Geometria com dobraduras para séries iniciais

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Geometria com dobraduras para séries iniciais

  1. 1. r, ADRIANA MARIN TIZON '1 GEOMETRIA COM DOBRADURAS PARA AS SÉRIES INICIAIS PONTA GROSSA r r r 2001 ~~---------------------------------- --------------------- I )
  2. 2. ADRIANA MARIN TIZON GEOMETRIA COM DOBRADURAS PARA AS SÉRIES INICIAIS Monografia apresentada para obtenção do Título de Especialista no Curso de Pós- Graduação em Administração, Supervisão e Orientação Educacional : a gestão do trabalho na escola, da Universidade Estadual de Ponta Grossa. Professora Orientadora: Ms Marlene Perez PONTA GROSSA 2001
  3. 3. A Deus, meu porto seguro, que com sua luz sábia, iluminou minha mentepara que eu pudesse concluir esse trabalho, A todos os professores do curso de especialização, que souberam repartir seu conhecimento, dando a oportunidade de ampliar os horizontes do saber. Aos alunos da 2a e 4a séries, do ensino fundamental, responsáveis pela minha vontade de procurar novos caminhos no trabalho em sala de aula. À Prof". Maria Ivone, por ceder sua turma e colaborar na pesquisa, agradeço a colaboração. À Prof". Ms Marlene, pela dedicação, respeito e amizade com que conduziu a orientação, A todos, meus sinceros agradecimentos! iii
  4. 4. SUMÁRIO RESUMO VI INTRODUÇAO 1 CAPÍTULO I - A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA 6 1.1 A MATEMÁTICA ESCOLAR FRENTE ÀS EXIGÊNCIAS SOCIAIS 6 1.2 O TRABALHO DO PROFESSOR DAS SÉRIES INICIAIS FRENTE À PROPOSTA DA SME-PG EM RELAÇÃO À GEOMETRIA 11 1.3 ESPAÇO E FORMA NA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO GEOMÉTRICO 15 1.4 METODOLOGIA PARA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO 19 CAPÍTULO 11 - RECURSOS DIDÁTICOS PARA EXPLORAR A GEOMETRIA 21 2.1 HISTÓRIADAMATEMÁTICA : AGEOMETRIAATRAVÉSDO TEMPO 21 2.2 A DOBRADURA NO ENSINO DA GEOMETRIA.................... 24 CAPÍTULO m- O TRABALHO DESENVOLVIDO EM SALA DE AULA 27 3.1 OS ALUNOS ENVOLVIDOS NA PESQUISA..................................... 27 3.2 ATIVIDADES PROPOSTAS 29 3.3 DESCRIÇÕES, ANÁLISES E CONCLUSÕES A PARTIR DO TRA- BALHO DESENVOLVIDO.......... 42 iv
  5. 5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 46 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 48 ANEXOS 50 v
  6. 6. RESUMO A pesquisa realizada por uma professora de Matemática que atua nas séries iniciais do ensino fundamental levanta as causas que levam a Geometria a ser esquecida neste grau de ensino. Dentre elas, o despreparo do professor, porque não domina conteúdos, a falta de um programa de formação de docentes e a própria negligência com esse saber matemático. O trabalho se fortalece quando busca fundamentos teóricos e práticos para explicar a construção do conhecimento e propõe uma metodologia alternativa. Esta, se utiliza da dobradura, como principal recurso para facilitar a compreensão de conceitos geométricos. Beneficiando-se, também, da História da Geometria, o trabalho pretende ampliar a visão que os alunos das séries iniciais têm sobre a matemática, um mundo limitado a números e cálculos, iniciando o estudo do espaço e formas. O objetivo principal é criar estratégias para promover a verdadeira diferenciação entre as formas tri e bidimensionais. vi
  7. 7. INTRODUÇÃO Existem investigações sobre a Geometria a ser desenvolvida no ensmo fundamental e médio; portanto, há esforços de vários autores, no sentido de promover a qualidade do ensino-aprendizagem deste tema tão polêmico. Os estudos realizados apontam inúmeras deficiências no ensino- desta disciplina; porém, a carência de conhecimentos geométricos necessários à realização de uma prática pedagógica satisfatória e a falta de articulação entre os eixos matemáticos (números, geometria e medidas) são as causas que mais influem para esta realidade. Ainda que nos graus de ensino supracitados a formação tenha ocorrido na área de educação matemática, esta, por si só, não garante uma boa prática docente. Seria interessante, no curso de licenciatura, que o futuro professor de matemática construísse um referencial teórico sólido para fundamentar o ensino de Geometria, principalmente nas séries iniciais do ensino fundamental. Como exemplo desta carência: não se estuda na Universidade a Geometria Euclidiana. A obra "Elementos de Euclides" (séc. Ill a.C.), mais do que qualquer outra, representa, ainda não esgotado, o caráter dedutivo da Geometria grega. Mesmo questionada, a Geometria Euclidiana tornou-se modelo e permaneceu até o século passado influenciando toda a evolução da história da Matemática. "Geometria plana"; "geometria espacial"; "formas bidimensionais"; "formas tridimensionais" - são expressões da Geometria Euclidiana presentes nas atuais propostas curriculares para as séries iniciais elaboradas, tendo os Parâmetros Curriculares Nacionais como referencial. Embora se esteja trabalhando para a eliminação da prática pedagógica leiga, a formação do professor para esse nível de ensino se dá, inclusive, em nível médio e, também superior, só que em áreas diversas do conhecimento. É visto que o trabalho da Geometria para esse professor é um campo não explorado, pois, é importante salientar, que, ainda hoje, nota-se, por exemplo, a insistência no trabalho com
  8. 8. 2 conjuntos e técnicas operatórias nas séries iniciais. Não se quer afirmar com isso que seria necessário que esses profissionais precisassem se graduar em Matemática, porque se assim fosse, teriam que se tomar especialistas em História, Geografia, Língua Portuguesa entre outros. Falhas existem, e na prática dos educadores iniciais que trabalham com as diversas áreas de conhecimento, facilmente, observa-se a polarização de uma ou mais disciplinas em detrimento, às vezes, da matemática, especialmente quando esta se refere à Geometria. Como estes professores irão trabalhar Geometria se não tiveram a oportunidade de compreendê-Ia enquanto estudante de 10 Grau ou curso de Magistério? Estas deficiências encontradas no ensmo da Geometria, possivelmente, seriam superadas, se o tema estivesse presente num programa de formação continuada de docentes. Pode-se, assim, compartilhar do ponto de vista de FUSARI; RIOS, ao definirem alguns pressupostos para a política de capacitação de docentes, "( ...) os problemas da prática dos educadores ... deverão ser considerados como o ponto de partida e o ponto de chegada do processo, garantindo-se uma reflexão com auxílio de fundamentação teórica que amplie a consciência do educador em relação aos problemas e que aponte caminhos para uma atuação competente". (1988, p. 39). Atualmente, observando o trabalho da Geometria nas séries iniciais ainda se verifica que: • este fica limitado a algumas abordagens sem significação com conteúdos a serem memorizados; • não se desenvolve de modo a favorecer a compreensão dos conceitos geométricos básicos, estabelecendo-se as articulações necessárias para a passagem de figuras espaciais para o plano, por exemplo. Diante deste quadro, surgiu o interesse pela pesquisa que leva ao seguinte questionamento:
  9. 9. 3 É possível, através do trabalho com dobraduras, oportunizar a construção de conceitos geométricos referentes à formas tridimensionais, bidimensionais e unidimensionais? A dobradura fornece inúmeras possibilidades para o desenvolvimento do lado criativo do aluno e já é reconhecida como um eficiente recurso didático. Permite a prática interdisciplinar, podendo ser usada, tanto na Educação Artística, Geografia como em História e Língua Portuguesa. Em Matemática, as formas planas e espaciais, ângulos, bissetrizes, são alguns dos conhecimentos que podem ser construídos com a sua utilização. Reunir dados teóricos e práticos para o trabalho da geometria com dobraduras que subsidiem a formação da professora/pesquisadora e pessoas envolvidas na pesquisa, toma-se o objetivo geral da investigação que ainda tem por finalidades: • verificar como os professores de P a 4a série de uma escola do ensino fundamental do município de Ponta Grossa trabalham a geometria neste nível de ensino. • contribuir para o processo de formação continuada de professores com alternativas que tomam o trabalho mais criativo e prazeroso nas séries iniciais. Trata-se, desta forma, a investigação como uma abordagem qualitativa do tipo pesquisa-ação. THIOLLENT (1986, p. 13), ao se referir sobre a publicação de ELLIOT, um educador inglês, verifica a maneira com que este difunde a idéia do professor como pesquisador. E diz que as práticas constituem o meio através do qual o educador elabora e comprova suas próprias teorias, pois adquirem a categoria de hipóteses a se comprovar. Tanto para ELLIOT como para outros autores que tomam a pesquisa-ação como base para melhoria da ação prática, a característica mais marcante dessa abordagem é a de ser um processo que se modifica continuamente em espirais de reflexão e ação que incluem:
  10. 10. 4 • O diagnóstico da situação prática ou problema prático que se quer melhorar ou resolver; • A formulação de estratégias de ação; • O desenvolvimento dessas estratégias e avaliação de sua eficiência; • A avaliação e compreensão da nova situação (situação resultante); • Extensão dos mesmos procedimentos para a nova situação prática. Este tipo de pesquisa está hoje, assumindo uma grande importância por oferecer uma via especialmente significativa para os binômios teoria-prática, educador- investigador. Tendo-se em vista o pressuposto que o sujeito constrói e seu conhecimento mediatizado por ações com os outros e com o objeto do conhecimento, no desenvolvimento desse trabalho é oportuno concordar com THIOLLENT ao definir a pesquisa-ação como: "( ...) uma estreita associação com uma ação ou com a resolução de um problema coletivo no qual os pesquisadores e os participantes estão envolvidos de modo cooperativo ou participativo". (1986, p. 14). Buscando-se uma melhor compreensão e maior esclarecimento do conteúdo existente neste trabalho mono gráfico, no primeiro capítulo encontram-se algumas considerações sobre o ensino da matemática, proposto para as séries iniciais nos PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) e Plano Curricular das Escolas Municipais de Ponta Grossa, destacando a importância do trabalho com geometria, um dos três eixos matemáticos. São apresentados os relatos de algumas professoras das séries iniciais sobre o trabalho da geometria e observações que esclarecem os temas Espaço e Forma, noções necessárias para a construção do conhecimento geométrico. No segundo capítulo, descreve-se um pouco sobre a História da Matemática e o uso da dobradura, recursos didáticos de grande valor no ensino-aprendizagem da Geometria.
