Este documento discute lógica proposicional e cálculo proposicional. Introduz conceitos como proposições, valores lógicos, operadores lógicos, tabelas de verdade e expressões lógicas. Também discute implicações e equivalências lógicas, formas normais disjuntivas e conjuntivas e obtenção de formas normais disjuntivas a partir de tabelas de verdade.
Matriz curricular 28 01-2011 de 29 de janeiro de 2011(reformulada para republ...elannialins
Este documento apresenta as matrizes curriculares dos anos iniciais e finais do ensino fundamental de uma escola. No 1o ciclo, as disciplinas incluem língua portuguesa, matemática, história, geografia, ciências, educação física e arte. A carga horária anual é de 800 horas. Nos anos finais, as áreas de conhecimento são línguas, matemática, ciências humanas e ciências da natureza.
O documento apresenta os seguintes tópicos sobre lógica formal: (1) lógica proposicional e lógica de predicados, (2) técnicas básicas de demonstração, incluindo indução matemática.
Petic – Plano EstratéGico De Tecnologia Da InformaçãOHugo Souza
Apresentação para o trabalho na matéria de Sistemas de Informações Empresariais do curso de Pós-graduação em Gestão de Projetos em TI da Universidade Federal de Sergipe - UFS
O documento discute diferentes técnicas de demonstração em lógica, incluindo: (1) validade absoluta de argumentos formais vs validade em um contexto específico; (2) técnicas formais vs menos formais; (3) conjecturas, teoremas e contraexemplos.
1) O documento discute o que é análise do discurso, como é feita e para que serve, apresentando três concepções de linguagem e a relação delas com a análise do discurso.
2) A origem da análise do discurso vem da retórica clássica de Aristóteles, ganhou forma na segunda metade do século XX e foi influenciada por estudiosos como os formalistas russos, o estruturalismo e Benveniste.
3) A análise do discurso é importante para estudar a linguagem humana
1. O documento discute os conceitos fundamentais da lógica aristotélica, incluindo o que é uma proposição, os tipos de proposições, argumentação e silogismos.
2. A lógica simbólica é introduzida como uma forma de representar argumentos usando uma linguagem artificial com símbolos para proposições e conectivos lógicos.
3. As tabelas de verdade são explicadas como uma ferramenta para determinar se um argumento é verdadeiro ou falso atribuindo valores de verdade às proposições.
O documento discute conceitos iniciais sobre discurso. Apresenta duas abordagens principais - formalista e funcionalista - e três definições de discurso de acordo com cada paradigma. Também aborda noções como ideologia, formação discursiva e marcas ideológicas em textos.
Este documento fornece informações sobre lógica proposicional, incluindo:
1) Apresenta dois argumentos como exemplos de raciocínio;
2) Discutem proposições, premissas, valores lógicos e conectivos lógicos como negação, conjunção e disjunção;
3) Fornece exemplos de tabelas verdade e propriedades da implicação lógica e equivalência lógica.
Matriz curricular 28 01-2011 de 29 de janeiro de 2011(reformulada para republ...elannialins
Este documento apresenta as matrizes curriculares dos anos iniciais e finais do ensino fundamental de uma escola. No 1o ciclo, as disciplinas incluem língua portuguesa, matemática, história, geografia, ciências, educação física e arte. A carga horária anual é de 800 horas. Nos anos finais, as áreas de conhecimento são línguas, matemática, ciências humanas e ciências da natureza.
O documento apresenta os seguintes tópicos sobre lógica formal: (1) lógica proposicional e lógica de predicados, (2) técnicas básicas de demonstração, incluindo indução matemática.
Petic – Plano EstratéGico De Tecnologia Da InformaçãOHugo Souza
Apresentação para o trabalho na matéria de Sistemas de Informações Empresariais do curso de Pós-graduação em Gestão de Projetos em TI da Universidade Federal de Sergipe - UFS
O documento discute diferentes técnicas de demonstração em lógica, incluindo: (1) validade absoluta de argumentos formais vs validade em um contexto específico; (2) técnicas formais vs menos formais; (3) conjecturas, teoremas e contraexemplos.
1) O documento discute o que é análise do discurso, como é feita e para que serve, apresentando três concepções de linguagem e a relação delas com a análise do discurso.
2) A origem da análise do discurso vem da retórica clássica de Aristóteles, ganhou forma na segunda metade do século XX e foi influenciada por estudiosos como os formalistas russos, o estruturalismo e Benveniste.
