Este documento discute a proposta de uma nova abordagem metodológica para o ensino de equações de primeiro grau baseada na resolução de problemas. Primeiro, apresenta os fundamentos teóricos e a caracterização atual do processo de ensino-aprendizagem de matemática na 8a série. Em seguida, descreve a proposta metodológica, incluindo exemplos, e analisa os resultados de sua validação com alunos e professores. Por fim, apresenta conclusões e recomendações sobre como melhorar o ensino e aprendizagem deste conte

1. 0
Índice
Introdução. Desenho teórico-metodológico da investigação..................................................................................1
Capitulo I – Fundamentos teórico-metodológicos e Caracterização do processo de Ensino-Aprendizagem da
Matemática na 8ª Classe. ............................................................................................................................................8
1.1- O processo de ensino-aprendizagem da matemática..............................................................................8
1.2- Caracterização do Processo de Ensino-Aprendizagem de Matemática na 8ª classe do 1º ciclo do ensino
secundário...................................................................................................................................................................12
1.2.1- A disciplina Matemática em oitava classe no 1º Ciclo do Ensino Secundário.....................................................14
1.2.2- Os Manuais e sua estrutura.................................................................................................................................18
1.3- O ensino e a aprendizagem da matemática............................................................................................21
1.4- Diagnóstico da situação actual do ensino e da aprendizagem da equação de primeiro grau na matemática
oitava classe................................................................................................................................................................24
1.4.1- Concepções dos Professores................................................................................................................................24
1.4.2- Resultados do diagnóstico aplicado aos alunos...................................................................................................26
1.4.3- Conclusão retirada do diagnóstico.......................................................................................................................27
Capítulo II- Proposta metodológica para o ensino do conteúdo vinculado às equações de primeiro grau, baseada
na resolução de problemas, em matemática na 8ª classe..................................................................................30
2.1- Fundamentos do emprego da resolução de problemas que conduzem o ensino e a aprendizagem das
equações do 1º grau …..…………………………………………………………………………………………………………………30
2.1.1- Ensino da matemática baseada em a resolução de problemas...........................................................................32
2.1.2- Problemas Versus exercícios:diferenças.............................................................................................................48
2.1.3. Etapas da resolução de problemas, segundo a metodologia de Polya................................................................52
2.1.4. Estratégias de resolução de problemas da matemática escolar que conduzem a equações do 1º grau. ..........54
2.2- Formas de organização e conteúdo da experimentação……………………………………………………………………………………55
2.3- Metodologia que sustenta á proposta metodológica………………………………………………………………………………………..56
2.4- Exigência pedagógico-didáctica da proposta metodológica……………………………………………………………………………..57
2.4.1- Exemplos da aplicação da proposta metodológica.............................................................................................63
Capitulo III- Apresentação e análise de dados. Validação da proposta metodológica...................................68
3.1- Descrição e análise do questionário - População e Amostra……………………………………………………………………………..68
3.2- Resultado diagnóstico de conhecimento aplicado aos alunos…………………………………………………………………………..70
3.3- Analise dos resultados do inquérito aplicado aos professores..............................................................................71
3.4- Validação da proposta metodológica……………………………………………………………………………………………………………….74
Conclusões Gerais .....................................................................................................................................................77
Recomendações.........................................................................................................................................................78
Referências bibliográficas
Anexos...

2. 1
Introdução
No quotidiano escolar, ainda é usual fazer o aluno memorizar o conteúdo e decorar
aquela forma específica de resolver um determinado exercício que poderá servir
para resolver outras tarefas nos anos seguintes. As tarefas propostas em sala de
aula enfatizam um aprender matemática pela matemática. Esta prática tem resultado
em uma aprendizagem insuficiente da matemática que cria a necessidade de buscar
alternativas para melhorar a actual situação do problema.
Uma alternativa que tem sido indicada para melhorar a aprendizagem da
matemática é a utilização da estratégia metodológica da resolução de problemas.
Entretanto, a resolução de problemas como estratégia metodológica não é recente.
Uma das necessidades cada vez mais acentuada na educação básica é a
proximidade que o conhecimento científico deve ter com o conhecimento empírico
dos alunos, e logo transitar aos conhecimentos metodológicos e metacognitivos,
pois assim pode-se firmar algumas perspectivas de aplicações e, dessa forma,
contribuir para o interesse e gosto pela matemática.
Pesquisadores em educação matemática, como D’Ambrósio (2002), Dante (2005),
Onuchic (2007), e, outros, sugerem algumas alternativas para o ensino da
matemática, como: Resolução de Problemas, Investigação Matemática, Modelagem
matemática, Historia da Matemática, Tecnologia da Informação e Comunicação,
Etnomatemática. Todas vêm ao encontro da necessidade de uma educação mais
preocupada com o aluno, buscando meios que favoreçam a aprendizagem do aluno
e desenvolvam sua capacidade de pesquisar, buscar conhecimentos e pensar.
Dentro dessas concepções de educação matemática a actuação do professor
adquire uma nova postura, o de facilitador do processo de ensino-aprendizagem, tal
como apontam os estudos de Vigotsky (1991).
Assim pretende-se apresentar actividades metodológicas práticas, aplicáveis em
sala de aula do Ensino Básico, essas actividades incorporam elementos da
tendência em educação Matemática, cujo tema é: “Aprendizagem da resolução de
problemas que conduzem a equações do 1º grau”.

3. 2
Antecedentes
Variados têm sido os esforços dos cientistas e das autoridades vocacionadas à
problemática da educação e especialmente do ensino da matemática, visto constatar
se na actividade diária que os alunos consideram esta disciplina difícil.
De formas a elucidar esta problemática, destaca-se o raciocínio de vários autores ou
investigadores que dedicaram sua atenção na questão da resolução de problemas,
assim como a definição e classificação dos mesmos:
George Polya, em 1945 do livro “A arte de resolver problemas” apontou novos rumos
para o ensino-aprendizagem em Matemática. O autor estabeleceu um conjunto de
fases para a resolução de problemas: compreensão de problemas, elaboração do
plano, execução do plano e verificação, as quais, ainda hoje servem como referência
param a discussão do tema.
Em seu artigo publicado no livro organizado por Krulik e Reys (1997), Polya enfatiza
que o aluno deveria se interessar pela Matemática pelo que ela é em si mesma. E
que o professor da disciplina que ensina sob este pensamento, o faz de maneira que
“possa levar o aluno a se inflamar e desfrutar da descoberta”.
Outro excelente trabalho que também consideramos como leitura obrigatória para os
professores que pretendem usar esta metodologia nas séries iniciais do ensino
fundamental é o do professor doutor Luiz Roberto Dante.
Dante (2005,p.47), especificamente seu livro Didáctica da Resolução de Problemas
de Matemática, sugere uma forma de trabalhar o ensino numa perspectiva
organizada e didáctica. Dante enumera alguns objectivos:
 Fazer o aluno pensar produtivamente;
 Desenvolver o raciocínio do aluno;
 Ensinar o aluno a enfrentar situações novas;
 Oportunidade aos alunos a aplicação da Matemática;
 Tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras;
 Equipar os alunos com estratégias para resolver problemas;
 Dar uma boa base matemática às pessoas;
 Também aponta algumas metodologias:
 Mudar o método de ensino;
 Trabalhar com a classe toda;
 Trabalhar em pequenos grupos;
 Ensinar algumas estratégias;

4. 3
Domingos, Júlio Tarquino (2009, p.62), Em sua dissertação de mestrado: Resolução
de problemas (uma proposta para o desenvolvimento das habilidades dos
estudantes do 2º ano de matemática do ISCED- Lubango). Que se adequa com a
proposta do autor relativamente a estrutura de resolução de problemas proposta por
Werner Jungk (1999,p.62), e outros.
Pode-se dizer que a resolução de problemas é um método eficaz para desenvolver o
raciocínio e para motivar os alunos para o estudo da matemática. Na aprendizagem
da matemática, os problemas são fundamentais, pois permitem ao aluno colocar-se
diante de questionamentos e pensar por si próprio, possibilitando o exercício do
raciocínio lógico e não apenas o uso padronizado de regras.
Uma boa pesquisa e leituras apropriadas podem levar o professor de Matemática a
encontrar situações problemas diversos e que proporcionam aos alunos
compreender o porquê de se estudar um determinado conteúdo. Problemas bem
elaborados propiciam a pesquisa, à reflexão e a aplicação de conceitos matemáticos
aprendidos.
É por meio desse entendimento que o professor poderá fazer da resolução de
problemas uma prática interessante e satisfatória no ensino de Matemática.
Identificação do Problema:
A insatisfação do autor enquanto professor do ensino básico relacionado com o
baixo rendimento na aprendizagem de álgebra (equações) motivou a realização de
um trabalho, cuja finalidade é buscar e entender as origens desse problema e por
conseguinte, propor soluções. Ao analisar o plano curricular (Inide, 2008,p.21)
percebe-se que no 1º ciclo do ensino secundário é a etapa de aprendizagem mais
apropriada para ser examinada, por ser nessa fase da educação básica que se
introduz o estudo da álgebra (equações). Especificamente é na 7ª classe que ocorre
a transição da aritmética para a álgebra; nessa trajectória pode estar a chave da
problemática no 1º ciclo do ensino secundário.
Em constatação enquanto professor da 8ª classe do 1º ciclo do Ensino Secundário
no Namibe e em conversas formais com outros professores e alunos, levou – no a
pensar que existem dificuldades no ensino, na aprendizagem e na metodologia
aplicada para o tratamento do conteúdo matemático relacionado com às equações
do 1º grau. Para podermos identificar tais dificuldades fizemos uma sondagem
preliminar aos professores que leccionam a 7ª e 8ª classe do 1º ciclo do ensino
secundário e alunos em que colhemos as seguintes opiniões:

5. 4
a) Professores
 A estrutura do conteúdo no manual é pouco clara quanto ao conceito em
estudo, a sua apresentação é pouco atraente o que faz com que os alunos
não gostem de equações, e tenham dificuldades em compreender o que se
ensina na aula.
 Na sua maioria não utilizam e outros nunca ouviram falar da metodologia de
resolução de problemas. Apenas aulas de exercícios.
b) Alunos
Relativamente à aprendizagem de equações do 1º grau os alunos são da seguinte
opinião:
 Tenho dificuldades em resolver problemas envolvendo as quatro operações
fundamentais;
 Tenho dificuldades em isolar a variável;
 Acho muito difícil passar um problema na linguagem normal para linguagem
matemática.
 Não vejo a utilidade das equações no nosso dia-a-dia.
Das opiniões referidas, pode-se verificar que existem dificuldades, tanto para os
professores como para os alunos, contudo os alunos desta classe têm um domínio
da aritmética (trabalhar com números naturais nas quatro operações fundamentais),
mais apresentam dificuldades em compreender e trabalhar com letras “ variáveis”.
Assim podemos formular o seguinte problema de investigação: Que contribuição à
metodologia do ensino da matemática baseada na resolução de problemas pode
trazer na melhoria da aprendizagem do conteúdo vinculado às equações do 1º grau
na 8ª classe do 1ºciclo do ensino secundário?
Este problema remete algumas questões:
De que natureza são as dificuldades que os alunos e professores enfrentam no
ensino ou na aprendizagem do conteúdo com uma metodologia baseada na
resolução de problemas?
Justificação da investigação:
Esta dissertação visa investigar como a metodologia do ensino da matemática,
baseada na resolução de problemas facilitara a aprendizagem das equações
algebreicas, atingindo um domínio dos conceitos matemáticos, levando os alunos a
uma aprendizagem significativa. Assim, constitui-se um recurso que ajudará na
construção do conhecimento (construtivismo em didáctica).

6. 5
Objecto da investigação:
O processo de Ensino-aprendizagem do conteúdo da matemática na 8ª classe.
Objectivo da investigação: Elaborar uma Proposta metodológica para o ensino da
matemática, sustentada numa metodologia baseada na resolução de problemas,
que possibilite melhorar aprendizagem do conteúdo vinculado às equações de
primeiro grau na 8ª classe do 1º ciclo do ensino secundário.
Campo de acção da investigação:
O ensino do conteúdo matemático correspondente à equação de primeiro grau na 8ª
classe.
Hipótese:
Uma proposta metodológica para o ensino da equação de primeiro grau, baseada
na resolução de problemas, melhora a qualidade da aprendizagem da matemática
na oitava classe.
Variável independente:
Proposta metodológica para o ensino de equação de primeiro grau baseado na
resolução de problemas matemáticos.
Variável dependente:
O ensino-aprendizagem do conteúdo da equação de primeiro grau em oitava classe.
População:
Será constituída por um universo de 69 alunos do Cefo pescas e 27 professores de
várias escolas do Namibe.
Amostra:
A parte representativa seleccionada aleatoriamente será a nossa amostra
nomeadamente: 69 Alunos da 8ª classe e 27 professores.
Tarefas da investigação:
 Fundamentação das conceições teóricas acerca do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática.
 Caracterizar o estado actual do ensino e da aprendizagem da equação de
primeiro grau.
 Elaborar a proposta metodológica para o ensino da equação de primeiro grau
baseado na resolução de problemas matemáticos.

7. 6
 Avaliar a proposta metodológica mediante o critério de espertos.
Métodos de investigação:
Para o desenvolvimento da investigação utilizaram-se, métodos teóricos, empíricos
e estatísticos:
Métodos teóricos
Análise e síntese: Presente em todo trabalho de investigação para o
processamento da informação, elaboração da proposta, as conclusões e
recomendações.
Histórico-Lógico: Para compreender a evolução dos métodos de ensino das
ciências em geral e da matemática em particular (indutivo e dedutivo).
Sistemático-estrutural: Elaborar uma alternativa metodológica para aprendizagem
de equações do 1º grau na 8ª classe através da resolução de problemas.
Métodos empíricos: na fase empírica realizam-se a entrevista, a observação
científica, medição e critério de espertos.
Métodos estatísticos: Análise descritiva (frequências e percentagens) dos
resultados da investigação do Teste e Inquérito aplicado aos alunos e professores
respectivamente;
O método de DELPHI utilizado na validação da proposta metodológica pelos peritos.
O estudo baseou-se na metodologia de pesquisa qualitativa e quantitativa, tomando
como referência principalmente as pesquisa e trabalhos de Polya, Onuchic e Dante.
A pesquisa foi desenvolvida no Centro de Formação Profissional “ Cefopescas das
pescas Hélder Neto”, na cidade do Namibe, no ano lectivo 2012. A experiência do
investigador como professor de matemática da 8ª classe do ensino básico, as
preocupações porque ainda não foram atingidos resultados satisfatórios no processo
de ensino aprendizagem, mais a estimulação oferecida pela introdução da Reforma
Educativa no 1ºciclo do ensino secundário, foram as motivações para a realização
do trabalho.
Novidade científica:
A busca de metodológias que facilitam o processo de aprendizagem de conteúdos
matemáticos é relevante na medida em que visa melhorar a qualidade de ensino e

8. 7
aprendizagem. Em particular, a resolução de problemas que conduzem a equações
do 1ºgrau, é uma forma de relacionar a matemática com o dia-a-dia dos alunos, isto,
sem dúvidas favorece a aprendizagem desta temática.
Estrutura do trabalho:
Esta dissertação é composta por uma introdução, três capítulos, conclusões e
recomendações.
Introdução: contendo a relevância, antecedentes, o problema a ser investigado,
justificativa da investigação, objecto de estudo, o objectivo, a população-alvo, as
tarefas e a metodologia.
Capitulo I. Fundamentação teórica e caracterização do processo de Ensino-
Aprendizagem da Matemática na 8ª Classe do 1º Ciclo do Ensino Secundário.
Neste capítulo faz-se uma abordagem epistemológica dos conceitos matemáticos
relacionados com as Equações do 1º grau e sua história, faz-se uma análise e
caracterização do processo de ensino das Equações com base nos programas do
Ministério da Educação, bem como o fundamento teórico que sustenta a abordagem
do tema.
Capítulo II. Aprresenta-se a proposta Metodológica para o ensino da matemática que
possibilite melhorar aprendizagem do conteúdo vinculado às equações de primeiro
grau na 8ª classe. Apresenta-se neste capítulo a proposta metodológica.
Capitulo III. Apresentação e análise de dados. Validação da proposta metodológica.
Finalmente, apresentam-se algumas conclusões e recomendações deduzidas dos
resultados obtidos na investigação realizada e recomendações cuja aplicação
contribuirá para minimizar as dificuldades de ensino-aprendizagem deste tema
contribuindo assim, para a elevação da qualidade de ensino.
Além disso, o trabalho tem as referências bibliográficas e os anexos.

9. 8
Capitulo I – Fundamentos teórico-metodológicos e Caracterização do processo
de Ensino-Aprendizagem da Matemática na 8ª Classe.
Neste capítulo faz-se uma abordagem epistemológica das categorias da didáctica,
do ensino, da aprendizagem e do processo de ensino-aprendizagem da matemática
segundo uma orientação ou enfoque de lo geral ao particular ate concretiza-lo na
oitava classe do ensino secundário com base nos programas do Ministério da
Educação, bem como o fundamento teórico que sustenta a abordagem do tema.
1.1 -O processo de ensino-aprendizagem da matemática
Em relação à direcção do processo de ensino-aprendizagem se expressa que “(…)
em sua forma estatal institucionalizada, requer de um fundamento teórico, sólido,
integrado dos pontos de vista filosófico, sociológico, psicológico, do desenho
curricular, da didática e da direção científica (…)”1. Isso exige, portanto,
fundamentar teoricamente o objecto de investigação, no quadro destas disciplinas
científicas.
A teoria curricular se ocupa da “(…) planificação e da direção de todo o sistema de
influências educativas que se levam a cabo nas instituições escolar para a formação
e desenvolvimento integral da personalidade dos alunos (…)”2, incluído o sistema de
acções do processo pedagógico formativo, que vai do plano central estatal até o
plano diferenciado do processo de ensino-aprendizagem que desenvolvem as
disciplinas no sala-de-aula. O desenho didático do processo de ensino-
aprendizagem nas disciplinas, unidades e formas de organização é parte do
microdesenho curricular e da direção do mesmo; ambos os realizam o professor.
No processo de ensino-aprendizagem, as teorias pedagógica e psicológica
interactuam estreitamente, por isso se toma partido pelo enfoque psicológico
histórico-cultural, sustentado no materialismo dialético e histórico, cuja essência
reflete que o professor, como educador consciente, incide na formação do futuro
homem, pois facilita a este uma apropriação da herança histórico-cultural e um
resultado educativo, fruto da incidência de todos os agentes educativos (Miranda, T.,
2004). Nesta se tem em conta o resultado histórico para sua incorporação ao ensino,
e o aluno se prepara para resolver os problemas mais freqüentes de sua vida,
apoiado na cultura acumulada pela sociedade e na previsão do que pode ocorrer no
sucessivo, projeção que expressa um elevado conteúdo de essência humanista.
Este enfoque fundamenta a necessidade de um ensino e uma aprendizagem
orientadas para as funções que estão em processo de maturação (nível de

10. 9
desenvolvimento próximo), centrando o trabalho nas categorias actividade,
comunicação e socialização, assim como nas condições para o desenvolvimento
integral da personalidade.
Na seleção e articulação sistémica do conteúdo, o factor psicológico fundamenta a
necessidade de ajustar o conteúdo às características psíquicas dos alunos, de modo
que o conhecimento avance da assimilação dos factos empíricos isolados para as
generalizações científicas cada vez mais complexas, completas e profundas. Em
cada nível de assimilação, o conteúdo adquire um tratamento específico. Assim, em
uma primeira etapa da educação escolarizada, se manifesta estreitamente
relacionado com sua expressão concreta, mas no nível secundário adquire um maior
nível de abstração, o qual é necessário ter em conta na estruturação e integração do
conteúdo.
No didático, fundamenta-se uma concepção que concebe os componentes pessoais
(professor-aluno-grupo; o professor é o dirigente do processo, e o aluno, em
interação com o grupo escolar, construtor de seu conhecimento sob a influência do
docente), e os componentes temáticos (objectivo, conteúdo, método, meio, forma de
organização e avaliação), em que se reconhece ao objectivo como o componente
reitor de todo o processo de ensino-aprendizagem.
Se se considerar que o estudo é parte primitiva do conhecimento da realidade
objectiva escolar, então a actividade do professor leva implícito o carácter cognitivo.
Assim, o docente, para preparar as tarefas de estudo, precisa elevar seu nível
teórico-metodológico, já que o ensino, a diferença do conhecimento, tem lugar sob
sua direcção.
Quando o objecto da actividade cognitiva é acessar a novos conhecimentos
científicos dos fenómenos, o objectivo do ensino se cumpre ao prover ao aluno com
conhecimentos científicos suficientes, para que os utilize na vida prática durante sua
relação com o mundo que lhe rodeia, para actuar e transformar a realidade. Mas, se
o objectivo é estudar os fenómenos do mundo exterior, então o aluno tem que
sintetizar estes fenômenos. Para isso, deve lembrar o material estudado, reter os
resultados da tarefa de estudo e dominar os fundamentos da ciência que estão no
conteúdo da disciplina, que são expressão da conquista da experiência histórico-
social.
O conhecimento é produto da percepção cognitiva dos fenómenos da realidade
objectiva pelos sujeitos, expresso em forma de conceitos, princípios, modelos, leis,
teorias e quadro geral do mundo. O aluno deve assimilar a essência do mesmo.