  11. 11. 2a e 4a séries, utilizando-se a dobradura como principal recurso para construção do conhecimento geométrico. Análises, descrições e conclusões do trabalho desenvolvido finalizam esse capítulo. Na práxis diária, entende-se que sem conceitos claros não é possível formular proposições com sentido e, muito menos, estabelecer qualquer encadeamento lógico de raciocínio. Esta capacidade de estabelecer relações se traduz na capacidade de precisar problemas, formular hipóteses e criar soluções. Portanto, conforme enfatizado por VASCONCELLOS (1995, p. 12), acredita-se que: A sala de aula é o centro da educação escolar, pois a formação básica do educando se dá no espaço de interação entre os sujeitos, mediados pela realidade. No ato de educar, nas quatro paredes e no contato com os alunos é que o professor sente, por um lado, o volume de problemas concretos, sem solução, a anti-pedagogia do dia-a- dia e, por outro lado, a desvinculação da formação acadêmica, o pedagogês, que não dá conta da vida escolar. São muitas as linguagens e as formas de expressão de discursos, no entanto, o valor do discurso é determinado pela capacidade de desencadear ações transformadoras. Sem o caráter transformador, qualquer discurso torna- se inofensivo ou limitado ao universo estritamente acadêmico. Estes são os paradigmas do processo pedagógico, o foco da contribuição substancial e a força da escola, ou seja, o conhecimento. [grifo nosso].
  12. 12. CAPÍTULO I A IMPORTÂNCIA DA GEOMETRIA 1.1 A MATEMÁTICA ESCOLAR FRENTE ÀS EXIGÊNCIAS SOCIAIS "Inegavelmente, hoje não se pode ser operacional no mundo sem dominar matemática, mesmo que seja de uma forma não reconhecida nas escolas". [D' AMBRÓSIO In CADERNOS CEDES, n. 40, 1996, p. 14]. A importância da Matemática é inegável na sociedade atual, pois permite resolver problemas do cotidiano e fazer uma leitura da realidade, porém, é grande a insatisfação diante dos fracassos que tem apresentado o ensino- aprendizagem no contexto em que ela se insere. Esse quadro revela que há problemas a serem enfrentados. É visto que o mundo mudou; porém, o ensino não acompanhou essas mudanças, tampouco o da Matemática. Além de educar de modo a atender às novas exigências da sociedade, é preciso pensar na formação do cidadão. À medida que se avança no campo do conhecimento, enfatizam-se os campos de alta abstração. Quer dizer, quanto maior o volume de informações adquiridas, maior o nível de raciocínio e maior a exigência na capacidade de domínio das linguagens sociais. Nesta esfera, isso é ainda mais importante, no que se refere em nível de Brasil, onde se constata haver pouca consciência do que seja cidadania e o exercício da mesma, acompanhada de uma elevada gama de desigualdade social. Neste aspecto, D'AMBRÓSlO ln CADERNOS CEDES (1996, p. 14) coloca: Naturalmente a Matemática tem sua dimensão política, inclusive na definição dos currículos escolares. E nessa definição pode-se orientar o ensino da Matemática para preparar indivíduos subordinados, passivos, acrílicos, praticando-se uma educação de reprodução ou pode-se orientar o currículo matemático para a criatividade, para a curiosidade e para crítica e questionamento permanentes. Espera-se que a Matemática contribua para a formação de um cidadão na sua plenitude. Não se trata de meramente instrumentar o individuo para o trabalho. É
  13. 13. 7 ilusório pensar, como proclamam os conteudtstas, se ainda os há, que a matemática é o instrumento de acesso social e econômico. Dificilmente um pobre sai da sua condição, porque, como aluno, foi bom em matemática. Os fatores de iniquidade social são tantos que se sair bem em Matemática pouco tem a ver com a luta social de cada indivíduo (..) no modelo tradicional (..) a educação matemática é apassivadora, conduz a indivíduos sem capacidade de crítica e algumas vezes alienador. No atual momento, presenciamos muitas mudanças em todos os níveis da sociedade: político, social, econômico que podem ser atribuídas ao fenômeno da globalização. O modelo neoliberal redefine, também, o papel da escola. Faz-se necessário, a formação de recursos humanos exigindo-se um novo perfil de trabalhador com as seguintes características: visão de totalidade de processos produtivos, sensibilidade, espírito crítico, criatividade, capacidade adaptativa, dentre outras impostas pelo novo padrão econômico. A rapidez com que se processam as inovações nos campos da economia, da política, da cultura requer novos padrões de produtividade e novos conhecimentos. Novas competências exigem indivíduos mais capacitados para utilizar diferentes tecnologias e linguagens, instalando novos ritmos de produção, de assimilação rápida de informações, propondo e resolvendo problemas em equipe. Todas essas habilidades podem ser adquiridas em grande parte na aprendizagem da matemática. Calcular, medir, raciocinar, argumentar, tratar informações estatisticamente, entre outras são capacidades a serem desenvolvidas, inclusive, no ensino-aprendizagem da matemática. Este, prestará sua contribuição à medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar desafios. Constata-se frente aos resultados obtidos por estatísticas educacionais que o ensino da matemática não tem vindo ao encontro das expectativas da sociedade atual. É necessário redefinir quais são os conhecimentos
  14. 14. 8 matemáticos essenciais à vida, hoje; portanto, dos quais os cidadãos devem se apropnar. Conforme consta nos PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática, 1997), em 1980, a National Coucil of Teachers of Mathematics - NCTM dos Estados Unidos apresentou recomendações para o ensino da matemática no documento "Agenda para Ação". Nele, destacavam-se a resolução de problemas como foco de ensino da matemática nos anos 80. Também, a compreensão da relevância dos aspectos sociais, antropológicos, lingüísticos, na aprendizagem da matemática, imprimiu novos rumos às discussões curriculares. Essas idéias influenciaram várias propostas elaboradas em diferentes países e também no Brasil. No entanto, é importante salientar que, ainda hoje, nota-se, por exemplo, a insistência no trabalho com conjuntos nas séries iniciais, o predomínio absoluto da álgebra nas séries finais do ensino fundamental, a formalização precoce de conceitos e pouca vinculação da matemática às suas aplicações práticas. No sentido de apontar caminhos e metas do projeto educativo, flexíveis e estimuladores a discussões pedagógicas foram elaborados os Parâmetros Curriculares Nacionais pelo MEC (Ministério da Educação e Cultura). Acompanhando essas diretrizes surgiram inúmeros trabalhos desenvolvidos por grupos de pesquisas ligados a universidades e a outras instituições, todavia, são bastante desconhecidas de parte considerável dos professores, que, por sua vez, não têm uma visão clara dos problemas que motivam as reformas. O que se verifica é que idéias ricas e inovações não chegam a todos os educadores, ou são incorporadas superficialmente, recebendo interpretações inadequadas, sem provocar as mudanças desejáveis. Enfrentar os desafios para uma nova educação matemática não e uma tarefa simples, nem pode ser feita solitariamente. Só a busca coletiva de
  15. 15. 9 instrumentos trarão soluções para o ensino-aprendizagem nessa área do conhecimento. Para formar o profissional que acompanha o ritmo das mudanças, deve-se incentivar o aprendizado autônomo e a resolução de problemas. Desafios matemáticos levam o aluno ao desenvolvimento de suas capacidades cognitivas para enfrentar problemas práticos da vida diária de modo a ampliar os recursos necessários para o exercício da cidadania. Embora o uso da matemática seja menor que nas ciências fisicas e naturais (Física, Química, Astronomia), ela também constitui um subsídio importante em função da formação de conceitos, linguagens e atitudes que tem suas aplicações em sociologia, psicologia, medicina, economia e política. Os desafios matemáticos propostos devem partir de aspectos da vida cotidiana. Há inúmeras opções que propiciam a integração da matemática com outras áreas e um trabalho voltado para o desenvolvimento da cidadania- trabalho, arte, eleições, leis entre outros tema atuais. IMENES; JAKUBO colocam que os conhecimentos essenciais à vida em sociedade incluem a compreensão e o uso de informações numéricas e geométricas usadas hoje em todo mundo. Por isso, o ensino de matemática deve incluir nas séries iniciais: • "Geometria - instrumento para produção e interpretação de plantas baixas e mapas; • Estatística - meio para organizar e interpretar informações numéricas, tabelas e gráficos; • Cálculo mental - auxiliar para avaliar, estimar e tomar decisões". (1997, p. 7). A Geometria é um dos eixos matemáticos em que mais se encontram os motivos dos insucessos escolares, principalmente, a partir do terceiro ciclo até o final da educação básica. Nas séries iniciais ela quase não é trabalhada.
  16. 16. 10 Pode, ainda, ser considerada como um extenso bloco do conhecimento matemático que pode e deve ser trabalhado em conexão com outros blocos: números e medidas. As modernas tendências no ensino da matemática valorizam o ensino da Geometria. •• Segundo IMENES; JAKUBO "(...) atualmente, percebe-se que o trabalho com formas geométricas leva a criança a adquirir senso de organização e de orientação espacial, desenvolver coordenação viso-motora, melhorar a leitura, compreender com mais rapidez gráficos, mapas e outras informações visuais típicas de nossa sociedade". (1997, p. 35). O campo de aplicações da Geometria é muito vasto: para os profissionais da construção civil ao desenhar e executar as obras, o fazendeiro que calcula a superfície de um galpão, aos atletas que estabelecem distâncias para acertar seus alvos entre outros. Pode-se, assim, compartilhar com LORENZATO: (...) para justificar a necessidade de se ter Geometria na escola, bastaria o argumento de que sem estudar Geometria as pessoas não desenvolvem o pensar geométrico ou o raciocínio visual, e sem essa habilidade, elas dificilmente conseguirão resolver as situações de vida que forem geometrizadas; também não poderão se utilizar da Geometria como fator altamente facilitador para a compreensão e resolução de questões de outras áreas do conhecimento humano. Sem conhecer a Geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das idéias fica reduzida e a visão da Matemática torna-se distorcida. (1995, p. 20). E neste aspecto, entende-se que através de ações elevadas ao nível racional, a realidade pode ser transformada e, ao mesmo tempo, o conhecimento é produzido. Ou seja, se cada profissional da área educacional, especificamente, esta a que está sendo referida, se conscientizar do compromisso com a sociedade, pode-se afirmar que a realidade em que os alunos apreendem o conhecimento vai ser modificada para melhor. Sendo que, a totalidade dos conceitos e suas relações, social e historicamente produzidas, forma a ciência integrando o acervo cultural da humanidade.
