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LUIZ CARLOS SIGW Al T STREMEL
UMA VISÃO PRÁTICA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES ~
PONTA GROSSA
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LUIZ CARLOS SIGWAL T STREMEL
UlVIAVISÃO PRÁTICA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES
Monografia apresentada como requisito parcial à
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AGRADECI~fENTOS
A DEUS pela infinita força que nos dá em todos os momentos de nossa vida,
iluminando nossos caminhos para ...
SUMÁRIO
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RESUMO.....
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ATIVIDADE..............................................................................................
RESUMO
Pesquisas voltadas para o ensino dejiações têm constatado que é preciso refletir sobre
o processo de ensino e apren...
INTRODUÇÃO
Em todos os meIOS de comunicação aparecem números. Estão em jornais,
revistas, programas de TV, anúncios e notí...
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dificuldades, visto a corrida da transmissão ins alada nesse ambiente. Para que haja um
melhor aproveitamento, o profess...
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maneira, pois o alunc memoriza e não aprende. Até repete os exercícios corretamente,
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o trabalho com os conceitos de frações e seus vários significados, aplicados a
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desenvolver o seu raciocínio lógico sobre fr...
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b) No segundo capítulo abordamos o surgiment das frações e especificamos as
etapas que a criança precisa passar para com...
CAPÍTULO 1
1.1 EVOLUÇÃO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
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Em 1980, o "National Council of Teachers of Maternatics", NCTM, dos
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CAPÍTULO 3
3.1 SEQÜÊNCIAS DIDÁTICAS PARA O PROCESSO DE ENSINO
APRENDIZAGEM DAS FRAÇÕES.
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OBJETIVOS:
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c) Pegando a parte pintada da figura a, mais a palie pintada da figura d, em qual figura
chegamos?
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DESENVOL VIMENTO:
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C) Dividir 3 chocolates entre 2 crianças:
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d) Que fração as bolas pintadas representam do total?
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e) Quantas bolas...
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B) Dividir o retângulo abaixo entre 2 pessoas, de modo que cada uma fique com a
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Exercício para observar a ...
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- Pergunta-se:
- A quantidade no 2 copos é igual?
G) Dividir a quantidade de cada copo em 2 partes iguais e coloque em ...
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- Quem ganha mais: quem tem dois copos brancos ou quem tem três copos amarelos?
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ATIVIDADE - ASPECTOS INTENSIVOS E EXTENSIVOS
OBJETIVOS:
a) Verificar se os alunos sabem determinar uma parte do in...
MATERIAL NECESSÁRIO:
Barbantes - 3 pedaços de mesmo comprimento.
DESENVOLVIMENTO:
C) Contexto de medida - Idéia de fração ...
OBJETIVOS:
a) Construir o conceito de fração como relação pane-todo no contexto de fração como
razão.
b) Explorar situaçõe...
..)
16a
ATIVIDADE - FRAÇÃO COM:G DIVISÃO
OBJETIVOS:
a) Explorar a idéia de fração corno divisão.
b)Verificar a repartição ...
CONSIDERAÇÕES FL AIS
Em toda a trajetória histórica das frações, constatamos que na antiguidade eram
utilizadas para as me...
repassados enquanto aluno.
Então devemos trabar..ar com questões que admitam diferentes respostas, que
levantem contradiçõ...
evitando assim que eles trabalhem inutilmente, pois se não entendem o significado do
que estão fazendo vão construir conce...
BRASIL, Luiz Alberto. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da matemática. Rio
de Janeiro. RJ: Forense Universitária Lt...
50
FRAÇÕES: como torná-Ias um prato apetitoso. Revista Nova Escola. v.12, n.l13, p.
10-17, jun. 1998.
IMENES, Luiz Márcio ...
Matemática. Curitiba, 1998.
PEREIRA, Tania Michel e outros. Matemática nas séries iniciais. [s.n.] 2.ed. Ijuí,
RS. UNIJUÍ,...
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  1. 1. r LUIZ CARLOS SIGW Al T STREMEL UMA VISÃO PRÁTICA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES ~ PONTA GROSSA 2001
  2. 2. LUIZ CARLOS SIGWAL T STREMEL UlVIAVISÃO PRÁTICA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES Monografia apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Especialista em Matemática: Dimensões Teórico-eMetodológicas. Universidade Estadual de Ponta Grossa Professor Orientador: Ms. Celia Finck Brandt PONTA GROSSA 2001
  3. 3. AGRADECI~fENTOS A DEUS pela infinita força que nos dá em todos os momentos de nossa vida, iluminando nossos caminhos para enfrentarmos todas as dificuldades que nos são colocadas no nosso dia a dia. Aos familiares, pelo incentivo, ajuda e compreensão nos momentos em que estivemos ausentes para nos dedicarmos a este trabalho. A minha esposa Margareth, que conciliou o período do curso com sua vida, sem medir sacrifícios, motivando ainda mais meus estudos. A lodos que direta ou indiretamente contribuíram para a efetivação desta monografia. 11
  4. 4. SUMÁRIO AGRADECIMENTOS........................................................................................ 11 RESUMO............................................................................................................ v INTRODUÇÃO.................................................................................................. 01 CAPÍTULO I 1.1 EVOLUÇÃO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA................................ 08 CAPÍTULO 2. 2.1 CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÕES...................................... 13 CAPÍTULO 3 3.1 SEQÜÊNCIAS DIDÁTICAS PRA O PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM DAS FRAÇÕES................................................................. 24 13ATIVIDADE.............................................. 27 2a ATIVIDADE................................................................................................... 28 33ATIVIDADE......... 29 43 ATIVIDADE................................................................................................... 30 S3ATIVIDA.DE 31 6a ATIVIDADE..... 31 73 ATIVIDADE........................ 34 83ATIVIDADE................. 35 93ATIVIDADE............................ 36 103 ATIVIDADE................................................................................................. 38
  5. 5. 113 ATIVIDADE 41 12 3 ATIVIDADE................................................................................................. 42 133 ATIVIDADE.... 42 143 A TIVIDADE................................................................................................. 43 153 ATIVID.rDE................................................................................................. 43 163 ATIVIDADE................................................................................................. 45 CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................................. 46 REFERENCIAS.................................................................................................. 49 IV
  6. 6. RESUMO Pesquisas voltadas para o ensino dejiações têm constatado que é preciso refletir sobre o processo de ensino e aprendizagem das frações na escola, pois da maneira como está sendo realizado fica totalmente desvinculado da realidade do aluno, não permitindo- lhe a construção de nenhum conhecimento. Surge então a necessidade de se encontrarem metodologias diferenciadas e inovadoras para adequar o trabalho escolar a uma nova realidade marcada, pela presença dessa área da matemática em vários campos de atividade. Observamos nos capítulos trabalhados que, para as crianças compreenderem o conceito de fração, elas precisam passar por várias etapas que as levem à construção desse conhecimento. Para que isso aconteça é necessário possibilitar a interação do sujeito com o objeto de estudo, estabelecendo relações (situações) que lhe permita, partindo de um conhecimento (experiências anteriores), identificá-Io e utilizá-Io na sua vida cotidiana. Por essa razão, a investigação voltou-se para a identificação das idéias presentes no conceito de frações na organização de seqüências didáticas de modo a possibilitar ao aluno a construção significativa do conceito de frações. v
  7. 7. INTRODUÇÃO Em todos os meIOS de comunicação aparecem números. Estão em jornais, revistas, programas de TV, anúncios e notícias. Quase sempre são números naturais, números decimais com vírgula e frações. Servem para expressar quantidades, medidas, porcentagens, indicar ordem, identificar objetos etc. Para viver na sociedade moderna, é preciso saber decifrar essas informações numéricas, uma vez que em todas as profissões e na vida usamos os conceitos matemáticos. Por exemplo: engenheiro e pedreiros usam nas construções civis barras de ferro de diversas espessuras, como as de 3/8 que têm 3/8 de polegada de diâmetro. Os PCNs destacam que a matemática está presente na vida de todas as pessoas, em situações em que é preciso saber quantificar, calcular, ler gráficos e mapas, fazer previsões. Mostram também que é fundamental superar a aprendizagem do conhecimento da matemática centrada em procedimentos tecnicistas. Para que essa aprendizagem se efetive de forma significativa, é preciso entendê- Ia como sendo um conhecimento que, apesar de ser caracterizado por símbolos e regras, não está limitado apenas à reprodução dessa linguagem. Isso porque geralmente as pessoas são potencialmente capazes de desenvolver raciocínio e de elaborar estratégias cognitivas próprias para solucionar problemas, mesmo que dominem pouco a linguagem simbólica convencional. Desde cedo, em todos os ambientes a criança começa a ter contato com as primeiras noções sobre frações, como por exemplo, quando ela escuta, metade do chocolate para você, meio copo de leite, metade do bolo etc. Mas elas vão adquirir ou fundamentar essas informações no ambiente escolar, superando o senso-comum e as idéias intuitivas. Na escola, os alunos poderão obter os conteúdos básicos, indispensáveis à compreensão da realidade do mundo contemporâneo. Devido ao acúmulo dos assuntos trabalhados em sala de aula, a grande maioria dos estudantes não consegue interessar-se, aprender ou sequer revelar suas
  8. 8. 2 dificuldades, visto a corrida da transmissão ins alada nesse ambiente. Para que haja um melhor aproveitamento, o professor deve selecionar e organizar atividades significativas, de modo a favorecer a aprendizagem dos alunos. Neste contexto destacamos o processo de ensino aprendizagem da matemática, como uma ciência que desenvolve sistemas de representação e modelos de análise, que permite pensar sobre os eventos e fenômenos, tirar conclusões que possam ser aplicadas e transferidas em um contexto globalizado a demais áreas ou a situações pessoais extra-escolares, tais como cálculo de porcentagem, frações etc. Dentre os diversos conceitos matemáticos, as frações apresentam-se como um dos conteúdos de maior dificuldade de aprendizagem. Diversos estudos sobre o ensino de frações têm mostrado que é preciso refletir sobre o ensino desse conteúdo no seu uso cotidiano, garantindo que sua abordagem na escola compreenda uma extensão do conceito de números que estejam relacionados a processos de medição e a noções de porcentagens, razão e divisão. O ensino de frações, no Brasil, é apresentado no ciclo fundamental e, a cada ano, é teoricamente aprofundado. Entretanto, vários estudos têm mostrado mau desempenho dos alunos ao trabalhar com frações, em todos os níveis de ensino. Esse assunto muitas vezes toma-se desinteressante, pois da maneira como é ensinado fica desvinculado totalmente da realidade. Não sendo concretizado, toma-se apenas uma memorização de listas de exercícios, não permitindo ao educando construir seus próprios conhecimentos. O mais importante, no ensino dos conceitos básicos de frações, é que o professor identifique as estruturas, as relações compreendidas, e seus vários significados, assim como as formas de organizar e propor seu trabalho, de modo a permitir que o sujeito lance mão de estratégias espontâneas para resolver problemas nos quais tais conceitos estão presentes. É preciso, portanto, a utilização de métodos mais adequados para a aprendizagem. Não adianta, porém, o professor tentar fazê-lo através de explicações formais, baseadas numa lógica distante da maneira de pensar do aluno. Ainda hoje, lamentamos que alguns professores de Matemática ensinem dessa
