo são apresentadas usando o primeiro termo, a razão e a posição do termo desejado.
1. O documento apresenta um sumário com os principais tópicos de matemática abordados, incluindo conjuntos numéricos, proporcionalidade, regra de três, porcentagem, juros, equações e funções.
2. É introduzido o conjunto dos números naturais N, inteiros Z, racionais Q e reais R, assim como suas principais propriedades e operações.
3. São definidos conceitos como sucessor, antecessor, números primos, critérios de divisibilidade e operações como fatoração, mdc e mmc
1) O documento descreve os principais conjuntos numéricos e suas representações, incluindo os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais.
2) As operações básicas de adição, subtração e multiplicação são explicadas, assim como a resolução de expressões numéricas e problemas envolvendo números desconhecidos.
3) São apresentadas definições importantes como divisão exata e aproximada, assim como propriedades da divisão de números naturais.
Este documento fornece uma introdução abrangente à matemática básica, incluindo:
I. Conjuntos numéricos e as quatro operações fundamentais com números decimais.
II. Números relativos, frações ordinárias, potências, radicais e expressões algébricas.
III. Equações do primeiro e segundo grau, inequações, proporcionalidade e geometria plana.
Este documento apresenta um caderno de atividades de matemática para o segundo semestre. Ele contém informações sobre conjuntos numéricos, expressões numéricas e algébricas, e introduz os principais conceitos necessários para o estudo da disciplina.
1) O documento é uma apostila sobre matemática básica para o curso de Agronomia da Pontifícia Universidade Católica do Paraná. 2) A apostila revisa tópicos fundamentais de matemática como conjuntos numéricos, números relativos, frações, potenciação e radicais. 3) O objetivo é preparar os alunos para as disciplinas de Matemática e Física Aplicada a Agronomia.
O documento apresenta um sumário com 15 tópicos de matemática financeira e conceitos relacionados a concursos para escriturário de banco, incluindo números, porcentagens, juros, taxas e planos de investimento.
O documento apresenta informações sobre:
1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e irracionais.
2) Conceitos de múltiplos, divisores, MDC e MMC.
3) Exemplos resolvidos de cálculo de MDC e MMC.
1) O documento apresenta um resumo sobre progressões aritméticas e geométricas, incluindo definições, fórmulas para o termo geral e propriedades.
2) Progressões aritméticas são sequências onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma razão constante. Progressões geométricas são sequências onde cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma razão constante.
3) Fórmulas para calcular qualquer termo são apresentadas usando o primeiro termo, a razão e a posição do termo desejado.
O documento fornece um resumo dos principais tópicos de matemática para escriturários do Banco do Brasil, incluindo números, medidas, proporções, equações, funções, sequências, probabilidade e finanças.
A apostila trata de matemática básica para o curso de Agronomia e aborda operações algébricas, equações do primeiro e segundo grau. A primeira parte explica expressões algébricas, operações com elas, produtos notáveis e fatoração. A segunda parte trata da resolução de equações do primeiro grau e a terceira, de equações do segundo grau, incluindo o uso da fórmula de Bhaskara.
Segue a apostila comum aos cargos de Assistente Operacional - Part #3
conteúdo extra :
https://mega.co.nz/#!LE1EGRyJ!yxfNUZtcYEUfQ89G4l3xBTQdAPxmd-oZIcXRfLA8bCk
Este documento é uma apostila de matemática básica destinada a alunos do CEFET/SP e UNED de Sertãozinho. A apostila apresenta conceitos matemáticos básicos e intermediários dos ensinos fundamental e médio, incluindo conjuntos numéricos, operações fundamentais, frações, potências, álgebra, equações, proporcionalidade e geometria. O objetivo é fornecer subsídios matemáticos essenciais para os estudos dos alunos.
O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, elemento, pertinência, operações com conjuntos como união e interseção, além de exemplos ilustrativos.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de operações com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
2) É explicado o que são números inteiros, opostos, módulo e as propriedades das operações com esses números.
3) São fornecidos exemplos para ilustrar como aplicar as operações e suas propriedades.
Teoria do números - Classificações especiaisRomulo Garcia
1) O documento discute vários conceitos da teoria dos números como números perfeitos, números amigos, números primos pseudoprimos e funções como a função de Euler.
2) Inclui definições, teoremas e exemplos sobre esses conceitos.
3) Aborda também problemas e exercícios relacionados à teoria dos números para teste dos conceitos discutidos.
O documento apresenta conceitos matemáticos básicos como expressões numéricas, potenciação e números primos. Inclui exemplos e exercícios para ajudar os alunos a entenderem esses conceitos.
O documento discute números racionais e introdução à álgebra. Ele explica como números racionais podem ser escritos como frações ou decimais periódicos, define o conjunto dos números racionais, e discute representações na reta real, módulo, oposto, comparação e operações com números racionais. Também introduz expressões algébricas, equações e resolução de equações do primeiro grau.
Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos Numéricosgeometriamar.com.br
1) O documento apresenta os principais conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) e suas propriedades.
2) São descritas as operações fundamentais com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) São listadas as propriedades dessas operações e exemplos para ilustrar cada propriedade.
1) O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais, com exemplos de operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) Os números inteiros englobam os naturais e negativos, representados por Z.
3) As operações como adição e multiplicação seguem regras sobre os sinais dos números.
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...Iracema Vasconcellos
A apostila apresenta os principais tópicos de matemática para concurso de prefeitura, incluindo operações com números inteiros, fracionários e decimais, porcentagem, juros, equações de 1o e 2o grau e geometria.
O documento descreve conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) definição de polinômio; 2) grau de um polinômio; 3) valor numérico de um polinômio; 4) divisão de polinômios. Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos na resolução de exercícios.
