1. 0
Índice
Introdução. Desenho teórico-metodológico da investigação..................................................................................1
Capitulo I – Fundamentos teórico-metodológicos e Caracterização do processo de Ensino-Aprendizagem da
Matemática na 8ª Classe. ............................................................................................................................................8
1.1- O processo de ensino-aprendizagem da matemática..............................................................................8
1.2- Caracterização do Processo de Ensino-Aprendizagem de Matemática na 8ª classe do 1º ciclo do ensino
secundário...................................................................................................................................................................12
1.2.1- A disciplina Matemática em oitava classe no 1º Ciclo do Ensino Secundário.....................................................14
1.2.2- Os Manuais e sua estrutura.................................................................................................................................18
1.3- O ensino e a aprendizagem da matemática............................................................................................21
1.4- Diagnóstico da situação actual do ensino e da aprendizagem da equação de primeiro grau na matemática
oitava classe................................................................................................................................................................24
1.4.1- Concepções dos Professores................................................................................................................................24
1.4.2- Resultados do diagnóstico aplicado aos alunos...................................................................................................26
1.4.3- Conclusão retirada do diagnóstico.......................................................................................................................27
Capítulo II- Proposta metodológica para o ensino do conteúdo vinculado às equações de primeiro grau, baseada
na resolução de problemas, em matemática na 8ª classe..................................................................................30
2.1- Fundamentos do emprego da resolução de problemas que conduzem o ensino e a aprendizagem das
equações do 1º grau …..…………………………………………………………………………………………………………………30
2.1.1- Ensino da matemática baseada em a resolução de problemas...........................................................................32
2.1.2- Problemas Versus exercícios:diferenças.............................................................................................................48
2.1.3. Etapas da resolução de problemas, segundo a metodologia de Polya................................................................52
2.1.4. Estratégias de resolução de problemas da matemática escolar que conduzem a equações do 1º grau. ..........54
2.2- Formas de organização e conteúdo da experimentação……………………………………………………………………………………55
2.3- Metodologia que sustenta á proposta metodológica………………………………………………………………………………………..56
2.4- Exigência pedagógico-didáctica da proposta metodológica……………………………………………………………………………..57
2.4.1- Exemplos da aplicação da proposta metodológica.............................................................................................63
Capitulo III- Apresentação e análise de dados. Validação da proposta metodológica...................................68
3.1- Descrição e análise do questionário - População e Amostra……………………………………………………………………………..68
3.2- Resultado diagnóstico de conhecimento aplicado aos alunos…………………………………………………………………………..70
3.3- Analise dos resultados do inquérito aplicado aos professores..............................................................................71
3.4- Validação da proposta metodológica……………………………………………………………………………………………………………….74
Conclusões Gerais .....................................................................................................................................................77
Recomendações.........................................................................................................................................................78
Referências bibliográficas
Anexos...

2. 1
Introdução
No quotidiano escolar, ainda é usual fazer o aluno memorizar o conteúdo e decorar
aquela forma específica de resolver um determinado exercício que poderá servir
para resolver outras tarefas nos anos seguintes. As tarefas propostas em sala de
aula enfatizam um aprender matemática pela matemática. Esta prática tem resultado
em uma aprendizagem insuficiente da matemática que cria a necessidade de buscar
alternativas para melhorar a actual situação do problema.
Uma alternativa que tem sido indicada para melhorar a aprendizagem da
matemática é a utilização da estratégia metodológica da resolução de problemas.
Entretanto, a resolução de problemas como estratégia metodológica não é recente.
Uma das necessidades cada vez mais acentuada na educação básica é a
proximidade que o conhecimento científico deve ter com o conhecimento empírico
dos alunos, e logo transitar aos conhecimentos metodológicos e metacognitivos,
pois assim pode-se firmar algumas perspectivas de aplicações e, dessa forma,
contribuir para o interesse e gosto pela matemática.
Pesquisadores em educação matemática, como D’Ambrósio (2002), Dante (2005),
Onuchic (2007), e, outros, sugerem algumas alternativas para o ensino da
matemática, como: Resolução de Problemas, Investigação Matemática, Modelagem
matemática, Historia da Matemática, Tecnologia da Informação e Comunicação,
Etnomatemática. Todas vêm ao encontro da necessidade de uma educação mais
preocupada com o aluno, buscando meios que favoreçam a aprendizagem do aluno
e desenvolvam sua capacidade de pesquisar, buscar conhecimentos e pensar.
Dentro dessas concepções de educação matemática a actuação do professor
adquire uma nova postura, o de facilitador do processo de ensino-aprendizagem, tal
como apontam os estudos de Vigotsky (1991).
Assim pretende-se apresentar actividades metodológicas práticas, aplicáveis em
sala de aula do Ensino Básico, essas actividades incorporam elementos da
tendência em educação Matemática, cujo tema é: “Aprendizagem da resolução de
problemas que conduzem a equações do 1º grau”.

3. 2
Antecedentes
Variados têm sido os esforços dos cientistas e das autoridades vocacionadas à
problemática da educação e especialmente do ensino da matemática, visto constatar
se na actividade diária que os alunos consideram esta disciplina difícil.
De formas a elucidar esta problemática, destaca-se o raciocínio de vários autores ou
investigadores que dedicaram sua atenção na questão da resolução de problemas,
assim como a definição e classificação dos mesmos:
George Polya, em 1945 do livro “A arte de resolver problemas” apontou novos rumos
para o ensino-aprendizagem em Matemática. O autor estabeleceu um conjunto de
fases para a resolução de problemas: compreensão de problemas, elaboração do
plano, execução do plano e verificação, as quais, ainda hoje servem como referência
param a discussão do tema.
Em seu artigo publicado no livro organizado por Krulik e Reys (1997), Polya enfatiza
que o aluno deveria se interessar pela Matemática pelo que ela é em si mesma. E
que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento, o faz de maneira que
“possa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descoberta”.
Outro excelente trabalho que também consideramos como leitura obrigatória para os
professores que pretendem usar esta metodologia nas séries iniciais do ensino
fundamental é o do professor doutor Luiz Roberto Dante.
Dante (2005,p.47), especificamente seu livro Didáctica da Resolução de Problemas
de Matemática, sugere uma forma de trabalhar o ensino numa perspectiva
organizada e didáctica. Dante enumera alguns objectivos:
 Fazer o aluno pensar produtivamente;
 Desenvolver o raciocínio do aluno;
 Ensinar o aluno a enfrentar situações novas;
 Oportunidade aos alunos a aplicação da Matemática;
 Tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras;
 Equipar os alunos com estratégias para resolver problemas;
 Dar uma boa base matemática às pessoas;
 Também aponta algumas metodologias:
 Mudar o método de ensino;
 Trabalhar com a classe toda;
 Trabalhar em pequenos grupos;
 Ensinar algumas estratégias;

4. 3
Domingos, Júlio Tarquino (2009, p.62), Em sua dissertação de mestrado: Resolução
de problemas (uma proposta para o desenvolvimento das habilidades dos
estudantes do 2º ano de matemática do ISCED- Lubango). Que se adequa com a
proposta do autor relativamente a estrutura de resolução de problemas proposta por
Werner Jungk (1999,p.62), e outros.
Pode-se dizer que a resolução de problemas é um método eficaz para desenvolver o
raciocínio e para motivar os alunos para o estudo da matemática. Na aprendizagem
da matemática, os problemas são fundamentais, pois permitem ao aluno colocar-se
diante de questionamentos e pensar por si próprio, possibilitando o exercício do
raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de regras.
Uma boa pesquisa e leituras apropriadas podem levar o professor de Matemática a
encontrar situações problemas diversos e que proporcionam aos alunos
compreender o porquê de se estudar um determinado conteúdo. Problemas bem
elaborados propiciam a pesquisa, à reflexão e a aplicação de conceitos matemáticos
aprendidos.
É por meio desse entendimento que o professor poderá fazer da resolução de
problemas uma prática interessante e satisfatória no ensino de Matemática.
Identificação do Problema:
A insatisfação do autor enquanto professor do ensino básico relacionado com o
baixo rendimento na aprendizagem de álgebra (equações) motivou a realização de
um trabalho, cuja finalidade é buscar e entender as origens desse problema e por
conseguinte, propor soluções. Ao analisar o plano curricular (Inide, 2008,p.21)
percebe-se que no 1º ciclo do ensino secundário é a etapa de aprendizagem mais
apropriada para ser examinada, por ser nessa fase da educação básica que se
introduz o estudo da álgebra (equações). Especificamente é na 7ª classe que ocorre
a transição da aritmética para a álgebra; nessa trajectória pode estar a chave da
problemática no 1º ciclo do ensino secundário.
Em constatação enquanto professor da 8ª classe do 1º ciclo do Ensino Secundário
no Namibe e em conversas formais com outros professores e alunos, levou – no a
pensar que existem dificuldades no ensino, na aprendizagem e na metodologia
aplicada para o tratamento do conteúdo matemático relacionado com às equações
do 1º grau. Para podermos identificar tais dificuldades fizemos uma sondagem
preliminar aos professores que leccionam a 7ª e 8ª classe do 1º ciclo do ensino
secundário e alunos em que colhemos as seguintes opiniões:

5. 4
a) Professores
 A estrutura do conteúdo no manual é pouco clara quanto ao conceito em
estudo, a sua apresentação é pouco atraente o que faz com que os alunos
não gostem de equações, e tenham dificuldades em compreender o que se
ensina na aula.
 Na sua maioria não utilizam e outros nunca ouviram falar da metodologia de
resolução de problemas. Apenas aulas de exercícios.
b) Alunos
Relativamente à aprendizagem de equações do 1º grau os alunos são da seguinte
opinião:
 Tenho dificuldades em resolver problemas envolvendo as quatro operações
fundamentais;
 Tenho dificuldades em isolar a variável;
 Acho muito difícil passar um problema na linguagem normal para linguagem
matemática.
 Não vejo a utilidade das equações no nosso dia-a-dia.
Das opiniões referidas, pode-se verificar que existem dificuldades, tanto para os
professores como para os alunos, contudo os alunos desta classe têm um domínio
da aritmética (trabalhar com números naturais nas quatro operações fundamentais),
mais apresentam dificuldades em compreender e trabalhar com letras “ variáveis”.
Assim podemos formular o seguinte problema de investigação: Que contribuição à
metodologia do ensino da matemática baseada na resolução de problemas pode
trazer na melhoria da aprendizagem do conteúdo vinculado às equações do 1º grau
na 8ª classe do 1ºciclo do ensino secundário?
Este problema remete algumas questões:
De que natureza são as dificuldades que os alunos e professores enfrentam no
ensino ou na aprendizagem do conteúdo com uma metodologia baseada na
resolução de problemas?
Justificação da investigação:
Esta dissertação visa investigar como a metodologia do ensino da matemática,
baseada na resolução de problemas facilitara a aprendizagem das equações
algebreicas, atingindo um domínio dos conceitos matemáticos, levando os alunos a
uma aprendizagem significativa. Assim, constitui-se um recurso que ajudará na
construção do conhecimento (construtivismo em didáctica).

