JOSSANE AJUZ HOLZMANN
OS NÚMEROS IRRACIONAIS E SUAS CONSEQÜÊNCIAS SOCIAIS,
POLÍTICAS E CULTURAIS DE UMA ÉPOCA
PONTA GROSSA...
JOSSANE AJUZ HOLZMANN
OS NÚMEROS IRRACIONAIS E SUAS CONSEQÜÊNCIAS SOCIAIS,
POLÍTICAS E CULTURAIS DE UMA ÉPOCA
Monografia a...
Agradeço a todos que,
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RESUMO
Diante de uma visão tecnicista e fragmentada em que se encontra o ensino como um todo e,
particularmente, o ensino ...
1 INTRODUÇÃO
o presente trabalho foi elaborado a partir de uma análise da história da
matemática como valioso recurso peda...
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(1982) descrevem uma abordagem para a utilização da História da Matemática, nesse
caso, para os números irracionais, car...
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através dos tempos.
Espera-se que o aluno, através dessa seqüência didática, em que ele enfrentará
a própria situação hi...
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2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Na esperança de que o aluno amplie e aprofunde seu conhecimento, é
importante situá-Io no context...
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instrumento que pode levar a uma aprendizagem sig...
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3- História-Método:
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7- História- Dialética:
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independente e critico". Acred...
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compreendam de forma consciente, a necessidade de se submeterem aos padrões
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propostas pedagógicas que tivessem como referência a História da Matemática,
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aplicada, para o ensino dos números ...
3 A PROPOSTA PEDAGÓGICA
Diante da proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o quarto ciclo
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construídos sobre os lados dos triângulos retângulos , passando para a construção de
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repercussão sócio-cultural e política de um povo, de sua cultura e as conseqüências
advindas de toda essa trajetória.
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3.1 CONTEÚDOS CONCEITUAIS, PROCEDIMENTAIS E ATITUDINAIS
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3.2 SEQÜÊNCIA DIDÁTICA
Devemos ressaltar que para organizar uma seqüência didática faz-se necessário
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FIGURA 5 - PINTURA DA RELAÇÃO ENTRE OS QUADRADOS DO TRIÂNGULO
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Verificada essa relação, indagaremos aos alunos se eles têm idéia de há
quantos anos essa relação foi descoberta, como ...
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medida, e tiveram uma surpresa.
...
FIGURA 7 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DMDIDO
Qual não foi a surpresa!
A mesma daquela época! Nessa fase, os alunos encontrarão um...
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pitagórico que dirigiu a escola pitagórica logo após a morte de Pitágoras. Os gregos
antigos não possuíam calculadoras ...
Pedimos que unam os pontos A e C e com a ponta seca Ciocompasso em 1-., auei uu a ~v,
tracem um arco cortando a reta real ...
30
Para que os alunos despertem sua atenção, proporemos outra atividade: para
efeito de ilustração, ampliarão a reta numer...
31
Para facilitar os cálculos, poderemos sugerir que se utilizem da ferramenta da
calculadora para conseguirem obter o val...
32
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34
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35
possuem raizes quadráticas ou seja, não são quadrados perfeitos.
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36
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4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
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REFERÊNCIAS
ARCA VI, Abraham et aI. História da Matemática para professores: o caso dos números
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36
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11. A reação silenciosa: aliança entre os homens?
Ao fazer as atividades anteriores, você deve ter sentido o mal estar ...
45
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dos números, isto é, que a a...
43
ANEXO 2 - PARA QUE SERVEM OS IRRACIONAIS?
44
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Guillen,pp.41-50 e foi adaptado por Miguel (1993, p....
_ •.._.a. .•...•...•.._....." _ •. _.
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trabalhava não ser...
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  1. 1. JOSSANE AJUZ HOLZMANN OS NÚMEROS IRRACIONAIS E SUAS CONSEQÜÊNCIAS SOCIAIS, POLÍTICAS E CULTURAIS DE UMA ÉPOCA PONTA GROSSA 2001
  2. 2. JOSSANE AJUZ HOLZMANN OS NÚMEROS IRRACIONAIS E SUAS CONSEQÜÊNCIAS SOCIAIS, POLÍTICAS E CULTURAIS DE UMA ÉPOCA Monografia apresentada para obtenção do título de Especialista em Educação Matemática, no Curso de Pós-Graduação em Matemática dimensões teórico metodológicas, do departamento de Métodos e Técnicas de Ensino da Universidade Estadual de Ponta Grossa. Orientadora: Prof" Ms. Heliana C. Campiteli PONTA GROSSA 2001
  3. 3. Agradeço a todos que, indiretamente, contribuíram realização deste trabalho. ii direta para e a
  4. 4. sUMÁRIO LISTA DE ILUSTRAÇÕES , IV RESUMO V 1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................... 1 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 4 3 A PROPOSTA PEDAGÓGICA 14 3.1 CONTEÚDOS CONCEITUAlS, PROCEDIMENTAlS E ATITUDINAlS ASSOCIADOS 17 3.2 SEQÜÊNCIA DIDÁTICA 21 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 39 REFERÊNCIAS 41 ANEXO I:TEXTOS 5, 8, 9, 10, 11 E 12 DA TESE DE DOUTORAMENTO DE ANTONIO MIGUEL 42 ANEXO 2: PARA QUE SERVEM OS IRRACIONAIS? 43 iii r
  5. 5. LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIGURA 1- 1RIÂNGULO RETÂNGULO QUALQUER 21 FIGURA 2 - 1RIÂNGULO RETÂNGULO PIT AGÓRICO 22 FIGURA 3 - QUADRADOS SOBRE LADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 22 FIGURA 4 - DIVISÃO DOS QUADRADOS SOBRE OS LADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 23 FIGURA 5 - PINTURA DA RELAÇÃO ENTRE OS QUADRADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO 24 FIGURA 6 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DE CATETOS 1 eM 26 FIGURA 7 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DIVIDIDO 27 FIGURA 8 - TRANSPOSIÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO NA RETA NUMERADA 29 FIGURA 9 - INTERVALO ENTRE 1-1,5 DA RETA REAL NUMERADA 30 FIGURA 10 - DIVISÃO DO INTERVALO 1-1,5 NA FORMA FRAçÃO 30 FIGURA 11 - INTERVALO 1,4 - 1,5 DA RETA REAL NUMERADA 32 FIGURA 12 - INTERVALO 1,41 - 1,42 DA RETA REAL NUMERADA. 32 FIGURA 13 - PONTOS NA RETA NUMERADA REPRESENTANDO OUTROS IRRACIONAIS 35 FIGURA 14 - OS IRRACIONAIS FORMANDO UMA ESPIRAL 37 iv
  6. 6. RESUMO Diante de uma visão tecnicista e fragmentada em que se encontra o ensino como um todo e, particularmente, o ensino de matemática, é que o presente trabalho foi elaborado. À partir de uma investigação de propostas pedagógicas que tivessem como referência a história da matemática ,especificamente em relação ao ensino dos números irracionais, é que procuramos elaborar uma proposta didático-pedagógica para o ensino dos números irracionais ligada à Geometria passando pelos domínios da Álgebra e da Aritmética. Destacamos para isso toda potencialidade pedagógica da História da Matemática , mostrando ao aluno que todo esse conhecimento de hoje que está ao nosso alcance foi acwnulado ao longo do tempo por nossos antepassados e cedido a cada um de nós como uma fabulosa herança cultural; propiciando a humanização dessa ciência, tomado-a um instrwnento de resgate da própria identidade cultural,. levando o aluno a realmente construir seu conhecimento lógico-matemático acerca dos números irracionais. Palavras-chave: números irracionais, história da matemática, construção do conhecimento. v
  7. 7. 1 INTRODUÇÃO o presente trabalho foi elaborado a partir de uma análise da história da matemática como valioso recurso pedagógico, com suas funções específicas dentro de uma preocupação com relação ao ensino e suas perspectivas de melhoramento. Assim como, procuramos através de uma investigação teórica, de alguns autores, levantar propostas pedagógicas que tivessem como referência a História da Matemática, especificamente, com relação aos números irracionais. Nessa perspectiva e devido a falta de propostas histórico-pedagógicas é que desenvolvemos uma proposta didático- pedagógica, para o ensino dos números irracionais (não aplicada), ligada à Geometria, passando para os domínios da Álgebra e da Aritmética, fazendo uso do contexto histórico no decorrer do crescimento e evolução das idéias matemáticas, com a intenção de levar o aluno a realmente construir seu conhecimento lógico-matemático, e assim, contribuir para uma melhor formação geral do indivíduo (aluno) como um cidadão atuante e modificador da sociedade. Destacamos também a importância do papel do professor na utilização desse recurso pedagógico, visando-o não somente como mais um recurso, mas como um potencial motivador, um instrumento de formalização de conceitos, um instrumento que pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva da matemática. Dentre as propostas investigadas, destacamos a de GUELLI (1992), como um referencial histórico do desenvolvimento do raciocínio Pitagórico com relação aos triângulos retângulos, levando-os a uma descoberta revolucionária: os números irracionais, quebrando toda uma crença cultural de toda uma civilização e cultura grega. Vimos SPINELLI e SOUZA (2000) em que suas propostas mostra-nos um breve apanhado histórico do desenvolvimento do raciocínio dos matemáticos na história da evolução dos conceitos, enfatizando o uso da geometria na compreensão dos números . . . irracionais. Relatamos também a história da matemática para professores no curso de professores em formação e em exercício onde ARCA VI; BRUCKHEINER e BEM-A VI
  8. 8. 2 (1982) descrevem uma abordagem para a utilização da História da Matemática, nesse caso, para os números irracionais, caracterizando-se basicamente pela aprendizagem ativa e a história conceitual. Para completar essa investigação teórica deparamo-nos com uma proposta que veto aprofundar as demais: a proposta histórico pedagógica- temática de MIGUEL (1993) que oferece uma importante contribuição ao processo de ensino-aprendizagem da matemática, especificamente em relação aos números irracionais. De acordo com MIGUEL (1993 , p.168): A razão da escolha ter recaído sobre esse tema, deve-se ao fato de, tradicionalmente, as passagens dos textos didáticos de matemática para a escola secundária referentes a ele reduzirem-se , invariavelmente, a um amontoado de regras de operar com radicais para os quais, na maioria das vezes, não se apresentam justificativas convincentes e que acabam por constituírem-se, aos olhos dos estudantes, em conhecimentos pouco úteis, pouco desafiadores e desligados dos demais temas constituintes dos programa de matemática. Procuramos destacar mais nesse trabalho o estudo de Miguel, levando em conta o seu posicionamento com relação à importância da história da matemática e seu estudo histórico pedagógico-operacionalizado , dentro do qual ele procura suprir toda essa carência do ensino por ele destacada. Dentro dessa perspectiva, acredita-se também em um procedimento meto dológico voltado para as propostas dos Parâmetros Curriculares Nacionais, em ampliar e aprofundar a noção de número como pressuposto para que se processe no aluno toda uma compreensão lógico-matemática. Para tal intento, procuramos nos basear nos textos 5, 8, 9, 10, 11 e 12 da tese de Miguel (em anexo), com toda sua evolução histórica e operacionalidade, para desenvolvermos uma seqüência didática , não deixando de utilizar as idéias dos demais autores citados nesse trabalho. Nessa seqüência didática, o aluno fará uso da associação dos conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais envolvidos na ação pedagógica, para adentrar na construção lógico-matemática relacionada ao conceito de irracionais, utilizando dos fatos históricos, quer através de pesquisas sugeridas ou através de colocações citadas no decorrer do desenvolvimento da atividade , onde ele perceberá a evolução das idéias
  9. 9. 3 através dos tempos. Espera-se que o aluno, através dessa seqüência didática, em que ele enfrentará a própria situação histórica-problema, que levou os antepassados matemáticos a se depararem com os números irracionais, superar as dissonâncias encontradas no decorrer do processo, num trabalho minucioso, interligando a Geometria com a Aritmética e a Álgebra, proporcionando-lhe condições de transformar esse ensino em aprendizagem, onde de fato, estará construindo seu conhecimento em patamares mais sólidos.