  9. 9. 3 maneira, pois o alunc memoriza e não aprende. Até repete os exercícios corretamente, porém não compreende seu significado. No estudo de frações. como de toda a Matemática, é preciso evitar a memorização de definições e regras, sem compreensão. Todo o trabalho com frações pode ser feito a partir de "situações problemas", isto é, de desafios para que os alunos descubram soluções de pequenos problemas. A descoberta das soluções fica mais fácil, no início, se os alunos utilizarem material concreto: peças recortadas em plástico, madeira, papelão ou cartolina, etc., para que eles se familiarizem com o conceito de fração, dentro de uma metodologia voltada para o construtivismo (onde o aluno constrói seu conhecimento utilizando-se de suas experiências. Para isso, precisam trabalhar muitos problemas e, no início, sempre com material manipulativo (recortado ou desenhado). Pouco a pouco eles se libertarão naturalmente das figuras, resolverão mentalmente os problemas mais simples e até descobrirão (construirão) regras que passarão a aplicar, com compreensão, amenizando suas dificuldades. No início do estudo, é necessário observar se os alunos possuem alguns conhecimentos básicos sobre figuras geométricas (retângulo, triângulo, quadrado e círculo), uma vez que através destas o professor terá valioso recurso para desenvolver conhecimentos relacionados com as frações e poderá perceber se o estudante consegue observar que, ao se efetuarem cortes no todo (quantidades contínuas), as partes obtidas após o corte têm a mesma medida, como acontece, por exemplo, ao se dividir uma barra de chocolate ao meio. Poderá explorar também o conceito com quantidades discretas, nas quais poderá dividir elementos de um conjunto em subgrupos, com a mesma quantidade de elementos, sem que haja quebra desses elementos. Ao repartir, por exemplo, cinco bolinhas de gude para duas crianças, cada criança receberá duas bolinhas de gude, restando uma. As próprias crianças observarão que não teria sentido repartir essa bolinha ao meio . .... as frações com que nos defrontamos na vida quase sempre são partes de quantias numéricas ou de conjuntos de objetos numericamente determinados: um terço dos alunos da turma; metade dos professores do colégio; dois quintos da esquadrilha; um sexto do rebanho. etc. Quando uma pessoa herda um terço de uma casa, não imagina parti-Ia em três partes iguais, como se poderia fazer com uma barra de chocolate; mas sim, fícar com um terço de seu equivalente em dinheiro. Nada é mais difícil que conseguir introduzir a noção de fração, dividindo grandezas continuas em partes iguais. (BRASIL, 1997, p. 105).
  10. 10. o trabalho com os conceitos de frações e seus vários significados, aplicados a quantidades contínuas e a quantidades discretas, pode ser compreendido pelos alunos se lhes fornecermos condições para que eles, através da manipulação de materiais concretos, construam esses conceitos. Talvez a ausência de conhecimentos das estruturas e dos vários significados das frações, faça com que os professores tomem-se simplesmente transmissores de conhecimentos, e os alunos, sujeitos passivos desse processo. Muitas vezes isso ocorre pelo fato de o professor não ter domínio do conteúdo, o que ocasiona nele o receio de responder dúvidas que possam surgir de seus alunos. É geralmente em decorrência dessas deficiências que o professor acaba por empregar uma metodologia inadequada ao ensino. Ainda dentro deste aspecto, existem professores que possuem algum domínio do conteúdo de frações e conhecem algumas metodologias que poderiam ser úteis em seu trabalho, mas não as utilizam, pois acham que tomariam muito o seu tempo. Além disso, alegam que os conteúdos programáticos a serem lecionados ao longo do ano são excessrvos. Se não dermos condições aos nossos alunos para que eles construam seus próprios conceitos e percebam que as frações têm empregos importantes, eles se desinteressarão sempre pelo assunto, pois não saberão fazer ligação do aprendido com a sua vida diária, não sabendo quando usar essas frações. O professor deve organizar o processo de ensino das frações, oferecendo oportunidades à criança para que ela chegue à idéia exata do que vem a ser a fração, isto é, a divisão do inteiro em partes iguais (todo contínuo ou discreto). É preciso, ainda, que várias situações sejam exploradas para que o aluno venha a construir e/ou reconstruir, com compreensão, o significado real de conceito de fração em vários contextos (idéia de parte- todo em conjuntos contínuos e discretos, idéia de razão, idéia de divisão e idéia de operador). Como observamos nos Parâmetros Curriculares Nacionais - (PCN) "O estudo dos números racionais, nas suas representações fracionárias e decimal, merecem
  11. 11. 5 especial atenção no terceiro ciclo, partindo da exploração de seus significados, tais como: a relação parte/todo, quociente, razão e operador." (BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, 1998, p.66). As frações devem ser ensinadas com exercícios práticos, desafiadores e situações que exijam do aluno desenvolver o seu raciocínio. Devemos partir de atividades que trabalhem inicialmente o conceito do assunto, fazendo o aluno compreender que fração é parte de um todo. A idéia fundamental, que gerou o presente estudo, diz respeito às dificuldades encontradas pelos professores e alunos no processo de ensino aprendizagem de frações. Os educadores matemáticos têm se deparado com dificuldades por parte dos alunos em entender a matemática. A disciplina está essencialmente centrada em memorização de informações, utilização de fórmulas, regras e reprodução de modelos apresentados pelo professor, não possibilitando ao aluno a construção desse conhecimento. No ensino de frações, observa-se muitas vezes que os educandos sabem como efetuar as operações, mas examinando atentamente, percebemos que eles não entendem o que estão fazendo, apenas repetem mecanicamente os procedimentos, não conseguindo interpretar e construir com compreensão o real conceito de fração. Os conteúdos não são trabalhados a partir das representações dos alunos e o porquê da incompreensão ou dificuldades dos alunos não é objeto de investigação no processo de ensino. Uma das causas dessas dificuldades é a utilização de metodologias inadequadas a esse ensino. Atualmente um dos objetivos mars importantes do processo de ensmo aprendizagem é conseguir que o professor efetive um trabalho junto aos alunos, visando a superação dos obstáculos na construção do conhecimento. Por essa razão, o professor deve organizar atividades (problemas e questões) que visem à interação do sujeito com o objeto de conhecimento (frações). Constatamos que o assunto sobre "frações" merece uma atenção especial por parte de professores e alunos, pois observa-se às vezes que os alunos parecem ter uma compreensão completa da mesma, mas na realidade não conseguem interpretar, criar
  12. 12. 6 significado, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas e desenvolver o seu raciocínio lógico sobre frações e, com isso, não fazem ligação com aquilo que conhecem sobre assunto e o que está sendo explicado na escola. É possível que alguns alunos passem pela escola sem superar as dificuldades das frações. Diante dessa realidade, percebemos a necessidade de desenvolver um estudo sobre frações, procurando selecionar em livros, pesquisas, monografias e materiais didáticos alternativas metodológicas voltadas para a aprendizagem significativa das frações pelos alunos. Analisadas várias alternativas, procuramos investigar a possibilidade de organização de uma seqüência didática que leve professor e alunos a construírem com significado o conceito de frações, enquanto forem experimentando, manipulando e resolvendo situações problemas com materiais concretos e ou representações gráficas, adquirindo conhecimentos sobre o assunto e estabelecendo relações entre o conhecimento que trazem para a escola e o aprendido durante a sua vida escolar. Justifica-se a elaboração deste trabalho, pela importância que têm as frações no contexto da matemática e especialmente no cotidiano, pois fornecem a base para o estudo de outros tópicos como razão e proporção, porcentagem e números racionais. No decorrer do trabalho procuramos atingir os objetivos propostos, que foram os seguintes: a) Analisar alternativas metodológicas para o ensino de frações. b) Compreender quais os objetivos postos para o ensino de frações, nos PCNs. c) Propor uma seqüência didática, voltada para a aprendizagem significativa das frações. A presente pesquisa está dividida em três capítulos assim estruturados: a) No primeiro capítulo elaboramos um breve hístórico da evolução da educação matemática. De acordo com o referencial teórico, verificamos que a educação matemática atualmente está obsoleta, não conseguindo atingir seu objetivo prioritário, que é a compreensão significativa dos conteúdos por parte dos alunos. Urge a necessidade de se adequar o trabalho escolar a essa nova realidade, marcada pela crescente presença nessa área em diversos campos da atividade humana.
  13. 13. 7 b) No segundo capítulo abordamos o surgiment das frações e especificamos as etapas que a criança precisa passar para compreender o conceito de fração. c) o terceiro capí .1!O apresentamos urna seqüência didática para o processo de ensino aprendizagem das frações. Citamos várias atividades que são essenciais para a construção do conceito de frações.
  14. 14. CAPÍTULO 1 1.1 EVOLUÇÃO DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Discussões no âmbito da Educação Matemática que acontecem no Brasil e em outros países apontam a necessidade de se adequar o trabalho escolar a uma nova realidade marcada pela crescente presença dessa área do conhecimento em diversos campos da atividade humana. Tais discussões têm influenciado as revisões dos Currículos de Matemática no Ensino Fundamental. Os movimentos de reorientação curricular ocorridos no Brasil a partir dos anos 20 não tiveram força suficiente para mudar a prática docente dos professores, para eliminar o caráter elitista desse ensino, bem como para melhorar sua qualidade. Em nosso país, o ensino de Matemática ainda é marcado pelos altos índices de retenção, pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos sem compreensão. (BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, 1997). Nas décadas de 60 e 70, o ensino da Matemática, em diversos países, foi influenciado por um movimento que ficou conhecido como Matemática Moderna. A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito numa política de modernização econômica e foi posta na linha de frente por ser como via de acesso privilegiado para o pensamento científico e tecnológico. Desse modo, a Matemática a ser ensinada era aquela concebida como lógica, compreendida a partir de estruturas, que conferia um papel fundamental à linguagem matemática. Ao aproximar a Matemática escolar da Matemática pura, centrando o ensino nas estruturas e fazendo uso da linguagem unificadora, a reforma deixou de considerar um ponto básico que se tomaria seu maior problema: o que se propunha estava fora do alcance dos alunos, e em especial daqueles das séries iniciais do ensino fundamental. O ensino passou a ter preocupações excessivas com abstrações internas à própria matemática, mais voltadas à teoria do que à prática.