3) A análise do discurso é importante para estudar a linguagem humana
1. O documento discute os conceitos fundamentais da lógica aristotélica, incluindo o que é uma proposição, os tipos de proposições, argumentação e silogismos.
2. A lógica simbólica é introduzida como uma forma de representar argumentos usando uma linguagem artificial com símbolos para proposições e conectivos lógicos.
3. As tabelas de verdade são explicadas como uma ferramenta para determinar se um argumento é verdadeiro ou falso atribuindo valores de verdade às proposições.
O documento discute conceitos iniciais sobre discurso. Apresenta duas abordagens principais - formalista e funcionalista - e três definições de discurso de acordo com cada paradigma. Também aborda noções como ideologia, formação discursiva e marcas ideológicas em textos.
Este documento fornece informações sobre lógica proposicional, incluindo:
1) Apresenta dois argumentos como exemplos de raciocínio;
2) Discutem proposições, premissas, valores lógicos e conectivos lógicos como negação, conjunção e disjunção;
3) Fornece exemplos de tabelas verdade e propriedades da implicação lógica e equivalência lógica.
Este documento apresenta uma lista de exercícios de lógica matemática com as respectivas respostas. A primeira parte define termos fundamentais como sentença, valor de verdade, axiomas e conectivos lógicos. A segunda parte contém exercícios que envolvem a construção de tabelas-verdade e diagramas para avaliar proposições compostas. A terceira parte pede para determinar valores de proposições e verificar implicações e equivalências lógicas.
1) O documento apresenta os conceitos de tautologia, contradição e contingência e fornece exemplos de cada um. 2) É explicado o que é equivalência lógica e como verificar se duas proposições são logicamente equivalentes comparando suas tabelas-verdade. 3) São dados exemplos de verificação de equivalência lógica entre proposições.
Este documento apresenta os conceitos de equivalência lógica e implicação lógica. A equivalência lógica entre duas proposições é verificada quando elas têm a mesma tabela-verdade ou quando a bicondicional associada é uma tautologia. A implicação lógica ocorre quando toda vez que a primeira proposição for verdadeira, a segunda também o é, ou quando a condicional associada for uma tautologia. Exemplos ilustram como verificar essas relações por meio de tabelas-verdade.
1. O documento introduz os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo proposições, conectivos lógicos, tabelas verdade e diagramas lógicos.
2. As proposições podem ser simples ou compostas e são combinadas usando conectivos como "e", "ou", "se...então".
3. As tabelas verdade definem as regras para determinar o valor de verdade de proposições compostas usando os valores das proposições componentes.
O documento lista vários argumentos lógicos básicos e derivados, incluindo modus ponens, modus tollens, silogismos hipotéticos e disjuntivos, dilemas construtivos e destrutivos, e as leis de Morgan, entre outros. Ele fornece os nomes latinos dos argumentos, suas fórmulas lógicas e breves descrições.
1) O documento apresenta os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo definições de proposições simples e compostas, valores lógicos, tabelas-verdade e conectivos lógicos como negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
2) São apresentados exemplos e tabelas-verdade para ilustrar o funcionamento de cada conectivo lógico.
3) No final, há exercícios propostos para aplicar os conceitos aprendidos, incluindo tra
O documento discute lógica proposicional e quantificada. Resumidamente:
1) A lógica estuda o raciocínio e a demonstração através de proposições simples e compostas ligadas por conectivos.
2) Proposições compostas são formadas por duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos como conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
3) Proposições podem ser quantificadas através dos quantificadores universal e existencial para estabelecer valores lógic
Slides Lição 11, Central Gospel, Os Mortos Em CRISTO, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
Este documento apresenta uma lista de exercícios de lógica matemática com as respectivas respostas. A primeira parte define termos fundamentais como sentença, valor de verdade, axiomas e conectivos lógicos. A segunda parte contém exercícios que envolvem a construção de tabelas-verdade e diagramas para avaliar proposições compostas. A terceira parte pede para determinar valores de proposições e verificar implicações e equivalências lógicas.
1) O documento apresenta os conceitos de tautologia, contradição e contingência e fornece exemplos de cada um. 2) É explicado o que é equivalência lógica e como verificar se duas proposições são logicamente equivalentes comparando suas tabelas-verdade. 3) São dados exemplos de verificação de equivalência lógica entre proposições.
Este documento apresenta os conceitos de equivalência lógica e implicação lógica. A equivalência lógica entre duas proposições é verificada quando elas têm a mesma tabela-verdade ou quando a bicondicional associada é uma tautologia. A implicação lógica ocorre quando toda vez que a primeira proposição for verdadeira, a segunda também o é, ou quando a condicional associada for uma tautologia. Exemplos ilustram como verificar essas relações por meio de tabelas-verdade.