1) O documento apresenta um plano de estudos para o cargo de Escriturário do Banco do Brasil, com 11 tópicos que vão de números inteiros, racionais e reais até progressões aritméticas e geométricas.
2) Inclui também orientações sobre como os candidatos podem enviar dúvidas sobre o conteúdo estudado, listando os itens necessários para o envio como apostila, disciplina, página e questão.
3) O material disponibilizado tem o objetivo de auxiliar os estudos dos candidatos para a aprovação
1) O documento discute equações de primeiro e segundo grau, incluindo monômios, polinômios, adição, subtração, multiplicação e divisão destes.
2) É explicado o que são equações literais e como resolver equações em ordem a uma variável específica.
3) Diferentes tipos de equações são apresentados como equações com parênteses, fracções e do segundo grau.
1. O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2. Apresenta as propriedades dessas classes de números e as relações entre elas, com os números naturais contidos nos inteiros e assim por diante.
3. Explica conceitos como números fracionários, potenciação e propriedades das potências nos conjuntos numéricos.
1) O documento descreve o conjunto dos números naturais, incluindo suas propriedades como sucessão infinita a partir de zero e números consecutivos.
2) São apresentadas expressões numéricas e a ordem correta de se realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) As principais operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) são definidas com suas propriedades.
O documento apresenta uma revisão sobre polinômios, definindo-os como funções algébricas representadas por uma soma de termos com variáveis elevadas a potências inteiras. Discorre sobre conceitos como grau do polinômio, valor numérico, raízes, divisão, decomposição em fatores e relações entre polinômios.
1) Desde a antiguidade, os humanos contavam objetos e registraram números de forma abstrata, como pedras e ossos.
2) Os conjuntos numéricos naturais (N) e inteiros (Z) incluem os números não negativos e positivos respectivamente.
3) Os números racionais (Q) são aqueles que podem ser escritos como frações de inteiros, enquanto os irracionais (I) não podem ser expressos dessa forma.
O documento descreve a evolução dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais e chegando aos números reais. Explica como cada novo conjunto foi necessário para resolver problemas matemáticos e como eles se relacionam entre si, com cada um englobando o anterior e acrescentando novos tipos de números.
1) O documento descreve diferentes conjuntos de números, incluindo números naturais, inteiros relativos, racionais e reais.
2) É feita uma classificação de números decimais em finitos, infinitos periódicos e não periódicos.
3) Conclui-se que é necessário criar o conjunto dos números reais para incluir todos os números racionais e irracionais.
O documento fornece um resumo dos principais tópicos de matemática para escriturários do Banco do Brasil, incluindo números, medidas, proporções, equações, funções, sequências, probabilidade e finanças.
A apostila trata de matemática básica para o curso de Agronomia e aborda operações algébricas, equações do primeiro e segundo grau. A primeira parte explica expressões algébricas, operações com elas, produtos notáveis e fatoração. A segunda parte trata da resolução de equações do primeiro grau e a terceira, de equações do segundo grau, incluindo o uso da fórmula de Bhaskara.
Segue a apostila comum aos cargos de Assistente Operacional - Part #3
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Este documento é uma apostila de matemática básica destinada a alunos do CEFET/SP e UNED de Sertãozinho. A apostila apresenta conceitos matemáticos básicos e intermediários dos ensinos fundamental e médio, incluindo conjuntos numéricos, operações fundamentais, frações, potências, álgebra, equações, proporcionalidade e geometria. O objetivo é fornecer subsídios matemáticos essenciais para os estudos dos alunos.
O documento apresenta conceitos fundamentais da teoria dos conjuntos, incluindo definições de conjunto, elemento, pertinência, operações com conjuntos como união e interseção, além de exemplos ilustrativos.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de operações com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.
2) É explicado o que são números inteiros, opostos, módulo e as propriedades das operações com esses números.
3) São fornecidos exemplos para ilustrar como aplicar as operações e suas propriedades.
Teoria do números - Classificações especiaisRomulo Garcia
1) O documento discute vários conceitos da teoria dos números como números perfeitos, números amigos, números primos pseudoprimos e funções como a função de Euler.
2) Inclui definições, teoremas e exemplos sobre esses conceitos.
3) Aborda também problemas e exercícios relacionados à teoria dos números para teste dos conceitos discutidos.
O documento apresenta conceitos matemáticos básicos como expressões numéricas, potenciação e números primos. Inclui exemplos e exercícios para ajudar os alunos a entenderem esses conceitos.
O documento discute números racionais e introdução à álgebra. Ele explica como números racionais podem ser escritos como frações ou decimais periódicos, define o conjunto dos números racionais, e discute representações na reta real, módulo, oposto, comparação e operações com números racionais. Também introduz expressões algébricas, equações e resolução de equações do primeiro grau.
Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos Numéricosgeometriamar.com.br
1) O documento apresenta os principais conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) e suas propriedades.
2) São descritas as operações fundamentais com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) São listadas as propriedades dessas operações e exemplos para ilustrar cada propriedade.
1) O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais, com exemplos de operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) Os números inteiros englobam os naturais e negativos, representados por Z.
3) As operações como adição e multiplicação seguem regras sobre os sinais dos números.
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...Iracema Vasconcellos
A apostila apresenta os principais tópicos de matemática para concurso de prefeitura, incluindo operações com números inteiros, fracionários e decimais, porcentagem, juros, equações de 1o e 2o grau e geometria.
O documento descreve conceitos básicos sobre polinômios, incluindo: 1) definição de polinômio; 2) grau de um polinômio; 3) valor numérico de um polinômio; 4) divisão de polinômios. Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos na resolução de exercícios.
1) O documento apresenta um plano de estudos para o cargo de Escriturário do Banco do Brasil, com 11 tópicos que vão de números inteiros, racionais e reais até progressões aritméticas e geométricas.