  15. 15. Em 1980, o "National Council of Teachers of Maternatics", NCTM, dos Estados Unidos, apresentou recomendações para o ensmo de Matemática no documento "Agenda em Ação". Nele se destacava a resolução de problemas, como foco do ensino da Matemática nos anos 80. Também a compreensão da relevância dos aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos, na aprendizagem da Matemática, imprimiu novos rumos às discussões curriculares. Num momento em que se discutem as mudanças sociais, cabe-nos questionar até que ponto a Matemática está sendo um instrumento à disposição dos indivíduos para apreenderem a realidade que os cerca e com isso transformarem o universo. Nesse sentido, concordamos com Pereira quando nos coloca: "Ensinar Matemática como ciência e como instrumento, refletindo a ação das crianças ou pessoas que as cercam em seu meio, é criar consciências" (PEREIRA, 1989, p.11) A citação acima suscita uma reflexão: a Matemática não pode ser vista desvinculada dos problemas sociais. Partindo desse pressuposto, podemos dizer que a função social do ensino de Matemática é o de instrumentalizar os homens com um conhecimento que possibilite a eles resolver seus próprios problemas, colocando a Matemática como uma ferramenta cultural cujo domínio é essencial. O domínio dessa ferramenta cultural deve acontecer através de um fazer pedagógico que não seja estático, mas que reconheça os conceitos e as fórmulas como historicamente construidos, portanto, sujeitos à transformações. No decorrer da história, o fazer matemático, nas várias sociedades, esteve permeado pela inter-relação entre as medidas, os números e a geometria. É com base nas noções sobre o desenvolvimento histórico do conteúdo a ser ensinado, na lógica de sua sistematização e em suas utilizações fora do âmbito escolar, que foram estabelecidos os três eixos que norte iam a proposta do currículo da Secretaria da Educação (SEED): números, medidas e geometria. Nessa proposta, aprender matemática é muito mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar X na resposta correta. É interpretar, criar significados, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de perceber,
  16. 16. 10 projetar e transcender o imediatamente sensível. (BRASIL. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, 1997). Centrar o aprendizado da matemática na aquisição de mecanismos conduz não somente a obstaculizar a utilização dos esquemas conceituais que as crianças constróem, como também a desvittuar o conhecimento matemático em si. Deste modo: o conhecimento matemático é apresentado às crianças como o oposto do que realmente é. Todos sabemos que a matemática está rigorosamente fundamentada na lógica, e que sem ela não há lugar para elaboração do conhecimento matemático. °enfoque pedagógico que é adotado, leva as crianças a deixarem de lado seu raciocínio lógico quando lhes são ensinados conteúdos matemáticos, elas seguramente aprenderão adaptar-se às exigências da escola, porém não aprenderão matemática, porque não é possível aprender matemática renunciando o pensar. (ZUNINO, 1995, p.190). Acreditamos que a aprendizagem matemática só se realiza no momento em que o aluno tem a capacidade de transformar o que lhe foi ensinado e de criar a partir do que já sabe. Caso contrário, criamos um aluno adestrado e repetidor dos processos e resoluções criados por outros. Por isso, o aluno deverá compreender o processo de resolução dos exercícios, havendo assim uma aprendizagem efetiva e não simplesmente a memorização de problemas resolvidos. O professor necessita compreender que os modelos educacionais que lhe foram passados enquanto aluno, não poderão mais ser usados totalmente. É preciso que ele encontre novas maneiras de interagir com os alunos, para que os conteúdos referentes à educação matemática sejam realmente apreendidos. Por outro lado, os métodos usados pelo professor para atingir os objetivos dos alunos estão estritamente ligados ao que ele pensa sobre a aprendizagem, o ensino da matemática como ciência, a educação, as relações com o aluno, além da visão que tem do mundo e da sociedade em que vive. Enfim, o modo de ensinar reflete o que o professor é, em relação a sua competência profissional, a sua posição como cidadão e como ser humano. O aluno deve ser capaz de transformar o que lhe foi transmitido em algo efetivamente compreendido, e saber usar esse conhecimento em suas próprias representações. Para que essa transformação aconteça, temos que considerar o
  17. 17. II processo de aprendizagem do aluno, o tempo que leva para aprende e a maturidade necessária para cada aprendizagem. O ensino da matemática, ainda hoje, está sendo caracterizado por um currículo a ser cumprido, por uma lista de exercícios a serem estudados, por aulas desagradáveis, nas quais determinadas formas de pensar ficam de fora. Os alunos recebem uma matemática pronta e acabada, em que são agentes passivos e impotentes. A vinculação dos conteúdos matemáticos à vida prática dos alunos está somente sendo valorizada na consciência dos educadores. Não está se dando o devido valor ao conhecimento trazido pelo aluno e às reais necessidades dos educandos. como comenta D AMBRÓSIO (1991, p.2): "A Matemática que estamos ensinando e como a estamos ensinando é obsoleta, inútil e desinteressante. Ensinar ou deixar de ensinar essa Matemática dá no mesmo. Na verdade, deixar de ensiná-Ia pode até ser um beneficio pois elimina as fontes de frustração . Para que possamos tentar mudar essa realidade devemos começar utilizando recursos didáticos e pedagógicos mais adequados e uma metodologia mais eficaz, a fim de que os alunos percebam os problemas e possam equacioná-los, resolvê-los e aplicá- 10s em sua vida prática. O desenvolvimento de conceitos matemáticos, princípios e algoritmos através de um conhecimento significativo e habilidoso é importante. O significado principal de aprender conteúdos matemáticos é ser capaz de usá-los na construção das soluções das situações problema. Por isso, o professor deve ter em mente que, para ensinar matemática, ele deve fazer um elo entre o lado cognitivo e o abstrato, possibilitando assim ao aluno um maior entendimento do conteúdo e conhecimento de sua realidade. Não se pode negar que ao se fazer o ensino de urna disciplina com características tão peculiares quanto a Matemática, abre- se enorme espaço para considerações específicas de cognição, de organização intelectual e social do conhecimento e da política, enfim das formas de explicitação, de entendimento e de manejo da realidade. Não é sem razão que a raiz da qual se origina a palavra matemática, isto é, a raiz grega "matemata", significa justamente isto: explicação, entendimento, manejo da realidade, objetivos muito mais amplos do que o simples contar e medir ... (D AMBRÓSIO, 1993, p.9). O professor deve perceber a sua função como educador, que não se restringe somente a ensinar seus alunos a contar e medir. Ele deve sim, ensinar o aluno a pensar
  18. 18. 12 e compreender os conteúdos trabalhados, a fim de saber usá-los e tomar suas próprias decisões. Para isso os professores têm que usar uma metodologia mais adequada, voltada para .nelhorar o desenvolvimento intelectual dos educandos. Contudo, não podemos culpar os professores que não aplicam uma metodologia adequada para o aprendizado: muitas vezes, esses professores nem mesmo dominam os conteúdos a serem trabalhados. Como afmna LORENZATO (1993, p.75), "... o ensino para uma aprendizagem significativa tem sido fortemente negligenciado em sala de aula, indica, ainda, que a formação matemática dos professores deixa muito a desejar. E considerando-se que ninguém ensina o que não sabe ... ". O professor deve sempre melhorar sua formação a fim de ter um conhecimento mais amplo de sua disciplina e também conhecer outras ciências, como por exemplo Psicologia, Antropologia, Filosofia, Sociologia e História da Matemática, as quais pudessem auxiliá-lo na tentativa de escolher uma metodologia mais abrangente, que melhor se adapte, conforme o estágio que ele queira alcançar com a sua turma, e consequentemente consiga, que os alunos tenham um melhor aproveitamento do conceito que está sendo trabalhado. Tendo em "mente" a evolução que ocorreu na educação matemática, é que ressaltamos a importância que devemos dar a construção significativa do conceito de frações.
  19. 19. CAPÍTULO 2 2.1 CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FRAÇÕES A necessidade de medir, dividir e distribuir a riqueza da sociedade impulsionou o nascimento do primeiro sistema de escrita, interligando o seu destino ao da Matemática. Não se têm dados para fixar o período da história primitiva em que foram criadas as primeiras notações de frações, embora os mais antigos documentos escritos encontrados mostrem a presença desse conceito na China, Índia, Mesopotâmia e Egito. Há 3000 anos antes de Cristo, os geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-Ias novamente e, para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas. As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava certo, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Sendo assim, os egípcios sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número: o número fracionário, em que eles utilizavam as frações. Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Com o surgimento (criação) dos números fracionários era possível medir sempre uma grandeza, tomando a unidade e as frações dessa unidade. As frações serviram a humanidade em épocas mais remotas como instrumento para medições. Atualmente elas conquistaram o seu espaço em operações matemáticas mais complexas. O que se observa, é que existe uma relação entre o modo de tratar o assunto hoje com a própria história da fração.
  20. 20. l~ No ambiente escolar, as ·v. ianças começam a discutir sobre frações na 3a série, e a cada ano esse conteúdo é aprofundado teoricamente. Mas antes de iniciarmos o conceito de fração com os alunos, devemos observar se eles possuem a noção de conservação de quantidade contínua (área, comprimento etc.), pois o conceito de fração exige que alguma coisa seja tomada como unidade, ou seja, exige a existência de alguma coisa que seja divisível. Esse todo será dividido em um número determinado de partes iguais, de modo que esgote completamente o total, uma vez que: " Uma quantidade é dita contínua quando o todo é divisível em partes iguais sempre divisíveis não resultando em elementos indivisíveis". (LIMA, 1995, p.82) É fundamental que a divisão em partes iguais de algo tomado como unidade seja percebida pela criança como uma operação que não altera a totalidade. Essa conservação de quantidade é um elemento básico para a compreensão do conceito de fração. Uma pesquisa I realizada com alunos das séries truciais do ensino fundamental, no que diz respeito ao estudo de frações, indica que um grande número de crianças não tem a idéia de conservação de quantidade. Para a criança poder compreender que uma quantidade permanece invariável através de modificações (repartições de uma coleção, fragmentação de um todo, etc), ela deve ter compreendido que essas modificações resultam de transformações mentalmente reversíveis. Por exemplo: quando a criança !l?a tem adquirido o conceito de conservação de área levanta-se um problema, pois ela não tem a compreensão de que a soma das frações resultantes constituirá o todo. Dessa forma são relevantes as contribuições de Piaget ao explicitar as possibilidades mentais da criança. Segundo o teórico Piaget apud CARRAHER (1996, p.83) "O conjunto de princípios de conservação, aquisição do período das operações concretas, parece básico para organização de um sistema de noções, que resultará mais tarde no conceito de fração. O conceito de fração é uma aquisição do estágio das operações concretas". 1 LIMA José M. F. Iniciação ao conceito de fração e o desenvolvimento da conservação de quantidade.