1. O documento introduz os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo proposições, conectivos lógicos, tabelas verdade e diagramas lógicos.
2. As proposições podem ser simples ou compostas e são combinadas usando conectivos como "e", "ou", "se...então".
3. As tabelas verdade definem as regras para determinar o valor de verdade de proposições compostas usando os valores das proposições componentes.
O documento lista vários argumentos lógicos básicos e derivados, incluindo modus ponens, modus tollens, silogismos hipotéticos e disjuntivos, dilemas construtivos e destrutivos, e as leis de Morgan, entre outros. Ele fornece os nomes latinos dos argumentos, suas fórmulas lógicas e breves descrições.
1) O documento apresenta os conceitos básicos da lógica proposicional, incluindo definições de proposições simples e compostas, valores lógicos, tabelas-verdade e conectivos lógicos como negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
2) São apresentados exemplos e tabelas-verdade para ilustrar o funcionamento de cada conectivo lógico.
3) No final, há exercícios propostos para aplicar os conceitos aprendidos, incluindo tra
O documento discute lógica proposicional e quantificada. Resumidamente:
1) A lógica estuda o raciocínio e a demonstração através de proposições simples e compostas ligadas por conectivos.
2) Proposições compostas são formadas por duas ou mais proposições simples ligadas por conectivos como conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
3) Proposições podem ser quantificadas através dos quantificadores universal e existencial para estabelecer valores lógic
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A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
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vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
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- Documentação;
- Informação;
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- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
1. Lógica
Fernando Fontes
Universidade do Minho
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 1 / 65
2. Outline
1 Introdução
2 Implicações e Equivalências Lógicas
3 Mapas de Karnaugh
4 Lógica de Predicados
5 Argumentação Matemática
6 Indução Matemática
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 2 / 65
3. Introdução
Lógica
Importância da lógica:
Precisar argumentos matemáticos
Verificar a sua validade
Programação de computadores
Verificar a correcção de algoritmos
Circuitos electrónicos digitais
Definição
Uma proposição é uma afirmação que pode ser classificada como
verdadeira ou falsa.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 3 / 65
4. Introdução
Exemplos de proposições:
Guimarães é a capital de Portugal.
x + y = y + x para quaisquer x, y ∈ R.
A milionésima casa decimal de π é 5.
(Não precisamos de saber o valor para considerarmos se é proposição)
4 é positivo e 3 é negativo.
Se hoje é Domingo, então 1 + 1 = 3.
Contra exemplos:
Vamos almoçar?
Estejamos atentos!
x −y =y −x
(Para que valores de x e y ?)
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 4 / 65
5. Introdução
Cálculo Proposicional I
Valores Lógicos:
Verdadeiro, representado por V ou 1.
Falso, representado por F ou 0.
Operadores Lógicos:
Negação: Negação de p é representado por ¬p (também
representado por p em expressões lógicas).
¬p é verdadeiro se p for falso e é falso se p for verdadeiro.
Exemplo:
p: Hoje é Domingo.
¬p: Hoje não é Domingo.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 5 / 65
6. Introdução
Cálculo Proposicional II
E(Conjunção): A conjunção de p e q é representada por p ∧ q
(também por p.q ou pq).
p ∧ q é verdadeiro se p e q forem ambos verdadeiros. É falso se p
for falso ou se q for falso (ou ambos).
Exemplo:
q: Hoje está a chover.
p ∧ q: Hoje é Domingo e está a chover.
OU(Disjunção): Disjunção de p ou q é representada por p ∨ q.
p ∨ q é verdadeiro se p for verdadeiro ou se q for verdadeiro. É
falso se p e q forem ambos falsos.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 6 / 65
7. Introdução
Tabelas de verdade I
NEGAÇÃO CONJUNÇÃO DISJUNÇÃO
p ¬p p q p∧q p q p∨q
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
(Tem que explicitar todas as combinações possíveis.)
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 7 / 65
9. Introdução
Outros Operadores Lógicos I
OU EXCLUSIVO: representado por p ⊕ q.
p ⊕ q é verdadeiro quando exactamente uma das proposições p
ou q é verdadeira. É falso quando p e q tiverem o mesmo valor
lógico.
p q p⊕q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 9 / 65
10. Introdução
Outros Operadores Lógicos II
IMPLICAÇÃO (material): p implica q é representado por p → q.
p → q é falso quando p é verdadeiro e q é falso. É verdadeiro em
qualquer outro caso.
p q p→q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 10 / 65
11. Introdução
Outros Operadores Lógicos III
Podemos ler p → q como:
p implica q
Se p então q
p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p
q sempre que p
q se p
Numa implicação p → q chamamos:
A p a hipótese, o antecedente ou a premissa.
