ANÁLISE COMBINATÓRIA APLOICAÇÕES NAMATEMÁTICA

ANÁLISE COMBINATÓRIA
O que você deve saber sobre
A análise combinatória fornece ferramentas fundamentais para
determinar a quantidade de elementos em um dado conjunto. Nesse
sentido, tendo como objetivo o conhecimento do todo, ela precede a
probabilidade e a estatística.

Árvore de possibilidades: uma escolha, ou evento, abre duas ou
mais possibilidades para outra escolha, ou evento, subsequente.
Princípio multiplicativo
Considere um fenômeno que seja resultado de dois eventos
(ou duas escolhas) A e B, que ocorrem sucessivamente e de
modo independente.
Se o evento A pode ocorrer de n maneiras diferentes e se, para
cada uma dessas possibilidades, o evento B pode ocorrer de m
maneiras diferentes, então, a quantidade de maneiras diferentes
que o fenômeno pode ocorrer é igual ao produto m . n.
I. Contagem

II. Permutação
Simples: sequência ordenada e formada pelos n elementos de
um conjunto em que não há elementos repetidos.
Exemplos:
• A geração de anagramas com as letras de uma palavra formada
por letras distintas, duas a duas.
• As configurações de pessoas em filas ou mesas.
Para um conjunto de n elementos distintos, o número Pn de
permutações simples e possível de fazer com os n elementos:
Pn = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) .... . 3 . 2 . 1  Pn = n!

Com repetição
O número total de permutações é inferior àquele que se poderia fazer,
caso todos os elementos fossem diferentes.
Os elementos repetidos geram sequências idênticas, o que reduz o
número total de possibilidades distintas.
O número de permutações em um conjunto com n elementos, sendo n1
a quantidade de elementos repetidos de um tipo 1, n2 a quantidade de
elementos repetidos de um tipo 2, ... e nk a quantidade de elementos
repetidos de um tipo k, é:
II. Permutações

Os n elementos do conjunto são dispostos numa determinada
ordem em torno de um círculo ou em uma tal configuração que,
uma vez percorridos todos os elementos do conjunto, retorna-se ao
início. Ex.: a disposição de convidados em torno de uma mesa. Não
há nem primeira nem última posição. Observe a disposição de 5
letras em um círculo:
Circulares
II. Permutações
Mantendo-se a sequência ABCDE, podemos gerar mais duas posições
por rotação.

Nas permutações circulares de n elementos de um conjunto, o
número de possibilidades diferentes, indicado por PCn, é dado por:
Representação das figuras geradas pelo traçado das diagonais
de diversos polígonos, um problema clássico de geometria
plana. Os vértices desses polígonos servem de elementos em
permutações circulares.
II. Permutações
Circulares

São configurações ordenadas de alguns
elementos de um conjunto em que a
quantidade de elementos é menor
que a quantidade de elementos
do conjunto original ou igual a ela.
Num conjunto com n elementos, se
fizermos arranjos de p elementos,
estaremos arranjando n elementos
tomados p a p.
Número total de elementos:
III. Arranjos
Possibilidades de arranjos circulares com
quatro elementos

São subconjuntos formados por elementos de um conjunto em que
a ordem dos elementos não importa.
Por isso devemos descontar do total aquelas combinações que
possuem os mesmos elementos, em ordens diferentes.
Como nos arranjos, dos n elementos de um conjunto fazemos
combinações com p elementos; dizemos então que fazemos
combinações de n elementos, tomados p a p:
IV. Combinações simples
Número de combinações possíveis nessas condições:

O desenvolvimento das potências da soma de duas parcelas, tais
como (a + b)n, leva a expressões que são somas de parcelas de
produtos da forma ak . bn - k acompanhadas de coeficientes inteiros.
Por ex., se fizermos (a + b)5, teremos parcelas com todas as
combinações possíveis de expoentes no produto entre a e b, de
0 a 5, com soma sempre igual a 5:
Os coeficientes de cada parcela correspondem às combinações
possíveis de fazer com os valores dos expoentes das duas parcelas.
Ex.: as possibilidades para o coeficiente de a2b3 são, entre outras:
V. O binômio de Newton
a0b5, a1b4, a2b3, a3b2, a4b1, a5b0
a  a  b  b  b a  b  a  b  b a  b  b  a  b

• 5 é n, o expoente da potência da soma que queremos efetuar.
• 2 é o expoente de a.
• A quantidade de parcelas iguais em a2b3 é 10.
• Os chamados coeficientes do binômio de cada um dos termos de
ak . bn - k no desenvolvimento de (a + b)n são dados por:
Número de combinações possíveis:

Podemos encontrar os
coeficientes do binômio nas
linhas do chamado triângulo
de Pascal.
A linha de ordem n guarda os
coeficientes do binômio de
grau n, n  0 e n  .