2) Inclui também orientações sobre como os candidatos podem enviar dúvidas sobre o conteúdo estudado, listando os itens necessários para o envio como apostila, disciplina, página e questão.
3) O material disponibilizado tem o objetivo de auxiliar os estudos dos candidatos para a aprovação
1) O documento discute equações de primeiro e segundo grau, incluindo monômios, polinômios, adição, subtração, multiplicação e divisão destes.
2) É explicado o que são equações literais e como resolver equações em ordem a uma variável específica.
3) Diferentes tipos de equações são apresentados como equações com parênteses, fracções e do segundo grau.
1. O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2. Apresenta as propriedades dessas classes de números e as relações entre elas, com os números naturais contidos nos inteiros e assim por diante.
3. Explica conceitos como números fracionários, potenciação e propriedades das potências nos conjuntos numéricos.
1) O documento descreve o conjunto dos números naturais, incluindo suas propriedades como sucessão infinita a partir de zero e números consecutivos.
2) São apresentadas expressões numéricas e a ordem correta de se realizar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
3) As principais operações matemáticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) são definidas com suas propriedades.
O documento apresenta uma revisão sobre polinômios, definindo-os como funções algébricas representadas por uma soma de termos com variáveis elevadas a potências inteiras. Discorre sobre conceitos como grau do polinômio, valor numérico, raízes, divisão, decomposição em fatores e relações entre polinômios.
1) Desde a antiguidade, os humanos contavam objetos e registraram números de forma abstrata, como pedras e ossos.
2) Os conjuntos numéricos naturais (N) e inteiros (Z) incluem os números não negativos e positivos respectivamente.
3) Os números racionais (Q) são aqueles que podem ser escritos como frações de inteiros, enquanto os irracionais (I) não podem ser expressos dessa forma.
O documento descreve a evolução dos conjuntos numéricos, começando pelos números naturais e chegando aos números reais. Explica como cada novo conjunto foi necessário para resolver problemas matemáticos e como eles se relacionam entre si, com cada um englobando o anterior e acrescentando novos tipos de números.
1) O documento descreve diferentes conjuntos de números, incluindo números naturais, inteiros relativos, racionais e reais.
2) É feita uma classificação de números decimais em finitos, infinitos periódicos e não periódicos.
3) Conclui-se que é necessário criar o conjunto dos números reais para incluir todos os números racionais e irracionais.
1) O documento apresenta os conceitos básicos de operações com números inteiros, incluindo adição, subtração, multiplicação e divisão.
2) É explicado o significado dos termos envolvidos em cada operação e algumas propriedades, como a comutatividade da adição e multiplicação e a distribuição da multiplicação sobre a soma.
3) O conceito de divisão inteira é definido, incluindo o significado e cálculo do quociente e do resto. É mostrado como os sinais dos números afetam os resultados de multiplicação e divisão
Este documento fornece um resumo de conceitos básicos de matemática como operações numéricas e algébricas, frações, potenciação, expressões algébricas, polinômios, funções e gráficos de função. Inclui exemplos e exercícios para praticar cada tópico.
Este documento fornece uma introdução aos principais tipos de números matemáticos, incluindo números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Também discute o sistema legal de medidas e unidades de comprimento.
Este documento fornece uma introdução aos principais conceitos de matemática, incluindo números inteiros, racionais e reais, medidas, razões e porcentagens. Ele define cada conjunto numérico e explica suas relações, além de apresentar o sistema legal de medidas e unidades para comprimento e área.
1. O documento descreve o conteúdo de uma disciplina de matemática básica, incluindo tópicos como conjuntos numéricos, álgebra elementar, funções, trigonometria e cálculo.
2. Os principais tópicos abordados são conjuntos numéricos, expressões algébricas, equações, funções do primeiro e segundo grau, exponenciais e logaritmos, e trigonometria.
3. A bibliografia inclui livros didáticos de matemática básica, cálculo e á
O documento apresenta os principais conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Explica que os números naturais começam com 0 e acrescentam 1 em cada elemento seguinte. Os inteiros incluem também os números negativos e zero. Os racionais são quocientes de inteiros e os irracionais têm representações decimais infinitas não periódicas. A união dos conjuntos racionais e irracionais forma os números reais.
O documento descreve as características de uma função matemática. Explica que uma função é uma relação "bem comportada" onde cada elemento do conjunto de partida (domínio) está associado a um único elemento do conjunto de chegada (contradomínio). Fornece exemplos de relações que são funções e relações que não o são.
O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais e suas propriedades. Apresenta os conjuntos N, Z, Q e suas operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão. Explica também os conceitos de número natural, inteiro, racional, decimal exato e periódico.
O documento fornece uma introdução sobre números racionais, incluindo: 1) A definição de números racionais como frações a/b onde a e b são inteiros e b ≠ 0; 2) Os principais subconjuntos dos números racionais Q; 3) Como representar números racionais na reta numérica.
Este documento apresenta os principais tópicos de matemática básica, incluindo: 1) números decimais e não decimais; 2) múltiplos e divisores; e 3) operações como adição, subtração, multiplicação e divisão.
O documento apresenta um resumo sobre conceitos básicos de matemática, incluindo:
1) Conjuntos numéricos como naturais, inteiros, racionais e reais.
2) Operações com frações como soma, subtração, multiplicação e divisão.
3) Proporção, porcentagem e regra de três.
1) O documento apresenta os principais conceitos de conjuntos e operações entre conjuntos, incluindo união, interseção e diferença.
2) É definido o que são subconjuntos, conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto das partes.
3) São descritos os principais conjuntos numéricos - números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais - e suas relações.
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaAntonio Carneiro
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a potenciação, radiciação e a fórmula de Bhaskara para resolução de equações do 2o grau.