A q a conclusão, ou consequência.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 11 / 65
12. Introdução
Outros Operadores Lógicos IV
EQUIVALÊNCIA (material): p equivale a q, ou p se e só se q,
representado por p ↔ q.
p ↔ q é verdadeiro se p e q tiverem os mesmos valores lógicos.
É falso no outro caso.
p q p↔q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 12 / 65
13. Introdução
Expressões Lógicas I
Regras de Precedência:
¬ precedência mais alta
∧,∨,⊕ nível de precedência seguinte
→, ↔ precedência mais baixa
Exemplo:
p ∨ ¬q → ¬p ∧ q deve ler-se como:
(p ∨ (¬q)) → ((¬p) ∧ q)
Atenção a expressões ambíguas do tipo p ∨ q ∧ r ou do tipo
p → q → r.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 13 / 65
14. Introdução
Expressões Lógicas II
Exercício:
Verifique que (p ∨ q) ∧ r tem uma tabela de verdade diferente de
p ∨ (q ∧ r ).
Verifique que (p → q) → r tem uma tabela de verdade diferente
de p → (q → r ).
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 14 / 65
15. Implicações e Equivalências Lógicas
Implicações e Equivalências Lógicas I
Definição
Uma expressão lógica que seja sempre verdadeira (quaisquer que
sejam os valores lógicos das proposições que a compõem) é
chamada uma Tautologia.
Definição
Uma expressão lógica que seja sempre falsa é chamada uma
Contradição.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 15 / 65
16. Implicações e Equivalências Lógicas
Implicações e Equivalências Lógicas II
Exemplo
p → p é uma tautologia.
p p→p
0 1
1 1
p ∧ ¬p é uma contradição.
p p ∧ ¬q
0 0
1 0
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 16 / 65
17. Implicações e Equivalências Lógicas
Implicações e Equivalências Lógicas III
Exercício
Verifique que são tautologias as seguintes expressões:
1 (a ∨ b) ∨ (¬a ∧ ¬b)
2 (a → b) ↔ ((¬a) ∨ b)
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 17 / 65
18. Implicações e Equivalências Lógicas
Equivalência Lógica (⇔) I
Dizemos que uma expressão lógica f1 é logicamente equivalente a
outra expressão f2 se e só se os valores lógicos de ambas as
expressões forem iguais quaisquer que sejam os valores lógicos das
proposições que as compõem.
Isto é, as últimas colunas das tabelas de verdade de f1 e f2 são iguais.
Conclui-se que:
f1 ⇔ f2 se e só se f1 ↔ f2 é uma tautologia.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 18 / 65
19. Implicações e Equivalências Lógicas
Equivalência Lógica (⇔) II
As equivalências lógicas são úteis para simplificar expressões.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 19 / 65
20. Implicações e Equivalências Lógicas
Equivalência Lógica (⇔) III
Exercício:
Verifique as leis de De Morgan:
¬(p ∨ q) ⇔ (¬p ∧ ¬q)
¬(p ∧ q) ⇔ (¬p ∨ ¬q)
Verifique p → q ⇔ ¬p ∨ q
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 20 / 65
21. Implicações e Equivalências Lógicas
Implicação Lógica (⇒) I
Dizemos que uma expressão lógica f1 IMPLICA LOGICAMENTE outra
expressão f2 se e só se quaisquer que sejam os valores lógicos das
proposições que compõem f1 e que tornam f1 verdadeira, também
tornam f2 verdadeira.
Isto é, sempre que na última coluna da tabela de verdade de f1 ocorrer
um valor verdadeiro, terá que ser também verdadeiro o valor
correspondente na última coluna da tabela de verdade de f2 .
Conclui-se que:
f1 ⇒ f2 se e só se f1 → f2 é uma tautologia.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 21 / 65
22. Implicações e Equivalências Lógicas
Implicação Lógica (⇒) II
As implicações lógicas são úteis na demonstração de argumentos matemáticos.
Exercício:Verifique o seguinte argumento de redução ao absurdo:
Se ¬p implica uma contradição, então p é verdadeiro.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 22 / 65
23. Implicações e Equivalências Lógicas
Implicação Lógica (⇒) III
Forma normal disjuntiva:
Expressão na forma de disjunção de termos compostos por
conjunções e negações.