11. 10
O domínio do conhecimento é expressivo da actividade cognitiva do aluno, o qual se
obtém mediante a realização de um sistema de operações mentais, dirigidas à
assimilação do conhecimento. Considera-se, por diversos autores, que o processo
de assimilação do conhecimento transcorre por três etapas fundamentais.
Uma primeira etapa, caracterizada pela percepção do material docente, onde a
união da teoria e a prática cria um sistema íntegro de vias para activá-la.
Em uma segunda etapa se desenvolve a compreensão e generalização do
conhecimento. A percepção deve ser comprensível pelo sujeito e correlativa com os
conhecimentos que ele já possui, e conduzida ao sistema geral de conhecimentos.
Assim, a compreensão é o elo central no processo de assimilação, e transcorre junto
à percepção, por isso é obrigado comparar, analisar e generalizar a percepção dada.
Os conceitos surgem como resultado da compreensão e generalização dos
conhecimentos e constituem uma forma de pensamento científico, com cuja ajuda se
sintetizam as características dos objectos e fenómenos. Eles se expressam com
palavras (linguagem). A expressão do conteúdo de um conceito constitui uma
definição.
A identificação nominal dos componentes do processo de ensino-aprendizagem e
dos elementos que caracterizam a cada um deles não encontra uma unidade de
critérios na teoria didática contemporânea. Além disso, o autor toma partido pelo
critério que considera que se trata de um sistema no que interactúan os
componentes pessoais: professor, aluno e grupo de alunos, e os componentes
temáticos: objectivo, conteúdo, método, meio, forma de organização e avaliação.
A unidade dialética entre ensino e aprendizagem se expressa em que o ensino
potencializa a aprendizagem e o desenvolvimento humano através de situações em
que os alunos se apropriem dos recursos que lhes permitam operar com a realidade
e enfrentar o mundo com formas de pensar e actuar, tambem atitudes científicas
conscientes e transformadoras.
Cada componente temático do processo de ensino-aprendizagem tem sua função.
Assim, o objectivo é o elemento orientador; o conteúdo, o objectivizador; o método, o
dinamizador; o meio, o suporte material do método; a avaliação, o regulador, e a
forma de organização, o integrador que sistematiza dinamicamente a inter-relação
entre todos os componentes do dito processo.
O ensinar e o aprender constituem uma unidade dialética; daí que todo o processo
tenha uma estrutura e funcionamento sistémico, no que todos seus componentes
interactuam, aparecendo nele diferentes tipos de inter-relações, o qual implica que

12. 11
ao selecionar um destes componentes, como o é o conteúdo, tome em consideração
sua unidade e elos com os restantes, selecionando como eixo central um
subsistema em que se interrelacionam os componentes objectivo-conteudo-método.
O conteúdo de ensino aprendizagem constitui aquela parte da cultura ou conjunto de
valores materiais e espirituais criados, e tambem as experiências sociais
acumuladas pela humanidade no processo da prática histórica, que deve ser
assimilada pelos alunos, em dependência dos objectivos formativos propostos.
Estes elementos acumulados pela humanidade constituem: o Sistema de
conhecimentos sobre a natureza como realidade objectiva e métodos da actividade
cognitiva realizada pelo homem, o sistema de experiências da aplicação dos modos
de actuação, o sistema de experiências da actividade criadora durante a busca de
solução aos problemas que surgem da prática social e o sistema de normas de
relação com a realidade (sistema de educação).
A categoria conteúdo, como componente do processo de ensino aprendizagem,
evoluiu que maneira sistemática e profunda no pensamento pedagógico universal. A
posição tradicional da didática geral, que concebia estreitamente Só os
conhecimentos acumulados da cultura sistematizada da humanidade, atracou a uma
concepção integradora dos conhecimentos, habilidades e hábitos, capacidades,
interesses profissionais, valores, sentimentos, convicções e atitudes, necessários à
nova concepção do mundo objectivo que necessita o homem para seu desempenho
e compreensão social.
Nas obras consultadas, a categoria conteúdo foi abordada por diversos autores,
como Klingberg, L., 1972; Danilov, M.A., 1975; Álvarez do Zayas, C., 1988; Addine,
F., 1998, 2004, e Zilberstein, J., 2002. A maioria dos mesmos reflecte, com
diferentes especificidades, três elementos essenciais que constituem a estrutura do
conteúdo, que são: os conhecimentos, as habilidades e os valores, emoldurados nas
esferas cognitiva, procedimental e axiológica, respectivamente.
Em relação com o anterior, na actualidade se expressa que o conteúdo, como
componente do processo de ensino-aprendizagem, reflecte fundamentalmente a
integração de três sistemas: de conhecimentos (feitos, conceitos, princípios, leis,
teorias e quadro do mundo); de experiências da aplicação dos modos de actuação
(acções, operações, habilidades e hábitos), e de normas de relações com a
realidade, com outros e consigo mesmo, vinculados ao saber conhecer, fazer, ser,
valorar e conviver juntos; sem deixar de atender o sistema de experiências da

13. 12
actividade criadora do sujeito (saber criar).
A análise sistémica do conteúdo consiste em enlaçar todos os componentes do
mesmo baixo certos critérios didáticos que se sustentam na necessidade de que os
estudantes se apropriem dos conhecimentos, habilidades e capacidades, para
aplicar os de forma independente e obter novos conhecimentos (reestruturação do
conteúdo), e de conservar, em certa medida, a lógica da ciência sem perder os
aspectos históricos, sobretudo aqueles que vinculam os métodos da ciência a seu
objecto de estudo.
1.2 Caracterização do Processo de Ensino-Aprendizagem de Matemática na 8ª
classe do 1º ciclo do ensino secundário.
Reforma Educativa na Republica de Angola
Os grandes objectivos da reforma educativa são a “expansão da rede escolar, a
melhoria da qualidade de ensino, o reforço da eficácia do sistema de educação e a
equidade do sistema de educação” (Inide, 2009).
Em todo o mundo existem reformas educativas. Nas décadas de 80 e 90,
respectivamente no Japão e nos EUA, surgiu um grande debate em torno da
reforma educativa, da sua significação, muitas vezes, de forma errada, confundida
com reforma curricular e inovação curricular.
Fullan (1991), citado por Pacheco (1996), refere que “a natureza da mudança
educacional é explicada por quatro conceitos: mudança, inovação, reforma e
movimento. A inovação é frequentemente utilizada para referir mudanças
curriculares específicas enquanto o termo reforma diz respeito a mudanças
fundamentais e globais” (p. 150).
Esta diferenciação entre inovação e reforma, desde logo, implica assumir que uma
reforma pressupõe alterações ao nível normativo-jurídico dependentes das
dimensões ideológicas, políticas, culturais e sociais, ou seja, uma reforma educativa
implica “uma estratégia planificada para a modificação de certos aspectos do
sistema educativo de um país de acordo com um conjunto de necessidades,
resultados específicos, meios e métodos adequados” (Sack, 1981; González e
Muñoz; 1987;citados por Pacheco, 1996), enquanto inovação deve ser entendida
como “uma série de mecanismos e processos mais ou menos deliberados e
sistemáticos por intermédio dos quais se procura introduzir e proporcionar certas
mudanças nas práticas educativas vigentes” (González e Muñoz, 1987; citado por
Pacheco, 1996). Apesar desta distinção, importa referir que a reforma também pode

14. 13
significar inovação, desde que se verifique uma mudança ao nível mais específico
das práticas pedagógicas dos professores, directores de escola e de outros actores
educativos. O conceito de reforma aponta para “as mudanças estruturais,
organizacionais, e o de inovação para a mudança, mais qualitativa, de aspectos
funcionais” (Pacheco, p. 151), contudo, o problema que se coloca no que diz
respeito à inovação curricular prende-se com a escola, isto é, reside em saber se
esta tem recursos materiais, humanos e financeiros para protagonizar decisões
estratégicas que provoquem a mudança, com que concordamos plenamente.
A reforma curricular, como referiu o antigo ministro da educação de Portugal,
Roberto Carneiro (1987,p.239), é o vector principal de qualquer reforma educativa
porque o currículo é o elemento fundamental de um sistema educativo. Esta
convicção, contudo, não deve ser obsessiva, porquanto, uma reforma educativa não
pode esgotar-se na reforma curricular, porque a primeira, como se referiu
anteriormente, tem implicações a várias dimensões. Salvaguardado este aspecto,
importa também referir que uma reforma curricular também tem implicações em
termos de “mudança” e de “inovação”.
Representa mudanças na organização curricular (registe-se no caso de Angola a
nova tipologia organizacional para o ensino primário e secundário), mudanças nos
planos curriculares (reorganização dos planos para, por exemplo, promover a
interdisciplinaridade), programas, materiais pedagógicos e no sistema de avaliação
das aprendizagens, mas, também, inovação ao nível do pensamento dos
professores e das suas práticas, sem descurar aspectos ligados à motivação e à
formação dos mesmos.
Actualmente, no nosso país o processo de ensino-aprendizagem da Matemática em
geral e da Matemática Elementar, em particular, ainda se caracteriza por um modelo
tradicional de ensino, onde o professor é parte activa do processo e o aluno é a
parte passiva. Os alunos tendem a memorizar os conteúdos recebidos, o que não
contribui em nada para o pensamento lógico dos mesmos. Como consequência, a
avaliação também pauta – se por uma “ pedagogia tradicional”, o que contradiz a
prática de uma avaliação construtivista e libertadora que de acordo com Hoffmann
(1997,p.551-570), deverá encaminhar – se a um processo de diálogo cooperativo e
interactivo, através do qual os alunos e os professores aprendem sobre si mesmos
no acto próprio da avaliação. Significa que os professores e os alunos devem ser
encarados como sujeitos do processo de avaliação.

15. 14
Os professores de Matemática enfrentam constantemente o problema de alcançar
que os seus alunos construam da melhor maneira possível seus conhecimentos
matemáticos. Muitos problemas que surgem na sala de aula ou fora dela, tendem a
parecer problemas de ensino, são na realidade quase sempre problemas de
aprendizagem.
Essa é a importância de desenvolver um processo de ensino-aprendizagem que seja
significativo, empregando as ferramentas próprias dessa aprendizagem, como por
exemplo a resolução de problemas e que tenha o aluno como o centro da atenção e
que ele tenha uma participação activa no processo.
1.2.1 A disciplina Matemática em oitava classe no 1º Ciclo do Ensino Secundário.
A Matemática, com ciência indispensável na formação e desenvolvimento da
personalidade, proporciona a aquisição de capacidades de raciocínio numérico,
comunicação e resolução de problemas, dotando os alunos com conhecimentos e
capacidades que lhes permitem dar solução aos problemas no dia-a-dia.
Assim, são finalidades do Ensino da Matemática no 1º Ciclo do Ensino Secundário:
 Desenvolver a capacidade de raciocínio;
 Desenvolver a capacidade de comunicação;
 Desenvolver a capacidade de resolução de problemas;
 Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de
interpretação e intervenção na realidade;
Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de
autonomia progressiva e cooperação.
Breve história da origem das equações do 1ºgrau: Contribuições de um estudo
epistemológico.
Os Babilónios e Egípcios cerca de 2300 a.C. trabalhavam com equações que em
sua maior parte eram originárias de problemas de ordem prática.
Eves (2004,p.63): A noção de equação tinha basicamente um carácter pragmático,
que, de forma intuitiva, igualava duas quantidades desconhecidas, com finalidade de
encontrar o valor da quantidade desconhecida.
Na maior parte das vezes, a busca pelas soluções estava relacionada a equações
particulares, para resolver problemas específicos e os métodos utilizados estavam
relacionados a ideias aritméticas sem preocupação se encontrar soluções gerais.

16. 15
Para os Gregos as equações já eram concebidas de maneira diferente dos
babilónios e egípcios, pois não estavam procurando resolver equações que tinham
sido originadas de problemas de ordem prática.
Garbi (1997): A noção de equação contemplava um carácter geométrico e de forma
dedutiva, a resolução repousava em manipulações geométricas.
Percebe-se que mesmo com a mudança de concepção acerca da álgebra nesse
período de aritmética, nos babilónios e egípcios, para geométrica, nos gregos a
busca pelas soluções ainda estavam relacionadas as equações particulares e não a
métodos gerais.
Os Árabes e Hindus trabalhavam tanto com equações originarias de problemas de
ordem pratica, quanto com situações que recaiam em interpretações e manipulações
geométricas.
Puig (1998,p. 109-131): A noção de equação já tinha um carácter mais algébrico,
mais generalista, pois passava de um catálogo de expressões que se sabe resolver
para um catálogo de todas as formas canónicas possíveis.
Percebemos uma preocupação na busca de formas canónicas, como fez al-
Khwarizmi (790-840, sec.IX) ao estabelecer todas as possibilidades para o que
conhecemos por trinómio de grau não superior a dois.
Por outro lado, Khayyam já tinha uma concepção de equação mais relacionada a um
carácter geométrico, interpretando as soluções das equações como intersecção de
curvas geométricas.
Para os Europeus as equações eram vistas dentro de um sistema estrutural com
propriedades e características bastante definidas.
Garbi (2006) e Lintz (1999): A equação é a finalidade de se encontrar soluções
gerais. Após a descoberta das fórmulas gerais para a resolução das equações de
terceiro grau e quarto grau, há uma modificação no rumo das investigações, a nova
questão que norteia as investigações passa para: Será que existe algoritmo para
resolver equações com grau superior a quatro? Nessa nova direcção estrutural, até
que Galois encerra a discussão fornecendo condições de se decidir quando essas
equações são solúveis por radicais.

17. 16
O estudo das equações algébricas contribuiu de forma significativa para o
aparecimento da chamada álgebra moderna (teoria dos grupos, teoria dos corpos,
etc.).
A preocupação com as estruturas e o surgimento de novos ramos da álgebra,
principalmente durante a segunda metade do século XIX. Levaram a ampla
generalização, tanto do conceito de numero, quanto do conceito de Aritmética.
É possível verificar, por este estudo epistemológico-histórico, que durante muitos
séculos o principal objectivo de investigação em Álgebra foi o estudo das equações
algébricas.
Porem, constata-se também com este mesmo estudo que no final do século XIX,
esse objecto de investigação deixou de ser o foco de atenções dos matemáticos,
conforme observam Fiorentini, Miorim e Miguel no trecho abaixo:
(…) O objecto da investigação desse campo matemático ultrapassava o domínio
exclusivo de estudo das equações algébricas e das operações clássicas sobre
quantidades generalizadas, discretas ou contínuas, para centrar-se no estudo das
operações (…) sobre objectos abstractos, (…) sobre as estruturas matemáticas tais
como grupos, anéis, corpos, etc. (Fiorentini, Miorim e Miguel 1993, p.78).
Assim considera-se que houve ao longo da história da álgebra, uma mudança
significativa na natureza do objecto de investigação desse campo de conhecimento
matemático – o estudo das equações perde o foco de atenção dos matemáticos
para o estudo das estruturas matemáticas – podemos dizer que tivemos dois
grandes momentos históricos: antes dessa mudança tínhamos o que é denominado
por Álgebra Clássica ou Elementar e, depois, o que é chamado de Álgebra Moderna
ou Abstracta.
As conclusões que podemos tirar dessas reflexões propiciadas por esse estudo
epistemológico-histórico, a qual contribui fortemente para chegar ao objectivo deste
trabalho são que após ter permanecido como objecto de investigação da Álgebra até
o final do século XIX, o estudo das equações nesse período parecia enfatizar:
 Por um lado, os aspectos procedimentos e técnicos, quando da resolução de
equações particulares;

18. 17
 Por outro lado, os aspectos estruturais, quando da busca de fórmulas gerais
para resolver toda uma classe de equações.
Neste sentido, emite desse estudo epistemológico-histórico, ao menos três formas
diferentes de conceber equação: uma relacionada a um carácter pragmático, outra a
um carácter geométrico e uma terceira relacionada a aspectos estruturais. O autor
firma-se nas questões investigadas pelos Árabes e Hindus por parecerem dar à
noção de equação, cada vez mais um caracter algébrico. Que assume em seu
trabalho.
Caracterização do tratamento metodológico das Equações no 1º ciclo do ensino
secundário.
A disciplina de matemática contribui para a realização dos objectivos gerais da
formação da jovem geração através de meios específicos da ciência matemática.
Sendo assim, a lei de base do sistema nacional define o sistema educativo como
conjunto de estruturas e modalidades através da qual se realiza a educação
tendente a formação harmoniosa e integral da personalidade com vista a
consideração de uma sociedade progressiva e democrática.
O presente programa está estruturado da seguinte forma:
Parte I – O Programa de Ensino. Estratégias e Metodologias de Ensino.
Nesta parte aborda – se o Plano de Estudo para o 1º ciclo de Ensino Secundário,
as finalidades da Matemática no 1º ciclo do Ensino Secundário e os objectivos
gerais para a 8ª classe; sugestões metodológicas gerais param o ensino da
Matemática; como se avaliam as aprendizagens em Matemática; organização
dos conteúdos de Ensino da Matemática da 8ªclasse.
Parte II – Conteúdos da Matemática para a 8ª classe.
Nesta 2ª parte aborda – se, unidades, subtemas a subtemas:
 Os objectivos específicos.
 As sugestões metodológicas.
 Algumas questões e exercícios a propor aos alunos.
Objectivos de ensino-aprendizagem do conceito de “equação” do 1º grau” na 8ª classe.
Todo o programa deve ter definido as metas a atingir com ele, ela são as suas
justificativas. Do programa de Matemática da 8ªclasse, deduzimos os seguintes
objectivos para o ensino do conceito de Equação do 1º grau:
a) Objectivos Gerais:

