Em busca do eouilíbrio com as equações do 1º grau

SILVANA ZIMMERMAr·Jhl MAlA
EM BUSCA DO EOUILlBf~lü COM AS eOl.IAÇÜeS DU 1° C3R/U
POI'~rA (:;ROSSA
20U1

SILVANAZIMMERMANN MAlA
EM BUSCA DO EQUILlBRIO COM AS EQUAÇÓES DO 1° GRAU
r
Monografia apresentada como pré-requisito
para a obtenção do titulo de Especialista no
Curso de Pós Graduação em Matemática:
dimensões teórico - metodológicas, da
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA
GROSSA.
Orientação Professora: Ms Joseli Almeida
Camargo
r
PONTA GROSSA
2001

AGRADECIMENTOS
Ao meu querido esposo Fábio que com muita
paciência e carinho me deu o apoio necessário para
a conclusão deste trabalho.
Aos meus filhos Fábio Roberto, Tamires Cristina e
Karen Fernanda,·que são os estímulos para que
continue o meu aprendizado.
As minhas amigas Eva e Neide que sempre
participaram da minha ansiedade, e nunca faltaram
quando mais precisei.
Á Professora Ms. Joseli Almeida Camargo agradeço a
orientação segura e a amizade pela qual
sinto-me honrada.
ii

RESUMO
Esta pesquisa surgiu da observação realizada com alunos do Ensino
Fundamental e Médio, os quais apresentam grande dificuldade na resolução da
equação do 1° grau. Fixou-se então, a atenção aos alunos de 68
série onde o
conteúdo é iniciado.Buscou-se numa abordagem histórica, informações de
como surgiu a equação do 1° grau, sua utilização e procedimentos de
resolução adotados ao longo do tempo. A investigação descreve e aponta as
dificuldades encontradas pelos alunos nas resoluções das equações do 1°
grau, dentre as quais a falta de conceituação de determinados conhecimentos
prévios. Aponta também a precipitação por parte do professor em dar
seqüência aos conteúdos para conseguir vencer o programa escolar,
contribuindo para as dificuldades. Algumas estratégias para um melhor
desempenho no ensino/aprendizagem da equação do 1°grau, são proposta no
presente trabalho.
Palavras chaves: equação do 1° grau, origem das equações, educação
matemática.
iii

SUMÁRIO
RESUMO 111
INTRODUÇÃO 1
1.0RIGEM DE TUDO
1.1- O SURGIMENTO DAS EQUAÇÓES 3
1.2- A EQUAÇÃO COMO LINGUAGEM DA ÁLGEBRA 9
11.O PROFESSOR EM CONSTRUÇÃO: equívocos e certezas 14
2.1- RELATO DE UMA EXPERIÊNCIA DE SALA DE AULA 16
111.OS ATORES NA SALA DE AULA
3.1- REFLETINDO SOBRE A PRÁTiCA 29
3.2- A ESTRATÉGIA 35
CONSIDERAÇÓES FINAiS .41
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFiCAS .43
ANEXOS 45
íy

INTRODUÇÃO
Através de observações feitas em sala de aula com alunos do Ensino
Fundamental e Médio, percebi que estes demonstram uma grande dificuldade em
relação à resolução da Equação do 1° Grau. Decidi observar com mais atenção, a
maneira pela qual os alunos resolvem essa Equação. As maiores dificuldades dos
alunos, se dão logo no início do processo de resolução da equação, e mesmo com
a interferência do professor, a maioria dos alunos não obtém êxito.
Achei, então, interessante direcionar meu trabalho para uma sondagem
mais específica com alunos de 68
série do Ensino Fundamental, tendo em vista
que é a partir desta série que o educando se depara com o aprendizado e a
resolução das referidas equações. Dessa forma pretendo averiguar as principais
dificuldades encontradas pelo aluno do ensino fundamental em relação a equação
do 1° grau.
Tenho como objetivos:
1- Pesquisar as principais dificuldades encontradas no processo ensino
aprendizagem no que se refere à resolução da equação do 1° grau.
2- Enfatizar a indissociabilidade na passagem da aritmética para a álgebra.
3- Investigar a interferência do professor na compreensão por parte dos
alunos na resolução da equação.
As hipóteses levantadas nessa pesquisa são as seguintes:
1- Os professores não enfatizam o conceito de equação.
2- Os alunos, por sua vez não são motivados a pensar, o que dificulta a
análise das respostas obtidas.
Partindo dessas preocupações, passei a fazer algumas anotações durante
as aulas de matemática, em uma turma de 68
série do Colégio General Osório -
Ensino Fundamental e Médio de Ponta Grossa, no qual fui docente no de 2000. A
pesquisa se desenvolveu a partir dos erros que apareceram com maior freqüência
nas resoluções de Equações do 1° Grau, dos alunos observados.