Exemplo:
(¬p ∧ q ∧ r ) ∨ (p ∧ q¬r ) ∨ (¬p ∧ r )
Forma normal conjuntiva:
Expressão na forma de conjunções de termos compostos por
disjunções e negações.
Exemplo:
(¬p ∨ q ∨ r ) ∧ (p ∨ q¬r ) ∧ (¬p ∨ r )
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 23 / 65
24. Implicações e Equivalências Lógicas
Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de
verdade. I
Exemplo:
p q p⊕q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1 Considere as linhas da tabela que dão resultado verdadeiro.
No exemplo 2a e 3a linhas.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 24 / 65
25. Implicações e Equivalências Lógicas
Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de
verdade. II
2 Para cada uma dessas linhas conjugue as entradas verdadeiras
com a negação das entradas falsas.
No exemplo: 2a linha: ¬p ∧ q
3a linhas: p ∧ ¬q
3 Faça a disjunção das expressões obtidas para cada linha.
No exemplo: (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 25 / 65
26. Implicações e Equivalências Lógicas
Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de
verdade. III
Exercício: Transforme na forma normal disjuntiva as seguintes
expressões:
1 (p ∧ ¬q) → r
2 (¬p → q) ∧ (r ∨ p)
Expressões na forma normal disjuntiva são habitualmente escritas
representando a conjunção a ∧ b por a · b ou ab (com precedência
superior à disjunção) e a negação ¬a por a.
Assim, (p ∧ q ∧ ¬r ) ∨ (p ∧ q¬r ) poderá ser representado como
pqr ∨ pqr
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 26 / 65
27. Implicações e Equivalências Lógicas
Obtenção da Forma Normal Disjuntiva a partir de tabelas de
verdade. IV
Uma das simplificações mais usuais de expressões na forma normal
disjuntiva é agrupar termos que diferem apenas no valor de uma das
variáveis. (termos adjacentes)
Exemplo: abc ∨ abc = ab(c ∨ c) = ab ∧ 1 = ab
Se tivermos expressões mais complexas poderá não ser tão fácil
identificar as possíveis simplificações.
Exemplo: abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd ∨ abcd =? poderemos recorrer
a métodos gráficos para simplificar.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 27 / 65
28. Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh I
Método gráfico para simplificar expressões lógicas na forma normal
disjuntiva que não tenham um número muito elevado de variáveis
(tipicamente até 6 variáveis).
Mapas de Karnaugh para expressões de 2 variáveis
a) xy ∨ xy
b) xy ∨ xy
c) xy ∨ xy ∨ xy
d) x ∨ y
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 28 / 65
29. Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh II
Objectivo: Agrupar células adjacentes formando blocos.
Blocos com 2 células → termos com uma variável
Blocos com 1 célula → termos com 2 variáveis.
Cobrir o mapa com blocos de tamanho o maior possível.
a) y b)xy ∨ xy c) x ∨ y d) x ∨ y
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 29 / 65
30. Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh III
Mapas de Karnaugh para expressões de 3 variáveis
f = f (x, y , z)
Células adjacentes diferem apenas
numa variável.
1a célula é adjacente à 4a coluna!
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 30 / 65
31. Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh IV
Blocos com 1 célula → termo com 3 variáveis
Blocos com 2 células → termos com 2 variáveis.
Blocos com 4 células → termos com 1 variável.
Exemplo
xy z ∨ xy z ∨ yz ∨ x
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 31 / 65
32. Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh V
Objectivo da simplificação:
Cobrir o mapa com blocos (formados por células adjacentes) de tamanho o
maior possível (e com o menor número possível de blocos).
Questão: Como cobrir o mapa anterior com 3 blocos de 4 elementos.
Solução:
x ∨y ∨z
Exercício: Simplifique as seguintes expressões:
xy ∨ xy z ∨ xyz
yz ∨ xy z ∨ xy
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33. Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh VI
Mapas de Karnaugh para expressões de 4 variáveis
Células adjacentes diferem apenas numa variável
1a coluna é adjacente à 4a coluna!
1a linha é adjacente à 4a linha!
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34. Mapas de Karnaugh
Mapas de Karnaugh VII
Exemplo:
f (x, y , w, z) = xywz ∨ xy wz ∨ xywz ∨ xy wz
Um bloco de 4 células adjacentes!
f (x, y , w, z) = yz
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35. Lógica de Predicados
Lógica de Predicados
Considere as afirmações:
P(x): x >3
Q(x, y ): x =y +3
R(x, y , z): x + y − z é par
Estas afirmações não podem ser classificadas como verdadeiras ou
falsas enquanto os valores para as variáveis não forem especificadas.