  10. 10. 4 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS Na esperança de que o aluno amplie e aprofunde seu conhecimento, é importante situá-Io no contexto da evolução na história das ciências, levando-o a um maior interesse pela disciplina, evidenciando sua importância e significado. Vemos claramente destacada essa questão nos PCN's (BRASIL, 1997, p.33) quando ressalta que: A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações em ter os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante do conhecimento. NO sentido de humanizar a Matemática, vemos que o aprofundamento de um nco contexto histórico, vem ao encontro das nossas necessidades como educadores, podendo oferecer uma importante contribuição no processo de ensino- aprendizagem da matemática, tornando essa ciência um instrumento de resgate da própria identidade cultural, destacando toda a potencialidade pedagógica da História da Matemática. O uso da História da Matemática como recurso pedagógico, não se resume apenas na simples apresentação de fatos ou biografia de matemáticos famosos, mas como um processo de ensino-aprendizagem, um potencial pedagógico motivador que permita ao aluno analisar e refletir sobre todo processo de evolução dos conceitos e idéias, e com isso construir seu próprio conhecimento. Conforme os PCN's , A História da Matemática pode ser também uma fonte de interesse para os jovens na medida em que permite reflexões sobre casos, coincidências e convergências do espírito humano na 'construção do conhecimento acumulado pela humanidade.( ...) Uma história que pode levar à reflexão sobre as relações entre os homens e sobre indeléveis teias que conspiram a favor do avanço do conhecimento humano - quem sabe a favor dos próprios homens (BRASIL, 1997, p.73). I PCN's- Parâmetros Curriculares Nacionais.
  11. 11. 5 Sob esse mesmo aspecto, ao analisarmos esse recurso pedagógico como um instrumento que pode levar a uma aprendizagem significativa e compreensiva da matemática, um rico instrumento de formalização de conceitos, destacamos ZÜNICA apud MIGUEL (1993, p.122) que nos diz, nos seguintes termos, que: A participação da história dos conteúdos matemáticos como recurso didático não só serve como elemento motivador, mas também como fator de melhor esclarecimento do sentido dos conceitos e das teorias estudadas. Não se trata de fazer uma referência histórica de duas linhas ao iniciar um capítulo, mas de realmente usar a ordem histórica da construção matemática para facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução teórica. Isso é central. Os conceitos e noções da matemática tiveram uma ordem de construção histórica. Esse decurso concreto põe em evidência os obstáculos que surgiram em sua edificação e compreensão. Ao recriar teoricamente esse processo (obviamente adaptado ao estado atual do conhecimento) é possível revelar seu sentido e seus limites. A história deveria servir, então, como o instrumento mais adequado para a estruturação do delineamento mesmo da exposição dos conceitos (...) Com isso não se quer dizer que se deve reproduzir mecanicamente a ordem de aparição histórica dos conceitos matemáticos; sem dúvida, todas as ciências possuem certa lógica interna que se dá a partir de sinteses teóricas importantes e que se deve assimilar no ensino aprendizagem. Só se coloca a necessidade de buscar um equilíbrio verdadeiramente dialético entre essa lógica interna e a história de sua evolução conceptual, enfatizando a importância do segundo. É na possibilidade de desenvolvimento de um ensino da Matemática, baseado na compreensão e na significação, que se realiza a função pedagógica da história. É claro que, subjacente a todo processo de ensino-aprendizagem que visa à compreensão e à significação , está o levantamento e a discussão dos porquês, isto é, das razões para a aceitação de certos fatos, raciocínios e procedimentos por parte do estudante. Como conseqüência, todo esse processo leva o aluno a uma ação refletida onde conseguirá construir conhecimentos, desenvolvendo atitudes e valores que possam dar subsídios para transporem outros patamares de conhecimentos e assim tomarem-se cidadãos conscientes e participantes, contribuindo para a formação da cidadania . Os PCN's (BRASIL, 1997, p.l0) reforçam essa colocação quando relatam que "a matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da construção humana na sua interação constante com o contexto natural, social e cultural". Não podemos deixar de avaliar a importância do professor nessa prática
  12. 12. 6 pedagógica, pOIS será o intermediário do processo ensino-aprendizagem, analisando devidamente onde e como inserir o contexto histórico no ensino da matemática, para que possa ser articulado com as demais variáveis que intervêm no processo de planejamento didático. Sob este ponto de vista, MIGUEL (1997, p.103) sugere que, Somente uma História da Matemática pedagogicamente orientada, isto é, uma história viva, humana, esclarecedora e dinâmica, vindo substituir as enfadonhas histórias evoutivas das idéias matemáticas, quase sempre desligadas das necessidades externas e/ou internas que estiveram na base de sua origem e transformação , poderia constituir-se em ponto de referência para uma prática pedagógica problematizadora em matemática que tivesse por meta uma problematização , entendida como simultaneamente lógica, epistemológica, metodológica, psicológica, sociológica, política, ética, estética e didática. Além de destacarmos a importância do professor na utilização desse instrumento meto dológico , temos que analisar com cautela todo o desenvolvimento do processo didático em sala de aula, onde se propõe a utilização da História da Matemática como recurso pedagógico, porque "assim como a Análise, a Álgebra, a Topologia, etc., a História da Matemática é uma área do conhecimento matemático, um campo de investigação científico, por isso é ingênuo considerá-Ia como um simples instrumento metodológico. Dessa forma, é plausível dizer que tanto quanto o conteúdo matemático, há a necessidade de o professor de matemática conhecer sua história, ou seja: A História do Conteúdo Matemático" (BARONI e NOBRE, 1999, p.l30). Foi na tese de doutoramento de Antônio MIGUEL (1993) que encontramos vários posicionamentos com relação ao uso da História da Matemática como recurso pedagógico , onde ele procurou ao longo de sua tese levantar, detalhar e analisar os diferentes papéis pedagógicos atribuídos a ela por matemáticos, historiadores da matemática e educadores matemáticos que, de modo direto ou indireto, acabaram expressando suas posições em relação a essa questão. Ele importou não apenas a busca das razões profundas da necessidade de se recorrer a história, mas também a identificação das funções pedagógicas que estão na base desse recorrer. MIGUEL nos apresenta diversas opiniões que procuram estimular a recorrer a esse procedimento, através da consideração não exaustiva das funções pedagógicas
  13. 13. 7 atribuídas à história através de diferentes pontos de vista de vários autores consagrados. Sentimos, portanto, a necessidade de destacar, como o próprio MIGUEL (1997, p.75-95) descreve, alguns argumentos levantados por esses "apologistas" da história, com o intento de reforçar as potencialidades pedagógicas da História da Matemática: 1- História-Motivação: "A História é uma fonte de motivação para o ensino da matemática. Os partidários desse ponto de vista acreditam que o conhecimento histórico dos processos matemáticos despertaria o interesse do aluno pelo conteúdo que está sendo ensinado. O poder motivador da História é atestado e exaltado em função da adoção de uma concepção lúdica ou recreativa da mesma". Atribui-se a ela o poder de relaxamento dentro do processo ensino-aprendizagem da matemática. 2- História- Objetivo: "A História constitui-se numa fonte de objetivos para o ensino da Matemática. Segundo os partidários desse ponto de vista, é possível buscar na História da Matemática apoio para se atingir com os alunos objetivos pedagógicos que os levem a perceber: a) a matemática como uma criação humana; b) as razões pelas quais as pessoas fazem matemática; c) as necessidades práticas, sociais, econômicas e fisicas que servem de estímulo ao desenvolvimento das idéias matemáticas; d) as conexões existentes entre matemática e filosofia, matemática e religião, matemática e lógica, etc; e) a curiosidade estritamente intelectual que pode levar à generalização e extensão de idéias e teorias; f) as percepções que os matemáticos têm do próprio objeto da matemática, as quais mudam e se desenvolvem ao longo do tempo; g) a natureza de uma estrutura, de uma axiomatização e de uma prova".
  14. 14. 8 3- História-Método: Os defensores desse ponto de vista acreditam que "a dimensão pedagógica da História aparece-lhe vinculada à questão da seleção de métodos adequados de ensino- aprendizagem dos conteúdos matemáticos". Onde apenas através de uma linearidade e unicidade do método histórico, tal qual se deu, chegaria-se ao ideal pedagógico de levar os alunos a pensar cientificamente. 4- História -Recreação: "A História é uma fonte para seleção de problemas práticos, cunosos ou recreativos a serem incorporados de maneira episódica nas aulas de matemática". Destacavam os defensores desse ponto de vista que na resolução de problemas é que se encontrava a eficiência didática para a aprendizagem da matemática. "Essa proposta baseia-se no pressuposto de que se a resolução de problemas constitui-se, por si só, numa atividade altamente motivadora, o fato de esse problema poder vincular-se à história elevaria, quase que automaticamente, o seu potencial motivador" . 5- História - Desmistificação: "A História é um instrumento que possibilita a desmistificação da matemática e a desalienação de seu ensino". Seus defensores acreditam que é mostrando aos alunos como realmente um conhecimento foi historicamente produzido, qual o caminho trilhado pelos nossos antepassados, os obstáculos enfrentados até chegarem a todo esse conhecimento que está ao seu redor, é que poderá desmistificar toda concepção de que a matemática é harmoniosa, que está pronta e acabada. 6- História - Formalização: "A História constitui-se num instrumento na formalização de conceitos matemáticos". Formalização vista aqui como as diversas ações que envolvem todo o processo cognitivo de elaboração de conceitos, através dos quais se pode chegar a um determinado fim.
