A viabilidade da construção do conhecimento

ROSELlTA DE OLIVEIRA MANENTE
A VIABILIDADE DA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO DE NÚMEROS
RACIONAIS A PARTIR DO RACiOcíNIO DO ALUNO
PONTA GROSSA
2001
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ROSELlTA DE OLIVEIRA MANENTE
A VIABILIDADE DA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO DE NÚMEROS
RACIONAIS A PARTIR DO RACiOcíNIO DO ALUNO
Monografia apresentada ao Curso de Pós-
graduação "Lato-sensu" , Especialização
em Matemática: Dimensões Teórico
Metodológicas da Universidade Estadual
de Ponta Grossa.
Professora Orientadora: Helena Cecília
Cruz Fürstenberger
PONTA GROSSA
2001
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EPÍGRAFE
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DEDICATÓRIA
Dedico- ~ 'tycWoJho-Cl/ -c-od.cv,y ~ p~
qU,..e/ ~ ~ m..ed.ir eifoy~ pCU'"Cl/
~e-mt ~ ~ p~por-
dt1ta/ de- 'toda" e-ouodque« 1xu-Yw-cv, .e#1I
~ e- qU,..e/ a.dtJu;v de- tudo-
Cla"~qU,..e/ ~&pO"»Welt WUA.daY.
---- - -- -----

AGRADECIMENTOS
A V~ forçcvqU-e/~Yf?/~f?/pY~
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A 'toda" ~ fcvmil.ú;v e- aoy ~
etWoW~ pelo- apoio; ~wo- e-
com:pY~e#1/"tod.oy~ ~
À PY~lN tf.~ FtM-~~,
pY~lN or~ets qU-e/ c.õm.t o- ~
w.beY pCU"t'tdpOtN ncv eUiborcu;ã.o- deçse:
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RESUMO
Subsidiado em experiências na sala de aula, foram observadas algumas dificuldades
em relação aos números racionais. Tais observações motivaram o desenvolvimento
desta pesquisa visando sobre os problemas detectados. Para isso foi necessário
conhecer a história da Matemática, mais sua evolução e como se encontra nos dias
atuais mais especificamente quanto aos racionais.
Também são propostas atividades envolvendo os números racionais, sugeridas para
5a
série do Ensino Fundamental, buscando contribuir para somar as dificuldades dos
alunos.

SUMÁRIO
RESUMO V
1. INTRODUÇÃO 1
2. ORIGEM E EVOLUÇÃO DA MATEMÁTICA 4
3. A EVOLUÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA 19
3.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA NOS DIAS ATUAIS 20
3.2 NÚMEROS RACIONAIS 25
3.3 NÚMEROS FRACIONÁRIOS 26
3.4 NÚMEROS DECIMAIS 29
4. RELATÓRIO DAS ATIVIDADES 31
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 41
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 43
ANEXOS
ANEXO 1 - Autorização para desenvolver a pesquisa no Colégio 46
ANEXO 2 - Os problemas propostos aos alunos 48
ANEXO 3 - Algumas das soluções que os alunos deram aos problemas
propostos 51
ANEXO 4 - Alguns sistemas de numeração antigos 97

SUMÁRIO - FIGURAS
FIGURA 1 11
FIGURA2 12
FIGURA3 13
FIGURA4 13
FIGURA5 17
/

1. INTRODUÇÃO
"... A aparência manifesta dos objetos e das situações que se dão ao conhecimento humano
e a sua essência não coincide. Se assim não fosse, todos os nossos atos de conhecer teriam
o mesmo nível de validade e eficiência, e as formas metodologicamente organizadas de
conhecer, tais como a filosofia e a ciência seriam dispensáveis."
Luckese
Vários motivos que despertaram o interesse pela pesquisa que aqui se relata.
Primeiramente, o ser professor de Matemática no Ensino Fundamental, vivenciando
com os alunos as suas dificuldades na aprendizagem da matemática e também
refletindo sobre as causas delas, chegou-se ao insucesso que demonstram e que
em muitos casos conduzem praticamente, à "desistência" em compreender a
matemática.
Outro fator desencadeante da investigação foi que a observação corriqueira,
do cotidiano da escola o qual revelou que a Matemática ensinada pelos professores
consiste num corpo de conhecimento acabado, pronto e polido. Aos alunos
geralmente não é dada, em nenhum momento, a oportunidade de criar, nem mesmo
uma solução mais interessante ou diferente. Percebeu-se uma grande preocupação
com o cálculo e com a quantidade do conteúdo trabalhado. Para os que assim
trabalham, tal conteúdo constitui a prioridade de sua própria ação pedagógica, ao
invés da aprendizagem do aluno.
Nos documentos oficiais brasileiros (PCNs1
) tem-se que a formação do
cidadão, cuja necessidade é reconhecida como direito de todos e meta buscada com
empenho, exige dentre outros aspectos, o desenvolvimento do uso das diferentes
linguagens verbal, matemática, gráfica, plástica e corporal, como meio para produzir,
1 PCNs - Parâmetros Curriculares Nacionais.

2
expressar e comunicar suas idéias.
o saber utiliza as diferentes fontes de informação e os recursos tecnológicos para adquirir e
construir conhecimentos e questionar a realidade, formulando-se problemas e tratando de
resolvê-Ios, usando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição e a capacidade
de análise crítica, não sendo possível prescindir da Matemática em suas várias forma. (peNs,
1997, p. 14)
Piaget (1995) afirma que as matemáticas constituem uma "tomada de
consciência" das próprias estruturas de pensamento e do funcionamento do ato de
pensar e que, portanto, não se compreende o não-aprender matemático. Ele ainda
faz uma comparação:
c
Acontece com a Matemática o mesmo que acontece com o Sr. Jordão que canta, mas não
sabe que canta notas musicais. Da mesma forma, o aluno que não sabe Matemática usa
essa mesma matemática na vida diária, a todo momento, e não sabe que a usa. Aprender ou
não gostar da Matemática não é questão de vocação, jeito ou bossa. E antes, diz ele,
resultado da forma de ensinar, da metodologia de ensino adotada pelo professor e vivida pelo
l aluno. (PIAGET, 1995, p. 78)
o que é preciso no ensino da Matemática é mostrar ao aluno que ela faz
parte do seu mundo, no cotidiano de sua vida e, portanto, é importante que ele a
compreenda. Ao professor, é igualmente necessário, que ele invista em
metodologias para ensinar, que favoreçam ao aluno a visualização da utilidade que
a Matemática tem no dia a dia das pessoas.
X Particularmente nesta pesquisa o tema da área da Matemática abordado é a
divisão de números racionais. JA intenção era ir um pouco além de esclarecer os
respectivos conceitos, tentando compreender porque existe tanta dificuldade por
parte dos alunos na compreensão dos números racionais e tudo que está ligado a
eles. Um estudo mais aprofundado poderia possibilitar mudanças no sentido de
contribuir com o ensino da Matemática de uma forma menos complexa, mostrando
ao aluno que isso também faz parte do seu mundo.
Uma vez constatada a insatisfação generalizada com relação ao ensino e

3
r
aprendizagem da Matemática, percebeu-se de modo especial que o item números
decimais e divisão tinha uma necessidade mais urgente, principalmente na 5a
série
do ensino fundamental. Motivo este que reportou ao problema:
É possível construir o conhecimento dos números racionais, sem repetir
de forma mecanizada os exemplos dados pelo professor?
Para responder essa questão formulou-se os seguintes objetivos:
Estudar os números racionais através de pesquisa bibliográfica;
- Identificar as dificuldades dos alunos em relação as diferentes formas dos
números racionais em comparação ao trabalho no campo dos naturais;
- Aprofundar o assunto divisão de números racionais, decimais e fracionários;
A pesquisa de campo foi desenvolvida com alunos da 5a
série "C" do Ensino
Fundamental do Colégio Estadual Júlia Wanderley Ensino Fundamental e Médio,
localizado em Carambeí, Estado do Paraná, no período de abril a dezembro de
2001.
r
Para realizar este trabalho optou-se, primeiramente em fazer um
levantamento bibliográfico, que contribuísse posteriormente na investigação das
dificuldades enfrentadas pelos alunos da 5a
série ao resolver a operação de divisão
no campo dos racionais.
No primeiro capítulo historiou-se e conceituou-se os temas da Matemática
que foram alvos desta investigação. Em seguida apresentou-se o modo como foi
aplicada e desenvolvida a pesquisa de campo com os alunos da 5.a
série, os
resultados obtidos e sua análise, finalizando com algumas considerações finais.

4
2. ORIGEM E EVOLUÇÃO DA MATEMÁTICA
Ainda não se tem um consenso em definir satisfatoriamente a Matemática e é
pouco provável que se chegue a obtê-to enquanto a disciplina se mostrar frutífera e
cambiante como atualmente se apresenta.
Segundo AABOE (1984, p. 129) as definições aparecem distribuídas em duas
categorias fundamentais, baseando-se ora em uma filosofia crítica, ora em uma
filosofia especulativa. A Matemática é a ciência das grandezas, é a ciência dos
números, é a ciência que tem por objeto a medida indireta das grandezas. A
Matemática não trata apenas de grandezas e de números embora considere
fundamental a noção de grandeza e procure apresentá-Ia em termos precisos.
Por outro lado a Matemática é a ciência que trata de leis universais, a que as
coisas, enquanto existentes, devem obedecer. A Matemática trata de investigar
conceitos que expressam relações entre objetos quaisquer. Essas definições
procuram fixar as relações da Matemática com a realidade, não sendo adequadas
para a obtenção de equações da Matemática. A Matemática não cuida de objetos,
mas do modo pelo qual estes devem comportar-se a fim de se transformarem em
fenômenos, ela preocupa-se em traçar as conseqüências de hipóteses. A
Matemática é a ciência das formas de pensamento, quer dizer, ela se preocupa com
a forma que os objetos assumem no espírito humano. Também é considerado um
sistema de cunho matemático qualquer coleção de seqüências de sinais
identificáveis, algumas das quais são fixadas de início, sendo as restantes obtidas a
partir delas por meio de operações executadas segundo certas regras que
independem dos significados atribuídos aos sinais. A Matemática é a ciência das
conclusões necessárias e, em sentido mais amplo, é o desenvolvimento de todos os

5
tipos de raciocínio formal, necessário e dedutivo. A Matemática pura é a classe de
todas as proposições.
AABOE (1984, p. 74) afirma que a Matemática é uma das ciências mais
antigas, perdendo-se as suas origens nos tempos pré-históricos. Remonta a era
quaternária à época em que, possivelmente surgiu o primeiro conhecimento
matemático no homem. Os homens aprenderam a contar, captaram formas e
intuíram simetrias em épocas muito remotas. Símbolos para os números foram
inventados e estes se mostraram de tal utilidade que se cercaram de significações
misteriosas. Métodos numéricos, geométricos e algébricos foram desenvolvidos na
Babilônia, por volta do século XVIII a.C., ao mesmo tempo em que a Geometria e a
Aritmética se desenvolviam no Egito, e por força de interesses de ordem prática, se
toma independente em torno do século V a.C., na Grécia.
A história da Matemática poderia abranger um período remoto, que se
estende desde tempos imemoriais até 1637, um período intermediário, de 1637 a
1800 e um período recente de 1800 até os dias de hoje.
Entre os anos 800 a 1000, a ciência sofreu forte influência da civilização
muçulmana. A Astrologia e a Numerologia do Oriente foram combinadas com a
Geometria e com o pensamento de cunho filosófico predominante no Ocidente,
resultando depois do século XVI, nos avanços notáveis da Álgebra e no
aparecimento do Cálculo tnfinitesimal Os últimos decênios viram a Matemática
desenvolver-se de modo impressionante, acompanhando o avanço geral de todas as
ciências. A própria Matemática viu abrir-se o elenco de suas ramificações, com o
surgimento de novas geometrias e das aplicações especiais como as da
probabilidade e da teoria das funções.
As publicações especializadas ultrapassam a casa do milhar e a ciência hoje