19. 18
 Desenvolver a capacidade de utilizar a linguagem matemática para comunicar
ideias;
 Desenvolver a capacidade de aplicar conhecimentos na resolução de
problemas do quotidiano e de outras disciplinas;
 Capacidade de raciocinar e analisar;
 Desenvolver o conhecimento e a compreensão de conceitos e métodos;
 Desenvolver uma atitude positiva, de modo a promover a autoconfiança na
resolução de problemas matemáticos;
 Desenvolver a perseverança e o cuidado na realização das tarefas e
cooperação no trabalho;
 Desenvolver capacidades mentais gerais;
 Desenvolver capacidade criadora e a imaginação.
b) Objectivos Específicos.
 Traduzir um problema por meio de uma equação;
 Procurar soluções para uma equação;
 Resolver equações do 1º grau com uma incógnita;
 Resolver equações literais;
 Escrever fórmulas;
 Traduzir em linguagem simbólica matemática situações apresentadas em
linguagem corrente;
 Aplicar a lei do anulamento do produto à resolução de equações;
 Interpretar e criticar as soluções de uma equação no contexto de problema.
 Depois de descrever os objectivos gerais e específicos definidos pelo
programa da 8ª classe, segundo Jungk (1982) no ensino da Matemática os
objectivos estão enquadrados em três campos, estritamente relacionados:
 Campo da Instrução (Saber e poder específicos da Matemática);
 Campo do desenvolvimento das capacidades mentais;
 Campo da Educação;
1.2.2 Os Manuais e sua estrutura.
O Manual da 7ª Classe.
O manual de Matemática da 7ªclasse da Autora (Maria Julieta Octávio e outros,
2009) está estruturado da seguinte forma: Equações do 1º grau; um pouco de

20. 19
história, monómios; noção de equação; equações equivalentes; resolução de
equações do 1º grau com uma incógnita.
O Manual da 8ª Classe.
O manual de Matemática da 8ª da Autora (Isabel do Nascimento, 2005) está
estruturado da seguinte forma: Equações do 1º grau a uma incógnita; equações
literais; equações do 2º grau; lei do anulamento do produto.
Segundo, Jungk (1982, p.67-69), o manual da classe ocupa uma posição especial
entre toda a bibliografia a disposição do professor e alunos, pois apresenta o
conteúdo completo, estruturado metodologicamente e orientado estreitamente pelo
programa e é dele que o professor toma os valiosos detalhes sobre os distintos
passos no ensino do conteúdo mediante as explicações, os exemplos e reconhece
melhor as exigências do programa.
Verificando o programa e o manual facilmente chega-se a conclusão que os
mesmos não estão em consonância:
 O tempo indicado pelo programa não é suficiente para tratar tais conteúdos.
 O Manual não precisa o sistema de conhecimentos e habilidades.
 O Manual não faz referência ao sistema de tarefas com o propósito de
desenvolver habilidades de trabalho de resolução de problemas que
conduzem a equações do 1º grau.
 A proposta de problemas matemáticos nas classes é limitada.
 Falta de sistematicidade no trabalho com os problemas dirigidos ao vínculo da
disciplina com o meio social.
Ensino das equações através da resolução de problemas nos manuais didácticos.
Uma boa sequência de ensino deve proporcionar ao aluno a aquisição de um novo
conhecimento, que lhe dê competência para utilizá-lo sempre que estiver diante de
uma situação que solicite tal conhecimento.
A partir dos livros didácticos, pode-se constatar que o primeiro contacto com as
Equações do 1º grau dá-se na 7ª classe do ensino geral, através da noção de
equação, iniciando esse estudo com um pouco de história e resolvendo alguns
exercícios pelo método algébrico. Deste modo veremos como surgem as equações,
como se fossem a tradução simbólica do enunciado de tal problema.
Exemplo: A senhora Júlia Candimba foi ao talho e comprou frangos no valor de Kz
900,00 e carne no para bife por Kz 1500,00, tendo ainda regressando a casa com Kz
1000,00. Para sabermos quanto dinheiro a Senhora Júlia levou ao talho, vamos

21. 20
considerar como x a quantidade de dinheiro que desconhecemos. Esta será a
incógnita. Então teremos: x – kz 900,00 – kz 1500,00 = kz 1000,00.
O valor de x que torna a igualdade verdadeira é kz 3400,00; portanto x = 3400,00 é a
raiz ou solução do problema.
Posteriormente visa sobre tudo esclarecer aspectos de terminologia como
“igualdade,” identidade”, equação”, “incógnita”, “solução ou raiz”, “ grau da equação”,
equações numéricas” e “literal, e “ equações equivalentes”.
O manual da 8ª classe da autora Isabel do Nascimento (2005), quanto ao conteúdo
das equações o livro começa em apresentar um exemplo de um problema com
equação faccionária, que serve para compreender situações da vida real e
interpretando-as (p.29).
Critica aos manuais sobre a apresentação das equações.
Feita a abordagem aos conteúdos que são leccionado nas classes onde é
introduzido e diga-se, onde é desenvolvido o conteúdo, agora far-se-á uma
observação aos dois manuais utilizados nessas classes quanto a forma como é
apresentado o conceito de equação e resolução de problemas que conduzem à
equações, para tal o autor adoptou os seguintes critérios:
I. Que situação é utilizada na apresentação das equações,
II. Se as situações variam nas apresentações,
III. Que modelo é utilizado,
IV. Se os alunos são colocados frente a situações vividas no decorrer da história
para o desenvolvimento desse conceito,
Da observação feita aos manuais da 7ª e 8ª Classes pode-se inferir que:
a) São apresentadas algumas ilustrações, plantação de 31 árvores pelos alunos
do período da manha e 41 pelos alunos da tarde e, pergunta-se quantas
árvores foram plantadas? (Octávio, 2009; 7ª classe – pág. 108), Para a
formação do conceito de equação.
b) Contudo, estas situações são simplesmente ilustrações para mostrar o que se
quer ensinar pois os alunos não participam delas.
c) Não há variação de situação que permite ao aluno dar um significado ao que
está aprendendo, o modelo é estático, ao aluno não é colocada outra
situação-problemas.
d) A proposta (modelo) de problemas matemáticos nas classes (7ª e 8ªclasses)
é limitada.

22. 21
e) Não se faz nenhuma referência à história do surgimento desta importante
área da álgebra (manual da 8ªclasse), o aluno não é colocado frente a uma
situação-problemas vivenciados no dia-a-dia.
f) Em nenhum dos manuais se faz referência à leitura das equações do 1ºgrau o
que dificulta a aquisição de uma linguagem aceitável levando a um
desenvolvimento precário da linguagem e reconhecimento das equações.
Tal como referido na introdução, quando se levantou o problema, deduziu-se a
existência de dificuldade na aprendizagem das equações do 1º grau através da
resolução de problemas no processo de ensino e aprendizagem da Matemática e,
assim, passa-se a abordagem de tais aprendizagens.
1.3 O ensino e a aprendizagem da matemática.
O processo de ensino-aprendizagem se forma e desenvolve a partir da actividade e
a comunicação. É um sistema resultado da interacção de seus componentes
(relação estrurura função). Constitui a via mediatizadora essencial para apropriação
do conteúdo e, mostra a unidade entre o ensino, a aprendizagem, a instrução, a
educação e, o desenvolvimento do aluno.
Ensinar é organizar de forma sistémica, planificada e cientifica a condições
susceptiveis de potenciar o tipo de aprendizagem que possibilitam o processo de
enriquecimento e crescimento multilateral dos recursos pessoais e da personalidade
do educando. Ensinar possibilita e orienta a participação do indivíduo no processo
de apropriação e reconstrução do conhecimento.
Ensino significativo: processo em que o aluno deve transformar o significado logico
(linguagem em que se fala), em significado psicológico (linguagem em que se
aprende).
A aprendizagem é o processo dialectico através do qual, o sujeito se apropria-se
dos conteúdos e as formas da cultura que transmitem-se na interacção com outras
pessoas por meio da comunicação.
Aprender é o processo de participação, colaboração e de interacção na turma, na
comunidade com os outros, no que se combina o papel activo e protagonico da
pessoa e a mediação social, quer dizer que inclui a construção social do
conhecimento.
Aprendizagem significativa: processo de aprendizagem através do qual os novos
conhecimentos incorporam-se de forma substantiva na estrutura cognitiva do aluno.

23. 22
Para motivar o estudante deve relacionar os novos conhecimentos com os
anteriormente adquiridos e, interessar-se por aprender o conteúdo que se apresenta,
supõem-se a significatividade lógica e psicológica do conteúdo.
A teoria da aprendizagem significativa tem uma influência muito grande da
educação.
Para Ausubel (1978), esta teoria tem exercido uma enorme influência da educação e
baseia-se num modelo construtivista dos processos cognitivos humanos.
Para Moreira (2001,p.17):” aprendizagem significativa é um processo pela qual uma
informação se relaciona com um aspecto relevante da estrutura de conhecimento do
indivíduo”.
Acontece o aprendizado significativo quando uma nova informação é adquirida
mediante um esforço deliberado por parte do aprendiz em ligar a informação nova
com conceitos ou proposições relevantes preexistentes em sua estrutura cognitiva.
(Ausubel et. al., 1978,p.159).
Para Ausubel (1978 aup Moreira, 2001, p.23), “ para haver aprendizagem
significativa precisa haver duas condições: a de o aluno ter disposição de aprender e
o material a ser aprendido tem que ser potencialmente significativo, ou seja,
psicologicamente e logicamente significativo”.
O interessante da aprendizagem é incorporar preferencialmente coisas importantes
que exerçam influência transcendente sobre a própria conduta, e dizer, coisas que
são capazes de influir significativamente sobre a conduta. (Ontoria, 1995, p.29).
Erros e dificuldades na aprendizagem das Equações:
A Álgebra é considerada por muitos alunos como um ramo da Matemática
particularmente difícil pois, muitas vezes, quando o aluno tem com ela um contacto
formal, já parte de crenças e preconceitos próprios (Pesquita, 2007). Muitas das
dificuldades dos alunos estão relacionadas com o aparecimento de novos símbolos
e com a mudança de significado de alguns símbolos já existentes, como acontece
por exemplo com o símbolo “=”. Em Aritmética o símbolo de “=” realça mais o seu
sentido operacional, ou seja, 5 + 7 = 12. Em Álgebra, x + 5 = 7, não se refere a uma
operação, mas sim a uma condição, o sinal “obriga” a procura de um valor que torne
a expressão verdadeira (Ponte, Branco & Matos, 2009).

24. 23
Por outro lado, as letras são símbolos usados em diversos contextos e com distintas
interpretações. Como referem Davis & Hersh (1995) “reaparecem as letras usuais,
mas num contexto absolutamente novo e surpreendente: no papel de incógnita e
variável”.
Kieran (2007 p.123), tendo por base o trabalho de Kuchemann, descreve seis níveis
de interpretação da letra:
(i) Letra avaliada: é atribuído um valor numérico à letra logo no início, sem qualquer
operação sobre ela, enquanto incógnita;
(ii) Letra não considerada: a letra é ignorada ou a sua existência é reconhecida mas
não lhe é atribuído significado;
(iii) Letra como objecto: a letra é vista como abreviatura para objectos ou como
objectos concretos;
(iv) Letra como incógnita: a letra é entendida como um número específico, mas
desconhecido;
(v) Letra como número generalizado: a letra é entendida como uma representação
de vários números;
(vi) Letra como variável: a letra é entendida como representando um conjunto de
valores desconhecidos e é vista a existência de uma relação sistemática entre dois
conjuntos de valores.
Booth (1988,p.20-32) e Rojano (2002), citado em Ponte (2006,p.195), identificam,
outro tipo de dificuldades sentidas pelos alunos, na passagem da Aritmética para a
Álgebra, entre elas:
(i) Dar sentido a uma expressão algébrica;
(ii) Não ver a letra como representante de um número;
(iii) Atribuir significado concreto às letras;
(iv) Pensar numa variável como representante de um certo número;
(v) Traduzir informação de linguagem natural para linguagem algébrica;
(vi) Compreender as mudanças de significado, da Aritmética para a Álgebra, de
determinados símbolos;
(vii) Simplificação de expressões.

25. 24
Relativamente à resolução de equações, Ponte, Branco e Matos (2009 p. 96)
referem que, as dificuldades “surgem devido aos erros que cometem no trabalho
com expressões algébricas, por não compreenderem o significado destas
expressões ou as condições da sua equivalência” .Com que o autor concorda pelo
simples facto de vivenciar estas dificuldades diariamente na sua actividades docente
educativa.
Muitos autores se têm debruçado no estudo dos erros e das dificuldades dos alunos
na simplificação de expressões algébricas e na resolução de equações do 1º grau.
O conhecimento das dificuldades sentidas pelos alunos permite ao professor actuar
no sentido de proporcionar uma aprendizagem significativa, propondo tarefas que
contribuam para os ajudar a ultrapassá-las.
1.4- Diagnóstico da situação actual do ensino e da aprendizagem da equação de primeiro
grau na matemática oitava classe.
Um diagnóstico é uma forma de olhar, seleccionar variáveis, discernir e, finalmente,
formar juízos sobre os factos e pessoas observadas. De um diagnóstico resulta uma
recomendação de acção, que pretende estabelecer algum nível de ajuste em
relação à situação diagnosticada.
A fim de dar maior consistência à investigação e conhecer qual é a situação actual
do problema objecto de estudo, realizou-se um inquérito aos professores que
leccionam a 7ª e 8ª classes e uma prova diagnóstico aos alunos da 8ª classe do
Cefopescas no Namibe.
1.4.1 Concepções dos Professores
Brito (apud Klein, 2006, p. 15) considera que concepção é toda “maneira própria de
cada indivíduo elaborar, interpretar, representar suas ideias e agir de acordo com as
mesmas”. O autor considera ainda que a construção de uma concepção se dá “a
partir das experiências individuais que são influenciadas por uma série de variáveis
do ambiente”.
Para conhecer concepções que as pessoas têm sobre algo ou alguém perpassa
pelo entendimento de que a mesma tem uma natureza essencialmente cognitiva,
associados ao pensar, que actuam como filtro, dando sentido às coisas ou actuando
como um elemento bloqueador para novas situações (Ponte, 2006).

26. 25
O inquérito foi aplicado a 27 professores de Matemática da 7ª e 8ªclasse de várias
escolas situadas na cidade do Namibe, os mesmos têm uma experiência de trabalho
na docência de Matemática que vai de 3 a 26 anos e uma grande parte deles
frequenta o Ensino superior.
O inquérito foi formado por doze (12) questões com questões abertas com espaço
para opinião ou fundamentação da resposta. Tal como mostrado no anexo 1.
Analisadas as opiniões dos professores nos inquéritos, elaboraram-se as seguintes
conclusões:
Aspectos à Melhorar (Negativos):
1- Não existe um guia metodológico que sirva de apoio e orientação dos professores
na preparação das suas aulas, somente a realização de reuniões onde é distribuído
conteúdo a leccionar num determinado intervalo de tempo e que alguns professores
confundem tal reunião com guia metodológico.
2- Falta de preparação metodológica dos professores que se reflecte em não utilizar
meios ou matérias concretos nas aulas de introdução do conceito de equação, na
explicação da necessidade de introdução da resolução de problemas pois limitaram-
se a resolver exercícios com equações.
3- O livro didáctico da 7 e 8ª classe não apresenta claramente os procedimentos/
etapas a seguir para a resolução de problemas que conduzem a equações do 1º
grau, limitando se apenas a exercícios com base em fórmulas e exercícios variados.
4- O modelo de ensino em que o professor debita a matéria ainda é o mais utilizado,
cabendo ao aluno a reprodução do conhecimento e resolução de exercícios como
forma de assimilação do conteúdo
5- Existência de professores que não tem uma formação adequada para o ensino,
pois existem professores vindos da Escolas médias, como: Welwicha Mirabílis,
Agronomia, Pescas e Pólo Universitário como docentes de matemática sem
agregação pedagógica.
Aspectos Positivos
1- O grau de sinceridade com que muitos professores responderam ao inquérito e
deram sugestões muito valiosas permitiu um melhor enquadramento do problema de
investigação.
2- O reconhecimento da existência de dificuldades no ensino da resolução de
problemas que conduzem a equações do 1º grau e de suas aplicações.