6. 5
Objecto da investigação:
O processo de Ensino-aprendizagem do conteúdo da matemática na 8ª classe.
Objectivo da investigação: Elaborar uma Proposta metodológica para o ensino da
matemática, sustentada numa metodologia baseada na resolução de problemas,
que possibilite melhorar aprendizagem do conteúdo vinculado às equações de
primeiro grau na 8ª classe do 1º ciclo do ensino secundário.
Campo de acção da investigação:
O ensino do conteúdo matemático correspondente à equação de primeiro grau na 8ª
classe.
Hipótese:
Uma proposta metodológica para o ensino da equação de primeiro grau, baseada
na resolução de problemas, melhora a qualidade da aprendizagem da matemática
na oitava classe.
Variável independente:
Proposta metodológica para o ensino de equação de primeiro grau baseado na
resolução de problemas matemáticos.
Variável dependente:
O ensino-aprendizagem do conteúdo da equação de primeiro grau em oitava classe.
População:
Será constituída por um universo de 69 alunos do Cefo pescas e 27 professores de
várias escolas do Namibe.
Amostra:
A parte representativa seleccionada aleatoriamente será a nossa amostra
nomeadamente: 69 Alunos da 8ª classe e 27 professores.
Tarefas da investigação:
 Fundamentação das conceições teóricas acerca do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática.
 Caracterizar o estado actual do ensino e da aprendizagem da equação de
primeiro grau.
 Elaborar a proposta metodológica para o ensino da equação de primeiro grau
baseado na resolução de problemas matemáticos.

7. 6
 Avaliar a proposta metodológica mediante o critério de espertos.
Métodos de investigação:
Para o desenvolvimento da investigação utilizaram-se, métodos teóricos, empíricos
e estatísticos:
Métodos teóricos
Análise e síntese: Presente em todo trabalho de investigação para o
processamento da informação, elaboração da proposta, as conclusões e
recomendações.
Histórico-Lógico: Para compreender a evolução dos métodos de ensino das
ciências em geral e da matemática em particular (indutivo e dedutivo).
Sistemático-estrutural: Elaborar uma alternativa metodológica para aprendizagem
de equações do 1º grau na 8ª classe através da resolução de problemas.
Métodos empíricos: na fase empírica realizam-se a entrevista, a observação
científica, medição e critério de espertos.
Métodos estatísticos: Análise descritiva (frequências e percentagens) dos
resultados da investigação do Teste e Inquérito aplicado aos alunos e professores
respectivamente;
O método de DELPHI utilizado na validação da proposta metodológica pelos peritos.
O estudo baseou-se na metodologia de pesquisa qualitativa e quantitativa, tomando
como referência principalmente as pesquisa e trabalhos de Polya, Onuchic e Dante.
A pesquisa foi desenvolvida no Centro de Formação Profissional “ Cefopescas das
pescas Hélder Neto”, na cidade do Namibe, no ano lectivo 2012. A experiência do
investigador como professor de matemática da 8ª classe do ensino básico, as
preocupações porque ainda não foram atingidos resultados satisfatórios no processo
de ensino aprendizagem, mais a estimulação oferecida pela introdução da Reforma
Educativa no 1ºciclo do ensino secundário, foram as motivações para a realização
do trabalho.
Novidade científica:
A busca de metodológias que facilitam o processo de aprendizagem de conteúdos
matemáticos é relevante na medida em que visa melhorar a qualidade de ensino e

8. 7
aprendizagem. Em particular, a resolução de problemas que conduzem a equações
do 1ºgrau, é uma forma de relacionar a matemática com o dia-a-dia dos alunos, isto,
sem dúvidas favorece a aprendizagem desta temática.
Estrutura do trabalho:
Esta dissertação é composta por uma introdução, três capítulos, conclusões e
recomendações.
Introdução: contendo a relevância, antecedentes, o problema a ser investigado,
justificativa da investigação, objecto de estudo, o objectivo, a população-alvo, as
tarefas e a metodologia.
Capitulo I. Fundamentação teórica e caracterização do processo de Ensino-
Aprendizagem da Matemática na 8ª Classe do 1º Ciclo do Ensino Secundário.
Neste capítulo faz-se uma abordagem epistemológica dos conceitos matemáticos
relacionados com as Equações do 1º grau e sua história, faz-se uma análise e
caracterização do processo de ensino das Equações com base nos programas do
Ministério da Educação, bem como o fundamento teórico que sustenta a abordagem
do tema.
Capítulo II. Aprresenta-se a proposta Metodológica para o ensino da matemática que
possibilite melhorar aprendizagem do conteúdo vinculado às equações de primeiro
grau na 8ª classe. Apresenta-se neste capítulo a proposta metodológica.
Capitulo III. Apresentação e análise de dados. Validação da proposta metodológica.
Finalmente, apresentam-se algumas conclusões e recomendações deduzidas dos
resultados obtidos na investigação realizada e recomendações cuja aplicação
contribuirá para minimizar as dificuldades de ensino-aprendizagem deste tema
contribuindo assim, para a elevação da qualidade de ensino.
Além disso, o trabalho tem as referências bibliográficas e os anexos.

9. 8
Capitulo I – Fundamentos teórico-metodológicos e Caracterização do processo
de Ensino-Aprendizagem da Matemática na 8ª Classe.
Neste capítulo faz-se uma abordagem epistemológica das categorias da didáctica,
do ensino, da aprendizagem e do processo de ensino-aprendizagem da matemática
segundo uma orientação ou enfoque de lo geral ao particular ate concretiza-lo na
oitava classe do ensino secundário com base nos programas do Ministério da
Educação, bem como o fundamento teórico que sustenta a abordagem do tema.
1.1 -O processo de ensino-aprendizagem da matemática
Em relação à direcção do processo de ensino-aprendizagem se expressa que “(…)
em sua forma estatal institucionalizada, requer de um fundamento teórico, sólido,
integrado dos pontos de vista filosófico, sociológico, psicológico, do desenho
curricular, da didática e da direção científica (…)”1. Isso exige, portanto,
fundamentar teoricamente o objecto de investigação, no quadro destas disciplinas
científicas.
A teoria curricular se ocupa da “(…) planificação e da direção de todo o sistema de
influências educativas que se levam a cabo nas instituições escolar para a formação
e desenvolvimento integral da personalidade dos alunos (…)”2, incluído o sistema de
acções do processo pedagógico formativo, que vai do plano central estatal até o
plano diferenciado do processo de ensino-aprendizagem que desenvolvem as
disciplinas no sala-de-aula. O desenho didático do processo de ensino-
aprendizagem nas disciplinas, unidades e formas de organização é parte do
microdesenho curricular e da direção do mesmo; ambos os realizam o professor.
No processo de ensino-aprendizagem, as teorias pedagógica e psicológica
interactuam estreitamente, por isso se toma partido pelo enfoque psicológico
histórico-cultural, sustentado no materialismo dialético e histórico, cuja essência
reflete que o professor, como educador consciente, incide na formação do futuro
homem, pois facilita a este uma apropriação da herança histórico-cultural e um
resultado educativo, fruto da incidência de todos os agentes educativos (Miranda, T.,
2004). Nesta se tem em conta o resultado histórico para sua incorporação ao ensino,
e o aluno se prepara para resolver os problemas mais freqüentes de sua vida,
apoiado na cultura acumulada pela sociedade e na previsão do que pode ocorrer no
sucessivo, projeção que expressa um elevado conteúdo de essência humanista.
Este enfoque fundamenta a necessidade de um ensino e uma aprendizagem
orientadas para as funções que estão em processo de maturação (nível de

10. 9
desenvolvimento próximo), centrando o trabalho nas categorias actividade,
comunicação e socialização, assim como nas condições para o desenvolvimento
integral da personalidade.
Na seleção e articulação sistémica do conteúdo, o factor psicológico fundamenta a
necessidade de ajustar o conteúdo às características psíquicas dos alunos, de modo
que o conhecimento avance da assimilação dos factos empíricos isolados para as
generalizações científicas cada vez mais complexas, completas e profundas. Em
cada nível de assimilação, o conteúdo adquire um tratamento específico. Assim, em
uma primeira etapa da educação escolarizada, se manifesta estreitamente
relacionado com sua expressão concreta, mas no nível secundário adquire um maior
nível de abstração, o qual é necessário ter em conta na estruturação e integração do
conteúdo.
No didático, fundamenta-se uma concepção que concebe os componentes pessoais
(professor-aluno-grupo; o professor é o dirigente do processo, e o aluno, em
interação com o grupo escolar, construtor de seu conhecimento sob a influência do
docente), e os componentes temáticos (objectivo, conteúdo, método, meio, forma de
organização e avaliação), em que se reconhece ao objectivo como o componente
reitor de todo o processo de ensino-aprendizagem.
Se se considerar que o estudo é parte primitiva do conhecimento da realidade
objectiva escolar, então a actividade do professor leva implícito o carácter cognitivo.
Assim, o docente, para preparar as tarefas de estudo, precisa elevar seu nível
teórico-metodológico, já que o ensino, a diferença do conhecimento, tem lugar sob
sua direcção.
Quando o objecto da actividade cognitiva é acessar a novos conhecimentos
científicos dos fenómenos, o objectivo do ensino se cumpre ao prover ao aluno com
conhecimentos científicos suficientes, para que os utilize na vida prática durante sua
relação com o mundo que lhe rodeia, para actuar e transformar a realidade. Mas, se
o objectivo é estudar os fenómenos do mundo exterior, então o aluno tem que
sintetizar estes fenômenos. Para isso, deve lembrar o material estudado, reter os
resultados da tarefa de estudo e dominar os fundamentos da ciência que estão no
conteúdo da disciplina, que são expressão da conquista da experiência histórico-
social.
O conhecimento é produto da percepção cognitiva dos fenómenos da realidade
objectiva pelos sujeitos, expresso em forma de conceitos, princípios, modelos, leis,
teorias e quadro geral do mundo. O aluno deve assimilar a essência do mesmo.