6
em dia é praticamente inacessível a quem não tenha passado vários anos
estudando seus pontos fundamentais.
A história da ciência revela que vária disciplina vem se beneficiando cada vez
mais do avanço da Matemática e que por sua vez, essa se inspira nos problemas
trazidos por outras investigações para encontrar pontos que contribuam para seu
próprio desenvolvimento. A tecnologia, com seus problemas específicos tem trazido
também, questões novas e urgentes para a Matemática.
A Matemática elementar é uma resposta para estímulos diretos, para
necessidades concretas e imediatas. Os números naturais foram introduzidos para
representar a quantidade de animais numa herda, as frações nasceram para
representar a porção da renda que devia ser entregue à Igreja ou ao Estado, na
forma de impostos e taxas, as figuras geométricas surgiram da necessidade de
delimitar terrenos que o rio Nilo cobria em suas enchentes periódicas. A Matemática
brotada de preocupações reais e familiares como essas, adapta-se
maravilhosamente às necessidades comuns como a exploração da natureza,
obrigações comerciais e utilização prática em questões de engenharia. Nessa fase
elementar os conceitos e as operações Matemáticas são abstrações surgidas de
situações concretas, a Matemática espelha a realidade natural. Vários
acontecimentos provocaram alterações profundas nessa cômoda situação, o
primeiro deles foi a introdução dos números negativos na índia. Muitos séculos se
passaram até que os matemáticos se habituassem a tais números.
A Matemática só começou a ganhar forma quando algum princípio unificador
é concebido, estruturando a massa de pormenores coletados, e é talvez através de
tais idéias unificadoras que a Matemática pode ser mais bem compreendida. Tendo-
se desenvolvido de modo prodigioso nos séculos XVII e XVIII, a Matemática passou,

7
a partir de 1830, por uma revisão profunda, quando se notou que os amplos
resultados obtidos pelos estudiosos estavam associados a uma incrível falta de
conhecimento acerca dos conceitos básicos e dos métodos de demonstração
utilizados para obtenção desses resultados.
Em termos simples, a Matemática é fruto de seu tempo, tal como ocorre com
as demais ciências e de modo geral, com o próprio conhecimento. O
desenvolvimento da Matemática, salienta com propriedade, que muitos episódios
importantes da história da Matemática seriam mal compreendidos se não fossem
situados em seu contexto histórico. Isso não quer dizer que a Matemática se
compare a areia movediça, ao contrário ela é um edifício de grande solidez tão
estável como as mais estáveis construções do homem, brotadas da experiência,
uma conquista feita, um resultado estabelecido, não conhece obsolescência. Não se
deve perder de vista que nem todas as descobertas do passado permaneceram
imutáveis. Vários tópicos da Matemática foram abandonados, por se mostrarem
inadequados, triviais ou complicados, e alguns chegaram a ser totalmente
esquecidos. É falsa a idéia de que a Matemática nunca precisa refazer seus
caminhos, como é falsa a idéia de que a Matemática seja um edifício acabado e
perfeito. A Matemática é uma linguagem, é uma ciência, é uma arte, está sujeita a
alterações, oriundas da mudança de critérios de utilidade, interesse e beleza, bem
como sujeita a transformações que são típicas de qualquer linguagem de uso
intenso.
A Matemática tem suas raízes assentadas no solo da vida quotidiana e é
fundamental para as conquistas tecnológicas. É usada para executar as operações
elementares que a vida diária requer, para desenhar a planta dos edifícios, para
calcular a resistência dos materiais que serão empregados na construção de pontes,

8
para projetar os circuitos de televisão e para lançar ao espaço os modernos
foguetes. Analisando por outro lado, a Matemática é considerada como a mais
abstrata e a mais hipotética das ciências, reconhecendo que a experiência comum é
demasiado complexa, o homem passou a fazer uso de abstrações. A abstração, com
base naquilo que decorre da experiência comum, é uma das principais fontes da
utilidade da Matemática e o segredo de sua validade científica.
A Matemática tem sido um somatório de pesquisas, de deduções e de
experiências executadas desde as primeiras civilizações e que às vezes se
reformulam, dadas as deficiências na transmissão de conhecimentos ou por
fundamentar-se na aplicação de novos métodos na solução de suas questões. A
evolução dos processos da Matemática, o estabelecimento de novos conceitos, o
aprimoramento de sua fundamentação e a implantação de novas estruturas fizeram
com que as conquistas do passado tivessem nova feição e gradativamente,
lograssem esquecimento.
O ser humano é dotado de uma percepção numérica, ele possui a faculdade
de notar qualquer alteração numérica em conjuntos de pequeno número de
elementos e de seu particular interesse. Essa percepção não é exclusiva do homem,
embora lhe seja inata, algumas aves e insetos possuem essa peculiaridade.
Através de pesquisas feitas e estudos sobre o desenvolvimento das
civilizações observou-se que a cultura humana em seu conjunto parte de um estado
inicial comum e vai sucessivamente passando por estágios gradativos de progresso,
isto é, presume-se que evoluem sempre da mesma forma, transmitindo os
conhecimentos acumulados. Pode-se concluir que a mentalidade de nossos
antepassados longínquos devia ser análoga dos povos primitivos e de cultura
rudimentar que existem atualmente, pois pela análise dos conhecimentos e

9
comportamentos destes, entende-se a evolução das noções Matemáticas.
Acumulando dados relativos à vida e estágios culturais destas comunidades
localizadas em diferentes regiões da Terra e observadas em diversas épocas,
verificando as analogias existentes nestas primeiras fases da cultura humana,
admite-se também por força da lógica que os primeiros conceitos matemáticos
surgiram da mesma forma como apareceram, em nossa época, entre os povos de
civilização rudimentar. Pelos estudos feitos é de se concluir que não se tem
argumentos para refutar, e sim muitas razões para afirmar que o homem na primeira
infância da civilização conte, designando com nomes distintos até os três primeiros
números e com a repetição deles, pequenas coleções. O desenvolvimento da
linguagem do sistema de numeração atual perturba a mente dos povos de cultura
elementar, acarretando até a impossibilidade de ser assimilado. A arte da
numeração ou da contagem em seus prirnórdios prescinde de qualquer
sistematização. Como as coleções pertinentes à vida dos povos eram pequenas,
não havia necessidade de uma arte de contar desenvolvida, pois ela não ia além da
enunciação de um pequeno número de palavras ou de assinalar os equivalentes
símbolos. Os primitivos, que apenas distinguiram os números um e dois,
converteram a duplicação em uma operação primitiva, mas insuficiente para
contagem oral de grandes coleções. Por isto a prática da numeração, que não
necessitava de uma linguagem falada desenvolvida, tinha as palavras primitivas,
usadas para contar presas a conjuntos concretos. Foram necessários centenas de
anos de depurações sucessivas para alcançar seu atual grau de abstração, que
operou a separação total entre o valor afetivo das coisas e sua tradução por sinais
abstratos. O campo numérico foi formado lentamente. Seu desenvolvimento, bem
como o método de contagem usado é função do labor e das necessidades de cada

10
/
povo e constitui um dos índices de seu estado cultural.
A contagem não se restringe apenas às coleções domésticas, agrupamento
dos dias em luas, e o cálculo do número de dias do ano, remontam ao início das
civilizações. Quase todos os povos primitivos reconheciam as estações do ano,
observando as constelações que surgiam com o pôr do sol, elas os orientavam na
prática da tosquia, na do semear o campo ou na secagem dos cereais, assim como
os avisavam da proximidade da época das chuvas ou da estiagem. Estes
conhecimentos citados, não eram do domínio de todos, os fatos culturais foram
acumulados, principalmente pelos feiticeiros e pelos sacerdotes, que lograram
posição de domínio sobre os outros integrantes das comunidades.
Para conservar essa preponderância, o resguardo dessas observações do
conhecimento dos demais foi se tornando imperioso, e seus detentores fizeram
sentir aos povos que tais fatos eram sobrenaturais e que eles, feiticeiros e
sacerdotes, intermediários junto aos deuses, responsáveis pelos acontecimentos,
mas passíveis de sedução podiam interferir para aplacar as iras ou propiciar favores
divinos.
A representação gráfica dos números (ANEXO 4), que precede a escrita
como meio de transmissão de mensagens, surge muito tempo depois do homem ter
aprendido a contar. Nas primeiras culturas o homem não forma, com precisão um
sistema de algarismos que lhe permita a prática de contagem, o que só ocorre no
inicio do que chamamos tempos históricos. Diariamente o homem tinha que
solucionar uma variedade enorme de problemas e questões de ordem prática, que o
obrigava a formar conjuntos, compará-Ias, reparti-Ias e separá-Ias.
Consequentemente, os conceitos de igualdade e desigualdade, de maior ou menor,
vão se enraizando na mente humana, lentamente vão surgindo as operações de

11
adicionar, de subtrair, de multiplicar e de dividir. Os sistemas de numeração,
elaborados pelos povos mais antigos até a adoção do atual, não permitiram que
notáveis matemáticos da antigüidade inventassem regras de calcular que
prescindissem do auxílio de aparelhos. Diante dos fatos, é incontestável que o
conhecimento humano, na origem, está ligado à técnica, e tem caracteres religiosos
e mágicos. As formas geométricas são comuns na pré-história, como testemunham
as pinturas nas paredes das cavernas, nas armas e objetos confeccionados naquele
período, onde se verifica a reprodução de curvas e linhas poligonais, nos dentes dos
arpões, fabricados com ossos, e na disposição de colunas atestam a prática da
medida.
A mais antiga escrita autêntica foi encontrada na Mesopotâmia e pertence ao
quarto milênio anterior a nossa era. Compreende 1500 caracteres grafados
ideograficamente em tabletes de barro que serviam de base para os sumérios
elaborarem sua grafia, a qual foi sucessivamente transmitida aos babilônios, assírios
e persas.
Figura1: escrita cuneiforme dos babilônios
Dentre todos os sistemas de escrita, o usado pelos fenícios foi o que
repercutiu mais intensamente, pois o alfabeto utilizado tinha cada um de seus
caracteres correspondendo a um som definido, simplificação que não só possibilitou

12
a democratização da vida intelectual, como abriu sendas para a instituição de
alfabetos posteriores como o hebraico, o sirio, o árabe e o grego.
Como a escrita, a aferição do decorrer do tempo constitui precioso índice para
a avaliação da cultura dos povos. A classe sacerdotal, que conserva os
conhecimentos adquiridos, desenvolve a escrita, aprimora a técnica das
construções, prossegue as pesquisas que subsistem nas formas geométricas,
organiza a cronologia. Os babilônios, de conhecimento adiantado tanto na
Matemática quanto na astronomia, adotaram o calendário lunar até o oitavo século
antes da era cristã e o mundo islâmico por ele ainda se orientam.
A sabedoria dos povos que habitaram os vales da Mesopotâmia e a dos
egípcios influencia o mundo grego, contribuindo decisivamente para o surgimento da
Matemática, como ciência. Significativos são seus sistemas de numeração. Na figura
2 está um exemplo da evolução do sistema egípcio.
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Figura 2: Sistemas eqípcios
Era um sistema constituído por vinte algarismos, do zero ao dezenove, e
usado na contagem geral. O outro formado por glifos, representando cabeças de
deuses, e que era empregado na cronologia. Segundo IMENES (1999, p.39), o povo

