SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 32
Ciências Contábeis
Disciplina : Matemática Básica para Contadores
Professora Maria Ester Domingues de Oliveira
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Parte I
2009/1 2
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 1 - Números Reais: representações
O principal motivo para que a maioria dos cursos de Cálculo comecem por um
breve estudo dos números reais é o fato de no Cálculo e na Análise, estuda-se
o comportamento de funções e o comportamento de uma função depende dos
três elementos importantes que a compõem: números Reais, números
Racionais e números irracionais.
Representação do conjunto dos números reais
Para entendermos os números Reais, deveremos primeiro estudar os números,
racionais e os números irracionais, uma vez que o mesmo é composto por
estes dois conjuntos numéricos.
R = Q U I
Os números reais são números usados para representar uma quantidade
contínua (incluindo o zero e os negativos).
Números Naturais (N)
O conjunto de números naturais é representado pela letra N e é compostos por
números inteiros e positivos, além do zero. É indicado por:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais, sem o zero:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, é o conjunto dos
números naturais acrescido dos seus opostos negativos. Pode-se dizer que os
números inteiros expressam quantidades (inteiros positivos) e a "falta" de
quantidades (inteiros negativos).
2009/1 3
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
O Conjunto dos Números Inteiros é indicado por Z:
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero,
ou seja:
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N
é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z:
N ⊂ Z
Alguns números inteiros apresentam uma série de características que os
diferenciam de outros inteiros e que torna possível agrupá-los em
subconjuntos. Veja alguns exemplos:
Números Primos
São chamados de primos os inteiros diferentes 1 que só são divisíveis por 1 e
por ele mesmo
ex: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, etc.
Números Racionais (Q)
Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos
um número racional. Todo número racional sempre é representado por uma
parte inteira e por uma parte fracionária, a / b, Por exemplo:
Se a=6 e b=2, obtemos o número racional 3,0.
Se a=1 e b=2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de
casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata.
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por
exemplo, a=1 e b=8 nos dá o número racional 0,666666... É a chamada dízima
periódica.
Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números
inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros.
Q = {a/b | a Z e b Z*}, ou seja, o denominador deve sempre ser diferente de
zero.
O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o
2009/1 4
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
zero:
Q* = Q - {0}
Como todos os números inteiros também são números racionais, dizemos que
Z é um subconjunto de Q ou que Z está contido em Q:
Z ⊂ Q
E, como já foi visto acima, todos os números naturais também são números
inteiros. Então,
N ⊂ Z ⊂ Q
Números Irracionais (I)
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com
infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente, obtemos
um número chamado de irracional. Não é possível situar um número irracional
como um ponto numa reta.
O número irracional mais famoso é o pi (π), inicial da palavra grega que
significa periferia, circunferência. Nos dias de hoje, já são conhecidos mais de
1 bilhão de casas após a vírgula para este número graças aos computadores e
matemáticos de nossa época (π = 3.1415926535897932384626433832795...)
Números Reais (R)
Como já foi dito anteriormente, o conjunto formado por todos os números
racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R.
Como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro é racional e
como todo número racional é real, temos:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja,
R* = R - {0}
2009/1 5
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 2 - Expressões Literais
Expressões Literais, também chamadas de expressões algébricas, são
expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. Por
exemplo:
A = 5a+3b
B = (8c+4)-2
C = 15c+4a
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor
de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão Literal
Observações quanto à prioridade:
1º Deve-se sempre realizar a operação que estiver dentro dos
parênteses, colchetes ou chaves.
2º A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes
sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por
valores negativos
Também devem ser obedecidas algumas propriedades em uma expressão
Literal, onde devemos obedecer a seguinte ordem das operações:
1º Resolver primeiro Potenciação ou Radiciação;
2º a seguir, as Multiplicações ou Divisões;
3º então será a vez das Adições ou Subtrações.
Exemplo 1
Consideremos : T=2B+15 e tomemos B=5. Assim,
T = 2.5+15 = 10+15 = 25
2009/1 6
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Aqui B é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 25
é o valor numérico da expressão indicada por T. Observe que ao mudar
o valor de B para 15, teremos:
T = 2.15 + 15 = 30 + 15 = 45
Se B=15, o valor numérico de T=2B+15 é igual a 45.
Exemplo 2
Seja P = 3C-5+B+7 e tomemos C=5 e B=2. Assim:
P = 3.5- 5+2+7 = 15-5+2+7 = 19
Se C=5 e B=2, o valor numérico de P = 3C-5+B+7, muda para 19.
Exemplo 3
Seja Y=20-W+10+Q+8W, onde W = -2 e Q=1. Então:
Y = 20-(-2)+10+1+8(-2) = 20+2+10+1-16 = 33-16 = 17
Se W = -2 e Q=1, o valor numérico de Y=20-W+10+Q+8W é 17
Exemplo 4
Consideremos Q=2T+10 e tomemos T=5. Assim
Q = 2(5) + 10
Q = 10 + 10
Q = 20
Aqui T é a variável da expressão, sendo 5 é o valor numérico da variável
e 20 é o valor numérico da expressão indicada por Q. Observe que ao
mudar o valor de Q para 9, teremos:
Q = 2(9) + 10
Q = 18 + 10
Q = 28
Quando T=9, o valor numérico de Q=2T+10 é igual a 28.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na
expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
2009/1 7
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 3 - Função do 1º Grau
Definição
Chama-se função do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em
IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados
e a ≠ 0.
Também podemos representar a função de 1º grau da seguinte forma:
y = f(x) , portanto
y = ax + b
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular ou
coeficiente de x e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear.
Veja alguns exemplos de funções do 1º grau:
f(x) = 8x - 2, onde a = 8 e b = - 2
f(x) = -5x - 4, onde a = -5 e b = - 4
f(x) = 9x, onde a = 9 e b = 0
Exemplo 1
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é
dada pela equação: Q = 100 – 4p. Determinar a quantidade de produtos
vendidos para p = R$ 15,00.
Solução:
Q = 100 – 4p para p=R$15,00
Q = 100 – 4(15)
Q = 40
ou seja, quando o preço estabelecido pelo produto do modelo for de R$15,00, a
quantidade de produtos vendidos será de 40 unidades.
E
Exemplo 2
A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é
dada pela equação: Q = 80 – 2p. Determinar a quantidade de produtos
vendidos para p = R$ 10,00.
Solução:
2009/1 8
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Q = 80 – 2p para p = R$ 10,00
Q = 80 – 2(10)
Q = 60
ou seja, quando o preço estabelecido pelo produto do modelo for de R$10,00, a
quantidade de produtos vendidos será de 60 unidades.
Exemplo 3
O custo total de produção de um determinado bem consiste em um custo fixo
de R$ 300,00 somado a um custo variável de R$ 120,00 a unidade produzida.
A “lei”, “fórmula” ou “modelo” que representa a relação existente entre o custo
total de produção (C) e a quantidade de bens produzidos (q) desta produção:
C = 300 + 120.q
Qual o Custo Total de produção deste bem se forem produzidos 80 bens?
Solução:
C = 300 + 120q
C = 300 + 120(80)
C = 300 + 9600
C = R$ 9900,00
Gráficos de uma função de 1º grau crescente e decrescente
Função Crescente
Quando na função y = ax+ b o coeficiente angular a > 0, ou seja, for positivo,
teremos um gráfico chamado crescente, onde quando x aumenta de valor, y
também aumenta de valor
.y = x+1 ( a> 0 ) ;
2009/1 9
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
A função é considerada crescente, pois conforme os valores de x crescem, os
valores de y crescem também.
Função Decrescente
Porém, quando na função y = ax+ b o coeficiente angular a < 0, ou seja, for
negativo, teremos um gráfico chamado decrescente, onde quando x aumenta
de valor, y diminui de valor.
y = -x+1 ( a<0)
A função é considerada decrescente, pois a medida que os valores de x
crescem, os valores de y decrescem.
Observações para uma função do 1º grau:
a) O gráfico de uma função do 1º grau uma reta
b) para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos
c) a reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal e vertical)
d) para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y), consideramos x = 0
e) para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x), consideramos y = 0
Exemplo 1
y = 2x + 6 D = Reais
x y = 2x + 6
0
0