11. 10
O domínio do conhecimento é expressivo da actividade cognitiva do aluno, o qual se
obtém mediante a realização de um sistema de operações mentais, dirigidas à
assimilação do conhecimento. Considera-se, por diversos autores, que o processo
de assimilação do conhecimento transcorre por três etapas fundamentais.
Uma primeira etapa, caracterizada pela percepção do material docente, onde a
união da teoria e a prática cria um sistema íntegro de vias para activá-la.
Em uma segunda etapa se desenvolve a compreensão e generalização do
conhecimento. A percepção deve ser comprensível pelo sujeito e correlativa com os
conhecimentos que ele já possui, e conduzida ao sistema geral de conhecimentos.
Assim, a compreensão é o elo central no processo de assimilação, e transcorre junto
à percepção, por isso é obrigado comparar, analisar e generalizar a percepção dada.
Os conceitos surgem como resultado da compreensão e generalização dos
conhecimentos e constituem uma forma de pensamento científico, com cuja ajuda se
sintetizam as características dos objectos e fenómenos. Eles se expressam com
palavras (linguagem). A expressão do conteúdo de um conceito constitui uma
definição.
A identificação nominal dos componentes do processo de ensino-aprendizagem e
dos elementos que caracterizam a cada um deles não encontra uma unidade de
critérios na teoria didática contemporânea. Além disso, o autor toma partido pelo
critério que considera que se trata de um sistema no que interactúan os
componentes pessoais: professor, aluno e grupo de alunos, e os componentes
temáticos: objectivo, conteúdo, método, meio, forma de organização e avaliação.
A unidade dialética entre ensino e aprendizagem se expressa em que o ensino
potencializa a aprendizagem e o desenvolvimento humano através de situações em
que os alunos se apropriem dos recursos que lhes permitam operar com a realidade
e enfrentar o mundo com formas de pensar e actuar, tambem atitudes científicas
conscientes e transformadoras.
Cada componente temático do processo de ensino-aprendizagem tem sua função.
Assim, o objectivo é o elemento orientador; o conteúdo, o objectivizador; o método, o
dinamizador; o meio, o suporte material do método; a avaliação, o regulador, e a
forma de organização, o integrador que sistematiza dinamicamente a inter-relação
entre todos os componentes do dito processo.
O ensinar e o aprender constituem uma unidade dialética; daí que todo o processo
tenha uma estrutura e funcionamento sistémico, no que todos seus componentes
interactuam, aparecendo nele diferentes tipos de inter-relações, o qual implica que

12. 11
ao selecionar um destes componentes, como o é o conteúdo, tome em consideração
sua unidade e elos com os restantes, selecionando como eixo central um
subsistema em que se interrelacionam os componentes objectivo-conteudo-método.
O conteúdo de ensino aprendizagem constitui aquela parte da cultura ou conjunto de
valores materiais e espirituais criados, e tambem as experiências sociais
acumuladas pela humanidade no processo da prática histórica, que deve ser
assimilada pelos alunos, em dependência dos objectivos formativos propostos.
Estes elementos acumulados pela humanidade constituem: o Sistema de
conhecimentos sobre a natureza como realidade objectiva e métodos da actividade
cognitiva realizada pelo homem, o sistema de experiências da aplicação dos modos
de actuação, o sistema de experiências da actividade criadora durante a busca de
solução aos problemas que surgem da prática social e o sistema de normas de
relação com a realidade (sistema de educação).
A categoria conteúdo, como componente do processo de ensino aprendizagem,
evoluiu que maneira sistemática e profunda no pensamento pedagógico universal. A
posição tradicional da didática geral, que concebia estreitamente Só os
conhecimentos acumulados da cultura sistematizada da humanidade, atracou a uma
concepção integradora dos conhecimentos, habilidades e hábitos, capacidades,
interesses profissionais, valores, sentimentos, convicções e atitudes, necessários à
nova concepção do mundo objectivo que necessita o homem para seu desempenho
e compreensão social.
Nas obras consultadas, a categoria conteúdo foi abordada por diversos autores,
como Klingberg, L., 1972; Danilov, M.A., 1975; Álvarez do Zayas, C., 1988; Addine,
F., 1998, 2004, e Zilberstein, J., 2002. A maioria dos mesmos reflecte, com
diferentes especificidades, três elementos essenciais que constituem a estrutura do
conteúdo, que são: os conhecimentos, as habilidades e os valores, emoldurados nas
esferas cognitiva, procedimental e axiológica, respectivamente.
Em relação com o anterior, na actualidade se expressa que o conteúdo, como
componente do processo de ensino-aprendizagem, reflecte fundamentalmente a
integração de três sistemas: de conhecimentos (feitos, conceitos, princípios, leis,
teorias e quadro do mundo); de experiências da aplicação dos modos de actuação
(acções, operações, habilidades e hábitos), e de normas de relações com a
realidade, com outros e consigo mesmo, vinculados ao saber conhecer, fazer, ser,
valorar e conviver juntos; sem deixar de atender o sistema de experiências da

13. 12
actividade criadora do sujeito (saber criar).
A análise sistémica do conteúdo consiste em enlaçar todos os componentes do
mesmo baixo certos critérios didáticos que se sustentam na necessidade de que os
estudantes se apropriem dos conhecimentos, habilidades e capacidades, para
aplicar os de forma independente e obter novos conhecimentos (reestruturação do
conteúdo), e de conservar, em certa medida, a lógica da ciência sem perder os
aspectos históricos, sobretudo aqueles que vinculam os métodos da ciência a seu
objecto de estudo.
1.2 Caracterização do Processo de Ensino-Aprendizagem de Matemática na 8ª
classe do 1º ciclo do ensino secundário.
Reforma Educativa na Republica de Angola
Os grandes objectivos da reforma educativa são a “expansão da rede escolar, a
melhoria da qualidade de ensino, o reforço da eficácia do sistema de educação e a
equidade do sistema de educação” (Inide, 2009).
Em todo o mundo existem reformas educativas. Nas décadas de 80 e 90,
respectivamente no Japão e nos EUA, surgiu um grande debate em torno da
reforma educativa, da sua significação, muitas vezes, de forma errada, confundida
com reforma curricular e inovação curricular.
Fullan (1991), citado por Pacheco (1996), refere que “a natureza da mudança
educacional é explicada por quatro conceitos: mudança, inovação, reforma e
movimento. A inovação é frequentemente utilizada para referir mudanças
curriculares específicas enquanto o termo reforma diz respeito a mudanças
fundamentais e globais” (p. 150).
Esta diferenciação entre inovação e reforma, desde logo, implica assumir que uma
reforma pressupõe alterações ao nível normativo-jurídico dependentes das
dimensões ideológicas, políticas, culturais e sociais, ou seja, uma reforma educativa
implica “uma estratégia planificada para a modificação de certos aspectos do
sistema educativo de um país de acordo com um conjunto de necessidades,
resultados específicos, meios e métodos adequados” (Sack, 1981; González e
Muñoz; 1987;citados por Pacheco, 1996), enquanto inovação deve ser entendida
como “uma série de mecanismos e processos mais ou menos deliberados e
sistemáticos por intermédio dos quais se procura introduzir e proporcionar certas
mudanças nas práticas educativas vigentes” (González e Muñoz, 1987; citado por
Pacheco, 1996). Apesar desta distinção, importa referir que a reforma também pode

14. 13
significar inovação, desde que se verifique uma mudança ao nível mais específico
das práticas pedagógicas dos professores, directores de escola e de outros actores
educativos. O conceito de reforma aponta para “as mudanças estruturais,
organizacionais, e o de inovação para a mudança, mais qualitativa, de aspectos
funcionais” (Pacheco, p. 151), contudo, o problema que se coloca no que diz
respeito à inovação curricular prende-se com a escola, isto é, reside em saber se
esta tem recursos materiais, humanos e financeiros para protagonizar decisões
estratégicas que provoquem a mudança, com que concordamos plenamente.
A reforma curricular, como referiu o antigo ministro da educação de Portugal,
Roberto Carneiro (1987,p.239), é o vector principal de qualquer reforma educativa
porque o currículo é o elemento fundamental de um sistema educativo. Esta
convicção, contudo, não deve ser obsessiva, porquanto, uma reforma educativa não
pode esgotar-se na reforma curricular, porque a primeira, como se referiu
anteriormente, tem implicações a várias dimensões. Salvaguardado este aspecto,
importa também referir que uma reforma curricular também tem implicações em
termos de “mudança” e de “inovação”.
Representa mudanças na organização curricular (registe-se no caso de Angola a
nova tipologia organizacional para o ensino primário e secundário), mudanças nos
planos curriculares (reorganização dos planos para, por exemplo, promover a
interdisciplinaridade), programas, materiais pedagógicos e no sistema de avaliação
das aprendizagens, mas, também, inovação ao nível do pensamento dos
professores e das suas práticas, sem descurar aspectos ligados à motivação e à
formação dos mesmos.
Actualmente, no nosso país o processo de ensino-aprendizagem da Matemática em
geral e da Matemática Elementar, em particular, ainda se caracteriza por um modelo
tradicional de ensino, onde o professor é parte activa do processo e o aluno é a
parte passiva. Os alunos tendem a memorizar os conteúdos recebidos, o que não
contribui em nada para o pensamento lógico dos mesmos. Como consequência, a
avaliação também pauta – se por uma “ pedagogia tradicional”, o que contradiz a
prática de uma avaliação construtivista e libertadora que de acordo com Hoffmann
(1997,p.551-570), deverá encaminhar – se a um processo de diálogo cooperativo e
interactivo, através do qual os alunos e os professores aprendem sobre si mesmos
no acto próprio da avaliação. Significa que os professores e os alunos devem ser
encarados como sujeitos do processo de avaliação.

15. 14
Os professores de Matemática enfrentam constantemente o problema de alcançar
que os seus alunos construam da melhor maneira possível seus conhecimentos
matemáticos. Muitos problemas que surgem na sala de aula ou fora dela, tendem a
parecer problemas de ensino, são na realidade quase sempre problemas de
aprendizagem.
Essa é a importância de desenvolver um processo de ensino-aprendizagem que seja
significativo, empregando as ferramentas próprias dessa aprendizagem, como por
exemplo a resolução de problemas e que tenha o aluno como o centro da atenção e
que ele tenha uma participação activa no processo.
1.2.1 A disciplina Matemática em oitava classe no 1º Ciclo do Ensino Secundário.
A Matemática, com ciência indispensável na formação e desenvolvimento da
personalidade, proporciona a aquisição de capacidades de raciocínio numérico,
comunicação e resolução de problemas, dotando os alunos com conhecimentos e
capacidades que lhes permitem dar solução aos problemas no dia-a-dia.
Assim, são finalidades do Ensino da Matemática no 1º Ciclo do Ensino Secundário:
 Desenvolver a capacidade de raciocínio;
 Desenvolver a capacidade de comunicação;
 Desenvolver a capacidade de resolução de problemas;
 Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de
interpretação e intervenção na realidade;
Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de
autonomia progressiva e cooperação.
Breve história da origem das equações do 1ºgrau: Contribuições de um estudo
epistemológico.
Os Babilónios e Egípcios cerca de 2300 a.C. trabalhavam com equações que em
sua maior parte eram originárias de problemas de ordem prática.
Eves (2004,p.63): A noção de equação tinha basicamente um carácter pragmático,
que, de forma intuitiva, igualava duas quantidades desconhecidas, com finalidade de
encontrar o valor da quantidade desconhecida.
Na maior parte das vezes, a busca pelas soluções estava relacionada a equações
particulares, para resolver problemas específicos e os métodos utilizados estavam
relacionados a ideias aritméticas sem preocupação se encontrar soluções gerais.

16. 15
Para os Gregos as equações já eram concebidas de maneira diferente dos
babilónios e egípcios, pois não estavam procurando resolver equações que tinham
sido originadas de problemas de ordem prática.
Garbi (1997): A noção de equação contemplava um carácter geométrico e de forma
dedutiva, a resolução repousava em manipulações geométricas.
Percebe-se que mesmo com a mudança de concepção acerca da álgebra nesse
período de aritmética, nos babilónios e egípcios, para geométrica, nos gregos a
busca pelas soluções ainda estavam relacionadas as equações particulares e não a
métodos gerais.
Os Árabes e Hindus trabalhavam tanto com equações originarias de problemas de
ordem pratica, quanto com situações que recaiam em interpretações e manipulações
geométricas.
Puig (1998,p. 109-131): A noção de equação já tinha um carácter mais algébrico,
mais generalista, pois passava de um catálogo de expressões que se sabe resolver
para um catálogo de todas as formas canónicas possíveis.
Percebemos uma preocupação na busca de formas canónicas, como fez al-
Khwarizmi (790-840, sec.IX) ao estabelecer todas as possibilidades para o que
conhecemos por trinómio de grau não superior a dois.
Por outro lado, Khayyam já tinha uma concepção de equação mais relacionada a um
carácter geométrico, interpretando as soluções das equações como intersecção de
curvas geométricas.
Para os Europeus as equações eram vistas dentro de um sistema estrutural com
propriedades e características bastante definidas.
Garbi (2006) e Lintz (1999): A equação é a finalidade de se encontrar soluções
gerais. Após a descoberta das fórmulas gerais para a resolução das equações de
terceiro grau e quarto grau, há uma modificação no rumo das investigações, a nova
questão que norteia as investigações passa para: Será que existe algoritmo para
resolver equações com grau superior a quatro? Nessa nova direcção estrutural, até
que Galois encerra a discussão fornecendo condições de se decidir quando essas
equações são solúveis por radicais.