13
maia que habitou a região sul do México e a América central durante mais de mil
anos utilizavam um sistema de numeração de base vigesimal, sendo que os
algarismos de um até quatro são formados respectivamente por 1,2,3,4 pontos
dispostos horizontalmente que superpostos a um traço, símbolo de 5, os algarismos
seis, sete, oito e nove, o algarismo dez é formado por dois traços paralelos, e o
algarismo quinze por três traços que superpostos pelos símbolos dos quatro
primeiros algarismos formam os demais algarismos de onze até dezenove .
• •
• 1 • 6
- 11 = 16
- - -
•• 2 •• 7 •• 12 ••- - 17- ---••• 3 ••• 8 ••• 13-- •••- 18-•••• 4 •••• 9 •••• 14 ---=10 - 15 ••••
-5 - 19- -- -
Figura 3 : Numerais dos maias
o zero é representado por uma concha estilizada.
•
~
Figura 4 : o zero dos maias
Na grafia dos números superpunham-se os algarismos, obedecendo à ordem
crescente do valor das unidades que representavam, surgiu então a necessidade do
zero, o que permitiu conjeturar, diante do atual desconhecimento da prática do

14
cálculo entre os maias, que o zero também nasceu da evolução dos métodos de
contagem, e não apenas do imperativo de uma solução para o cálculo sem auxílio
de instrumentos.
O tempo foi passando e a necessidade de aprimorar o conhecimento, de
desenvolver outras táticas para solucionar os problemas ficaram mais evidentes.
Nestas alturas já tinha-se uma base para começar a praticar as experiências em
outras ocasiões e o conhecimento comum de cada povo, como a produção de
alimentos já era diversificada foi preciso alguma forma mais concreta para medi-Ia.
Com o cálculo do calendário, a distribuição e estocagem dos alimentos, a
divisão das terras, a arrecadação de impostos e a organização dos serviços públicos
dão origem à Matemática, como ciência prática, caráter esse que vai se alterando à
medida que se pesquisam seus segredos, nascendo então as tendências para os
estudos abstratos. Através de copiosa documentação, há evidencias de uma
particularidade da cultura dos povos que se instalaram na Mesopotâmia: a cultura
Matemática mesopotâmica caracteriza-se pelo desenvolvimento do cálculo
aritmético, que nela atinge o mais alto grau de evolução na antigüidade. Seu
esplendor se alicerça mais no sentido de ordem e de método, que Ihes dá um
caráter científico, do que nos discutíveis conhecimentos de soluções modernas.
Na Mesopotâmia, havia muito barro, que era apropriado para se fazer marcas
com estilete e que depois eram secados ao sol. Através de escavações nas colinas
da Mesopotâmia, feitas a partir do final do século passado, os arqueólogos
descobriram milhares de tabletes de argila com inscrições matemáticas, a idade
destes tabletes varia desde 1800 a.C. até 300 a.C., sendo que a maioria deles
datam de 1700 a.C.. Somente há uns trinta anos é que foi possível fazer uma
interpretação profunda da Matemática babilônia. Através da análise dos tabletes de

nós medimos os ângulos e o tempo no sistema sexagesimal, dentre os povos aa
antigüidade foram os únicos a adotar um sistema posicional. Pesquisas recentes
revelaram que a Matemática da Babilônia era muito mais avançada que a do Egito e
de outros povos da antigüidade.
A Matemática babilônia baseava-se na resolução de equações quadráticas,
sendo que não consideravam a fórmula geral e sim caso por caso; o cálculo da
diagonal de um quadrado, onde multiplicavam o lado por um número que era uma
boa aproximação da raiz de dois e isso era feito pelo menos mil anos antes da
época em que Pitágoras viveu. Os babilônios foram os mais infatigáveis
compiladores de tábuas aritméticas que a história registra, em toda a Matemática
babilônia não existe nenhuma fórmula geral ou teorema, somente com os gregos,
muitos séculos mais tarde é que a noção de demonstração de teorema passou a ser
o centro de interesse da Matemática. Desde 2000 a.C; os babilônios e egípcios
possuíam uma grande quantidade de material que poderia ser classificado hoje
como elementar, mas a Matemática como ciência só surgiu na Grécia. Para sair da
idade do empirismo foi necessário que os gregos juntassem todos aqueles
conhecimentos dispersos e que não eram propriamente científicos e os
transformassem, não se preocupando apenas com as aplicações, mas passando
pelas discussões filosóficas que ocorriam nas cidades gregas e estruturando a
Matemática como uma ciência dedutiva.
Entre muitos pensadores da época, alguns se destacaram com seus altos
conhecimentos, como Tales de Mileto que foi considerado o primeiro matemático da
antigüidade a cultivar o "saber por saber", isto é, estudar para conhecer os segredos

16
da natureza e da vida. Sistematizou importantes resultados e agregou a eles outros
mais, criou em Mileto um centro de ensino e pesquisa semelhante as nossas
melhores universidades de hoje. Desse centro de ensino saíram muitos discípulos, o
que mais se destacou foi Pitágoras, o responsável pelo descobrimento do número
irracional na aritmética, a iniciação da Matemática como ciência dedutiva e a
tentativa de interpretar os fenômenos da natureza através da Matemática. Dentre os
seguidores de Pitágoras destaca-se Platão e Aristóteles que deram uma
estruturação ao método dedutivo. Aristóteles estruturou a lógica de forma definitiva e
Platão contribuiu fundamentando o método analítico, inventado por Hipócrates de
Chios.
O auge da Matemática grega se deu com a criação do Museu de Alexandria.
Ali se organizou uma imensa biblioteca tornando-se centro de ensino e pesquisa. O
período de 300 a 200 a.C. é considerado a idade de ouro da Matemática grega.
Nesta época viveram e trabalharam três expoentes máximos da Matemática da
Grécia que foram Euclides, Arquimedes e Apolônio. Euclides escreveu várias obras,
a principal delas foi "Os Elementos", onde ele reuniu, todos os conhecimentos
matemáticos acumulados pelos gregos. Os Elementos são constituídos de 13
volumes, contendo mais de 500 proposições, sendo a apresentação feita de forma
elegante e sistemática. Arquimedes é considerado o maior sábio da antigüidade e
também, devido aos seus métodos, o primeiro matemático moderno. A grande
diferença entre ele e os outros sábios gregos da antigüidade é que não desprezou a
parte experimental, sendo o fundador da estática e da hidrostática. Os trabalhos de
Apolônio também são de muita originalidade, sendo o principal "As Cônicas",
deixando muito pouco que fazer aos seus sucessores na geometria métrica das
Cônicas.

17
Os hindus inventaram o nosso atual sistema de numeração que foi melhorado
pelos árabes. Eles realizaram grandes progressos na aritmética, na álgebra e
trigonometria.
2 3 4 5 6 7 8 9 O
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t r t CJ " V A ~
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Figura 5: evolução dos numerais hindus
O progresso na solução das equações algébrico só ocorreu três séculos
depois, com Omar Kayyam e depois pelo hindu Bháskara, que encontrou a fórmula
geral de resolução da equação do 2° grau. A introdução das letras e do simbolismo e
a fusão da álgebra com a geometria marcam o início das idéias modernas em
Matemática. Os trabalhos de Arquimedes, foram ignorados por quase dois mil anos,
sendo desenterrados e revividos no renascimento. O cálculo só surgiu porque as
idéias estavam suficientemente amadurecidas para tal. O século XVIII foi o século
dos métodos infinitesimais, é nele que se desenvolveram os cálculos, isto é, cálculo
diferencial, cálculo integral e cálculo de variações, também são desenvolvidas
teorias analíticas e infinitesimais de curvas e superfícies. Esse é um século em que a
Matemática é escrava da física, sendo sua característica principal a falta de rigor
absoluto. O objetivo maior dos matemáticos deste século é estudar as ciências da
natureza, onde preocupados com as aplicações usavam mais a intuição que a
perfeição lógica.
Até o final do século XVIII a Matemática parecia ser uma tarefa de físicos e

18
engenheiros, no século XIX houve uma grande mudança e ela se torna autônoma,
independente e unitária. O tratamento rigoroso atinge as áreas de álgebra,
geometria e análise, neste século ocorreu a chamada idade áurea da Matemática, a
produção deste século superou tanto em quantidade como em qualidade, todas as
épocas precedentes juntas.

19
3. A EVOLUÇÃO DO ENSINO DA MATEMÁTICA
A Matemática, diferentemente do que se pensa com freqüência, é uma
ciência em permanente evolução, com um processo de desenvolvimento ligado a
muitas vicissitudes, dilemas e contradições.
No dizer de PONTE:
Ela pode ser encarada como um corpo de conhecimentos, constitutivos de um conjunto de
teorias bem determinadas, perspectiva da Matemática como "produto", ciência pronta e como
uma atividade perspectiva de "processo dinâmico", ciência "em se fazendo". Porém, tanto
como produto ou como processo, estes são aspectos igualmente importantes que só fazem
sentido se equacionados em conjunto. Será impossível explicar a alguém o que é a
Matemática sem apresentar um exemplo em que, simultaneamente, se use seus processos
dinâmicos próprios e os conceitos de uma das suas teorias. (1992, p.185)
Várias abordagens filosóficas procuraram explicar os fundamentos do
conteúdo matemático. Podem ser citadas o Platonismo, o Logicismo, o Formalismo e
o Intuicionismo. Os três últimos surgiram e coexistiram no século XIX, numa época
de crise do fundamentalismo da Matemática, de preocupação com a Filosofia
Matemática e se opunham, se interpenetravam, se provocavam.
O Platonismo mostra que a história da Filosofia da Matemática não acontece
só no século XIX. Procede este período de crise, provoca-o da mesma forma que o
Falibilismo/ segue e emerge também deste o "Fundamentalismo".
No século XX a Matemática é marcada pela chamada "crise dos
fundamentos" sendo que nela também se envolveram lógicos e lingüistas. As
principais correntes que envolvem os princípios básicos dessa ciência são o
logicismo, intuicionismo e formalismo. O logicismo tem como expoente máximo
Bertrand Russel, com sua obra "Principia Matemática", com a qual pretendia tornar a
2 Termo criado na pesquisa que procura melhorar os seus instrumentos de investigação e de
verificação. Esse termo agora é empregado com freqüência por escritores americanos. (NICOLA, p. 426, 1998)

20
Matemática uma parte da lógica, mas não perturbou muito o ambiente matemático,
pois além de não estarem dispostos a destruir nada do conhecimento acumulado,
era um movimento constituído em sua maioria de filósofos da ciência e não de
matemáticos conceituados. O intuicionismo é uma doutrina nascida entre os próprios
matemáticos, segundo ela só possuem existência real e significado aqueles objetos
matemáticos que podem ser construídos a partir de certos objetos primitivos de
maneira finita. O formalismo é a posição de que a Matemática consiste num jogo de
símbolos com regras bem definidas ou seja axiomas, definições e teoremas.
Sobre essas abordagens MACHADO diz:
As principais concepções a respeito da natureza da Matemática, de sua relação com a
realidade, a despeito de suas várias raízes e dos inúmeros filósofos envolvidos, convergiram,
a partir da segunda metade do século XIX, para três grandes troncos. Estas três grandes
correntes do pensamento matemático, cada uma das quais pretendendo fundamentar a
Matemática, sua produção, seu ensino, são o Logicismo, o Formalismo e o Intuicionismo.
(1987, p. 26)
A história da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a
perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas
de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a
outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a
investigações internas à própria Matemática.
3.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA NOS DIAS ATUAIS
Há deficiências no ensino da Matemática em vários países e em todos os
níveis. Mas muito se tem feito para tentar sanar estas deficiências. Cada realidade
apresenta características próprias e, portanto, as soluções podem ser diversas, de