  15. 15. 9 7- História- Dialética: "A História é um instrumento para a constituição de um pensamento independente e critico". Acreditam seus defensores que " se o objetivo pedagógico é esse, apenas uma reconstrução racional da história da matemática ou história destilada, isto é, uma reconstituição histórica que revelasse tão somente aquilo que é estritamente indispensável para o afloramento do jogo dialético, puro e sutil das idéias matemáticas, poderia fazer o professor atingi-lo". 8-História- Unificação: "A História é um instrumento unificador dos vários campos da Matemática". Segundo seus defensores somente a história possui a capacidade de visualizar a matemática num contexto global, através do relacionamento de seus diferentes campos, e principalmente com a origem do pensamento matemático. 9- História - Axiologia: "A História é um instrumento promotor de atitudes e valores". Seus defensores acreditam que ao atribuir à História o poder de eliminar as dissonâncias entre o modo como a matemática é repassada aos alunos e a maneira como ela foi, realmente produzida, sem esconder os erros, as discordâncias, as dificuldades, que nossos antepassados se depararam na produção do conhecimento, pode levar os alunos a desenvolver atitudes positivas, tanto na formação do pensamento científico, quanto na formação como cidadão. 10- História -Conscientizacão: " A História constitui-se num instrumento de conscientização epistemológica". Os adeptos deste pensamento acreditam que os alunos, num determinado momento do desenvolvimento de uma prática pedagógica, não possuem maturidade suficiente para a compreensão de certas demonstrações matemáticas, e que é nessa fase que a História trará sua contribuição. Ela levará os alunos a uma sucessão de raciocínios, mostrando que foram colocados da mesma forma aos nossos antepassados, e por eles superados. E permitirá que no momento adequado, os alunos, mais maduros psicologicamente,
  16. 16. 10 compreendam de forma consciente, a necessidade de se submeterem aos padrões atuatizados de rigor dentro do ensino de matemática. 11- História - Significação: "A História é um instrumento de pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva da matemática". Os defensores deste ponto de vista acreditam que a função pedagógica da História, no processo ensino-aprendizagem, é de fazer com que os alunos compreendam todo a ordem histórica da construção matemática na formalização de um conceito, através do levantamento e da discussão dos porquês, levando-os a aceitarem os fatos, e conseqüentemente o desenvolvimento de seus raciocínios. 12- História- Cultura: "A História é um instrumento que possibilita o resgate da identidade cultural". A História é vista por seus adeptos, como um grande valor pedagógico, por meio do qual, o aluno poderá recriar o processo histórico cultural, gerador das idéias matemáticas. Permitindo com isso, adquirir autoconfiança social e cultural. Dentro dessa análise das funções pedagógicas atribuídas a história, tomamos a reforçar a responsabilidade do professor em utilizar adequadamente esse recurso, tendo em vista ainda a ausência de projetos histórico-pedagógicos. MIGUEL (1993, p.162) declara que "dentre essas funções, gostaria de deixar registrada a sua preferência pelo ponto 11 , ou seja, por uma História-Significação". Ele nos diz ainda com relação a esse ponto que: De fato, para que a História da Matemática possa efetivamente desempenhar o papel auxiliar na promoção de urna aprendizagem significativa, não podemos jamais nos esquecer de que a rede de significações que envolvem as idéias matemáticas é, ela própria, uma construção social, uma vez que não só a atividade matemática, como toda atividade humana, é urna experiência social construtora de significados.(MIGUEL, 1993, p.163-164). Com referencia a essa história-significação GRABINER apud MIGUEL(1993, p.164) sugere-nos que" ver a matemática passada em seu contexto histórico ajuda a ver a matemática atual em seu contexto filosófico, científico e social e também a ter uma melhor compreensão do lugar da matemática no mundo".
  17. 17. 11 Outro aspecto de seu estudo é com relação à natureza histórico-metodológico, onde fez com que optasse por uma história-problematização, não apresentando apenas um relato histórico como a ciência do passado, mas aquela que a encara como "um diálogo do presente com o passado, no qual o presente toma e conserva a iniciativa" ARON apud MIGUEL (1993, p. 171), procurando "não apenas descrever, mas resolver ou, pelo menos, por problemas" LARDREAU apud MIGUEL (1993, p. 171). Nesse processo história- problema, afirma-nos MIGUEL, No nosso modo de entender, portanto, o pressuposto da história-problema implica necessariamente numa reconstituição racional do processo histórico de elaboração de um conceito o que, por sua vez, exige uma análise epistemológica desse processo. Mas uma análise epistemológica desse processo não se confunde com uma mera reconstituição autônoma e descontextualizada do processo evolutivo de um conceito (1993, p. 173-174). Em seu estudo MIGUEL também refere-se à natureza psico-pedagógica, construtivista não-radical de ensino-aprendizagem. Nesse sentido, ele nos sugere que: Um construtivismo pedagógico se diz não-radical quando acredita que a informação (venha ela através dos livros, dos textos, do professor, de outros alunos, ou de outra fonte qualquer) e que a interferência das pessoas (enquanto agentes produtores de idéias, conjecturas, planos, conflitos, etc ) envolvidas direta ou indiretamente no ato pedagógico, desempenham um papel positivo na construção do conhecimento por parte dos estudantes.Mais que isso, que a construção do conhecimento não é nem uma construção estritamente individual e nem uma construção social que se reduziria apenas ao âmbito das relações interpessoais que ocorrem na sala de aula .. Ela é um diálogo cujos interlocutores são também os produtores históricos daquele conhecimento (1993, p.179-180). Não podemos deixar de ressaltar, que concordamos plenamente com essa preferência de MIGUEL, na qual procuramos norte ar nosso trabalho, através da utilização de uma História-significação aliada a um processo de História- problematização. Permitindo assim, que o aluno seja o agente participativo no desenvolvimento do raciocínio da evolução das idéias que envolvem um contexto histórico dos conteúdos, levando-o a construção de seu próprio raciocínio lógico- matemático. Frente às razões que levam o professor a buscar a história da matemática como recurso pedagógico nas aulas de matemática, e diante das dificuldades apresentadas no estudo dos números irracionais no ensino de Matemática é que nos levou a investigarmos
  18. 18. 12 propostas pedagógicas que tivessem como referência a História da Matemática, especificamente, com relação a esse conteúdo. Nas investigações, encontramos GUELLI ( 1992, p.37-44) que faz uso desse recurso e nos apresenta toda uma colocação histórica dos números irracionais, destacando todo desenvolvimento do raciocínio pitagórico, partindo do teorema de Pitágoras até o descobrimento de um novo número e da série de conseqüências advindas dessa descoberta. Vimos SPINELLI e SOUZA (2000,v.3, p.25-27; v.4, p.53-55) que também nos mostram os números irracionais aliados à história dos pitagóricos. Esses autores optaram pela História da Matemática não só com relação aos números irracionais mas introduzindo em todos os capítulos de seus livros a seção "pensando no assunto". Nessa seção, o aluno entra em contato com a história da criação de alguns importantes conceitos matemáticos e também pode vislumbrar aplicações atuais e futuras dessa ciência( SPINELLI e SOUZA, 2000, p.3). Fazem também referência dos números irracionais com a geometria SPINELLI e SOUZA (2000, v.4, p.45-47), usando a régua e o compasso para localizarem a posição exata dos números irracionais na reta real numerada. Nos deparamos com um curso para professores em formação e em exercício, proposto num seminário por ARCA VI, BRUCKHEINER e BEM-A VI (1982) onde descrevem uma abordagem para a utilização da Histórica da Matemática, nesse caso, para os números irracionais, caracterizando-se basicamente pela aprendizagem ativa e a história conceitual. Mas foi também na tese de doutoramento de MIGUEL (1993), que encontramos além das análises das funções pedagógicas atribuídas à História da Matemática, um rico estudo acerca dos números irracionais, numa proposta histórico- pedagógico-operacionalizado. Diante dessas perspectivas e análises com referência ao uso da História da Matemática como valioso recurso pedagógico , bem como pela carência de propostas
  19. 19. 13 histórico-pedagógicas, procuramos elaborar uma proposta didático-pedagógica, a ser aplicada, para o ensino dos números irracionais, ligada à Geometria, passando para os domínios da Álgebra e da Aritmética , na expectativa de tomar o assunto mais significativo. Nessa expectativa é que nós educadores procuramos de alguma maneira dar a nossa contribuição para a formação de cidadãos críticos e autônomos, que possam enfrentar todos os obstáculos e superá-los, com vista à formação da cidadania, permitindo assim desenvolver atitudes de responsabilidade, compromisso, critica, satisfação e reconhecimento de direitos e deveres. Como destaca MIGUEL (1993, p.164-165) , Cidadãos matematicamente educados com base numa metodologia histórica que promova o pensamento independente e critico e a autonomia intelectual é que estarão melhores preparados para propor, analisar, discutir e votar por medidas emancipadoras referentes ao papel a ser desempenhado no contexto das sociedades atuais pelas ciências em geral e pela matemática em particular. É por essa razão que a Matemática, pedagogicamente humanizada - porque tecida através dos fios que a ligam a todos os tempos e a todas as culturas - pode e deve constituir a formação do cidadão educado do século XXXXX ... A seguir procuramos descrever os processos pelos quais desenvolvemos a nossa proposta didático-pedagógica para o ensino dos números irracionais.
  20. 20. 3 A PROPOSTA PEDAGÓGICA Diante da proposta dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o quarto ciclo do ensino fundamental, que além da consolidação dos números e das operações pelos alunos, ampliam-se os significados dos números pela identificação da existência de números não-racionais; assim como na perspectiva de que o aluno amplie e aprofunde sua noção de número, surgiu a necessidade de investigarmos propostas pedagógicas que permitam aos alunos compreenderem toda a trajetória histórica dos conteúdos, construindo seus conhecimentos em patamares mais sólidos, permitindo que os tomem capazes de atingir outros patamares de conhecimento. Ao tomarmos como base algumas propostas pedagógicas relacionadas aos números irracionais, tendo como referência a história da matemática e principalmente a de Antonio Miguel em sua tese de doutorado, isso nos permitiu ir ao encontro da proposta dos Parâmetros Curriculares Nacional. A partir da necessidade de uma melhor compreensão dos números, em especial os números irracionais, e devido a dificuldade que existe com relação a esse conteúdo, nada mais coerente que buscarmos todo o processo que deu origem a eles, através da história da matemática, pois segundo MESERVE apud ARCA VI et a1.(1982, p.14) a História da Matemática é uma fonte repleta de exemplos, mostrando os modos pelos quais as gerações anteriores vivenciaram e descobriram a necessidade de estruturas matemáticas formais. Desse modo, buscamos através de uma seqüência didático-pedagógica fazer com que os alunos construam seu conhecimento lógico matemático relacionado ao conceito de irracionais, utilizando o contexto histórico como um ambiente fértil, no qual os objetivos do ensino- aprendizagem podem ser atingidos. Enfocamos a irracionalidade oriunda da Geometria, através da matemática Pitagórica , em especial o Teorema de Pitágoras e conseqüentemente a descoberta dos segmentos incomensuráveis, primeiramente utilizando-se da área dos quadrados
  21. 21. 15 construídos sobre os lados dos triângulos retângulos , passando para a construção de triângulos retângulos cujos catetos têm a mesma medida. Num segundo momento, faremos a conexão dessa visão Geométrica com os domínios da Aritmética e da Álgebra, que permitirá ao aluno identificar o número irracional como um número de infmitas casas decimais não periódicas, através da reta real numerada onde identificará esse número como um ponto na reta, situado entre dois racionais apropriados, reconhecendo também que esse número não pode ser expresso por uma razão de números inteiros. Eles farão uso da máquina de calcular, instrumento que além de ser facilitador é antes de tudo precioso recurso pedagógico para a compreensão legítima do raciocínio lógico aritmético. Para que os alunos possam desenvolver todas as ações que estão envolvidas nessa pratica pedagógica, faz-se necessário que se utilizem do conjunto de conteúdos (conceituais, procedimentais e atitudinais) inseridos no contexto. Após esse trabalho minucioso interligando a Geometria com a Aritmética e a Álgebra, o professor poderá com os alunos chegar à formalização do conceito de números irracionais. Num terceiro momento, retomaremos a reta real numerada. Utilizando-nos de construções geométricas com régua e compasso, levamos o aluno a localizar na reta numerada alguns números irracionais obtidos por raizes quadradas, mostrando o significado da medida da hipotenusa e o uso comum da aproximação racional do irracional, devido à necessidade que se tem de considerar apenas um número fmito de ordens decimais na representação do número, originando conseqüências nos resultados das operações numéricas. Dentro desse desenvolvimento do raciocínio lógico matemático acerca dos irracionais, o contexto histórico é inserido em pequenas doses dos fatos, quer através de pesquisas sugeri das ou através de citações no decorrer do desenvolvimento das atividades. Isso fará com que os alunos tomem consciência de como se procedeu a evolução dos conceitos, das curiosidades, biografias, das dificuldades enfrentadas pelas gerações de matemáticos e suas persistências nas causas abraçadas, assim como toda
  22. 22. 16 repercussão sócio-cultural e política de um povo, de sua cultura e as conseqüências advindas de toda essa trajetória.