  17. 17. 11 Por mais que este legado sofra um processo de contínua transformação, abrangendo a capacidade econômica, a estrutura social e o desenvolvimento científico, historicamente se comprova que o desenvolvimento econômico e o social acionam e fomentam o desenvolvimento científico inclusive, através da matemática. Nesta práxis, entende-se que este enfoque epistemológico, enquanto resposta à relação sujeito/objeto do conhecimento, vem desembocar na mútua relação transformadora da natureza, da sociedade e da escola, e dela se alimenta. 1.2 O TRABALHO DO PROFESSOR DAS SÉRIES INICIAIS FRENTE À PROPOSTA CURRICULAR DA SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO DE PONTA GROSSA EM RELAÇÃO À GEOMETRIA Esta investigação também conta com a aplicação de um questionário (Anexo 1) a cinco professoras da Escola Prof' Guitil Federmann - Educação Infantil e Ensino Fundamental. Dessas professoras, quatro são regentes de turmas de P, 23 , 33 e 43 séries da rede municipal de ensino e têm formação superior - Pedagogia, História e Geografia - uma professora atua, inclusive na rede particular de ensino e está cursando o 3° grau. O tempo de serviço dessas professoras, varia de 2 a 24 anos em escolas públicas municipais de Ponta Grossa. Na rede pública municipal, são 72 escolas, cerca de 23 mil alunos e 700 professores. Todos os estabelecimentos contam com o serviço de supervisão e orientação educacional. Descreve-se abaixo algumas passagens específicas da Geometria, um dos três eixos matemáticos, feitas na última proposta (1994) pela SME/PG que ainda está em vigência. Assim, pode ser feita uma relação entre a proposta e a prática observada após análise do questionário.
  18. 18. 12 GEOMETRIA A criança deve explorar o espaço para situar-se nele e analisá-lo, percebendo a posição dos objetos neste mesmo espaço - o que está em cima, embaixo (profundidade), o que está à direita e à esquerda (lateralidade), o que está na frente e atrás (anterioridade) - para poder representá-Ios. A criança no princípio tomará contato com algumas noções topolôgicas (interior e exterior, vizinhança, fronteira), além de desenvolver as noções intuitivas de distância (longe, perto) e posição. As crianças devem manipular objetos presentes no seu dia-a-dia (caixas, bolas, garrafas, embalagens de todos os tipos, folhas de árvores, tocos de madeira etc), observando características, tais como: - forma; semelhança, diferença; coisas que param em pé ou não; coisas que rolam ou não; coisas que tem 'pontas' (vértices) ou não etc. Constata-se, então, que a partir dessas observações as crianças podem trabalhar com uma coleção de objetos na forma de: "prismas, pirâmides, cubos etc". Contudo, é nessa fase, que deverão utilizar objetos que tenham relação com as formas geométricas menos usuais, ou seja, "cone de lã, casquinha de sorvete, chapéu de palhaço etc, para lembrar o cone; latas de azeite e latas de cera etc, para lembrar o cilindro; embalagens, enfeites etc", isso para lembrar as formas de pirâmides; além "das caixas comuns que lembram as formas de prismas". Vê-se que essas sugestões de atividades seguem traçando o contorno das faces desses objetos, onde "as crianças trabalharão com figuras planas triangulares, quadrangulares, circulares etc, sem dissociá-las dos sólidos que as originaram. O professor deverá apresentar figuras que estimulem a percepção visual dos objetos tridimensionais representados em planos, sem prejuízo da verdadeira diferenciação entre sólido e plano". Isso permite constatar, ainda, que trata-se de um trabalho importante em que "a planificação das figuras espaciais, pode ser feita, por exemplo, montando e desmontando caixas, embalagens etc, usando o conceito de ângulo reto, poderemos chegar a uma classificação das figuras planas".
  19. 19. 13 Entende-se, pelo exposto, que é preciso também que as crianças explorem "situações que levem à idéia de 'forma' como atributo dos objetos". Para isto, é sugerido que pode-se "usar vários materiais, entre eles, o geoplano, elástico de dinheiro, Tangran, massa de modelar, argila etc". Portanto, "o trabalho de Geometria com as crianças começa no espaço e não na reta ou no ponto ou no plano". (1994, p. 72). Embora, tenha-se citado apenas temas específicos de Geometria é importante, inclusive, observar no mesmo plano curricular: "( ...) é necessário ter sempre presente que, embora cada eixo tenha sua especificidade eles não devem ser trabalhados de maneira isolada, pois é na inter-relação entre Números e Medidas que as idéias matemáticas e o vocabulário matemático ganham significado". (1994, p. 64). Na análise do questionário aplicado às professoras verificou-se em algumas respostas a importância da Geometria e algumas relacionaram com lateralidade, medidas e números. Porém, uma professora colocou que esse conhecimento deve ocorrer só na educação informal e trabalhado quando surgido da curiosidade da criança. Quando questionadas sobre possíveis dificuldades na abordagem de temas geométricos, três professoras responderam que não encontraram problemas. Uma professora colocou que tem dúvidas quando da conceituação de algumas situações: "triângulo ou região triangular, lado ou face". Outra professora disse que os alunos têm dificuldades em diferenciar figuras planas dos sólidos geométricos. São oportunas estas colocações, se relacionadas com as respostas dadas à seguinte pergunta: - Que recursos materiais você usa em suas aulas de Geometria? Existem outros que você considera bons, mas que não possui?
  20. 20. 14 Três professoras citaram os blocos lógicos. Em todas as situações observadas em que este material foi utilizado a finalidade era sempre a diferenciação entre as formas planas. Como exemplo, cita-se: • dois blocos, um deles com "quatro lados" e outro com "três lados", são classificados como quadrilátero e triângulo. Desta maneira, formas tridimensionais passam por bidimensionais. Situações equivocadas como esta, levam a formação incorreta de conceitos geométricos. Sendo o objetivo, a classificação das figuras planas com a utilização dos blocos lógicos sugere-se o contorno das faces desses objetos. Mais uma vez, volta-se a afirmar a importância do processo de formação continuada de docentes. Aqui, é visível que há deficiências no domínio de conteúdos básicos de Geometria, embora poucos admitam. Todo problema encontrado na prática escolar deve ser o ponto de partida da formação contínua. O questionário traz outras colocações que só vão fortalecendo a existência dos problemas levantados no início deste trabalho - o pouco tempo dispensado com o estudo da Geometria e quando este ocorre, a abordagem sem significação que não leva à compreensão de conceitos geométricos básicos. Por outro lado, afirmar que nenhum aluno chega vazio à sala de aula significa dizer que ele traz consigo uma bagagem de conhecimentos, um jeito de atuar na realidade. Esta realidade posiciona a tarefa escolar noutro viés. Quer dizer, num mundo em que o volume dos conhecimentos é inimaginável e se multiplica cada vez mais rapidamente, como se pode afirmar que a escola é a detentora e a transmissora do conhecimento historicamente produzido? Novos papéis estão sendo solicitados às instituições escolares: ensinar a "aprender a aprender"; a acessar, processar e produzir informação; a criar atitudes, hábitos e procedimentos científicos; a interagir em grupo; a familiarizar-se com as diferentes tecnologias e linguagens que compõem esse universo em que se insere o conhecimento.
  21. 21. 1.3 ESPAÇO E FORMA NA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO GEOMÉTRICO "A filosofia está escrita nesse grande livro que é o Universo e na linguagem das Matemáticas; seus caracteres são os triângulos, os círculos e outras .figuras geométricas, sem os quais é humanamente impossível compreender uma única de suas palavras". [Galileu Galilei). Existe uma íntima relação entre inteligência racional e inteligência emocional. Variáveis de ordem emocional interferem profundamente no processo do conhecimento. Certos fatores, como: prazer, medo, desafio, realização pessoal, status, auto-estima e tantos outros estão intimamente intrincados com os processos racionais. A interferência destas variáveis emocionais ocorre, não apenas nos níveis da sensação e da percepção da realidade, mas, também, em processo de alta abstração. Cabe mencionar, que tão importante como o raciocínio lógico-matemático é a inteligência estruturada nas ramificações da matemática, como a Geometria, por exemplo, que é apenas, uma delas. A escola que não estiver atenta às novas formas de conhecimento e prática social não estará respondendo às necessidades nem proporcionando novas oportunidades aos seus alunos. O foco central do processo epistemológico não é o sujeito pensante nem o objeto pensado, mas o confronto entre os dois, social e historicamente contextualizados. No confronto com a realidade, utilizando os conceitos adquiridos, é que se produzem os novos conhecimentos. Neste sentido, impõem-se algumas mudanças no currículo, nos recursos, na didática, na sistemática avaliativa, no uso do tempo e do espaço escolares; sem contar que, uma escola reduzida a quatro paredes tende mais para prisão do que para a interação social e
  22. 22. 16 científica, enquanto a revolução digital pode transformar o mundo numa imensa sala de aula. Quanto maior e mais diversificado for o contato do aluno com a realidade, mais se abrem os horizontes e os interesses pelo conhecimento. É evidente que, através do conhecimento, o mundo adquire outra dimensão, garantindo-se desta forma a dinâmica dialética entre ciência e realidade, entre sociedade e cidadania. Em se referindo à Geometria nas séries iniciais, as propostas destinam-se à construção de relações no espaço, ou seja, às noções referentes à posição, localização e movimentação de pessoas e objetos. Assim, são sugeri das as explorações de mapas e maquetes. Quanto ao estudo das formas, além da observação de semelhanças e diferenças, deve-se atentar aos aspectos da simetria, ampliação, redução, composição e decomposição. Para CAMARGO; PEREZ "(...) o estudo da geometria deve ser iniciado pelo espaço e pelos objetos que povoam esse espaço, o desenvolvimento deste estudo se dará no sentido espaço-plano, sem no entanto, ter necessidade de obedecer um sentido obrigatório único". (1998, p. 22). O corpo é o primeiro ponto de referência que a cnança usa para se orientar; num primeiro momento ela é incapaz de considerar qualquer outro elemento. Gradualmente, ela percebe que os diferentes aspectos sob os quais os objetos se apresentam para ela são perfis de uma mesma coisa, tomando consciência do deslocamento do próprio corpo. Nesse processo estão as primeiras noções de direção, distância, ângulo etc - o início do pensamento geométrico. "O espaço percebido pela cnança - espaço perceptivo, em que o conhecimento dos objetos resulta de um contato direto com eles - lhe possibilitará a construção de um espaço representativo - em que ela, por exemplo, é capaz de evocar os objetos em sua ausência". (RADESPIEL, 1999, p. 284).