No primeiro capítulo, apresenta-se o contexto histórico do surgimento das
equações, para que se possa obter uma melhor compreensão quanto a sua
finalidade e aplicação no cotidiano das pessoas.
No segundo capítulo, serão apresentado os resultados da pesquisa de
campo realizada durante o ano letivo de 2000 na 68
série A do Colégio Estadual
General Osório - Ensino Fundamental e Médio, através dos quais pretende-se
observar as reais dificuldades mais freqüentes encontradas na resolução das
equações de 10
grau.
No terceiro capítulo, sugiro algumas idéias, nas quais julgo importante para
a construção do conceito de equação do 10
grau.
O presente trabalho é uma pesquisa denominada estudo de caso, por se
tratar de informações pesquisadas sobre a equação do 10
grau, pois como cita
Trivifios: liA complexidade do estudo de caso está determinada pelos suportes
teóricos que servem de orientação em seu trabalho ao investigador". (1987, p.134)
Portanto, esta pesquisa parte dos conhecimentos existentes sobre o
conteúdo examinado, chegando a análise de alternativas metodológicas para se
trabalhar a equação do 10
grau.
Para realizar a pesquisa foram utilizadas fontes bibliográficas e pesquisa de
campo com os alunos da 68
série A do Colégio Estadual General Osório - Ensino
Fundamental e Médio, do ano letivo de 2000.

CAPITULO I
A ORIGEM DE TUDO
"Sem a menor intenção de banalizar'.
a história podemos compará-Ia a um
grande baú, com paciência, é possível
encontrar quase tudo ...!!!
(COSTA,1992,P.2)
1.1- O SURGIMENTO DAS EQUAÇCES
As equações, segundo historiadores como GARBI(1997), EVES(1997) e
BOYER(1974), surgiram na antiguidade oriental onde a escrita e o saber estava
restrito ao conhecimento de uma minoria privilegiada: os escribas. A eles competia
registrar a História dos reis, a contabilidade, os impostos, os estoques agrícolas e as
transações comerciais. Naturalmente ao fazê-to, precisavam realizar pequenos
cálculos aritméticos e geométricos de modo que seu treinamento não mais poderia
limitar-se às técnicas das letras e símbolos, mas deveria incluir rudimentos
matemáticos que eles próprios desenvolviam e passavam a seus sucessores.
A matemática primitivá necessitava de embasamento prático para o
desenvolvimento econômico das sociedades agrícolas emergentes. Foi ao longo de
alguns dos grandes rios da África e da Ásia (o Nilo no Egito, o Tigre e o Eufrates na
região da Mesopotãmia na Ásia Ocidental, o Indo e depois o Ganges no sul da Ásia
Central e o Howang Ho e depois o Yantgze na Ásia Oriental), que se deu o
aparecimento de novas formas de sociedade.
Tornava-se necessário o auxílio de uma ciência prática para o desenvolvimento da
agricultura e da engenharia, atividades essas que requeriam a utilização de um
calendário, e a criação de um sistema de preservação de registros. Dessa forma os
agricultores saberiam quando as enchentes ou a estação das chuvas iriam ocorrer.
Segundo BAUMGART(1992), o período de 1700 a.C. e 1700 d.C. caracterizou-se
pela invenção do simbolismo e pela resolução das equações por vários métodos. "O
desenvolvimento da notação algébrica evoluiu ao longo de três estágios: o retórico
(ou verbal), o sincopado (no qual eram usadas abreviações de palavras) e o
simbólico. No último estágio a notação passou por várias modificações e mudanças,