17. 16
O estudo das equações algébricas contribuiu de forma significativa para o
aparecimento da chamada álgebra moderna (teoria dos grupos, teoria dos corpos,
etc.).
A preocupação com as estruturas e o surgimento de novos ramos da álgebra,
principalmente durante a segunda metade do século XIX. Levaram a ampla
generalização, tanto do conceito de numero, quanto do conceito de Aritmética.
É possível verificar, por este estudo epistemológico-histórico, que durante muitos
séculos o principal objectivo de investigação em Álgebra foi o estudo das equações
algébricas.
Porem, constata-se também com este mesmo estudo que no final do século XIX,
esse objecto de investigação deixou de ser o foco de atenções dos matemáticos,
conforme observam Fiorentini, Miorim e Miguel no trecho abaixo:
(…) O objecto da investigação desse campo matemático ultrapassava o domínio
exclusivo de estudo das equações algébricas e das operações clássicas sobre
quantidades generalizadas, discretas ou contínuas, para centrar-se no estudo das
operações (…) sobre objectos abstractos, (…) sobre as estruturas matemáticas tais
como grupos, anéis, corpos, etc. (Fiorentini, Miorim e Miguel 1993, p.78).
Assim considera-se que houve ao longo da história da álgebra, uma mudança
significativa na natureza do objecto de investigação desse campo de conhecimento
matemático – o estudo das equações perde o foco de atenção dos matemáticos
para o estudo das estruturas matemáticas – podemos dizer que tivemos dois
grandes momentos históricos: antes dessa mudança tínhamos o que é denominado
por Álgebra Clássica ou Elementar e, depois, o que é chamado de Álgebra Moderna
ou Abstracta.
As conclusões que podemos tirar dessas reflexões propiciadas por esse estudo
epistemológico-histórico, a qual contribui fortemente para chegar ao objectivo deste
trabalho são que após ter permanecido como objecto de investigação da Álgebra até
o final do século XIX, o estudo das equações nesse período parecia enfatizar:
 Por um lado, os aspectos procedimentos e técnicos, quando da resolução de
equações particulares;

18. 17
 Por outro lado, os aspectos estruturais, quando da busca de fórmulas gerais
para resolver toda uma classe de equações.
Neste sentido, emite desse estudo epistemológico-histórico, ao menos três formas
diferentes de conceber equação: uma relacionada a um carácter pragmático, outra a
um carácter geométrico e uma terceira relacionada a aspectos estruturais. O autor
firma-se nas questões investigadas pelos Árabes e Hindus por parecerem dar à
noção de equação, cada vez mais um caracter algébrico. Que assume em seu
trabalho.
Caracterização do tratamento metodológico das Equações no 1º ciclo do ensino
secundário.
A disciplina de matemática contribui para a realização dos objectivos gerais da
formação da jovem geração através de meios específicos da ciência matemática.
Sendo assim, a lei de base do sistema nacional define o sistema educativo como
conjunto de estruturas e modalidades através da qual se realiza a educação
tendente a formação harmoniosa e integral da personalidade com vista a
consideração de uma sociedade progressiva e democrática.
O presente programa está estruturado da seguinte forma:
Parte I – O Programa de Ensino. Estratégias e Metodologias de Ensino.
Nesta parte aborda – se o Plano de Estudo para o 1º ciclo de Ensino Secundário,
as finalidades da Matemática no 1º ciclo do Ensino Secundário e os objectivos
gerais para a 8ª classe; sugestões metodológicas gerais param o ensino da
Matemática; como se avaliam as aprendizagens em Matemática; organização
dos conteúdos de Ensino da Matemática da 8ªclasse.
Parte II – Conteúdos da Matemática para a 8ª classe.
Nesta 2ª parte aborda – se, unidades, subtemas a subtemas:
 Os objectivos específicos.
 As sugestões metodológicas.
 Algumas questões e exercícios a propor aos alunos.
Objectivos de ensino-aprendizagem do conceito de “equação” do 1º grau” na 8ª classe.
Todo o programa deve ter definido as metas a atingir com ele, ela são as suas
justificativas. Do programa de Matemática da 8ªclasse, deduzimos os seguintes
objectivos para o ensino do conceito de Equação do 1º grau:
a) Objectivos Gerais:

19. 18
 Desenvolver a capacidade de utilizar a linguagem matemática para comunicar
ideias;
 Desenvolver a capacidade de aplicar conhecimentos na resolução de
problemas do quotidiano e de outras disciplinas;
 Capacidade de raciocinar e analisar;
 Desenvolver o conhecimento e a compreensão de conceitos e métodos;
 Desenvolver uma atitude positiva, de modo a promover a autoconfiança na
resolução de problemas matemáticos;
 Desenvolver a perseverança e o cuidado na realização das tarefas e
cooperação no trabalho;
 Desenvolver capacidades mentais gerais;
 Desenvolver capacidade criadora e a imaginação.
b) Objectivos Específicos.
 Traduzir um problema por meio de uma equação;
 Procurar soluções para uma equação;
 Resolver equações do 1º grau com uma incógnita;
 Resolver equações literais;
 Escrever fórmulas;
 Traduzir em linguagem simbólica matemática situações apresentadas em
linguagem corrente;
 Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações;
 Interpretar e criticar as soluções de uma equação no contexto de problema.
 Depois de descrever os objectivos gerais e específicos definidos pelo
programa da 8ª classe, segundo Jungk (1982) no ensino da Matemática os
objectivos estão enquadrados em três campos, estritamente relacionados:
 Campo da Instrução (Saber e poder específicos da Matemática);
 Campo do desenvolvimento das capacidades mentais;
 Campo da Educação;
1.2.2 Os Manuais e sua estrutura.
O Manual da 7ª Classe.
O manual de Matemática da 7ªclasse da Autora (Maria Julieta Octávio e outros,
2009) está estruturado da seguinte forma: Equações do 1º grau; um pouco de

20. 19
história, monómios; noção de equação; equações equivalentes; resolução de
equações do 1º grau com uma incógnita.
O Manual da 8ª Classe.
O manual de Matemática da 8ª da Autora (Isabel do Nascimento, 2005) está
estruturado da seguinte forma: Equações do 1º grau a uma incógnita; equações
literais; equações do 2º grau; lei do anulamento do produto.
Segundo, Jungk (1982, p.67-69), o manual da classe ocupa uma posição especial
entre toda a bibliografia a disposição do professor e alunos, pois apresenta o
conteúdo completo, estruturado metodologicamente e orientado estreitamente pelo
programa e é dele que o professor toma os valiosos detalhes sobre os distintos
passos no ensino do conteúdo mediante as explicações, os exemplos e reconhece
melhor as exigências do programa.
Verificando o programa e o manual facilmente chega-se a conclusão que os
mesmos não estão em consonância:
 O tempo indicado pelo programa não é suficiente para tratar tais conteúdos.
 O Manual não precisa o sistema de conhecimentos e habilidades.
 O Manual não faz referência ao sistema de tarefas com o propósito de
desenvolver habilidades de trabalho de resolução de problemas que
conduzem a equações do 1º grau.
 A proposta de problemas matemáticos nas classes é limitada.
 Falta de sistematicidade no trabalho com os problemas dirigidos ao vínculo da
disciplina com o meio social.
Ensino das equações através da resolução de problemas nos manuais didácticos.
Uma boa sequência de ensino deve proporcionar ao aluno a aquisição de um novo
conhecimento, que lhe dê competência para utilizá-lo sempre que estiver diante de
uma situação que solicite tal conhecimento.
A partir dos livros didácticos, pode-se constatar que o primeiro contacto com as
Equações do 1º grau dá-se na 7ª classe do ensino geral, através da noção de
equação, iniciando esse estudo com um pouco de história e resolvendo alguns
exercícios pelo método algébrico. Deste modo veremos como surgem as equações,
como se fossem a tradução simbólica do enunciado de tal problema.
Exemplo: A senhora Júlia Candimba foi ao talho e comprou frangos no valor de Kz
900,00 e carne no para bife por Kz 1500,00, tendo ainda regressando a casa com Kz
1000,00. Para sabermos quanto dinheiro a Senhora Júlia levou ao talho, vamos

21. 20
considerar como x a quantidade de dinheiro que desconhecemos. Esta será a
incógnita. Então teremos: x – kz 900,00 – kz 1500,00 = kz 1000,00.
O valor de x que torna a igualdade verdadeira é kz 3400,00; portanto x = 3400,00 é a
raiz ou solução do problema.
Posteriormente visa sobre tudo esclarecer aspectos de terminologia como
“igualdade,” identidade”, equação”, “incógnita”, “solução ou raiz”, “ grau da equação”,
equações numéricas” e “literal, e “ equações equivalentes”.
O manual da 8ª classe da autora Isabel do Nascimento (2005), quanto ao conteúdo
das equações o livro começa em apresentar um exemplo de um problema com
equação faccionária, que serve para compreender situações da vida real e
interpretando-as (p.29).
Critica aos manuais sobre a apresentação das equações.
Feita a abordagem aos conteúdos que são leccionado nas classes onde é
introduzido e diga-se, onde é desenvolvido o conteúdo, agora far-se-á uma
observação aos dois manuais utilizados nessas classes quanto a forma como é
apresentado o conceito de equação e resolução de problemas que conduzem à
equações, para tal o autor adoptou os seguintes critérios:
I. Que situação é utilizada na apresentação das equações,
II. Se as situações variam nas apresentações,
III. Que modelo é utilizado,
IV. Se os alunos são colocados frente a situações vividas no decorrer da história
para o desenvolvimento desse conceito,
Da observação feita aos manuais da 7ª e 8ª Classes pode-se inferir que:
a) São apresentadas algumas ilustrações, plantação de 31 árvores pelos alunos
do período da manha e 41 pelos alunos da tarde e, pergunta-se quantas
árvores foram plantadas? (Octávio, 2009; 7ª classe – pág. 108), Para a
formação do conceito de equação.
b) Contudo, estas situações são simplesmente ilustrações para mostrar o que se
quer ensinar pois os alunos não participam delas.
c) Não há variação de situação que permite ao aluno dar um significado ao que
está aprendendo, o modelo é estático, ao aluno não é colocada outra
situação-problemas.
d) A proposta (modelo) de problemas matemáticos nas classes (7ª e 8ªclasses)
é limitada.