Mas,
P(2) é falso
Q(6, 3) é verdadeiro
R(2, 2, 3) é falso
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 35 / 65
36. Lógica de Predicados
Quantificadores
Definição:
Um predicado ou função proposicional é uma afirmação envolvendo
variáveis tal que qualquer substituição de cada variável por um ponto
do seu domínio, torna a afirmação numa proposição.
Quantificadores
Uma alternativa a atribuir valores específicos às variáveis de um
predicado é utilizar quantificadores que também transformam os
predicados em proposições.
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37. Lógica de Predicados
Quantificador Universal ∀ I
∀x P(x)
Para todo o x P(x)
Qualquer que seja x P(x)
“Para todos os valores de x pertencentes ao universo do discurso, a
proposição P(x) é verdadeira.”
O universo poderá (e deverá) ser especificado quando há
ambiguidades
Exemplo:
∀x∈R x 2 ≥ 0 é uma proposição verdadeira.
∀x∈C x 2 ≥ 0 é uma proposição falsa.
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38. Lógica de Predicados
Quantificador Universal ∀ II
Quando o universo do discurso é finito
Exemplo:
x ∈ {1, 2, 3, 4}
A proposição
∀x∈{1,2,3,4} P(x)
pode ser escrita como conjunção
P(1) ∧ P(2) ∧ P(3) ∧ P(4)
(i.e. P tem que ser verdadeiro para 1, 2, 3 e 4)
Exercício: ∀x P(x, y ) é Predicado ou Proposição?
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39. Lógica de Predicados
Quantificador Existencial, ∃ I
∃x P(x)
Existe um x tal que P(x).
Existe pelo menos um x tal que P(x).
“Para algum x pertencente ao universo do discurso a proposição P(x)
é verdadeira.”
Da mesma maneira o universo poderá ser especificado
∃x∈R 2x = 1 é verdadeiro
∃x∈N 2x = 1 é falso
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40. Lógica de Predicados
Quantificador Existencial, ∃ II
Quando o universo é finito a proposição
∃x∈{1,2,3,4} P(x)
é o mesmo que a disjunção
P(1) ∨ P(2) ∨ P(3) ∨ P(4).
Exercício: Justifique que (∀x P(x)) ⇒ (∃x P(x)).
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41. Lógica de Predicados
Quantificador Existencial, ∃ III
∀x P(x)
Para ser verdadeiro, P(x) tem que ser verdadeiro para todos os
valores de x.
Para ser falso basta que arranjemos um exemplo para o qual P(x)
é falso.
Logo,
¬(∀x P(x)) ⇔ ∃x (¬P(x))
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42. Lógica de Predicados
Quantificador Existencial, ∃ IV
∃x P(x)
Para ser verdadeiro, basta que encontremos um exemplo de x para
o qual P(x) é verdadeiro.
Para ser falso teremos que mostrar que não há nenhum exemplo
de um valor de x para o qual P(x) seja verdadeiro. Por outras
palavras, para ser falso, P(x) tem que ser falso para todos os
valores de x.
Logo,
¬(∃x P(x)) ⇔ ∀x (¬P(x))
Exercício: Utilize as Leis de Morgan para verificar as expressões
anteriores para um universo finito {1, 2, 3, 4}.
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 42 / 65
43. Lógica de Predicados
Quantificador Existencial, ∃ V
Atenção à ordem dos quantificadores!
Exemplo: Qual o valor lógico das seguintes proposições?
P: ∀x∈{1,2} ∃y ∈{1,2} x = y
Q: ∃y ∈{1,2} ∀x∈{1,2} x = y
P é verdadeiro!
Q é falso!
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44. Lógica de Predicados
Tradução de linguagem natural para expressões lógicas I
Exemplo 1:
“Toda a gente tem um bom amigo.”
Seja B(x, y ) : y é um bom amigo de x.
∀x ∃y B(x, y ).
Exemplo 2:
“Há alguém que é bom amigo de toda a gente.”
∃y ∀x B(x, y ).
Exemplo 3:
“Toda a gente tem exactamente um melhor amigo.”
Seja M(x, y ) : y é o melhor amigo de x.
∀x ∃y ∀z (M(x, y ) ∧ (z = y )) → ¬M(x, y ).
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45. Lógica de Predicados
Tradução de linguagem natural para expressões lógicas II
Exemplo 4:
“O Marco Paulo tem pelo menos 2 amores.”