21
acordo com as proposições e conclusões obtidas em seu contexto. As evidências
das dificuldades do ensino e aprendizagem da Matemática são constatadas por
diversas pesquisas que é possível adiantar algumas posições prévias em relação a
este trabalho:
Existem deficiências no processo ensino-aprendizagem da Matemática no
ensino fundamental e médio;
Tais deficiências necessitam de estudos e sugestões para sua correção; e
Estas deficiências são decorrentes, na maioria dos casos, da formação do
professor de Matemática.
Sobre este mesmo assunto GOMEZ-GRANELL se expressa dizendo que:
Saber Matemática é uma necessidade imperativa numa sociedade a cada dia mais complexa
e tecnológica, em que se toma difícil encontrar setores em que esta disciplina não esteja
presente ... Em função disso, seria lógico esperar seu incremento generalizado da cultura
Matemática entre a população. No entanto não é o que aparece ... (1996, p. 257)
A análise desta nos remete a reflexão de que a Matemática, na maioria das
escolas, vem sendo desenvolvida como um assunto a ser decorado sem
aplicabilidade prática, enfatizando que desde as séries iniciais as crianças assumem
atitudes de apenas aprender o que "devem", isto é, aprender somente o que o
professor ensina, sem a possibilidade de perguntar, sem questionar, como se não
tivessem a capacidade ou possibilidade de pensar por si mesmos sobre um
determinado assunto.
Com isso pode-se observar que o problema é realmente sério e merece
atenção não só no sentido de demonstrar que os problemas estão em todas as
escolas, como no sentido de buscar alguma alternativa que proporcione
oportunidades de viabilizar um aperfeiçoamento no processo ensino-aprendizagem.
Estas conotações é que deram origem a esta monografia, no sentido de que possa

22
contribuir para um aperfeiçoamento metodológico no ensino da Divisão de Números
Racionais.
Para muitos professores a principal preocupação é vencer o programa mesmo
que isto signifique sacrifício da compreensão. Observa-se que é difícil encontrar
professor de Matemática convencido de que o objetivo principal do seu trabalho em
sala de aula é que os alunos compreendam o significado da Matemática, e este
objetivo fica longe de ser atingido porque a meta tem sido disponibilizar a maior
quantidade possível de conteúdo em aula. Vencer o programa anual de disciplina é
o fator principal, compreendendo ou não o aluno.
Segundo BRANDÃ03
, que afirma em um de seus discursos:
É fora de dúvida que vem sendo a Matemática considerada matéria confusa, absurda,
divorciada de situações vitais; o resultado de seu ensino não tem sido, em nossos dias, muito
alentador. Por isso que é importante pedir a atenção dos estudiosos para uma discussão
exaustiva sobre os seguimentos que esta afirmativa comporta, seja em nível de conteúdo,
seja em nível metodológico. Penso sinceramente que a Matemática como conteúdo da
educação geral e também da educação específica, precisa ser submetida a rigoroso processo
de aperfeiçoamento e adaptação. (1979, p.7)
Muitos questionamentos surgem quando se tenta entender a natureza do
conhecimento matemático ou no que consiste o saber matemático. Ela não é
somente a arte de contar e calcular, desenhar figuras e medi-Ias, é também um
modo de pensar, isto quer dizer que a Matemática consiste, e, exige o exercício e o
desenvolvimento de funções intelectuais no campo do pensamento dedutivo, e,
também, no do conhecimento conquistado por processos criativos ou intuitivos.
GOMES-GRANELL (1996, p. 259) mostra que a Matemática tem um caráter
de abstração muito mais consistente que o conteúdo de outras ciências, embora, em
qualquer ciência, existam conceitos abstratos. A diferença é que os conceitos e
3 Euro Brandão: Professor e ex-ministro da Educação e da Cultura.

teoremas matemáticos não se definem por indução, mas por ceouçao.
o conhecimento matemático é profundamente dependente de uma linguagem
específica, de caráter formal, que difere muito das linguagens naturais. A
característica dessa linguagem é tentar abstrair o essencial das relações
matemáticas, eliminando qualquer referência ao contexto ou à situação concreta.
Aprender a raciocinar dedutivamente e se expressar em linguagem
matemática é a grande dificuldade da aprendizagem e do ensino desta ciência.
Historicamente percebe-se que a matemática evoluiu de uma concepção empírica,
baseada somente na experiência e cultura da sociedade da época, progredindo até
as características atuais, de ciência extremamente simbólica, com o rigor racional
(dedução) e a negação da existência da matéria (da realidade próxima), exaltando-
se somente a forma, a linguagem específica.
A resolução de problemas é um caminho para o ensino da Matemática que
vem sendo discutido e aconselhado ao longo dos últimos anos. Um problema
matemático é uma situação que demanda a realização de uma seqüência de ações.
ou operações para obter um resultado, ou seja, a solução não está disponível de
início, no entanto é possível construí-Ia.
Segundo CAMARGO (1997,p.88) "Os professores relatam ter percebido, que
o ensino via Metodologia da Resolução de Problemas desperta a curiosidade do
aluno, tornando a Matemática mais significativa (concreta). Isto ocorre devido às
ações que se que se incorporam às habituais ações do ensino normalmente
desenvolvidos em nossa escolas."
Se todo conteúdo a ser aprendido for iniciado numa situação de
aprendizagem, através de um problema desafio, ocorrerá uma construção
interiorizada do conhecimento a ser adquirido. Os alunos diante de problemas
os PCNs do Ensino Fundamental de Matemática:
"Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com os
números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas. Desse modo, o que o
professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus
resultados, definições, técnicas e demonstrações". (1998, p. 40)
Este procedimento parece ser reflexo e ter origem na mesma dificuldade

24
deverão resolvê-I os utilizando seus conhecimentos, suas experiências, construindo
assim seu próprio conhecimento.
Isso só é possível porque o aluno, em idade escolar, já possui experiências
de vida suficientes para fazê-Io. Porém, elas não possuem a forma matemática.
Essas experiências, através de atividades analógicas, devem ser transformadas em
conhecimento matemático. Essas transformações são obtidas por estratégias
próprias do aluno. Ao evitar oferecer suas próprias estratégias, o professor atinge
pelo menos dois objetivos: respeito ao aluno e ampliação da autonomia do mesmo.
Os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois,
na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de
conhecimentos adquiridos anteriormente pelos alunos. Alguns autores têm discorrido
sobre essa metodologia de resolução de problemas alertando para que se cumpram
todas as etapas exigidas para a boa aplicação. DINIZ In CAMARGO afirma:
Se observarmos atentamente, o ensino atual se compõe de apenas duas ações, quais sejam:
propor questões;
resolver as questões propostas.
Dentro da perspectiva de Resolução de Problemas, o que se exige é que, além dessas duas·
ações, se coloquem mais duas:
questionar as respostas obtidas;
questionar a própria questão original. (DINIZ In CAMARGO, 1997, p.88)
Essa idéia é reforçada nos PCNs, pois a prática mais freqüente consiste em
ensinar verbalmente um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um
problema como aplicação para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que
Ihes foi ensinado, sem a preocupação de questionar os resultados obtidos. Segundo
os PCNs do Ensino Fundamental de Matemática:
"Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com os
números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas. Desse modo, o que o
professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus
resultados, definições, técnicas e demonstrações". (1998, p. 40)
Este procedimento parece ser reflexo e ter origem na mesma dificuldade

25
r
r
apresentada pelo professor em relação a essa ciência. Ao colocar o foco da
aprendizagem na resolução de problemas, o que se defende é uma proposta que
poderia ser resumida nos seguintes princípios:
o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o
problema.
O problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há
problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que
lhe é posta e a estrutura r a situação que lhe é apresentada.
3.2 NÚMEROS RACIONAIS
De acordo com o pensamento de BOYER (1999, p.47) criação do conjunto
dos números racionais foi um passo muito difícil na história da humanidade. Difícil,
pois na sua origem as frações não foram consideradas como números. Somente
com o desenvolvimento do cálculo e da aritmética, as frações se submetiam às
mesmas regras que os inteiros e que eram assimiláveis aos números, sendo um
inteiro uma fração de denominador igual a 1.
Esta extensão ampliou o campo de uso dos números, pois antes os números
serviam apenas para a contagem e comparação de duas grandezas. A partir daí
tornou-se possível dividir as grandezas em parcelas ou pelo menos supô-Ias
divididas em partes iguais de uma grandeza da mesma espécie escolhida como
padrão de medida.
Hoje observamos que os alunos, como nossos ancestrais, não associam
frações a números. Além disso, sua bagagem sobre sinais algébricos e frações se

26
reduz em muitos casos à memorização de algumas regras e algoritmos.
Fundamenta-se os estudo dos números racionais no conceito de fração como
quociente da divisão do numerador pelo denominador. Exemplo: 20 dividido por 5 é
igual a 4. Deste modo os alunos marcam, passo a passo, os números na reta e
concluem quais são os elementos deste novo conjunto numérico de forma
consciente, pois sabemos que para o aluno não é fácil nem natural, construir uma
reta numerada e relacionar isto com o que já estudou de frações e números
decimais.
Para compreender a conceituação da divisão convém lembrar que a
aprendizagem da aritmética se refere a números e suas relações. Estas relações se
designam geralmente com o nome das quatro "regras operacionais" ou cálculos
fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão. A idéia de repartir se
encontra em situações em que o número de agrupamentos a serem formados é
conhecido, sendo necessário determinar o número de elementos de cada grupo.
Deve-se descobrir quantos objetos, ou elementos deverão conter cada grupo e
quantos objetos vão sobrar, se for o caso.
As ações que envolvem a idéia de medida na divisão, encontram-se em
situações em que o número de elementos de cada agrupamento a ser formado é
conhecido, e é preciso determinar quantos agrupamentos serão formados com a
mesma quantidade.
3.3 NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Para IMENES, (1997, p. 178) as frações surgem há milhares de anos, no
antigo Egito, no tempo dos faraós e das pirâmides e como a Matemática, as frações

27
evoluíram.
As frações são pouco usadas no dia a dia, o que não se usa acaba se
perdendo. Houve uma época em que se comprava ~ kg de café, hoje as frações
foram substituídas pelas 250 g. É por essa razão que poucas pessoas adultas
sabem fazer cálculos com frações mesmo tendo ido à escola e aprendido o assunto
desde as primeiras séries do ensino fundamental, essa é também uma das grandes
razões pelas quais as crianças têm dificuldades com as frações, a rotina do dia
muitas vezes não contribui para que elas se familiarizem com essa idéia. Essas
considerações são importantes para o ensino da Matemática. Os números decimais
são mais úteis que as frações, do ponto de vista prático. Embora tenham atualmente
menos utilidade prática, o estudo das frações é importante para compreender o
conjunto dos números racionais.
No ensino fundamental é interessante e conveniente estudar o conceito de
fração, mas não as operações e outras técnicas mais complicadas, e a partir da 5a
série essas técnicas podem ser abordadas e também nas duas séries seguintes.
Dessa maneira, a questão não é resolver assunto de 3a e 4a série com as frações.
Quanto mais tarde estudarem os temas mais complexos, terão melhores condições
para entendê-I os, pois possuirão mais experiência e maturidade e ao mesmo tempo
atendem as necessidades.
Dissemos que a maior parte do trabalho com frações até a 4a série deve-se
concentrar no conceito de fração, este conceito está no início, ligado à divisão de
uma unidade ou um total em partes iguais, esse total pode ser uma figura, uma
unidade ou uma quantidade, para começar deve-se tratar de frações de figuras e de
quantidades. É muito freqüente o professor apresentar a idéia de um todo, dividido
em partes iguais por meio de desenhos. Diversas experiências de ensino têm