  23. 23. 17 No espaço perceptivo há elementos que apenas são concebidos de maneira ideal, mas não pertencem a ele. O ponto, a reta e o quadrado fazem parte desse mundo sensível. Com isso, pode-se, então, deduzir que a Geometria começa no mundo sensível e o estrutura no mundo geométrico, onde estão as superfícies, os volumes, as linhas e os pontos. "Devem ser desenvolvidas várias estratégias de trabalho que proporcionem a passagem do mundo sensível ao mundo geométrico, permitindo a criança penetrar no domínio da representação dos objetos e, assim, distanciar-se do espaço sensorial ou físico". (RADESPIEL, 1999,233). Algumas ações são fundamentais para apreensão do espaço no primeiro ciclo, primeira e segunda séries: o aluno deverá ser estimulado a estabelecer pontos de referência em seu entorno, para efeito de localização. Atividades em que a criança dê e receba instruções de localização - esquerda, direita, deslocamento, giro, acima, abaixo, ao lado, na frente, atrás,perto. O a construção de itinerários, sempre dando pontos de referência. Aqui é interessante que os alunos relatem oralmente como é este trajeto e também desenhem. (RADESPIEL, 1999, p. 233). No segundo ciclo, terceira e quarta séries, a autora sugere que pode-se aprofundar o trabalho de localização com o uso de diagramas, malhas, tabelas e mapas. Através da observação e experimentação as crianças começam a discernir as características de uma figura e a usar as propriedades para conceituar classes de formas. Então, elas começam a reconhecer formas distintas, tri e bidimensionais, planas e espaciais. Aqui, é necessário o trabalho constante de construção das formas através da composição e decomposição dessas, percebendo a simetria como característica de algumas figuras. Dessa exploração resultará o reconhecimento de figuras tridimensionais (cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides, etc) e bidimensionais
  24. 24. ,-1.------------7 -------0-- -Ó:Ó» de suas propriedades. Há muitas atividades que permitem a exploração de situações que levem a idéia de "forma" como atributo dos objetos. Isso pode ocorrer em atividades que a criança possa explorar as formas da natureza: flores, elementos marinhos, casas de abelha, teiade aranha entre outros. Ou as formas em obras de arte, escultura, arquitetura, e, ainda, desenhos feitos em tecido, vasos, papéis decorativos, mosaicos etc. Pode-se, também, proporcionar atividades com o geoplano, Tangran, dobraduras entre outros. O essencial é que todo trabalho de Geometria comece no espaço e não com o ponto, reta ou plano. Esta premissa é fundamental para planejar e desenvolver qualquer projeto pedagógico estruturado para a Geometria; pois, o processo cognitivo tem que partir e destinar-se à compreensão e à transformação do contexto histórico-social em que a escola se insere, sem perder de vista o caráter globalizante da ciência e da realidade atual. Para uma escola eficiente, não basta a mudança de perspectiva, é necessário incorporar, dialeticamente, a perspectiva da contextualização social do saber. De fato, sem sociedade não haveria sequer conhecimento. Tão importante como o conhecimento é a socialização deste. Toda produção científica tem uma matriz social e histórica. Perder este horizonte é divagar num inatismo ou num psicologismo insustentáveis.
  25. 25. 19 1.4 METODOLOGIA PARA CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO Retomando-se a questão levantada no início desse trabalho: é possível através do trabalho com dobraduras oportunizar a construção de conceitos geométricos referentes à formas tridimensionais e bidimensionais? - faz referência à construção do conhecimento. Essa prática em sala de aula requer intencionalidade, metodologia e planejamento. Numa perspectiva dialética o conhecimento é construído pelo sujeito na sua relação com os outros e com o mundo. LIBÂNEO (1985, p. 30), aponta que o conhecimento se dá, basicamente, em três grandes momentos: a Síncrese, a Análise e a Síntese. Segundo VASCONCELLOS ( 1995, p. 46), uma metodologia dialética de construção do conhecimento poderia ser expressa através de três grandes dimensões, eixos ou preocupações do professor no decorrer do seu trabalho: • Mobilização para o conhecimento. • Construção do conhecimento. • Elaboração e expressão da síntese do conhecimento. Aqui, elas estão separadas com a finalidade de melhor compreensão e especificidade de cada uma. Em sala de aula, as três dimensões são indispensáveis para uma efetiva construção do conhecimento. • Mobilização para o conhecimento: É imprescindível e necessário o esforço pedagógico para dar significação ao objeto a ser conhecido, para que o sujeito o encare como um desafio. • Construção do conhecimento: Deve-se possibilitar o confronto entre o sujeito e o objeto. A construção do conhecimento se dá através da elaboração de relações que se tornam cada vez mais abrangentes e complexas com a colaboração do educador.
  26. 26. 20 • Elaboração e expressão da síntese do conhecimento: É a dimensão relativa à sistematização de conhecimentos que vêm sendo adquiridos, bem como, da sua expressão. Aqui se dá incorporação paulatina de novos conceitos pelo aprendiz. Esses três momentos não sugerem uma seqüência rígida, mas a passagem entre eles. Como explica LIBÂNEO (1985, p. 36): Numa fórmula: 'do sincrético, pelo analítico para o sintético. A síncrese corresponde à visão global indeterminada, confusa, fragmentada da realidade; a análise consiste no desdobramento da realidade em seus elementos, a parte como parte do todo; a síntese é o resultado da integração de todos os conhecimentosparciais num todo orgânico e lógico, resultando em novasformas de ação'. Pretendendo-se desenvolver atividades que possibilitem a construção de conhecimentos geométricos em turmas de 2a e 4a séries, procurou-se planejar este trabalho, seguindo a orientação de VASCONCELLOS ao propor as três dimensões supracitadas no trabalho do professor. Mas, segundo o mesmo autor: "... este método não deve ser pensado em termos de uma aula; sua aplicação demanda um conjunto de aulas, a totalidade de um curso". (1995, p. 47).
  27. 27. CAPÍTULO 11 RECURSOS DIDÁTICOS PARA EXPLORAR A GEOMETRIA 2.1 HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: A GEOMETRIA ATRAVÉS DO TEMPO "A Geometria teve alguma vez um início?" Essa é uma pergunta feita por J. Coolidge no Livro "Uma História de Métodos Geométricos" (1963), e constitui uma passagem do livro de Paulos Gerdes, sobre o despertar do pensamento geométrico. Ele responde: "Qualquer que seja a nossa defrnição sobre Homo Sapiens, ele deve ter tido algumas idéias geométricas, de fato, a geometria existiria, mesmo se não tivesse havido Homines sapientes nenhum". (1992, p. 1). A Geometria surge no Egito devido à necessidade de medir as terras, quando o Rio Nilo baixava após ter inundado as terras vizinhas. Só assim, o Faraó podia cobrar precisamente os impostos. Com os gregos ela não apresenta esse caráter intuitivo. Ela ganha a estrutura de ciência, primeiramente com Tales (séc. VI a.C.) que havia estado no Egito e na sua volta à Grécia, aplicou à Geometria o método dedutivo dos gregos. Euclides aplicou à Geometria, um método próprio - o método axiomático (este é usado pela matemática para constituir-se como ciência, tal qual as ciências experimentais utilizam-se do método experimental). Desde o seu aparecimento na terra, o homem tem recorrido à matemática. Precisava a posição de um animal na estepe, de um cume na montanha, talvez de um astro, dizendo: "trace uma linha reta que passe por estas duas árvores, um palmo para a esquerda, e então, encontrará o lugar ao qual me refiro ... "- e isto já era praticamente uma construção geométrica. Pode-se afirmar que a Geometria nasceu das necessidades práticas do homem. Conhecia-se antes de cogitar em lhes dar designação. Se aí, a forma
  28. 28. 22 matemática foi concebida e desenvolvida com fins utilitaristas, tinha que mais cedo ou mais tarde, passar a nova etapa: a criação do conceito matemático abstrato, cuja origem não há como se afirmar em que fase se realizou. Entre todos os teoremas e cálculos, alguns surgiram antes, na fantasia, na imaginação de algum sonhador e não, simplesmente, numa folha de papel; mas, para serem aceitos como verdades, precisaram ser provados. , Outros, surgiram das necessidades práticas do homem. A propósito, a idéia de que num triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, é um bom exemplo para ilustrar o caráter utilitarista que a Geometria assume desde o seu surgimento. Os exemplos podem ser multiplicados e a história da matemática pode oferecer uma importante contribuição ao ensino da Geometria. Ao revelar a matemática como uma criação humana ao mostrar necessidades e preocupações das diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. A matemática precisa ser vista como ciência dinâmica que foi construí da por seres sociais e históricos. Como afirma FERREIRA; "(. ..) esta ciência tem que ser apropriada pelos alunos, na sua formação como cidadãos, vivendo em momento histórico, mas reflexo cultural de toda história da humanidade construída durante séculos, de maneira participativa, conscientes de que eles também são construtores deste saber". (1996, p. 6). Por abordar conceitos em conexão com sua história, a matemática torna- se um instrumento de resgate da própria identidade cultural. Ao prefaciar a obra de Paulo Gerdes, D' AMBRÓSIO, escreve: "( ...) ele VaI buscar justamente na Geometria, a disciplina que representa a espinha dorsal do conhecimento científico moderno e normalmente identificada como
  29. 29. 23 herança cultural grega, o elemento contestador da propalada hegemonia do modo de pensar ocidental no pensamento moderno". (1992, p. 6). O avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a herança cultural de gerações passadas. O aluno vai compreender isso ao verificar o alto nível de abstração matemática de algumas culturas antigas. O recurso à história da matemática pode esclarecer idéias geométricas que estão sendo construí das pelo aluno, dando respostas a alguns "porquês". Entretanto, essa abordagem não deve ser entendida simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaço cada item do programa de matemática ou contar sempre em suas aulas trechos da história, adotando-se um estilo de almanaque, mas que o encare como um recurso didático com possibilidades para desenvolver diversos conceitos, sem reduzi-Ia a fatos, datas e nomes a serem memorizados. D' AMBRÓSIO enfatiza como uma das principais finalidades da história da matemática: "(...) situar a matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal, diversificada nas suas origens e na sua evolução". (1996, p. 10). A coleção paradidática - "Vivendo a Matemática", de Luis Márcio Imenes, Nilson José Machado e outros, são livros interessantes para introdução da história da matemática nas séries iniciais; pois, toma-se imperativo proporcionar ao aluno condições e atividades que permitam construir permanentemente seu próprio conhecimento em um processo de interação social. Neste aspecto, o ensino da matemática deve estar baseado na primazia da ação do aluno. Esta ação demanda uma pedagogia de projetos e uma pedagogia da pesquisa para garantir resultados eficientes. Sem a ação do aluno não há aprendizagem. No entanto, não se deve esquecer de que todo conhecimento procede da ação.