Seja A(x): x é o amor do Marco Paulo.
∃x ∃y A(x) ∧ A(y ) ∧ (x = y ).
Exemplo 5:
“O Marco Paulo tem exactamente 2 amores.”
∃x ∃y ∃z [A(x) ∧ A(y ) ∧ (x = y ) ∧ (x = z) ∧ (y = z)] → ¬A(z).
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46. Argumentação Matemática
Argumentação Matemática I
Como verificar se um argumento matemático está correcto?
Como cosntruir argumentos matemáticos que permitam mostrar
que uma proposição ou teorema são verdadeiros?
Um TEOREMA é uma afirmação que se pode mostrar ser verdadeira.
Um teorema é habitualmente escrito na forma:
H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ⇒ C
em que as proposições:
H1 , H2 , . . . , Hn são as HIPÓTESES
C é a CONCLUSÃO.
Lemas e Corolários são casos particulares de teoremas.
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47. Argumentação Matemática
Argumentação Matemática II
Lemas sem importância própria, usados na demonstração de outros
teoremas.
Corolários são casos particulares de um teorema.
Uma Demonstração de um teorema consiste numa sequência de
proposições que termina na conclusão (C) e que são Válidas.
Para uma proposição de uma demonstração ser válida deverá ser:
ou uma das hipóteses (H1 , H2 , . . .),
uma tautologia conhecida,
derivar de uma proposição anterior por substituição de variáveis livres
(ie variáveis não associadas a um quantificador),
ou derivar de proposições anteriores por Regras de Inferência.
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48. Argumentação Matemática
Regras de Inferência I
P1
P2
. lê-se: P1 , P2 , · · · , Pk logo Q
.
.
Significado: P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pk ⇒ Q
Pk
∴ Q
Algumas regras de inferência mais usuais:
Regra Tautologia Nome
p
p → (p ∨ q) Adição
∴ p∨q
p∧q
(p ∧ q) → p Simplificação
∴ p
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49. Argumentação Matemática
Regras de Inferência II
Regra Tautologia Nome
p
p→q [p ∧ (p → q)] → q Modus Ponens (destacamento)
∴ q
¬p
p→q [¬q ∧ (p → q)] → ¬p Modus Tollens
∴ ¬p
p→q
q→r [(p → q) ∧ (q → r )] → (p → r ) Silogismo de hipótese
∴ p→r
p∨q
¬p [(p ∨ q) ∧ ¬p] → q Silogismo de Disjunção
∴ q
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50. Argumentação Matemática
Regras de Inferência III
Exemplo 1
Verifique formalmente o seguinte argumento:
“Está frio. Logo está frio ou está chuva.”
p: “está frio”
q: “está chuva”
1 p por hipótese
2 p ∨ q por 1 e adição.
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51. Argumentação Matemática
Regras de Inferência IV
Exemplo 2
Verifique o argumento:
“Se hoje estiver sol vou à praia.
Hoje está sol. Logo vou à praia.”
p: “está sol”
q: “vou à praia”
1 p→q por hipótese
2 p por hipótese
3 q por 1,2 e Modus Ponens.
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52. Argumentação Matemática
Regras de Inferência V
Exemplo 3
Verifique o seguinte argumento:
“Se eu estudar ou se eu for um génio, então vou passar a MD Se eu
passar a MD vou ter umas boas férias. Logo, se eu não tiver umas
boas férias não sou um génio.”
Uma possível demonstração:
e: “eu estudo”
g: “eu sou um génio”
p: “vou passar a MD”
f : “vou ter umas boas férias”
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53. Argumentação Matemática
Regras de Inferência VI
1 e ∨ g → p por hipótese
2 p → f por hipótese
3 g →e∨g adição
4 g →g∨e 3, comutatividade da disjunção
5 g→p 4,1, silogismo da hipótese
6 g→f 5,2, silogismo da hipótese
7 ¬f → ¬g 6, contrapositivo.
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54. Argumentação Matemática
Técnicas de Demonstração I
Demonstração Directa
H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ⇒ C
Começando pelas hipótese e usando as regras de inferência,
tautologias e outras proposições válidas tentar chegar à
conclusão C.