27. 26
1.4.2- Resultados do diagnóstico aplicado aos alunos
O diagnóstico (teste) teve como objectivo comprovar os conhecimentos dos alunos
sobre exercícios com equações do 1º grau, bem como resolução de problemas que
conduzem equações do 1º grau, formado por três exercícios e dois problemas
(questões de identificação, realização e de aplicação dos problemas) vide em anexo
2. A avaliação teve, portanto a função diagnóstica, para posterior desenvolvimento
da intervenção.
O diagnóstico (teste) foi aplicado em 69 alunos do Cefopescas “Helder Neto” no
Namibe em quatro turmas, nos cursos de Biologia Marinha, Mecânica Diesel,
Mecânica de Frio e Electricidade, numa amostra aleatória seleccionada por sorteio
onde o critério foi o período da manhã.
a) A questão relacionada com os exercícios de aplicação os alunos tiveram
maior desempenho, com um aproveitamento de 92,75% de acertos, 4,35% de
errados e 2,90% sem resposta, como ilustra o gráfico abaixo.
Gráfico 1: Nível de desempenho dos alunos na questão dos exercícios
Fonte: Elaborado pelo autor
b) Relativamente a 2ª questão as situações-problema onde os alunos
encontraram maior dificuldade com um aproveitamento de 14,49% de acertos,
82,61% de erros e 2,9% sem resposta. O que mostra que os alunos têm
dificuldades de reconhecer um problema de um exercício, como ilustra o
gráfico abaixo.
Gráfico 2: Nível de desempenho dos Alunos na resolução de problemas
8ªA 8ªB 8ªC 8ªD
Acertos 17 11 14 24
Erros 1 0 0 2
S/Resposta 0 0 0 0
0
5
10
15
20
25
30
NºdeAlunos
Grafico 1: Nivel de desempenho dos alunos por turmas
na questão dos exercicios

28. 27
Elaborado pelo autor
1.4.3- Conclusão retirada do diagnóstico
Entre as dificuldades apresentadas pelos alunos concluímos que:
 O aluno não compreende o que lê e se limita a juntar os dados numéricos do
enunciado;
 O aluno compreende o enunciado como um todo, mas não observa alguns
detalhes importantes para a solução do problema;
 O aluno não domina o conteúdo necessário para a resolução do problema.
 Conclui-se, de maneira geral, que os alunos compreenderam que, para o
desenvolvimento de qualquer conteúdo matemático que vise obter resultados
satisfatórios, se faz necessário organização e motivação à tal fim, o que nem
sempre é fácil diante das dificuldades enfrentadas no processo
ensino/aprendizagem.
Estas conclusões evidenciam a necessidade de uma reflexão sobre o tratamento
destas questões na formação contínua, a fim de possibilitar aos professores do 1º
ciclo do ensino secundário um melhor entendimento acerca da resolução de
problemas como metodologia e como competência matemática a desenvolver na
sala de aula e das implicações que daí resultam para a aprendizagem de
matemática.
0
5
10
15
20
25
8ªA 8ªB 8ªC 8ªD
Acertos 6 1 0 3
Erros 10 10 14 23
S/Resposta 2 0 0 0
AxisTitle
Gráfico 2: Nivel de desempenho dos alunos por turmas na
resolução de problemas

29. 28
Conclusõesdo Capítulo I
Depois de uma abordagem exaustiva dos diferentes aspectos tratadas
anteriormente, pode – se concluir o seguinte:
1. Equações do 1º grau é um conteúdo temático da Matemática que envolve
conceitos base desta disciplina e também cálculos e, tem sido um dos conteúdos
com maior dificuldade de aprendizagem por parte dos alunos do 1º ciclo do ensino
secundário.
2. Para uma mudança do modelo tradicional de ensino considera-se neste trabalho;
um modelo baseado na teoria do enfoque histórico-cultural de Vygotsky e seus
seguidores J. Piaget, Ausubel com a teoria da aprendizagem significativa e outros,
onde o professor é o facilitador do processo, propiciando que os alunos sejam
participantes activos na construção dos seus conhecimentos.
3.Não obstante a reforma em curso, ainda é notório que o professor é parte activa
do processo e o aluno parte passiva na qual o autor discorda plenamente.
4. Os diferentes estudos reivindicam a necessidade de metodologia de trabalho mais
activas e participativas entre professores e alunos para passar de uma
aprendizagem mecânica para uma aprendizagem significativa do conceito de
equação do 1º grau.
5.Da análise feita quanto ao pensamento de vários autores descritos, nota-se que
existe uma grande diferença entre os conceitos de Exercícios e Problemas. No
problema a solução não está disponível de início, mas é possível construí-la, ao
passo que exercício é uma actividade de treinamento.
6.Das formas de classificação dos exercícios Matemáticos espelhados no trabalho,
notamos que cada um deles abarca um campo diferente e diferentes critérios de
utilização, mais, o mas importante não é a classificação senão a utilização que lhes
pode dar.
7. O diagnóstico de conhecimento aos alunos prova que os mesmos têm
dificuldades em trabalhar na resolução de problemas que envolvem equações do 1º
grau, como mostram os resultados em relação aos problemas com texto, 14,49%
certas, 2,9% sem resposta e 82,61% erradas.

30. 29
8. A bibliografia aponta para um ensino orientado para a aprendizagem baseada na
resolução de problemas como metodologia eficiente para a solução de problemas de
aprendizagem por colocar o aluno no contexto da ciência e de forma activa na
construção do conhecimento.

31. 30
Capítulo II. Proposta metodológica para o ensino do conteúdo vinculado às
equações de primeiro grau, baseada na resolução de problemas, em
matemática na 8ª classe.
Conhecido o problema de Investigação e o objectivo do mesmo, corresponde agora
dar solução ao mesmo. Portanto, neste capítulo consideram-se as referências do
modelo, as exigências metodológicas do modelo, o modelo teórico que contribui
para o desenvolvimento do pensamento lógico dos alunos na resolução de
problemas envolvendo Equações do 1º Grau na 8ª classe do 1º ciclo do Ensino
Secundário. Também considera-se as premissas e requisitos para aplicar a proposta
metodológica.
2.1. Fundamentos do emprego da resolução de problemas que conduzem o
ensino e a aprendizagem das equações do 1º grau.
Fundamentos psicopedagógicos:
Sabemos que a Psicopedagogia reflete sobre a inadequação pedagógica e familiar e
também na postura crítica ao fracasso escolar, como novas alternativas de acção
voltadas para a melhoria da prática pedagógica da escola.
Castro e Carvalho (1992): do ponto de vista construtivista, todo indivíduo possui um
sistema cognitivo que funciona por processo de adaptação que é perturbado por
conflitos entre duas s ideias (a do estudante e a cientifica) ou por lacunas (que se
caracteriza como ausência de teoria sobre um assunto apresentado) e cujo equilíbrio
se dá através de alguma aprendizagem ou construção de um novo saber. O
processo de desencadeamento de mudanças utiliza a teoria do equilíbrio de Piaget
(1982,p.389), considerando que o processo de mudança conceptual não seja uma
função exclusiva dos aspectos cognitivos, mas que os factores motivacionais sejam
levados em consideração.
Pintrich el al. (1993, p.167) considera que modelos cognitivos são relevantes e úteis
para conceptualizar a aprendizagem dos alunos, mas sua crença em um modelo
académico de ensino frio e puramente cognitivo pode não ser adequado para
descrever o ensino no contexto de sala de aula.
Ausubel (1978): uma condição básica para enfrenta com êxito os verdadeiros
problemas pode ser o exercício da criatividade, capacidade que é a expressão
suprema da resolução de problemas, e que implica ideias novas e originais.

32. 31
Agudo (2000): a aprendizagem cooperativa sendo uma estratégia de ensino
baseada na interacção social, e que consiste na estruturação dos objectivos de
modo a que a organização da aula crie pautas de socialização positivas face as
pautas clássicas do tipo comparativo, apresenta-se como uma alternativa eficaz ao
ensino tradicional baseado fundamentalmente em formas de aprendizagens
individuais e/ou competitivas. Assim, a aprendizagem cooperativa pode facilitar e até
deve estar relacionada com a aprendizagem baseada na resolução de problemas. A
aprendizagem cooperativa assenta no conceito de Zona de Desenvolvimento
Proximal (ZDP) que Vygotsky define como a distância entre o nível de
desenvolvimento actual tal como é determinado pela situação independente dos
problemas e, o nível de desenvolvimento potencial tal como está determinado pela
solução de problemas com ajuda de um adulto ou em colaboração com colegas
maia capacitados.
São várias as teorias que fundamentam o processo de ensino-aprendizagem de
matemática através da resolução de problemas, mais este trabalho o autor assume
o enfoque histórico-cultural de Vygotsky (2003, p.), pelo facto de sua teoria ter raízes
na teoria marxista do materialismo dialéctico, ou seja que as mudanças históricas na
sociedade e a vida material produzem mudanças na natureza humana. A resolução
de problemas no ensino da matemática pode ser considerada um tema complexo,
devidas as suas múltiplas interpretações. A hipótese de que a resolução de
problemas como ponto de partida para o ensino da matemática é considerada pelos
professores como uma prática inovadora, foi confirmada pelos indícios que
conseguimos perceber nas relações dialogadas. Ficou evidente a necessidade de
um espaço para a produção de significados pelos professores e da relevância dessa
produção para que eles não sejam simples aplicadores de conhecimentos
produzidos por outros.
Provavelmente, muitas das dificuldades que os alunos encontram na aprendizagem
das equações seja resultado de um ensino que prioriza regra e técnicas,
procedimentos sem significação, limitando sua capacidade de compreender os
conceitos que permitem o domínio do conhecimento. Para Lins e Gimenes (1997)
um projecto de educação algébrica deve compreender dois objectivos centrais:
 permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados para a álgebra;
 permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente.”

33. 32
2.1.1. Ensino da matemática baseada em a resolução de problemas.
O desenvolvimento do pensamento dos alunos se tratou de reduzir ao ensino de
técnicas para pensar, o que deu lugar a programas diversos dirigidos para as
operações cognitivas, a orientação heurística, o pensamento formal, a manipulação
simbólica ou a metacognição. Entretanto, os estudos científicos indicam que sua
pouca efetividade esteve motivada pelo fato de que tais destrezas de pensamento
se trataram de ensinar à margem da personalidade dos indivíduos, o que abre a
provocação à investigação psicológica, sociológica e pedagógica de estudar o
pensamento dentro de uma concepção integral do homem (Mitjans, 1997).
Em particular, o desenvolvimento do pensamento científico foi um objectivo
relevante de todos os sistemas educativos, que esteve influenciado também pelas
concepções epistemológicas a respeito das disciplinas. Nos últimos tempos em que
se fala de uma sociedade do conhecimento e da necessidade de um homem culto,
que possa incorporar-se ao debate das políticas científicas e tecnológicas, emerge
como maior força a necessidade de habituar aos alunos a analisar e demarcar
situações, formular-se perguntas e problemas, expor-se e argumentar hipótese,
reconhecer patrões, desenhar estratégias de solução, e valorar seus resultados e
implicações, em uma comunidade de trabalho que supere os limites das disciplinas
particulares.
A resolução de problemas foi centro de boa parte das investigações psico-
pedagógicas. Entretanto, na escola se trabalha fundamentalmente com uma
acepção do conceito problema, que o reduz a exercícios de aplicação e com texto, e
seu ensino, à instrução heurística dos alunos. Nos consideramos a resolução de
problemas em seu sentido amplo, como algo que transcende à totalidade das aulas
Seria interminável mencionar neste breve espaço as idéias que têm feito evoluir as
concepções sobre a aprendizagem e a resolução de problemas. Algumas das mais
essenciais sao:
 A concepção de uma ciência consciente de sua função social, na qual
interessa a eficácia de seus métodos para o desenvolvimento de novas
tecnologias.
 A compreensão do papel da activação e a regulação das aprendizagens, de
revelar seu significatividade na ordem conceptual, experiencial e afectivo,
assim como de atender aos aspectos afectivos que incidem sobre eles.

34. 33
 O entendimento da necessidade de dirigir o processo docente-educativo
centrado no aluno, valorando o desenvolvimento alcançado por ele e suas
potencialidades, assim como o papel da socialização e a comunicação na
assimilação dos conteúdos e o desenvolvimento de sua independência
cognoscitiva.
No âmbito do ensino-aprendizagem das ciências existem muitas concepções em
relação com o conceito problema. Neste contexto nos interessa destacar que tem
três significados implícitos: o de colocar a alcançar, o de obstáculo ou conflito a
superar e o de ter sentido, para a pessoa que o enfrenta. Tanto a situação inicial e a
meta podem ser precisas ou imprecisas e a situação final pode ser conhecida ou
desconhecida, o qual dá capacidade também a incluir os chamados problemas
abertos. Pelo resto, é importante esclarecer que concebemos a própria actividade de
formular e expor um problema como actividade de resolução de problemas.
Entretanto, todos conhecemos que nas salas-de-aula não se trabalha geralmente
com verdadeiros problemas, e sim com o chamado escolar, “cujo objectivo
fundamental é a fixação de conteúdos de uma disciplina dada, são tipificados, em
maior ou menor medida, e para cuja solução se desenvolvem procedimentos mais
ou menos rotineiros”. Esta situação provém da falta de compreensão de que
adquirimos conhecimentos para resolver novos problemas e resolvemos problemas
para adquirir novos conhecimentos.
Por outra parte, o conceito resolução de problemas foi e é manipulado, tanto no
plano da investigação como no da prática escolar, com um sinnúmero de
significados diferentes – como um complexo de matéria ao final de uma unidade,
como um meio para obter um fim, como uma habilidade, ou como uma situação
típica”, quer dizer, como uma situação que se pode estruturar do ponto de vista
metodológico de forma análoga em cada ocasião que se presente nas aulas ou
partes destas.
Hoje a resolução de problemas se considera uma competência cuja especificidade
depende do domínio das ciências onde desenvolve-se e cuja análise não se pode
fazer à margem da personalidade dos alunos. Para que os alunos aprendam a
resolver problemas parecem ser importantes os recursos cognitivos e as estratégias
de pensamento com que contam, o conhecimento que têm de seus próprios
processos de pensamento e a regulação de este durante a resolução de um
problema, suas crenças sobre a ciência e sua aprendizagem, os aspectos afetivos

35. 34
que incidem em seu desempenho em uma área dada e a qualidade das interações
que desenvolvem-se na comunidade onde realizam suas aprendizagens.
(Schoenfeld, 1992; Llivina, 1999).
No que segue consideraremos que a idéia ou princípio mais importante que subjaze
ao pensamento científico e à resolução de problemas é o da problematização, que
faz ênfase no processo de resolução de problemas, e não só no produto, com o qual
não nega-se a importância de adquirir conhecimentos e habilidades específicos.
Deste modo valoramos que o essencial radica em organizar a atividade e a
comunicação no sala-de-aula, de modo de propiciar a reflexão dos alunos, e
favorecer a compreensão conceptual, a elaboração de procedimentos por eles
mesmos e a análise de quais métodos são adequados, obtendo que isto aconteça
em todas as aulas e não em algumas ou partes delas. (Hiebert e outros, 1996).
Os modelos que apontam para as estratégias gerais que devem ficar em prática
para resolver um problema dado (Polya, Schoenfeld, Guzmán, Friedman, Bell,
Campistrous e Cacho, Sifredo, Pinheiro, entre outros), foram objecto de
aprendizagem durante os processos de formação inicial ou permanente em nosso
país. Logo, as maiores dificuldades radicam, mais que em tratamento metodológico
que lhe pode dar a um problema dado (geralmente em sentido estreito), na
estruturação da resolução de problemas com o passar do currículo.
Entendemos que segue tendo validez o expresso no quadro do cognitivismo em
relação com a percepção global dos objetivos através dos tipos de problemas ou
tarefas típicas que dão sentido aos conhecimentos e habilidades específicas que se
estudam (Hernández, 1993). Ou seja, compartilhamos que é necessário revelar aos
alunos do início quais tipos de problemas novos vão se resolver ou quais tipos de
problemas velhos vão se abordar agora com novos recursos (Rebollar, 1999;
González, 2002). Os problemas devem dar sentido também às estratégias gerais de
pensamento e aos procedimentos lógicos e heurísticos, que os alunos devem pôr
em marcha.
Em consequência, somos do critério de que ao planificar os sistemas de aulas
devem determinar tipos de tarefas que permitem o lucro dos objectivos da disciplina
e do grau. Em sua selecção deve atender-se tanto às idéias e estratégias de
pensamento que podem contribuir a desenvolver, como a significatividade das
mesmas para os alunos, o que implica que sejam acessíveis e tenham relação com
o mundo experiencial e afetivo dos alunos. É por isso que os docentes devem

36. 35
conhecer não só o que sabem seus alunos, mas também como raciocinam, como
regulam sua actividade, quais são seus estilos de aprendizagem e de motivação,
quais suas aspirações, expectativas e atribuições, qual é seu entorno, entre outros
elementos. No possível deve tratar-se de que as tarefas, sejam problemas tenham
mais de uma via de solução e sejam geralizaveis.
A actividade reflexiva e a problematização nas aulas dependerão mais do clima que
se consiga criar nestas, que da natureza das tarefas. Por isso é importante que o
docente tenha em conta ao planificar, desenvolver e avaliar suas aulas que:
 as tarefas se adequem às condições prévias e possibilidades dos diferentes
alunos, assim como do contexto,
 os alunos não conheçam de antemão os recursos que devem utilizar,
 se de margem a formular perguntas e a que os alunos tenham tempo para
reflectir,
 os impulsos que se proporcionem permitam a atividade reflexiva, a
compreensão conceptual e que se elaborem procedimentos próprios,
 se repense, generalizem ou elaborem novas tarefas a partir da dada,
 exija-se que os alunos expliquem suas idéias uns aos outros, a pequenos
grupos ou à totalidade do sala-de-aula, de forma completa e não com
monossílabos.
 trabalhe-se com os enganos para indagar suas causas, não se despreze o
que dizem os alunos e se propicie a avaliação individual e coletiva.
 faça-se uma análise do ganho metodológico das tarefas, atendendo tanto
aos conhecimentos, habilidades particulars, modos e estratégias gerais de
pensamento que podem ser transferidos a outras similares.
A prática geral foi utilizar variadas estratégias de raciocínio para resolver problemas
de um domínio dado, muitas vezes a modo de receitas, como bem assinalam
Campistrous e Cacho, (Campistrous e Cacho, 1999), mas menos a de ver como
essas estratégias funcionam em diversos domínios. Em geral, comprovou-se que
existem muitas dificuldades na transferência destas estratégias de resolução de
problemas de um domínio a outro.
O conhecimento dos alunos sobre si mesmos, sobre seus conhecimentos em um ou
vários domínios e sobre sua execução neles, se conhece como metacognicao.
Comprovou-se que na medida que estes adquiram uma maior compreensão
conceptual e sejam mais eficientes, estarão mais capacitados para regular seus

37. 36
próprios processos de resolução, e que a condução do docente e a organização e
comunicação na aula são decisivas neste sentido.
Mas as crenças que têm os docentes sobre as ciências, seu ensino e aprendizagem,
seu papel como docentes, o de alunos particulares e o de tipo de alunos são
também muito importantes. (Schoenfeld, 1998). Algumas das crenças mais
generalizadas a respeito da possibilidade de que os alunos aprendam a resolver
problemas e se possam problematizar as classes são as seguintes:
 "Meus alunos estiveram muito motivados com a introdução do tema, mas
assim que tratei de lhes ensinar o procedimento, voltaram para as mesmas
atitudes de sempre".
 "Não sei até onde posso promover a atividade reflexiva e até onde tenho que
exercitar, pois se meus alunos não dominam os procedimentos, não obtenho
resultados."
Nestas colocações se aprecia que os procedimentos não se tratam no sala-de-aula
a partir da compreensão conceptual dos alunos. Neste sentido é preciso ter em
conta que em muitas ocasiões não existe correspondência entre as crenças e as
práticas dos docentes (Thompson, 1994), o que é índice de que não existe uma
relação linear entre umas e outras. Só quando se conseguirem modificar estas
crenças, poderão-se variar os objetivos particulares que o próprio docente se situe
ao curto, médio e comprido agrado com seu ensino.
Neste ponto nos parece importante advertir algumas das principais barreiras que se
opõem a que nas aulas prepondere a atividade reflexiva e de fazer sentido:
 A existência de um pensamento docente espontâneo apoiado em concepções
de sentido comum (Gil, 1994), ou com outras palavras, crenças docentes
enraízadas na cultura e a tradição, que determinam as decisões que se
tomam em um momento dado (Schoenfeld, 1998).
 O fato de que os programas orientem a respeito das tarefas que devem poder
realizar os alunos com determinados conhecimentos e habilidades
específicas, mas não sobre as instrumentações intelectuais e destrezas de
pensamento que devem desenvolver.
 A exigência do sistema educativo de que os alunos tenham assimilado certos
conhecimentos e habilidades em um período de tempo dado, o qual é sujeito
a medições sistemáticas para valorar a qualidade com que se desenvolve o