  30. 30. 24 2.2 A DOBRADURA NO ENSINO DA GEOMETRIA Etimologicamente, ORIKAMI, OR! (dobrar) e KAMI (papel). É uma arte milenar chinesa. Talvez, as primeiras dobraduras tenham sido feitas em tecidos de seda e tinham caráter religioso. Por volta do ano 200 a.C., o origami chegou aos japoneses vindo com as famílias chinesas expulsas do seu país e que encontraram abrigo no Japão. Árabes e espanhóis fizeram os primeiros contatos com o origami ao viajar em busca de especiarias como chás, pimentas e também seda. O crescimento do origami criativo no Ocidente iniciou-se na década de 50, embora fosse uma tradição espanhola sem importância e praticada pela criatividade individual ocasionalmente, antes daquela época. Curiosamente, desde aquela década, esta arte também passou por uma evolução criativa no Japão, tanto que há, hoje, várias centenas de livros impressos na língua Japonesa, a maiona contendo novos trabalhos. Inclusive, está vindo do Oriente, toda sorte de estilos dispondo da encantadora simplicidade à espantosa complexidade e da expressividade à Geometria. A tradição coloca o origami sem o uso de cola ou tesoura. Na sala de aula podemos transformá-Io usando cola, papéis variados e tesoura. O importante é verificar sua eficiência como mais um recurso didático. O origami faz parte do currículo desde a pré-escola à universidade nos Estados Unidos, China, Japão e alguns países da Europa. No ensino da Geometria fornece subsídios para o ensino/aprendizagem em todas as etapas da educação básica. Não é exagero afirmar que num trabalho com poucas dobras possam ser compreendidos conceitos geométricos que muitos alunos do ensino médio desconhecem. Embora se saiba que alguns conhecimentos precedem outros necessários e que se deve escolher um certo percurso, não existem, por outro
  31. 31. 25 lado amarras tão fortes como algumas que podem ser observadas, quando, por exemplo, o professor acha que se deve partir do ponto ou reta para ensinar Geometria. Portanto, o nível de aprofundamento nos conceitos geométricos dependerá da observação e planejamento flexível do professor. O que não se pode, é privar o aluno da riqueza do conteúdo seguindo uma forma esquemática, pré-organizada em função de conhecimentos prévios, de pré- requisitos para séries ou ciclos. Crianças pequenas também produzem matemática, são capazes de realizar grandes descobertas e se sentirem felizes com isso. O que pode parecer, à primeira vista, divertimento, é uma oportunidade para trabalhar a habilidade visual, a interpretação e a observação. Assim, é possível através do origami, atividade de cunho perceptivo, estabelecer articulações necessárias para a elaboração de conceitos geométricos. No ensino da Geometria é possível observar uma polarização entre as atividades perceptivas (observação e manipulação de objetos) que são predominantes nas quatro séries iniciais e as atividades de sistematização do conhecimento geométrico (teoremas) que ocorrem nas séries seguintes. No processo de construção do conhecimento geométrico a ênfase dada a qualquer um desses dois estágios traz prejuízos, pois, só as atividades concretas de manipulação são insuficientes e a sistematização de conceitos toma-se muito difícil sem as relações com atividades de percepção dos objetos. Pela atividade física ou mental da produção do saber, o aluno e o professor vão adquirindo não só novos conhecimentos, como também, confiança e segurança em si mesmos, exercendo, desta forma a sua cidadania e cumprindo seu papel social no mundo do trabalho. Pela produtividade, se é ou não é um bom aluno ou um bom professor, isso ficará a critério de cada um no decorrer do tempo, pois, conforme enfatizado por MACHADO (1995, p. 53), ". .. não é necessário em sentido algum organizar a geometria tendo por base ----..---
  32. 32. 26 um vetor com ongem nas atividades perceptivas e extremidade na sistematização formal: é fundamental articular a percepção e a concepção, divisando degraus - ou canais - convenientes para possibilitar um trânsito natural entre ambas, com dupla mão de direção". Na seqüência do desenvolvimento deste trabalho serão mostrados alguns dos inúmeros conceitos geométricos que podem ser entendidos a partir de dobraduras bem simples que podem ser feitas por alunos de 2a , 3a e 4a séries do ensino fundamental.
  33. 33. CAPÍTULO rn O TRABALHO DESENVOLVIDO EM SALA DE AULA 3.1 OS ALUNOS ENVOLVIDOS NA PESQUISA Anteriormente já foi comentado que esta investigação caracteriza-se como pesquisa-ação. Aqui, professora-pesquisadora com seus alunos de 23 série e professora colaboradora na pesquisa com sua turma de 43 série, do ensino fundamental, envolvem-se num trabalho que objetiva a construção de conceitos geométricos relativos a formas planas e espaciais usando como principal recurso a dobradura, sendo que muitas das atividades propostas são comuns às duas turmas. Pode-se notar na Proposta Curricular da SME-PG até um maior aprofundamento da Geometria para a 43 série, entretanto, o ponto de partida necessita ser o mesmo para todas as séries/ciclos: "espaço". Daí o porquê de se partir de uma mesma atividade para ambas as turmas. Com o trabalho espera-se que o aluno identifique características próprias das formas tri e bidimensionais, percebendo semelhanças e diferenças entre elas. A terminologia própria (arestas, faces, vértices, lado, ângulo) precisa ser utilizada, mas para crianças de 13 e 23 séries, não se deve priorizar o uso da nomenclatura. Pode-se admitir o emprego de termos como: pontos, bicos, cantos ... Seria demasia afirmar que os encontros, que não chegaram a dez, entre professora - pesquisadora e alunos de 43 série, fossem suficientes para o trabalho de todos os temas propostos. Já com a 23 série, houve mais tempo; essa turma já está participando da pesquisa desde o início do ano. Entretanto,
  34. 34. 28 o progresso pôde facilmente ser observado nas atitudes dos alunos a cada nova atividade proposta. Tanto para a 4a , quanto para a 2a série, foi feita a seguinte pergunta: o que se estuda em Matemática? Os alunos de 4a série responderam: "números, contas, tabuadas, problemas e operações (+, x, """,-). Abaixo algumas colocações doa alunos de 2a série: "A matemática é muito importante porque ela educa as pessoas, usamos em toda parte. Exemplo: na escola, na rua. nos bares. nas lojas ete. Matemática me ensinou muitas coisas como fazer de + - x i 7. Tudo isso faz parte da matemática essa matéria é a que eu mais gosto. A matemática há em todas as partes principalmente nas músicas e nos brinquedos e em todos os lugares que você pode imaginar". [a-1]. "A matemática é importante porque ajuda em algumas coisas que usamos na nossa vida ajuda nós a fazer as contas. Eu gosto muito de matemática é como estrela, retângulo. quadrado e círculo. Eu acho legal matemática". [a-2]. "A matemática são contas. problemas. numerais. tabuadas. A Matemática é o ensino de várias coisas, por exemplo: contas novas. A Matemática é um exemplo de ensino da escola. A Matemática, são formas até o nosso corpo tem Matemática. Por exemplo: os olhos. as mãos os dedos. A Matemática é Música. A Matemática são jogos". [a-3]. "Números. problemas. contas. trocos no mercado. uma cerâmica, um quadro, uma roda, um olho, uma construção etc", [a-4]. "Porque nós aprendemos as formas, jogos, operações, tabuadas, problemas e contas". [a-5]. "A Matemática se usa em outras coisas, Mercado, instrumentos musicais e na data do ano". [a-6]. A seguir as duas turmas, em dias distintos, assistem ao filme: "Donald no país da Matemática". Este é um excelente recursos para mostrar quanta matemática existe além daquela que foi relatada pelos alunos anteriormente. Neste filme, a Geometria é o principal foco da Matemática. Sem deixar de se referir à Geometria antiga (Pitágoras: Pai da Matemática e da Música, escala musical, pentagrama, arquitetura) o vídeo ainda traz de modo interessante a Geometria nas formas da natureza (estrela do mar, colméia, teia de aranha), a matemática nos jogos (a tabela que incluiu cálculos precisos utilizando ângulos e frações, no jogo de bilhar), a transformação de formas planas em formas espaciais (o surgimento da esfera e do cone através da rotação do círculo e triângulo, respectivamente),
  35. 35. 29 e o funcionamento de algumas máquinas mostrando que as formas geométricas estão presentes nas engrenagens. Todos os alunos denotaram interesse ao assistir ao vídeo e alguns relataram sobre o que mais lhes chamou a atenção. O objetivo do uso do filme foi o de mostrar que nas formas encontradas à nossa volta, também tem matemática: a Geometria e esta será explorada nas atividades seguintes. 3.2 ATIVIDADES PROPOSTAS: • eatividade [23 e 43 séries] Familiarização com formas tri e bidimensionais • Objetivos: - Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando formas tridimensionais e bidimensionais na situação em que envolve a construção de um sólido geométrico. Seguir etapas pré-determinadas para transformação de uma forma bidimensional' para uma forma tridimensional. 1 . Coletivamente foram citadas algumas formas encontradas na sala de aula. ~ Porta => material dourado ~ Livro => lápis ~ caixa de giz => folha de papel ~ caixa de sapato => cartazes etc. 2 . Comparação entre uma folha de sulfite e uma caixa de sapato: um aluno diz que o papel é fino e a caixa é alta. Outro diz que o sulfite é parecido com a tampa da caixa. Assim, a professora pôde aproveitar essa comparação e I Aqui uma folha de papel sulfite é usada para representar um retângulo, forma bidimensional. O retângulo, como outros polígonos não tem espessura, é uma construção abstrata.
  36. 36. 30 colocar: na caixa e no papel sulfite temos 6 "parte s"z . Pode-se perceber esse aspecto, também, em outros objetos da sala: armário, tampo da carteira, muitas folhas de papel sulfite empilhadas etc. 3 . Outros objetos são apresentados. Estes são pnsmas e pirâmides, embora esta terminologia própria, ainda não seja usada. Com isso, pretende-se que os alunos observem o que há de semelhante e diferente entre estes e a folha de sulfite. Assim, coloca-se os => termos que classificam as figuras geométricas, segundo a propriedade que lhes é característica: ~ Figuras não-planas / espaciais / tridimensionais ~ Figuras planas / bidimensionais. Neste aspecto, TOLEDO define: "Figura plana é aquela em que todos os pontos se apoiam sobre a superfície que repousa ... Figura não-plana é aquela em que parte dos pontos se apoia na superficie e parte não, ficando fora dela ... ". (1997, p. 235). 4 . Apresentação do desenho de uma pirâmide (representação no plano) e uma pirâmide de papel (figura tridimensional). No desenho vemos todas as "partes" da pirâmide? A resposta é negativa. O desenho (Anexo 2) sugere uma figura tridimensional, mas não conseguimos ver todas "partes" (faces) como é possível com a pirâmide de papel quando a movimentamos. 5 . Situação-problema: É possível transformar uma folha de papel com forma quadrada numa pirâmide? Alguns alunos sugerem que se cortem vários triângulos e um quadrado e cole-os. 2 A denominação é utilizada neste momento, e posteriormente será substitui da pelo termo "faces".