Para x = 0 , temos y = 2 . (0) + 6 = 0 + 6 = 6
Para y = 0 , temos 0 = 2x + 6 , ou seja, –6 = 2x. Portanto, x = –6 : 2 = –3
2009/1 10
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
x y = 2x + 6
0 6
-3 0
Exemplo 2
Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
Solução: atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores
correspondentes para y. Uma reta já pode ser traçada a partir de apenas dois
pontos. Então, escolhemos dois ou mais valores quaisquer para substituirmos
no x da equação, obtendo-se para cada valor de x, um valor de y
correspondente à equação. Teremos , a partir daí, um conjunto de pares
ordenados (x;y).
x y=f(x)=x+1
-1 0
1 2
Resolução:
y=f(x)=x+1 com x=-1
2009/1
-3
x
6
11
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
y=x+1
y=(-1)+1
Y= 0
y=f(x)=x+1 com x=1
y=x+1
y=(1)+1
Y= 2
Portanto, O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-1,0),(1,2)}
Para não restar dúvidas de que você mesmo pode determinar qualquer valor
de x para substituir em uma função para a determinação de uma reta, vamos
escolher dois outros valores quaisquer: que tal x=-2 e x=0? Vamos então fazer
os cálculos e traçar a reta desta próxima função de 1º grau:
Exemplo 3
Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
solução: atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes
para y.
x y=f(x)=-x+1
-2 3
0 1
2009/1 12
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Resolução:
y=f(x)=-x+1 com x=-2
y=-x+1
y=-(-2)+1
Y= 2 + 1 =3
y=f(x)=-x+1 com x=0
y=-x+1
y=-(0)+1
Y= 1
Portanto,
O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(0,1)}
2009/1 13
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Parte II
2009/1 14
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 4 – Razão e Proporção
RAZÃO
Denomina-se razão de dois números, diferentes de zero, o quociente formado
por eles. Sendo assim, suponhamos que em um evento haja 35 pessoas,
sendo 28 destes homens. Observe o cálculo da razão entre número de
estudantes homens e o total de estudantes da sala:
Total de pessoas: 35
Número de homens no evento: 28
Número de mulheres: 7
Razão: 28 = 4 (lê-se: 4 para 5)
35 5
Se quisermos saber a razão entre o número de mulheres e o total de pessoas
no evento, temos:
Razão: 7 = 1 (lê-se: 1 para 5)
35 5
Da mesma forma, podemos determinar a razão entre duas grandezas. Veja as
questões:
a) Paulo possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a
altura do cachorro e a de Paulo?
Altura do cachorro: 40 cm
Altura de Paulo: 1,80 m = 180 centímetros (medida equivalente)
Razão: 40 = 2
180 9
b) Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o
tempo do percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre
100 km num tempo de 2 horas.
Velocidade média (Vm) = espaço percorrido = 100 km = 50 km/h
tempo 2 h
Dica: Perceba que quando duas grandezas diferentes (no caso acima, espaço
e tempo) estabelecem uma razão, esta vem acompanhada de uma unidade de
medida (no caso acima, km/h).
2009/1 15
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
PROPORÇÃO
Denomina-se proporção a igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c
e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente
uma proporção se a/b = c/d. Os termos a, b, c e d são chamados de termos da
proporção: a e d são os extremos e b e c os meios. Nas proporções, é valida
a seguinte propriedade:
• O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Exemplo:
a) Calcular o valor de x na proporção abaixo:
6x + 4 = 2
3x – 2 3
(6x + 4) . 3 = (3x – 2) . 2
18x + 12 = 6x – 4
18x – 6x = -12 - 4
12 x = - 16
x = -16 = -4
12 3
b) Uma tradutora recebe R$ 300,00 pela construção de 22 traduções. Se ela
construiu no fim do mês 40 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu?
Há duas maneiras de solucionar essa questão: a primeira consiste em, de
forma proporcional, organizar os dados:
300 = x .
22 40
12000 = 22x
x = 12000 = 545,50 (reais)
22
2009/1 16
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 5 - Regra de Três Simples
Regra de três
A regra de três é um processo matemático de resolução de problemas de
quatro valores, sendo três destes valores conhecidos e devemos determinar o
quarto valor.
Para resolução deste tipo de problema, montamos uma tabela (em proporção)
e resolvemos a equação, multiplicando em cruz. É importante para cada coluna
da tabela, respeitarmos a unidade de cada uma das delas, ou seja, por
exemplo, valores dados em porcentagem ficam na mesma coluna e valores
dados em outra unidade, como podemos exemplificar, em metros, também
devem respeitar sua coluna.
Vamos à resolução de problemas:
1) Um trem percorre um 200km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto
tempo ele percorrerá 400km?
Montemos uma tabela:
Percurso (km) Tempo (h)
200 2
400 x
Note que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se
aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo trem também aumenta.
Multiplicamos em cruz:
200x = 400. 2
200x = 800
x = 4 hs
Portanto, o trem percorrerá 400km em 4h.
2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo,
dois trabalhadores constroem uma casa?
Nº de trabalhadores Tempo (dias)
4 8
2009/1 17
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
2 x
Note que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores
constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para
construir, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o
tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção.
Multiplicando em cruz:
2x = 32
x = 16
Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias.
3) Para fazer uma viagem de 300km, um determinados automóvel gasta
21,9litros de gasolina. Quantos litros de gasolina são necessários para
percorrer 1600km?
Resolução:
O número de Km percorridos e a gasolina consumida são grandezas
diretamente proporcionais.
Podemos utilizar a regra de três simples para resolver o problema.
Km litros
300 21,9
1600 x
Multiplicamos em cruz:
300x = 21,9 x 1600
300x = 35040
x = 116,8 litros
Passos a seguir na regra de três:
1º Observamos se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais.
2009/1 18
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
2º Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos a proporção; se a
grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporção.
3º Feito isso, basta resolver a equação, multiplicando em cruz.
Unidade 6 – Porcentagem
A porcentagem é um cálculo muito utilizado e útil em nosso dia a dia. È
muito comum ouvirmos em nosso cotidiano situações com:
• A carne teve um aumento de 5,4%;
• A Bolsa de valores teve forte alta de 7,5%;
• Promoção: Tudo com 40% de desconto;
• Venda de automóveis com taxa de 1,9%
• Os juros baixaram 0,5%;
• O candidato x obteve 34% dos votos.
• O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de
24%.
• A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de
25% nas compras à vista.
Vamos começar a entender o que é Porcentagem: Toda fração de
denominador 100, representa uma porcentagem. Porcentagem é o valor
obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor.
Razão centesimal:
Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
(lê-se 10 por cento)
(lê-se 150 por cento)
Exemplo 1: Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos.
Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?
O desconto será de 10% do valor de R$120,00.
Logo:
2009/1 19
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.
Exemplo 2: Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas.
Qual a quantidade de meninas e de meninos?
A quantidade de meninas será:
E a de meninos será: 100 - 40 = 60.
Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um
determinado valor.
Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100).
Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que
em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser
obtido como o produto de 10% por 80, isto é:
É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em
preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.
Alguns exemplos:
• A gasolina teve um aumento de 5%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$5,00
• O cliente recebeu um desconto de 7% em uma compra de uma calça
Jeans.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$ 7,00.
• Em um bar, 60% dos clientes são não fumantes.
Significa que em cada 100 clientes que estão no bar, 60 são não
fumantes.
Razão centesimal
Toda a razão que tem como denominador o número 100 denomina-se razão
centesimal. Alguns exemplos:
Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:
Considere o seguinte problema:
2009/1 20
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Paulo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos Paulo vendeu?
Na solução deste problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o
total de cavalos.
Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.
Portanto, chegamos a seguinte definição:
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a
um determinado valor.
Exemplos:
• Calcular 10% de 300.
• Calcular 25% de 200kg.
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.
Como calcular porcentagem em uma calculadora?
Vamos a um exemplo: Quanto é 30% de 700?
Digite: 700
Aperte a tecla de multiplicação: X
Digitem: 30
Aperte a tecla de porcentagem: %