  23. 23. 17 3.1 CONTEÚDOS CONCEITUAIS, PROCEDIMENTAIS E ATITUDINAIS ASSOCIADOS É conveniente, que diante de uma proposta pedagógica a ser desenvolvida por parte dos educadores, no processo ensino-aprendizagem, onde se desenvolvem os conteúdos de aprendizagem, faz-se necessário ter em mente o que realmente sejam esses conteúdos e o que eles englobam. Esses conteúdos de aprendizagem incluem tudo que é objeto de aprendizagem dentro de uma proposta educacional, é um conjunto de atividades propriamente planejadas com o objetivo de fazer com que os alunos assimilem e se apropriem de formas ou conhecimentos (saberes culturais) considerados essenciais para o seu desenvolvimento e socialização. Vemos expressa essa questão quando COLL et al. nos destaca que: Em primeiro lugar, os conteúdos curriculares são uma seleção de formas ou saberes culturais em um sentido muito próximo, aquele que é dado a essa expressão na antropologia cultural: conceitos, explicações , raciocínios ,habilidades, linguagens, valores, crenças, sentimentos, atitudes, interesses, modelos de conduta, etc. Em segundo lugar, são uma seleção de formas ou saberes culturais cuja assimilação é considerada essencial para que se produza um desenvolvimento e uma socialização adequados dos alunos e alunas dentro da sociedade a qual pertencem; isso quer dizer que nem todos os saberes ou formas culturais são suscetíveis de constar como conteúdos curriculares, mas somente aqueles cujas assimilação e apropriação são consideradas fundamentais. E, em terceiro lugar, aplica-se ainda o critério de seleção complementar, na medida em que somente os saberes e as formas culturais cuja assimilação correta e plena requer uma ajuda especifica deveriam ser incluídos como conteúdos curriculares (1998, p.13). Para melhor entendermos o modo pelos quais esses conteúdos são aprendidos e podem ser ensinados, eles foram classificados em três grandes grupos: conteúdos conceituais, procedimentais e atitudinais (ZABALA, 1999). No grupo de conteúdos conceituais destacam-se as formas pelas quais expressam os objetivos da prática pedagógica referentes a aprendizagem de conceitos, fatos e princípios. "Os conteúdos referentes a fatos, conceitos e princípios designam conjuntos de objetos, acontecimentos e símbolos com características comuns ou definem relações
  24. 24. 18 entre conceitos. Trata-se de alguns conhecimentos com os quais dizemos ou declaramos coisas (das coisas, das pessoas, da natureza, dos números, dos grupos sociais, dos objetos, dos símbolos, do passado, etc.)" COLL (1998, p.91). E para que realmente ocorra a compreensão dos fatos, conceitos e princípios faz-se necessário reconhecê-los, entender o seu significado para poder estabelecer novas conexões e aplicá-los em novos conhecimentos. Os conteúdos procedimentais estão relacionados ao conjunto de ações que o aluno precisa estar apto para desenvolver uma determinada proposta pedagógica, para que depois de aprendidos de modo significativo, eles possam saber usá-los ou aplica-los em outras situações. Segundo ZABALA "um conteúdo procedimental- que inclui, entre outras coisas, as regras, as técnicas, os métodos, as destrezas ou habilidades, as estratégias, os procedimentos- é um conjunto de ações ordenadas e com fmalidade, quer dizer, dirigi das à realização de um objetivo (1999, p. 10). Com referência ao terceiro grupo de conteúdo, os atitudinais, podemos dizer que são todas as atitudes (valores e normas) envolvidas no decorrer do processo ensino- aprendizagem. De acordo com COLL et al.( 1998, p.122) podemos defmir as atitudes como " tendências ou disposições adquiridas e relativamente duradouras a avaliar de um modo determinado um objeto, pessoas, acontecimento ou situação e a atuar de acordo com essa avaliação" . Não podemos deixar de destacar que, nessas atitudes estão inseri das tanto a ordem, a atenção, o prazer nas apresentações, o respeito pelo material, a participação em aula.interação com colegas e professores,etc. (atitudes gerais), como a perseverança para encontrar respostas, capacidade de manipulação de materiais, decisão e ousadia nas atividades, interesse em buscar novos conhecimentos, etc. (atitudes específicas). E que a introdução das atitudes como conteúdo educacional pressupõe a aprendizagem desses conteúdos de uma forma mais produtiva e enriquecedora para o aluno. Portanto, devemos ter em mente que para se desenvolver uma proposta
  25. 25. 19 didático-pedagógica, onde pernrita transformar o ensino em aprendizagem, necessitamos englobar esses conteúdos de aprendizagem, para que realmente possam ser aprendidos e aplicados de uma maneira significativa por parte do aluno, no decorrer de todo processo ensino-aprendizagem. Nessa perspectiva de tomar o ensino mais significativo, e propiciar ao aluno uma melhor compreensão dos conteúdos, assim como, torná-I o apto a interpretar e agir dentro do contexto matemático, é que procuramos trabalhar a proposta didático- pedagógica para o ensino dos números irracionais, levando em conta a eficácia pedagógica desses conteúdos de aprendizagem, segundo o uso que deles se deve fazer. Para isso destacamos que os conteúdos conceituais que se referem à melhor compreensão dos números irracionais são: o Teorema de Pitágoras, os segmentos incomensuráveis, reta real numerada, onde é trabalhado os intervalos, tendo uma melhor visão tanto de racionais como principalmente de irracionais, analisando também as aproximações numéricas, no caso aproximação racional dos irracionais e logicamente números irracionais. Os conteúdos procedimentais, que é formado por múltiplas ações, consiste em decodificar e compreender toda história relacionada à evolução de um conceito, construir adequadamente as atividades geométricas propostas nas atividades, representar na reta real numerada a transposição do triângulo retângulo, transportar a medida da hipotenusa para a reta numerada encontrando um número correspondente a essa medida, observar através dos intervalos a localização exata deste número, demonstrar algebricamente que não existe um número racional que satisfaça a igualdade x2 =2, representar outros irracionais na reta numerada e construir e desenvolver seu raciocínio lógico matemático, através dessa conexão - Geométrica - Algébrica - Aritmética .. No que se refere aos conteúdos atitudinais mais relevantes, é preciso destacar: o interesse e a concentração no decorrer da processo histórico, para analisar e compreender como se deu a evolução das idéias dentro do contexto histórico da Matemática, a precisão no uso da régua e compasso, bem como no uso da calculadora,
  26. 26. 20 interação com os colegas e professores, constância e disposição para chegar a um real aprendizado. Assim, faz-se necessário para o desenvolvimento de uma seqüência didática, que esses conteúdos estejam bem claros para os professores, para que possam ser os mediadores do processo ensino-aprendizagem, e possam conduzir seus alunos a construir seu conhecimento em patamares mais sólidos.