22. 21
e) Não se faz nenhuma referência à história do surgimento desta importante
área da álgebra (manual da 8ªclasse), o aluno não é colocado frente a uma
situação-problemas vivenciados no dia-a-dia.
f) Em nenhum dos manuais se faz referência à leitura das equações do 1ºgrau o
que dificulta a aquisição de uma linguagem aceitável levando a um
desenvolvimento precário da linguagem e reconhecimento das equações.
Tal como referido na introdução, quando se levantou o problema, deduziu-se a
existência de dificuldade na aprendizagem das equações do 1º grau através da
resolução de problemas no processo de ensino e aprendizagem da Matemática e,
assim, passa-se a abordagem de tais aprendizagens.
1.3 O ensino e a aprendizagem da matemática.
O processo de ensino-aprendizagem se forma e desenvolve a partir da actividade e
a comunicação. É um sistema resultado da interacção de seus componentes
(relação estrurura função). Constitui a via mediatizadora essencial para apropriação
do conteúdo e, mostra a unidade entre o ensino, a aprendizagem, a instrução, a
educação e, o desenvolvimento do aluno.
Ensinar é organizar de forma sistémica, planificada e cientifica a condições
susceptiveis de potenciar o tipo de aprendizagem que possibilitam o processo de
enriquecimento e crescimento multilateral dos recursos pessoais e da personalidade
do educando. Ensinar possibilita e orienta a participação do indivíduo no processo
de apropriação e reconstrução do conhecimento.
Ensino significativo: processo em que o aluno deve transformar o significado logico
(linguagem em que se fala), em significado psicológico (linguagem em que se
aprende).
A aprendizagem é o processo dialectico através do qual, o sujeito se apropria-se
dos conteúdos e as formas da cultura que transmitem-se na interacção com outras
pessoas por meio da comunicação.
Aprender é o processo de participação, colaboração e de interacção na turma, na
comunidade com os outros, no que se combina o papel activo e protagonico da
pessoa e a mediação social, quer dizer que inclui a construção social do
conhecimento.
Aprendizagem significativa: processo de aprendizagem através do qual os novos
conhecimentos incorporam-se de forma substantiva na estrutura cognitiva do aluno.

23. 22
Para motivar o estudante deve relacionar os novos conhecimentos com os
anteriormente adquiridos e, interessar-se por aprender o conteúdo que se apresenta,
supõem-se a significatividade lógica e psicológica do conteúdo.
A teoria da aprendizagem significativa tem uma influência muito grande da
educação.
Para Ausubel (1978), esta teoria tem exercido uma enorme influência da educação e
baseia-se num modelo construtivista dos processos cognitivos humanos.
Para Moreira (2001,p.17):” aprendizagem significativa é um processo pela qual uma
informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimento do
indivíduo”.
Acontece o aprendizado significativo quando uma nova informação é adquirida
mediante um esforço deliberado por parte do aprendiz em ligar a informação nova
com conceitos ou proposições relevantes preexistentes em sua estrutura cognitiva.
(Ausubel et. al., 1978,p.159).
Para Ausubel (1978 aup Moreira, 2001, p.23), “ para haver aprendizagem
significativa precisa haver duas condições: a de o aluno ter disposição de aprender e
o material a ser aprendido tem que ser potencialmente significativo, ou seja,
psicologicamente e logicamente significativo”.
O interessante da aprendizagem é incorporar preferencialmente coisas importantes
que exerçam influência transcendente sobre a própria conduta, e dizer, coisas que
são capazes de influir significativamente sobre a conduta. (Ontoria, 1995, p.29).
Erros e dificuldades na aprendizagem das Equações:
A Álgebra é considerada por muitos alunos como um ramo da Matemática
particularmente difícil pois, muitas vezes, quando o aluno tem com ela um contacto
formal, já parte de crenças e preconceitos próprios (Pesquita, 2007). Muitas das
dificuldades dos alunos estão relacionadas com o aparecimento de novos símbolos
e com a mudança de significado de alguns símbolos já existentes, como acontece
por exemplo com o símbolo “=”. Em Aritmética o símbolo de “=” realça mais o seu
sentido operacional, ou seja, 5 + 7 = 12. Em Álgebra, x + 5 = 7, não se refere a uma
operação, mas sim a uma condição, o sinal “obriga” a procura de um valor que torne
a expressão verdadeira (Ponte, Branco & Matos, 2009).

24. 23
Por outro lado, as letras são símbolos usados em diversos contextos e com distintas
interpretações. Como referem Davis & Hersh (1995) “reaparecem as letras usuais,
mas num contexto absolutamente novo e surpreendente: no papel de incógnita e
variável”.
Kieran (2007 p.123), tendo por base o trabalho de Kuchemann, descreve seis níveis
de interpretação da letra:
(i) Letra avaliada: é atribuído um valor numérico à letra logo no início, sem qualquer
operação sobre ela, enquanto incógnita;
(ii) Letra não considerada: a letra é ignorada ou a sua existência é reconhecida mas
não lhe é atribuído significado;
(iii) Letra como objecto: a letra é vista como abreviatura para objectos ou como
objectos concretos;
(iv) Letra como incógnita: a letra é entendida como um número específico, mas
desconhecido;
(v) Letra como número generalizado: a letra é entendida como uma representação
de vários números;
(vi) Letra como variável: a letra é entendida como representando um conjunto de
valores desconhecidos e é vista a existência de uma relação sistemática entre dois
conjuntos de valores.
Booth (1988,p.20-32) e Rojano (2002), citado em Ponte (2006,p.195), identificam,
outro tipo de dificuldades sentidas pelos alunos, na passagem da Aritmética para a
Álgebra, entre elas:
(i) Dar sentido a uma expressão algébrica;
(ii) Não ver a letra como representante de um número;
(iii) Atribuir significado concreto às letras;
(iv) Pensar numa variável como representante de um certo número;
(v) Traduzir informação de linguagem natural para linguagem algébrica;
(vi) Compreender as mudanças de significado, da Aritmética para a Álgebra, de
determinados símbolos;
(vii) Simplificação de expressões.

25. 24
Relativamente à resolução de equações, Ponte, Branco e Matos (2009 p. 96)
referem que, as dificuldades “surgem devido aos erros que cometem no trabalho
com expressões algébricas, por não compreenderem o significado destas
expressões ou as condições da sua equivalência” .Com que o autor concorda pelo
simples facto de vivenciar estas dificuldades diariamente na sua actividades docente
educativa.
Muitos autores se têm debruçado no estudo dos erros e das dificuldades dos alunos
na simplificação de expressões algébricas e na resolução de equações do 1º grau.
O conhecimento das dificuldades sentidas pelos alunos permite ao professor actuar
no sentido de proporcionar uma aprendizagem significativa, propondo tarefas que
contribuam para os ajudar a ultrapassá-las.
1.4- Diagnóstico da situação actual do ensino e da aprendizagem da equação de primeiro
grau na matemática oitava classe.
Um diagnóstico é uma forma de olhar, seleccionar variáveis, discernir e, finalmente,
formar juízos sobre os factos e pessoas observadas. De um diagnóstico resulta uma
recomendação de acção, que pretende estabelecer algum nível de ajuste em
relação à situação diagnosticada.
A fim de dar maior consistência à investigação e conhecer qual é a situação actual
do problema objecto de estudo, realizou-se um inquérito aos professores que
leccionam a 7ª e 8ª classes e uma prova diagnóstico aos alunos da 8ª classe do
Cefopescas no Namibe.
1.4.1 Concepções dos Professores
Brito (apud Klein, 2006, p. 15) considera que concepção é toda “maneira própria de
cada indivíduo elaborar, interpretar, representar suas ideias e agir de acordo com as
mesmas”. O autor considera ainda que a construção de uma concepção se dá “a
partir das experiências individuais que são influenciadas por uma série de variáveis
do ambiente”.
Para conhecer concepções que as pessoas têm sobre algo ou alguém perpassa
pelo entendimento de que a mesma tem uma natureza essencialmente cognitiva,
associados ao pensar, que actuam como filtro, dando sentido às coisas ou actuando
como um elemento bloqueador para novas situações (Ponte, 2006).

26. 25
O inquérito foi aplicado a 27 professores de Matemática da 7ª e 8ªclasse de várias
escolas situadas na cidade do Namibe, os mesmos têm uma experiência de trabalho
na docência de Matemática que vai de 3 a 26 anos e uma grande parte deles
frequenta o Ensino superior.
O inquérito foi formado por doze (12) questões com questões abertas com espaço
para opinião ou fundamentação da resposta. Tal como mostrado no anexo 1.
Analisadas as opiniões dos professores nos inquéritos, elaboraram-se as seguintes
conclusões:
Aspectos à Melhorar (Negativos):
1- Não existe um guia metodológico que sirva de apoio e orientação dos professores
na preparação das suas aulas, somente a realização de reuniões onde é distribuído
conteúdo a leccionar num determinado intervalo de tempo e que alguns professores
confundem tal reunião com guia metodológico.
2- Falta de preparação metodológica dos professores que se reflecte em não utilizar
meios ou matérias concretos nas aulas de introdução do conceito de equação, na
explicação da necessidade de introdução da resolução de problemas pois limitaram-
se a resolver exercícios com equações.
3- O livro didáctico da 7 e 8ª classe não apresenta claramente os procedimentos/
etapas a seguir para a resolução de problemas que conduzem a equações do 1º
grau, limitando se apenas a exercícios com base em fórmulas e exercícios variados.
4- O modelo de ensino em que o professor debita a matéria ainda é o mais utilizado,
cabendo ao aluno a reprodução do conhecimento e resolução de exercícios como
forma de assimilação do conteúdo
5- Existência de professores que não tem uma formação adequada para o ensino,
pois existem professores vindos da Escolas médias, como: Welwicha Mirabílis,
Agronomia, Pescas e Pólo Universitário como docentes de matemática sem
agregação pedagógica.
Aspectos Positivos
1- O grau de sinceridade com que muitos professores responderam ao inquérito e
deram sugestões muito valiosas permitiu um melhor enquadramento do problema de
investigação.
2- O reconhecimento da existência de dificuldades no ensino da resolução de
problemas que conduzem a equações do 1º grau e de suas aplicações.