38. 37
processo docente - educativo na instituição escolar, o qual não ajuda ao
docente a atuar com maior liberdade e criatividade.
 A circunstância de que o estado actual de arte não reporta ainda resultados
em determinadas áreas vinculadas ao desenvolvimento do pensamento e a
resolução de problemas.
 A solidão em que se encontram às vezes certas disciplinas no esforço por
desenvolver o pensamento dos alunos e a falta de um trabalho metodológico
coeso de todas as disciplinas.
Como se aprecia, são muitos os fatores que incidem na direção da aprendizagem da
resolução de problemas. Evidentemente não grosseiras assegurar o domínio de
determinados recursos e heurísticas. Por isso pensamos que na capacitação dos
docentes devessem existir espaços para:
 Debater as crenças errôneas de docentes e alunos.
 Intercambiar a respeito de como se pode ter uma aproximação à estrutura
cognitiva dos alunos, seu pensamento, seus processos metacognitivos e os
aspectos afetivos que incidem em sua aprendizagem.
 Preparar unidades de ensino, fazendo ênfase na determinação das aulas de
tarefas ou problemas que dão sentido a um conceito, relação ou
procedimento dado e que contextualizam os objetivos no nível e o grau,
valorando o proceder metodológico a seguir e seus resultados, assim como
as relações que se podem estabelecer entre diversas disciplinas.
 Discutir os resultados do trabalho científico- metodológico dos docentes em
relação com a resolução de problemas.
É necessário que os resultados inquiridores que se foram obtendo durante as
últimas décadas em relação com a resolução de problemas entrem nas salas-de-
aula através de seu "redescobrimento" e socialização pelos docentes, mediante um
sistema de capacitação que tenha um enfoque sistêmico, tanto por seus objetivos
como pelas formas que adote.
Alternativa de ensino na educação matemática.
O ensino da Matemática precisa estar interligado com as demais áreas do
conhecimento e com situações práticas do quotidiano, afinal ensinar matemática
sem explicitar a origem e as finalidades dos conceitos não contribui para a formação
integral do aluno. O professor necessita proporcionar um ambiente motivador de tal

39. 38
modo que todos os alunos se sintam seguros e capazes de solucionar os desafios
propostos.
Para melhor viabilizar o ensino da matemática é trabalhar de forma lúdica, dinâmica,
sistémica e produtiva, de modo que o ensino se torne prazeroso e não maçante.
Nessa perspectiva, tem-se fomentado algumas considerações a respeito de diversas
possibilidades metodológicas, cabendo ao professor empregar a que julgar mais
conveniente em seu trabalho. A seguir, uma breve conceptualização a respeito de
algumas alternativas no ensino da matemática.
 Etnomatemática: A Etnomatemática consiste em fazer com que a
matemática seja mais próxima do contexto sócio-histórico e cultural do
aluno. Ela procura aproximar os conteúdos trabalhados na escola com
os conceitos matemáticos informais construídos a partir da realidade
dos educandos. A prática vivenciada pelos estudantes faz com que ele
identifique a acção, determine a teoria e organize os resultados e
pensamentos sobre como solucionar as situações-problema propostas.
A Etnomatemática vem sendo muito difundida. Ubiratan D’Ambrósio afirma:
“A matemática é uma estratégia desenvolvida pela espécie humana ao longo de sua
história para explicar, para entender, para manejar e conviver com a realidade
sensível e perceptível, e com o seu mundo imaginário, naturalmente dentro de um
contexto natural e cultural.” (D'Ambrósio 1996, p. 7).
Ainda de acordo com D’ Ambrósio (2002, p.35-41), a Etnomatemática procura
entender e explicar as diversas maneiras em que o conhecimento matemático é
contextualizado no meio social, nas diferentes culturas ao longo da história da
humanidade. Dessa forma, a Etnomatemática tem a finalidade de ensinar
Matemática partindo de problemas provenientes do meio cultural onde os educandos
estão inseridos, e ainda a relação entre aluno e professor deveria estar
fundamentada nas trocas de conhecimento entre eles.
Assim, o ensino da matemática deve estar pautado em uma visão mais ampla,
valorizando os aspectos sociais e culturais, contribuindo para mudanças no ensino e
aprendizagem, percebendo que essa ciência está presente nas actividades próprias

40. 39
do ser humano como algo natural, podendo conhecer melhor a cultura e abordar o
conhecimento matemático de forma mais concreto e humanizado.
 Modelagem Matemática: A Modelagem Matemática é entendida como
a aplicação da matemática em outras áreas do conhecimento. Através
da modelagem, problemas reais são transformados em uma linguagem
matemática.
Segundo Bassanezi (2002, p. 56), “a modelagem consiste essencialmente na arte de
transformar problemas da realidade e resolvê-los, interpretando suas soluções na
linguagem do mundo real”. A modelagem se torna interessante para que as pessoas
possam actuar e agir no espaço em que vivem, respeitando e valorizando a cultura
local.
Ainda de acordo com Bassanezi, “a utilização da Modelagem como uma estratégia
de aprendizagem, além de tornar um curso de matemática atraente e agradável,
pode levar o aluno a: desenvolver um espírito de investigação, utilizar a matemática
como ferramenta para resolver problemas em diferentes situações e áreas, entender
e interpretar aplicações de conceitos matemáticos e suas diversas facetas,
relacionar sua realidade sócio-cultural com o conhecimento escolar e, por tudo
preparar os estudantes para a vida real, como cidadãos actuantes na sociedade.”
(Bassanezi (2002, p.38).
O trabalho com a Modelagem Matemática provém de temas propostos pelo grupo,
logo, o ensino de Matemática torna-se dinâmico e significativo, uma vez que parte
do conhecimento que o aluno possui sobre o assunto. Dessa forma, atribui maior
significado ao contexto, permitindo o estabelecimento de relações matemáticas, a
compreensão e o significado dessas relações. Nessa perspectiva, o professor se
constitui como mediador entre o conhecimento matemático elaborado e o
conhecimento do aluno.
 Resolução de Problemas: A resolução de situações-problema é um
método que auxilia na construção de conceitos, procedimentos e
atitudes relacionadas com a matemática. Ela sempre oferece algum
tipo de dificuldade que entusiasma a busca de soluções, o que resulta
na produção de conhecimento.
De acordo com Dante, “Situações-problema são problemas de aplicação que
retratam situações reais do dia-a-dia e que exigem o uso da Matemática para serem

41. 40
resolvidos... Através de conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos procura-se
matematizar uma situação real, organizando os dados em tabelas, traçando gráficos,
fazendo operações, etc. Em geral, são problemas que exigem pesquisa e
levantamento de dados. Podem ser apresentados em forma de projectos a serem
desenvolvidos usando conhecimentos e princípios de outras áreas que não a
Matemática, desde que a resposta se relacione a algo que desperte interesse.”
(Dante, 2003, p. 20).
Quando se ensina através da resolução de problemas, os educandos aprendem a
determinar respostas às questões diversas, sejam elas questões escolares ou da
vida quotidiana. Ao resolvermos uma situação-problema, antes de utilizarmos os
conceitos matemáticos, devemos interpretar e entender, portanto, pode-se dizer que
a dificuldade em resolver situações-problemas não é uma dificuldade da disciplina
de matemática, e sim uma dificuldade interdisciplinar.
São vários os factores que levam um aluno a ter dificuldade em interpretar textos ou
problemas, o principal deles é a falta do hábito da leitura, portanto, deve-se
incentivar a leitura e utilizar-se dela abundantemente para atingir resultados
satisfatórios na resolução de situações-problemas.
Um problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo
as faculdades inventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a
tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível,
poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na
mente e no carácter”. (Polya, 1986).
 Jogos Matemáticos: O jogo desempenha um papel importante no
ensino da Matemática. Através do jogo, temos a possibilidade de
adicionar o lúdico na escola, não só como recreação e passatempo,
mas como um recurso didáctico capaz de permitir o desenvolvimento
da criatividade. Ensinar matemática é desenvolver o raciocínio lógico e
estimular o pensamento independente, desta forma, o jogo pode ser
uma opção para acrescer a motivação para a aprendizagem, ampliar a
autoconfiança, a organização, a concentração, a atenção e o raciocínio
lógico-dedutivo.
Segundo Smole, “Todo jogo por natureza desafia, encanta, traz movimento, barulho
e uma certa alegria para o espaço no qual normalmente entram apenas o livro, o

42. 41
caderno e o lápis. Essa dimensão não pode ser perdida apenas porque os jogos
envolvem conceitos de matemática. Ao contrário, ela é determinante para que os
alunos sintam-se chamados a participar das actividades com interesse.” (Smole,
2007, p. 10).
Nessa perspectiva, Grando afirma que “A inserção do jogo no contexto de ensino de
Matemática representa uma actividade lúdica, que envolve o desejo e o interesse do
jogador pela própria acção do jogo, e mais, envolve a competição e o desafio que
motivam o jogador a conhecer seus limites e suas possibilidades de superação de
tais limites, na busca da vitória, adquirindo confiança e coragem para se arriscar”.
(Grando, 2000 p. 32)
Os jogos são recursos com os quais os educandos podem produzir e compreender
conceitos matemáticos, além de criar estratégias para atingir seu objectivo. Assim,
com a mediação é possível a elaboração e o apropriamento de conceitos explorados
no decorrer do jogo.
 História da Matemática: A história da matemática auxilia os alunos a
entender essa área do conhecimento em seu processo de evolução.
Contribui igualmente, para desmistificar a ideia de que a matemática é
uma ciência pronta e acabada. Apresentar a matemática construída
por diferentes povos, em diferentes épocas, ajuda os alunos a
entenderem os conceitos, procedimentos e sistemas matemáticos.
É importante perceber a história da Matemática no contexto da prática escolar como
componente necessário, para que os educandos compreendam a origem da
Matemática e sua importância na vida da humanidade. A história da Matemática
pode ser um elemento orientador na planificação de actividades, na elaboração das
situações-problema, na melhor compreensão dos conceitos matemáticos. Dessa
forma possibilita ao aluno analisar e discutir determinados fatos, raciocínios e
procedimentos.
 Investigação Matemática: A utilização de Investigação Matemática
como alternativa de ensino em sala de aula auxilia na aprendizagem
dos conceitos matemáticos, sendo assim favorece o desenvolvimento
de habilidades cognitivas no aluno, afinal, ele precisa fazer conjecturas
para conseguir chegar ao desenlace de uma determinada situação.

43. 42
O conceito de investigação matemática, como actividade de ensino-aprendizagem,
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da actividade matemática [...]. O aluno é
chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e
conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação
de resultados e na discussão de argumentação com os seus colegas e o professor.
(Ponte; Brocardo e Oliveira, 2006, p.23).
Na tarefa de investigação, para se obter sucesso na aprendizagem deve-se
investigar todos os caminhos que surgem de uma situação dada.
[...] uma investigação é uma viagem até o desconhecido [...], o objectivo é explorar
todos os caminhos que surgem como interessantes a partir de uma dada situação. É
um processo divergente. [...] sabe-se qual é o ponto de partida mas não se sabe
qual será ponto de chegada (Fonseca, Brunheira e Ponte, 2008, p.4).
 Tecnologias da Informação: Segundo Ortega (2004), a escola precisa
formar pessoas integralmente, de maneira, que as tecnologias da
informação, facilitem a preparação do aluno dentro da sociedade.
As tecnologias da informação e comunicação na sala de aula deve ser uma nova
forma de trabalho, vista pelos educadores, como uma ferramenta, um recurso
didáctico, que auxilia na aquisição do conhecimento, onde o aluno é capaz de
interagir com o meio.
Nesse contexto Moran afirma que: As actividades didácticas que contemplam a
tecnologia da informação permitem além da tarefa proposta, em ritmos próprios e
estilo de aprendizagem. Os alunos são dotados de inteligência múltipla e podem ser
despertados para colocar suas habilidades e competências a serviço da produção
do conhecimento individual e colectivo. (Moran, 2006).
Assim, ao incrementar as aulas usando os recursos tecnológicos, o professor
permite que a aprendizagem ocorra em diferentes lugares e por diferentes meios.
Portanto, cada vez mais as capacidades para criar, inovar, imaginar, questionar,
encontrar soluções e tomar decisões com autonomia assumem importância.
Caracterização de resolução de problemas na Republica de Angola.

44. 43
A caracterização da educação matemática, em termos de Resolução de Problemas,
reflecte uma tendência de reacção há caracterizações passadas, que a
configuravam como um conjunto de factos, como o domínio de procedimentos
algorítmicos ou como um conhecimento a ser obtido por rotina ou por exercício
mental.
Hoje, a tendência é caracterizar esse trabalho considerando os alunos como
participantes activos, os problemas como instrumentos precisos e bem definidos e a
actividade na Resolução de Problemas como coordenação complexa simultânea de
vários níveis de actividade.
de aula As referências, indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida
das actividades matemáticas e discutem caminhos para se fazer Matemática na
sala.
Nos últimos anos a resolução de problemas tem sido a área da educação
matemática onde se tem feito mais investigações. Contudo, continua a existir um
fraco conhecimento da resolução de problemas nas nossas escolas, dando mesmo
a sensação de que a situação é algo confusa. Este quadro, relativamente
pessimista, prende-se com dificuldades de vária ordem como por exemplo:
 Distinguir os processos utilizados na resolução de problemas;
 Desenvolver instrumentos que permitam avaliar com segurança que esses
mesmos processos e;
 Identificar métodos de ensino e de investigação mais adequados para
desenvolver e analisar a actividade de resolução de problemas (Fernandes,
2010,p.135).
No ensino da matemática no nosso país no 1º ciclo do ensino secundário não se
contempla exigências de carácter metodológico dirigidas ao desenvolvimento de
habilidades na resolução de problemas matemáticos, e muito menos ao alcance de
competências neste sentido que contribua para o desenvolvimento de uma
aprendizagem significativa e desenvolvedora dos alunos.
O processo de ensino-aprendizagem da matemática no 1º ciclo do ensino
secundário no Namibe, não está alheio a esta situação, pois que pelo seu plano de
estudo (vide anexo) carecem de todas aquelas exigências, pois que tal plano de
estudo e programa apresentam somente sistema de conhecimentos e não faz
referência a um sistema de habilidades a alcançar.
Os alunos do Centro de Formação Profissional das Pescas Cefopescas ”Hélder
Neto” apresentam sérias dificuldades matemáticas, em particular relacionadas à

45. 44
resolução de problema que conduzem à equações do 1ºgrau, que é objecto desse
estudo.
Concepções técnicas acerca da resolução de problemas.
Segundo Ponte (2004), com a aprendizagem das equações os alunos iniciam uma
nova etapa no seu estudo da Matemática. O aparecimento de novas expressões,
que envolvem novos símbolos e novas regras de manipulação, remetem para outro
nível de abstracção, representando, para o aluno, uma ruptura com a Matemática
“concreta” da Aritmética.
No que respeita à resolução de equações, Kieran (2007,p.112) identifica alguns
métodos utilizados pelos alunos, na resolução de equações do 1º grau, e classifica-
os da seguinte forma:
(i) Uso de factos numéricos, por exemplo, na resolução da equação 5 + n = 8 os
alunos usam conhecimentos anteriores da adição, 5 + 3 = 8;
(ii) Uso de técnicas de contagem, permitem compreender que, considerando a
equação anterior, para obter 8, e partindo do número 5, são contados três números
inteiros;
(iii) Cobertura, por exemplo, na equação 6 x = 2 x + 4, 4 tem que ser equivalente a 4
x, uma vez que 6 x = 2 x + 4 x. Sendo assim, se 4 x = 4, x é igual a 1;
(iv) Desfazer, por exemplo, no caso da equação 2 x + 4 = 18, tendo em conta as
operações do 1º membro, para resolver a equação, “desfaz-se” cada operação,
usando a ordem da direita para a esquerda, ou seja, temos primeiro a adição de 4,
logo começar-se-ia por subtrair 4 a 18, de seguida, surge a multiplicação por 2, pelo
que, o resultado obtido anteriormente seria dividido por 2;
(v) Substituição por tentativa e erro, substitui-se o valor da incógnita por vários
valores, até encontrar o valor que permita obter uma proposição verdadeira. Por
exemplo, para resolver a equação, 2 x + 5 = 13, testam-se diversos valores, como 2,
6 e depois 4, chegando à conclusão que só o 4 poderá ser solução da equação;
(vi) Transposição, que consiste em deslocar termos de um membro para o outro,
trocando o sinal;
(vii) Realização da mesma operação em ambos os membros, por aplicação dos
princípios de equivalência de equações.
Os três primeiros métodos referidos pelo autor são considerados informais, ao
contrário dos dois últimos, que requerem um maior grau de formalização. A

46. 45
realização de substituições por tentativa erro é uma estratégia bastante informal e
que, caso não sejam conhecidas as propriedades dos números, pode tornar a
resolução da equação num processo muito moroso. Contudo, o autor refere que os
alunos que utilizam este método no inicio da aprendizagem da resolução de
equações têm mais desenvolvida a noção de equilíbrio entre os lados, direito e
esquerdo, da equação e do papel da equivalência do sinal de igual, do que os
alunos que nunca adoptaram este método. No que respeita ao método de
transposição, o autor defende que este pode levar os alunos a aplicar
“mecanicamente” a regra: muda de membro - muda de sinal, não operando as
equações como objectos matemáticos. Por sua vez, o método que consiste na
realização da mesma operação em ambos os membros é o mais complexo uma vez
que implica a operação sobre a própria estrutura da equação. Este método consiste
na aplicação formal dos princípios de equivalência de equações. Através destes
princípios é possível, adicionar, subtrair, multiplicar e dividir ambos os membros de
uma equação por um mesmo número, que no caso da multiplicação e da divisão,
terá que ser diferente de zero.
Como afirmam Ponte, Branco e Matos (2009) “As equações são uma ferramenta
fundamental para resolver problemas” (p. 106).
O National Council of Teachers of Matematics (NCTM, 2007) como organização de
educadores, apresentou em 1980, suas recomendações para o programa de acções
que deveriam ser consideradas para esta década. A primeira dessas
recomendações era que a resolução de problemas deveria ser o foco do ensino da
Matemática, (Onuchic, 2007,79-97).
Ainda Hoje, somos perguntados “ Para que aprender Matemática?”, muitos
educadores respondem que a função principal da matemática é que o aluno aprenda
a formular e a resolver problemas. Facto este atestado pelo pesquisador Larry L.
Hatfield (2009,p.52-54).
“Aprender a resolver problemas matemáticos deve ser o maior objectivo da instrução
matemática. Certamente outros objectivos da matemática devem ser procurados,
mesmo para atingir o objectivo da competência e resolução de problemas.
Desenvolver conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um
conhecimento significativo é importante. Mas o significado principal de aprender tais
conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das situações-
problemas”. (Hatfield apud Dante, 2009,p.15).