  21. 21. trações o pnncrpro de conservação, onde o tudo (urudace) permanece mvanavet, enquanto outros aspectos (forma, posição, etc.) se modificam. Para a criança poder compreender que uma quantidade permanece invariante através de modificações (repartição de urna coleção, fragmentação de um todo, transvazamento de um líquido, etc. ) sobre a forma ou a disposição de um objeto, ou de urna coleção de elementos. Desta forma o estudo das frações atingirá seu real significado quando uma teia de relações e idéias forem estabelecidas durante o estudo, idéias corno: 1. Fração como Parte-Todo: A relação parte/todo se apresenta quando um todo (unidade) se divide em panes equivalentes (iguais). A fração, por exemplo, indica a relação que existe entre um número de partes e o total de partes; é o caso das tradicionais divisões de uma figura geométrica em partes iguais. Deve-se considerar que alguma propriedade do conjunto inicial deve permanecer inalterada para podermos dizer que houve uma repartição do todo inicial em frações. A compreensão desse significado deve abranger as quantidades contínuas e discretas. 1.1 Conceito de Fração em Quantidades Contínuas Esse conceito envolve a idéia de repartição de um todo em partes de mesmo comprimento, de mesma área, de mesmo volume, entre outros. Para o desenvolvimento desse conceito podemos observar o seguinte exemplo: a- Dobrar uma folha retangular em duas partes e pintar uma delas. Essa dobra poderá ser feita de duas formas diferentes, corno mostra a figura: A parte pintada representará (um meio) a metade da figura. O que pode ser dificil para a criança é relacionar as duas figuras e verificar que elas possuem a mesma área. Para que essas dúvidas sejam sanadas, devemos provocar discussões, com atividades de recortes e colagens, nas quais as superfícies sejam sobrepostas,
  22. 22. 16 confirmando a hipótese de possuírem a mesma área. Essa atividade poderá ser realizada para que os alunos percebam que a fração é uma pane de algo que se considera como o inteiro. No exemplo citado, só poderemos dizer que a folha foi repartida ao meio, se cada pedaço dessa repartição ocupar a mesma área, ou seja, se cada pedaço for exatamente a metade da área total e se os dois pedaços juntos recobrirem a folha de papel inicial. Com esse exemplo, observarmos a área, isto é, um todo dividido em partes de mesma área, que ocupam a mesma superfície plana. Dentro desse modelo ainda podemos trabalhar com desenhos de pizza, banas de chocolate e desenhos de figuras geométricas. Se pretendermos trabalhar com a idéia de repartição de um todo em partes de mesmo comprimento, de mesma distância, podemos, por exemplo, repartir um barbante em pedaços iguais. Estaremos, dessa forma, fornecendo aos alunos o conceito de fração no modelo linear: Se fizermos uma repartição de um todo em partes de mesmo volume ou de mesma capacidade de líquido, diz-se que um todo foi repartido em frações, se cada recipiente contiver a mesma quantidade de líquido. 1.2 Conceito de Fração em Quantidades Discretas Para desenvolver este conceito, que vem a ser a idéia de repartição de um todo (conjunto de vários elementos juntos) em partes de mesma quantidade numérica, os alunos precisam ter bem fundamentadas as noções de conjuntos, multiplicação, divisão, múltiplos e divisores.
  23. 23. 17 "Uma quantidade é dita discreta quando possui urna identidade definida (ou individualizada), constituindo uma entidade, isto é, consta de unidades separadas umas das outras, como as árvores .le um parque, as pessoas de uma festa, os grãos de uma espiga, as tampas de garrafa de uma coleção, etc ..." (LIMA, 1995, p.90) Portanto, obteremos frações se cada parte de um todo contiver a mesma quantidade de elementos. Para exemplificar esse conceito temos: Mariana comprou 20 adesivos pal·a enfeitar os seus cadernos. Já usou 1/5 deles. Quantos elas já usou? Para os alunos compreenderem a idéia de fração como relação palie-todo, terão que associar o exemplo mencionado à divisão do número de adesivos em partes iguais, observando com isso que 1/5 de 20 é igual a 4. 2. Fração como Razão Para construir esse conceito, deve-se iniciar com o desenvolvimento do raciocínio proporcional dos alunos, fazendo-os observarem que os números envolvidos nesse caso (fração) servem como comparação entre duas quantidades. Podemos observar bem esse conceito de fração com o seguinte exemplo: Se uma classe tem 40 alunos, a metade deles ficam sentados e a outra metade em pé, quantos alunos ficarão sentados? E se a classe tem 48 alunos? E se forem 60 alunos? Observa-se que a fração 1;2 estabelece a razão (relação) entre os alunos sentados e o número total de alunos. A fração estabelece uma comparação entre o número de alunos sentados e o total de alunos da classe. Esse conceito de fração como razão é muito utilizado em situações do dia-a-dia, como podemos ver em um jogo de futebol, quando é comparado o número de pontos ganhos por uma equipe com o total de pontos do campeonato, em receitas, misturas de tinta, em probabilidades, porcentagem, etc. 3. Fracão como Divisão Esse conceito se diferencia da fração como relação palie todo, pois essa idéia mostra ao aluno a fração como resultado do quociente de dois números inteiros (a:b = a!b; b=O).
  24. 24. i8 Na relação parte todo, dividir U,TIaunidade em 3 partes iguais e pegar 2 dessas partes é bem diferente que na relação como divisão ern que se quer dividir 2 unidades em 3 partes iguais. No entanto, nos dois cases, o resultado é dado pela mesma fração 2/3. Para cxemplificar melhor esse conceito, poderemos usar o seguinte exemplo: Repartir uma garrafa de 2 litros de refrigerante igualmente entre 10 pessoas e descobrir quanto do litro cada pessoa irá beber. 4. Fração como Operador Esse conceito de fração desempenha um tipo de modificador de situações. Tal idéia está presente, por exemplo, em situações concretas de medições e de representação de objetos reais em escala. Ex: Quando queremos reduzir uma figura em suas medidas, ampliar um mapa, em problemas do tipo" que número devo multiplicar por 5 para obter 2", etc. Pesquisas têm mostrado que os alunos sentem dificuldades em adquirir o conceito de fração, pois só a identificam como partes de números, mas não percebem que uma fração representa um novo número. O ensino desse assunto está essencialmente centrado em memorizações de informações, utilização de regras e reprodução de modelos apresentados pelos professores, impossibilitando o aluno de construir seus conhecimentos. É complicado para o aluno compreender que esse novo número é representado por três símbolos para uma única quantidade (aIb, onde a e b são números naturais isolados e o traço equivale a um sinal de divisão). Então aIb ou a:b é a fração, novo símbolo que representa uma nova quantidade, um novo número. Já no caso da relação parte-todo na fração aIb, ª é o numerador que nos indica quantas partes do inteiro estão sendo consideradas e º é o denominador que nos fornece o número de partes iguais em que o todo foi dividido (repartido - números de cortes). Os alunos podem não conseguir ajustar os conceitos que possuem de números naturais e as operações desse conjunto, para esse novo conjunto dos números
  25. 25. ]<) racionais. Por exemplo, muitos alunos acham que a multiplicação de dois números é sempre um número maior que os dois fatores dados; e que o resultado da divisão de dois números é sempre u.n número menor que o dividendo e o divisor. Eles ficam confusos ao perceber que com as frações algumas vezes isso não ocorre. A maioria das crianças não sabe exatamente o que é uma fração não operam com as frações e, quando o fazem, usam regras decoradas, sem entender o resultado encontrado. Para se construir o conceito de fração é necessano que alguma coisa seja tomada como unidade e esta deverá ser dividida em um número de partes iguais, de modo que se reparta completamente o todo considerado. A criança deve perceber que o total não se altera, pois a conservação de quantidade é um elemento básico para que ela compreenda o conceito de fração. Para as crianças é complicado pensar ao mesmo tempo em se variar o número de partes em que se divide o todo e o tamanho dessas partes, e não se alterar o total (tamanho do todo). Uma forma comum de apresentar às crianças as frações é mostrar-lhes todos divididos em partes iguais(aspecto extensivo das frações), alguns dos quais pintados, onde o número total de partes é o denominador, e o número de partes pintadas é o numerador. Esse modo de mostrar as frações às crianças, as levará a empregar um procedimento de contagem dupla, no qual os alunos contarão o número total de partes em que se dividiu o todo e as que estão pintadas, sem entender o significado do que estão fazendo, conduzindo-as a cometer muitos erros. É importante propor às crianças diversas atividades que não compreendam somente contagem dupla, mas exercícios que façam elas raciocinarem sobre relação parte-todo. Ex: Figura a Figura b Figura c
  26. 26. 2U Exercícios de contagem dupla Relação parte-todo Fração 2/10 Fração 2/1O Para a construção do conceito de fração nos exercícios de contagem dupla, e preciso contar as partes "pintadas" e colocar no numerador, e o total de partes em que foi dividido o todo (inteiro) no denominador. Alguns alunos sentirão dificuldades na relação parte-todo, podem contar as partes pintadas e colocar no numerador, e o que sobra (partes não pintadas) colocar no denominador. No exemplo dafigura c , eles podem raciocinar que a fração correspondente é 1/9. Nesse caso, para formar o conceito corretamente, a criança terá que pensar no tamanho do todo, no número de partes e no tamanho das partes que deverá ser igual, pois quando elas vão repartir alguma coisa (todo) sempre procuram dar quantidades (partes) iguais a cada um. Para que a criança compreenda o conceito de fração e fundamental que ela consiga: 1°) Observar a existência de uma totalidade divisível: se o todo a ser repartido (dividido) for, por exemplo, uma(s) barra(s) de chocolate, a criança deverá dividir a(s) barra(s) em partes iguais, conforme o número de pessoas a quem ela quer repartir o(s) chocolate(s), e pensar quantas partes cada um vai ganhar. "Para obter uma divisão do todo em partes iguais (aspecto extensivo das frações), as crianças precisam antecipar qual será a relação entre as partes e o todo (aspecto intensivo das frações) e que esta antecipação é intrinsecamente conectada à conservação do todo independente das divisões que ele teve que passar". (PIAGET, 1960 apudNUNES e BRYANT, 1997, p.207). Nesse caso, existe uma relação inversa entre o número de receptores e o tamanho da parte (quota) que cada uma vai ganhar, bem como a relação direta entre o todo a ser repartido e o tamanho da quota, que deve ser bem explicado para as crianças para que elas compreendam os aspectos tratados. "Thomas Kieren (1988; 1994) (sic), com base em uma análise matemática de números racionais, sugeriu que as frações são números produzidos por divisões (em