28
mostrado que essa abordagem é insuficiente, há vários motivos para isso, um deles
é que, devido à pouca experiência das crianças com as formas geométricas, muitas
delas não são capazes de perceber a partir do desenho. No ensino das frações,
mais do que conveniente, é necessário começar o trabalho usando unidades
concretas, como um círculo ou retângulo de cartolina e suas partes. Numa aula de
Matemática sobre frações, antes de falar sobre o assunto pela primeira vez, o
professor pode dar às crianças uma unidade de cartolina e meios, terços, quartos e
sextos dessa unidade, também em pedaços de cartolina mas de cores diferentes. As
crianças devem manipular essas peças e, aos poucos, perceberem as relações de
tamanho entre elas, o material permite aos alunos descobrirem e visualizarem uma
série de fatos sobre as frações que, somente a partir de desenhos, parecem
incompreensíveis para eles. Esse material que é citado como forma para ensinar
frações é muito simples, não devendo o professor se restringir somente a ele, é
preciso e existem outras formas para facilitar o entendimento das frações.
Frações de retângulos ou círculos ajudam a formar o conceito de fração, mas
não bastam. É preciso entender a idéia para situações do dia a dia, como nas
receitas de bolo ou na linguagem comum. É preciso chegar às frações de
quantidades, mesmo tendo trabalhado com frações de figuras, usando materiais e
desenhos, muitos alunos não percebem que a quinta parte de 20 é obtida dividindo-
se 20 por 5, o que acontece é que eles não associam a divisão das figuras em
partes iguais com a divisão de quantidades em partes iguais.
r

29
As frações são classificadas em fração própria quando o numerador é menor
que o denominador; fração imprópria quando o numerador é maior ou igual o
denominador e a fração aparente que o numerador é múltiplo do denominador.
A fração própria refere-se ao conceito usual de fração, que para a maioria das
pessoas fração é uma parte do todo, isto quer dizer que fração corresponde ao que
em Matemática chama-se de fração própria. Uma didática difícil é a da apresentação
aos alunos do conceito de fração imprópria e aparente, isto é, explicar mais
detalhadamente o que é fração imprópria e aparente. São muito importantes para
os alunos esses conceitos. Entre muitos assuntos, as frações são consideradas um
dos mais complicados na aprendizagem.
3.4 NÚMEROS DECIMAIS
O Brasil, assim como a maioria dos países, adota o sistema de numeração
decimal, que recebe esse nome porque a contagem dos elementos de qualquer
conjunto é feita na base 10.
Para representar os números, usamos dez símbolos básicos: O, 1, 2, 3, 4, 5,
6,7,8, e 9. Esses símbolos indo-arábicos inventados pelos hindus e levados para a
Europa, no século XIII, pelos árabes são denominados algarismos. (IMENES, 1997,
p.46)
Apesar de existir infinitos números naturais, podemos representar qualquer
número natural utilizando tão somente os dez algarismos, considerando que cada
algarismo tem um valor que depende da posição que ele ocupa no número.
Em várias situações do dia a dia, precisamos fazer uma divisão e, às vezes,
não queremos que sobre resto. Assim, foi necessário pensar numa saída para esse

30
impasse.
o registro por escrito dessa solução é feito usualmente de duas maneiras,
uma delas é através das frações, a outra maneira é através de números decimais.
Exemplos: a) 600 b)_3_ c) 7,2 : 0,008 d) 7:2
0,75 4
Os números decimais foram inventados há cerca de 500 anos a/C.,
justamente para expressar medidas no lugar das frações, porque é mais fácil operar
com decimais do que com frações, também é mais fácil comparar decimais do que
comparar frações. Pelo que vemos a nossa volta, a invenção dos decimais foi bem
sucedida. Os números decimais com vírgula vêm substituindo as frações em quase
todas as aplicações.
Segundo BOYER (1999, p.219), na China antiga encontra-se um uso mais do
que incidente de frações decimais, como também na Arábia medieval e na Europa.
Entre o povo em geral, e mesmo entre os praticantes de Matemática, as frações
decimais só se tornaram amplamente conhecidas quando Stevin se dispôs a explicar
o sistema de modo elementar e completo. Ele queria ensinar a todos como efetuar,
facilidade nunca vista, todas as computações necessárias entre os homens por meio
de inteiros sem frações, isto quer dizer que estranhamente se concentrava em seus
décimos, centésimos e milésimos, como numeradores inteiros, como fazemos na
medida comum do tempo em minutos e segundos. Dificilmente pensamos em 3
minutos e 4 segundos em forma de fração. É mais provável que pensemos em 3
minutos como um inteiro em vez de 3/60 de hora, essa era a maneira de pensar de
Simon Stevin, matemático e engenheiro holandês, que viveu no século XVI, por isto
ele não escrevia suas expressões decimais com um denominador.
É também através destas experiências que hoje entendemos o nosso sistema
decimal, e a forma que é escrito.

31
4. RELATÓRIO DAS ATIVIDADES DESENVOLVIDAS COM OS ALUNOS
(Pesquisa de Campo):
o trabalho como professora do Ensino Fundamental, pela sua própria
natureza, deu ensejo a esta pesquisa, uma vez que a atuação como professor de 5a
a sa série tem sido uma preocupação permanente, mais ainda quando se trata do
ensino/aprendizagem dos alunos, que é o ponto principal de estudo desta pesquisa.
As atividades com os alunos foram desenvolvidas durante o mês de outubro,
dias após a autorização formal dada pela diretora do Colégio (Anexo 1).
Foram aplicadas aos alunos da 5a
série "C" do Ensino Fundamental do
Colégio Estadual Júlia Wanderley Ensino Fundamental e Médio, localizado no
município de Carambeí, Estado do Paraná.
Os exercícios foram elaborados em forma de problemas sobre os três
assuntos: Números Naturais, Decimais e Fracionários para 15 alunos da 5a
série do
Ensino Fundamental. O perfil dos alunos foi o seguinte:
Idade 11 anos: 9 60% Outras: 6 40%
Sexo Feminino: S 53% Masculino: 7 47%
E repetente Sim: 14 93% Não: 1 /7%
...... -- ...........
','::",:-:>,:' --
Reside na zona urbana e rural Urbana: 11 73% Rural: 4 27%
--
Estudou em Escola Particular: 1 7% Pública: 14 93%
'o,
1-- ,o,
Mora atualmente Pais: 14 93% Outras: 1 7%'-
Gosta de Matemática Sim: 9 60% Não: 6 -40%
A Matemática é importante Sim: 12 80% Não: 3 '20%
Estuda somente antes das provas Sim: 12 80% Não: 3 :20%

32
Com estes alunos foi desenvolvido o assunto sobre a divisão de números
racionais, muitas dificuldades foram encontradas no decorrer. O conteúdo precisava
ser desenvolvido no período certo, isto é, deveria ser a seqüência dos demais
aplicados, e bem nessa época alguns imprevistos atrapalharam na questão do
tempo que foi muito curto para desenvolver tal assunto, coincidindo com curso de
professores, eleição de diretora, incêndio na escola e conselho de classe, talvez isto
tenha ocasionado um resultado não muito satisfatório nos testes que
desenvolveram, por ser um assunto mais complexo precisaria de mais tempo para
trabalhar bem as dúvidas existentes.
Foram aplicados 9 problemas, sendo 3 de cada conteúdo já citado, em dias
diferentes para todos os alunos da 5a série C. Desta turma foi selecionado uma
amostra de 15 trabalhos. Foi analisado cada assunto e a escolha dos problemas o
mais cabível possível observando sempre o assunto que foi desenvolvido.
(PROBLEMAS - ANEXO 2)
RESULTADO COM NÚMEROS NATURAIS
ALUNOS NÚMEROS NATURAIS
Resolveu corretamente e mostrou cálculos e respostas
ALUNO 1
ALUNO 2
ALUNO 3
ALUNO 4
ALUNO 5
Resolveu corretamente e mostrou cálculos e respostas do primeiro e do
ALUNO 6 segundo e errou o terceiro
ALUNO 7 Tentou fazer mas errou o cálculo dos 3 problemas
Tentou fazer os 3 mas só resolveu corretamente o segundo problema

33
ALUNO 8
ALUNO 9
ALUNO 10
Resolveu corretamente e mostrou resposta somente do terceiro problema
ALUNO 11
ALUNO 12 Tentou fazer mas só acertou o terceiro problema
ALUNO 13 Tentou resolver os três problemas mas errou todos
Analisando as respostas dos problemas constatou-se que:
Sete alunos resolveram todos os problemas corretamente mostrando cálculos
e indicando a resposta respectiva.
Dois tentaram resolver todos mas um acertou somente o segundo e outro o
terceiro.
Um resolveu todos corretamente, mas indicou a resposta só do terceiro.
Outro resolveu corretamente, os dois primeiros, mostrando cálculos e
respostas mas errou o terceiro.
Quatro alunos erraram todos os problemas, embora tentassem resolvê-I os.

34
RESULTADO COM NÚMEROS DECIMAIS
Resolveu o primeiro e o segundo, errou o cálculo do terceiro.
ALUNO 1
Resolveu todos e deixou sem a resposta o terceiro
ALUNO 2
Tentou resolver mas deixou incompleto os 3 problemas
ALUNO 3
Acertou somente o segundo problema
ALUNO 4
Acertou os 3, e errou a resposta do terceiro, mas o cálculo fez certo
ALUNO 5
ALUNO 6 Resolveu somente o segundo problema
ALUNO 7 Acertou somente o segundo problema
ALUNO 8 Tentou fazer os 3 mas só resolveu corretamente o segundo problema
ALUNO 9 Acertou o segundo e terceiro problema e começou certo o primeiro
ALUNO 10 Acertou o segundo e o terceiro e deixou em branco o primeiro
ALUNO 12
Tentou resolver os três problemas mas errou todos
ALUNO 13
Tentou resolver os dois primeiros e deixou em branco o terceiro
ALUNO 14
Somente iniciou mas não concluiu
ALUNO 15
Analisando as repostas dos problemas constatou-se que:
Dois alunos resolveram todos os problemas, mas um deixou sem resposta o
terceiro e o outro fez incorreto.
Cinco resolveram corretamente o segundo problema.

LJUI.;;:J f.ÇIIf.CUC;UII Iv •..;;"..,IY'-'1 '-' •..•.•._'-'1" .....•.._11' - ,.....•••.. _ .. - - - --v~ ..
deixando o terceiro.
Quatro alunos iniciaram a resolução dos três problemas mas não concluiram
e deixaram em branco.
Dois alunos acertaram o segundo e o terceiro problema e não resolveram o
primeiro.
RESULTADO COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS
ALUNOS NÚMEROS FRACIONÁRIOS
ALUNO 3 Deixou em branco os 3 problemas
ALUNO 5 Somente iniciou mas não concluiu
Tentou fazer os 2 primeiros e deixou em branco o Terceiro
ALUNO 6
Resolveu os 2 primeiros e deixou o terceiro incompleto
ALUNO 7
Resolveu corretamente o primeiro e o Segundo e não Terminou o
ALUNO 8 Terceiro
ALUNO 9
Resolveu corretamente o primeiro e o Segundo e só começou o terceiro
ALUNO 10
Deixou em branco os 3 problemas
ALUNO 14
Somente iniciou mas não concluiu
ALUNO 15

36
Analisando as repostas dos problemas constatou-se que:
Quatro alunos deixaram em branco os três problemas.
Sete alunos tentaram resolver mas erraram todos os problemas.
Três alunos resolveram corretamente o primeiro e o segundo problema e
deixaram o terceiro.
Um aluno acertou somente o segundo problema.
RESULTADO TOTAL POR ASSUNTO TRABALHADO
NÚMEROS NATURAIS NÚMEROS DECIMAIS NÚMEROS FRACIONÁRIOS
% de acertos % de erros % de acertos % de erros % de acertos % de erros
53% 47% 38% 62% 29% 71%
COMPARAÇÃO COM OS RESULTADOS
Entre os alunos da turma foram selecionados cinco alunos de três níveis, com
um resultado bom, regular e fraco. Foi feita esta comparação com cinco alunos para
assim poder analisar vários resultados e encontrar quais foram as maiores
dificuldades e facilidades em resolver o que foi proposto.