47. 46
Assim, pela relevância da resolução de problemas no processo de ensino-
aprendizagem de matemática, apresentar-se-á alguns estudos sobre o tema.
Estando a resolução de problemas no centro do ensino e da aprendizagem da
Matemática é importante salientar o que se entende por problema. Segundo Ponte
(2005) um problema é uma tarefa fechada com elevado desafio, sendo fechada por
nela ser “claramente dito o que é dado e o que é pedido”(pp. 7, 8) é um desafio
porque, segundo o autor “um problema comporta sempre um grau de dificuldade
apreciável” (p. 13). Já, de acordo com Pires (2001) um problema “é uma tarefa com
um objectivo bem definido e um método de resolução desconhecido” (p. 141).
Podemos então afirmar que estamos perante um problema quando sabemos quais
os dados a utilizar e o objectivo a atingir, mas desconhecemos o caminho para lá
chegar.
Concordamos com Ponte et al. (2003, p. 2) de que [...] “investigar” não é mais do
que procurar conhecer, procurar compreender, procurar encontrar soluções para os
problemas com que nos deparamos. Trata-se de uma capacidade de primeira
importância para todos os cidadãos e que deveria permear todo o trabalho da
escola, tanto dos professores como dos alunos.
Não há dúvida de que ensinar por resolução de problemas é difícil. As tarefas devem
ser planificadas ou seleccionadas a cada dia e a compreensão actual dos alunos e
as necessidades curriculares devem ser levadas em consideração (Van de Walle,
2009, p. 59).
D’Ambrosio, (1989, p.15-19) destaca que é bastante comum o aluno desistir de
solucionar um problema matemático, afirmando não ter aprendido como resolver
aquele tipo de questão ainda, quando ela não consegue reconhecer qual o algoritmo
ou processo de solução apropriado para aquele problema. Faltam aos alunos uma
flexibilidade de solução e a coragem de tentar soluções alternativas, diferentes das
propostas pelos professores.
A partir das ideias sobre resolução de problemas apresentadas pelos autores
consultados, pode-se inferir que se consolidou a visão de que:
Um problema não é simplesmente uma tarefa matemática, mas uma ferramenta para
pensar matematicamente, um meio para criar um ambiente de aprendizagem que
forme sujeitos autónomos, críticos e prepositivos, capazes de se perguntar pelos
factos, pelas interpretações e explicações, de ter seu próprio critério estando, ao
mesmo tempo, abertos aos de outras pessoas (Vila e Callejo, 2006, p. 10), com

48. 47
quem o autor concorda plenamente, pelo facto diante desse contexto o professor
determina seu trabalho pedagógico como uma situação-problema: o que ensinar?
Como ensinar? Porque ensinar? E quem ensinar? Desta forma, sua acção didáctica
deve ser definida a partir de uma reflexão sobre objectivos, conteúdos e estratégias
de ensino.
Hoje todos os alunos aprendem a resolver problemas matemáticos. Ao mesmo
tempo, a resolução de problemas vem contribuindo para o insucesso escolar. De
modo geral, os problemas trabalhados em sala de aula são exercícios repetitivos
para fixar os conteúdos que acabaram de ser estudados, motivando o uso de
procedimentos padronizados para serem utilizados na resolução de problemas
semelhantes. Essa actividade não desenvolve no aluno, a capacidade de transpor o
raciocínio utilizado para o estudo de outros assuntos.
A resolução de problemas é uma importante contribuição para o processo de ensino
e aprendizagem da Matemática, criando no aluno a capacidade de desenvolver o
pensamento matemático, não se restringindo a exercícios rotineiros
desinteressantes que valorizam o aprendizado por reprodução ou imitação.
Um aspecto fundamental na aprendizagem da Álgebra diz respeito à transição da
linguagem natural para a linguagem algébrica. Nesse sentido, Kieran (2007)
denomina como “word problems” e subdivide-os em três tipos:
(i) Problemas tradicionais: são problemas que se traduzem matematicamente por
uma equação. A abordagem consiste em escrever uma equação envolvendo
incógnitas e operações, de acordo com algumas relações matemáticas, seguindo-se
depois a resolução da equação onde, por meio de manipulação algébrica, se isola a
incógnita e se determina o seu valor;
(ii) Problemas segundo uma perspectiva funcional: não são muito diferentes dos
“word problems” tradicionais tendo, no entanto, um modo de apresentação e uma
abordagem de resolução diferentes. Geralmente, as relações entre duas variáveis
são estabelecidas antes da resolução do problema, de modo a que a expressão que
representa essa relação funcional torne explícita a interpretação do problema;
(iii) Problemas de generalização: nestes problemas, a letra assume o papel de
variável, sendo utilizada como ferramenta para expressar relações numéricas.
A importância da resolução está no facto de “possibilitar aos alunos mobilizarem
conhecimentos e desenvolverem a capacidade para gerenciar as informações que
estão a seu alcance dentro e fora da sala de aula. Assim, os alunos terão

49. 48
oportunidades de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos
matemáticos bem como do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança”
Schoenfeld (apud Planos Curriculares Nacionais “PCN”, 1998, p.142). Ainda,
segundo Dante (2009), “é possível por meio da resolução de problemas desenvolver
no aluno iniciativa, espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade de
elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos
disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em
seu dia-a-dia, na escola ou fora dela”. Os alunos ao resolverem problemas podem
descobrir factos novos sendo motivados a encontrarem várias outras maneiras de
resolverem o mesmo problema, despertando a curiosidade e o interesse pelos
conhecimentos matemáticos e assim desenvolverem a capacidade de solucionar as
situações que lhes são propostas.
Despertar no aluno o gosto pela resolução de problemas não é tarefa fácil, muitos
são os momentos de dificuldade, obstáculos e erros. Isto acontece porque
professores e alunos não conseguem distinguir um problema matemático de um
exercício matemático.
2.1.2. Problemas Versus exercícios: diferenças
Podemos distinguir, mais claramente, um problema de um exercício. “Um problema
matemático é uma situação que demanda a realização de uma sequência de acções
ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de
início, mas é possível construí-la” (PCN, 1998). Segundo Silveira (2004,p.336), “um
problema matemático é toda situação que requer a descoberta de informações
matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de
uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o
resolvedor conheça o objectivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema
se ele ainda não tem os meios para atingir tal objectivo”.
Se os alunos conseguem interpretar a proposta do enunciado da questão, sabendo
estruturar algumas ou todas as situações apresentadas, desenvolvendo várias
estratégias de resolução incluindo a verificação das mesmas e do resultado, tem em
mãos um problema matemático, mas se “é uma actividade de treinamento no uso de
alguma habilidade/conhecimento matemático já conhecido pelo resolvedor, como a
aplicação de um algoritmo conhecido, de uma fórmula conhecida” (Silveira, 2004),
os alunos têm em mãos um exercício que exige apenas a aplicação de um
procedimento sem a necessidade de criar estratégias para resolvê-lo.

50. 49
Segundo Jungk (1986), existem exercícios de aplicação, que são os que têm origem
na prática e exercícios construídos que são os que se concebem com fins
didácticos, ou seja para exercitar, aprofundar, sistematizar, e estes últimos se
dividem em formais, como pode ser, calcula, simplifica, resolve um sistema de
equações, uma equação, etc. E com texto que podem ser puros de Matemática, ou
relacionados com a prática. (Jungk, 1986).
O trabalho do autor com os problemas está dedicado aos que têm texto, e
analisando o conceito que Borasi (1989) fizesse dos mesmos, chamado por Branco
(1997), que expõe: “trata-se de um texto formulado com precisão, onde aparecem
todos os dados necessários para obter a solução.
Como exemplo de problemas, apresentamos a seguinte situação envolvendo uma
equação do 2º grau:
Duzentas e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de meninos, mas
na hora de reparti-las 5 meninos não apareceram para pegar as suas figurinhas. Por
causa disso, cada menino recebeu 8 figurinhas a mais. Quantos meninos receberam
figurinhas?
Para resolver este problema será necessário que o aluno traduza o enunciado para
a linguagem matemática apropriada
240
𝑥
+ 8 =
240
𝑥−5
, realizando manipulações
algébricas para chegar à expressão 8x2 – 40x – 1200 = 0 (ou x2 – 5x – 150 = 0).
Após estes passos, o aluno poderá utilizar algum procedimento padronizado para a
resolução, como por exemplo, a aplicação da fórmula de Bhaskara ou a lei do
anulamento do produto.
Como exemplo de um exercício, poderíamos propor ao aluno que resolvesse a
seguinte equação do 2º grau: 8x2 – 40x – 1200 = 0. Neste caso solicita-se ao aluno a
aplicação imediata, por exemplo, da fórmula de Bhaskara ou a lei do anulamento do
produto, não requerendo do mesmo outras habilidades matemáticas.
Segundo Resnick (apud Silveira, 2004), existem diferentes tipos de problemas e que
cada tipo tem uma função no processo de aprendizagem do aluno. Em forma de
síntese, apresentamos estes tipos de problemas:
EXERCICIOS DE RECONHECIMENTO: este tipo de exercício verifica apenas se o
aluno reconhece ou relembra um facto, uma definição ou um teorema.
Exemplo:
a) Assinala os desenhos que representam figuras planas.

51. 50
1 2 3 4
Resposta: 1 e 4
b) Circule os números pares:
Resposta: 160, 12, 1002, 2
- EXERCICIOS ALGORITMICOS: podem ser resolvidos com um algoritmo
especifico ou executando – se um procedimento passo a passo.
Exemplo:
a) Calcule: Resposta:
32,7 + 1,34 32,7
+ 1,34
34,04
b) Resolve a seguinte equação do 1º grau.
y + 4 – 8y = 23 Resposta:
y – 8y = 23 – 4
- 7y = 19
y = - 19/7
- PROBLEMAS DE APLICAÇÃO
Nesta categoria, estão os tradicionais problemas de palavras cujas soluções
requerem do aluno:
 Faça a formulação simbólica do problema;
 Manipule essa formulação com algoritmos ou outros procedimentos já
conhecidos, para então obter a resposta.
Exemplo:
a) A mãe foi a praça e gastou kz 4,00 com verduras e kz 5,00 com frutas. Com
quanto voltou para casa se saiu com kz 10,00?
Resposta:
Estratégia 1
kz 4,00 + kz 5,00 = kz 9,00
kz 10,00 – kz 9,00 = kz 1,00
95 – 160 – 12 – 355 – 1002 – 501 - 2

52. 51
Estratégia 2
Chamaremos de x a quantidade de dinheiro que sobrou.
x + 4 + 5 = 10
x + 9 = 10
x = 10 – 9
x = 1. Resposta: ela voltou para casa com kz 1,00.
b) O dobro de um número somado a 7 é igual a 13. Qual é esse número?
Resposta: chamaremos o tal número de x
2x + 7 = 13
2x = 13 – 7
2x = 6
x = 6/2
x = 3 . O número é 3.
- PROBLEMAS EM ABERTO
Um problema em aberto não contém, no enunciado, uma estratégia para a sua
resolução. Porem, apresenta muitas vantagens, como a abordagem de diversos
conteúdos matemáticos num único problema.
Exemplo:
a) O Gavião chega a um pombal e diz:
- Adeus, minhas cem pombas!
- As pombas respondem em coro:
- Cem pombas não somos nós, com mais dois tantos de nós e com você meu
caro Gavião, cem pássaros será então!
Quantas pombas estão no pombal?
Resposta:
Estratégia 1
100 – 1 = 99 (subtraímos o Gavião).
99: 3 = 33 (dividimos por 3 porque são a quantidade de pombas mais 2
tantos, ou seja, 3).
Estratégia 2
Chamaremos de x a quantidade de pombas que estamos a procurar.
x + 2x + 1 = 100
3x = 100 – 1
3x = 99
x = 99/3

53. 52
x = 33. Estão no pombal 33 pombas.
- SITUAÇÕES-PROBLEMA
Nessa categoria não estão os problemas em si, mas situações nas quais um dos
passos principais é identificar o problema inerente para, num passo seguinte,
resolve-lo. Outro passo importante é testar se a solução encontrada é satisfatória.
Caso não seja, o problema deve ser retomado e revisto, ou um novo problema deve
ser identificado e, o processo deve ter continuação até que a solução ideal se
apresente.
Exemplos:
a) Esboce um estacionamento.
b) Apresente a distribuição de alimentos para a merenda escolar de uma
semana.
Note-se que as questões das duas primeiras categorias (exercícios de
reconhecimento e exercícios de algorítmicos) exigem muito pouco dos alunos, não
permitindo a exploração dos conhecimentos que os alunos trazem, nem o
desenvolvimento de sua criatividade. Dessa maneira, devem ser exploradas com
menor intensidade, podendo ser utilizadas nos casos em que o professor deseja
saber se o aluno conhece factos específicos do conteúdo.
Os problemas das três últimas categorias (problemas de aplicação, problemas em
aberto e situações-problema) permitem uma desenvoltura maior dos alunos,
possibilitando ao professor uma visão mais abrangente do conhecimento dos alunos.
As categorias problemas em aberto e situações-problema são dos que mais
possibilitam reflexões, discussões e, consequentemente, um aprendizado
significativo.
2.1.3. Etapas da resolução de problemas, segundo a metodologia de Polya.
A resolução de problemas é concebida por diversos autores como um processo
sequencial onde se estabelecem diversas fases.
Segundo Pólya (2003) a resolução de problemas inclui quatro etapas:
1ª Etapa: Compreensão do problema
Qual é a pergunta que está sendo feita?”, “O que pede o problema?”, “Que
informações têm?”, “Quais são os dados?”. Essas são algumas indagações que se
pode fazer para procurar compreender o problema. A compreensão do problema
está directamente ligada à leitura e à interpretação, por isso é necessário que o

54. 53
aluno realmente deseje resolver o problema, ou seja, tenha interesse, esteja
motivado para achar a solução.
2ª Etapa: Estabelecimento de um plano
A elaboração do plano de acção consiste em relacionar os dados do problema à
pergunta feita e procurar achar uma estratégia para que se possa chegar a solução.
Essa estratégia pode ser a utilização de uma fórmula e o desenvolvimento da
mesma. A elaboração de um bom plano depende, também, de uma boa ideia. Em
seu livro a Arte de Resolver Problemas, Polya faz a seguinte citação: uma grande
descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta
na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele
desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolver
por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta
(Polya, 2006, p. v). Na elaboração do plano, podem ser observadas as seguintes
indagações: “Conhece ou já resolveu algum problema semelhante?”, “É possível
resolver o problema em partes?”, “Que caminhos podem-se tomar para sua
solução?”. Com base nesta última indagação, percebe-se que para resolver um
problema podem-se estabelecer planos diferentes que resultarão na mesma
resposta.
3ª Etapa: Execução do plano
Esta fase é, teoricamente, mais fácil que elaborar o plano. É onde se executará,
passo-a-passo, o plano elaborado verificando se tudo está de acordo com o
programado. Para que se atinja o objectivo, é importante que o próprio aluno tenha
elaborado o plano.
4ª Etapa: Retrospecto
Esta fase é importante porque é aí que será verificado se o plano foi bem executado,
se há necessidade de ajustes, se a resposta está coerente, se há possibilidade de ir
por outro caminho mais prático e seguro. Pode-se, muitas vezes, fazer a verificação
da resposta, onde o retrospecto pode determinar se a conclusão é correcta ou não.
Pode-se, também, verificar se é possível utilizar a resposta ou a resolução em outro
problema.
Sobre a utilização da 4ª etapa, de acordo com Gazire (1988,p.56), Polya acreditava
que, os professores observassem essas fases ao trabalharem com resolução de
problemas, favoreceriam o desenvolvimento de uma atitude mental mais clara e
produtiva de seus alunos. (Gazire, 1988,p.56).

55. 54
Rosa e Orey (2010) citam algumas heurísticas propostas por Polya, que devem ser
observadas na resolução de problemas:
Se existe alguma dificuldade para o entendimento de um problema, tente desenhar
um diagrama. – Se a solução para o problema não puder ser facilmente encontrada,
suponha que o problema possua uma solução e trabalhe com esta solução para
trás, isto é, com a utilização do procedimento regressivo, para verificar quais as
soluções podem ser encontradas. – Se o problema é abstracto, procure examinar
um problema similar que ofereça um exemplo concreto. – Primeiramente, tente
resolver um problema mais geral. Este aspecto é conhecido como o “paradoxo do
inventor”, isto é, quanto mais ambicioso for o plano, existem mais chances para o
sucesso na resolução do problema. (Rosa & Orey, 2010,p.9).
Assim as heurísticas de Polya sintetizam que a solução de um problema pode não
ser encontrada na primeira tentativa, e utiliza do raciocínio para trás a fim de
solucionar o problema e o raciocínio para frente para validar a solução. (Rosa &
Orey, 2010).
2.1.4. Estratégias de resolução de problemas da matemática escolar que
conduzem a equações do 1º grau.
Quando se fala de estratégias considera-se a inexistência de um caminho único a
ser trilhado. Os caminhos devem se construídos ao caminhar o que implica em
estratégias (no plural) adoptivas, procedimentos que devem ser todo o momento
objecto de reflexões e avaliações. Isto requer uma mudança nas acções
pedagógicas dentro de um processo dinâmico que transforme ao se transformar.
De modo que o aluno possa diversificar a sua Acção temos as seguintes estratégias:
1. Tentativa-e-erro organizado; talvez esta estratégia seja a mais usada para a
resolução de exercícios.
2. Procura de padrões ou generalizações; esta estratégia considera casos
particulares do problema e chega-se à solução através da generalização.
3. Resolvendo antes um problema mais simples; Nesta estratégia resolve se um
problema com uma versão mais resumida, passando depois para a
generalização.
4. Fazendo o caminho inverso: difere dos anteriores pelo facto de partir do
resultado, para o que deve ser encontrado;

56. 55
5. Simulação: a solução de um problema compreende preparar e realizar um
experimento, Colectar dados e tomar uma decisão baseada na análise dos
dados.
Cuidados que se deve ter: longas listas de problemas são desmotivadores, assim
como constantes fracassos e repetições são frustrantes. Para evitar essas atitudes
convém:
 Apresentar poucos problemas com graduação de dificuldades e aplicação de
diferentes estratégias.
 A linguagem deve ser simples evitando a não compreensão do problema.
 Permitir o uso de materiais concretos.
 Evitar valorizar a resposta e sim todo o processo para determina-la.
 Incentivar as descobertas do aluno, a diversidade de estratégias utilizadas, a
exposição de dificuldades, a análise e verificação da solução, a criação de
novos problemas e a identificação do erro, para que através dele possa
compreender melhor o que deveria ter sido feito.
Sendo assim, professor deve propor situações-problema que possibilitem a
produção do conhecimento, onde o aluno deve participar activamente
compartilhando resultados, analisando reflexões e respostas, enfim aprendendo
a aprender.
2.2. Formas de organização e conteúdo da experimentação.
Para fazer face a este item, ministramos 12 aulas sendo cada uma com a carga
horária de 45 minutos perfazendo 90 minutos as duas aulas assim distribuídas:
1ª Aula: Equação do 1º grau a uma incógnita – 2 tempos
Objectivo: que os alunos saibam resolver equações do 1º grau com uma incógnita
dos tipos ax = b e a + x = b
 Que os alunos saibam traduzir um problema por meio de uma equação.
 Que os alunos saibam procurar soluções para uma equação.
2ª Aula: Equação Literal – 2 tempos
Objectivo: que os alunos saibam resolver equações do 1º grau com uma incógnita.
 Que os alunos saibam traduzir um problema por meio de uma equação.
 Que os alunos saibam procurar soluções para uma equação.