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a operação de potenciação, suas propriedades e como resolver equações do 2o grau usando a fórmula de Bhaskara.
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaAntonio Carneiro
1) O documento apresenta conceitos matemáticos como conjuntos numéricos, potenciação, radiciação e equações do 2o grau.
2) Inclui definições de conjuntos como N, Z, Q, R e suas propriedades.
3) Explica a operação de potenciação, suas propriedades e como resolver equações do 2o grau usando a fórmula de Bhaskara.
1) O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2) Apresenta exemplos e propriedades desses conjuntos, incluindo suas representações na reta numérica.
3) Aborda a história do desenvolvimento dos números irracionais e sua inclusão nos demais conjuntos numéricos.
1) O documento discute os conjuntos numéricos naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.
2) Apresenta exemplos e propriedades desses conjuntos, incluindo suas representações na reta numérica.
3) Aborda a história do desenvolvimento dos números irracionais e sua inclusão nos demais conjuntos numéricos.
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011thieresaulas
O documento discute a resolução da prova de matemática para o concurso de soldados fuzileiros navais de 2011. Ele apresenta as questões da prova e as respectivas resoluções, explicando os passos matemáticos envolvidos em cada questão.
Semelhante a Apostila de-matemática-ester-parte-i (20)
Este documento apresenta conceitos fundamentais da economia, incluindo: 1) a definição de economia como a ciência que estuda como os recursos escassos são alocados para satisfazer as necessidades humanas; 2) os problemas econômicos fundamentais de o que, como e para quem produzir; 3) os sistemas econômicos como capitalismo, socialismo e economia mista.
O documento discute os desafios trazidos pela globalização econômica para o direito e o pensamento jurídico. A globalização levou à transnacionalização dos mercados e redução da soberania dos estados-nação, exaurindo o paradigma do direito positivado e estatal. Isso requer novas abordagens e instituições jurídicas para regular as relações socioeconômicas globais.
O documento descreve o funcionamento do mercado de câmbio e como as taxas de câmbio são determinadas em um sistema de taxas flexíveis. O mercado de câmbio permite a troca de moedas entre países e equilibra a oferta e demanda de divisas por meio de ajustes na taxa de câmbio. A taxa de câmbio é determinada pelas forças de mercado e flutua livremente para equilibrar a demanda e oferta de divisas provenientes de exportações, importações e investimentos.
Este capítulo discute os sistemas econômicos e como eles respondem às questões fundamentais de o que produzir, como produzir e para quem produzir. Dois sistemas principais são discutidos: a economia de mercado e a economia de planejamento central. O capítulo também explica como a divisão do trabalho e a especialização aumentam a produção e como o dinheiro facilita as trocas entre os participantes do mercado.
O documento discute os tipos de desemprego, incluindo desemprego sazonal, cíclico, friccional e estrutural. Também aborda as causas do desemprego de acordo com perspectivas clássicas/monetaristas e keynesianas. A análise keynesiana enfatiza que o desemprego ocorre quando a demanda agregada é insuficiente.
- O documento discute os principais agentes econômicos - famílias, empresas e setor público - e seus papéis na atividade econômica.
- As famílias consomem bens e serviços e oferecem trabalho e capital às empresas, enquanto as empresas produzem e vendem bens e serviços.
- Existem diferentes tipos de empresas de acordo com sua natureza jurídica, como empresas individuais, sociedades anônimas e cooperativas.
O documento descreve as principais fases e políticas econômicas do Plano Real brasileiro implementado em 1994 para estabilizar a inflação. O Plano Real ocorreu em três fases: antes da URV, durante a URV, e após a introdução do real. Seu sucesso inicial se deveu a uma combinação de política fiscal apertada, juros altos, câmbio flexível e indexação de preços à URV.
- O documento discute os conceitos básicos da economia, incluindo a escassez de recursos versus necessidades humanas ilimitadas, e a necessidade de escolha.
- A economia estuda como indivíduos e sociedades fazem escolhas para satisfazer necessidades usando recursos limitados da melhor maneira.
- A microeconomia analisa o comportamento de unidades como famílias e empresas, enquanto a macroeconomia estuda o funcionamento da economia como um todo.
O documento descreve as políticas econômicas adotadas pelos governos militares brasileiros entre 1964-1984. Inicialmente, o governo Castelo Branco implementou reformas econômicas através do PAEG para combater a inflação e estimular o crescimento. Nos anos 1968-1973, sob o comando de Delfim Netto, o Brasil experimentou um "Milagre Econômico" com altas taxas de crescimento do PIB. Posteriormente, o país enfrentou desafios como a crise do petróleo e tentou manter o cresc
1. O documento apresenta um capítulo sobre revisão de tópicos de matemática aplicada como cálculo numérico, percentuais, álgebra e equações de 1o e 2o grau.
2. Inclui exemplos e exercícios resolvidos sobre frações, potenciação, radiciação, conversão entre números reais e percentuais e resolução de equações e sistemas.
3. Fornece as definições e propriedades necessárias para a resolução dos exercícios propostos.
Este documento apresenta os principais conjuntos numéricos e suas propriedades:
1. Apresenta os conjuntos numéricos fundamentais: o conjunto dos números naturais N, o conjunto dos números inteiros Z e o conjunto dos números racionais Q.
2. Explica as propriedades dos intervalos e dos diferentes tipos de conjuntos (vazio, unitário, finito e infinito).
3. Descreve as operações básicas com conjuntos como interseção, união e diferença.
O documento descreve quatro gráficos que ilustram diferentes relações entre duas variáveis ao longo do tempo. Cada gráfico representa uma função que pode ser estudada quantitativamente por meio do cálculo.
