Análise combinatória, fatoral, principio multiplicativo e exercícios

1. ANÁLISE
COMBINATÓRIA
2ª SÉRIE –
COLÉGIO UNIVERSITÁRIO
PROFº
MARCOS

2. ● O que é análise combinatória?

3. ● Análise Combinatória ou simplesmente
Combinatória, é o ramo da Matemática que
estuda os problemas relacionados a
contagem, ou seja, analisa coleções de
objetos que satisfaçam critérios ou atributos
específicos relacionados a contagem de
objetos nessas coleções.
Análise Combinatória

4. ● Combinações de roupas
● Placas de automóveis
● Números de telefones
● Competições
● Premiações
● Formação de grupos, comissões
● Cardápios
● Rotas e caminhos
Análise Combinatória:
Situações cotidianas

5. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
5
Decisão d
d1
d2
d3
x1 maneiras
x2 maneiras
x3 maneiras
E
E
Princípio multiplicativo x1 · x2 · x3 maneiras

6. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
6
Decisão d
d1
d2
d3
x1 maneiras
x2 maneiras
x3 maneiras
OU
OU
Princípio aditivo x1 + x2 + x3
maneiras

7. PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO
7

8. PERMUTAÇÃO
8

9. PERMUTAÇÃO
9

10. Problemas de Contagem
● Um número de RG é composto por 10 algarismos, onde
o(s) primeiro(s) algarismo(s) pode(m) ser zero. Quantos
números de identidade são possíveis?

11. Problemas de Contagem
● Um número de RG é composto por 10 algarismos, onde
o(s) primeiro(s) algarismo(s) pode(m) ser zero. Quantos
números de identidade são possíveis?
= 1010
possibilidades
= 10.000.000.000 identidades

12. Problemas de Contagem
● As placas de Licença de carros no Brasil consistem em sete
elementos: os três primeiros são letras(A – Z) e os quatro
últimos são números(0 – 9). Quantas placas de licença são
possíveis?

13. Problemas de Contagem
● As placas de Licença de carros no Brasil consistem em sete
elementos: os três primeiros são letras(A – Z) e os quatro
últimos são números(0 – 9). Quantas placas de licença são
possíveis?
= 26.26.26.10.10.10.10 possibilidades
= 175.760.000 placas.

14. ● De quantas maneiras posso escolher uma sobremesa
entre duas tortas, quatro bolos e três sorvetes?
Problemas de Contagem

15. ● De quantas maneiras posso escolher uma sobremesa
entre duas tortas, quatro bolos e três sorvetes?
  
2 4 3
= 2+4+3 possibilidades
= 9 maneiras para escolha da sobremesa
Problemas de Contagem

16. FATORIAL
● O produto de dois inteiros positivos de 1 a n, inclusive, é
denotado por n! ( lê-se “n fatorial”):
n! = 1. 2 . 3. ...(n – 2).(n – 1).n
● Em outras palavras, n! é definido por:
1! = 1 e n! = n.( n – 1) !
Também é conveniente definir 0! = 1 .
●
(LIPSCHUTZ E LIPSON, p. 135, 2004)

17. Arranjo Simples São os agrupamentos ordenados diferentes que
se podem formar com p dos n elementos dados)
Num conjunto de n elementos, ao agruparmos p a p:
● na primeira posição  n possibilidades
● na segunda posição  (n – 1) possibilidades
● na terceira posição  (n – 2) possibilidades
... ...
na p-ésima posição  n – (p – 1) possibilidades
●

18. Arranjo Simples - An,p
Aplicando o princípio fundamental da contagem, o número total
de possibilidades é dado por:
An,p= n(n – 1)(n – 2) ... [n – (p – 1)]
p fatores
ou An,p= n(n – 1)(n – 2) ... (n – p + 1)
A 

n!
n,p
n p!
An,p
n,p
n p!

n(n – 1)(n – 2)...(n – p 1)n p!

n p!
A  n(n – 1)(n – 2)... (n – p 1).
n p!


19. Combinação Simples (de n elementos tomados p a p, p  n, são os
subconjuntos com exatamente p elementos que se podem
formar com os n elementos dados)
p!(n  p)!
n!
n!

An,p
 (n  p)! 
p! p!
n, p
n!
p!(n  p)!
C 
Cn, p

20. COMBINAÇÃO E ARRANJO
20
Ao usar/escolher
apenas uma parte dos
elementos do
conjunto, se faz
combinação (sem
ordem) ou arranjo
(com ordem).

21. Combinação
21
Escolher 3 funcionários dentre 8 disponíveis
para formar uma equipe administrativa.

22. Combinação
22
Escolher 3 funcionários dentre 8 disponíveis
para formar uma equipe administrativa.
8 × 7 × 6
3!
= 56 equipes
distintas

23. Arranjo
23
Escolher 3 funcionários dentre 8 disponíveis
para assumir, respectivamente, os cargos de
Supervisor, Tesoureiro e Marqueteiro.
8 7 6
E E
× ×
336 grupos distintos

24. EXERCÍCIOS
24

25. EXERCÍCIOS
25

26. EXERCÍCIOS
26

27. EXERCÍCIOS
27

28. EXERCÍCIOS
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29. EXERCÍCIOS
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30. EXERCÍCIOS
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31. EXERCÍCIOS
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32. PROFº
MARCOS