O resultado, como pode ser visto, é 210.
Fator multiplicante
Para facilitar o cálculo, quando temos um acréscimo de certa porcentagem
sobre um determinado valor, um acréscimo de, por exemplo, 10%, podemos
calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de
multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por
diante. Veja a tabela a seguir:
Acréscimo ou Fator
2009/1 21
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Lucro Multiplicante
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: aumentar 30% no valor de R$10,00. Devemos realizar:
10 * 1,30 = R$ 13,00
No caso de haver um decréscimo ou desconto, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
Desconto
Fator
Multiplicante
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 20% no valor de R$10,00 teremos:
1 – 0,2 = 0,8
10 * 0,80 = R$ 8,00
Exemplo 1
Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com
esta um lucro de 17%?
Solução:
100% 555
17 % X
X = 555x17 /100 = 9435/100
2009/1 22
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
X = 94,35
Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35
Preço Final: R$ 649,35
Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador:
R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35
Exemplo 2
Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação
financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um
cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto?
100% 15.250
0,7% X
Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador.
O capital principal que é o valor do cheque é :
1 – 0,02 = 0,98 (fator multiplicante)
R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00
Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de
R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$
305,00.
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00
Exemplo 3
(FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um
determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$
126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de :
a) 19,5 % b) 20% c) 20,5% d) 21% e) 21,5%
Resolução:
Cenário 1:
1m -------> R$ 5,52
X --------> R$ 126,96
5,52x = 126,96
X = 126,96 / 5,52
2009/1 23
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
X = 23 m
Cenário 2:
1m --------> R$ 4,60
X ---------> R$ 126,96
4,60x = 126,96
X = 126,96 / 4,60
X = 27,60
Temos então:
23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior)
27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor)
23x = 100 x 27,6
23x = 2760
X = 2760 / 23
X = 120%
Desta forma: 120% - 100% = 20%
Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”.
Exemplo 4
Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas,
transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador
fez?
Portanto o jogador fez 6 gols de falta.
2009/1 24
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Exemplo 5
Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00,
qual a taxa percentual de lucro obtida?
Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a
porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos
R$300,00.
2009/1 25
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Unidade 7 – Progressão Geométrica
Definição:
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência
de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual
ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão
É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu
antecessor multiplicado por um número constante q (razão).
Uma progressão Geométrica pode ser chamada também pelo apelido de P.G.
Veja a sucessão de números abaixo. Dica: esta sucessão é uma Progressão
Geométrica. Vejamos o que é um P.G:
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ...,2621440
Observe o seguinte: Cada número é o dobro do número que vem antes. Veja:
10 é o dobro de 5
20 é o dobro de 10
40 é o dobro de 20
80 é o dobro de 40
160 é o dobro de 80
e assim por diante.
A divisão de qualquer um dos número da Sucessão pelo número que vem
antes (que se chama antecessor), dá como resultado o mesmo número que
neste nosso caso é o número 2.
5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ..., 2.621440
Quando temos uma sucessão onde ocorre esta propriedade, dizemos que esta
sucessão é uma Progressão Geométrica ou, como já vimos, simplesmente uma
P.G
Obs: O resultado da divisão de qualquer um dos termos pelo seu antecessor (o
que vem antes) é a razão da P.G
Exemplos:
(2, 4, 8, 16)
4 = 2.2
8 = 4.2 →a razão é 2.
16 = 8.2
(3, 9, 27, 81)
2009/1 26
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
9 = 3.3
27 = 9.3 →a razão é 3.
81 = 27.3
(1, 2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de razão 2
(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de razão 1
(100, 50, 25,...) é uma PG de razão 1/2
(2, -6, 18, -54, 162, ...) é uma PG de razão -3
Fórmula do Termo Geral:
A fórmula do termo geral da P.G. assim como da P.A. permite-nos determinar
um termo qualquer da P.G., sem precisar escrevê-la completamente,
conhecendo apenas o primeiro termo e a razão da progressão geométrica.
an = a1 . qn - 1
Na fórmula:
an = termo geral;
a1 = primeiro termo;
q = razão;
n = número de termos.
10 20 40 80 160 320 ... 2.621440
a1 a2 a3 a3 a4 a5 a6 ... an
Observe que cada termo da sucessão tem um uma posição. Assim, o 5 é o
primeiro elemento que chamamos de a1.
O 10 é o segundo elemento, que chamamos de a2
O 20 é o terceiro elemento, que chamamos de a3 e assim por diante.
O último elemento é o 2.621440 que chamamos sempre de an
Propriedades Principais
2009/1 27
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente
anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2
= A . C ; C2
= B . D ; D2
= C . E ; E2
= D . F etc.
P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2
Exemplo 1
Achar o sexto termo da PG (1, 4...).
Solução:
a1 = 1, q = 4 e n = 6
an = a1 . qn-1
a6 = 1 . 46 - 1
a6 = 1 024
Exemplo 2
Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2,
q = 4/2 = 8/4 = ... = 2.
Para calcular o décimo termo, ou seja, a10, utilizamos a fórmula Geral:
a10 = a1 . q9
= 2 . 29
= 2. 512 = 1024
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
2009/1 28
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Da mesma forma que em P.A., inserir k meios geométricos entre dois termos
extremos a e b de uma P.G. significa obter uma P.G. com k + 2 termos.
Exemplo 3
Interpole quatro meios geométricos entre 4 e 128.
Exemplo 4
Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo
é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320.
Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4
.
Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4
=16
portanto q = 2.
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA
A soma dos termos de uma progressão geométrica de n termos é dada por:
2009/1 29
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Observação – Para uma P. G. constante (q = 1), a soma dos n termos é dada
por: Sn = n . a1
Exemplo 5
Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (1, 3, 9, 27, 81...).
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
Neste tópico, observaremos que para um número infinito de termos, o último
termo tenderá a se anular.
A soma dos infinitos termos dessa P. G. é dada por:
Exemplo 6
Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4...).
2009/1 30
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
Solução:
Temos: a1 = 2 , q = 1/2
A soma dos termos dessa P. G. infinita é:
Referências bibliográficas:
2009/1 31
Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira
BONORA JR, D. ; BARONE, M. A. et al. Matemática: Complementos e
Aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, Administração e Economia. 4ª
Edição São Paulo: Ícone 2006
SILVA, S. M. , E. M. Matemática: para os cursos de economia, administração,
ciências contábeis. Vol 1. São Paulo: Atlas, 1999.
SILVA, S. M. , E. M, SILVA. Matemática Básica para Cursos Superiores.
Editora Atlas, São Paulo, 2002
HARIKI, S., ABDOUNUR, O.J. Matemática Aplicada: Administração, Economia,
Contabilidade. São Paulo Saraiva 1999
SILVA, S. M. , E. M. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo:
Atlas, 2002.
ABDONOUR, O João. Matemática – Estudo e Ensino I. São Paulo
ABDONOUR, O João, HARIKI,S. - Matemática Aplicada – administração ,
economia e Contabilidade. Editora Saraiva, 2003 - São Paulo
Teixeira, J; Pierro, S. Matemática Financeira – Makron Books 1998IFRAH,
Georges. História Universal dos Algarismos, tomo 2. Ed. Nova Fronteira, Rio de
Janeiro 1997. ISBN 85-209-1046-7 SILVA, S. M. , E. M. Matemática: para os
cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol 1. São Paulo:
Atlas, 1999SILVA, S. M. , E. M. Matemática Básica para Cursos Superiores.
São Paulo: Atlas, 2002 ZANINI, R. lista de exercícios de Matemática. São
Paulo, 2007GIOVANNI, J.R.;BONJORNO, J.R. Matemática: uma nova
abordagem.Vol. 1: versão progressões. São Paulo: FTD, 2000ZANINI, R.
Apostila SEPI (Administração de Empresas): Matemática. São Paulo,2007
Danielle de Miranda Graduada em Matemática-Equipe Brasil Escola -
www.brasilescola.com
Wikipedia - http://pt.wikipedia.org
www.somatematica.com.b
http://pessoal.sercomtel.com.br/
www.exatas.mat.br/
www.portaltosabendo.com.br
www.colegioweb.com.br
http://www.interaula.com
2009/1 32