  37. 37. 31 6 . A apresentação da dobradura da pirâmide com base quadrada: (Anexo 3). Dirigida passo a passo pela professora aos alunos dispostos em grupos com cinco elementos que ainda contam com a prancha. (Cartaz onde estão todos os passos da dobradura). 7 . Exploração do sólido construído: faces, arestas e vértices. Comparando-se a pirâmide construída com uma caixa de giz (cúbica) pede-se aos alunos que comparem os dois objetos, seguindo alguns critérios: - movimentá-los de diversas maneiras sobre a carteira; contar as "partes" que tem em cada uma. Os alunos percebem que de qualquer modo que se apoie a caixa sobre a carteira ela apresenta na parte superior uma "parte" quadrada e na pirâmide as "partes" observadas não são todas iguais. A professora coloca que essas "partes" que na Caixa são seis e na pirâmide são cinco, são chamadas faces. Os alunos contam na pirâmide quatro faces triangulares e uma face quadrada. A identificação de arestas e vértices pode ser realizada com alunos a partir da 33 série. Pede-se aos alunos que expliquem como se dá o encontro das faces da pirâmide. Estes, percebem que isso caracteriza as dobras. Utilizando-se giz colorido numa pirâmide maior feita com papel branco, a professora marca essas dobras e facilmente os alunos podem contar as arestas. A seguir, os alunos verificam que as arestas encontram-se num ponto chamado vértice. 8 . Planificação através da abertura da caixa. ~ Marca-se os pontos que são as quatro pontas da estrela e os quatro pontos do quadrado (base da pirâmide).
  38. 38. 32 ~ Une-se os pontos e consegue-se visualizar-se as 5 faces da pirâmide. Anexos: 2 . As mais belas pirâmides 3 . Passos para a dobradura da pirâmide 2a atividade (2a e 4a séries) Reproduzindo figuras não-planas ~ Objetivos Construir através de dobradura um cubo. - Identificar número de faces, arestas e vértices (só 4a série) Classificar figuras não-planas em dois grupos: corpos redondos (que rolam) e poliedros (que não rolam). 1 Organiza-se a turma em grupos com cinco alunos e são distribuídos objetos que representam cubos, prismas, pirâmides, esferas, cilindros e cones. Alguns desses objetos: dados, barrinhas que representam a dezena e centena no material dourado, caixas de fósforos, pingentes (pirâmide), bolinhas de
  39. 39. 0--- - -.-r -;) ---,r--7 alunos apoiem esses objetos sobre a carteira de modo a mantê-los em equilíbrio de qualquer modo que sejam colocados. Eles logo percebem que isso não é possível com todos os objetos, pois, nem todos tem todas as faces planas. Assim a professora sugere que sejam separados os objetos que não pertencem à solução anterior, isto é, sólidos que não tem todas as faces planas (cones, cilindros e esferas) e que estes sejam empurrados sobre a carteira. Destaca-se, então, a classificação das figuras não-planas: ~ Corpos redondos => podem rolar quando empurrados sobre uma superficie plana. Exemplos: esfera (bola de gude, futebol), cilindro (latas, lápis), cone (casquinha de sorvete, cones de lã). ~ Poliedros'' -> poli - muitas, e edro - faces ( vem da palavra grega hedra que significa face). São figuras com todas as faces planas, isto é, que sempre permanecem em equilíbrio sobre uma superficie plana. Os poliedros também não rolam quando empurrados. Exemplos: prismas (dados e caixas) e pirâmides. Os dados são anotados pelos alunos. 2 . Pede-se que da coleção de objetos os alunos retirem dois poliedros de acordo com os seguintes critérios: o primeiro que tenha todas as faces com quatro lados, o segundo com faces triangulares." Na Caixa objetos com essas características poderiam ser: o dado, as barrinhas do material dourado, as caixas de fósforo e sapato - para o primeiro 3 Definição elaborada de acordo com observações dos alunos e critérios sugeridos pela professora. 4 Os alunos participantes desta pesquisa pertencem segundo a teoria de Piaget ao terceiro estágio de desenvolvimento cognitivo - operações concretas. A inclusão de classe é uma característica desse período. Pôde se perceber que o grupo conseguiu estabelecer relações segundo critérios, mas isso, só foi possível com a manipulação de objetos. Só após os 12 anos, a criança será capaz de raciocinar em termos abstratos (proposições verbais ou hipotéticas).
  40. 40. 34 objeto pedido. A pirâmide (construí da anteriormente) e o pingente desta mesma forma caracterizam o segundo objeto descrito. Uma segunda arrumação é pedida segundo os critérios: - objetos em que todas as faces tem 4 lados; - objetos que mostram faces com o mesmo formato (polígonos que compõem as faces) quando colocado de todas as maneiras possíveis sobre a carteira. A professora, então, visita os grupos e observa que logo os alunos descartam as pirâmides na classificação. Por serem caixas com estampas e rótulos, os alunos confundiram-se na classificação de acordo com o segundo critério, pois, não incluíram no grupo o dado (usado nos jogos) e uma caixa de giz (cúbica), mas os cubos que representam a unidade simples e a unidade de milhar foram incluídos. Então, foram desmontadas as caixas de giz e coladas com o avesso para fora. Assim, pode-se perceber que as peças do material dourado e as caixas possuíam todas as 6 faces iguais - mesmo tamanho, portanto, poderiam ser incluídas no grupo. A característica desses objetos é que representam figuras não-planas que tem seis faces quadradas. Neste aspecto, todas tem a forma cúbica, por exemplo, o dado usado nos jogos. 3 . Construção de um cubo só com dobradura de papel (Anexo 4). Os grupos de alunos se utilizam de pranchas para construção do sólido. 4 . Planificação - contorno das faces através da rotação do sólido. - marca-se os pontos A,B,C,D e gira-se o cubo marcando-se os outros pontos (os vértices); - une-se os pontos e obtêm-se as 6 faces do cubo.
  41. 41. 35 A B C D I Com os alunos de 4a série volta-se e propõe-se a observação dos elementos neste sólido obtendo-se: ~ 6 faces ~ 12 arestas ~ 8 vértices (exploração já utilizada na primeira atividade)" 3a atividade (2a e 4a séries) Reproduzindo polígonos ~ Objetivos - Estabelecer diferenças entre alguns quadriláteros quando representá- los nas dobraduras. - Utilizar a régua para medir lados dos polígonos. Montagem num painel com algumas formas espaciais e planas 1 . Formas não planas/tridimensionais: a) Poliedros 5 Anexo 4 - Prancha da dobradura do cubo.
  42. 42. 36 pnsmas { cubo (dobraduras) paralelepípedos - caixas, tijolos - pirâmide (dobradura) b) Corpos redondos cilindro (lápis e latas) - cone (canudinho de refrigerante, cone de lã) esfera (bolas) 2 . Figuras planas / bidimensionais: Classificação de algumas formas planas observando-se a figura tridimensional que as originaram. a) Quadrado e retângulo (prismas). b) Triângulo e quadrado (pirâmide com base quadrada). c) Círculo e retângulo (cilindro). d) Círculo inteiro e ~ de círculo (um modelo de cone). Todas as figuras tridimensionais foram desmontadas de modo a facilitar a observação das figuras planas que as originaram. A planificação dos sólidos feita anteriormente, também, proporciona esta observação. 3 . Pede-se aos alunos que comparem um quadrado e um retângulo apontando semelhança (s) e diferença (s). A maioria dos alunos de 4a série determinam a diferença quanto às medidas dos lados, mas não apontam a semelhança quanto ao número de lados e ângulos (este último elemento ainda não foi citado no trabalho). Os alunos de 2a série também apontam a mesma diferença. Entretanto, com alunos de outra 2a série que não estão participando da pesquisa, não se chegou a esta identificação.
  43. 43. 37 Segundo Piaget só a partir dos 9 ou 10 anos a criança se interessa pelas propriedades métricas dos objetos como o comprimento dos lados, abertura dos ângulos dos polígonos etc. Faz-se, então, o levantamento das características desses polígonos: quatro lados quatro "cantos" (ângulos)" Confirma-se a diferença entre eles medindo-se o comprimento dos lados. Os dois polígonos são classificados como quadriláteros. Nesse mesmo grupo estão os trapézios, losangos e paraIelogramos. Contornando-se as faces da pirâmide encontramos uma forma diferente dos quadriláteros. Na pirâmide as faces laterais são triângulos. 4 . Numa folha de sulfite (29 em x 21 em) são feitas dobras e chega-se a representação dos polígonos: quadrado, retângulo, trapézio, losango, paralelogramo e triângulo. (Anexo 5: Dobradura das figuras planas). 4a atividade (4a série) Introduzindo o conceito de ângulo ~ Objetivo apontar semelhanças e diferenças entre os dois polígonos apresentados para conceber a noção de ângulo. 1 . Os grupos recebem as seguintes formas planas cortadas em papel sulfite e respondem ao questionamento: 6 Neste momento, ainda não foi possível falar de ângulos retos. Na próxima atividade, os alunos começam a observar este elemento nos polígonos.