  27. 27. 21 vez de por união com números inteiros), elas são números no campo dos quocientes". (NUNES e BRYANT, 1997, p.196) Ex: Como dividir 3 chocolates entre 4 pessoas la pessoa 2U pessoa 3a pessoa 4a pessoa Cada pessoa receberá 1;4 de cada bana; como são três banas, então cada pessoa receberá 3/4 de um chocolate. 2°) Ter em mente o tamanho das partes, pois muitas crianças partem (dividem) o todo em um número de partes menores ou maiores que o número de pessoas para as quais se vão distribuir os pedaços. Elas dividem o todo de modo arbitrário, desordenado, distribuem uma porção (pedaço) a cada pessoa, e as vezes deixam resíduos (restos). 3°) Ver o esgotamento .lo todo, visto que é freqüente entre as crianças, como já foi citado, a permanência de resíduos depois de partir o todo em determinado número de partes. Para que o educando entenda que um pedaço cortado do todo seja visto como uma fração desse todo, é necessário que seja feita uma divisão exata, ocorrendo assim, o esgotamento do todo, não sobrando resto (pedaço com tamanho diferente dos demais). Este resto não é igual às outras partes retiradas, nem um todo, e essas duas idéias interferem na mente da criança, na formação da noção da fração. 4°) Ter a noção da relação entre o número de partes e o número de cortes, pois a criança acredita que o número de palies obtidas na divisão é igual ao número de cortes
  28. 28. 22 feitos no todo. Exemplo: Num bolo retangular, quatro pedaços podem ser obtidos através de 3 cortes. Dependendo da forma do todo que se quer dividire cortar) , o número de cortes a ser efetuado será diferente do total de partes que se quer obter. Obs: Em quantidades discretas, o número de elementos da coleção deve er múltiplo do número de partes iguais (frações), resultante da partição, caso contrário sobrará resto. 5°) Visualizar a igualdade das partes: para que a criança tenha a noção exata do que é fração, ela deve conseguir relacionar as partes iguais com o todo, e também as partes uma com a outra. Quando ela obtiver um número através da divisão, terá que considerar duas relações; uma unidade que é tomada como o todo, e o tamanho das partes, pois quanto maior for o tamanho das partes, menor será o número inteiro de vezes que cada parte cabe no todo considerado, ou seja, a parte que se repetiu como uma unidade em relação ao todo. 6°) Construir o conceito de fração como parte de um todo em SI, compreendendo que esta parte pode sofrer novas divisões (frações equivalentes) Quando se pensa em alguma coisa como uma fração, deve estar implícito o fato de constituir uma parte do todo. Por outro lado, essa parte deve constituir, por si mesma, um todo susceptível de novas divisões. A suposição de que cada fração possa ser tomada como um todo que será submetido a nova divisão, evidencia o fato de que cada fração se integra numa sucessão de divisões (sistema de encaixamento). (LIMA, 1995, p.88). Algumas pesquisas mostram a grande resistência dos alunos em aceitar as frações como números, pois grande parte deles acham que cada fração são dois números independentes. Outra dificuldade está em aceitarem que frações como 12e 2/4 possam ser números iguais. Para a compreensão desse conceito, pode ser utilizado o exemplo da dobradura de uma tira de papel. /" ,. . 1/2. 1/4 1/8 1/16 j/~
  29. 29. 23 7°) Evidenciar que a soma das {rações é igual ao todo inicial (princípio da invariància). Na maioria das vezes não se admite que um todo quando partido tenha a mesma quantidade, quando somam-se novamente as frações desse todo. A criança não tendo adquirido a conservação de área, por exemplo, levanta-se um problema: - uma das condições essenciais do conceito de fração não está sendo observada, qual seja, a soma das frações constituídas de um todo tem que ser percebida pela criança como igual a este todo. (LIMA, 1995, p.83). Diante de tais reflexões é inadequado tentar ensinar e aprender frações, partindo de uma simples definição a/b onde b=O, sempre com a idéia da contagem dupla. Também é inútil "apresentar" técnicas operatórias, com frações se o aluno não tem domínio do conceito do assunto. É preciso redimensionar o ensino aprendizagem das frações, pois como essas vem sendo trabalhadas, tem pouco significado para os alunos, porque enfoca-se a técnica pela técnica, em detrimento das suas próprias idéias.
  30. 30. CAPÍTULO 3 3.1 SEQÜÊNCIAS DIDÁTICAS PARA O PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM DAS FRAÇÕES. As frações, como vêm sendo trabalhadas, têm pouco significado para os alunos, pois enfoca-se a técnica pela técnica, em detrimento das suas próprias idéias. A intenção de se montar atividades sobre o assunto frações é auxiliar o aluno a descobrir as noções e idéias compreendidas no conceito enquanto for experimentando novas situações e lidando com materiais concretos, para que ele possa fazer descobertas que irão contribuir para seu próprio conhecimento. Ao se desenvolver atividades bem estruturadas e elaboradas, o aluno poderá observar e compreender as idéias envolvidas para a construção do conceito, que são: - fração como parte de um todo de uma quantidade contínua (exemplo: barra( s) de chocolate(s) que será dividida entre certo número de pessoas) e de quantidade discreta (divisão de muitos objetos de um conjunto a várias pessoas); - fração como razão (relação entre duas quantidades que se quer comparar); - fração como divisão (como repartir certo volume de líquido para determinado número de pessoas, dando o mesmo tanto para cada uma); - fração como operador, desempenhando um papel de modificador de situações (exemplo: redução ou ampliação de mapas). As crianças conseguem facilmente observar e intuir as características essenciais de um conceito a partir de imagem visual (concreta). Podem abstrair as propriedades comuns de alguns conceitos, mas só depois de algum tempo poderão abstrair as características essenciais e agrupá-las como pertencentes a um mesmo conceito. Para organizar uma seqüência didática, temos que selecionar atividades de tal maneira que as unidades de informação estejam ligadas para permitir ao aluno a construção dos conceitos. Essa organização seqüencial deve obedecer a uma seqüência lógica: ter coerência, ir dos exemplos mais simples para os complexos, obedecer etapas contínuas e sistemáticas que levem o educando a um desenvolvimento tanto em
  31. 31. 25 conhecimentos como em habilidades, proporcionando a integração dos concei tos de tal maneira que se completem entre si. Klausmeier (1977), baseado nos estágios de desenvolvimento propostos por Piaget, definiu conceito como: "Conjunto de informações ordenadas a respeito das propriedades de uma ou mais coisas, objetos, eventos ou processos que permite a qualquer coisa ou classe de coisas particulares ser diferenciada e também relacionada a outras coisas ou classe de coisas". (BRITO, ANPEPP, 1996, p.75). Ao aprender um conceito, através de generalizações, discriminação e abstração os estudantes vão ampliando o seu domínio sobre esse novo conceito, conseguindo ver os aspectos essenciais, que deverão ser incorporados aos seus conhecimentos. Aqueles que são menos importantes serão vistos só como auxiliares na construção de outros conceitos. A generalização se verifica do particular (concreto)" para o que é geral e desconhecido (abstrato):'. Ao propormos uma seqüência didática para o ensmo de um determinado conceito matemático, devemos: a) Organizar atividades que visem à interação do sujeito com o objeto de conhecimento. Esses problemas e questões devem permitir que o aluno supere os seus obstáculos e tenha um progresso cognitivo. b) Verificar as formas de organização dos educandos frente aos desafios propostos. c) Identificar quais são os obstáculos que estão impedindo que o aluno compreenda (assimile) o conceito. d) Apresentar questões que investiguem a capacidade do educando de sair de um nível de conhecimento, observar se ele consegue organizar os conhecimentos de modo que possa construir um conceito novo e avançar para novos conteúdos. As atividades a seguir compreendem questões que são a base da construção do conceito de frações. Os exercícios propostos para a compreensão desse assunto são exemplos de frações como sendo relações parte-todo, que devem compreender 2 Concreto:- material manipulativo. (peças recortadas em plástico. madeira. etc.) 3 Abstrato: - o que não se tem base material: que não se pode manipular.
  32. 32. 26 quantidades contínuas e descontinuas (discretas), pois a divisão de "n" objetos entre números diferentes de receptores e as quantidades citadas altera o significado da quantificação, Observamos também a coordenação de aspectos extensivos (divisão do todo em partes iguais, distribuição e quota) e intensivos (relação parte-todo e reconstrução do todo a partir das partes). Incluímos questões que possibilitem às crianças refletirem sobre situações de divisões e as relações entre dividendo, divisor e quociente, que em síntese envolvem uma relação entre quantidade e número de receptores, e números de receptores e tamanho da quota. Isso significa identificar se existem obstáculos em relação às conseqüências do tamanho de "n" em um n-corte. Somente com a proposta de atividades que geram as dissonâncias cognitivas podemos identificar os obstáculos epistemológicos apresentados pela criança no ato de conhecer o objeto matemático em questão.
  33. 33. ..,~ LI ATIVIDADES P ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUA OBJETIVOS: a) Manipular peças de cartolina divididas em várias partes e de várias cores diferentes para diferenciar contagem dupla e relação parte todo. b) Perceber as relações de tamanho entre elas. c) Construir o conceito de fração como parte de um todo (aspecto extensivo das frações: relação entre as partes.) MATERlAL NECESSÁRIO: Pedaços de cartolinas de mesmo tamanho e de cores diferentes. DESENVOL VIMENTO. Distribuir uma quantidade de cartolina branca, outra unidade de mesmo tamanho dividida e cortada em duas partes iguais; outra dividida e cortada em três, outra dividida e cortada em quatro, e outra dividida e cortada em seis, mas todas de cores diferentes, como mostra o desenho: <-----I 1__ 1 ITTI I----+--- Branca Verde Amarela Azul Vermelha Perguntas: a) Quantas partes da cartolina verde são necessárias para formar uma cartolina branca? b) Quantas partes da cartolina vermelha são necessárias para formar uma das partes da, cartolina amarela? c) Quantas palies da cartolina azul formam uma parte da cartolina verde? d) Quantas partes da cartolina vermelha são necessárias para formar uma cartolina branca?