27. 26
1.4.2- Resultados do diagnóstico aplicado aos alunos
O diagnóstico (teste) teve como objectivo comprovar os conhecimentos dos alunos
sobre exercícios com equações do 1º grau, bem como resolução de problemas que
conduzem equações do 1º grau, formado por três exercícios e dois problemas
(questões de identificação, realização e de aplicação dos problemas) vide em anexo
2. A avaliação teve, portanto a função diagnóstica, para posterior desenvolvimento
da intervenção.
O diagnóstico (teste) foi aplicado em 69 alunos do Cefopescas “Helder Neto” no
Namibe em quatro turmas, nos cursos de Biologia Marinha, Mecânica Diesel,
Mecânica de Frio e Electricidade, numa amostra aleatória seleccionada por sorteio
onde o critério foi o período da manhã.
a) A questão relacionada com os exercícios de aplicação os alunos tiveram
maior desempenho, com um aproveitamento de 92,75% de acertos, 4,35% de
errados e 2,90% sem resposta, como ilustra o gráfico abaixo.
Gráfico 1: Nível de desempenho dos alunos na questão dos exercícios
Fonte: Elaborado pelo autor
b) Relativamente a 2ª questão as situações-problema onde os alunos
encontraram maior dificuldade com um aproveitamento de 14,49% de acertos,
82,61% de erros e 2,9% sem resposta. O que mostra que os alunos têm
dificuldades de reconhecer um problema de um exercício, como ilustra o
gráfico abaixo.
Gráfico 2: Nível de desempenho dos Alunos na resolução de problemas
8ªA 8ªB 8ªC 8ªD
Acertos 17 11 14 24
Erros 1 0 0 2
S/Resposta 0 0 0 0
0
5
10
15
20
25
30
NºdeAlunos
Grafico 1: Nivel de desempenho dos alunos por turmas
na questão dos exercicios

28. 27
Elaborado pelo autor
1.4.3- Conclusão retirada do diagnóstico
Entre as dificuldades apresentadas pelos alunos concluímos que:
 O aluno não compreende o que lê e se limita a juntar os dados numéricos do
enunciado;
 O aluno compreende o enunciado como um todo, mas não observa alguns
detalhes importantes para a solução do problema;
 O aluno não domina o conteúdo necessário para a resolução do problema.
 Conclui-se, de maneira geral, que os alunos compreenderam que, para o
desenvolvimento de qualquer conteúdo matemático que vise obter resultados
satisfatórios, se faz necessário organização e motivação à tal fim, o que nem
sempre é fácil diante das dificuldades enfrentadas no processo
ensino/aprendizagem.
Estas conclusões evidenciam a necessidade de uma reflexão sobre o tratamento
destas questões na formação contínua, a fim de possibilitar aos professores do 1º
ciclo do ensino secundário um melhor entendimento acerca da resolução de
problemas como metodologia e como competência matemática a desenvolver na
sala de aula e das implicações que daí resultam para a aprendizagem de
matemática.
0
5
10
15
20
25
8ªA 8ªB 8ªC 8ªD
Acertos 6 1 0 3
Erros 10 10 14 23
S/Resposta 2 0 0 0
AxisTitle
Gráfico 2: Nivel de desempenho dos alunos por turmas na
resolução de problemas

29. 28
Conclusõesdo Capítulo I
Depois de uma abordagem exaustiva dos diferentes aspectos tratadas
anteriormente, pode – se concluir o seguinte:
1. Equações do 1º grau é um conteúdo temático da Matemática que envolve
conceitos base desta disciplina e também cálculos e, tem sido um dos conteúdos
com maior dificuldade de aprendizagem por parte dos alunos do 1º ciclo do ensino
secundário.
2. Para uma mudança do modelo tradicional de ensino considera-se neste trabalho;
um modelo baseado na teoria do enfoque histórico-cultural de Vygotsky e seus
seguidores J. Piaget, Ausubel com a teoria da aprendizagem significativa e outros,
onde o professor é o facilitador do processo, propiciando que os alunos sejam
participantes activos na construção dos seus conhecimentos.
3.Não obstante a reforma em curso, ainda é notório que o professor é parte activa
do processo e o aluno parte passiva na qual o autor discorda plenamente.
4. Os diferentes estudos reivindicam a necessidade de metodologia de trabalho mais
activas e participativas entre professores e alunos para passar de uma
aprendizagem mecânica para uma aprendizagem significativa do conceito de
equação do 1º grau.
5.Da análise feita quanto ao pensamento de vários autores descritos, nota-se que
existe uma grande diferença entre os conceitos de Exercícios e Problemas. No
problema a solução não está disponível de início, mas é possível construí-la, ao
passo que exercício é uma actividade de treinamento.
6.Das formas de classificação dos exercícios Matemáticos espelhados no trabalho,
notamos que cada um deles abarca um campo diferente e diferentes critérios de
utilização, mais, o mas importante não é a classificação senão a utilização que lhes
pode dar.
7. O diagnóstico de conhecimento aos alunos prova que os mesmos têm
dificuldades em trabalhar na resolução de problemas que envolvem equações do 1º
grau, como mostram os resultados em relação aos problemas com texto, 14,49%
certas, 2,9% sem resposta e 82,61% erradas.

30. 29
8. A bibliografia aponta para um ensino orientado para a aprendizagem baseada na
resolução de problemas como metodologia eficiente para a solução de problemas de
aprendizagem por colocar o aluno no contexto da ciência e de forma activa na
construção do conhecimento.

31. 30
Capítulo II. Proposta metodológica para o ensino do conteúdo vinculado às
equações de primeiro grau, baseada na resolução de problemas, em
matemática na 8ª classe.
Conhecido o problema de Investigação e o objectivo do mesmo, corresponde agora
dar solução ao mesmo. Portanto, neste capítulo consideram-se as referências do
modelo, as exigências metodológicas do modelo, o modelo teórico que contribui
para o desenvolvimento do pensamento lógico dos alunos na resolução de
problemas envolvendo Equações do 1º Grau na 8ª classe do 1º ciclo do Ensino
Secundário. Também considera-se as premissas e requisitos para aplicar a proposta
metodológica.
2.1. Fundamentos do emprego da resolução de problemas que conduzem o
ensino e a aprendizagem das equações do 1º grau.
Fundamentos psicopedagógicos:
Sabemos que a Psicopedagogia reflete sobre a inadequação pedagógica e familiar e
também na postura crítica ao fracasso escolar, como novas alternativas de acção
voltadas para a melhoria da prática pedagógica da escola.
Castro e Carvalho (1992): do ponto de vista construtivista, todo indivíduo possui um
sistema cognitivo que funciona por processo de adaptação que é perturbado por
conflitos entre duas s ideias (a do estudante e a cientifica) ou por lacunas (que se
caracteriza como ausência de teoria sobre um assunto apresentado) e cujo equilíbrio
se dá através de alguma aprendizagem ou construção de um novo saber. O
processo de desencadeamento de mudanças utiliza a teoria do equilíbrio de Piaget
(1982,p.389), considerando que o processo de mudança conceptual não seja uma
função exclusiva dos aspectos cognitivos, mas que os factores motivacionais sejam
levados em consideração.
Pintrich el al. (1993, p.167) considera que modelos cognitivos são relevantes e úteis
para conceptualizar a aprendizagem dos alunos, mas sua crença em um modelo
académico de ensino frio e puramente cognitivo pode não ser adequado para
descrever o ensino no contexto de sala de aula.
Ausubel (1978): uma condição básica para enfrenta com êxito os verdadeiros
problemas pode ser o exercício da criatividade, capacidade que é a expressão
suprema da resolução de problemas, e que implica ideias novas e originais.

32. 31
Agudo (2000): a aprendizagem cooperativa sendo uma estratégia de ensino
baseada na interacção social, e que consiste na estruturação dos objectivos de
modo a que a organização da aula crie pautas de socialização positivas face as
pautas clássicas do tipo comparativo, apresenta-se como uma alternativa eficaz ao
ensino tradicional baseado fundamentalmente em formas de aprendizagens
individuais e/ou competitivas. Assim, a aprendizagem cooperativa pode facilitar e até
deve estar relacionada com a aprendizagem baseada na resolução de problemas. A
aprendizagem cooperativa assenta no conceito de Zona de Desenvolvimento
Proximal (ZDP) que Vygotsky define como a distância entre o nível de
desenvolvimento actual tal como é determinado pela situação independente dos
problemas e, o nível de desenvolvimento potencial tal como está determinado pela
solução de problemas com ajuda de um adulto ou em colaboração com colegas
maia capacitados.
São várias as teorias que fundamentam o processo de ensino-aprendizagem de
matemática através da resolução de problemas, mais este trabalho o autor assume
o enfoque histórico-cultural de Vygotsky (2003, p.), pelo facto de sua teoria ter raízes
na teoria marxista do materialismo dialéctico, ou seja que as mudanças históricas na
sociedade e a vida material produzem mudanças na natureza humana. A resolução
de problemas no ensino da matemática pode ser considerada um tema complexo,
devidas as suas múltiplas interpretações. A hipótese de que a resolução de
problemas como ponto de partida para o ensino da matemática é considerada pelos
professores como uma prática inovadora, foi confirmada pelos indícios que
conseguimos perceber nas relações dialogadas. Ficou evidente a necessidade de
um espaço para a produção de significados pelos professores e da relevância dessa
produção para que eles não sejam simples aplicadores de conhecimentos
produzidos por outros.
Provavelmente, muitas das dificuldades que os alunos encontram na aprendizagem
das equações seja resultado de um ensino que prioriza regra e técnicas,
procedimentos sem significação, limitando sua capacidade de compreender os
conceitos que permitem o domínio do conhecimento. Para Lins e Gimenes (1997)
um projecto de educação algébrica deve compreender dois objectivos centrais:
 permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados para a álgebra;
 permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente.”

33. 32
2.1.1. Ensino da matemática baseada em a resolução de problemas.
O desenvolvimento do pensamento dos alunos se tratou de reduzir ao ensino de
técnicas para pensar, o que deu lugar a programas diversos dirigidos para as
operações cognitivas, a orientação heurística, o pensamento formal, a manipulação
simbólica ou a metacognição. Entretanto, os estudos científicos indicam que sua
pouca efetividade esteve motivada pelo fato de que tais destrezas de pensamento
se trataram de ensinar à margem da personalidade dos indivíduos, o que abre a
provocação à investigação psicológica, sociológica e pedagógica de estudar o
pensamento dentro de uma concepção integral do homem (Mitjans, 1997).
Em particular, o desenvolvimento do pensamento científico foi um objectivo
relevante de todos os sistemas educativos, que esteve influenciado também pelas
concepções epistemológicas a respeito das disciplinas. Nos últimos tempos em que
se fala de uma sociedade do conhecimento e da necessidade de um homem culto,
que possa incorporar-se ao debate das políticas científicas e tecnológicas, emerge
como maior força a necessidade de habituar aos alunos a analisar e demarcar
situações, formular-se perguntas e problemas, expor-se e argumentar hipótese,
reconhecer patrões, desenhar estratégias de solução, e valorar seus resultados e
implicações, em uma comunidade de trabalho que supere os limites das disciplinas
particulares.
A resolução de problemas foi centro de boa parte das investigações psico-
pedagógicas. Entretanto, na escola se trabalha fundamentalmente com uma
acepção do conceito problema, que o reduz a exercícios de aplicação e com texto, e
seu ensino, à instrução heurística dos alunos. Nos consideramos a resolução de
problemas em seu sentido amplo, como algo que transcende à totalidade das aulas
Seria interminável mencionar neste breve espaço as idéias que têm feito evoluir as
concepções sobre a aprendizagem e a resolução de problemas. Algumas das mais
essenciais sao:
 A concepção de uma ciência consciente de sua função social, na qual
interessa a eficácia de seus métodos para o desenvolvimento de novas
tecnologias.
 A compreensão do papel da activação e a regulação das aprendizagens, de
revelar seu significatividade na ordem conceptual, experiencial e afectivo,
assim como de atender aos aspectos afectivos que incidem sobre eles.