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Unprotected apostila-matematica
Unprotected apostila-matematicaUnprotected apostila-matematica
Unprotected apostila-matematica
J M
 
Apostila mb cefet
Apostila mb cefetApostila mb cefet
Apostila mb cefet
comentada
 
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematicaExercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
trigono_metria
 
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Apostila de matemática i   apostila específica para o concurso da prefeitura ...Apostila de matemática i   apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Iracema Vasconcellos
 
Resumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º AnoResumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º Ano
nescalda
 
Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
matheuslw
 

Mais procurados (20)

Unprotected apostila-matematica
Unprotected apostila-matematicaUnprotected apostila-matematica
Unprotected apostila-matematica
 
Apostila Matematica Básica Parte 2
Apostila Matematica Básica Parte 2Apostila Matematica Básica Parte 2
Apostila Matematica Básica Parte 2
 
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
Apostila CBTU-Raciocínio Lógico-Part#3
 
Apostila mb cefet
Apostila mb cefetApostila mb cefet
Apostila mb cefet
 
Apostila CBTU - Matemática - Part#4
Apostila CBTU - Matemática - Part#4Apostila CBTU - Matemática - Part#4
Apostila CBTU - Matemática - Part#4
 
Apostila de matematica para concursos
Apostila de matematica para concursosApostila de matematica para concursos
Apostila de matematica para concursos
 
Teoria do números - Classificações especiais
Teoria do números - Classificações especiaisTeoria do números - Classificações especiais
Teoria do números - Classificações especiais
 
Apostila eja-matematica-basica-medio-2012
Apostila eja-matematica-basica-medio-2012Apostila eja-matematica-basica-medio-2012
Apostila eja-matematica-basica-medio-2012
 
Matematica7 numeros racionais_e_introducao_a_algebra
Matematica7 numeros racionais_e_introducao_a_algebraMatematica7 numeros racionais_e_introducao_a_algebra
Matematica7 numeros racionais_e_introducao_a_algebra
 
Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos Numéricos
Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos NuméricosGeometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos Numéricos
Geometriamar - Prof. Marcelo Lopes - 001 - Conjuntos Numéricos
 
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematicaExercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
 
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Apostila de matemática i   apostila específica para o concurso da prefeitura ...Apostila de matemática i   apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...
 
Polinomios
PolinomiosPolinomios
Polinomios
 
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
 
Resumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º AnoResumo EquaçõEs 8º Ano
Resumo EquaçõEs 8º Ano
 
Matematica aplicada
Matematica aplicadaMatematica aplicada
Matematica aplicada
 
Matemática
MatemáticaMatemática
Matemática
 
Revisão de polinômios
Revisão de polinômiosRevisão de polinômios
Revisão de polinômios
 
www.aulasapoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
www.aulasapoio.com  - Matemática -  Conjuntos Numéricoswww.aulasapoio.com  - Matemática -  Conjuntos Numéricos
www.aulasapoio.com - Matemática - Conjuntos Numéricos
 
Conjuntos numericos 6
Conjuntos numericos 6Conjuntos numericos 6
Conjuntos numericos 6
 

Semelhante a Apostila de-matemática-ester-parte-i

+Números inteiros operações e propriedades
+Números inteiros   operações e propriedades+Números inteiros   operações e propriedades
+Números inteiros operações e propriedades
Camila Rodrigues
 
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaConjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Antonio Carneiro
 
Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau
Conjunto E EquaçãO Do 2º GrauConjunto E EquaçãO Do 2º Grau
Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau
guest47023a
 
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaConjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Antonio Carneiro
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
PROFESSOR FABRÍCIO
 

Semelhante a Apostila de-matemática-ester-parte-i (20)

Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricosConjuntos numéricos
Conjuntos numéricos
 
1 numeros reais1.ppt
1 numeros reais1.ppt1 numeros reais1.ppt
1 numeros reais1.ppt
 
+Números inteiros operações e propriedades
+Números inteiros   operações e propriedades+Números inteiros   operações e propriedades
+Números inteiros operações e propriedades
 
Apostila de-2013
Apostila de-2013Apostila de-2013
Apostila de-2013
 
Matemática bom! 2008
Matemática bom! 2008Matemática bom! 2008
Matemática bom! 2008
 
Matemática bom!
Matemática bom! Matemática bom!
Matemática bom!
 