57. 56
 Saibam Traduzir em linguagem simbólica matemática situações
3ª Aula: Equações do 1º grau. Exercícios – 2 tempos
Objectivos: Resolver equações literais;
 Escrever fórmulas;
 Procurar soluções para uma equação;
4ª Aula: Equação Literal. Exercícios/ problemas – 2 tempos
Objectivos: Resolver equações literais;
 Escrever fórmulas;
5ª Aula: Equações do 2º grau – 2 tempos
Objectivo: saibam Traduzir um problema por meio de uma equação;
 Procurar soluções para uma equação;
6ª Aula: Equações do 2º grau – 2 tempos.
Objectivo: saibam Resolver equações do 2º grau com uma incógnita;
Antes de ministrar a temática referente a resolução de problemas aplicamos o teste
(vide anexo) que continham dois problemas e três exercícios com o intuito de
diagnosticar as reais habilidades que os alunos traziam da 7ªclasse que forneceram
os dados plasmado no gráfico nº 1e2 do capítulo anterior.
2.3. Metodologiaque sustenta á proposta metodológica.
A proposta foi elaborada com base nas referências teóricas já assumidas no capítulo
I. assim, a metodologia à apresentar desde o ponto de vista filosófico sustenta-se
nos princípios, leis, categorias e métodos do Materialismo Dialéctico que permite a
análise e a interpretação dos processos de ensino-aprendizagem da Matemática,
assim como sua Teoria do Conhecimento que distingue o sensorial e o racional no
conhecimento humano, em estreita interacção com a prática e a valorização.
Assume-se desde o ponto de vista psicológico o modelo histórico-cultural de
Vygotsky (1896-1934); apoiando se no papel da actividade, da comunicação, na
integração do cognitivo, e na aprendizagem da Matemática pelos alunos. Significa
que o conhecimento é um processo dinâmico que acompanha o desenvolvimento da
vida humana; é o resultado da interacção social que manifesta e se transfere de
geração a geração, por meio da comunicação.

58. 57
Deste o ponto de vista pedagógico, a proposta assume que a educação e a
instrução orientam o desenvolvimento, sendo este um resultado do ensino, da
comunicação e da actividade do aluno. Além disso, consideramos os fundamentos
da didáctica da Matemática e seus métodos particulares.
A proposta elaborada pelo autor, apoia-se nas heurísticas de Polya (1995,p.5) para
a resolução de problemas.
Antes de entrarmos na exposição e análise das diversas heurísticas de resolução de
problemas é muito importante termos a ideia clara sobre o significado da palavra
heurística. Para tal, recorremos ao dicionário Houiss (2001,p.1524) que nos traduz
heurística em vários contextos: Contexto científico: “ a ciência que tem por objectivo
a descoberta de factos; Contexto de problematização: a arte de inventar, de fazer
descobertas “ ou método de investigação baseado na aproximação progressiva de
um dado problema; e Contexto pedagógico: método educacional que consiste em
fazer descobrir pelo aluno o que se lhe que ensinar”.
Percebemos, portanto que falar em heurística de resolução de problema é falar
sobre métodos e regras que conduzem à descoberta, inovação, investigação e
resolução de problemas. Podemos também observar que heurística pode referir-se
tanto ao contexto científico quanto ao contexto educacional; para o autor, ambos os
contextos são pertinentes, pois ao mesmo tempo em que queremos avaliar a
importância da resolução de problemas na evolução matemática-descoberta de
novos resultados, criação de novos problemas. Também queremos ressaltar a
importância dos problemas no processo de ensino-aprendizagem. Quatro exemplos
extraídos do livro de Polya (1985, p.133) ilustram o conceito.
 se não puder compreender um problema, monte um esquema;
 se não poder encontrar a solução, tente fazer um mecanismo inverso para
tentar chegar à solução.
 se o problema for abstracto, tente propor o mesmo problema num exemplo
concreto;
 tente abordar primeiro um problema mais geral.
2.4. Exigência pedagógico-didáctica da proposta metodológica.
Tendo em conta que os alunos apresentam dificuldades na resolução de problemas
que conduzem a equações do 1º grau, o autor tem o propósito de elaborar uma

59. 58
proposta metodológica apoiada num sistema de exercícios com texto relacionados
com equações do 1ºgrau, que inclui os tradicionais e o novo tipo e que contribua
para o desenvolvimento do pensamento logico dos alunos. Neste sentido, o aspecto
que tem a ver com o ensino, deve considerar não só os conhecimentos novos, os
procedimentos e as habilidades correspondentes, mas também deve ter em conta os
conhecimentos prévios que os alunos têm a partir daí; o professor tem que fazer um
diagnóstico dos seus alunos e trabalhar segundo o que os alunos podem fazer
sozinhos e que os alunos podem fazer com ajuda dos outros. Na actividade, os
alunos podem mostrar suas habilidades, desenvolvendo diferentes acções e neste
sentido, o autor considera que um sistema de exercícios (problemas) com texto que
combina os tradicionais com o de novo tipo, pode contribuir ao alcance do objectivo
proposto, mas é necessário ter em conta algumas exigências metodológicas em sua
interacção.
Figura 1: Etapas da proposta metodológica para o ensino.
Fonte: elaborado pelo autor
A metodologia de resolução de problemas é composta por quatro etapas, nas quais
polya (1995, p.5) aponta indagações e procedimentos que o professor deve
organizar e adaptar à prática pedagógica. As quatro fases são: 1) Diagnosticar
problema; 2) Elaboração de um plano de resolução; 3) Execução do plano e 4)
Investigação da validade da resposta obtida/controlo.
1. Compreensão do problema: nesta fase o aluno deve buscar as informações
no corpo do texto do problema e, além disso, atender para o destaque de
dados e características importantes para a resolução. Qual será a incógnita
ou variável? É possível resolver? Quais são os dados fornecidos? Os dados
suficientes param a obtenção da resposta? Esses questionamentos são
necessários para que haja o entendimento do exercício.
FASE 4
Controlo
FASE 3
Execução
Exigências metodológicas da proposta.
FASE 1
Diagnostico
FASE 2
Planificação

60. 59
Importante ressaltar que o professor pode realizar intervenções que os auxiliem na
interpretação correcta do problema, mas com cuidado de não indicar a resposta.
2. Elaboração de um plano de resolução: o aluno deva realizar uma conexão
entre o conteúdo já estudado e os dados fornecidos pelo problema. Observar
se a incógnita ou variável se relaciona com informações obtidas no texto,
comparar a situação com problemas correlatos já vistos e discutidos
anteriormente e também observar se é possível perceber padrões ou
propriedades que auxiliem na resolução do problema. Para se obter um plano
de execução, poderá ser necessário relaciona-lo a problemas auxiliares mais
simples, que possam indicar padrões e métodos de resolução que se ajustem
ao referido problema.
Nesta fase é necessário estabelecer as justificativas para as acções que serão
tomadas para resolver o problema. a estratégia que será adoptada na resolução tem
que estar bem clara para que o aluno possa entende-la no momento de execução.
3. Execução do plano: o aluno põe em prática o plano de resolução elaborado.
Ao executa-lo, deve verificar os passos e observar se o desenvolvimento conduz
para a resolução esperada do problema. a justificativa dos passos adaptados na
execução do plano de resolução é fundamental para o entendimento.
4. Investigação da validade da resposta obtida: ao encontrar a resposta é
necessário verificar sua validade, ou seja, analisar se de facto o valor obtido
representa a solução do problema; dessa forma, é conveniente realizar
algumas substituições ou verificações para poder concluir. Observar se a
resposta obtida está de acordo com o problema proposto e se pode ser
comprovado de outras formas.
Ao professor que conduz em suas aulas a metodologia de resolução de
problemas cabe ressaltar que:
a) Durante a realização das etapas previstas nessa metodologia é possível
obter resultados que não eram solicitados originalmente pelo problema.
Tais resultados podem contribuir para o enriquecimento da aprendizagem
dos alunos, porem é necessário atentar-se para a solução do problema
principal.
b) Caso o aluno não obtenha a resposta esperada. Observe em qual etapa
houve falha. Se na primeira, poderá ter sido um erro no entendimento do
conceito que premeia o problema; se aconteceu na segunda ou terceira
etapa, a falha poderá estar no procedimento de resolução (técnica).

61. 60
Identificado o erro do aluno ficará mais fácil propor, posteriormente,
encaminhamentos que ajustem essas deficiências detectadas. A
realização de sínteses com as respostas obtidas pelos alunos é uma
forma de retomar os objectivos do conteúdo que foi proposto.
Considera-se necessario introduzir dentro de estas etapas o seguinte sistema de
passos lógicos ou algoritmo para resolver um problema:
1. Ler a pergunta com atenção para compreender a informação oferecida e o que se
pede (interrogante) no problema. Visualizar a situação problémica
esquemáticamente. (Compreender o enunciado e o problema qualitativa e
quantitativamente.
2. Encontrar a equação apropriada que relacione a informação dada com a
informação ou quantidade desconhecida, podem buscar-se em tabelas de datas os
que não aparecem no enunciado do problema, análise dimensional, conversão de
unidades e magnitudes.
3. Procurar estratégias para a solução do problema e selecionar entre elas a que
possa dar um resultado final ótimo e satisfatório.
4. Verificar que na resposta todo esteja correto (símbolos, fórmulas, unidades), quer
dizer, verificar a veracidade da resposta.
5. Julgar se a resposta é razoável, quer dizer se os signos, unidades da quantidade
calculada estão corretos. Eficácia cognitiva na resolução do problema, reflexão
integral sobre o processo seguido.
6. Observação: fazer uma estimativa da resposta esperada (sem usar a
calculadora), que embora não seja exata, se estiver próxima à correta.
Tudo ensina-se e aprende-se através dá explicação, ou exemplo e exercitação.
A chave do êxito na resolução de problemas é a prática e a exercitação.
Exigências a cumprir pelos problemas formulados:
a) Objetivação da essência matemática do problema.
b) Sistematização dos procedimentos empregados na resolução de problemas,
durante a seleção de cada problema.

62. 61
c) A exercitação e aplicação dos procedimentos e métodos na actividade cognitiva
independente, para a formação e desenvolvimento de habilidades para o
desempenho cognitivo durante a resolução de problemas matemáticos.
O papel do professor
Quando o professor adapta a metodologia de resolução de problemas, seu papel
será incentivador, facilitador, mediador das ideias apresentadas pelos alunos, de
modo que estas sejam produtivas, levando os alunos a pensarem e a gerarem seus
próprios conhecimentos.
Deve criar um ambiente de cooperação, de busca, de exploração e descoberta,
deixando claro que o mais importante é o processo e não o tempo gasto para
resolve-lo ou a resposta final.
Dado um problema para ser resolvido em grupo, é importante que o professor:
 Permita a leitura e a compreensão do mesmo;
 Proporcione a discussão entre os alunos para que todos entendam o que se
busca no problema propicie a verbalização;
 Não responda directamente as perguntas feitas durante o trabalho e sim
incentive-os com novos questionamentos, ideias e dicas;
 Após a determinação da solução pelos alunos, discuta os diferentes caminhos
de resolução, incentivando para soluções variadas – também discuta
soluções erróneas;
 Estimule a verificação.
Não existe um Modelo único para a Resolução de problemas nem para ensinar a
resolver problemas. No entanto o Modelo de Polya continua a ser um referencial
para a investigação nesta área.
Este Modelo apesar de não prezar pela sua novidade é um modelo com um cunho
fortemente didáctico que antecipa comportamentos metacognitivos e que facilmente
se transpõe para outros domínios (Neto, 1998).
A melhoria das capacidades de resolução de problemas, por parte dos alunos,
dependem destes orientarem a sua atenção para perguntas chave que lhes permite
atingir com sucesso a solução do problema.
O Modelo de Polya sugere questões e sugestões que se encontram agrupadas em
quatro fases que constituem o processo de resolução de problemas (Palhares,
2004).

63. 62
Descritas as diferentes fases que a nossa proposta metodológica considera, a
continuação apresenta-se o modelo teórico da proposta metodológica.
Figura 2. Estrutura da proposta metodológica para o ensino da matemática baseada
na resolução de problemas que conduzem a equações do 1º grau.
P
Fonte: Elaborado pelo Autor.
PROBLEMA: Que contribuição à metodologia do ensino da matemática
baseada na resolução de problemas pode trazer na melhoria da
aprendizagem do conteúdo vinculado às equações do 1º grau na 8ª classe do
1ºciclo do ensino secundário?
OBJECTIVO:
Elaborar uma Proposta
metodológica para o
ensino da matemática,
sustentada numa
metodologia baseada na
resolução de problemas,
que possibilite melhorar
aprendizagem do
conteúdo vinculado às
equações de primeiro
grau na 8ª classe do 1º
ciclo do ensino
secundário.
CONTEÚDO:
- Conhecimentos
Prévios.
- Conhecimentos
Novos: conceitose
procedimentos.
- Habilidadese
Valores
-
EXIGÊNCIAS
METODOLÓGICAS
- Compreensãodo
Problema
-Estabelecimento
de um Plano.
- Execução do
Plano.
- Retrospecto
Sistemade Exercícios/Problemas
Papel do aluno:
Activo
 Exercícios Tradicionais.
 Problemas Heurísticos.
Papel do Professor:
Facilitador do P.E.A
SOLUÇÃO

64. 63
2.4.1. Exemplos da aplicação da proposta metodológica.
Nesta epígrafe são apresentados os problemas elaborados como proposta da
proposta metodológica para serem empregues na activação do processo de ensino
aprendizagem da matemática na 8ª classe.
Desde o ponto de vista metodológico ao final da resolução de cada problema deve
valorar-se a expressão final que conduze à equação de primeiro grau de forma
específica, isto possibilitará a formação do conceito e chegar à formulação geral da
equação de primeiro grau.
Problema 1. Em uma balança equilibrada há no pratos esquerdo duas melancias
de “pesos” iguais e um “peso” de 2Kg. No prato direito há apenas um “peso” de
14Kg. Quanto pesa cada melancia?
fig.3
Fonte: educacaodialogica.blogspot.com
1º Compreensão do problema
Duas melancias mais dois quilos é igual a quatorze quilos
2º Elaboração do plano
2melancias + 2kg = 14 kg
3º Execução do plano
x = “peso” da melancia
2.x+2 = 14
2.x = 14 - 2
2.x = 12
x = 12 / 2
x = 6 Assim, cada melancia pesa 6 kg.
4º verificação
2.6 + 2 = 14
14 = 14

65. 64
Esta questão (1)será a mais simples elaborada para o questionário, espera-se ter o
maior aproveitamento de acertos devido a ser do quotidiano do aluno,que desde a
primária ele já trabalha com esse tipo de equação, onde ele já tem um
relacionamento com as expressões numéricas.
Problema 2: Uma casa com 260 m² de área construída possui 3 quartos de mesmo
tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa
ocupam140m²?
1º compreeder o problema
x = área de cada dormitório
2º elaboracao do plano
x = área de cada dormitório
3º execucao do plano
x = área de cada dormitório
3.x + 140 = 260
3.x = 260 – 140
3.x = 120
x = 120 / 3
x = 40
Assim, cada dormitório possui 40 m².
4º verificação
3.40 + 140 = 260
120 + 140 = 260
260 = 260
Esta questão (2) trabalhará a mente do aluno em calcular a área do quarto, que se
pede no problema.E o aluno não terá problemas em resolver esta equação do 1º
grau.
Problema 3: Um comboio partiu do Namibe com um certo número de passageiros.
Na primeira paragem, desceram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40
pessoas. Em outras estações desceram 5/8 dos passageiros restantes. O comboio
chegou à estação final do Menongue com 36 passageiros. Com quantos
passageiros o comboio partiu do Namibe?
1º compreensao do problema
Número inicial de passageiros -> x
2º elaboracao do plano

66. 65
Número inicial de passageiros -> x
"Um comboio partiu do Namibe com um certo número de passageiros." = x
"Na primeira paragem, desceram 3/7 dos passageiros." X –
3𝑥
7
=
4𝑥
7
, Portanto o
número actual de passageiros é
4 𝑥
7
.
"e na quarta entraram 40 pessoas."
4 𝑥
7
+ 40 =
4 𝑥+280
7
, mais um novo número.
"Em outras estações desceram 5/8 dos passageiros restantes." =
Vamos ver quantos desceram:
3º execucao do plano
5/8 De (4x +280) /7, o número mais recente
5/8 x (4x +280) /7 = (20x +1400) /56. <--- Desceram.
Se havia (4x +280) /7 e saíram (20x +1400) /56:
(4x +280) /7 - (20x +1400) /56 = 36 <--- mmc = 56
32x +2240 -20x -1400 = 2016
12x +840 = 2016
12x = 1176
x = 98.
98 Passageiros.
4º Verificação
12.98 = 1176
1176 = 1176
Esta questão (3), o resultado esperado desta questão é ser a mais difícil na
resolução dos alunos, pelo fato dela conter o raciocínio lógico em calcular tempo do
deslocamento do comboio envolvendo operações fracionárias, espera-se que o
resultado depois da pesquisa, seja o menor índice de acertos.
Problema 4: A soma das cifras básicas de um número de duas cifras é 10; sabe-se
que o algarismo ou a cifra das unidades são o quádruplo da cifra das dezenas. Qual
é o número?
1.Compreensão do problema
Seja: ab o numero de duas cifras das dezenas;
a é a cifra das dezenas:

67. 66
b é a cifra das unidades;
2. Elaboração do plano
1ª Condição: a + b = 10
2ª Condição: b = 4a
{
𝑎 + 𝑎 = 10
𝑎 = 4𝑎
3. Execução do plano
Substituindo b = 4a em a + b = 10 temos
a + 4a = 10
5a = 10/:5
a = 2
Substituindo a = 2 em b = 4a, temos:
{
𝑎 + 𝑎 = 10
𝑎 = 4𝑎
b = 4a
b = 4 x 2
b = 8
4. Verificação
{
𝑎 + 𝑎 = 10
𝑎 = 4𝑎
{
2 + 8 = 10
10 = 10
8 = 4 .2
8 = 8

68. 67
Esta questão (4) é aparentemente difícil por envolver o domínio da linguagem
matemática, mas os alunos que conseguirem montar a equação não terão
dificuldades para resolver, caso tenha um conhecimento prévio de linguagem
matemática.
Dentro desse espírito de ensinar a resolver problemas autores de livros didácticos
recomendam a adopção de estratégias que devem ser ensinadas na resolução de
problemas. Dante (2005) nos remete a Polya (2003) apresentando um resumo das
ideias desse estudioso que tem sido considerado, talvez, o mais forte representante
dessa concepção. Evidencia-se a visão de que a resolução de um problema deve se
realizada através de estratégias próprias e bem definidas. O resumo traz em sua
estrutura o modelo de quatro fases, consideradas por Polya como essências na
resolução de problemas, caracterizando-se por uma sequência de passos a serem
seguidos para chegar à solução de qualquer problema.
Conclusão do capítulo II
1. As equações do 1º grau a uma incógnita têm sido uns todos temas em que os
alunos do 1º ciclo do ensino secundário revelam muitas dificuldades, quando
se trata da resolução de problemas que conduzem a essas equações.
2. Os diferentes estudo reivindicam a necessidade de metodologias de trabalho
mais activas e participativas entre os professores e alunos para passar de
uma aprendizagem mecânica para uma aprendizagem significativa dos
conteúdos relativos aos problemas que conduzem à equações do 1º grau.
Dos estudos feitos, concluímos que existem varias alternativas metodológicas para a
resolução de problemas matemáticos propostas por vários autores e, dentre estes
seleccionamos George Polya, visto se tratar de uma estratégia mais adaptável e fácil
de se compreender por qualquer professor, assim como alunos.