  27. 27. 21 3.2 SEQÜÊNCIA DIDÁTICA Devemos ressaltar que para organizar uma seqüência didática faz-se necessário selecionar atividades que permitirão ao aluno construir conceitos, para isso, devem ter uma seqüência lógica de raciocínios, integrando conceitos (conjunto de informações ordenadas), procedimentos (conjunto de ações ordenadas) e atitudes (valores e normas envolvidas nestas ações), de tal forma que se completem. Assim sendo, ao propormos uma seqüência didática precisamos ter em mente que as atividades devem se organizadas de maneira que propicie a interação do sujeito com o objeto de conhecimento, permitindo que os alunos se organizem frente aos desafios propostos. Devemos também identificar quais são os obstáculos que impedem esse aluno de compreender um determinado conceito, auxiliando-o a crescer na organização dos conhecimentos, para que ele possa avançar para novos conteúdos. Deste modo, procurando seguir um conjunto de raciocínios lógicos, elaboramos uma seqüência didática para o ensino dos números irracionais, a ser aplicada, no intuito de tomar esse assunto mais significativo, levando o aluno a realmente compreender esse conteúdo. Primeiramente sugeriremos uma atividade para eles construírem um triângulo retângulo qualquer: FIGURA 1 - TRIÂNGULO RETÂNGULO QUALQUER cateto hipotenusa cateto
  28. 28. 22 Feito o triângulo, mostraremos que o lado maior, oposto ao ângulo reto, chama-se hipotenusa e os lados menores catetos. Pediremos a eles que construam outro triângulo retângulo em que os catetos devem medir 3 em e 4 em e a hipotenusa 5 em. FIGURA 2 - TRIÂNGULO RETÂNGULO PIT AGÓRICO 3cm 4cm Nesse triangulo construam um quadrado sobre cada lado do triângulo. FIGURA 3 - QUADRADOS SOBRE LADOS DO TRIÂ.lTGULO RETÂNGULO
  29. 29. 23 E dividam cada quadrado em quadradinhos de 1 em de área, como nos mostra a figura que se segue: FIGURA 4 - DIVISÃO DOS QUADRADOS SOBRE OS LADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Na seqüência perguntaremos o que eles puderam observar com relação a essas divisões feitas. Nesse momento, despertaremos nos alunos a vontade de descobrir a relação existente nesse triângulo. Para que isso ocorra, poderemos sugerir que eles pintem os quadrados, usem tesoura ou utilizem o recurso que desejarem para chegar a essa relação, como mostra a figura a seguir:
  30. 30. 24 FIGURA 5 - PINTURA DA RELAÇÃO ENTRE OS QUADRADOS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Para essa atividade daremos 10 minutos e com ela surgirá em sala de aula uma troca de idéias entre os próprios alunos e entre eles e nós, mediadores do processo ensino- aprendizagem, pois estaremos circulando na sala, conduzindo os raciocínios. Passado o tempo estabelecido, registraremos no quadro negro as idéias encontradas e, com os alunos, observaremos que os dois quadrados menores estão contidos exatamente no quadrado maior. Para nos certificarmos se essa relação é válida para outros triângulos retângulos, poderemos sugerir que façam a mesma atividade para os triângulos abaixo: a) 12 em, 5 em e 13 em b) 9 em, 12 em e 15 em
  31. 31. 25 Verificada essa relação, indagaremos aos alunos se eles têm idéia de há quantos anos essa relação foi descoberta, como e por quem . Poderemos sugerir que eles mesmos busquem, através da pesquisa, para a próxima aula, respostas a essas indagações e, para isso, nós professores, daremos uma bibliografia, que poderão consultar na biblioteca da escola ou consultar outros professores de outras áreas, assun como deixaremos à disposição materiais para que possam pesquisar. Num segundo momento, com as pesquisas realizadas, faremos o levantamento daquilo que encontraram e, com os alunos, vamos descobrindo que essa relação, pelos menos para alguns triângulos retângulos, já era conhecida pelos Babilônios e provavelmente pelos Egípcios e outros povos há milhares de anos ( MIGUEL, 1993, p.26). Só que faltava a demonstração desse cálculo e que foi um grego, filho de um gravador de jóias, nascido em Samos, 550 a.C , chamado Pitágoras quem a realizou pela primeira vez (GUELLI , 1992, p39). Segundo SPINELLI e SOUZA (2000, p.25): Pitágoras foi um homem muito culto e inteligente e viajou por vários lugares, e foi numa viagem ao Egito que viu agricultores demarcarem suas terras usando uma corda com alguns nós igualmente espaçados. Os agricultores sabiam que, se esticassem as cordas em tomo de três estacas de modo a formar um triângulo, teriam um triângulo retângulo. Com isso Pitágoras observou as suas relações e obteve o tão conhecido Teorema de Pitágoras: "o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos". Foi ele também quem fundou a Sociedade Pitagórica, onde predominava a seriedade ,a reflexão e o absoluto sigilo de suas descobertas. Não era apenas um movimento intelectual, mas também religioso, moral e político (CYRINO, 1996, p.33). Os povos antigos realmente tinham razão, pois como descreve MIGUEL (1993, p.26) o "Teorema de Pitágoras" é equivalente à afirmação de que é sempre possível construir um único quadrado que ocupe a área de dois quadrados juntos. Pitágoras e seus discípulos acreditavam que todas as coisas na natureza eram perfeitamente ordenadas e que para cada uma delas cabia um número - "tudo poderia ser expresso por números" (SPINELLI e SOUZA, 2000, p.53). Conforme nos relata GUELLI (1992, p.42), os pitagóricos construíram na areia
  32. 32. 26 um triângulo retângulo e isósceles, ou seja, um triângulo cujos catetos tinham a mesma medida, e tiveram uma surpresa. Nesse momento sugeriremos que construam agora um triângulo isósceles, em que cada cateto tenha a medida de 1 em e sobre cada lado devem construir um quadrado. Utilizamos aqui para efeito de ilustração a escala 4 : 1. FIGURA 6 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DE CATETOS 1 em Em seguida pediremos que dividam cada cateto em três partes iguais, formando quadradinhos. Além disso, devem dividir a hipotenusa em partes iguais, usando como unidade de medida (u) o lado de cada quadradinho, como nos mostra a figura a seguir:
  33. 33. FIGURA 7 - TRIÂNGULO ISÓSCELES DMDIDO Qual não foi a surpresa! A mesma daquela época! Nessa fase, os alunos encontrarão uma dificuldade: o lado do quadradinho (u) não coube um número inteiro de vezes na hipotenusa. Então pediremos que dividam cada cateto novamente em pedaços menores, uns dividirão em seis partes iguais, outros em oito partes iguais e outros em doze partes iguais. Verificarão que nada adiantou dividirem em quadrados cada vez menores, pois nem assim o lado do quadradinho não coube um número inteiro de vezes na hipotenusa. Nesse momento, retomaremos as pesquisas feitas e novamente veremos, como nos conta GUELLI (1992, p.44), que Pitágoras e seus companheiros ficaram perplexos,e concluíram, então, que não conseguiam descobrir um segmento unitário que coubesse um número inteiro de vezes em cada cateto e na hipotenusa, porque tal segmento não existia. A mesma descoberta foi feita pelo companheiro de Pitágoras, Hipasus, um
  34. 34. 28 pitagórico que dirigiu a escola pitagórica logo após a morte de Pitágoras. Os gregos antigos não possuíam calculadoras e nem um sistema de numeração que lhes permitissem efetuar cálculos rapidamente. Trabalhavam apenas com uma régua sem escala e um compasso (MIGUEL, 1993, p.36) . MIGUEL (1993, p.40) relata-nos que: Foi assim que Hipasus utilizando destes recursos também tentou expressar a medida da diagonal de um pentágono, que era o símbolo da escola pitagórica, utilizando o seu lado como unidade de medida e não obteve resultado, ou seja, não havia número algum que expressasse aquela medida. E isso veio abalar toda a estrutura da seita pitagórica , onde tudo poderia ser expresso pela razão de dois números inteiros (números racionais), e isso eles não poderiam aceitar e o ódio que os pitagóricos sentiram por Hipasus era tanto que chegaram a erguer-lhe um túmulo sem que estivesse morto e o expulsaram da escola. Nesse momento, enfatizaremos que o que Hipasus e Pitágoras descobriram e abalou tanto foi que quando não conseguimos expressar a medida de um segmento utilizando o outro como unidade de medida, e que esses segmentos denominam-se segmentos incomensuráveis. E que se buscarmos no dicionário, incomensurável é tudo o que não se pode medir (BUENO, 1981, p.594). Sobre essa descoberta MIGUEL faz a seguinte reflexão: Essa descoberta não teve apenas uma importância matemática; ela teve também conseqüências filosóficas e políticas, pois ela se chocava com a crença pitagórica de que para tudo existia um número (...) essa crença dava sustentação à dominação política exercida pela escola pitagórica e a queda dessa crença abria a possibilidade das pessoas questionarem essa dominação. O que estava em jogo não era mais a ciência, mas o poder. Um poder do qual os pitagóricos não queriam abrir mão (1993, p.40). De fato, os pitagóricos cometeram o grave erro de deduzir que tudo na natureza poderia ser explicado pela razão entre dois números naturais. Para melhor compreenderem todo esse drama dos gregos, sugenremos uma outra atividade em que os alunos construirão uma reta real numerada, partindo do referencial zero, pegando os números positivos.Para isso utilizarão régua e compasso como os matemáticos daquela época. Pediremos que marquem no referencial zero o ponto A e no ponto onde se localiza o número 1 marquem o ponto B e tracem um segmento de reta BC de 1 em, perpendicular a essa reta numerada a partir do ponto B.
  35. 35. Pedimos que unam os pontos A e C e com a ponta seca Ciocompasso em 1-., auei uu a ~v, tracem um arco cortando a reta real numerada no ponto P. Utilizamos para efeito de ilustração uma escala 2: 1 FIGURA 8 - TRANSPOSIÇÃO DO TRl GULO RETÂNGULO A RETA NUMERADA Nesse momento, eles notarão que se trata do mesmo triângulo retângulo isósceles da atividade anterior ,cujos catetos valem 1 em. Utilizando o compasso para transportar a medida da hipotenusa para a reta numerada, encontrarão um número que representa a medida da hipotenusa AC. Mas que número é esse? Vamos chamá-lo de x. Percebemos então que o número x, que expressa a medida da hipotenusa, corresponde ao ponto P da reta numerada e que o número x se encontra entre os pontos correspondentes a 1 e a 2 da reta numerada, portanto, deve ser maior que 1 e menor que 2, ou melhor, deverá ser maior que 1 e menor que 1,5 pois P está situado à esquerda do ponto médio do segmento BM. A partir daí, não podemos mais dizer com certeza qual é o valor de x, pois existem infinitos números racionais (sob a forma de fração ou de número decimal) situados entre 1 e 1,5. ão podemos esquecer que esse triângulo ABC é retângulo e podemos calcular o valor de x através do Teorema de Pitágoras. Então x2 =12 + 12 ou x2 = 2. Como determinar o valor de x nessa equação? Basta perguntarmos qual é o número que multiplicado por ele mesmo produz 2. E aí a dificuldade geométrica transforma-se em dificuldade aritmética.
  36. 36. 30 Para que os alunos despertem sua atenção, proporemos outra atividade: para efeito de ilustração, ampliarão a reta numerada na escala 6: 1 e traçarão apenas o intervalo da reta real numerada onde se localiza o ponto P ( entre 1 e 1,5), conseqüentemente, o valor x, e dividirão esse intervalo em partes iguais correspondentes com seus respectivos valores decimais. FIGURA 9 - INTERVALO ENTRE 1-1,5 DA RETA REAL NUMERADA p . . . . . 1 1,1 1,2 1,3 1,4 >< 1,S Sugeriremos que transformem esses decimais em números fracionários (na forma p/q) relembrando o processo já apreendido anteriormente em outras aulas, com relação aos números racionais, observando que podem ser expressos na forma de fração, pois numerador e denominador são números inteiros. FIGURA 10 - DMSÃO DO INTERVALO 1-1,5 NA FORMA FRAÇÃO 11/1 O 13/1 O P . . 111 615 715 x 3,12
  37. 37. 31 Para facilitar os cálculos, poderemos sugerir que se utilizem da ferramenta da calculadora para conseguirem obter o valor 2. Recurso esse, importante dentro de um conteúdo. Vemos destacada essa importância nos PCN's, quando nos diz que a proposta deste recurso é o de "levar o aluno a selecionar e utilizar procedimentos de cálculo (exato ou aproximado, mental ou escrito) mais adequados à situação-problema proposta, fazendo uso da calculadora como um instrumento para produzir resultados e para construir estratégias de verificação desses resultados" (BRASIL, 1997, p.77). Para começarem a fazer as tentativas de encontrar o valor de x com os números próximos a ele, devem substituir o x, começando pelo número 1 até o valor 1,5, lembrando que obtemos o resultado através do Teorema de Pitágoras: x 2 =2.. Assim sendo temos: X1=1 X2=1,1 ou lll10 X3=1,2 ou 6/5 ~= 1,3 ou 13110 Xx= 1,4 ou 7/5 x,« 1,5 ou 3/2 12=1 (1,1)2= 1,21 (1,2)2= 1,44 (1,3)2=1,69 (1,4)2= 1,96 (1,5)2= 2,25 Com esses cálculos, eles irão observar que ao multiplicarem dois números iguais, quer na forma de fração ou decimal, eles não conseguirão obter o valor exato 2. Pediremos que selecionem novamente o intervalo cujo resultado foi o mais próximo de dois, no caso os pontos 1,4 e 1,5 e dividam esse intervalo em dez partes iguais com seus respectivos valores, como nos mostra a figura a seguir:
  38. 38. 32 FIGURA 11 - INTERVALO 1,4 - 1,5 DA RETA REAL NUMERADA '1,411,43 1,45 1,47 1,49• __ m •••••••••• _ •••••.•• --- •.•••.••••••••• --______________. • • 1,4 '1,42 '1,44 1,46 '1,48 '1,5 Ao refazer as tentativas, pelo mesmo processo anterior, para obter o número que multiplicado por ele mesmo dê o valor 2, agora para esse intervalo ( 1,4 à 1,5) teremos: X1=1,4 ou 7/5 X2= 1,41 ou 141/100 X3= 1,42 ou 71/50 (1,4)2= 1,96 (1,41)2= 1,9881 (1,42)2= 2,0164 Não precisarão nem continuar os cálculos para os demais valores de x, pois observarão que já para X3 ultrapassaram o valor 2, não chegando ao valor exato 2, Sugeriremos que peguem novamente o intervalo que mais se aproxima do valor 2, agora 1,41 e 1,42 e dividam, como nas duas tentativas anteriores, esse intervalo em dez partes iguais com seus respectivos valores e recomecem as novas tentativas, agora usando apenas a forma decimal. Assim sendo obteremos: FIGURA 12 - fNTERVALO 1,41 - 1,42 DA RETA REAL NUMERADA '1,4111,4131,4151,4171,419~ ••••• iI. __ 1,411,4121,4141,4161,4181,42
  39. 39. 33 X1= 1,411 X2= 1,412 X3= 1,413 Xt= 1,414 X5= 1,415 ( 1,411)2= 1,990921 ( 1,412f= 1,993744 ( 1,413)2= 1,996569 ( 1,414)2= 1,999396 ( 1,415i= 2,00222 Novamente chegarão às mesmas conclusões anteriores, por mais que continuassem tentando, pegando os demais intervalos, nem com calculadoras potentes, talvez até com computadores, não chegariam ao valor exato 2. Essa afirmação algébrica de que não existe número racional algum que satisfaça a equação X2=2 equivale à afirmação geométrica da incomensurabilidade . Isso significa que mesmo que uma máquina possuísse infinitos dígitos, jamais chegaria a um número cujo quadrado fosse exatamente 2. Nesse momento, retomaremos aos fatos históricos e comentaremos que segundo MIGUEL (1993, p.43) essa descoberta de Hipasus foi outra conseqüência terrível . Isso porque a reta numerada para os gregos antigos e também para os pitagóricos, era contínua. Isso significava, para eles, que era possível subdividir os intervalos entre os números inteiros em um número qualquer de partes iguais e que sempre existia um número fracionário (ou a razão entre dois inteiros) em correspondência com cada um desses pontos de subdivisão. Mas que números fracionários poderia estar em correspondência com o ponto P da figura anterior? Nenhum. Havia um "buraco" na reta. A reta deixaria de ser contínua? Nesse momento, faríamos aos alunos a seguinte pergunta: será que os gregos conseguiram explicar as contradições geradas pelo fenômeno da incomensurabilidade? Ocorrerão as respostas positivas e negativas e, novamente, entraremos com o respaldo histórico, relatando que os gregos não conseguiram, simplesmente passaram a conviver com elas, aceitando o fato de não existir número algum para expressar a medida de certos segmentos (MIGUEL, 1993, p.44).