1° Grupo
37
ALUNOS NÚMEROS NATURAIS NÚMEROS DECIMAIS NÚMEROS FRACIONÁRIOS
Resolveu corretamente e Resolveu o primeiro e Tentou fazer os 2
ALUNO 1 mostrou cálculos e o segundo, errou o primeiros e deixou em
respostas cálculo do terceiro branco o terceiro
Resolveu corretamente e Resolveu todos e Resolveu os 2 primeiros e
ALUNO 2 mostrou cálculos e deixou sem a resposta deixou o terceiro
respostas o Terceiro incompleto
Resolveu corretamente e Tentou resolver mas Resolveu corretamente o
ALUNO 3 mostrou cálculos e deixou incompleto os 3 primeiro e o Segundo e
respostas problemas não Terminou o Terceiro
Resolveu corretamente e Acertou somente o Acertou somente o
ALUNO 4 mostrou cálculos e segundo problema segundo problema
respostas
Resolveu corretamente e Acertou os 3, e errou a Resolveu corretamente o
ALUNO 5 mostrou cálculos e resposta do terceiro, primeiro e o Segundo e só
respostas mas o cálculo fez certo começou o terceiro
ALUNOS
% de % de
Acertos Erros
ALUNO 1 45%
Iniciou a resolução com o raciocínio correto mas
não concluiu, deixou um problema em branco.55%
ALUNO 2 11%
Resolveu todos, exceto um que ficou sem resposta
e o outro deixou incompleto a resolução.89%
ALUNO 3 55% 45%
Este aluno apresentou dificuldade em resolver os
problemas com números decimais que não
conseguiu resolver nada e não concluiu um
problema de números fracionários.
ALUNO 4 45%
Apresentou dificuldade nos números decimais e
fracionários, errou quatro problemas.
ALUNO 5
55%
89%
Errou a resposta de um problema e começou a
resolver outro que não deve ter concluído por falta
de tempo, porque o raciocínio estava certo
11%
Este resultado que dos realizados foi considerado os melhores não chega a
ser totalmente satisfatório, não houve nenhum aluno que conseguiu acertar todos os
------ ----- --- ---

38
problemas, uma das causas pode ter sido a falta de tempo já que a maioria tentou
resolver quase todos, a dificuldade maior foram os problemas com números
fracionários.
2° Grupo
Resolveu corretamente e Resolveu somente o Deixou em branco os 3
ALUNO 1 mostrou cálculos e segundo problema problemas
respostas do primeiro e do
segundo e errou o terceiro
Acertou o primeiro, tentou
ALUNO 2 Tentou fazer mas errou o Acertou somente o começar o segundo e
cálculo dos 3 problemas segundo problema deixou em branco o
terceiro.
Tentou fazer os 3 mas só Tentou fazer os 3 mas Resolveu corretamente o
ALUNO 3 resolveu corretamente o só resolveu primeiro e o Segundo e
segundo problema corretamente o não Terminou o terceiro
segundo problema
Resolveu corretamente e Acertou o Segundo e Acertou o primeiro e o
ALUNO 4 mostrou cálculos e terceiro problema e segundo problema e errou
respostas começou certo o o terceiro
primeiro
Resolveu corretamente e Acertou o segundo e o Resolveu corretamente o
ALUNO 5 mostrou cálculos e terceiro e deixou em primeiro
respostas branco o primeiro
% de % de
ALUNOS Acertos Erros
Dificuldade total nos números fracionários,
ALUNO 1 33% 67% deixou em branco os três problemas
Dificuldade total nos números naturais, houve
ALUNO 2 22% 78% tentativa de resolução nos números
fracionários.
Houve interesse resolvê-Ios,
. ..
em IniCIOU
ALUNO 3 44% 56% corretamente mas nem todos foram concluídos.
O que não concluiu foi por distração porque o
ALUNO 4 78% 22% raciocínio inicial estava correto.
Deixou três problemas em branco, não houve
ALUNO 5 67% 33% nem tentativa de iniciar.

39
Este resultado considerado regular foi um tanto satisfatório em relação aos
demais, mas o que deixa dúvidas é quando o aluno nem ao menos tenta resolver,
neste caso não se sabe se foi por falta de vontade ou é porque não entendeu nada
referente aquele assunto. Houve alguns que demonstraram que realmente não
compreenderam porque não acertaram nenhum de números fracionários e naturais.
3° Grupo
Resolveu corretamente e Tentou resolver os três Tentou resolver os três
ALUNO 1 mostrou resposta somente problemas mas errou problemas mas errou
do terceiro problema todos todos
Tentou resolver os três
ALUNO 2 Tentou fazer mas só Acertou somente o problemas mas errou
acertou o terceiro problema Segundo problema todos
ALUNO 3 Tentou resolver os três Tentou resolver os três Deixou em branco os 3
problemas mas errou todos problemas mas errou problemas
todos
ALUNO 4 Tentou resolver os três Tentou resolver os Deixou em branco os 3
problemas mas errou todos dois primeiros e deixou problemas
em branco o terceiro
ALUNO 5 Tentou resolver os três Somente iniciou mas Somente iniciou mas não
problemas mas errou todos não concluiu concluiu
% de % de
ALUNOS Acertos Erros
Houve tentativa em todos mas só um acerto,
ALUNO 1 11% 89% este demonstra dificuldade de compreensão.
Erro na maioria deles, alguns iniciou bem mas
ALUNO 2 22% 78% não conseguiu concluir o raciocínio.
Dificuldade total nos números fracionários, nos
ALUNO 3 - 100% decimais e naturais até tentou resolver sem
nenhum acerto.
nenhum acerto.
nenhum acerto.

40
Este resultado foi péssimo, o número de acertos foi o mínimo possível, a
maioria nem tentou resolver os problemas, neste grupo é que surge a maior
preocupação, terá sido problema de compreensão, tempo insuficiente, falta de
explicação. Não houve nenhum retorno em ao menos tentar fazer o que foi passado.
Os resultados obtidos (conforme foi citado acima) no geral não foi satisfatório,
a maior dificuldade encontrada foram nos números fracionários, normalmente é
neste assunto que os alunos se perdem para resolver, alguns até tentaram mas não
conseguiram completar o raciocínio, nos números naturais a maioria conseguiu
atingir o objetivo, neste houve mais acertos, e quanto aos números decimais foi
médio o número de acertos, também demonstraram dificuldade em interpretar os
problemas.
Por outro lado, não é possível saber como esses alunos se sairiam se fosse
adotado o método de resolver problemas de forma mecanizada, isto é, a partir de um
exemplo idêntico, dado anteriormente pelo professor, porque se optou pela
metodologia da construção do conhecimento a partir do raciocínio próprio de cada
um.
O tempo para explicação dos conteúdos foi escasso, este foi um dos
problemas enfrentados e que pode explicar parte desse resultado.
Isso tudo leva à conclusão que é preciso trabalhar mais com os alunos os
números fracionários, desde as primeiras séries, cada coisa na hora e medida certa
para não tornar deficiente mais tarde qualquer aprendizagem que envolva frações.
Como já foi comentado números fracionários é um assunto mais complexo e que os
alunos tem medo de enfrentar.
- -- -----

41
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
"A concepção de conhecimento do professor e por extensão sua concepção de aprendizagem
emergem não só de uma prática didática mas também de teorização esporádicas que
ocorrem no decorrer desta prática. Aprender significa apropriar-se de alguns princípios
"teóricos" e aplicá-Ios aos dados. Mas que dados?"
Becker
Com os resultados apresentados em vistas dos objetivos propostos e com
fundamento na teoria selecionada, pôde-se fazer a análise dos erros cometidos
pelos alunos e chegar a algumas considerações finais de trabalho.
Primeiramente ficou demonstrada a necessidade de revisar a metodologia de
ensino, iniciando por mostrar a Matemática como uma ciência em desenvolvimento,
em contínuo aperfeiçoamento. Os conceitos estudados permitem trazer para sala de
aula os momentos críticos de sua construção e ou evolução, permitindo perceber
seus aperfeiçoamentos, suas complicações ou limitações. Tratar o conceito
matemático, apresentá-I o no desenvolvimento da matemática, sempre esteve
presente na resolução de problema, ora prático, ora especulativo. A Matemática tem-
se construído como respostas e perguntas ou problemas encontrados pelos homens
e pelos estudiosos.
A resolução de problemas é essencial ao desenvolvimento do raciocínio e à
compreensão matemática. Mas a resolução de problemas requer também, um
aprendizado que consiste em traduzir a linguagem comum em linguagem
Matemática e operar com os termos desta linguagem. Inventar e resolver problemas
consiste em aprender a própria metodologia de pesquisa seguida na área. A
formação do professor deve dominar o conteúdo específico da área, a metodologia
de pesquisa aí adotada e a metodologia do ensino adequada. Aprender como se faz
Matemática, desde os primeiros estudos garante aprender esta metodologia dos

problemas, garante a compreensão, a aprendizagem significativa e o gosto pela
disciplina. Deve-se começar pela ação do aluno sobre um conceito ou princípio
matemático, mas faz-se necessário chegar a formalização matemática fundada na
compreensão, da mesma forma, os problemas, um recurso que poderá ser usado no
início de um processo, possibilitando compreensão, bem como ao final de um
processo, possibilitando aplicação, desenvolvimento de habilidades variadas, uso de
raciocínio lógico-dedutivo.
Pensar a Matemática como algo formal, abstrato, não construído pelos
homens. Conceber o ensino como simples transmissão de conhecimento pelo
professor e não como mediação entre o aluno e o saber é como intervenção
oportuna de modo a colocar este aluno em contato ativo com o conteúdo a ser
aprendido. Conceber aprendizagem como acumulação de informações resulta em
trabalho docente também formal, que enfatiza e cobra apenas a linguagem algébrica
e se contenta com a memorização e não elaboração dos conceitos pelos alunos. O
ensino, nesta visão, é "expor" ou "encher o quadro de exercícios" ou "apresentar
listas de cálculos a serem resolvidos sem explicações", ou simplesmente executadas
as listas de exercícios apresentadas pelos livros didáticos.
O desenvolvimento desta pesquisa possibilitou um aprofundamento neste
tema específico, além de mostrar que ele pode e deve ser completado com
propostas alternativas para o ensino/aprendizagem da divisão de números racionais
pelos alunos da sa série do Ensino Fundamental. A necessidade de pesquisas que
incidam sobre o aprender de modo significativo, bem como do ensino que levará a
esse tipo de aprendizagem através da resolução de problemas em sala de aula, foi o
que ficou ressaltado pelo presente.
42
/

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
AABOE, A. Episódios da história antiga da matemática. Rio de Janeiro:
Publicação da Sociedade Brasileira de Matemática, 1984.
ALVES, R Filosofia da ciência. São Paulo: Brasiliense, 1992.
BECKER, F. A epistemologia do professor: o cotidiano da escola. Petrópoles/RJ:
Vozes, 1993.
BOYER, C. B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo: Edegard
Blucher, 1999,
BRASIL. Secretária de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
nacionais. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília : MEC/SEF, 1998.
CAMARGO, J. A. O desafio de ensinar Matemática através da resolução de
problemas. Dissertação de Mestrado em Educação. Ponta Grossa: UEPG, 1997.
COSTA, M. A. As idéias fundamentais da matemática e outros ensaios. São
Paulo: Convívio, 1977.
FREITAS, J. L. M. A evolução do pensamento matemático. 2. ed. Campo Grande:
UFMS, 1986.
GIOVANNI, J. R et all. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.
GOMEZ-GRANELL, C. Aquisição da linguagem matemática: símbolo e
significado. In: TEBEROSKI, A. e TOLCHINSKY, L. Além da alfabetização. São
Paulo: Ática, 1986.