4
até tornar-se razoavelmente estável ao tempo de Isaac Newton".(BAUMGART, 1992,
p.5)
Nesse período é encontrado na Mesopotâmia, em um tablete de barro cozido,
datado de 1700 a.C., um livro de exercícios de matemática o qual mostrava várias
figuras geométricas como círculos, triângulos e quadrados inscritos em quadrados
maiores, contendo também alguns problemas, tais como:
"O lado do quadrado eqüivale a 1. Desenhei quatro triângulos nele. Qual a área da
superfície?
Esse problema "colocado de maneira assim tão obscura e imprecisa, até um
matemático moderno teria dificuldade em entendê-Io, numa demonstração de que a
falta de didática em alguns livros é questão que maltrata os leitores há pelo menos
4.000 anos ..." (GARBI, 1997, p.10)
O problema proposto é colocado de uma forma bastante confusa, pois a
interpretação pode ser feita de várias maneiras. Ao indicar que o lado do quadrado
equivale a 1, não se conhece a unidade utilizada. Ao desenhar os triângulos, não
explica de que maneira se apresentam esses triângulos dentro do quadrado. E a
área solicitada, é do triângulo ou do quadrado? Nota-se com este problema que a
falta de clareza para expor certos conteúdos gera insegurança de forma que se não
houver objetividade não haverá a certeza da resolução.
São vários os documentos antigos de matemática que chegaram até nossos dias.
Dentre eles, talvez os mais famosos sejam o chamado Papiro de Ahmes (ou de
Rhind) e Papiro de Moscou.
O Papiro de Ahmes foi encontrado pelo egiptólogo inglês Rhind no final do século
XIX e hoje está exposto no Museu Britânico, em Londres. Esse papiro contém 85
problemas de aritmética e geometria com as suas soluções.
O papiro foi adquirido no Egito pelo egiptólogo escocês A. Henry Rhind, sendo mais
tarde comprado pelo museu Britânico.
o papiro de Rhind foi publicado em 1927. Tem cerca de 18 pés de comprimento por cerca
de 13 polegadas de altura. Porém quando o papiro chegou ao Museu Britânico ele era
menor, formado de duas partes, e faltava-lhe a porção central. Cerca de quatro anos depois
de Rhind ter adquirido o seu papiro, o egiptólogo americano Edwin Smith comprou no Egito
o que pensou que fosse um papiro médico. A aquisição de Smith foi doada a Sociedade de
História de Nova Yorque em 1932, quando os especialistas descobriram por sob uma
camada fraudulenta à parte que faltava do papiro Ahmes. A Sociedade, então, doou o rolo
de pergaminho ao Museu Britânico completando-se assim todo trabalho de Ahmes. (EVES,
1997, p.70)

5
o Papiro de Moscou, que é um pouco mais velho, com data aproximada de 1850
a.C. adquirida pelo colecionador russo Golenischev, atualmente encontrado no
Museu de Belas-Artes de Moscou contém 25 problemas dos quais o de número 14,
demonstra um conhecimento notável para época, pois contém a fórmula correta para
o cálculo do volume de um tronco de pirâmide.
Associada ao Prob.14 do Papiro de Moscou há uma figura que parece um trapézio, mas os
cálculos associados a ela mostram que o que se quer representar é o tronco de uma
pirâmide. Acima e abaixo da figura estão sinais para dois e quatro respectivamente e no
interior estão os símbolos hieráticos para seis e cinqüenta e seis. As instruções ao lado
tomam claro que o problema pergunta qual o volume de um tronco de pirâmide quadrada
com altura de seis unidades se as arestas das bases superior e inferior medem duas e
quatro unidades respectivamente. O escriba indica que se deve tomar os quadrados dos
números dois e quatro e adicionar à soma desses quadrados o produto de dois por quatro, o
resultado sendo vinte e oito. Esse é então multiplicado por um terço de seis; e o escriba
conclui com as palavras, "Veja, é 56; você achou-a corretamente". Isto é o volume do tronco
foi calculado de acordo com a fórmula moderna V = h(a2 + ab + b2)/3, onde h é a altura e a
e b são os lados das bases quadradas. Essa fórmula não aparece escrita em nenhum
lugar, mas em substâncias era evidentemente conhecida pelos egípcios. Se, como se faz no
documento de Edfer, toma-se b = 0, a fórmula se reduz à fórmula familiar, um terço da base
vezes a altura, para o volume da pirâmide. Como os egípcios chegaram a esses resultados
não se sabe. Uma origem empírica para regra sobre o volume da pirâmide parece possível,
mas não para a do tronco.(BOYER, 1974, p.14-15)
Em ambos os papiros apareceram discretamente problemas que continham
equações do primeiro grau. Segundo GARBI(1997, p.11) um dos problemas dizia:
"Uma quantidade, somada a seus 2/3, mais sua metade e mais sua sétima parte
perfaz 33. Qual é essa quantidade? Nos dias atuais equações desse tipo
escreveríamos da seguinte maneira:
x = uma quantidade
x x
x+2-+-+
3 2
Atualmente
.::.. = 33 ,o que é uma equação do 1° grau.
7
resolvida:
2 x x x
x + -- + - + - = 33
327
42 x + 28 x + 21 x + 6 x
42
97x = 1386
1386
= ---
42
1386
x =
97
Os papiros de Rhind e Moscou demonstram em sua origem questões sobre a prática
de armazenamento de grãos, balanceamento de rações para gado e aves