Este documento apresenta um livro didático sobre matemática para o curso de graduação em administração a distância. O livro aborda nove capítulos divididos em quatro partes: 1) Geometria analítica e matrizes; 2) Cálculo diferencial; 3) Cálculo integral; 4) Funções de várias variáveis. O objetivo é fornecer elementos conceituais de matemática para administradores e enumerar ferramentas matemáticas úteis para tomadas de decisões administrativas. O documento inclui prefá
Earl swokowski cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª ediçãoClaudia Sá de Moura
Este documento discute a importância da educação para o desenvolvimento econômico e social de um país. Ele afirma que países com populações mais educadas tendem a ter economias mais fortes e sociedades mais prósperas. Além disso, destaca que o investimento no setor educacional é essencial para reduzir a pobreza e promover crescimento de longo prazo.
1. O documento apresenta uma apostila sobre economia para administração organizada pelo professor George Wilson Aiub.
2. A apostila aborda diversos tópicos da economia como aspectos históricos, fatores de produção, sistemas econômicos, estrutura de mercado, macroeconomia e grandes agregados.
3. O documento fornece uma introdução a cada um desses tópicos com o objetivo de ajudar administradores a compreenderem o ambiente econômico no qual as empresas operam.
Este documento apresenta um resumo de um livro didático sobre matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. O prefácio explica que o objetivo do livro é ensinar conceitos matemáticos básicos de forma clara e desenvolver a capacidade de modelagem de problemas. O livro é dividido em sete capítulos abordando conjuntos, representação gráfica, funções, tipos especiais de funções, limites e continuidade, diferenciabilidade e comportamento de funções. Exercícios são fornecidos no final de cada
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REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
3. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 1 - Números Reais: representações
O principal motivo para que a maioria dos cursos de Cálculo comecem por um
breve estudo dos números reais é o fato de no Cálculo e na Análise, estuda-se
o comportamento de funções e o comportamento de uma função depende dos
três elementos importantes que a compõem: números Reais, números
Racionais e números irracionais.
Representação do conjunto dos números reais
Para entendermos os números Reais, deveremos primeiro estudar os números,
racionais e os números irracionais, uma vez que o mesmo é composto por
estes dois conjuntos numéricos.
R = Q U I
Os números reais são números usados para representar uma quantidade
contínua (incluindo o zero e os negativos).
Números Naturais (N)
O conjunto de números naturais é representado pela letra N e é compostos por
números inteiros e positivos, além do zero. É indicado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais, sem o zero:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, é o conjunto dos
números naturais acrescido dos seus opostos negativos. Pode-se dizer que os
números inteiros expressam quantidades (inteiros positivos) e a "falta" de
quantidades (inteiros negativos).
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4. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
O Conjunto dos Números Inteiros é indicado por Z:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero,
ou seja:
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N
é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z:
N ⊂ Z
Alguns números inteiros apresentam uma série de características que os
diferenciam de outros inteiros e que torna possível agrupá-los em
subconjuntos. Veja alguns exemplos:
Números Primos
São chamados de primos os inteiros diferentes 1 que só são divisíveis por 1 e
por ele mesmo
ex: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, etc.
Números Racionais (Q)
Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos
um número racional. Todo número racional sempre é representado por uma
parte inteira e por uma parte fracionária, a / b, Por exemplo:
Se a=6 e b=2, obtemos o número racional 3,0.
Se a=1 e b=2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de
casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata.
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por
exemplo, a=1 e b=8 nos dá o número racional 0,666666... É a chamada dízima
periódica.
Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números
inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.
Q = {a/b | a Z e b Z*}, ou seja, o denominador deve sempre ser diferente de
zero.
O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o
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5. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
zero:
Q* = Q - {0}
Como todos os números inteiros também são números racionais, dizemos que
Z é um subconjunto de Q ou que Z está contido em Q:
Z ⊂ Q
E, como já foi visto acima, todos os números naturais também são números
inteiros. Então,
N ⊂ Z ⊂ Q
Números Irracionais (I)
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com
infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente, obtemos
um número chamado de irracional. Não é possível situar um número irracional
como um ponto numa reta.
O número irracional mais famoso é o pi (π), inicial da palavra grega que
significa periferia, circunferência. Nos dias de hoje, já são conhecidos mais de
1 bilhão de casas após a vírgula para este número graças aos computadores e
matemáticos de nossa época (π = 3.1415926535897932384626433832795...)
Números Reais (R)
Como já foi dito anteriormente, o conjunto formado por todos os números
racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R.
Como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro é racional e
como todo número racional é real, temos:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja,
R* = R - {0}
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6. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 2 - Expressões Literais
Expressões Literais, também chamadas de expressões algébricas, são
expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. Por
exemplo:
A = 5a+3b
B = (8c+4)-2
C = 15c+4a
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor
de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão Literal
Observações quanto à prioridade:
1º Deve-se sempre realizar a operação que estiver dentro dos
parênteses, colchetes ou chaves.
2º A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes
sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por
valores negativos
Também devem ser obedecidas algumas propriedades em uma expressão
Literal, onde devemos obedecer a seguinte ordem das operações:
1º Resolver primeiro Potenciação ou Radiciação;
2º a seguir, as Multiplicações ou Divisões;
3º então será a vez das Adições ou Subtrações.
Exemplo 1
Consideremos : T=2B+15 e tomemos B=5. Assim,
T = 2.5+15 = 10+15 = 25
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7. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Aqui B é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 25
é o valor numérico da expressão indicada por T. Observe que ao mudar
o valor de B para 15, teremos:
T = 2.15 + 15 = 30 + 15 = 45
Se B=15, o valor numérico de T=2B+15 é igual a 45.
Exemplo 2
Seja P = 3C-5+B+7 e tomemos C=5 e B=2. Assim:
P = 3.5- 5+2+7 = 15-5+2+7 = 19
Se C=5 e B=2, o valor numérico de P = 3C-5+B+7, muda para 19.