  34. 34. 2 ) e) Faça uma correspondência (fração): - a cartolina branca corresponde a _ - cada parte da cartolina verde corresponde a _ - cada parte da cartolina amarela corresponde a _ - cada parte da cartolina azul corresponde a _ - duas partes da cartolina vermelha correspondem a _ - duas partes da cartolina amarela correspondem a _ - duas partes da cartolina verde correspondem a _ Obs:. A nomenclatura (numerador e denominador) deverá ser introduzi da enquanto se escrever a fração correspondente. 2a ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUA OBJETIVOS: a) Mostrar as primeiras noções de frações, conceituar fração. b) Fazer o aluno observar a existência de um todo, que pode ser dividido em partes iguais (totalidade divisível). c) Identificar a compreensão dos alunos das noções de meio (metade), terça parte, etc.). MATERIAL NECESSÁRIO: Desenhos em folha de papel sulfite. DESENVOL VIMENTO Considerando o retângulo, responda:
  35. 35. 29 a) Quantos quadradinhos iguais a este D te TI o retângulo acima? b) Quantos quadradinhos tem a metade do retângulo? c) Pinte um terço do retângulo. Quantos quadradinhos foram pintados? Faça uma relaçãotfração) de quantas partes foram pintadas no retângulo com quantas partes está dividida a figura. 3a ATIVIDADE - QUANTIDADES CONTÍNUAS OBJETIVOS: a) Verificar a compreensão dos alunos sobre "metade". b) Avançar sobre o aspecto da contagem dupla. c) Evidenciar a relação parte-todo e parte-parte(aspecto intensivo das frações) - igualdade das partes. MATERIAL NECESSÁRIO: Desenhos em folhas de papel sulfite. DESENVOL VIMENTO: A) Olhando as figuras abaixo, escreva a fração correspondente à parte pintada em cada uma das figuras abaixo: a) c) d) e) 1)
  36. 36. 30 4a ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUAS OBJETIVOS: a) Fazer a criança observar a fração como sendo palie de um todo (aspecto intensivo das frações). b) Construir o conceito de que a união de frações iguais, levam à unidade (conservação do todo). c) Esgotar o todo. MATERIAL NECESSÁRIO: Desenhos em folha de papel sulfite. DESENVOL VIMENTO: A) Observando as figuras abaixo, responda: a) b) c) d) e) a) Pegando a figura "c", pergunta-se: -Quantas divisões tem o desenho? - Quantas estão pintadas? - Que fração representa essa relação? - Qual a relação que existe entre a parte pintada e o total de divisões? b) Pegando a figura "e", pergunta-se: - Quantas divisões tem o desenho? - Quantas estão pintadas? - Montar a relação (fração) entre a parte pintada e o total de divisões.
  37. 37. 31 c) Pegando a parte pintada da figura a, mais a palie pintada da figura d, em qual figura chegamos? d) Pegando a parte pintada da figura c, mais a palie pintada da figura a, quantas palies faltam para completar a figura e(unidade divisível)? sa ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUA OBJETIVOS: a) Mostrar o todo divisível. b) Verificar a capacidade da criança em conservar o todo. MATERIAL NECESSÁRIO: Desenhos em folhas de papel sulfite. DESENVOL VIMENTO: A) Considere as figuras dadas como 1;; (metade) do inteiro a) b) c) a) Desenhe o inteiro (unidade) em cada figura: 6a ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUAS OBJETIVOS: d) '/ J / a) Verificar a capacidade da criança de coordenar o aspecto intensivo das frações. b) Observar que existem frações menores e maiores que 1. c) Fazer o aluno observar a relação que existe entre o número de partes, e o número de receptores; MATERIAL NECESSÁRIO: Barras de chocolate.
  38. 38. DESENVOL VIMENTO: A) Dividir 1 bana de chocolate entre 2 crianças. Pergunta-se: a) De que maneira poderá ser feita essa divisão? b) Se o chocolate for dividido em 4 partes iguais. quantas partes caberá a cada criança? c) Se o chocolate for dividido em 8 partes iguais, quantas partes cada uma receberá? Após a divisão podemos explicar às crianças que 1 barra corresponde a 2 partes de 1/2. B) Dividir 2 banas de chocolate entre 3 crianças. 13 criança 3a criança 23 criança Pergunta-se: a) Como dividir cada bana de chocolate? b) Quanto(s ) pedaço(s) cada criança vai ganhar de cada barra? c) Com quanto)s) pedaço(s) cada criança vai ficar no final da divisão? Escrever a fração correspondente. d) Então, 1/3 + 1/3 é igual a ----- e) Se o número de crianças aumentar para 4, o que vai acontecer com o tamanho das partes que cada urna vai receber? * Esses 2 exercícios darão à criança a idéia de frações menores que 1(unidade).
  39. 39. C) Dividir 3 chocolates entre 2 crianças: 1/2 I 1/2 I ~____ ~ A ~ ~ ~ Y y 1/2 13 criança 23 criança Pergunta-se: a) Como dividir cada barra de chocolate de modo que cada criança ganhe o mesmo pedaço? b) Se cada barra for dividida em 4 partes iguais, quantas partes cada criança ganhará de cada barra? c) Quantos pedaços cada criança receberá dos 3 chocolates? d) Qual é a fração correspondente do total que cada criança receberá? e) Então, 3 x Y2 é igual a ----- - Cada criança receberá 3 pedaços (3/2), pois ao dividir cada barra em 2 partes iguais receberá 1/2. Então, como são 3 barras, receberá 3/2. - Quando escrevemos 3/2, estamos dizendo que, ao dividirmos 3 chocolates entre 2 pessoas, cada pessoa recebe 3 metades desse chocolates ( 3 x Y2). Como 2 dessas metades formam 1 inteiro, cada pessoa recebe 1 chocolate interiro e 1 metade ( 1 + Y2 ) O) Dividir 4 chocolates entre 2 crianças. .... ./ la criYnça I 1/2 I 1/2 I I 1/2 1/2 I.... -"-...y 2a criança
  40. 40. Pergunta-se: a) Como dividir os chocolates para que as :2 crianças ganhem a mesma quantidade de chocolate? b) Quanto (que fração) do todo cada criança receberá? c) O que você entendem por ~ + Y2= _ OSSo Esses dois exercícios darão a idéia de fração maior que 1 (unidade). 7U ATIVIDADE - QUANTIDADE CONTÍNUA OBJETIVOS: a) Verificar a capacidade da criança de coordenar o aspecto extensivo das frações (esgotamento do todo). b) Compreender a relação do "n" em um n-corte. c) Identificar as relações inversas entre o n° de receptores e o tamanho da quota: aumentando o n° de receptores, diminui a quota, mantendo-se o todo. MATERIAL NECESSÁRIO: Desenho em cartolina e papel sulfite. DESENVOL VIMENTO: A) Em uma festa havia um bolo retangular. Estavam na festa 8 convidados, e o bolo foi repartido igualmente. Olhando o desenho do bolo, reparti-lo de modo que cada convidado receba o mesmo pedaço do bolo. Pergunta-se: a) Qual a fração do bolo que cada convidado ganhou? b) Se o bolo for dividido em 16 partes, quanto cada convidado receberá do bolo? c) Receberá mais ou menos?
  41. 41. 35 B) Em uma festa havia 10 barras de chocolate e quatro convidados. Pergunta-se: a) Quantos chocolates receberá cada convidado? b) Se tivesse 8 convidados.elcs receberiam quanto de chocolate? Receberiam mais ou menos? c) Se tivesse um número maior de convidados, cada convidado iria receber mais ou menos chocolate? s- ATIVIDADE - QUANTIDADES DESCONTÍNUAS (DISCRETAS). OBJETIVOS: a) Verificar se os alunos percebem a relação parte-todo. b) Compreender que o tamanho da palie é maior quando o todo é maior. c) Compreender a relação do "n" em um n-corte. MATERIAL NECESSÁRIO: Caixas de bombons e lápis de cor. DESENVOL VIMENTO: A) Flávia e João ganharam 2 caixas de bombons. Flávia comeu 18 bombons, que correspondem à metade dos bombons de sua caixa. João também comeu à metade de seus bombons e ficou todo feliz porque comeu 22 bombons. a) Por que João comeu mais bombons do que Flávia, se os dois comeram a metade dos bombons? b) Quantos bombons tinha em cada caixa? B) Dividir 36 doces entre 3 crianças. a) Quantos doces receberá cada criança? b) Se aumentar o número de crianças a serem distribuídos os doces, o que acontecerá com a quantidade de doces que cada uma receberá? Obs. Neste exercício o professor poderá observar se os alunos conseguem ter a idéia de relações diretas e inversas existentes entre o todo, as partes em que foi dividido e o tamanho da quota. C) Dado o quadro abaixo:
  42. 42. 36 DDDD O O DDDD O O DDDD O O ~~~~~ RESPONDA: a) Quantas figuras compõem o quadro? b) Pinte de azul um quinto do total dos triângulos do quadro. Quantos você pintou? c) Que fração do total de triângulos ficou sem pintar? d) Pinte de preto um terço do total de quadrados. Quantos quadrados você pintou? e) Que fração os quadrados que ficaram sem pintar representam do total de quadrados? E do total de figuras? e) Pinte de vermelho dois terços do total de círculos. Quantos ficaram pintados? Que fração estes círculos pintados representam do total de figuras do quadro? 9a ATIVIDADE - QUANTIDADES DESCONTÍNUAS OBJETIVOS: a) Distinguir as idéias de "fração de um todo" (aspecto extensivo das frações) e "fração de fração". b) Compreender a relação entre o na de partes e o n° de receptores. MATERIAL NECESSÁRIO: Desenhos em papel sulfite e lápis de cor. DESENVOL VIMENTO: A) O desenho abaixo representa uma caixa com 24 refrigerantes.