Matemática básica
Matemática básicaMatemática básica
Matemática básica
 
CONJUNTOS E FUNÇÕES.pdf
CONJUNTOS E FUNÇÕES.pdfCONJUNTOS E FUNÇÕES.pdf
CONJUNTOS E FUNÇÕES.pdf
 
Funções
FunçõesFunções
Funções
 
Conjuntos numéricos versão mini
Conjuntos numéricos   versão miniConjuntos numéricos   versão mini
Conjuntos numéricos versão mini
 
Mat numeros racionais
Mat numeros racionaisMat numeros racionais
Mat numeros racionais
 
Apostila teoria - 2013 - 60
Apostila   teoria - 2013 - 60Apostila   teoria - 2013 - 60
Apostila teoria - 2013 - 60
 
Matematica 2015
Matematica 2015Matematica 2015
Matematica 2015
 
1. conjuntos
1. conjuntos1. conjuntos
1. conjuntos
 
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaConjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
 
Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau
Conjunto E EquaçãO Do 2º GrauConjunto E EquaçãO Do 2º Grau
Conjunto E EquaçãO Do 2º Grau
 
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo AindaConjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
Conjunto,Potencias E Eq.2º Gr. Para 7ª E 8ª Estou Fazendo Ainda
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre7ª SéRie   MatemáTica   1º Semestre
7ª SéRie MatemáTica 1º Semestre
 
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
Prova de Matemática fuzileiro naval 2011
 

Mais de Claudia Sá de Moura

Earl swokowski cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª edição
Earl swokowski   cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª ediçãoEarl swokowski   cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª edição
Earl swokowski cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª edição
Claudia Sá de Moura
 
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
Claudia Sá de Moura
 

Mais de Claudia Sá de Moura (17)

Introducaoaeconomia
IntroducaoaeconomiaIntroducaoaeconomia
Introducaoaeconomia
 
Direito e economia globalizada
Direito e economia globalizadaDireito e economia globalizada
Direito e economia globalizada
 
Introdução à economia troster e monchón cap 17
Introdução à economia troster e monchón cap 17Introdução à economia troster e monchón cap 17
Introdução à economia troster e monchón cap 17
 
Introdução à economia troster e monchón cap 3
Introdução à economia troster e monchón cap 3Introdução à economia troster e monchón cap 3
Introdução à economia troster e monchón cap 3
 
Introdução à economia troster e monchón cap 20
Introdução à economia troster e monchón cap 20Introdução à economia troster e monchón cap 20
Introdução à economia troster e monchón cap 20
 
Introdução à economia troster e monchón cap 2
Introdução à economia troster e monchón cap 2Introdução à economia troster e monchón cap 2
Introdução à economia troster e monchón cap 2
 
Introdução à economia troster e monchón cap 21
Introdução à economia troster e monchón cap 21Introdução à economia troster e monchón cap 21
Introdução à economia troster e monchón cap 21
 
Introdução à economia troster e monchón cap 1
Introdução à economia troster e monchón cap 1Introdução à economia troster e monchón cap 1
Introdução à economia troster e monchón cap 1
 
001 belingieri-economia periodo-militar
001 belingieri-economia periodo-militar001 belingieri-economia periodo-militar
001 belingieri-economia periodo-militar
 
Resolução leithold - vol. 01 e 02
Resolução   leithold - vol. 01 e 02Resolução   leithold - vol. 01 e 02
Resolução leithold - vol. 01 e 02
 
Matematica aplicada-apostila
Matematica aplicada-apostilaMatematica aplicada-apostila
Matematica aplicada-apostila
 
Matematica basica 2_edicao_nacional_versao_online
Matematica basica 2_edicao_nacional_versao_onlineMatematica basica 2_edicao_nacional_versao_online
Matematica basica 2_edicao_nacional_versao_online
 
Matemática aplicada
Matemática aplicadaMatemática aplicada
Matemática aplicada
 
Matemática (livro)
Matemática (livro)Matemática (livro)
Matemática (livro)
 
Earl swokowski cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª edição
Earl swokowski   cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª ediçãoEarl swokowski   cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª edição
Earl swokowski cálculo com geometria analítica - vol. 1 - 2ª edição
 
Apostila economia i
Apostila economia iApostila economia i
Apostila economia i
 
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2Apostila unijuí   matemática aplicada à administração 2
Apostila unijuí matemática aplicada à administração 2
 

Último

1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
aulasgege
 

Último (20)

EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptxEBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
EBPAL_Serta_Caminhos do Lixo final 9ºD (1).pptx
 
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
1. Aula de sociologia - 1º Ano - Émile Durkheim.pdf
 
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...
UFCD_9184_Saúde, nutrição, higiene, segurança, repouso e conforto da criança ...
 
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
APH- Avaliação de cena , analise geral do ambiente e paciente.
 
Testes de avaliação português 6º ano .pdf
Testes de avaliação português 6º ano .pdfTestes de avaliação português 6º ano .pdf
Testes de avaliação português 6º ano .pdf
 
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptxEB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
EB1 Cumeada Co(n)Vida à Leitura - Livros à Solta_Serta.pptx
 
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdfApostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
Apostila-Letramento-e-alfabetização-2.pdf
 
Alemanha vs União Soviética - Livro de Adolf Hitler
Alemanha vs União Soviética - Livro de Adolf HitlerAlemanha vs União Soviética - Livro de Adolf Hitler
Alemanha vs União Soviética - Livro de Adolf Hitler
 
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamenteDescrever e planear atividades imersivas estruturadamente
Descrever e planear atividades imersivas estruturadamente
 
Slides Lição 8, CPAD, Confessando e Abandonando o Pecado.pptx
Slides Lição 8, CPAD, Confessando e Abandonando o Pecado.pptxSlides Lição 8, CPAD, Confessando e Abandonando o Pecado.pptx
Slides Lição 8, CPAD, Confessando e Abandonando o Pecado.pptx
 
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantilPower Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
Power Point sobre as etapas do Desenvolvimento infantil
 
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSFormação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
 
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã""Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
"Nós Propomos! Mobilidade sustentável na Sertã"
 
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º anoNós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
Nós Propomos! Sertã 2024 - Geografia C - 12º ano
 
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos AnimaisNós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
Nós Propomos! Canil/Gatil na Sertã - Amigos dos Animais
 
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - materialFUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
FUNDAMENTOS DA PSICOPEDAGOGIA - material
 
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdf
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdfo-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdf
o-homem-que-calculava-malba-tahan-1_123516.pdf
 
transcrição fonética para aulas de língua
transcrição fonética para aulas de línguatranscrição fonética para aulas de língua
transcrição fonética para aulas de língua
 
Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja
 
As teorias de Lamarck e Darwin para alunos de 8ano.ppt
As teorias de Lamarck e Darwin para alunos de 8ano.pptAs teorias de Lamarck e Darwin para alunos de 8ano.ppt
As teorias de Lamarck e Darwin para alunos de 8ano.ppt
 