Exemplo 3
Seja Y=20-W+10+Q+8W, onde W = -2 e Q=1. Então:
Y = 20-(-2)+10+1+8(-2) = 20+2+10+1-16 = 33-16 = 17
Se W = -2 e Q=1, o valor numérico de Y=20-W+10+Q+8W é 17
Exemplo 4
Consideremos Q=2T+10 e tomemos T=5. Assim
Q = 2(5) + 10
Q = 10 + 10
Q = 20
Aqui T é a variável da expressão, sendo 5 é o valor numérico da variável
e 20 é o valor numérico da expressão indicada por Q. Observe que ao
mudar o valor de Q para 9, teremos:
Q = 2(9) + 10
Q = 18 + 10
Q = 28
Quando T=9, o valor numérico de Q=2T+10 é igual a 28.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na
expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
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8. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 3 - Função do 1º Grau
Definição
Chama-se função do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em
IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados
e a ≠ 0.
Também podemos representar a função de 1º grau da seguinte forma:
y = f(x) , portanto
y = ax + b
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular ou
coeficiente de x e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear.
Veja alguns exemplos de funções do 1º grau:
f(x) = 8x - 2, onde a = 8 e b = - 2
f(x) = -5x - 4, onde a = -5 e b = - 4
f(x) = 9x, onde a = 9 e b = 0
Exemplo 1
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é
dada pela equação: Q = 100 – 4p. Determinar a quantidade de produtos
vendidos para p = R$ 15,00.
Solução:
Q = 100 – 4p para p=R$15,00
Q = 100 – 4(15)
Q = 40
ou seja, quando o preço estabelecido pelo produto do modelo for de R$15,00, a
quantidade de produtos vendidos será de 40 unidades.
E
Exemplo 2
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é
dada pela equação: Q = 80 – 2p. Determinar a quantidade de produtos
vendidos para p = R$ 10,00.
Solução:
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9. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Q = 80 – 2p para p = R$ 10,00
Q = 80 – 2(10)
Q = 60
ou seja, quando o preço estabelecido pelo produto do modelo for de R$10,00, a
quantidade de produtos vendidos será de 60 unidades.
Exemplo 3
O custo total de produção de um determinado bem consiste em um custo fixo
de R$ 300,00 somado a um custo variável de R$ 120,00 a unidade produzida.
A “lei”, “fórmula” ou “modelo” que representa a relação existente entre o custo
total de produção (C) e a quantidade de bens produzidos (q) desta produção:
C = 300 + 120.q
Qual o Custo Total de produção deste bem se forem produzidos 80 bens?
Solução:
C = 300 + 120q
C = 300 + 120(80)
C = 300 + 9600
C = R$ 9900,00
Gráficos de uma função de 1º grau crescente e decrescente
Função Crescente
Quando na função y = ax+ b o coeficiente angular a > 0, ou seja, for positivo,
teremos um gráfico chamado crescente, onde quando x aumenta de valor, y
também aumenta de valor
.y = x+1 ( a> 0 ) ;
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10. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
A função é considerada crescente, pois conforme os valores de x crescem, os
valores de y crescem também.
Função Decrescente
Porém, quando na função y = ax+ b o coeficiente angular a < 0, ou seja, for
negativo, teremos um gráfico chamado decrescente, onde quando x aumenta
de valor, y diminui de valor.
y = -x+1 ( a<0)
A função é considerada decrescente, pois a medida que os valores de x
crescem, os valores de y decrescem.
Observações para uma função do 1º grau:
a) O gráfico de uma função do 1º grau uma reta
b) para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos
c) a reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal e vertical)
d) para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y), consideramos x = 0
e) para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x), consideramos y = 0
Exemplo 1
y = 2x + 6 D = Reais
x y = 2x + 6
0
0
Para x = 0 , temos y = 2 . (0) + 6 = 0 + 6 = 6
Para y = 0 , temos 0 = 2x + 6 , ou seja, –6 = 2x. Portanto, x = –6 : 2 = –3
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11. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
x y = 2x + 6
0 6
-3 0
Exemplo 2
Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
Solução: atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores
correspondentes para y. Uma reta já pode ser traçada a partir de apenas dois
pontos. Então, escolhemos dois ou mais valores quaisquer para substituirmos
no x da equação, obtendo-se para cada valor de x, um valor de y
correspondente à equação. Teremos , a partir daí, um conjunto de pares
ordenados (x;y).
x y=f(x)=x+1
-1 0
1 2
Resolução:
y=f(x)=x+1 com x=-1
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-3
x
6
11
12. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
y=x+1
y=(-1)+1
Y= 0
y=f(x)=x+1 com x=1
y=x+1
y=(1)+1
Y= 2
Portanto, O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-1,0),(1,2)}
Para não restar dúvidas de que você mesmo pode determinar qualquer valor
de x para substituir em uma função para a determinação de uma reta, vamos
escolher dois outros valores quaisquer: que tal x=-2 e x=0? Vamos então fazer
os cálculos e traçar a reta desta próxima função de 1º grau:
Exemplo 3
Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
solução: atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes
para y.
x y=f(x)=-x+1
-2 3
0 1
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13. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Resolução:
y=f(x)=-x+1 com x=-2
y=-x+1
y=-(-2)+1
Y= 2 + 1 =3
y=f(x)=-x+1 com x=0
y=-x+1
y=-(0)+1
Y= 1
Portanto,
O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(0,1)}
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15. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 4 – Razão e Proporção
RAZÃO
Denomina-se razão de dois números, diferentes de zero, o quociente formado
por eles. Sendo assim, suponhamos que em um evento haja 35 pessoas,
sendo 28 destes homens. Observe o cálculo da razão entre número de
estudantes homens e o total de estudantes da sala:
Total de pessoas: 35
Número de homens no evento: 28
Número de mulheres: 7
Razão: 28 = 4 (lê-se: 4 para 5)
35 5
Se quisermos saber a razão entre o número de mulheres e o total de pessoas
no evento, temos:
Razão: 7 = 1 (lê-se: 1 para 5)
35 5
Da mesma forma, podemos determinar a razão entre duas grandezas. Veja as
questões:
a) Paulo possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a
altura do cachorro e a de Paulo?