  43. 43. 37 o O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Dessa caixa, 2/4 vão ser distribuídas para 4 crianças e o restante para os adultos. Metade dos que cabe às crianças é distribuída entre as meninas. Pergunta-se: a) Quantos refrigerantes caberão aos adultos? b) Quantos refrigerantes caberão às meninas? c) Quantos refrigerantes caberão às crianças? d) Que fração da caixa é a paI1e dos adultos? e) Que fração da caixa é a dos meninos? f) Que fração da caixa é a parte das meninas? g) Quantos refrigerantes correspondem à metade dos 2/4? h) Que fração da caixa corresponde à metade dos 2/4? B) Observe o desenho e responda: a) Quantas bolas tem esse conjunto? b) Pinte de verde a terça parte do total de bolas. c) Quantas bolas você pintou?
  44. 44. 38 d) Que fração as bolas pintadas representam do total? Logo, de bolas = bolas-------- -------- -------- e) Quantas bolas você não pintou? f) Que fração as bolas que não foram pintadas representam do total? to- ATIVIDADE - QUANTIDADES CONTÍNUAS E DISCRETAS OBJETIVOS: a) Conservar o todo. b)Identificar a conservação de quantidades contínuas e discretas. MATERIAL NECESSÁRIO: Figuras em papel sulfite, copos descartáveis (branco, amarelo, verde e azul) e tampinhas de garrafa. DESENVOL VIMENTO: A) Sejam as figuras tais como as descritas nas situações 1,2 ,3 e 4. Situação 1 Situação 2 D D D D D cs;J D 00 Maria Pedro Maria Pedro D D LSJ DJ cs;J DJ ~ OMaria Pedro Maria Pedro Situação 3 Situação 4 a) Na situação 3 quem ganha mais: Maria, Pedro ou ambos ganham igual? b) Na situação 4 quem ganha mais: Maria, Pedro ou ambos ganham igual?
  45. 45. 39 B) Dividir o retângulo abaixo entre 2 pessoas, de modo que cada uma fique com a mesma parte. Exercício para observar a existência de urna totalidade que está sendo dividida. C) Dividir a figura abaixo entre 4 pessoas, de modo que cada pessoa ganhe a mesma parte. Exercício para visualização da igualdade das partes. D) Dividir o círculo abaixo entre 2 pessoas, de modo que cada uma fique com o mesmo pedaço. E) Dividir o retângulo abaixo em 3 partes iguais. Pegar uma das partes e reparta em 2 partes iguais. Quantas dessas partes precisa para formar o retângulo inteiro? Exercício para visualizar a conservação do todo. F) Dividir doze objetos (tampinhas de garrafa) e coloque em 2 copos. 000000000000
  46. 46. ~o - Pergunta-se: - A quantidade no 2 copos é igual? G) Dividir a quantidade de cada copo em 2 partes iguais e coloque em novos copos. - Que fração do todo vai ficar em cada copo? - Quantos copos vão ser necessários para suportar a coleção inicial das 12 tampas de garrafas? H) Colocar 12 bolas em um copo e doze bolas distribuídas em 4 copos amarelos. Exercícios para observar a relação parte-parte e parte-todo e conservação do todo. - Quem tem mais bolas: o que ficar com o 10 copo ou o que tem os 4 outros copos? - Comparar a quantidade de bolas dos copos brancos e amarelos. Brancos Amarelos - Quem tem mais bolas: quem tem os copos amarelos ou quem tem os copos brancos? - Quantos copos brancos são necessários para formar um azul com 12 bolas? - Quantos copos amarelos são necessários para formar um branco com seis bolas? - Quantos copos amarelos são necessários para formar um azul com 12 bolas? - As quantidades de dois copos amarelos é a mesma coisa que a quantidade de um copo branco? - A quantidade de dois copos brancos é a mesma coisa que quatro copos amarelos e a mesma coisa que um copo azul? - Quem ganha mais: quem tem dois copos amarelos ou quem tem um copo branco? - Quem ganha mais: quem tem três copos amarelos ou quem tem um copo azul?
  47. 47. 4l - Quem ganha mais: quem tem dois copos brancos ou quem tem três copos amarelos? - Coloque as doze bolas amarelas em 6 copos verdes. - Quem ganha mais: quem tem 3 copos verdes ou quem tem 1 copo branco? - Quem ganha mais: quem tem 3 copos verdes ou quem tem 2 copos amarelos? - Quem ganha mais: quem tem 6 copos verdes ou quem tem 1 copo azul? - Quem ganha mais: quem tem 1 copo amarelo ou quem tem 1 copo branco? - Quem ganha mais: quem tem 2 copos amarelos ou quem tem 1 copo branco? - Calcular a metade de dois todos diferentes: um com 8 objetos e outro com 12 objetos. - Por que as metades das duas coleções deram diferentes? 110 ATIVIDADE - ASPECTOS INTENSIVOS E EXTENSIVOS OBJETIVO: a) Verificar a capacidade de estabelecer o aspecto extensivo das frações. MATERIAL NECESSÁRIO: Desenhos em papel sulfite. DESENVOL VIMENTO: A) Contexto de área a) Em cada figura, represente o que se pede: 1/4 1/2 2/5 3/5 1/3 1/2
  48. 48. -+2 l2a ATIVIDADE - ASPECTOS INTENSIVOS E EXTENSIVOS OBJETIVOS: a) Verificar se os alunos sabem determinar uma parte do inteiro( relação parte-todo). b) Verificar se observam que Y4 e 3;4 juntas formam um inteiro, ou seja, se percebem a possibilidade de efetuarem essa adição simples. MATERlAL NECESSÁRIO: Desenhos de 4 copos DESENVOLVIMENTO: B) Contexto de Volume. a) Com o copo cheio podemos fazer cem bolhas. Quantas bolhas podemos fazer com estes quatro copos? (desenvolva um pensamento sobre isso). 1/5 Quantas bolhas serão feitas com 1/2 (metade) do copo? Quantas bolhas serão feitas com 1/4 (um quarto) do copo? Quantas bolhas serão feitas com 1/5 (um quinto) do copo? Quantas bolhas serão feitas com 3/4 (três quartos) do copo? 13a ATIVIDADE OBJETIVOS: a) Verificar se os alunos têm a compreensão dos atributos de comprimento, e se eles percebem e assimilam que a idéia de metade está associada à ação de manter os dois comprimentos iguais. b) Trabalhar a idéia de fração como parte-todo associada à idéia de medida. c) Trabalhar a representação do número fracionário na reta numérica.
  49. 49. MATERIAL NECESSÁRIO: Barbantes - 3 pedaços de mesmo comprimento. DESENVOLVIMENTO: C) Contexto de medida - Idéia de fração como medida Utilizando dois barbantes de mesmo comprimento, dobre um deles em 2 partes iguais. - Compare cada parte e responda: a) Cada parte do barbante é igual a do barbante inteiro. b) Dobre o outro barbante inteiro em 2 partes diferentes. Compare cada parte obtida. O que se observa? c) Cada parte obtida será metade (112) do barbante? Por quê? d) Você poderia dobrar o mesmo barbante, em duas partes, e cortá-lo de maneira que uma parte caiba duas vezes dentro da outra? e) Como dobrar o barbante para que cada parte seja I;í do barbante? 14° ATIVIDADE - FRAÇÃO COMO OPERADOR OBJETIVOS: a) Fazer o aluno identificar frações associadas à idéia de operador. b) Explorar estratégias de cálculos e de raciocínio que devem ser utilizados. MATERIAL NECESSÁRIO Régua; desenhos DESENVOLVIMENTO: A) Um poster com 1,5 u de largura por 3u de comprimento, precisa ser ampliado. Qual seria a melhor ampliação possível para o modelo dado: a) Poster de 1,5u por 3 u b) Poster de 3u por 3u c) Poster de 3u por 6 u d) Poster de 6u por 6u B) Uma fotografia de 3x4 foi ampliada para 18x24. Qual foi a razão de ampliação? 15° ATIVIDADE - FRAÇÃO COMO RAZÃO
  50. 50. OBJETIVOS: a) Construir o conceito de fração como relação pane-todo no contexto de fração como razão. b) Explorar situações não rotineiras em aula de matemática. c) Explorar a relação parte-todo MATERIAL NECESSÁRIO: Caderno, lápis. DESENVOLVIMENTO: A) Observe as palavras OUTUBRO NOVEMBRO DEZEMBRO a) Quantas letras tem a palavra NOVEMBRO? b) Cada letra representa que parte do total de letras da palavra NOVEMBRO? c) Quantas vogais há nessa palavra? d) Como comparar a quantidade de vogais para a quantidade de letras da palavra NOVEMBRO? e) Quantas consoantes tem na palavra NOVEMBRO? f) Como comparar a quantidade de consoantes com a quantidade de letras da palavra novembro? B) Em um campeonato de handebol, Luiz e Carlos estão disputando a posição de melhor jogador do campeonato, Luiz marcou 9 dos 24 gols do seu time numa partida. Carlos marcou 2/3 dos gols marcados por Luiz. Quantos gols Carlos marcou? C) No mesmo campeonato, André marcou 12 dos 36 gols do seu time. Quantos gols Felipe marcou nesse jogo, sabendo que ele marcou gols na mesma razão que André? D) Para fazer um litro de suco de uva, usa-se V4 d suco concentrado, 2/3 de água e a parte restante é completada com açúcar. Segundo essa receita, complete a tabela. Litros de suco pronto 12 24 60 300 6 Litros de suco concentrado 3 6 15 75 1,5 Litros de água 8 16 40 200 4 .. Fonte: PARANA. Secretana de Estado da Educação. Ensinar e Aprenderl: Matemática. Curitiba, 1998, p.35
  51. 51. ..) 16a ATIVIDADE - FRAÇÃO COM:G DIVISÃO OBJETIVOS: a) Explorar a idéia de fração corno divisão. b)Verificar a repartição fracionárias, quando o todo inicial não é formado por mais de uma unidade. c) Verificar se os alunos compreendem os atributos de volume( capacidade de líquido) MATERIAL NECESSÁRIO: Garrafas descartáveis de 1 litro, 1,5litro e 2 litros, copos descartáveis e jarras do mesmo tamanho. DESENVOL VIMENTO: A) Repartir uma garrafa de Coca-cola de 1,5 litros igualmente em 5 jarras de mesma capacidade. a) Após a divisão, quanto de refrigerante vai ficar em cada jarra? b) Que fração do todo cada jarra vai comportar? B) O conteúdo de uma garrafa de 1 litro de refrigerante e outra de 2 litros, serão distribuídos igualmente entre 4 copos iguais. lL fJfJfJfJ Pergunta-se: a) Em todos os copos teremos a mesma quantidade de refrigerante? Explique. b) Na divisão do conteúdo da garrafa de 1 litro, que fração do litro vai ficar em cada copo? c) Após a divisão dos 2 litros de refrigerante, quanto de refrigerante vai ficar em cada copo? Qual é a fração que representa essa quantidade?