  40. 40. 34 Conforme MIGUEL ( 1993, p.44-45) nos relata: Criaram o termo "rhetos"( que significa racional) para os pares de segmentos comensuráveis e o termo "arrhetos"( não-racional ou irracional ) para os pares de segmentos incomensuráveis. E como os números racionais não davam conta de expressar as medidas de todas as grandezas que podiam ser construídas com régua e compasso, acabaram optando pela conclusão de que o dominio das figuras, isto é, a geometria, era muito mais amplo e rico que o dominio dos números, isto é, que a aritmética e acabaram separando esses dois ramos da matemática e desenvolveram o estudo das grandezas incomensuráveis apenas no dominio geométrico. Ainda nos diz MIGUEL ( 1993, p.45 ): o grandioso e promissor ideal pitagórico de que tudo poderia ser expresso por números foi abandonado.Mas você não deve pensar que essa opção tomada pelos gregos fosse a única possível.Ela tem uma explicação histórica. É que o "clima" político da cidade de Atenas por volta de meados do século V a .c. acabou sendo mortal para o desenvolvimento da ciência. Atenas, que tinha sido metrópole da arte, da filosofia e das ciências gregas, acaba optando pelo caminho do imperialismo, isto é, pelo desejo de expandir-se através da dominação de outras cidades gregas e de outros povos. O "clima" cultural, antes intenso, acaba sendo substituído por preocupações de origem militar e cívica. A matemática, a partir de então, não teria mais o aspecto critico de tempos anteriores. Uma prova de que a opção dos gregos não era a única possível, foi que o ideal pitagórico deveria renascer 20 séculos depois, na cabeça de um grande sábio italiano Galileu Galilei, que disse: "o livro da natureza está escrito em linguagem matemática e sem o auxílio desta linguagem, é impossível compreender uma só palavra". Uma outra prova de que essa opção não era única e nem mesmo necessária foi dada pelo matemático alemão, Richard Dedekind, em um ensaio denominado "Continuidade e Números Irracionais, aparecido em 1872, apenas no século XIX!". Nesse momento, já teríamos condições de definir com os alunos o que sejam números irracionais. Para isso, faremos a seguinte indagação: como podemos depois de tudo que vimos até agora, definir números irracionais? Poderão surgir as seguintes respostas: -são números que o resultado tem infinitas casas decimais, sem uma seqüência. Não periódicos; -são números que não podem ser escritos na forma de fração, em que numerador e denominador são números inteiros Seriam racionais; -são números que jamais poderemos encontrar. Infinitos; -não são números inteiros. Situam-se entre inteiros; -são raízes de números em que não encontramos o seu valor exato. Não
  41. 41. 35 possuem raizes quadráticas ou seja, não são quadrados perfeitos. Todas as respostas serão registradas no quadro negro, na seqüência analisada, marcando ao lado delas o seu significado, aqui destacado em vermelho para efeito de ilustração. A partir daí, com os alunos formularemos um único conceito: "um número é irracional quando não puder ser escrito na forma de uma fração com numerador e denominador inteiros, têm infinitas casas decimais que não são dízimas periódicas e é o resultado da raiz quadrada de algum número que não é um quadrado perfeito". Nesse momento, sugeriremos a seguinte atividade: retomar a reta numerada e, com régua e compasso, utilizando o mesmo raciocínio e processos da atividade da figura 8 , utilizando o Teorema de Pitágoras, vamos descobrir outros pontos na reta que representem mais alguns irracionais, sempre construindo um cateto igual a 1 em, perpendicular à reta numerada no ponto encontrado da raiz anterior, observando que unindo a extremidade desses catetos de valor unitário com o ponto zero da reta real numerada, teremos as hipotenusas dos respectivos triângulos. Utilizaremos para efeito de ilustração a escala 3: 1 e teremos: FIGURA 13 - PONTOS NA RETA NUMERADA REPRESENTANDO OUTROS IRRACIONAIS o 1 ..f2 ..f3 2 ..f5..f6..f7
  42. 42. 36 Nessa atividade mostraremos que se medirem com a régua o segmento que representa a hipotenusa dos respectivos triângulos retângulos, obterão a aproximação racional (aproximação por falta) dos irracionais obtidos. Enfatizaremos que algumas raízes quadradas não são números irracionais, pois ao multiplicarmos dois números iguais encontraremos um valor exato, por exemplo: -14= 2, J9= 3. Comentaremos ainda que o erro mais freqüente entre números racionais e irracionais é o uso comum dessa aproximação racional de um irracional como se fosse o próprio irracional, embora esta seja a forma pela qual resolvemos muitos problemas ( ARCA VI et al., 1982, p.15). Segundo os PCN's, Com relação aos cálculos numéricos com aproximação, devemos observar que no campo dos racionais, ocorrem duas representações, a fracionária como puderam verificar e a decimal, que pode ser: fmita ou infinita periódica. Entretanto podemos notar que os irracionais podem ser aproximados tanto quanto se queira por números racionais e que sua representação decimal e necessariamente infmita e não periódica. No caso das representações infinitas ( tanto de racionais como de irracionais) urge o problema da aproximação numérica, ou seja, a necessidade que se tem de considerar apenas um número finito de ordens decimais na representação do número, no caso o tão famoso arredondamento , o qual tem suas conseqüências nos resultados das operações numéricas (BRASIL, 1997, p.77). Verificada a atividade, poderemos mostrar aos alunos que seguindo esse mesmo processo, só que traçando o cateto de valor unitário perpendicular às hipotenusas, também obteremos os mesmos irracionais com seus respectivos segmentos representando seus valores dentro da aproximação racional, formando uma espiral. Como nos mostra a figura a seguir:
  43. 43. 37 FIGURA 14 - OS IRRACIONAIS FORMANDO UMA ESPIRAL ,-.. Nesse momento poderá surgir a seguinte pergunta: todo o número irracional tem radical? Relataremos que essa questão está bem explícita por CARAÇA quando ele nos destaca que : Seja a um número racional qualquer; por definição de raiz, Va será aquele número b tal que bn=a. No campo racional, a questão Põe-se assim- o número b em geral não existe. No campo real a questão toma outro aspecto, mais geral. Façamos, no conjunto (R) , uma repartição em duas classes, do modo seguinte: pomos numa classe (A) todos os números racionais r tais que ?<.. a, e numa classe (B) todos os números racionais s tais que sn> a . Estas duas classes constituem um corte (A,B), como facilmente se verifica, e definem portanto um número real I .Uma de duas:ou as duas classes têm um número racional a separa-Ias, o qual será o número racional I, tal que f=a , ou não; se não tiverem, o número 1 , então irracional, definido pelo corte, é a raiz Va .Em qualquer dos dois casos, existe a raiz, logo, no campo real desaparece a impossibilidade da radiciação. A conclusão mantêm-se se a for um número real ~alquer, de modo que pode afirmar-se - no campo real existem todos os números da forma Va aonde a é um número real qualquer e esses números são, em geral, irracionais (1969, p.84-85).
  44. 44. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Em face do desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático acerca dos números irracionais, tornando corno referência a história da matemática, não podemos deixar de destacar que esse recurso pedagógico pode oferecer a oportunidade de um trabalho inter-curricular, envolvendo professores de outras áreas, propiciando ao aluno uma atitude interdisciplinar. Interdisciplinariedade essa que vêm ao encontro das novas propostas dos Parâmetros Curriculares Nacionais, visando o término de um ensino fragmentado. Além disso, os próprios PCN's destacam que lado a lado com uma demarcação disciplinar, é preciso desenvolver uma articulação interdisciplinar, ou de forma a conduzir organicamente o aprendizado pretendido (BRASIL, 1997). Vale ressaltar aqui que a história da matemática como valioso recurso pedagógico só é válida quando devidamente reconstituída com fins explicitamente pedagógicos e organicamente articulada com as demais variáveis que intervêm no processo de planejamento didático (MIGUEL, 1993) sendo um ponto de referência para a problematização pedagógica. Devemos deixar claro que existe uma limitação bastante acentuada, por parte dos alunos, com relação ao uso dos materiais de desenho nas construções geométricas. E essa dificuldade levará esse aluno a cometer elTOS,no momento do desenvolvimento do raciocínio geométrico da incomensurabilidade, que o levará a não perceber essa relação. Nesse momento, destacamos a importância da intervenção do professor, como mediador do processo ensino-aprendizagem, conduzindo esses raciocínios, para que as dissonâncias sejam superadas. E assim, possam transformar o ensmo dos números . . . irracionais em aprendizagem, propiciando aos alunos a construção de seu raciocínio lógico-matemático, para que possam aplicá-lo em outros patamares de conhecimento.