34. 33
 O entendimento da necessidade de dirigir o processo docente-educativo
centrado no aluno, valorando o desenvolvimento alcançado por ele e suas
potencialidades, assim como o papel da socialização e a comunicação na
assimilação dos conteúdos e o desenvolvimento de sua independência
cognoscitiva.
No âmbito do ensino-aprendizagem das ciências existem muitas concepções em
relação com o conceito problema. Neste contexto nos interessa destacar que tem
três significados implícitos: o de colocar a alcançar, o de obstáculo ou conflito a
superar e o de ter sentido, para a pessoa que o enfrenta. Tanto a situação inicial e a
meta podem ser precisas ou imprecisas e a situação final pode ser conhecida ou
desconhecida, o qual dá capacidade também a incluir os chamados problemas
abertos. Pelo resto, é importante esclarecer que concebemos a própria actividade de
formular e expor um problema como actividade de resolução de problemas.
Entretanto, todos conhecemos que nas salas-de-aula não se trabalha geralmente
com verdadeiros problemas, e sim com o chamado escolar, “cujo objectivo
fundamental é a fixação de conteúdos de uma disciplina dada, são tipificados, em
maior ou menor medida, e para cuja solução se desenvolvem procedimentos mais
ou menos rotineiros”. Esta situação provém da falta de compreensão de que
adquirimos conhecimentos para resolver novos problemas e resolvemos problemas
para adquirir novos conhecimentos.
Por outra parte, o conceito resolução de problemas foi e é manipulado, tanto no
plano da investigação como no da prática escolar, com um sinnúmero de
significados diferentes – como um complexo de matéria ao final de uma unidade,
como um meio para obter um fim, como uma habilidade, ou como uma situação
típica”, quer dizer, como uma situação que se pode estruturar do ponto de vista
metodológico de forma análoga em cada ocasião que se presente nas aulas ou
partes destas.
Hoje a resolução de problemas se considera uma competência cuja especificidade
depende do domínio das ciências onde desenvolve-se e cuja análise não se pode
fazer à margem da personalidade dos alunos. Para que os alunos aprendam a
resolver problemas parecem ser importantes os recursos cognitivos e as estratégias
de pensamento com que contam, o conhecimento que têm de seus próprios
processos de pensamento e a regulação de este durante a resolução de um
problema, suas crenças sobre a ciência e sua aprendizagem, os aspectos afetivos

35. 34
que incidem em seu desempenho em uma área dada e a qualidade das interações
que desenvolvem-se na comunidade onde realizam suas aprendizagens.
(Schoenfeld, 1992; Llivina, 1999).
No que segue consideraremos que a idéia ou princípio mais importante que subjaze
ao pensamento científico e à resolução de problemas é o da problematização, que
faz ênfase no processo de resolução de problemas, e não só no produto, com o qual
não nega-se a importância de adquirir conhecimentos e habilidades específicos.
Deste modo valoramos que o essencial radica em organizar a atividade e a
comunicação no sala-de-aula, de modo de propiciar a reflexão dos alunos, e
favorecer a compreensão conceptual, a elaboração de procedimentos por eles
mesmos e a análise de quais métodos são adequados, obtendo que isto aconteça
em todas as aulas e não em algumas ou partes delas. (Hiebert e outros, 1996).
Os modelos que apontam para as estratégias gerais que devem ficar em prática
para resolver um problema dado (Polya, Schoenfeld, Guzmán, Friedman, Bell,
Campistrous e Cacho, Sifredo, Pinheiro, entre outros), foram objecto de
aprendizagem durante os processos de formação inicial ou permanente em nosso
país. Logo, as maiores dificuldades radicam, mais que em tratamento metodológico
que lhe pode dar a um problema dado (geralmente em sentido estreito), na
estruturação da resolução de problemas com o passar do currículo.
Entendemos que segue tendo validez o expresso no quadro do cognitivismo em
relação com a percepção global dos objetivos através dos tipos de problemas ou
tarefas típicas que dão sentido aos conhecimentos e habilidades específicas que se
estudam (Hernández, 1993). Ou seja, compartilhamos que é necessário revelar aos
alunos do início quais tipos de problemas novos vão se resolver ou quais tipos de
problemas velhos vão se abordar agora com novos recursos (Rebollar, 1999;
González, 2002). Os problemas devem dar sentido também às estratégias gerais de
pensamento e aos procedimentos lógicos e heurísticos, que os alunos devem pôr
em marcha.
Em consequência, somos do critério de que ao planificar os sistemas de aulas
devem determinar tipos de tarefas que permitem o lucro dos objectivos da disciplina
e do grau. Em sua selecção deve atender-se tanto às idéias e estratégias de
pensamento que podem contribuir a desenvolver, como a significatividade das
mesmas para os alunos, o que implica que sejam acessíveis e tenham relação com
o mundo experiencial e afetivo dos alunos. É por isso que os docentes devem

36. 35
conhecer não só o que sabem seus alunos, mas também como raciocinam, como
regulam sua actividade, quais são seus estilos de aprendizagem e de motivação,
quais suas aspirações, expectativas e atribuições, qual é seu entorno, entre outros
elementos. No possível deve tratar-se de que as tarefas, sejam problemas tenham
mais de uma via de solução e sejam geralizaveis.
A actividade reflexiva e a problematização nas aulas dependerão mais do clima que
se consiga criar nestas, que da natureza das tarefas. Por isso é importante que o
docente tenha em conta ao planificar, desenvolver e avaliar suas aulas que:
 as tarefas se adequem às condições prévias e possibilidades dos diferentes
alunos, assim como do contexto,
 os alunos não conheçam de antemão os recursos que devem utilizar,
 se de margem a formular perguntas e a que os alunos tenham tempo para
reflectir,
 os impulsos que se proporcionem permitam a atividade reflexiva, a
compreensão conceptual e que se elaborem procedimentos próprios,
 se repense, generalizem ou elaborem novas tarefas a partir da dada,
 exija-se que os alunos expliquem suas idéias uns aos outros, a pequenos
grupos ou à totalidade do sala-de-aula, de forma completa e não com
monossílabos.
 trabalhe-se com os enganos para indagar suas causas, não se despreze o
que dizem os alunos e se propicie a avaliação individual e coletiva.
 faça-se uma análise do ganho metodológico das tarefas, atendendo tanto
aos conhecimentos, habilidades particulars, modos e estratégias gerais de
pensamento que podem ser transferidos a outras similares.
A prática geral foi utilizar variadas estratégias de raciocínio para resolver problemas
de um domínio dado, muitas vezes a modo de receitas, como bem assinalam
Campistrous e Cacho, (Campistrous e Cacho, 1999), mas menos a de ver como
essas estratégias funcionam em diversos domínios. Em geral, comprovou-se que
existem muitas dificuldades na transferência destas estratégias de resolução de
problemas de um domínio a outro.
O conhecimento dos alunos sobre si mesmos, sobre seus conhecimentos em um ou
vários domínios e sobre sua execução neles, se conhece como metacognicao.
Comprovou-se que na medida que estes adquiram uma maior compreensão
conceptual e sejam mais eficientes, estarão mais capacitados para regular seus

37. 36
próprios processos de resolução, e que a condução do docente e a organização e
comunicação na aula são decisivas neste sentido.
Mas as crenças que têm os docentes sobre as ciências, seu ensino e aprendizagem,
seu papel como docentes, o de alunos particulares e o de tipo de alunos são
também muito importantes. (Schoenfeld, 1998). Algumas das crenças mais
generalizadas a respeito da possibilidade de que os alunos aprendam a resolver
problemas e se possam problematizar as classes são as seguintes:
 "Meus alunos estiveram muito motivados com a introdução do tema, mas
assim que tratei de lhes ensinar o procedimento, voltaram para as mesmas
atitudes de sempre".
 "Não sei até onde posso promover a atividade reflexiva e até onde tenho que
exercitar, pois se meus alunos não dominam os procedimentos, não obtenho
resultados."
Nestas colocações se aprecia que os procedimentos não se tratam no sala-de-aula
a partir da compreensão conceptual dos alunos. Neste sentido é preciso ter em
conta que em muitas ocasiões não existe correspondência entre as crenças e as
práticas dos docentes (Thompson, 1994), o que é índice de que não existe uma
relação linear entre umas e outras. Só quando se conseguirem modificar estas
crenças, poderão-se variar os objetivos particulares que o próprio docente se situe
ao curto, médio e comprido agrado com seu ensino.
Neste ponto nos parece importante advertir algumas das principais barreiras que se
opõem a que nas aulas prepondere a atividade reflexiva e de fazer sentido:
 A existência de um pensamento docente espontâneo apoiado em concepções
de sentido comum (Gil, 1994), ou com outras palavras, crenças docentes
enraízadas na cultura e a tradição, que determinam as decisões que se
tomam em um momento dado (Schoenfeld, 1998).
 O fato de que os programas orientem a respeito das tarefas que devem poder
realizar os alunos com determinados conhecimentos e habilidades
específicas, mas não sobre as instrumentações intelectuais e destrezas de
pensamento que devem desenvolver.
 A exigência do sistema educativo de que os alunos tenham assimilado certos
conhecimentos e habilidades em um período de tempo dado, o qual é sujeito
a medições sistemáticas para valorar a qualidade com que se desenvolve o

38. 37
processo docente - educativo na instituição escolar, o qual não ajuda ao
docente a atuar com maior liberdade e criatividade.
 A circunstância de que o estado actual de arte não reporta ainda resultados
em determinadas áreas vinculadas ao desenvolvimento do pensamento e a
resolução de problemas.
 A solidão em que se encontram às vezes certas disciplinas no esforço por
desenvolver o pensamento dos alunos e a falta de um trabalho metodológico
coeso de todas as disciplinas.
Como se aprecia, são muitos os fatores que incidem na direção da aprendizagem da
resolução de problemas. Evidentemente não grosseiras assegurar o domínio de
determinados recursos e heurísticas. Por isso pensamos que na capacitação dos
docentes devessem existir espaços para:
 Debater as crenças errôneas de docentes e alunos.
 Intercambiar a respeito de como se pode ter uma aproximação à estrutura
cognitiva dos alunos, seu pensamento, seus processos metacognitivos e os
aspectos afetivos que incidem em sua aprendizagem.
 Preparar unidades de ensino, fazendo ênfase na determinação das aulas de
tarefas ou problemas que dão sentido a um conceito, relação ou
procedimento dado e que contextualizam os objetivos no nível e o grau,
valorando o proceder metodológico a seguir e seus resultados, assim como
as relações que se podem estabelecer entre diversas disciplinas.
 Discutir os resultados do trabalho científico- metodológico dos docentes em
relação com a resolução de problemas.
É necessário que os resultados inquiridores que se foram obtendo durante as
últimas décadas em relação com a resolução de problemas entrem nas salas-de-
aula através de seu "redescobrimento" e socialização pelos docentes, mediante um
sistema de capacitação que tenha um enfoque sistêmico, tanto por seus objetivos
como pelas formas que adote.
Alternativa de ensino na educação matemática.
O ensino da Matemática precisa estar interligado com as demais áreas do
conhecimento e com situações práticas do quotidiano, afinal ensinar matemática
sem explicitar a origem e as finalidades dos conceitos não contribui para a formação
integral do aluno. O professor necessita proporcionar um ambiente motivador de tal