Apostila de-matemática-ester-parte-i

  • 1. Ciências Contábeis Disciplina : Matemática Básica para Contadores Professora Maria Ester Domingues de Oliveira
  • 2. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Parte I 2009/1 2
  • 3. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 1 - Números Reais: representações O principal motivo para que a maioria dos cursos de Cálculo comecem por um breve estudo dos números reais é o fato de no Cálculo e na Análise, estuda-se o comportamento de funções e o comportamento de uma função depende dos três elementos importantes que a compõem: números Reais, números Racionais e números irracionais. Representação do conjunto dos números reais Para entendermos os números Reais, deveremos primeiro estudar os números, racionais e os números irracionais, uma vez que o mesmo é composto por estes dois conjuntos numéricos. R = Q U I Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Números Naturais (N) O conjunto de números naturais é representado pela letra N e é compostos por números inteiros e positivos, além do zero. É indicado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais, sem o zero: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} Números Inteiros (Z) O conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, é o conjunto dos números naturais acrescido dos seus opostos negativos. Pode-se dizer que os números inteiros expressam quantidades (inteiros positivos) e a "falta" de quantidades (inteiros negativos). 2009/1 3
  • 4. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira O Conjunto dos Números Inteiros é indicado por Z: Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, ...} O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o zero, ou seja: Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: N ⊂ Z Alguns números inteiros apresentam uma série de características que os diferenciam de outros inteiros e que torna possível agrupá-los em subconjuntos. Veja alguns exemplos: Números Primos São chamados de primos os inteiros diferentes 1 que só são divisíveis por 1 e por ele mesmo ex: 2, 3, 5, 7, 11,13, 17, 19, etc. Números Racionais (Q) Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo número racional sempre é representado por uma parte inteira e por uma parte fracionária, a / b, Por exemplo: Se a=6 e b=2, obtemos o número racional 3,0. Se a=1 e b=2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a=1 e b=8 nos dá o número racional 0,666666... É a chamada dízima periódica. Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros. Q = {a/b | a Z e b Z*}, ou seja, o denominador deve sempre ser diferente de zero. O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem o 2009/1 4
  • 5. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira zero: Q* = Q - {0} Como todos os números inteiros também são números racionais, dizemos que Z é um subconjunto de Q ou que Z está contido em Q: Z ⊂ Q E, como já foi visto acima, todos os números naturais também são números inteiros. Então, N ⊂ Z ⊂ Q Números Irracionais (I) Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado de irracional. Não é possível situar um número irracional como um ponto numa reta. O número irracional mais famoso é o pi (π), inicial da palavra grega que significa periferia, circunferência. Nos dias de hoje, já são conhecidos mais de 1 bilhão de casas após a vírgula para este número graças aos computadores e matemáticos de nossa época (π = 3.1415926535897932384626433832795...) Números Reais (R) Como já foi dito anteriormente, o conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais, indicado por R. Como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro é racional e como todo número racional é real, temos: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja, R* = R - {0} 2009/1 5
  • 6. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 2 - Expressões Literais Expressões Literais, também chamadas de expressões algébricas, são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. Por exemplo: A = 5a+3b B = (8c+4)-2 C = 15c+4a As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico. Prioridade das operações numa expressão Literal Observações quanto à prioridade: 1º Deve-se sempre realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. 2º A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos Também devem ser obedecidas algumas propriedades em uma expressão Literal, onde devemos obedecer a seguinte ordem das operações: 1º Resolver primeiro Potenciação ou Radiciação; 2º a seguir, as Multiplicações ou Divisões; 3º então será a vez das Adições ou Subtrações. Exemplo 1 Consideremos : T=2B+15 e tomemos B=5. Assim, T = 2.5+15 = 10+15 = 25 2009/1 6
  • 7. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Aqui B é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 25 é o valor numérico da expressão indicada por T. Observe que ao mudar o valor de B para 15, teremos: T = 2.15 + 15 = 30 + 15 = 45 Se B=15, o valor numérico de T=2B+15 é igual a 45. Exemplo 2 Seja P = 3C-5+B+7 e tomemos C=5 e B=2. Assim: P = 3.5- 5+2+7 = 15-5+2+7 = 19 Se C=5 e B=2, o valor numérico de P = 3C-5+B+7, muda para 19. Exemplo 3 Seja Y=20-W+10+Q+8W, onde W = -2 e Q=1. Então: Y = 20-(-2)+10+1+8(-2) = 20+2+10+1-16 = 33-16 = 17 Se W = -2 e Q=1, o valor numérico de Y=20-W+10+Q+8W é 17 Exemplo 4 Consideremos Q=2T+10 e tomemos T=5. Assim Q = 2(5) + 10 Q = 10 + 10 Q = 20 Aqui T é a variável da expressão, sendo 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por Q. Observe que ao mudar o valor de Q para 9, teremos: Q = 2(9) + 10 Q = 18 + 10 Q = 28 Quando T=9, o valor numérico de Q=2T+10 é igual a 28. Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico. 2009/1 7
  • 8. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 3 - Função do 1º Grau Definição Chama-se função do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a ≠ 0. Também podemos representar a função de 1º grau da seguinte forma: y = f(x) , portanto y = ax + b Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular ou coeficiente de x e o número b é chamado termo constante ou coeficiente linear. Veja alguns exemplos de funções do 1º grau: f(x) = 8x - 2, onde a = 8 e b = - 2 f(x) = -5x - 4, onde a = -5 e b = - 4 f(x) = 9x, onde a = 9 e b = 0 Exemplo 1 A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 100 – 4p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 15,00. Solução: Q = 100 – 4p para p=R$15,00 Q = 100 – 4(15) Q = 40 ou seja, quando o preço estabelecido pelo produto do modelo for de R$15,00, a quantidade de produtos vendidos será de 40 unidades. E Exemplo 2 A relação entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto é dada pela equação: Q = 80 – 2p. Determinar a quantidade de produtos vendidos para p = R$ 10,00. Solução: 2009/1 8
  • 9. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Q = 80 – 2p para p = R$ 10,00 Q = 80 – 2(10) Q = 60 ou seja, quando o preço estabelecido pelo produto do modelo for de R$10,00, a quantidade de produtos vendidos será de 60 unidades. Exemplo 3 O custo total de produção de um determinado bem consiste em um custo fixo de R$ 300,00 somado a um custo variável de R$ 120,00 a unidade produzida. A “lei”, “fórmula” ou “modelo” que representa a relação existente entre o custo total de produção (C) e a quantidade de bens produzidos (q) desta produção: C = 300 + 120.q Qual o Custo Total de produção deste bem se forem produzidos 80 bens? Solução: C = 300 + 120q C = 300 + 120(80) C = 300 + 9600 C = R$ 9900,00 Gráficos de uma função de 1º grau crescente e decrescente Função Crescente Quando na função y = ax+ b o coeficiente angular a > 0, ou seja, for positivo, teremos um gráfico chamado crescente, onde quando x aumenta de valor, y também aumenta de valor .y = x+1 ( a> 0 ) ; 2009/1 9
  • 10. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira A função é considerada crescente, pois conforme os valores de x crescem, os valores de y crescem também. Função Decrescente Porém, quando na função y = ax+ b o coeficiente angular a < 0, ou seja, for negativo, teremos um gráfico chamado decrescente, onde quando x aumenta de valor, y diminui de valor. y = -x+1 ( a<0) A função é considerada decrescente, pois a medida que os valores de x crescem, os valores de y decrescem. Observações para uma função do 1º grau: a) O gráfico de uma função do 1º grau uma reta b) para traçar a reta, precisamos de, no mínimo, 2 pontos c) a reta cruza uma vez em cada eixo (horizontal e vertical) d) para saber onde a reta cruza o eixo vertical (y), consideramos x = 0 e) para saber onde a reta cruza o eixo horizontal (x), consideramos y = 0 Exemplo 1 y = 2x + 6 D = Reais x y = 2x + 6 0 0 Para x = 0 , temos y = 2 . (0) + 6 = 0 + 6 = 6 Para y = 0 , temos 0 = 2x + 6 , ou seja, –6 = 2x. Portanto, x = –6 : 2 = –3 2009/1 10