  45. 45. 40 Não pretendemos com essa proposta dar por encerrado o assunto com relação aos números irracionais. Sabemos que subseqüente a esse desenvolvimento de raciocínio, devem ser trabalhados os demais números irracionais como o e e o 1l(Pi), considerado o mais famoso dos números.
  46. 46. REFERÊNCIAS ARCA VI, Abraham et aI. História da Matemática para professores: o caso dos números Irracionais. Algebra História Representação. São Paulo, v.2, p.11-24, ]982.(Série em Educaçao Matemática). BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasilia: MEC/SEF, 1997. BARONI, Rosa L.S; NOBRE, Sérgio.A pesquisa em História da Matemática e suas relações com a educação matemática. In:__ .A pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. São Paulo: Ed. Unesp, , 1999, p.129-136. BUENO, Francisco da S. Dicionário Escolar da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: FENAME, 1P edição, 1981. CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: s.n. 1984. COLL, César. et al. Os Conteúdos na Reforma: ensino e aprendizagem de conceitos, procedimentos e atitudes. Tradução: Beatriz A. Neves. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998. CYRINO, Hélio F. F. Matemática & Gregos. S.l.: Ypsolon, 1996. GUELLI, Oscar. A Invenção dos Números. São Paulo: Ática, 1992, v.1.(Contando a História da Matemática). HERNANDEZ, Fernando. Transgressão e mudança na educação: os projetos de trabalho. Tradução Jussara Haubert Rodrigues. Porto Alegre: ArtMed, 1998. MIGUEL, Antônio. Três ensaios sobre História e Educação Matemática. São Paulo, 1993, 279 p. Tese (Doutorado em Educação) Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas. __ . As Potencialidades Pedagógicas ,da História daMatemática em Questão: argumentos reforçadores e questionadores. ZETETIKE, São Paulo: v.S.n" 8, p.73-10S,jul./dez., 1997. SPINELLI, Walter; SOUZA, ~ Helena S.de. Matemática: 7a série. São Paulo: Ática, 2000. . Matemática: 8a série. São Paulo: Ática, 2000. ZABALA, Antoni. Como trabalhar os Conteúdos Procedimentais em aula. Tradução: Ernani Rosa. Porto Alegre: Artes Medicas, 1999.
  47. 47. 42 ANEXO 1- TEXTOS 5, 8, 9,10,11 E 12 DA TESE DE DOUTORAMENTO DE ANTONIO MIGUEL
  48. 48. 26 8" A TIVmAUE Como você já sabe, a figura ao lado representa o método de dissecção de dois quadrados para se obter um único Quadrado equivalente a ambos a) Explique porque o triângulo Ars é um triângulo retângulo. b) Quantos quadrados existem na figura') c) Qual é o quadrado da Iigur a cujo 1:ldo possui a mesma Illcdid:1 que a do tAl'to AI' do triângulo Af'S? d) Oua! é o quadrado cujo lado I',,~,ui a mesma medida qUL: il LI" catct o AS do uángulo APS') e) Oual é o quadrado rujo lado possui a mesma medida qUL:a da hipotc nus« f'S du tr iângulo Af'S'} f) Observando a figura, explique por que é verdadeira a aflrm,J(Jlo de que, num triângulo n:t;tl1gulo, a arca do quaurado cunstr uído sobre a hipotcnux.. é igu;d ;'soma das áreas dllS quadrados construidos xohr c os seus catctus. R Hf-------:lIU ~-------~c t, '-------~I'c--::_B-----~ 5, () Teurema de I'itúgonls que não é de I'itúgoras A afir maçáo anterior, que voei: comprovou ser sempre verdadeira, de que num triângulo retângulo qualquer, a área do quadrado construido sobre a hipot c nuxa é igual à soma das áreas dos quadrados construidos sobre os catctos, é conhecida atualmente pelo nome de Tcor cma de Pitágoras. Mas sabe-se, hoje, que é bastante improvável que Pitágoras ou outro pitagórico a tenha descoberto. Essa relação, pelo menos para alguns tri;ingulos retângulos, já era conhecida pelos babilônicos e provavelmente, pelos egipeios e outros povos há milhares de anos antes ele Pit ágoras. Mas é provável que os pitagóricos tenham dado a primeira prova de que essa afirmação era válida para qualquer tr iângulo retângulo. E os povos antigos realmente tinham razão, pois o "Teorerna de Pitágor as" é e quivalcnte à afirmação de que é sempre possível construir um único quadrado que ocupe a área que a de dois quadrados dados, juntos.
  49. 49. 36 Se a e b são dois segmentos comensurávcis e d um segmento que cabe um número inteiro de vezes em a rubos, então, J cabe também um número inteiro de vezes em todos os segmentos obtidos ac se aplica r o método das subtraçôcs sucessivas aos segmentos a e b. D,-------...."C I) Considere o quadrado AUCD ao lado. Você acha que o lado desse quadrado e a sua d iago na i AC são segmentos co mc nsu rávcis? Por quê? A "----------'S D g) Considere lado. Você acha que a sua d ia g o u a l comcnsurávcis? Por o pc nt ágo no rc gu la r ao o lado desse pcntágouo e DS são segmentos quê? N T 8. A volta da estrela Ao executar a atividade anterior você sentiu que o método das subtrações suces- sivas, pelo menos no seu aspecto a ritmético, é bastante eficiente. Mas você notou também que esse método, quando empregado geometricamente, deixa bastante a desejar. Isso porque, na maioria dos casos, quando a diferença entre os segmentos vai se tornando muito pequena, é muito dilkil, senão impossível, tomar esses segmentos no compasso ou na régua. Mas os gregos antigos não possuíam calculadoras e nem um sistema de numeração que lhcs permitisse efetuar cálculos rapidamente. Trabalhavam apenas com uma régua sem escala e um compasso e, por essa razão, aplicavam o método das subtrações sucessivas cru sua versão geométrica. Mas mesmo assim chegaram a uma conclusão que, talvez, você também tenha chegado 80 executar li atividade anterior: a de que qualquer par de segmentos são sempre comensurãveis. Os pitag6ricos também assim pensavam e isso estava de acordo com a crença que tinham de que tudo poderia ser expresso por números. Mas Hipasus de Mctapontu m, um pitagórico que dirigiu a escola pitagórica logo após a morte de Pitágoras, por volta de 500 anos a.c., abalou os alicerces dessa escola, quando divulgou entre os gregos a descoberta de SEGMENTOS INCOMENSURÁVEIS.
  50. 50. 40 Afinnação 5: Ma s esse scgrucuro x n;!" ('xiSIC, isto é , sua medida {: Z('fO. Logo, o lado e a diagonal do pCllIágono SAUDE s;i" st'glllt'1lI0S inco mcnxu r ávc ix. 9. A queda dc lima crença o lICSIIIO raciocínio desenvolvido I'''r você nas duas atividades a uur io r cs deve ter sido, provave lmcutc , uti lizado por Hip;l';us pMa convencer os seus contc mpur â ucos da c xisté ncia de sc gmc n t os inco m cnsu r.i vc is. Mas essa p r o va não leve a p c na x u m a importâ ncia matrmática. Ela leve ta mbé m cOILseqüências filosóficas e pol iricas, pois ela se chocava COII1 a crença pilagórica de que P;[" tudo existia uni número. Mas que númcrn haveria p"ra expressar a mcd id a da di;lI.!ol;r! de uni penl;ígono quando se usa (J seu lado COl110 unidade de medida') Segundo Hipasus, não haveria númc ro a lguru! E isso os pitagóricos ná o poderiam acenar. Agora, podemos entender a causa do ódio que os pitagórico« scut ira ru por Hipasus, porque' crgucra m-lhc uru iúmulo sem que estivesse morto e porquc expulsara 111- lhe da c sco la . Você deve estar perguntando: ruas o que há de mal em se desmentir urna crença? Acontece que essa crcnç~ dava sustentação à dominação po l ítica cxcrcida pela escola pitagórica . E a queda dessa crcn(;~ abria a possibilidade das pessoas questionarem essa dominação. O que estava em jogo não era mais a ciência, filas o poder. Um poder do qual os p ita gór icos não queriam abrir ruâ o , O caráter a r ixto cr á iico e Ic cb a d o da escola pitagórica já havia motivado uma revolta popular na cidade de Crotona na qual parece ler perdido a vida o próprio Pitagóras. Agora já não havia mais nem menos I11l motivo "científico" para manter essa dominação. Corno disse um matemático da atua lidadc, "pela primeira vez na história da humanidade, um contra-poder matemático vem dcscstabiliza r um poder que se funda mcn- tava na matemática". É claro que esse contra-poder foi a descoberta de Hipasus. Mas, como se não bastasse isso, a descoberta de Hipasus iria abalar também aquilo que os pitagóricos julgavam ter sido a sua maior e mais bela descoberta: o Te ore ma de Pitágoras. Ao executar as atividades seguintes você saberá porque.
  51. 51. 42 Considere novamente o quadrado ASCD da atividade anterior. a) Qual é a medida da diagonal desse quadrado, se seu lado mede lu ? b) Utilizando uma calculadora, verifique se a resposta que você deu no item anterior verifica o Teorema de Pitágoras. Caso não satisfaça, tente outras respostas e tente levantar alguma explicação para o que está acontecendo. 10. Uma lacuna na reta Parece que ao executar a atividade anterior você se deparou com um problema sério! Vamos retomá-lu e tentar compreender a natureza dessa dificuldade. Qual é a medida da diagonal AC do quadrado ABCD cujo lado mede lu? Ou, o que dá no mesmo: qual é a medida da hipotcnusa AC do triângulo retângulo isócclcs AI3C, cujos cate tos medem lu'! É claro que não podemos duvidar da existência de um tal triângulo, uma vez que podemos construí-Io com régua e compasso, E se esse triângulo existe, deve também existir algum número que represente a medida da hipotenusa AC. Mas, que número é esse? Vamos chamá-Ia de x. Utilizando um compasso, podemos transportar a medida da hipotenusa AC para a reta numérica COI1O mostra a figura abaixo: c " , , t A .8 lp M O 1 X 2 3 4 Percebemos então, que o número X, que expressa a medida da hipotenusa, corres- ponde ao ponto P da reta numérica. O número X, portanto, deve ser maior que 1e menor que 2. Ou melhor, deverá ser maior que 1 e menor que 1,5pois P está situado à esquerda do ponto médio do segmento BM. A partir daí, não podemos mais dizer com certeza qual é o valor de x, pois existem infinitos números racionais (sob a forma de fração ou de número decimal) situados entre 1 e 1,5. Entretanto, como O triângulo ABC é retângulo, podemos calcular o valor de x através do Teorerna de Pitágoras. Então,1 = 12 + 12 . Portanto, ~ = 2.