  52. 52. CONSIDERAÇÕES FL AIS Em toda a trajetória histórica das frações, constatamos que na antiguidade eram utilizadas para as medições, e hoje são de grande importância em vários campos das ciências que têm como base a Matemática, como por exemplo no estudo de circuitos elétricos; nas medidas de canos, parafusos, ferros para concreto armado, cujas bitolas são expressos em polegadas ou frações de polegadas. No mundo contemporâneo, todas as atividades compreendem a utilização da matemática para ordenar, codificar e quantificar, o que exige de professores e alunos um contínuo aperfeiçoamento para que tenham um aprendizado dos conhecimentos matemáticos, e para que estes os auxiliem a abrir as portas do trabalho e, conseqüentemente, da vida em sociedade. Em se tratando de conhecimento matemático, principalmente das frações, devemos destacar que as situações de ensino precisam estar centradas em metodologias que visem à construção de significados e conceitos quanto aos números fracionários que possam levar os alunos a criarem e resolverem problemas que exijam criatividade, e a desenvolverem um raciocínio matemático para interpretar situações reais. O conhecimento matemático deve compreender um conjunto de competências como: mobilidade, raciocínio claro, compreensão de conceitos e princípios matemáticos, que levem o educando a relacionar os conceitos aprendidos na escola, com os seus problemas cotidianos e de outras áreas. É preciso que a aprendizagem escolar esteja sempre conectada à realidade do aluno, a fim de poder extrair dela as situações-problema para desenvolver os conteúdos, como para voltar a ela para aplicar os conhecimentos construí dos. Na maioria das vezes, o professor sabe que deve encaminhar seus alunos para que construam conhecimentos a partir do que sabem, mas não o fazem por falta de conhecer uma metodologia adequada, que faça o estudante assimilar com significado o que está sendo ensinado e consiga interligar isso com novos conteúdos. Há ocasiões em que o professor, num esforço para alcançar a compreensão do conteúdo pelos
  53. 53. repassados enquanto aluno. Então devemos trabar..ar com questões que admitam diferentes respostas, que levantem contradições para serem analisadas, discutidas e desafiem os alunos a obter diferentes soluções para um problema. Por isso, acreditamos que o professor deva lutar pela superação de suas limitações e ser ajudado a consegui-Ia através do empenho das instituições educacionais em promover situações que propiciem a criação de novas possibilidades de atuação do professor. É estranhável que os mestres não tenham, até hoje , suspeitado que haja algo errado com o ensino da Matemática. Pelo que qualquer observador pode constatar, chega-se à conclusão de que, ou Matemática é disciplina que só W1S podem aprender, ou é ensinada de forma tão inadequada que somente alguns a aprendem. Aliás, os bons alunos de Matemática, em geral, não atribuem ao seus mestres o êxito que conseguiram: ou foi o esforço pessoal, acima das obrigações escolares, ou a descoberta de um processo de estudar que lhes abriu a porta deste "reino maravilhosos". (BRASIL, 1977, p. VII) o professor necessita compreender que não pode mais reproduzir os modelos educacionais pelos quais ele aprendeu enquanto estudante. É preciso que se encontre novas maneiras de interagir com seus alunos, utilizando-se da grande flexibilidade e vários métodos para se ensinar um mesmo conteúdo matemático. No transcorrer deste trabalho, observamos que para a construção do conceito de fração há muitos encaminhamentos metodológicos, os quais podem oferecer resultados mais eficientes no processo ensino aprendizagem, fazendo com que o aluno passe a compreender o conceito e aplicá-lo em outros conteúdos ou atividades do seu dia-a- dia. Em um primeiro momento, tínhamos em mente que o ensino e a descoberta de soluções para os problemas sobre frações, ficariam mais fáceis se os alunos manipulassem materiais recortados ou desenhados, esses divididos em partes iguais e alguma(s) dessa(s) pintada(s), mas percebemos que nada adianta dar um desenho dividido em partes iguais para uma criança, se ela não possuir a idéia de conservação do todo, e alguns conhecimentos sobre áreas de figuras geométricas. Se o aluno não tiver essa percepção, temos que usar esses materiais de maneira a sanar suas dúvidas,
  54. 54. evitando assim que eles trabalhem inutilmente, pois se não entendem o significado do que estão fazendo vão construir conceitos errados. Devemos explorar situações problemas (atividades) que levem o aluno a construir com clareza e significado o conhecimento matemático (frações), pOIS partindo de situações significativas e manipulando materiais concretos, possa agir, refletir e estabelecer relações com a sua realidade, permitindo construir o conceito de fração, observando a existência de uma totalidade divisível, que deve ser dividido em partes iguais, que há uma relação entre o número de partes e o total de cortes feitos neste todo, e sempre esgotando o todo. Um trabalho com exercícios práticos é interessante, pOIS observa-se que os alunos só sentem motivados quando vêem utilidade daquilo que estão aprendendo. Nos exercicios propostos procuramos contemplar as principais idéias conceituais de frações, a fim de contribuir para que a criança construa a idéia de fração como parte de um todo, fração como razão, como divisão e operador, pois acreditamos que se o aluno compreender o que vem a ser fração, ele vai conseguir estabelecer relações que permitam observar a equivalência; realizar as operações com frações, transformações e tantos outros assuntos que envolvam o conhecimento desse assunto. Cremos que os exercícios propostos poderão em um trabalho futuro, ser aplicados, analisados e reformulados de acordo com as necessidades, parta atingir o objetivo esperado, que é a compreensão significativa do conceito de fração. Neste contexto percebemos que, o ensino da matemática constitui um grande desafio para os educadores e para as pessoas que, de alguma maneira, estão interessadas em Educação Matemática, pois professor não é apenas aquele que detém o conhecimento e o transmite a seus alunos, mas sim aquele que aprende junto com eles.
  55. 55. BRASIL, Luiz Alberto. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da matemática. Rio de Janeiro. RJ: Forense Universitária Ltda. 1997. p. 105. BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetro Curricular Nacional: ensmo e aprendizagem de matemática no terceiro ciclo. Brasília: MEC, 1997. p. 61-105. BRITO, Márcia F. de. °ensino e a formação de conceitos na sala de aula. In: NOV AES, Maria Helena; BRITO, Márcia Regina F. de (Orgs.). Psicologia na educação: articulação entre pesquisa, formação e prática pedagógica. Rio de Janeiro, 1996, p. 73-93. (Coletâneas da ANPEPP, 5). CARRAHER, T.; SCHLIEMANN, A.; CARRAHER, D. Na vida dez, na escola zero. 5.ed. São Paulo: Cortez, 1991. COGO, Ana Maria et aI. O ensino de frações no 10 grau. LEACIM, Universidade Federal do Espírito Santo. s.d. o AMBROSIO, U. Matemática, ensino e educação: uma proposta global. Temas e Debates, Rio Claro, São Paulo, v.4, n.3, p.2. FALCÃO, Jorge Tarcísio da Rocha. Proposição de Seqüências didáticas para o ensino de conceitos matemáticos: o caso da álgebra elementar. In: NOV AES, Maria Helena; BRITO, Márcia Regina F. de (Orgs.). Psicologia na educação: articulação entre pesquisa, formação e prática pedagógica. Rio de Janeiro, 1996, p. 135-147 (Coletâneas da ANPEPP,5).
  56. 56. 50 FRAÇÕES: como torná-Ias um prato apetitoso. Revista Nova Escola. v.12, n.l13, p. 10-17, jun. 1998. IMENES, Luiz Márcio Pereira. Matemática. São Paulo: Scipione, 1997 (Livros Didáticos, 63 série). LIMA, José M. F. Iniciação ao conceito de fração e o desenvolvimento da conservação de quantidade. ln: CARRAHER, Terezinha Nunes (Org.). Aprender pensando: contribuições da psicologia cognitiva para educação. 1O.ed. Petrópolis: Vozes, 1995. p. 81 -127. LORENZA TO, S. Os "por quês" matemáticos dos alunos e a respostas dos professores. Pro-posições. Campinas, v.4, n.l, p. 73-77, mar. 1993. MEIRr, Luciano. Aprendizagem, ensino e negociação de significados na sala de aula. ln: NOVAES, Maria Helena; BRlTO, Márcia Regina F. de (Orgs.). Psicologia na educação: articulação entre pesquisa, formação e prática pedagógica. Rio de Janeiro, 1996, p. 95-112 (Coletâneas da ANPEPP,5). MORO, Maria Lúcia Faria. Quando as crianças constroem juntas a adição/subtração ... e a construção do professor. ln: NOVAES, Maria Helena; BRlTO, Márcia Regina F. de (Orgs.). Psicologia na educação: articulação entre pesquisa, formação e prática pedagógica. Rio de Janeiro, 1996, p. 113-133 (Coletâneas da ANPEPP,5). NUNES, Terezinha; BRY ANT Peter. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, 1997. p.190-217. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Departamento de Ensino de Primeiro Grau. Centro de Estudos e Pesquisas em
  57. 57. Matemática. Curitiba, 1998. PEREIRA, Tania Michel e outros. Matemática nas séries iniciais. [s.n.] 2.ed. Ijuí, RS. UNIJUÍ, 1989. p. 11. PORTO ALEGRE. Secretaria Municipal de Educação. Divisão de Educação Escolar. Elaboração de ações didáticas. In:__ . Educação Matemática: um desafio histórico. Porto Alegre, 1993. (Cadernos de Ativação Curricular/Matemática). PRADO, Martins José do. Didática Geral: fundamentos, planejamento, metodologia e avaliação. São Paulo: Atlas, 1988. p.140-144 RAMOS, Luzia Faraco. Frações sem mistérios. 15.ed. São Paulo. Ática, 1997. SANTOS, Vania Maria Pereira dos. (Coord.). Avaliação de aprendizagem e raciocínio em matemática. Métodos alternativos. Instituto de Matemática. UFRJ. Projeto Fundação. SBPCIPADCIICAPES, 1997. p. 101-162. SANTOS, Vania Maria Pereira dos; REZENDE, Joana Ferreira de. Números: linguagem universal. Rio de Janeiro: Ed. UFRJ, 1996 . SILVA, Vilma et aI. Uma experiência de ensino de fração articulada ao decimal e à porcentagem. Educação Matemática em Revista, Blumenau, v.7, n.8, p.16 -23, jun.2000. ZUNINO, Debra Lerner de. A matemática na escola: aqui e agora. Porto Alegre: Artes Médicas, 1995. p. 190.

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