Demonstração por Contradição (redução ao absurdo)
H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn ∧ ¬C ⇒ contradição
Demonstração do contrapositivo
¬C ⇒ ¬(H1 ∧ H2 ∧ . . . ∧ Hn )
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55. Argumentação Matemática
Técnicas de Demonstração II
Demonstração por enumeração dos casos
Usa o facto que
H1 ∨ H2 ∨ . . . ∨ Hn ⇒ C
é equivalente a
(H1 ⇒ C) ∧ (H2 ⇒ C) ∧ . . . ∧ (Hn ⇒ C)
Cada um pode ser mostrado separadamente.
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56. Argumentação Matemática
Técnicas de Demonstração III
Exemplo
Mostre que se 3n + 2 é ímpar, então n também é ímpar
i) por contradição
ii) por contrapositivo
i) Por contradição
(3n + 2 é ímpar) ∧ (n é par) ⇒ contradição
Por hipótese:
3n + 2 = 2k + 1 para algum k inteiro
n = 2l para algum l inteiro
Mas
3n + 2 = 3(2l) + 2 = 6l + 2 = 2k + 1
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57. Argumentação Matemática
Técnicas de Demonstração IV
Da última igualdade
k = 6l+1 = 3l + 1
2 2
Como k e l são inteiros, temos uma contradição.
ii) Pelo contrapositivo (n par) ⇒ (3n + 2 par)
Por hipótese
n = 2k , k inteiro
Donde
4n + 2 = 3(2k ) + 2 = 2(3k + 1) é par.
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58. Argumentação Matemática
Técnicas de Demonstração V
Exemplo:
Mostre que se n não é divisível por 3 então a divisão de n2 por 3 dá
sempre resto 1. (Sugestão: use enumeração de casos)
i) Resto 1. n = 3k + 1, k inteiro
ii) Resto 2. n = 3k + 2, k inteiro
i) n2 = (3k + 1)2 = 9k 2 + 3k + 1 = 3(3k 2 + k ) + 1, resto 1.
ii) n2 = (3k + 2)2 = 9k 2 + 6k + 4 = 3(3k 2 + 2k + 1) + 1, resto 1.
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59. Indução Matemática
Indução Matemática
Técnica de demonstração de teoremas do tipo:
“P(n) é verdadeiro para qualquer inteiro positivo n.”
Exemplo:
n(n+1)
Mostre que o somatório dos n primeiros inteiros é igual a 2 , para
qualquer n inteiro positivo n.
É fácil verificar para os primeiros
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60. Indução Matemática
1=1
1+2
1+2=2 =3
2
1+3
1+2+3=6=3
2
1+4
1 + 2 + 3 + 4 = 10 = 4
2
Mas por enumeração não conseguimos mostrar para todos os inteiros
positivos n.
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61. Indução Matemática
Indução Matemática I
1 Passo de Base: Mostrar que P(1) é verdadeiro.
2 Passo de Indução: Assumindo que P(k ) é verdadeiro, mostrar
que P(k + 1) também é verdadeiro, para qualquer k . (i.e.
P(k ) → P(k + 1), ∀k )
Expressando a Indução Matemática como uma Regra de Inferência:
P(1)
P(k ) → P(k + 1), ∀k ∈N
∴ P(n), ∀k ∈N
Ou como
[P(1) ∧ (P(k ) → P(k + 1), k ∈ N)] ⇒ P(n), ∀n∈N
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 61 / 65
62. Indução Matemática
Indução Matemática II
n(n+1)
“O somatório dos n primeiros inteiros é igual a 2 ”
Demonstração por indução matemática
1 Passo de base
1·2
P(1) : 1 = 2 = 1 verdadeiro
2 Passo de indução (P(k ) → P(k + 1))
P(k ) : 1 + 2 + . . . k = k k +1
2
k +2
P(k + 1) : 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = (k + 1) · 2
k (k +1)
P(k ) → 1 + 2 + . . . k = 2
(k +1)(k +2)
→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = 2 + (k + 1)
Fernando Fontes (Universidade do Minho) Lógica 62 / 65
63. Indução Matemática
Indução Matemática III
k (k +1)+2(k +1)
→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = 2
(k +1)(k +2)
→ 1 + 2 + . . . + k + (k + 1) = 2
→ P(k + 1)
Verdadeiro
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64. Indução Matemática
Interpretação I
O primeiro dominó tomba.
Se um qualquer dominó tombar, então o seguinte tomba também.
∴ todos os dominós tombam.
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65. Indução Matemática
Interpretação II
Exercício:
Mostre a fórmula da soma de uma progressão geométrica
n
rn − 1
ri = r .
r −1
n=1
Mostre que 2n < n! para n ≥ 4.
Se o cardinal de um conjunto A for n, então o número de
subconjuntos de A é igual a 2n . Mostre por indução.
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