  44. 44. 38 ~ Qual o número de lados de cada figura? ~ Podemos incluí-Ias no grupo dos quadriláteros? Por quê? ~ Quais são as medidas dos lados de cada um desses polígonos? ~ Ambas têm o mesmo de lados e a mesma medida para todos os lados. Então elas são iguais? ~ Coloquem um quadrilátero sobre o outro. Elas são semelhantes? ~ Qual é, então, a diferença entre elas? ~ Para esta última questão, algumas das respostas: Q o losango tem "cantos" mais pontudos. Q Os lados do losango são inclinados. Q O quadrado tem "cantos" mais retos e no losango tem cantos mais abertos. Os alunos começam, então, a perceber que a diferença entre o losango e quadrado tem a ver com a "abertura" dos seus ângulos / "cantos". Pede-se, desta forma, que coloquem um quadrilátero sobre o outro de modo a comparar os "cantos" e, observar a sua abertura. É o momento em que se coloca a palavra ângulo relacionando-a com a abertura dos lados dos polígonos. Na sala também podemos observar vários ângulos: uns são como o quadrado (canto do quadro, porta, carteira e outros com menor abertura) o ângulo da letra A, o triângulo no cartaz do palhaço. Os
  45. 45. 39 ângulos no quadrado são chamados ângulos retos. Estes medem 90° (noventa graus). Propõe-se que os alunos confirmem os exemplos que deram de ângulos retos e para isto, utilizam o esquadro de papel. 2 . Usar o esquadro de papel: q Verificar os ângulos retos na sala de aula q Comparar os ângulos das figuras planas reproduzi das anteriormente (quadriláteros e triângulos). TOLEDO (1997, p. 246) sugere uma atividade de ladrilhamento com polígonos para introduzir o conceito de ângulo como "abertura" dos lados dos polígonos. O conceito de ângulo como mudança de direção, também, pode ser trabalhado a partir da seguintes atividades: ~ posição dos ponteiros do relógio em momentos diferentes; ~ posições da porta, desde fechada até totalmente aberta (os alunos marcam essas posições no chão, usando giz; ~ o contorno com o dedo em discos de cartolina, dobrado ao meio, dá-se meia volta. (Anexo 6 - esquadro de papel). sa atividade (4a série) Classificando triângulos pela medida dos lados. ~ Objetivos q Reproduzir triângulos e classificá-los quanto ao número de lados. I O Trabalho com triângulos. a) Leitura comentada do texto informativo - História dos ângulos: O triângulo mágico (Anexo 7). b) Demonstração prática, segundo o procedimento explicado no texto com o uso de uma placa de isopor, barbante e palitos.
  46. 46. 40 2 . Um aluno desenha numa cartolina um triângulo como o do texto: com um ângulo reto e para os lados medidas maiores, assim, todos podem visualizar. A professora sugere, então: 30 em, 40 em e 50 em. Outros dois triângulos são apresentados para a turma. Um aluno faz a medida dos lados dos três triângulos, obtendo em centímetros: 10 triângulo: 30, 40 e 50 20 triângulo: 30, 30 e 40 3° triângulo: 30, 30 e 30 3. Reproduzir através de dobraduras triângulos semelhantes aos observados utilizando uma folha de papel sulfite. (Anexo 8). a) o primeiro com três lados de mesma medida b) o segundo com três lados de medidas distintas c) o terceiro com dois lados de mesma medida Recortar os triângulos e confirmar as medidas com a régua. Classificam-se, então, os triângulos de acordo com as medidas de seus lados como: ~ equilátero - apresentam os três lados congruentes; ~ isósceles - apresentam apenas dois lados congruentes; ~ escaleno - apresentam os três lados com medidas diferentes. 6a Atividade (4a Série) Reconhecendo polígonos Objetivo ~ Identificar polígonos utilizando terminologia própria em dobraduras variadas
  47. 47. 41 1 Os alunos escolhem numa pasta duas dobraduras de animais que irão fazer. Eles já estão familiarizados com os polígonos de três e quatro lados. Pretende-se nesta atividade ampliar esta classificação com o emprego de uma terminologia apropriada. Aqui, a professora aproveita para dizer que nos polígonos, o número de lados é igual ao número de vértices e de ângulos internos. Também mostra que em alguns deles há relação entre os nomes e o número de lados (ou de ângulos) da figura. Ao confeccionarem as duas dobraduras que passo a passo são dirigidas pela professora, os alunos vão classificando os polígonos que surgem. No momento que surgem figuras que desconhecem a professora chama a atenção e coloca a nova denominação. Após as duas atividades chega-se ao seguinte diagrama: FIGURAS PLANAS N° DE LADOS NOME DOS POLÍGONOS* 3 Triângulo 4 Quadrado.retângulo e trapézio 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9** exágono 10 decágono 11 undecágono 12 dodecágono 15 pentadecágono 20 isoságono Anexo 9 - Dobraduras: a) Coruja que dá cambalhotas b) Peixe * Polígonos: vem do grego, poli - "Muitos" e ganas - "ângulos". Os polígonosnáo relacionados no quadro são denominados simplesmente pelo seu número de seus lados, por exemplo: "poligonos de treze lados". ** Os polígonos com n° de lados maior que oito não foram observados nas dobraduras realizadas.
  48. 48. 3.3 DESCRIÇÕES, ANÁLISES E CONCLUSÕES A PARTIR DO TRABALHO DESENVOLVIDO As atividades desenvolvidas foram planejadas no sentido de promover a construção do conhecimento geométrico nas séries iniciais através da dobradura, principalmente, quanto à diferenciação de formas tri e bidimensionais. No início do trabalho, isto constituiu o problema investigado. Pode-se concluir que a resposta foi afirmativa porque o progresso e crescimento foram facilmente observados nas atitudes dos alunos durante o desenvolvimento de cada nova atividade proposta. Entretanto, como já foi colocado: "a construção do conhecimento é um método que demanda um conjunto de aulas, a totalidade de um curso" (VASCONCELLOS, 1995, p. 47), e é por isso que não se pode garantir que a organização de conteúdos utilizada em certos momentos poderia ser adequada a outras situações, como em outras turmas, por exemplo. Tendo-se em vista que é necessário estabelecer relações com outras disciplinas, e, também, com os temas transversais (Meio Ambiente, Plural idade Cultural, Ética etc) devem ser feitas outras considerações para organizar os conteúdos de modo a lhes conferir significado. A dobradura foi o principal recurso empregado, mas ainda pôde-se contar com o uso de vídeo e textos (aqui estes valorizam a matemática como conhecimento produzido histórica e socialmente), embalagens de produtos alimentícios, materiais escolares etc. Por se tratar de um auxílio já empregado por muitos professores em diversas disciplinas, surgiu o interesse de tomar a dobradura o recurso didático central no trabalho. Todas as formas conseguidas dobrando-se papéis está repleta de conceitos geométricos. Além disso, as crianças adoram. Tornando-se o ensino mais criativo e prazeroso, tem-se maior garantia de aprendizagem. No trabalho com as séries iniciais estas qualidades são indispensáveis.
  49. 49. 43 No planejamento e desenvolvimento das atividades procurou-se atender às três dimensões propostas por VASCONCELLOS num método de construção do conhecimento. Pode-se, resumidamente, descrever estes três . . eIXOSassim: ,-- / - r> r: r- r r: r J Embora a determinação mecânica de objetivos seja combatida, a definição destes foi necessária para todas as atividades; e talvez a prática tecnicista na formulação deles foi abandonada quando não ficou restrita ao papel da professora, a não ser no momento da organização do trabalho pedagógico. Ao propor uma atividade lúdica, chamando a atenção para o conhecimento que o aluno já tinha sobre o objeto de estudo (elementos correlatos e pertinentes que permitem uni maior número de relações) pretendia-se a Mobilização para o Conhecimento e sua manutenção durante a aula. A problematização nas atividades, possibilitou que os alunos fossem estimulados para uma tarefa criativa onde precisaram elaborar hipóteses na tentativa de resolver o desafio. O levantamento de alternativas, a elaboração de estratégias e a testagem delas, já foi praticamente, a Construção do Conhecimento. Aqui, a intervenção da professora foi necessária, ajudando os alunos na organização das atividades, na promoção da interação entre os elementos envolvidos e na problematização. Quando os alunos faziam relações, estabelecendo semelhanças e diferenças entre as várias formas planas e espaciais, quando utilizavam a terminologia apropriada para as formas tri e bidimensionais, ao relacionarem os conceitos geométrico ao meio em que vivem e ao representarem no plano formas espaciais, percebeu-se o que VASCONCELLOS (1995), define como "Síntese do Conhecimento ". Nas atividades desenvolvidas, houve a integração entre a Geometria e os outros eixos matemáticos (números e medidas)? Não foi possível realizar todas as articulações que as atividades favoreciam, entretanto, algumas merecem destaque:
  50. 50. 44 ~ A representação decimal dos números ao medir os lados das figuras planas; ~ A utilização de instrumentos de medidas USUaiSou não ao medir ângulos; ~ A contagem do número de faces, arestas, vértices, lados e ângulos; ~ Os números fracionários: Yz, 'l4 da folha de papel nos passos seguidos para as dobraduras. Outras possibilidades abertas a partir deste trabalho: ~ Números: equivalência e comparação entre frações e representação do número decimal (leitura, escrita e uso da vírgula); ~ Medidas: histórico de unidades arbitrárias e padrão, unidade padrão e as mais usuais (metro, centímetro, milímetro e quilômetro) como frações do metro. O cálculo de área das figuras planas será o próximo conteúdo de matemática na 4a série. Certamente, as atividades realizadas serão úteis na resolução de problemas, porque a questão das formas bidimensionais foi bem trabalhada. No decorrer da pesquisa, houve a necessidade crescente na busca de fundamentos que a tomasse válida e eficiente no sentido de comprovar a hipótese que foi levantada. As três dimensões propostas por VASCONCELLOS para a construção do conhecimento e um pouco sobre a História da Matemática não foram leituras de obras específicas de Geometria. Para o entendimento destas, não é necessário a formação na área da Matemática. As propostas pedagógicas atuais estabelecem uma metodologia de trabalho em sala de aula sob uma perspectiva dialética. Com a intenção de superar uma prática tradicional, procurou-se adaptar o método de VASCONCELLOS para a construção do conhecimento, nessa pesquisa o conhecimento geométrico.
  51. 51. 45 Alguns textos sobre a História da Matemática foram retirados de publicações recentes destinadas ao ensino fundamental. Essas últimas colocações são feitas para esclarecer que, apesar desta pesquisa ter sido dirigida por uma professora de matemática, a metodologia empregada para trabalhar os conteúdos, de Geometria não pertencem só ao conhecimento matemático, por isso deveriam ser domínio de todos os docentes que atuam na educação fundamental. Conforme foi visto, há muitos comentários sobre o descaso com o ensino da Geometria, e considerando-se a falta de conhecimentos geométricos essenciais para uma prática pedagógica satisfatória, reafirma-se a necessidade do tema estar presente no processo de formação continuada dos professores das séries iniciais. Afmal, ninguém pode ensinar o que não sabe. Na explicação de LORENZATO: "(...) a geração que não estudou Geometria não sabe como ensiná-Ia é preciso romper com esse círculo vicioso de ignorância geométrica, mesmo porque já passou o tempo de Ler, Escrever e Contar". (1995, p. 4).