  52. 52. 43 Corno deter minar o valor de x nessa equação? Basta perguntar qual é o número que multiplicado por si mesmo produz 2. E aí, a dificuldade geométrica se transforma numa dificuldade aritmética. Já sabemos que 1 <x < 1,5. Como 1,4 está entre 1 e ],5, suponhamos que x = 1,4. Corno 1,4.1,4 = 1,96, então, x deve ser maior que 1,4 e menor que 1,5. Continuando esse processo de cerco ao número x. chegamos às seguintes conclusões: 1) x > 2) x > 3) x > 4) x > 5) x > 6) x > . ) 1,41 pOIS 1,41- = 1,9881 1,414 pois 1,414 2 = 1,999396 1,4142 pois 1,41422 = 1,999616 1,41421 pois 1,41421 2 ,~ 1,9<)9<)8<)9 1,414213 pois 1,414213 2 = 1,9999984 1,41421]5 pois 1,41..J2US 2 = 1,99Y9Y9S Você deve estar pensando que se continuasse esse processo COJl1 máquinas calcu- ladoras mais potentes, talvez até com computadores, chegaríamos à seguinte alternativa: ou o processo ter ia um final, isto é, conseguiríamos encontrar um número cujo quadrado fosse exatamente 2, ou então, o processo não teria fim. Na primeira hipótese, x seria um número racional Iinito e na segunda hipóteser seria um número racional periódico. Acontece, entretanto, que as mais potentes máquinas de que dispomos atualmente não poderiam chegar a nenhuma dessas duas alternativas. Isso porque, você já provou que a diagonal e o lado de 11m quadrado são segmentos incomensuráveis, Essa afirmação geométrica equivale à seguinte afirmação algébrica: não existe número racional algum que satisfaça a equação x 2 = 2. Isso significa que mesmo que lima máquina possuísse infinitos dígitos (o que seria impossível) jamais chegaria a um número cujo quadrado fosse exata- mente 2. Essa roi uma outra conseqüência terrível da descoberta de Hipasus. Isso porque, a linha reta numerada para os gregos antigos, e também para os pitagóricos, era continua. Isso significava para eles que era possível subdividir os intervalos entre os números inteiros em um número qualquer de partes iguais e sempre existia um número Iracionário (ou a razão entre dois inteiros) em correspondência com cada um desses pontos de subdivisão. Mas que número fracionário poderia estar em correspondência com o ponto P da figura anterior? Nenhum. Havia um "buraco" na reta. A reta não seria mais continua?
  53. 53. 44 11. A reação silenciosa: aliança entre os homens? Ao fazer as atividades anteriores, você deve ter sentido o mal estar causado pela descoberta de Hipasus entre os pitagóricos. Ela não apenas desmentia a crença de que para tudo existia um número, como também parecia gerar uma série de questões aparentemente contr aditór ias. Se os segmentos incomensuráveis realmente existem, ern áo, será que devemos aceitar tranqüilamente que a medida de certos segmentos náo possam ser expressos através de números? Mas isso não parece absurdo, já que é possível construir, ver e medir aproximada- mente a diagunal de um quadrado e a diagonal de um pcnt ágono? Mas, por outro lado, porque qualquer valor numérico que se atribua à diagonal de um quadrado, ele nunca satisfaz o Te orcma de Pitágoras? O Tcorcrna de Pitágoras seria realmente verdadeiro') Mas ele já nâo havia sido provado anteriormente? Diante dessas conseqÍlênci;ls, n.io seria de se estranhar quc a primeira reação dos pitagóricos diante do Icnórucno da incorncnsurabilidadc fosse a de esconder o caso. Onde só havia a ganhar com o debate público, os pitagóricos instituíram como norma, pelo contrário, o segredo c o silêncio. Mas esse silêncio não durou muitu tempo. A partir de então, vários ataques foram feitos às crenças pitagórieas, seus membros se dividiram e a escola caiu no descrédito. E que ironia! Tudo por causa de uma simples estrela, que era o emblema da escola e simbolizava nada menos que a ALIANÇA ENTRE OS HOMENS. Mas não bastava fazer críticas às crenças pitagóricas. Era preciso também explicar as causas das contradições geradas pelos conhecimentos que eles produziram. Os gregos conseguiram fazer isso? 12. A solução de Dedekind Não. Os gregos não conseguiram explicar as contradições geradas pelo fenômeno da incornensurabilidade. Procuraram conviver com elas. Simplesmente aceitaram o fato de não existir número algum para expressar a medida de certos segmentos. Criaram O termo "rhetos" (que significa racional) para os pares de segmentos corncnsuráveis e o termo "arrhetos" (não-racional ou irracional) para os pares de segmentos incomensuráveis. E como os números racionais não davam conta de expressar as medidas de todas as grandezas que podiam ser construídas com régua e compasso, acabaram optando pela conclusão de
  54. 54. 45 que o domínio das figuras, isto é, a gcomcuia, cr a muito mais amplo t: rico que o domínio dos números, isto é, que a aritmética. Acabaram separando esses dois ramos da matemática e desenvolveram o estudo das grandezas incomensuráveis apenas no domínio geométrico. O grandioso e promissor ideal pitagór ico de que tudo poderia ser expresso pOI números foi abandonado. Mas você não deve pensar que essa opção tomada pelos grL:g()s fosse a única possível. Ela tem urna explicação histórica. É que o "clima" político da cidade de Atenas por volta de meados do século V a.C. acabou sendo mortal para o desenvolvimento da ciência. Atenas, que tinha sido rnctrópolc da arte, da filosofia c da ciência gregas, acaha optando pelo caminho do imperialismo, isto é, pelo desejo ele expandir-se através da dominação de outras cidades gregas e de outros povos. O clima cultural, antes intenso, acaha sendo substituído por preocupações de orig<.:m militar e cívica. 1 matemática, a partir de cut áo. nâo tcria mais U ",;pcl"/o crüico de tcmpos ant cr iUI~,. Uma pnl,(I de que a opção dos gregos náo era a única pussívd, foi que o ideal pitagtlricu deveria renascer 20 séculos depois, na cabeça de um grande sábio italiano Galilcu (;Jliici que disse: "o livr o da natureza está escrito em linguagem matemática e sc m o auxilio desta linguagem, é impos- sível compr ccndcr urna só palavra". Urna outra prova de que essa opçao não era única e nem mesmo necessária foi dada pelo matemático alemão, Richar d Dc dc kind em um ensaio denominado "Continuidade e Números Irracionais", aparecido em 1872. Vejam hcm, apenas no século XIXI Neste ensaio, Dcdekind observa que: I) Existem mais pontos na linha reta do que núrucr os racionais: 2) Então, o conjunto dos númcr ox racion.nx n,lI é adequado P;If<1 explicarmos ar itrncticaruc nt c a continuidade da reta; J) Logo, é absolutamente necessário criar novox númcr os para que o domínio numérico seja tão completo quant o a rct a, isto é, para que p(lSSUa a mesma continuidade da reta. A partir dessas obse rvaçóc s, Dcdekind diz: "Por I1ILÚLO tempo pensei em ·OU sobre isso, mas [inalnicnte achei o que buscava. Consiste no seguinte: se todos os pontos di' uma reta são divididos CIIIdu as classes, de modo que qualquer ponto da primeira fique à esquerda de qualquer ponto da segunda classe, então, existe um e apenas 111/1 ponte que separa os palitos em duas classes. Não creio estar enganado em pensar que IOdos aceitarão iniediaiamente a verdade dessa afinn açào. Além disso, (/ maioria de meus leitores [icará desapontada ao saber que através dessa observação banal será revelado o segredo da continuidade. Fico satisfeito por todos acharem o princtpio acima óbl'io, pois SOIl totalmente incapaz de dar qualquer prova de que ele é correto, nem creio que alguém tenho esse poder. ,.
  55. 55. 43 ANEXO 2 - PARA QUE SERVEM OS IRRACIONAIS?
  56. 56. 44 Esse texto foi extraído do livro "Pontes para o infinitode Michael Guillen,pp.41-50 e foi adaptado por Miguel (1993, p.75-78) para fins didáticos. Para que servem os números irracionais? Sempre sobra a pergunta: para que servem os números irracionais? Para que estudá-los? Jamais nos deparamos na nossa vida diária com urna situação onde precisaremos expressar os resultados da medições com números possuindo infrnitas casas decimais. Bastarão algumas casas apenas. E claro que em problemas de caráter geométrico eles deverão aparecer, como vimos, para expressar as medidas de diagonais de quadrados, de alturas de pirâmides, etc. Mas na pratica, sempre que necessitarmos dessas medidas, precisaremos apenas de respostas aproximadas. Mas a verdade é que não há ciência que seja totalmente inútil. Muitas vezes, na história das ciências, descobertas aparentemente inúteis preparam o caminho para outras descobertas úteis. Faraday, um físico inglês do século passado, descobriu várias leis relacionadas com fenômenos elétricos e magnéticos. Leis aparentemente inúteis. Quando perguntaram-lhe para que serviam aquelas descobertas, Faraday respondeu, inteligentemente, com outra pergunta: para que serve urna criança que acabou de nascer? Mais tarde, as descobertas de Faraday foram empregadas para construção de geradores de energia elétrica, forma de energia cujas vantagens apenas o homem de nosso século pode desfrutar. O físico Rutherford, ao contrario de Faraday, ironizava as pessoas que sonhavam que um dia, com base na teoria da relatividade de Einstein ( até então sem nenhuma aplicação ), poderiam extrair a poderosa energia armazenada nos núcleos atômicos . Entretanto, sabemos hoje que esse sonho tomou-se realidade. A energia nuclear mostrou-nos tanto seus doces como seus amargos frutos: a bomba lançada sobre a cidade de Hiroxirna que matou milhares de pessoas, os acidentes nucleares, o lixo
  57. 57. _ •.._.a. .•...•...•.._....." _ •. _. o matemático inglês Hardy pensava que a teoria dos números em que trabalhava não servia para nada. Entretanto, hoje essa "inútil"teoria aplica-se à teoria dos códigos secretos e não secretos, isto é, à ciência militar com seus segredos e suas espionagens. Esses exemplos poderiam se multiplicar. E os números irracionais? Há para eles alguma perspectiva de aplicação? Existe uma velha questão, que até os nossos dias a ciência busca resolver, a de saber se o tempo flui de modo contínuo (sem interrupções ) ou se o faz descontinuadamente, isto é, por instantes separados. Os relógios digitais da atualidade apóiam a segunda hipótese, mas a verdade é que estamos tão perto de resolver a questão como o estavam os velhos gregos, quando a grande moda em matéria de relógios era a clepsidra, um relógio de água que apoiava a primeira hipótese, isto é, a idéia do fluxo contínuo do tempo. Poderia a matemática auxiliar os cientistas nesta questão? A principal razão que obriga os cientistas a saber o que os matemáticos têm a dizer sobre isso é que o modelo quantitativo da continuidade é uma linha reta numerada. E uma linha ao longo da qual os matemáticos dispõem os números, seus conhecidas do estudo da Aritmética. Deste modo, todo e qualquer ponto é rotulado com um número, de modo que não há qualquer intervalo não rotulado. A mais primitiva linha numerada não é contínua. Nela figuram só os números inteirosl,2,3,4,etc.,que, colocados a intervalos regulares, deixam obviamente falhas não rotuladas. A primeira linha numerada contínua foi a dos gregos antigos, na qual os intervalos entre os números inteiros eram interminantemente subdivididos e postos em correspondência com os números fracionários , aparentemente sem deixar nenhum ponto por rotular. Essa linha foi chamada de "linha numerada racional"porque ao conjunto dos números inteiros e fracionários chamavam os gregos "números racionais", por serem números que podiam ser expressos pela razão ( ou quociente) de números inteiros. Para

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