Altura do cachorro: 40 cm
Altura de Paulo: 1,80 m = 180 centímetros (medida equivalente)
Razão: 40 = 2
180 9
b) Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o
tempo do percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre
100 km num tempo de 2 horas.
Velocidade média (Vm) = espaço percorrido = 100 km = 50 km/h
tempo 2 h
Dica: Perceba que quando duas grandezas diferentes (no caso acima, espaço
e tempo) estabelecem uma razão, esta vem acompanhada de uma unidade de
medida (no caso acima, km/h).
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16. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
PROPORÇÃO
Denomina-se proporção a igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c
e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente
uma proporção se a/b = c/d. Os termos a, b, c e d são chamados de termos da
proporção: a e d são os extremos e b e c os meios. Nas proporções, é valida
a seguinte propriedade:
• O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Exemplo:
a) Calcular o valor de x na proporção abaixo:
6x + 4 = 2
3x – 2 3
(6x + 4) . 3 = (3x – 2) . 2
18x + 12 = 6x – 4
18x – 6x = -12 - 4
12 x = - 16
x = -16 = -4
12 3
b) Uma tradutora recebe R$ 300,00 pela construção de 22 traduções. Se ela
construiu no fim do mês 40 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?
Há duas maneiras de solucionar essa questão: a primeira consiste em, de
forma proporcional, organizar os dados:
300 = x .
22 40
12000 = 22x
x = 12000 = 545,50 (reais)
22
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17. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 5 - Regra de Três Simples
Regra de três
A regra de três é um processo matemático de resolução de problemas de
quatro valores, sendo três destes valores conhecidos e devemos determinar o
quarto valor.
Para resolução deste tipo de problema, montamos uma tabela (em proporção)
e resolvemos a equação, multiplicando em cruz. É importante para cada coluna
da tabela, respeitarmos a unidade de cada uma das delas, ou seja, por
exemplo, valores dados em porcentagem ficam na mesma coluna e valores
dados em outra unidade, como podemos exemplificar, em metros, também
devem respeitar sua coluna.
Vamos à resolução de problemas:
1) Um trem percorre um 200km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto
tempo ele percorrerá 400km?
Montemos uma tabela:
Percurso (km) Tempo (h)
200 2
400 x
Note que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se
aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo trem também aumenta.
Multiplicamos em cruz:
200x = 400. 2
200x = 800
x = 4 hs
Portanto, o trem percorrerá 400km em 4h.
2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo,
dois trabalhadores constroem uma casa?
Nº de trabalhadores Tempo (dias)
4 8
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18. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
2 x
Note que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores
constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para
construir, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o
tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção.
Multiplicando em cruz:
2x = 32
x = 16
Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias.
3) Para fazer uma viagem de 300km, um determinados automóvel gasta
21,9litros de gasolina. Quantos litros de gasolina são necessários para
percorrer 1600km?
Resolução:
O número de Km percorridos e a gasolina consumida são grandezas
diretamente proporcionais.
Podemos utilizar a regra de três simples para resolver o problema.
Km litros
300 21,9
1600 x
Multiplicamos em cruz:
300x = 21,9 x 1600
300x = 35040
x = 116,8 litros
Passos a seguir na regra de três:
1º Observamos se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
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19. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
2º Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos a proporção; se a
grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporção.
3º Feito isso, basta resolver a equação, multiplicando em cruz.
Unidade 6 – Porcentagem
A porcentagem é um cálculo muito utilizado e útil em nosso dia a dia. È
muito comum ouvirmos em nosso cotidiano situações com:
• A carne teve um aumento de 5,4%;
• A Bolsa de valores teve forte alta de 7,5%;
• Promoção: Tudo com 40% de desconto;
• Venda de automóveis com taxa de 1,9%
• Os juros baixaram 0,5%;
• O candidato x obteve 34% dos votos.
• O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de
24%.
• A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de
25% nas compras à vista.
Vamos começar a entender o que é Porcentagem: Toda fração de
denominador 100, representa uma porcentagem. Porcentagem é o valor
obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.
Razão centesimal:
Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
(lê-se 10 por cento)
(lê-se 150 por cento)
Exemplo 1: Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos.
Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
O desconto será de 10% do valor de R$120,00.
Logo:
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20. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
Exemplo 2: Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas.
Qual a quantidade de meninas e de meninos?
A quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um
determinado valor.
Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que
em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser
obtido como o produto de 10% por 80, isto é:
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em
preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.
Alguns exemplos:
• A gasolina teve um aumento de 5%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$5,00
• O cliente recebeu um desconto de 7% em uma compra de uma calça
Jeans.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$ 7,00.
• Em um bar, 60% dos clientes são não fumantes.
Significa que em cada 100 clientes que estão no bar, 60 são não
fumantes.
Razão centesimal
Toda a razão que tem como denominador o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
Considere o seguinte problema:
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21. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Paulo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos Paulo vendeu?
Na solução deste problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o
total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a
um determinado valor.
Exemplos:
• Calcular 10% de 300.
• Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Como calcular porcentagem em uma calculadora?
Vamos a um exemplo: Quanto é 30% de 700?
Digite: 700
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 30
Aperte a tecla de porcentagem: %
O resultado, como pode ser visto, é 210.