  52. 52. CONSIDERAÇÕES FINAIS Em vários momentos deste trabalho comentou-se sobre o despreparo do professor das séries iniciais para trabalhar a Geometria assim como a negligência dele, por não conhecer as possibilidades que esse saber matemático pode proporcionar. Na pesquisa, foi necessário descrever esse panorama, entretanto, a resposta positiva obtida a partir da hipótese levantada foi o "porquê", a "razão" para realizar o trabalho. Outro objetivo alcançado, este por se tratar de uma pesquisa-ação, foi uma melhora significativa na prática pedagógica da pesquisadora. A partir dos resultados obtidos, toma-se possível avaliar a eficiência ou não das estratégias empregadas e a extensão desses procedimentos em outras práticas. Também merece destaque considerar que a pesquisa-ação é viável na prática docente objetivando a contribuição no ensino-aprendizagem com compreensão. Esse professor atenta, ainda, para a observação das possíveis mudanças de comportamento dos alunos, a partir do seu trabalho. Assim com as crianças das séries iniciais a mobilização para construir o conhecimento adquire uma certa carga de afetividade. Observar o sorriso no rosto de uma cnança ou de um adolescente realizando um trabalho, ficando feliz com o resultado e conquistando novos conhecimentos é o momento de realização do professor. Justificam e são suficientes para validar todo este trabalho de pesquisa, os seguintes relatos dos alunos da Quarta série que participaram das atividades durante algumas semanas. "Nós aprendemos que os egípcios faziam aquelas pirâmides, aprendemos as dobraduras, e aprendemos que a geometria é que faz parte da matemática". "Gostei de aprender que a matemática não é só contas e problemas, mas, também, tem as formas planas e espaciais que são muito interessantes".
  53. 53. 47 "Fazendo as dobraduras, aprendi que a matemática é usada para muitas coisas". "A natureza é cheia de Matemática. Nas dobraduras aprendi formas planas e espaciais. No filme vi a matemática que eu não conhecia". Nesses dias fizemos as dobraduras que são: pirâmide, cubo, prismas, cilindro, quadrado, losango,trapézio, eu gostei muito. Hoje, eu aprendi o triângulo escaleno, equilátero, isósceles e fazer a dobradura da coruja e por último o peixinho". "Eu achei que essas aulas foram muito legais: assistimos vídeo que nos mostrou que a matemática não é só número. A matemática também é diversão e tem jogos. Aprendemos formas geométricas que nós pensamos que não existia e fizemos dobraduras de várias formas". "Simplesmente eu digo que adorei porque desenvolveu a minha inteligência e cada dia eu sabia que ia aprender uma coisa diferente. Com muito respeito digo que adorei, amei a geometria com dobraduras". A questão final e mars importante: o aluno que participou da pesquisa ampliou sua visão em relação à Matemática, até então, a ciência dos números e descobriu a beleza das formas com o estudo da Geometria. "A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo". (GALILEU GALILEI). --"-------------------
  54. 54. 48 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSUMPÇÃO, Sérgio L. Orgami. In: SEMINÁRIO ÁREAS DO CONHECIMENTO. Curitiba: SEED, 1998, p. 93-95. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 1997. CAMARGO, J. A.; PEREZ, M. Reflexões sobre o ensino/aprendizagem da Geometria. In : SEMINÁRIO ÁREAS DO CONHECIMENTO. Curitiba: SEED, 1998, p. 19-32. D' AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação matemática: da teoria à prática. São Paulo: Papirus, 1996. CADERNOS CEDES, 40. Centro de Estudos Educação e Sociedade. História e Educação matemática. Campinas-SP.: Papirus, 1996. DANTE, Luis Roberto. Didática da matemática na pré-escola. São Paulo: Ática, 1994. DUHALDE, Maria Elena. Encontros iniciais com a matemática: contribuições à educação infantil. (Trad. M" Cristina Fontana). Porto Alegre: Artes Médicas, 1998. FUSARI, José Cerchi. A educação do educador em serviço: o treinamento de professores em questão. São Paulo: PUC, 1988. GÊNOVA, A. Carlos. Origami escolar: dobraduras. São Paulo: Rideel, 1998. GERDES, Paulus. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba: UFPR, 1992. GIL, Antônio Carlos. Como elaborar projetos de pesquisa. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1991. IMENES, L. M. P.; JAKUBO, L. Novo Caminho: Matemática - 48 série. São Paulo: Scipione, 1997.
  55. 55. 49 LIBÂNEo, José Carlos. Democratização da escola pública: a pedagogia crítico-social dos conteúdos. São Paulo: Loyola, 1985. LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar geometria: a educação matemática em revista. SBEM, Ano III, 1° Sem., 1995. MACHADO, Nilson José. Epistemologia e didática: as concepções do conhecimento e inteligência e a prática docente. São Paulo: Cortez, 1995. ___ o Atividades de geometria. São Paulo: Atual, 1996. MONTGOMERY, Mary. Aprendendo e ensinando Geometria. (Trad: Higino H. Domingues). São Paulo: Atual, 1994. O'BRIEN, Thomas. Abaixo a matemática do papagaio. Revista Nova Escola, agosto/2000. RADESPIEL, Maria. Alfabetização sem segredos: novos tempos- Matemática. Contagem-MG: Iemar, 1999. RIOS, Terezinha A. Educação, ética e política: noção de competência na prática educativa. São Paulo: PUC, 1988. SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO E CULTURA. Plano curricular das escolas municipais. Ponta Grossa: SMEC, 1994. TAHAN, Malba. 1895-1974. O homem que calculava. 4. ed. Rio de Janeiro: Ed. Record, 1999. THIOLLENT, Michel. Metodologia da pesquisa-ação. 3. ed. São Paulo: Cortez, 1986. TOLEDO, Marília. Didática da matemática: como dois e dois - a construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997. TRIVrNOS, Augusto N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais. São Paulo: Atlas, 1987. VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Construção do conhecimento em sala de aula. São Paulo: Cadernos do Libertad, 1995.
  56. 56. ANEXOS 50
  57. 57. ANEXO 1 QUESTIONÁRIO PROFESSORA : srnIE : AGOSTO / 2000 1. Professora. você considera importante o trabalho da geometria nas sé- ries iniciais? Por quê? 2. NÚmeros, medidas e geometria - blocos de conteúdos matemáticos para as séries iniciais. Você faz articulações com números e medidas ao trabalhar geometria? Descr~va uma situação em que isto foi possível. 3. Até o final do primeiro semestre que assuntos de geometria foram trab~ lha40s na sua turma? 4. Que estratégias/ metodologias você utilizou? 5. Houve alguma dificuldade na abordagem destes temas? Comente • ••6. Como voee avalia seus alunos nos trabalhos de geometria? 7. Que recursos materiais você usa em suas aulas de geometria? Existe ou- tros que você considera bons mas que não possui?
  58. 58. ANEXO 2 FOTO DA PIRÂMIDE ( extraída do livro As mais be~as p~ram~aes)
  59. 59. ANEXO 3 - DOBRADURA DA PIRÂMIDE * Usar papel fotocopiadora papel para origami. Aqui medida , Bcm Xpara ou a e Bem. A. B , ,- / -, / ,. / ,. , / / "- / , ,. "- / , ~ / ,- ,. "/ / / , / "- / / / <, / / C~iG D - .. Marque as diagonais AlD e BC. 2.Dobre A e D observando a fiRura ac! Desdobre .. ma .•Repita nas quatro pontas ..Desd~ breo Dobre levando A até B. Dobre mais uma vez.(o quadrado inicial fica dividido em quatro partes iguais) 4. Corte n~s lugares em que a~arecem os pentagonos. Dobre como e de - monstrado. ( quatro vezes) ~..Para montar a pir;mide usa-se um pingo de cola em todos os cantos que sur- giram ap~s o corte, fixando~os uns sobre os outros.
  60. 60. ANEXO 4 - DOBRA DURA DO CUBO * Aqui a medida usada é 7cm X 7cm. Para cubos que podem ser usados como da- dos para jogos sugere-se um papel 150m X 15cm. (Repetir 6 vezes os passos abaixo. 2. ~ A B A B c D c D B B .J, - - - - - c ---" 5 o 6. C B k~------~----,A -r-, ~ ~C D D 7. 8. A D " ,-. r> D
  61. 61. ANEXO .5 FIGURAS PLANAS r> 'vBRAR UMA FOlliA DE SULFITE ( 28 eM / 21 eM ) NO SENTILO LONGITUDINAL OBTENOO IvIS RET1lliGULOS. 1. 2. A. QUADRAm ~e. TRIANGULO D. RETANG ULO E o PARALELOGRJilVIO F o LOSANGO B o TR.llPEZIO
  62. 62. ANEXO 6 - ESQUADRO DE PAPEL r
  63. 63. r ANEXO 7 - TEXTO História dos ângulos Você tem idéia de como se fazia, na a n t í g ü id a d e, para obter ~~~~~~~""'-,ângulos retos em construções? Leia o texto a seguir e conheça algumas curiosidades 'sobre isto. o triângulo magrco Milhares de anos atrás, no antigo Egito, havia homens conhecidos como esticadores de cordas. A função deles era demarcar os limites dos terrenos e as fundações das casas, templos e palácios. Os egípcios antigos preferiam terrenos e edifícios quadrados ou -=-=:::::>l retangulares, com ângulos perfeitamente retos. Mas não tinham todos os instrumentos de medição que hoje possuímos. Tinham apenas o triângulo "mágico"! . Para fazer um ângulo reto, os esticadores de cordas usavam uma longa corda com as pontas amarradas uma na outra. A corda tinha doze nós a espaços regulares, como marcas de uma régua. Para começar, os esticadores de cordas enfiavam uma estaca no -oe:::::::===-- chão, no lugar onde queriam o ângulo. Colocavam um dos nós nessaj' '! ' estaca. Depois, contavam três nós, puxavam a corda bem esticada e cravavam outra estaca no chão, no lugar do terceiro nó. Voltando à estaca do canto, pegavam a outra parte da corda. Contavam quatro nós, puxavam a corda e cravavam uma .estaca no lugar do quarto nÓ.E assim, como num passe de mágica, tinham o triângulo com o ângulo reto que precisavam para ~um terreno ou edííicio. O que os csticadores de corda fizeram, foi construir um triângulo retângulo - um triângulo que tern um ângulo reto em um dos cantos. O truque, evidentemente, estava em saber em que nós cravar as estacas. Em um dos lados do ângulo, a corda esticada tinha três espaços. No outro lado, tinha quatro espaços. E no lado oposto ao canto, havia cincoc::::::~ espaços. Assim, os lados do triànqulo.rínham três, quatro e cinco espaços de comprimentos. E toda vez que você tiver um triângulo com lados que apresentam esta relação de três, quatro e cinco, ele será um triângulo retângulo. O MUNDO DA CRIANÇA. Rio deJaneiro. - Delta, 1988. U 11
  64. 64. ANEXO 8 - TIPOS DE TRIÂNGULO ." ,.1-:J,J ca II c / / 15,5 c. A. EQUILATERO I B. lSO-SCELES B c. c • A C. ESCALENO
  65. 65. ,.-. ANEXO 9 - DOBRA DURA DO PEIXE E CORUJA r

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