(Ufal)
Determine o valor da soma a seguir:
2
ANÁLISE COMBINATÓRIA – NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:

(UFC-CE)
Uma comissão de 5 membros será formada escolhendo-se parlamentares de um conjunto com 5 senadores e 3 deputados.
Determine o número de comissões distintas que podem ser
formadas obedecendo à regra: a presidência da comissão deve ser
ocupada por um senador, e a vice-presidência, por um deputado
(duas comissões com as mesmas pessoas, mas em que a
presidência ou a vice-presidência sejam ocupadas por pessoas
diferentes, são consideradas distintas).
3
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:

(Fuvest-SP)
Um lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família
Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, a família Sousa quer ocupar um mesmo banco; Lúcia e
Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove
passageiros no lotação é igual a:
a) 928.
b) 1.152.
c) 1.828.
d) 2.412.
e) 3.456.
6
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA: E

(Ufla-MG, adaptado)
Um problema clássico em combinatória é calcular o número de maneiras de colocar bolas iguais em caixas diferentes.
Calcule o número de maneiras de colocar 7 bolas iguais em 3 caixas
diferentes, sem que nenhuma caixa fique vazia.
Sugestão:
Na figura acima, a título de exemplo, aparece uma distribuição possível, com 2 bolas na caixa 1, 3 bolas na caixa 2 e 2
bolas na caixa 3.
8
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:

(Unesp)
Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na
figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é
uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor.
Responda, justificando sua resposta, de quantas maneiras é possível
colorir o mapa, se:
a) os países P e S forem
coloridos com cores distintas?
b) os países P e S forem
coloridos com a mesma cor?
9
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS
RESPOSTA:

(Uerj)
Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
• um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
• um dentre os tamanhos: pequeno e grande;
• de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio
num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele
não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois
recheios em cada sanduíche.
1
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS 11
RESPOSTA:

(UFC-CE)
Considere o conjunto de dígitos C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
a) Dentre todos os números naturais
com 4 dígitos que se pode formar
utilizando somente elementos de C,
calcule quantos são múltiplos de 4.
b) Dentre todos os números naturais
com 3 dígitos distintos que se pode
formar utilizando somente elementos de
C, calcule quantos são múltiplos de 3.
1
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS 12
RESPOSTA:

(UFBA)
Numa disputa entre três times, estabeleceu-se que:
• cada time jogaria duas vezes contra cada um dos outros dois, sendo uma partida no seu próprio estádio e outra no estádio
do adversário;
• cada time ganharia dois pontos por vitória e um ponto por empate, não marcando ponto em caso de derrota;
• ao final das seis partidas, em que estará em disputa um total de 12 pontos, o campeão seria o time que acumulasse o maior
número de pontos.
Um dos times somou três pontos nas partidas realizadas no próprio estádio, e outro empatou todas as partidas que disputou.
Sabendo que, ao final de todas as partidas, os times ficaram com
pontuações distintas e que a pontuação do campeão foi um número
par, determine o produto das pontuações finais dos três times.
1
EXERCÍCIOS
ESSENCIAIS 16
RESPOSTA:
Sejam A, B e C os times em questão. O time A somou 3 pontos
em 2 partidas realizadas no próprio estádio; logo, ganhou uma
e empatou outra. O time C empatou todas as partidas que
disputou (2 com A e 2 com B); logo, somou 4 pontos. O time B
perdeu para A a partida que disputou no estádio deste. Não
ganhou nem empatou a outra, pois nesses casos haveria
empates de pontuação; logo, perdeu e somou apenas 2 pontos
nos empates com C. Portanto, 6 . 4 . 2 = 48.

Bibliografia
•http://www.colmagno.com.br/plus3/matematica/mat_ppt11.ppt
•https://www.google.com.br/search?q=soma+e+diferen%C3%A7a+de+arcos&rlz=1C
1CHNY_pt-
BRBR558BR558&oq=soma+e+diferen%C3%A7a+de+arcos&aqs=chrome..69i57j0l5.4
83j0j7&sourceid=chrome&espv=210&es_sm=122&ie=UTF-
8#es_sm=122&espv=210&q=analise+combinatoria+ppt

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