Fator multiplicante
Para facilitar o cálculo, quando temos um acréscimo de certa porcentagem
sobre um determinado valor, um acréscimo de, por exemplo, 10%, podemos
calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de
multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por
diante. Veja a tabela a seguir:
Acréscimo ou Fator
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22. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Lucro Multiplicante
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: aumentar 30% no valor de R$10,00. Devemos realizar:
10 * 1,30 = R$ 13,00
No caso de haver um decréscimo ou desconto, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto
Fator
Multiplicante
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 20% no valor de R$10,00 teremos:
1 – 0,2 = 0,8
10 * 0,80 = R$ 8,00
Exemplo 1
Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com
esta um lucro de 17%?
Solução:
100% 555
17 % X
X = 555x17 /100 = 9435/100
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23. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
X = 94,35
Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35
Preço Final: R$ 649,35
Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador:
R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35
Exemplo 2
Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação
financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um
cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto?
100% 15.250
0,7% X
Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador.
O capital principal que é o valor do cheque é :
1 – 0,02 = 0,98 (fator multiplicante)
R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00
Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de
R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$
305,00.
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00
Exemplo 3
(FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um
determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$
126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :
a) 19,5 % b) 20% c) 20,5% d) 21% e) 21,5%
Resolução:
Cenário 1:
1m -------> R$ 5,52
X --------> R$ 126,96
5,52x = 126,96
X = 126,96 / 5,52
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24. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
X = 23 m
Cenário 2:
1m --------> R$ 4,60
X ---------> R$ 126,96
4,60x = 126,96
X = 126,96 / 4,60
X = 27,60
Temos então:
23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)
27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)
23x = 100 x 27,6
23x = 2760
X = 2760 / 23
X = 120%
Desta forma: 120% - 100% = 20%
Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”.
Exemplo 4
Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador
fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
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25. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Exemplo 5
Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00,
qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a
porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos
R$300,00.
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26. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 7 – Progressão Geométrica
Definição:
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência
de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual
ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão
É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu
antecessor multiplicado por um número constante q (razão).
Uma progressão Geométrica pode ser chamada também pelo apelido de P.G.
Veja a sucessão de números abaixo. Dica: esta sucessão é uma Progressão
Geométrica. Vejamos o que é um P.G:
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ...,2621440
Observe o seguinte: Cada número é o dobro do número que vem antes. Veja:
10 é o dobro de 5
20 é o dobro de 10
40 é o dobro de 20
80 é o dobro de 40
160 é o dobro de 80
e assim por diante.
A divisão de qualquer um dos número da Sucessão pelo número que vem
antes (que se chama antecessor), dá como resultado o mesmo número que
neste nosso caso é o número 2.
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ..., 2.621440
Quando temos uma sucessão onde ocorre esta propriedade, dizemos que esta
sucessão é uma Progressão Geométrica ou, como já vimos, simplesmente uma
P.G
Obs: O resultado da divisão de qualquer um dos termos pelo seu antecessor (o
que vem antes) é a razão da P.G
Exemplos:
(2, 4, 8, 16)
4 = 2.2
8 = 4.2 →a razão é 2.
16 = 8.2
(3, 9, 27, 81)
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27. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
9 = 3.3
27 = 9.3 →a razão é 3.
81 = 27.3
(1, 2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de razão 2
(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de razão 1
(100, 50, 25,...) é uma PG de razão 1/2
(2, -6, 18, -54, 162, ...) é uma PG de razão -3
Fórmula do Termo Geral:
A fórmula do termo geral da P.G. assim como da P.A. permite-nos determinar
um termo qualquer da P.G., sem precisar escrevê-la completamente,
conhecendo apenas o primeiro termo e a razão da progressão geométrica.
an = a1 . qn - 1
Na fórmula:
an = termo geral;
a1 = primeiro termo;
q = razão;
n = número de termos.
10 20 40 80 160 320 ... 2.621440
a1 a2 a3 a3 a4 a5 a6 ... an
Observe que cada termo da sucessão tem um uma posição. Assim, o 5 é o
primeiro elemento que chamamos de a1.
O 10 é o segundo elemento, que chamamos de a2
O 20 é o terceiro elemento, que chamamos de a3 e assim por diante.
O último elemento é o 2.621440 que chamamos sempre de an
Propriedades Principais
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28. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente
anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2
= A . C ; C2
= B . D ; D2
= C . E ; E2
= D . F etc.
P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2
Exemplo 1
Achar o sexto termo da PG (1, 4...).
Solução:
a1 = 1, q = 4 e n = 6
an = a1 . qn-1
a6 = 1 . 46 - 1
a6 = 1 024
Exemplo 2
Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2,
q = 4/2 = 8/4 = ... = 2.
Para calcular o décimo termo, ou seja, a10, utilizamos a fórmula Geral:
a10 = a1 . q9
= 2 . 29
= 2. 512 = 1024
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
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29. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Da mesma forma que em P.A., inserir k meios geométricos entre dois termos
extremos a e b de uma P.G. significa obter uma P.G. com k + 2 termos.
Exemplo 3
Interpole quatro meios geométricos entre 4 e 128.
Exemplo 4
Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo
é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320.
Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4
.
Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4
=16
portanto q = 2.
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA
A soma dos termos de uma progressão geométrica de n termos é dada por:
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30. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Observação – Para uma P. G. constante (q = 1), a soma dos n termos é dada
por: Sn = n . a1
Exemplo 5
Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (1, 3, 9, 27, 81...).
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
Neste tópico, observaremos que para um número infinito de termos, o último
termo tenderá a se anular.
A soma dos infinitos termos dessa P. G. é dada por:
Exemplo 6
Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4...).
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31. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Solução:
Temos: a1 = 2 , q = 1/2
A soma dos termos dessa P. G. infinita é:
Referências bibliográficas:
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32. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
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