69. 68
Capitulo III. Apresentação e análise de dados. Validação da proposta
metodológica
Neste capítulo apresentam-se e analisam-se os dados do teste aplicado aos alunos,
do inquérito aos professores e peritos. Para facilitar a sua compreensão foram
organizados em tabelas e gráficos distribuídos em diferentes categorias.
A análise e o tratamento de dados são fases operacionais que envolvem a obtenção,
reunião e o registo sistemático dos dados.
3.1. Descrição e análise do questionário - População e Amostra
Para constatar o problema levantado no trabalho utilizou-se a população dos alunos
da 8ª classe, numa amostra de 69 alunos do Cefopescas “Hélder Neto” no Namibe
correspondendo a quatro turmas (8ªA,B,C e D) dos Cursos de Biologia Marinha,
Mecânica Diesel, Mecânica de Frio e electricidade, respectivamente todas no
período da manhã.
O estudo contou com uma amostra de 27 professores de duas escolas Cefopescas
e a Escola Anexa à escola de formação de professores “E.F.P” do Namibe que
leccionam a 8ª classe.
Caracterização das Amostras
Quanto a idade dos alunos, dividimos por faixa etária.
Idade ( ) 13 à 15 ( ) 15 à 17 ( ) mais de 17
A faixa etária de mais de 17 anos foi a predominante num total de 24 alunos sujeitos,
ou seja, 34,78% dos sujeitos tinham mais 17 (dezassete) anos de idade, enquanto
26,08% tinham 16 (dezasseis) anos de idade, 13,04% tinham entre 15 e 17 (quinze
e dezassete) anos de idade e, os restantes 26,1% estão entre 13 e 14 (treze e
quatorze) anos de idade.
Verifica-se que o intervalo das idades é a que vai de 14 aos 17 anos de idades.
Idades inseridas em dois estágios de desenvolvimento, segundo Piaget citado por
Lombardi (1998), idades onde as operações concretas prevalecem e começa o
pensamento lógico. “O desenvolvimento do pensamento é determinado pela
linguagem, isto é, pelos instrumentos linguísticos do pensamento e pela experiencia
sociocultural da criança”.Vygostsky (2003,p.44).

70. 69
Caracterização da amostra dos professores.
Relativamente a amostra produtora de dados é constituída por 27 professores que
leccionam nas escolas do 1º ciclo do ensino Secundário a 8ª classe, escolhidos
aleatoriamente, onde 19 são do sexo masculino e 8 do sexo feminino.
As principais características estão apresentadas nas tabelas que se seguem:
Tabela 1: Características da amostra dos professores em função do Género, Idade e
Experiência Docente
Sexo Idades Experiencia docente (Anos)
M F 18 a 28 29 a 39 + 39 - 2 2 a 10 6 a 10 + 10
19 8 4 1 8 2 10 2 8 2 4 6 1 4 2
N 5 10 12 10 4 7 6
Tabela 1:Legenda: N= Total de professores, M= Masculinos, F= Feminino
Tabela 2: Características da amostra dos professores em função da formação
académica e profissional
Formação Ensino Médio/ Superior TOTAL
12ªClasse 1º 2º 3º 4º LIC.
E.F.P 6 6
IMP”HELDER
NETO”
1 1
PUNIV 3 3
POLO 7 7
ISCED 2 8 10
TOTAL 10 2 7 8 27
Legenda: EFP- Escola de Formação de Professores; PUNIV; IMP – Instituto Médio
de Pesca” Hélder Neto; ISCED – Instituto Superior de Ciências da Educação; Pólo –
Instituto Superior Politécnico
Instrumentos
O trabalho foi desenvolvido a partir de uma abordagem qualitativa e quantitativa a
partir de uma pesquisa de campo no Centro de formação Profissional das pescas do
Namibe, com alunos da 8ª classe do 1º ciclo do ensino secundário.

71. 70
O instrumento de colecta de dados para a fundamentação teórica foi feito através de
leituras de fontes bibliográficas e documentos que tratam sobre o tema.
Para a obtenção de resultados foram aplicados um questionário semi-estruturado e
uma actividade a qual chamamos de teste diagnóstico. O primeiro contendo
questões abertas e fechadas, com o objectivo de conhecer o perfil do aluno e a sua
relação com a matemática e o segundo contendo questões abertas, uma vez que
pretendemos avaliar aplicabilidade de conceitos básicos da matemática tais como:
símbolos, termos algébricos e numéricos, incluindo linguagem, simbologia,
conteúdo, interpretação, resolução e análise de problemas para verificarmos as
dificuldades tão frequentes no campo das equações.
3.2. Resultado diagnóstico de conhecimento aplicado aos alunos
Os dados foram recolhidos por meio de um teste diagnóstico, estes foram
organizados tendo em conta os diferentes itens do teste. Para facilitar a sua
interpretação os alunos foram distribuídos pelas categorias de respostas: respostas
correctas, respostas erradas e sem resposta. A classificação das respostas, permitiu
verificar até que ponto os alunos aprende a noção equação do 1º grau e suas
aplicações.
Em seguida descreve-se os resultados.
Relativamente à primeira questão verifica-se que 2 aluno não reponderam (2,9%), 3
ficaram se dar resposta (4,35%) e 64 acertaram o problema de reconhecimento e
apresentaram a resposta (92,75%). Vide em anexo gráfico 4
A segunda questão estava relacionada com a situações-problema partindo da
compreensão do problema e teve-se: 2 alunos não responderam (2,9%), 60 erraram
(82,61%) e 10 acertaram (14,49%). Vide em anexo
A terceira questão era exercícios de algoritmo: a) 3 alunos erraram (4,35%) e 66
alunos acertaram (95,6%); b) 10 alunos ficaram sem dar resposta (14,49%), 6 erram
(8,69%) e 53 acertaram (76,81%); c) 6 alunos não deram resposta (8,71%), 7
erraram (10,14%) e 56 alunos acertaram (81,15%) anexo.

72. 71
Tabela: 3 – Análise do teste diagnóstico
Questões Acertos Erros Sem Resposta
1 64 3 2
2 10 57 2
3
a) 66 3 0
b) 53 6 10
c) 56 7 6
Elaborado pelo: Autor
As questões 1 e 2 enquadram-se no surgimento de problemas que envolvem
equações do 1º grau.
As respostas mais frequentes foram de “ como fazer para resolver esse problema.
Outros tinham dificuldades saber qual é a incógnita, também houve alunos que não
sabiam aplicar os princípios de equivalência. Os alunos não conseguem articular os
símbolos.
Estes resultados enfatizam a dificuldade epistemológica do conhecimento das
equações, pois os alunos têm dificuldades em resolver problemas que os conduzem
a uma equação do 1º grau.
3.3. Analise dos resultados do inquérito aplicado aos professores
Elaborou-se também um inquérito, aplicado aos professores, contendo 12 perguntas
abertas afim inquerir aqueles agentes sobre os materiais que usam nas aulas sobre
ensino de resolução de problemas com equações do 1º grau, seus conhecimentos e
as dificuldades que encontram. (Anexo 1)
As entrevistas aplicadas foram do tipo semi-estruturadas considerando a
possibilidade de uma maior interacção entre o entrevistado e o entrevistador. Foram
aplicadas a professores do ensino secundário (vide em anexos).
Após a identificação do professor, foi levantado o seu tempo de formação e viu-se
que a maioria é formada a (+) de 10 anos, conforme se observa no gráfico nº5 em
anexo.

73. 72
Em seguida, foram questionados a respeito de seu curso de formação, se este
contemplava a disciplina de metodologia de ensino da matemática e qual era a
opinião deles a respeito da disciplina. Através desse questionamento foi possível
perceber que a maioria dos professores entrevistados (78%) não teve em seu curso
essa disciplina.
Analisando este primeiros resultados, percebe-se um quadro desfavorável, uma vez
que a maioria dos professores entrevistados 22% não formou-se recentemente e
que a maior parte deles não estudou a disciplina de Metodologia do Ensino da
Matemática (78%).
Ao serem questionados sobre a metodologia da resolução de problemas, a maioria
dos professores entrevistados declarou conhecer mais, não aplicar esta metodologia
em sala de aula. Todos julgaram ser muito importante trabalhar tal metodologia
como os seus alunos, mais, afirmaram ter dificuldades ao trabalhar desta forma. Os
entrevistados afirmam na sua maioria não trabalhar com as etapas de resolução de
problemas propostos por George Polya (1995), por desconhecimento. Conforme o
gráfico em anexo.
Percebe-se que a grande maioria dos entrevistados (29,63%) diz que a prática mais
aproximada de sua actuação docente é pedir aos alunos que resolvam os problemas
que estão no livro didáctico. Isto é, sem dúvida, uma negação às propostas da
metodologia da resolução de problemas, pois nem sempre os problemas propostos
nos livros didácticos são significativos para o aluno.
Numa última análise, ao se indagar se os professores trabalham com os alunos as
etapas ou planos para resolver um problema, o resultado foi novamente
surpreendente, conforme o gráfico abaixo em anexo.
Nota-se claramente neste último gráfico que a maior parte dos entrevistados (66,7%)
não orientam os alunos na elaboração de estratégias na resolução de problemas,
comportamento que se opõe à prática defendida por Polya (1995), a qual o autor
assume em seu trabalho.
Portanto, é necessária uma acção conjunta no sentido de viabilizar esta e outras
metodologias em sala de aula. Os professores precisam reflectir acerca de seu
papel, mantendo-se sempre actualizados, buscando novas alternativas de ensino,
para que possam garantir ao aluno uma aprendizagem significativa.

74. 73
Análise comparativa dos diagnósticos de entrada e saída.
Em síntese podemos constatar que os alunos na 1ª questão relacionada ao
problema de aplicação que estão relacionados com os tradicionais problemas de
palavras cuja solução requererem do aluno, a formulação simbólica do problema e; a
manipulação com algoritmo, obteve um numero de acertos de 92,75% e
relativamente a 2ª questão relacionado com um problema aberto em que não
contem no enunciado, uma estratégia para a resolução, embora apresente muitas
vantagens, como a abordagem de diversos conteúdos matemáticos num único
problema, houve o menor numero de acertos na ordem dos (14,49%).
que a maior parte dos entrevistados (66,7%) não orientam os alunos na elaboração
de estratégias na resolução de problemas, comportamento que se opõe à prática
defendida por Polya (1995), a qual o autor assume em seu trabalho.
Sendo assim, professor deve propor situações-problema que possibilitem a
produção do conhecimento, onde o aluno deve participar activamente
compartilhando resultados, analisando reflexões e respostas, enfim aprendendo a
aprender.
Quando o professor adapta a metodologia de resolução de problemas, seu papel
será incentivador, facilitador, mediador das ideias apresentadas pelos alunos, de
modo que estas sejam produtivas, levando os alunos a pensarem e a gerarem seus
próprios conhecimentos.
Deve criar um ambiente de cooperação, de busca, de exploração e descoberta,
deixando claro que o mais importante é o processo e não o tempo gasto para
resolve-lo ou a resposta final.
Dado um problema para ser resolvido em grupo, é importante que o professor:
 Permita a leitura e a compreensão do mesmo;
 Proporcione a discussão entre os alunos para que todos entendam o que se
busca no problema propicie a verbalização;
 Não responda directamente as perguntas feitas durante o trabalho e sim
incentive-os com novos questionamentos, ideias e dicas;
 Após a determinação da solução pelos alunos, discuta os diferentes caminhos
de resolução, incentivando para soluções variadas – também discuta
soluções erróneas;
 Estimule a verificação.

75. 74
Não existe um Modelo único para a Resolução de problemas nem para ensinar a
resolver problemas. No entanto o Modelo de Polya continua a ser um referencial
para a investigação nesta área.
O diagnóstico realizado permitiu detectar que os métodos de ensino utilizados
actualmente não propiciam o papel activo dos alunos durante o processo de
assimilação dos conteúdos básicos de matemática.
A proposta metodológica apresentada, baseada no papel activo e autorregulado do
aluno, na significação do conteúdo e o papel da comunicação e o uso da resolução
de problemas, reúne características que a fazem pertinente para contribuir na
activação do processo de ensino-aprendizagem da matemática no 1º ciclo do ensino
secundário no Namibe.
3.4. Validação da proposta metodológica
A validação qualitativa da proposta metodológica foi feita pelo método de Delphi
(critério de Validação pelos peritos) tida como útil para investigações pedagógicas,
sob base de duas perspectivas: Campystrous y Riso, que consiste no seguinte: As
questões a avaliar pelos peritos devem constar numa das categorias: Muito
adequado (MA), bastante adequado (BA), adequado (A), pouco adequado (PA) e
não adequado (NA). O objectivo do método proposto por Campystrous (1990,p.7-8)
e Rizo; consiste em determinar a medida empírica da probabilidade, tal que, cada
questão seja situada numa das categorias MA, BA, A, PA ou NA, onde o método
considera como hipótese uma distribuição normal. O método permite ainda
determinar os limites superiores de cada categoria e os valores de escala que
correspondem a cada indicador ou questão a avaliar. Possibilitando assim avaliar
cada indicador da proposta feita.
Durand citado por Grelo (2009) definiu perito como:
“É um indivíduo, um grupo de indivíduos ou uma organização capazes de oferecer
valorização conclusiva de um problema e fazer recomendações a respeito dos seus
momentos fundamentais com um máximo de competência.”
Os peritos foram consultados individualmente, mediante inquérito (Anexo 3), com o
objectivo de obter uma valorização e opiniões sobre as discrepâncias. Para tal,
metodologicamente, seguiram-se três fases:
1. A elaboração do questionário;
2. Selecção dos Peritos a inquirir;

76. 75
3. A recolha, análise e interpretação dos dados.
Para que um profissional se assuma como perito numa dada temática, requer um
certo nível de competência demonstrada. Este nível de competência pode ser dado
pelo coeficiente K, calculado a partir da sua própria opinião sobre o seu grau de
conhecimentos acerca do problema e das fontes que permitem argumentar os seus
critérios, dado pela fórmula, onde: K=
1
2
(Kc + Ka) , onde Kc indica o coeficiente de
conhecimentos do perito sobre o problema e cujo valor é determinado multiplicando
por 0,1, o valor do nível de informação quanto ao problema tratado, dado pelo
próprio perito numa escala de zero a dez (onde zero indica o nível mais baixo e dez
o pleno conhecimento do assunto);
Ka Indica o coeficiente de argumentação ou informação do perito a partir das fontes
padronizadas.
Selecção dos Peritos
Foram seleccionados quinze (15) profissionais da educação das áreas de
Matemática e Pedagogia do Instituto Superior de Ciências da Educação (ISCED), da
Escola de Formação de Professores e coordenadores de Matemática das escolas do
I ciclo do Namibe.
Esta selecção baseou-se nas respostas ao teste de auto-avaliação do perito, vide
em (Anexo 3), tendo em conta os seguintes aspectos:
(1) Anos de experiência e docência, (2) categoria do professor, (3) Grau cientificam,
(4) Centro onde trabalha, (5) cargo que ocupa e (6) coeficiente de competência em
relação ao tema da pesquisa (Tabela 5).
Caracterização dos peritos
Os peritos seleccionados apresentam as seguintes características:
- Tempos de experiência profissional – Doze (11) peritos, têm mais de 20 anos de
trabalho e um (4) com mais de 10 anos.
- Grau científico – (13) é mestrados e (2) são licenciados em Ensino de Matemática.
- Coeficiente de competência – foi tomado o nível alto como revelam os valores de
todos os peritos, conforme a tabela 5.
Valorização teórica da efectividade da Proposta Metodológica.
Foram seleccionados como critérios de qualidade para a avaliação da alternativa
metodológica os seguintes indicadores:
 Os objectivos

77. 76
 Modelo
 Exigências de aplicação do modelo
 Os métodos e meios de ensino
 O conteúdo
 A estratégia
 O sistema de avaliação
Sobre estes critérios foram formuladas oito questões às quais os peritos deveriam
responder com base nas categorias: MA – muito Adequada; BA – bastante
adequada; A – adequada; PA – pouco adequada e NA – não adequada.
Estes resultados foram organizados em tabelas de frequência absolutas (Tabela 7),
frequência absolutas acumuladas (Tabela 8) e frequências relativas acumuladas.
Usando o critério de normalidade foram determinados os valores das probabilidades
numa distribuição normal que a seguir se apresentam:
Estes resultados provam que existem evidências suficientes para se considerar a
proposta metodológica válida para a sua aplicação no processo de ensino-
aprendizagem da resolução de problemas que conduzem à equações do 1º grau.
Conclusão do Capítulo III
Dos resultados obtidos partindo do critério dos peritos para validação do modelo e
da proposta metodológica, pode-se afirmar o seguinte:
1. Os peritos apresentam um elevado nível de competência.
2. As suas respostas ao questionário formulado permitem concluir que o modelo
feito representa uma proposta metodológica válida para contribuir no
melhoramento do processo de ensino-aprendizagem da Matemática na 8ª
classe do 1º ciclo do ensino secundário na província do Namibe.
3. Os alunos são capazes de aplicar as heurísticas e os procedimentos para
resolver exercícios/problemas com texto que conduzem às equações do 1º
grau.

78. 77
ConclusõesGerais
1. O diagnóstico realizado permitiu detectar que os métodos de ensino utilizados
actualmente não propiciam o papel activo dos alunos durante o processo de
assimilação dos conteúdos básicos de matemática.
2. A alternativa metodológica apresentada, baseada no papel activo e
autorregulado do aluno, na significação do conteúdo e o papel da
comunicação e o uso da resolução de problemas, reúne características que a
fazem pertinente para contribuir na activação do processo de ensino-
aprendizagem da matemática no 1º ciclo do ensino secundário no Namibe.
3. A aprendizagem baseada na resolução de problemas tem revelado, segundo
a bibliografia, numa abordagem metodológica capaz de tornar os alunos
independentes, criativos e críticos pelo nível de participação que deles exige
na construção de conhecimentos. Estas qualidades foram atestadas pelos
peritos que a validaram.
4. Existe consenso entre os peritos inquiridos que a alternativa apresentada tem
uma alta relevância. o processo de constatação empírica da proposta,
desenvolvida no grupo de aluno da 8ª classe do Cefopescas do Namibe,
permitiu avaliar as mudanças que se produziram nos alunos submetidos ao
tratamento, o que evidenciou efeitos positivos na activação da aprendizagem
mediante a resolução de problemas. Foi muito favorável à satisfação que eles
manifestaram pelo processo de ensino aprendizagem da matemática e seus
resultados.

79. 78
Recomendações
1. Desenhar e efectuar uma experiencia pedagógica em sala de aula com
alunos de diferentes classes para à aplicação da alternativa metodológica
apresentada no 1º ciclo do ensino secundário no Namibe que permita
comprovar na prática sua eficiência, pertinência e efectividade.
2. As escolas onde se lecciona a 8ª classe devem organizar aulas
metodológicas para professores de forma a superar e promover a qualidade
de ensino-aprendizagem da matemática em geral e da resolução de
problemas em particular.
3. Realizar experiência pedagógicas que permitam avaliar a eficácia da
alternativa metodológica e sua possível generalização a nível do ensino em
Angola.