44
GRASSESCHI, M. C. et alI. PROMAT: projeto oficina de matemática. São Paulo:
FTO, 1999.
IMENES, L. M. P. Frações e números decimais. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993.
__ o IMENES L. M. P. Os números na história da civilização. São Paulo:
Scipione, 1999.
UNS, R. C. e GIMENEZ, J .. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século
XXI. Campinas/SP: Papirus, 1997.
__ o Os números na história da civilização. São Paulo: Scipione, 1999.
MACHADO, N. J. Matemática e Realidade: análise dos pressupostos filosóficos que
fundamentam o ensino da matemática. São Paulo: Cortez, 1987.
NICOLA, A. Dicionário de filosofia. 2. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998.
PIAGET, J. Psicologia e pedagogia. São Paulo: Forense, 1975.
PONTE, J. P. Concepções dos professores de matemática e processos de
formação. In: BROWN, M. et alI. Educação matemática: temas de investigação.
Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1992.
SILVEIRA, Porto da J. F. Três noções numéricas básicas: número, numeral e
algarismo. Página da Internet http://athena.mat.ufrgs.br/-portosil/passa7a.html.
Acessado em 12 de dezembro de 2001.

ANEXO 1
Autorização para desenvolver a pesquisa no Colégio Estadual Júlia Wanderley

Autorização para desenvolver a pesquisa no Colégio Estadual Júlia Wanderley
Carambeí, ...1».... de Setembro de 2001.
À
Sra. Oerli Theresa Ruths
Prezada Diretora
Venho por meio desta, pedir sua autorização para ministrar atividades na 5a
série, turma C, sobre o assunto números racionais para desenvolver a minha
monografia, conforme o projeto e as atividades em anexo.
Gostaria de esclarecer que, os alunos não sofrerão nenhum prejuizo, pois
esse assunto em questão será o próximo conteúdo a ser desenvolvido.
Antecipo meus agradecimentos pela sua compreensão.
Atenciosamente.
Autorizado por:
~-r~
Derli Theresa Ruths
Diretora

ANEXO 2
Os problemas propostos aos alunos

EXERCíCIOS A SEREM DESENVOLVIDOS PELOS ALUNOS DA 5a
SÉRIE PARA
OBSERVAR O GRAU DE DIFICULDADE EXISTENTE NESTE ASSUNTO E QUE
SERÁ FEITO UMA ANÁLISE NA MONOGRAFIA.
PROBLEMAS COM NÚMEROS NATURAIS
1. Uma caixa contém uma certa quantidade de laranjas. Essa quantidade foi
repartida igualmente entre 6 casais. Cada casal recebeu 35 laranjas e ainda
restaram 5 laranjas na caixa. Qual a quantidade de laranjas que havia
inicialmente na caixa?
2. Mariana comprou 3 canetas de mesmo preço, e uma lapiseira, gastando ao todo
60 reais. A lapiseira custo 24 reais. Quanto custou cada caneta?
3. Para uma excursão, um colégio alugou 4 ônibus. Em cada ônibus foram
colocados 35 alunos. Além dos alunos, 1° professores acompanharam a
excursão. Quantas pessoas, ao todo, participaram dessa excursão?
PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL
1. Um automóvel consumiu 78 litros de gasolina para percorrer 897 quilômetros.
Quantos quilômetros rodou por litro?
2. Um portão tem 2,08 metros de largura, enquanto um segundo portão tem 2,2
metros de largura. Qual dos dois portões é o mais largo? Por quê?
3. Uma pipa de vinho enche 63 garrafas de 0,7 litros cada uma. Quantas garrafas

de 0,9 litro a pipa pode encher?
PROBLEMAS COM NÚMEROS FRACIONÁRIOS
1. Foram convocados para a primeira fase de treinamento da seleção brasileira de
basquete 20 jogadores. Terminada essa fase do treinamento, foram dispensados
2/5 dos jogadores, continuando os restantes em treinamento. Nessas condições,
quantos jogadores foram dispensados? Quantos jogadores continuaram em
treinamento?
5/5
1/5
= 20
= 20: 5 = 4
2/5 = 2 x 4 = 8 foram dispensados
Se 8 jogadores foram dispensados, então 20 - 8 = 12 continuaram em treinamento.
Logo, foram dispensados 8 jogadores e continuaram em treinamento 12 jogadores.
2. Marco já leu 80 páginas de um livro. Essa quantidade corresponde a 2/3 do
número de páginas que o livro tem. Quantas páginas tem esse livro?
3. Para encher um álbum de figurinhas, Maria contribuiu com 1/6 das figurinhas e
Gabriela contribuiu com 3/4 das figurinhas. Sabendo-se que as duas contribuíram
com 99 figurinhas, quantas figurinhas terá esse álbum completo?