  • 11. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira x y = 2x + 6 0 6 -3 0 Exemplo 2 Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1: Solução: atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. Uma reta já pode ser traçada a partir de apenas dois pontos. Então, escolhemos dois ou mais valores quaisquer para substituirmos no x da equação, obtendo-se para cada valor de x, um valor de y correspondente à equação. Teremos , a partir daí, um conjunto de pares ordenados (x;y). x y=f(x)=x+1 -1 0 1 2 Resolução: y=f(x)=x+1 com x=-1 2009/1 -3 x 6 11
  • 12. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira y=x+1 y=(-1)+1 Y= 0 y=f(x)=x+1 com x=1 y=x+1 y=(1)+1 Y= 2 Portanto, O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-1,0),(1,2)} Para não restar dúvidas de que você mesmo pode determinar qualquer valor de x para substituir em uma função para a determinação de uma reta, vamos escolher dois outros valores quaisquer: que tal x=-2 e x=0? Vamos então fazer os cálculos e traçar a reta desta próxima função de 1º grau: Exemplo 3 Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1. solução: atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. x y=f(x)=-x+1 -2 3 0 1 2009/1 12
  • 13. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Resolução: y=f(x)=-x+1 com x=-2 y=-x+1 y=-(-2)+1 Y= 2 + 1 =3 y=f(x)=-x+1 com x=0 y=-x+1 y=-(0)+1 Y= 1 Portanto, O conjunto dos pares ordenados determinados é f={(-2,3),(0,1)} 2009/1 13
  • 14. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Parte II 2009/1 14
  • 15. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 4 – Razão e Proporção RAZÃO Denomina-se razão de dois números, diferentes de zero, o quociente formado por eles. Sendo assim, suponhamos que em um evento haja 35 pessoas, sendo 28 destes homens. Observe o cálculo da razão entre número de estudantes homens e o total de estudantes da sala: Total de pessoas: 35 Número de homens no evento: 28 Número de mulheres: 7 Razão: 28 = 4 (lê-se: 4 para 5) 35 5 Se quisermos saber a razão entre o número de mulheres e o total de pessoas no evento, temos: Razão: 7 = 1 (lê-se: 1 para 5) 35 5 Da mesma forma, podemos determinar a razão entre duas grandezas. Veja as questões: a) Paulo possui 1,80 m de altura e seu cachorro 40 cm. Qual a razão entre a altura do cachorro e a de Paulo? Altura do cachorro: 40 cm Altura de Paulo: 1,80 m = 180 centímetros (medida equivalente) Razão: 40 = 2 180 9 b) Sabendo que a velocidade média é a razão entre o trajeto percorrido e o tempo do percurso, calcule a velocidade média de um automóvel que percorre 100 km num tempo de 2 horas. Velocidade média (Vm) = espaço percorrido = 100 km = 50 km/h tempo 2 h Dica: Perceba que quando duas grandezas diferentes (no caso acima, espaço e tempo) estabelecem uma razão, esta vem acompanhada de uma unidade de medida (no caso acima, km/h). 2009/1 15
  • 16. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira PROPORÇÃO Denomina-se proporção a igualdade entre duas razões. Considerando a, b, c e d, diferentes de zero, podemos afirmar que eles constituem respectivamente uma proporção se a/b = c/d. Os termos a, b, c e d são chamados de termos da proporção: a e d são os extremos e b e c os meios. Nas proporções, é valida a seguinte propriedade: • O produto dos extremos é igual ao produto dos meios Exemplo: a) Calcular o valor de x na proporção abaixo: 6x + 4 = 2 3x – 2 3 (6x + 4) . 3 = (3x – 2) . 2 18x + 12 = 6x – 4 18x – 6x = -12 - 4 12 x = - 16 x = -16 = -4 12 3 b) Uma tradutora recebe R$ 300,00 pela construção de 22 traduções. Se ela construiu no fim do mês 40 relatórios, quanto dinheiro ela recebeu? Há duas maneiras de solucionar essa questão: a primeira consiste em, de forma proporcional, organizar os dados: 300 = x . 22 40 12000 = 22x x = 12000 = 545,50 (reais) 22 2009/1 16
  • 17. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 5 - Regra de Três Simples Regra de três A regra de três é um processo matemático de resolução de problemas de quatro valores, sendo três destes valores conhecidos e devemos determinar o quarto valor. Para resolução deste tipo de problema, montamos uma tabela (em proporção) e resolvemos a equação, multiplicando em cruz. É importante para cada coluna da tabela, respeitarmos a unidade de cada uma das delas, ou seja, por exemplo, valores dados em porcentagem ficam na mesma coluna e valores dados em outra unidade, como podemos exemplificar, em metros, também devem respeitar sua coluna. Vamos à resolução de problemas: 1) Um trem percorre um 200km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 400km? Montemos uma tabela: Percurso (km) Tempo (h) 200 2 400 x Note que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo trem também aumenta. Multiplicamos em cruz: 200x = 400. 2 200x = 800 x = 4 hs Portanto, o trem percorrerá 400km em 4h. 2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa? Nº de trabalhadores Tempo (dias) 4 8 2009/1 17
  • 18. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira 2 x Note que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhadores demorarão mais tempo para construir, ou seja, quanto menor o número de trabalhadores, maior será o tempo para a construção. Logo, devemos inverter a proporção. Multiplicando em cruz: 2x = 32 x = 16 Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias. 3) Para fazer uma viagem de 300km, um determinados automóvel gasta 21,9litros de gasolina. Quantos litros de gasolina são necessários para percorrer 1600km? Resolução: O número de Km percorridos e a gasolina consumida são grandezas diretamente proporcionais. Podemos utilizar a regra de três simples para resolver o problema. Km litros 300 21,9 1600 x Multiplicamos em cruz: 300x = 21,9 x 1600 300x = 35040 x = 116,8 litros Passos a seguir na regra de três: 1º Observamos se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 2009/1 18
  • 19. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira 2º Se a grandeza for diretamente proporcional, mantemos a proporção; se a grandeza for inversamente proporcional, invertemos a proporção. 3º Feito isso, basta resolver a equação, multiplicando em cruz. Unidade 6 – Porcentagem A porcentagem é um cálculo muito utilizado e útil em nosso dia a dia. È muito comum ouvirmos em nosso cotidiano situações com: • A carne teve um aumento de 5,4%; • A Bolsa de valores teve forte alta de 7,5%; • Promoção: Tudo com 40% de desconto; • Venda de automóveis com taxa de 1,9% • Os juros baixaram 0,5%; • O candidato x obteve 34% dos votos. • O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%. • A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de 25% nas compras à vista. Vamos começar a entender o que é Porcentagem: Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem. Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor. Razão centesimal: Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100. Exemplos: (lê-se 10 por cento) (lê-se 150 por cento) Exemplo 1: Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar? O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo: 2009/1 19
  • 20. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108 Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00. Exemplo 2: Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos? A quantidade de meninas será: E a de meninos será: 100 - 40 = 60. Porcentagem é o valor obtido quando aplicamos uma razão centesimal a um determinado valor. Porcentagem, como o nome já diz, é por 100 (sobre 100). Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é: É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: • A gasolina teve um aumento de 5% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$5,00 • O cliente recebeu um desconto de 7% em uma compra de uma calça Jeans. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$ 7,00. • Em um bar, 60% dos clientes são não fumantes. Significa que em cada 100 clientes que estão no bar, 60 são não fumantes. Razão centesimal Toda a razão que tem como denominador o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: Considere o seguinte problema: 2009/1 20