39. 38
modo que todos os alunos se sintam seguros e capazes de solucionar os desafios
propostos.
Para melhor viabilizar o ensino da matemática é trabalhar de forma lúdica, dinâmica,
sistémica e produtiva, de modo que o ensino se torne prazeroso e não maçante.
Nessa perspectiva, tem-se fomentado algumas considerações a respeito de diversas
possibilidades metodológicas, cabendo ao professor empregar a que julgar mais
conveniente em seu trabalho. A seguir, uma breve conceptualização a respeito de
algumas alternativas no ensino da matemática.
 Etnomatemática: A Etnomatemática consiste em fazer com que a
matemática seja mais próxima do contexto sócio-histórico e cultural do
aluno. Ela procura aproximar os conteúdos trabalhados na escola com
os conceitos matemáticos informais construídos a partir da realidade
dos educandos. A prática vivenciada pelos estudantes faz com que ele
identifique a acção, determine a teoria e organize os resultados e
pensamentos sobre como solucionar as situações-problema propostas.
A Etnomatemática vem sendo muito difundida. Ubiratan D’Ambrósio afirma:
“A matemática é uma estratégia desenvolvida pela espécie humana ao longo de sua
história para explicar, para entender, para manejar e conviver com a realidade
sensível e perceptível, e com o seu mundo imaginário, naturalmente dentro de um
contexto natural e cultural.” (D'Ambrósio 1996, p. 7).
Ainda de acordo com D’ Ambrósio (2002, p.35-41), a Etnomatemática procura
entender e explicar as diversas maneiras em que o conhecimento matemático é
contextualizado no meio social, nas diferentes culturas ao longo da história da
humanidade. Dessa forma, a Etnomatemática tem a finalidade de ensinar
Matemática partindo de problemas provenientes do meio cultural onde os educandos
estão inseridos, e ainda a relação entre aluno e professor deveria estar
fundamentada nas trocas de conhecimento entre eles.
Assim, o ensino da matemática deve estar pautado em uma visão mais ampla,
valorizando os aspectos sociais e culturais, contribuindo para mudanças no ensino e
aprendizagem, percebendo que essa ciência está presente nas actividades próprias

40. 39
do ser humano como algo natural, podendo conhecer melhor a cultura e abordar o
conhecimento matemático de forma mais concreto e humanizado.
 Modelagem Matemática: A Modelagem Matemática é entendida como
a aplicação da matemática em outras áreas do conhecimento. Através
da modelagem, problemas reais são transformados em uma linguagem
matemática.
Segundo Bassanezi (2002, p. 56), “a modelagem consiste essencialmente na arte de
transformar problemas da realidade e resolvê-los, interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real”. A modelagem se torna interessante para que as pessoas
possam actuar e agir no espaço em que vivem, respeitando e valorizando a cultura
local.
Ainda de acordo com Bassanezi, “a utilização da Modelagem como uma estratégia
de aprendizagem, além de tornar um curso de matemática atraente e agradável,
pode levar o aluno a: desenvolver um espírito de investigação, utilizar a matemática
como ferramenta para resolver problemas em diferentes situações e áreas, entender
e interpretar aplicações de conceitos matemáticos e suas diversas facetas,
relacionar sua realidade sócio-cultural com o conhecimento escolar e, por tudo
preparar os estudantes para a vida real, como cidadãos actuantes na sociedade.”
(Bassanezi (2002, p.38).
O trabalho com a Modelagem Matemática provém de temas propostos pelo grupo,
logo, o ensino de Matemática torna-se dinâmico e significativo, uma vez que parte
do conhecimento que o aluno possui sobre o assunto. Dessa forma, atribui maior
significado ao contexto, permitindo o estabelecimento de relações matemáticas, a
compreensão e o significado dessas relações. Nessa perspectiva, o professor se
constitui como mediador entre o conhecimento matemático elaborado e o
conhecimento do aluno.
 Resolução de Problemas: A resolução de situações-problema é um
método que auxilia na construção de conceitos, procedimentos e
atitudes relacionadas com a matemática. Ela sempre oferece algum
tipo de dificuldade que entusiasma a busca de soluções, o que resulta
na produção de conhecimento.
De acordo com Dante, “Situações-problema são problemas de aplicação que
retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da Matemática para serem

41. 40
resolvidos... Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se
matematizar uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos,
fazendo operações, etc. Em geral, são problemas que exigem pesquisa e
levantamento de dados. Podem ser apresentados em forma de projectos a serem
desenvolvidos usando conhecimentos e princípios de outras áreas que não a
Matemática, desde que a resposta se relacione a algo que desperte interesse.”
(Dante, 2003, p. 20).
Quando se ensina através da resolução de problemas, os educandos aprendem a
determinar respostas às questões diversas, sejam elas questões escolares ou da
vida quotidiana. Ao resolvermos uma situação-problema, antes de utilizarmos os
conceitos matemáticos, devemos interpretar e entender, portanto, pode-se dizer que
a dificuldade em resolver situações-problemas não é uma dificuldade da disciplina
de matemática, e sim uma dificuldade interdisciplinar.
São vários os factores que levam um aluno a ter dificuldade em interpretar textos ou
problemas, o principal deles é a falta do hábito da leitura, portanto, deve-se
incentivar a leitura e utilizar-se dela abundantemente para atingir resultados
satisfatórios na resolução de situações-problemas.
Um problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo
as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a
tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível,
poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na
mente e no carácter”. (Polya, 1986).
 Jogos Matemáticos: O jogo desempenha um papel importante no
ensino da Matemática. Através do jogo, temos a possibilidade de
adicionar o lúdico na escola, não só como recreação e passatempo,
mas como um recurso didáctico capaz de permitir o desenvolvimento
da criatividade. Ensinar matemática é desenvolver o raciocínio lógico e
estimular o pensamento independente, desta forma, o jogo pode ser
uma opção para acrescer a motivação para a aprendizagem, ampliar a
autoconfiança, a organização, a concentração, a atenção e o raciocínio
lógico-dedutivo.
Segundo Smole, “Todo jogo por natureza desafia, encanta, traz movimento, barulho
e uma certa alegria para o espaço no qual normalmente entram apenas o livro, o

42. 41
caderno e o lápis. Essa dimensão não pode ser perdida apenas porque os jogos
envolvem conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para que os
alunos sintam-se chamados a participar das actividades com interesse.” (Smole,
2007, p. 10).
Nessa perspectiva, Grando afirma que “A inserção do jogo no contexto de ensino de
Matemática representa uma actividade lúdica, que envolve o desejo e o interesse do
jogador pela própria acção do jogo, e mais, envolve a competição e o desafio que
motivam o jogador a conhecer seus limites e suas possibilidades de superação de
tais limites, na busca da vitória, adquirindo confiança e coragem para se arriscar”.
(Grando, 2000 p. 32)
Os jogos são recursos com os quais os educandos podem produzir e compreender
conceitos matemáticos, além de criar estratégias para atingir seu objectivo. Assim,
com a mediação é possível a elaboração e o apropriamento de conceitos explorados
no decorrer do jogo.
 História da Matemática: A história da matemática auxilia os alunos a
entender essa área do conhecimento em seu processo de evolução.
Contribui igualmente, para desmistificar a ideia de que a matemática é
uma ciência pronta e acabada. Apresentar a matemática construída
por diferentes povos, em diferentes épocas, ajuda os alunos a
entenderem os conceitos, procedimentos e sistemas matemáticos.
É importante perceber a história da Matemática no contexto da prática escolar como
componente necessário, para que os educandos compreendam a origem da
Matemática e sua importância na vida da humanidade. A história da Matemática
pode ser um elemento orientador na planificação de actividades, na elaboração das
situações-problema, na melhor compreensão dos conceitos matemáticos. Dessa
forma possibilita ao aluno analisar e discutir determinados fatos, raciocínios e
procedimentos.
 Investigação Matemática: A utilização de Investigação Matemática
como alternativa de ensino em sala de aula auxilia na aprendizagem
dos conceitos matemáticos, sendo assim favorece o desenvolvimento
de habilidades cognitivas no aluno, afinal, ele precisa fazer conjecturas
para conseguir chegar ao desenlace de uma determinada situação.

43. 42
O conceito de investigação matemática, como actividade de ensino-aprendizagem,
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da actividade matemática [...]. O aluno é
chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e
conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação
de resultados e na discussão de argumentação com os seus colegas e o professor.
(Ponte; Brocardo e Oliveira, 2006, p.23).
Na tarefa de investigação, para se obter sucesso na aprendizagem deve-se
investigar todos os caminhos que surgem de uma situação dada.
[...] uma investigação é uma viagem até o desconhecido [...], o objectivo é explorar
todos os caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada situação. É
um processo divergente. [...] sabe-se qual é o ponto de partida mas não se sabe
qual será ponto de chegada (Fonseca, Brunheira e Ponte, 2008, p.4).
 Tecnologias da Informação: Segundo Ortega (2004), a escola precisa
formar pessoas integralmente, de maneira, que as tecnologias da
informação, facilitem a preparação do aluno dentro da sociedade.
As tecnologias da informação e comunicação na sala de aula deve ser uma nova
forma de trabalho, vista pelos educadores, como uma ferramenta, um recurso
didáctico, que auxilia na aquisição do conhecimento, onde o aluno é capaz de
interagir com o meio.
Nesse contexto Moran afirma que: As actividades didácticas que contemplam a
tecnologia da informação permitem além da tarefa proposta, em ritmos próprios e
estilo de aprendizagem. Os alunos são dotados de inteligência múltipla e podem ser
despertados para colocar suas habilidades e competências a serviço da produção
do conhecimento individual e colectivo. (Moran, 2006).
Assim, ao incrementar as aulas usando os recursos tecnológicos, o professor
permite que a aprendizagem ocorra em diferentes lugares e por diferentes meios.
Portanto, cada vez mais as capacidades para criar, inovar, imaginar, questionar,
encontrar soluções e tomar decisões com autonomia assumem importância.
Caracterização de resolução de problemas na Republica de Angola.

44. 43
A caracterização da educação matemática, em termos de Resolução de Problemas,
reflecte uma tendência de reacção há caracterizações passadas, que a
configuravam como um conjunto de factos, como o domínio de procedimentos
algorítmicos ou como um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício
mental.
Hoje, a tendência é caracterizar esse trabalho considerando os alunos como
participantes activos, os problemas como instrumentos precisos e bem definidos e a
actividade na Resolução de Problemas como coordenação complexa simultânea de
vários níveis de actividade.
de aula As referências, indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida
das actividades matemáticas e discutem caminhos para se fazer Matemática na
sala.
Nos últimos anos a resolução de problemas tem sido a área da educação
matemática onde se tem feito mais investigações. Contudo, continua a existir um
fraco conhecimento da resolução de problemas nas nossas escolas, dando mesmo
a sensação de que a situação é algo confusa. Este quadro, relativamente
pessimista, prende-se com dificuldades de vária ordem como por exemplo:
 Distinguir os processos utilizados na resolução de problemas;
 Desenvolver instrumentos que permitam avaliar com segurança que esses
mesmos processos e;
 Identificar métodos de ensino e de investigação mais adequados para
desenvolver e analisar a actividade de resolução de problemas (Fernandes,
2010,p.135).
No ensino da matemática no nosso país no 1º ciclo do ensino secundário não se
contempla exigências de carácter metodológico dirigidas ao desenvolvimento de
habilidades na resolução de problemas matemáticos, e muito menos ao alcance de
competências neste sentido que contribua para o desenvolvimento de uma
aprendizagem significativa e desenvolvedora dos alunos.
O processo de ensino-aprendizagem da matemática no 1º ciclo do ensino
secundário no Namibe, não está alheio a esta situação, pois que pelo seu plano de
estudo (vide anexo) carecem de todas aquelas exigências, pois que tal plano de
estudo e programa apresentam somente sistema de conhecimentos e não faz
referência a um sistema de habilidades a alcançar.
Os alunos do Centro de Formação Profissional das Pescas Cefopescas ”Hélder
Neto” apresentam sérias dificuldades matemáticas, em particular relacionadas à