ANEXO 3
Algumas das soluções que os alunos deram aos problemas propostos

PROBLEMAS COM NUMERaS NATURAIS
1. Uma caixa contém uma certa quantidade de laranjas. Essa quantidade -foi
inicialmente na caixa? '
W Q J O IflIL· I c: tL...., .
~ J:1l. Q tg.Q()JXC9. ~ 1J J.t;.JC()I{tbOb
[r~O .fi) 18
2. Mariana comprou 3 canetas de mesmo preço- e uma lapiseira, gastando ao todo
6Jb10 ebL.3-·· .
~~~ O~1~ R:~ ~~.(J,oo~
3. Para uma excursão, 'um colégio alugou 4 ônibus. Em cada ônibus foram
colocados 35 alunos. Além dos alunos,' 10 professores acompanharam' a
2fxcursão. Quantas pessoas, ao todo, participaram dessa excursão?
35 140 r.y T', rJ
(Gt .+46 'I·ll~, d.wo:·nrfr-lltTÀÍ1J} 150~
~ "j~r.. ,~v~,. '-
)

1. Urna caixa contém urna certa quantidade de laranjas. Essa quantidade foi
repartida igualmente entre G casais. Cada casal recebeu 35 laranjas e ainda
restaram 5 laranjas na caixa. ·Qual a quantidade de laranjas que havia
3Sk6: c2Jo........ -
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colocados 35 alunos. Além dos alunos, 10 professores acompanharam a
excursão. Quantas pessoas, ao todo, participaram dessa excursão? N~
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PROBLEMAS COM NUMEROS NATURAI~
1. Urna caixa contém uma certa quantidade de laranjas. Essa quantidade foi
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inicialmente na caixa? ~b._ -1'.5.-_-
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3. Para urna excursão, um colégio alugou 4 ônibus. Em cada ônibus foram

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1. Urna caixa contém uma certa quantidade de laranjas. Essa quantidade foi
repartida igualmente entre 6 casais, Cada casal recebeu 35 laranjas' e ainda
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3. Para urna excursão, um colégio alugou 4 ônibus. Em cada ônibus foram
colocados 35 alunos, Além dos alunos, 10 professores acompanharam a .
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60 reais. A lap.iseira custo 24 reais. Quanto custou cada caneta?
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ANEXO 4
Alguns sistemas de numeração antigos

Para determinar a posição de uma estrela
no firmamento, mediam o seu ângulo de ele-
vação. Para isso,criaram um instrumento cha-
mado sextante (relativo à sexta parte da cir-
cunferência).
Para eles, era fácil construir o sextante
porque já sabiam dividir a circunferência em
seis partes iguais.
Ilustração de sextante
reproduzida em livro escrito
pelo astrônomo Tycho Brahe
e publicado em 1598.
Dividindo a circunferência
em 6 partes iguais ...
... obtém-se um ângulo de 60'.
Assim criou-se o ângulo de 60°. Daí, a origem da base sessenta.
•
Dedos, falanges e a base sessenta
Uma outra hipótese, formulada pelo próprio Georges Ifrah,é a de que
a base sessenta originou-se de práticas de povos mais antigos, uns usando
a base cinco e outros, a base doze. No encontro dessas culturas, ter-se-ia
origina.do a base sessenta.
A base cinco pode ser explicada pelos cinco dedos que temos em
cada mão. A base doze, como vimos, tem também uma explicação
aiatôrnica: lembra-se do processo d-:: contagem em que o dedo polegar
aoonta, uma a uma, as doze falanges dos outros quatro dedos?

Agora mesmo falávamos da esquisitice do zero. Mas, além dessa, há
outra: a base sessenta. Você não acha muito estranho os mesopotâmicos
terem usado essa base?
Para a base dez, há uma explicação natural:temos dez dedos nas mãos.
Até para a base vinte, há uma boa explicação: temos vinte dedos se in-
cluirmos os dedos dos pés. Mas, e a base sessenta?
Georges Ifrah, um professor marroquino, dedicou boa parte de sua
vida pesquisando a história dos números. Em sua obra, História universal
dos algarismos, ele afirma que a existência da base sessenta é um mistério,
uma vez que, até hoje, não se encontrou uma explicação plenamente
aceitável para sua origem.
Ifrah apresenta várias hipóteses. Algumas têm a ver com a Matemática,
outras, com a Astronomia e há ainda as de origem mística.Vamos apre-
sentar duas delas.
Astronomia e a base sessenta
Os povos antigos, entre os quais os babilônios, desenvolveram muito a
Astronomia, a contagem do tempo, a organização do calendário. Associ-
ando o movimento dos astros à circunferência e tendo percebido que o
ano tem 360 dias, aproximadamente, passaram a dividir a circunferência
em 360· partes iguais.Usavam essa divisão para medir ângulos, que eram
muito úteis nos seus estudos de Astronomia.
Essa é a origem do transferidor que, ainda hoje, usamos para medir
ângulos.
o ângulo de 900
corresponde a -L
da circunferência. 4
~...,."
o ângulo de 1200
corresponde a -L
da circunferência. 3

Sentiu falta do zero?
o sistema numérico da Mesopotâmia apresenta alguns inconvenien-
tes. Observe estes números:
m3
r TI60 + 2 = 62
IT Y2 x 60 + 1 = 121
Os três números representados são diferentes, embora todos sejam
escritos com os mesmos sinais. O que muda é a distância entre os sinais.
Se uma pessoa escrevesse esses números apressadamente, sem cuidado
com os espaços, certamente causaria confusão.
Há ainda outra dificuldade.Veja estes exemplos:
4ffi59
,r tTI ym
61 62 .63
E agora? Como seria a representação do sessenta? Assim ~~~ ou
assimY?
Se fosse assim Y ~ele seria confundido com o um. Se fosse ~~~ '
então sessenta e um deveria ser assim ~ Ye não desta forma: Y y.
Talvez você tenha pensado em escrever o sessenta assim:YO .
Uma boa idéia! Mas os povos da Mesopotâmia ainda não tinham in-
ventado um símbolo que representasse o nada Somente na fase final
daquela civilização é que eles começaram a pensar num símbolo para o
zero. Antes disso, por alguns séculos, a apresentação do sessenta e de
alguns outros números causou muita confusão.
Não é esquisito que o zero, um símbolo para o nada, faça tanta falta?
a

AgO'-2 é mais fácil perceber o que queremos dizer com nurneraçào de
base sessenta. Vamos comparar com a numeração egípcia:
• na numeração egípcia, n ~O O significaum grupo de dez mais três:
• na numeração mesopotâmica, y 'T'rY significaum grupo de sessenta
mais três.
Repare que o símbolo da esquerda, separado dos outros três, vale
sessenta.
--~-----,
Descubra que números estão escritos abaixo, no sistema de nu-
meração mesopotâmico:
Decifrou os números? Não fique pensando que é perda de tempo
saber um pouco acerca da base sessenta. É verdade que o sistema de
numeração dos povos da Mesopotâmia desapareceu há muito tempo,
mas restáram vestígios dele, por exemplo, na contagem do tempo. Como
você sabe, sessenta segundos compõem um minuto, e sessenta minutos
compõem uma hora. Essa contagem em grupos de sessenta é herança da
antiga numer-ação de base sessenta.
Assim, a escrita I:30,que você vê nos
relógios digitais ou nos do forno de mi-
croondas, não significa I30 minutos nem
1.30 hora. l-Jote que I:30 significa 90
minutos ou 1.5 hora. Isso porque o I
antes dos dois-pontos corresponde a 60
minutos

Escrita mesopotâmica Em nosso sistema
"? ~ 1 9
W -«W 2 18
m {~ 3 27
~ ~ 4 36
W ~W 5 45
ffi -41~V 6 54
~
yyyy 7 63
W V 4,TI
8 72
~
Y 4..«1
9 81
<{ Y «<{« 10 90
Notou que há algo estranho nos quatro últimos resultados, que
correspondem a 63, 72, 81 e 90? Por exemplo, para o 63 esperávamos
esse registro ~ m,mas o que se vê é 1m.Você pode imagi-
nar uma explicação para isso?
.Acontece que eles usavam um sistema de numeração de base sessen-
ta. o que parece muito esquisito. Veja o significado dos últimos resultados
da tabuada do nove:
60+34---
r
~- 1
:yr::~ :I I •I 'J r I
i - - -, .•.- -- - - - - ~
63
60 + 21
~l- :;- -~A-?:
I I'~"I I I I
...• __ ~ J _.. _ _ __ ~
81
60 + 12
11'--: :.-<---w· --:I I I I
! I I I
....( __ --c .• _•• J...
72
60 + 30
• - - 1 t- -.
:7:: /'/Á :
1,11~1
: I I I
- - - ~ .•. . - - - - """1-
90

,-
Nas escavações arqueológicas, realizadas na
região onde foram edificadas as cidades
da Mesopotâmia, encontraram-se
milhares de placas de barro
que continham inscrições.
Usando um bastonete, os
escribas da Mesopotâmia
escreveram sobre essas
placas quando o barro ainda
estava mole. Depois, elas foram
cozidas no forno para endurecer. Exercfcio de matemática de cerca
de 1700 a.C.
Com base nessas placas, foi possível decifrar o sistema de numeração
mesopotâmico. O sinal r indica I e o sinal -« ,IO. Veja a escrita de alguns
números:
TIl 17 -<T3 5 11
~W « ~
18 20 40
Parece com o sistema egípcio, não é?
Parece, mas somente no início.Uma das placas de argila encontradas
nas escavações continha os resultados da tabuada do nove. Vamos mos-
trar Ui. desenho dessa placa e você vai lei" urna surpresa. Examine com
atenção:

Observe que em vez de escrever lOcam dez risquinhos, os egípcios
escreviam desta maneira:
Isso significa que um símbolo nvalia por dez símbolos D. Da mes-
ma forma, dez símbolos n eram substituídos por um ~ e assim por
diante.
Notou que, na escrita dos números, os egípcios formavam grupos de
dez do mesmo modo que fazemos hoje? Em nosso sistema de numera-
ção, dez unidades formam a dezena: dez dezenas formam a centena e
assim por diante, como ocorre também no sistema egípcio.
Isso quer dizer que o sistema egípcio era decimal como o nosso, ou,
em outras palavras, era um sistema de base dez.
É interessante fazer uma adição usando nossa escrita dos números e,
depois, a dos egípciosVeja como é feita com nossos algarismos:
1
37
+25
62
O pequeno I sobre o 3 indica a troca de dez unidades por uma deze-
na, é o chamado "vai um".Algumas crianças pequenas têm dificuldade em
entender esse procedimento, pois não compreendem essa troca. No en-
tantó, no sistema egípcio, a conta ficaria mais fácil para elas porque podem
"ver" a troca de dez unidades pela dezena. Observe:
ó1úll ú1 "UOU
: UOO I,
I O '
+ fJ) lí1 ~Ooo~
DÓ)/

Da civilização egípcia, restaram vários monumentos com inscrições,
além de documentos em papiros. Essas fontes permitiram que os arque-
ólogos decifrassem o sistema de numeração egípcio.Você também pode
decifrá-Io. Observe estes exemplos:
onu ~~~nn uno
o fi
21 325
~~~ DOU
!nnn
~ 000 fl
UUU
409 1040
Já percebeu uma lógica nesse sistema, não é? Então, aceite este peque-
no desafio: observe a seguir os símbolos que os egípcios usavam para os
números e escreva como eles I3, 23 e 123.
10
n __ o. " _
{
------- -
~
--- ----- .--- --- ---
I
<f 1000 A flor de lótus (o lótus era uma planta sagrada no E9itO)1'
~ representava o milhar.
__ __ '··"'"--"'----0- ...•... . . ., .••• • ._
1 10000 O desenho de um dedo dobrado era o símbolo
....~ _':~ :~ag;,:~o~:p'"~om~., miL·· ·_~··-_-I
W 1000000 Uma figura humana ajoelhada, com as mãos para o alto, !
~ indicava o milhão. i
Esse sinal indicava a dezena.
Um traço vertical indicava a unidade.
100 Uma corda enrolada indicava a centena.

Na longa história da civilização chinesa, houve mais de um sistema
numérico. O mais utilizado deles tinha estes símbolos:
- 1 ..1-
." 6
+ 10
-. 2-. -t 7
ã 100-..- 3
- j 8
=f2Y 4
1000
1L 9
li 5
"10000
Esses símbolos ainda hoje são conhecidos tanto na China como no
Japão. No entanto, para fazer cálculos, todos usam o mesmo sistema de
numeração que nós.
O antigo sistema de numeração chinês tem regras interessantes. Veja
os exemplos:
oitocentos e vinte e quatro cinco mil e noventa e sete
/~ã
8 100
-- +Im2 10 4 5 1000 9 10 7
8 X 100 + 2 X 10 + 4 5 X 1000 + 9 X 10 + 7
Percebeu que é um sistema decimal e que tem semelhanças com o
nosso sistema? Compare a nossa maneira de escrever 824 com a deles.
Notou que a idéia é a mesma? A diferença é que, no nosso caso, o 100 e
o 10 ficam "escondidos". não aparecem na escrita 824.

Atenção: você não deve decorar os símbolos de nenhum dos siste-
mas numéricos antigos, pois eles já não são usados. Basta conhecer
as idéias principais dos sistemas para você entender melhor os nú-
meros e a Matemática. Por isso. para responder- às perguntas, sem-
pre que for preciso, releia as páginas anteriores para relembrar os
significados dos vários símbolos.
I. Os números seguintes estão representados no sistema egípcio.
Calcule os resultados das adições (se preciso, veja novamente o
exemplo que foi apresentado no livro). Depois, escreva essas mes-
mas adições em nosso sistema de numeração.
a)
ú'lú"ln 081
nnn 000
nn UD
i1u g I
o g
nnn o
nn
nnfi ou
nnn+ +
2. Na página 24, pedimos que você decifrasse estes números no
sistema de numeração da Mesopotâmia:
•
y«~87
~w25 141
Agora, decifre mais estes:
yyy <{V
WWY
--------------------- -- - ------

Além disso, os maias desenvolveram um sistema de numeração com-
plexo. Por essa razão, vamos mostrá-I o apenas em parte. Veja a seguir a
representação dos primeiros números:
1 6 • •• • 11 - 16- -- -
•• 2 •• 7 •• 12- - ••- 17
-••• 3 ••• 8 ••• 13-- •••
•••• 9 •••• - 18
•••• 4 14 ---5 10 - 15 ••••- 19- - -
.
E agora, percebeu o padrão? Adivinhe a continuação: qual era o símbo-
-10 para o 20? Seria este =?
Não, não era essa a maneira de representar o 20. Era desta forma:
•
~
A concha representava o zero. Agora, observe a representação de
mais alguns números depois do 20 para entender um pouco mais o
sistema:
• • • • •• • • • •••• • •• ••• •••• -• ••• •••• -- - -- -21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
•
••••---
1 x20
+ =39
19
•• 2><;20
+ =40
O
•••
•-
3 x20
+ = 66
6
5x20
+ = 100
O

Agol-a que você já conhece vários sistemas de numeração, vamos des-
tacar e comparar algumas de suas características.
As representações dos números um, dois e três
Veja como elas se parecem em todos estes sistemas:
Sistema Representação
egípcio O D~ nu
mesopotâmico I" TI YY'Y
romano
I 11 111
- -chinês
- - --maia
• •• •••
Sobre a posição dos simbolos
• No sistema egípcio, tanto faz escrever nu ou uno No primeiro ca-
so, você terá 10 + I e, no segundo. I + 10,ou seja, sempre terá I I.
• No -sisterna romano, a ordem pode fazer diferença: IV é quatro e VI é
seis.
• No sistema mesopotâmico, a posição também é fundamental. Uma
pequena mudança na posição dos símbolos transforma 62 em 121!
"Y
60 +
TI
2 = 62
Y'TY
2x60 + 1= 121
Conclusão: os sistemas mesopotâmico e romano são posicionais, ou
seja. mudando a posição dos símbolos. muda-se o número representado.
Isso não acontece no sistema egípcio.
Para você pensar: o sistema qU'2 usamos é posicional?
r

o IJrincipio aditivo
Um sistema de numeração apresenta o princípio aditivo quando o
número representado é a soma dos valores de cada símbolo. Assim:
u O
100 + 100 + 10 + 1O+ 10 + 1 +1 = 232
o sistema romano tem o princípio aditivo. Mas cuidado, ele também
tem o princípio subtrativo.
C D X X 1 V
500 - 100 + 10 + 10 + (5 - 1) = 424
A questão do zero
Por falta do zero, os egípcios eram obrigados a usar símbolos diferen-
tes para 10, 100, I000, 10000, etc. Note que nós usamos apenas os sím-
bolos I e °para todos esses números. Os mesopotâmicos também não
conheciam o zero, daí a confusão na escrita dos números, em que um
espaço entre os sinais podia mudar o seu valor.
E as contas?
Final~ente, comparando os sistemas, podemos saber se são adequa-
dos para fazer contas. No
sistema egípcio, é fácilfazer
algumas contas, mas é pre-
ciso escrever muito. Para
fazer adições, basta juntar
os símbolos e, se preciso,
fazer trocas:
+
nlln
n
nn
I
" OU '.
I U RI I
I I
~ g 11)
Uf
--,'
Dez U foram trocados por um f)).
?
;

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