  • 21. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Paulo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos Paulo vendeu? Na solução deste problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos: • Calcular 10% de 300. • Calcular 25% de 200kg. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. Como calcular porcentagem em uma calculadora? Vamos a um exemplo: Quanto é 30% de 700? Digite: 700 Aperte a tecla de multiplicação: X Digitem: 30 Aperte a tecla de porcentagem: % O resultado, como pode ser visto, é 210. Fator multiplicante Para facilitar o cálculo, quando temos um acréscimo de certa porcentagem sobre um determinado valor, um acréscimo de, por exemplo, 10%, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela a seguir: Acréscimo ou Fator 2009/1 21
  • 22. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Lucro Multiplicante 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: aumentar 30% no valor de R$10,00. Devemos realizar: 10 * 1,30 = R$ 13,00 No caso de haver um decréscimo ou desconto, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator Multiplicante 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 20% no valor de R$10,00 teremos: 1 – 0,2 = 0,8 10 * 0,80 = R$ 8,00 Exemplo 1 Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%? Solução: 100% 555 17 % X X = 555x17 /100 = 9435/100 2009/1 22
  • 23. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira X = 94,35 Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35 Preço Final: R$ 649,35 Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35 Exemplo 2 Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto? 100% 15.250 0,7% X Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que é o valor do cheque é : 1 – 0,02 = 0,98 (fator multiplicante) R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00 Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do valor total representam a quantia de R$ 305,00. Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00 Exemplo 3 (FUB-94 / Auxiliar Administrativo) Em uma loja, o metro de um determinado tecido teve seu preço reduzido de R$ 5,52 para R$ 4.60. Com R$ 126,96, a porcentagem de tecido que se pode comprar a mais é de : a) 19,5 % b) 20% c) 20,5% d) 21% e) 21,5% Resolução: Cenário 1: 1m -------> R$ 5,52 X --------> R$ 126,96 5,52x = 126,96 X = 126,96 / 5,52 2009/1 23
  • 24. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira X = 23 m Cenário 2: 1m --------> R$ 4,60 X ---------> R$ 126,96 4,60x = 126,96 X = 126,96 / 4,60 X = 27,60 Temos então: 23m --------> 100% (Total do metro encontrado com preço maior) 27,6 ---------> x (Total do metro encontrado com preço menor) 23x = 100 x 27,6 23x = 2760 X = 2760 / 23 X = 120% Desta forma: 120% - 100% = 20% Então a resposta correta da questão acima é a letra “b”. Exemplo 4 Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2009/1 24
  • 25. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Exemplo 5 Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 2009/1 25
  • 26. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Unidade 7 – Progressão Geométrica Definição: Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por um número constante q (razão). Uma progressão Geométrica pode ser chamada também pelo apelido de P.G. Veja a sucessão de números abaixo. Dica: esta sucessão é uma Progressão Geométrica. Vejamos o que é um P.G: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ...,2621440 Observe o seguinte: Cada número é o dobro do número que vem antes. Veja: 10 é o dobro de 5 20 é o dobro de 10 40 é o dobro de 20 80 é o dobro de 40 160 é o dobro de 80 e assim por diante. A divisão de qualquer um dos número da Sucessão pelo número que vem antes (que se chama antecessor), dá como resultado o mesmo número que neste nosso caso é o número 2. 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, ..., 2.621440 Quando temos uma sucessão onde ocorre esta propriedade, dizemos que esta sucessão é uma Progressão Geométrica ou, como já vimos, simplesmente uma P.G Obs: O resultado da divisão de qualquer um dos termos pelo seu antecessor (o que vem antes) é a razão da P.G Exemplos: (2, 4, 8, 16) 4 = 2.2 8 = 4.2 →a razão é 2. 16 = 8.2 (3, 9, 27, 81) 2009/1 26
  • 27. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira 9 = 3.3 27 = 9.3 →a razão é 3. 81 = 27.3 (1, 2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de razão 2 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de razão 1 (100, 50, 25,...) é uma PG de razão 1/2 (2, -6, 18, -54, 162, ...) é uma PG de razão -3 Fórmula do Termo Geral: A fórmula do termo geral da P.G. assim como da P.A. permite-nos determinar um termo qualquer da P.G., sem precisar escrevê-la completamente, conhecendo apenas o primeiro termo e a razão da progressão geométrica. an = a1 . qn - 1 Na fórmula: an = termo geral; a1 = primeiro termo; q = razão; n = número de termos. 10 20 40 80 160 320 ... 2.621440 a1 a2 a3 a3 a4 a5 a6 ... an Observe que cada termo da sucessão tem um uma posição. Assim, o 5 é o primeiro elemento que chamamos de a1. O 10 é o segundo elemento, que chamamos de a2 O 20 é o terceiro elemento, que chamamos de a3 e assim por diante. O último elemento é o 2.621440 que chamamos sempre de an Propriedades Principais 2009/1 27
  • 28. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior. Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc. P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante. Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2 Exemplo 1 Achar o sexto termo da PG (1, 4...). Solução: a1 = 1, q = 4 e n = 6 an = a1 . qn-1 a6 = 1 . 46 - 1 a6 = 1 024 Exemplo 2 Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo, ou seja, a10, utilizamos a fórmula Geral: a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024 INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA 2009/1 28
  • 29. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Da mesma forma que em P.A., inserir k meios geométricos entre dois termos extremos a e b de uma P.G. significa obter uma P.G. com k + 2 termos. Exemplo 3 Interpole quatro meios geométricos entre 4 e 128. Exemplo 4 Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 Então q4 =16 portanto q = 2. SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA A soma dos termos de uma progressão geométrica de n termos é dada por: 2009/1 29
  • 30. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Observação – Para uma P. G. constante (q = 1), a soma dos n termos é dada por: Sn = n . a1 Exemplo 5 Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (1, 3, 9, 27, 81...). SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA Neste tópico, observaremos que para um número infinito de termos, o último termo tenderá a se anular. A soma dos infinitos termos dessa P. G. é dada por: Exemplo 6 Calcule a soma dos termos da P. G. (2, 1, 1/2, 1/4...). 2009/1 30
  • 31. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira Solução: Temos: a1 = 2 , q = 1/2 A soma dos termos dessa P. G. infinita é: Referências bibliográficas: 2009/1 31
  • 32. Matemática para Contadores Maria Ester Domingues de Oliveira BONORA JR, D. ; BARONE, M. A. et al. Matemática: Complementos e Aplicações nas áreas de Ciências Contábeis, Administração e Economia. 4ª Edição São Paulo: Ícone 2006 SILVA, S. M. , E. M. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol 1. São Paulo: Atlas, 1999. SILVA, S. M. , E. M, SILVA. Matemática Básica para Cursos Superiores. Editora Atlas, São Paulo, 2002 HARIKI, S., ABDOUNUR, O.J. Matemática Aplicada: Administração, Economia, Contabilidade. São Paulo Saraiva 1999 SILVA, S. M. , E. M. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002. ABDONOUR, O João. Matemática – Estudo e Ensino I. São Paulo ABDONOUR, O João, HARIKI,S. - Matemática Aplicada – administração , economia e Contabilidade. Editora Saraiva, 2003 - São Paulo Teixeira, J; Pierro, S. Matemática Financeira – Makron Books 1998IFRAH, Georges. História Universal dos Algarismos, tomo 2. Ed. Nova Fronteira, Rio de Janeiro 1997. ISBN 85-209-1046-7 SILVA, S. M. , E. M. Matemática: para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. Vol 1. São Paulo: Atlas, 1999SILVA, S. M. , E. M. Matemática Básica para Cursos Superiores. São Paulo: Atlas, 2002 ZANINI, R. lista de exercícios de Matemática. São Paulo, 2007GIOVANNI, J.R.;BONJORNO, J.R. Matemática: uma nova abordagem.Vol. 1: versão progressões. São Paulo: FTD, 2000ZANINI, R. Apostila SEPI (Administração de Empresas): Matemática. São Paulo,2007 Danielle de Miranda Graduada em Matemática-Equipe Brasil Escola - www.brasilescola.com Wikipedia - http://pt.wikipedia.org www.somatematica.com.b http://pessoal.sercomtel.com.br/ www.exatas.mat.br/ www.portaltosabendo.com.br www.colegioweb.com.br http://www.interaula.com 2009/1 32