6
domésticas, e para a resolução desses problemas o método empregado ficou
conhecido mais tarde na Europa como regra da falsa posição.
A "Regra da Falsa Posição", foi utilizada pelos egípcios para resolver as equações
do primeiro grau, pois não sabiam achar uma solução através da simbologia
algébrica. Esta regra consistia em fazer uma hipótese inicial de qualquer número.
Um exemplo citado por GARBI foi o seguinte:
..Qual o número que somado à sua terça parte da oito?
Pela regra da falsa posição, fazia-se uma hipótese inicial qualquer a respeito
do número e verificava-se o que ocorria. Suponhamos que tal número fosse 3. E se
3 somado com sua terça parte dá 3 + 1=4, exatamente a metade dos oito que
deveria dar. Portanto, o número procurado é o dobro de 3, ou seja,
6."(GARBI, 1997,p.12)
A regra da falsa posição dos egípcios, foi adotada por vários matemáticos de
diversas partes do mundo. Um dos problemas descritos é um quebra-cabeça hindu
do século VII, que apresenta o seguinte:
Um colar se rompeu quando brincavam dois namorados
Uma fileira de pérolas escapou
A sexta parte ao solo caiu
A quinta parte na cama ficou
Um terço pela jovem se salvou
A décima parte o namorado recolheu
E com seis pérolas o colar ficou
Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar dos namorados
(GUELLI,1997,p.9)
Para a resolução desse tipo de problema os hindus utilizavam como
incógnita a palavra montão.
No quebra cabeça acima a palavra montão representa a quantidade de
pérolas do colar. Esse desafio era resolvido pelos estudantes da época através da
regra do falso.
Primeiro escolhia-se um valor qualquer que chamaremos de valor falso:
Exemplo: valor falso = 60
Com os dados do quebra cabeça montaremos uma expressão numérica, colocando
o valor falso no lugar da incógnita.

7
1 1 1 1
60 - - 60 - - 60 - - 60 - -60
6 5 3 10
60 _ 60 _ 60 _ 60 _ 60
6 5 3 10
60-]0-12-20-6
Com o resultado 12 , obtido através do valor falso, montava-se uma regra de três
simples. O valor verdadeiro deveria ser representado pela palavra montão e também
pelo restante das pérolas que permaneceram no colar.
Valor falso Valor verdadeiro
60 Montão
12 6
60 montão
12 6
montão. 12 = 60.6
montão. 12 = 360
_ 360
montao=-
]2
montão = 30
Dessa forma encontrava-se a resolução do quebra cabeça através da regra
da Falsa Posição.
Atualmente resolvido através de uma equação onde substituímos a palavra
montão pela incógnita x.
x x x x
x--------=6
6 5 3 10
30x-5x -6x-10x -3x ]80
30 30
30x - 5x - 6x - 10x - 3x = 180
6x = 180
180
x=-
6
x= 30

8
Euclides em seu livro "Elementos" demonstrou alguns importantes teoremas
da teoria dos números e introduziu conceitos que se tornaram fundamentais na
solução de equações:
a) Entidades iguais a uma terceira são iguais.
b) Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os resultados permanecem iguais.
c) A parte é menor que o todo.
Embora não tenha sido diretamente enunciada por Euclides, é fácil aceitar outra
verdade:
d) iguais multiplicados ou divididos por iguais continuam iguais"
Através dessas verdades é que se encontra a chave para a solução das equações
do 10
grau.
Percebemos isso no seguinte exemplo:
3x + 2 = 8
onde pelo axioma1 da letra b, se subtraírmos dos dois lados o número dois,
a igualdade continua:
r-
r
3x +2 - 2 = 8 - 2
3x = 6
pela verdade da letra d , se dividirmos os dois lados pelo número 3 ,
preserva-se a igualdade:
3x13 = 6/3
x=2 (GARBI,1997,p.19)
Assim depois de tantos estudos chega-se a fórmula geral da solução das
equações do 10
grau, sem precisar utilizar-se da regra da "Falsa Posição".
"Equacionar um problema, mesmo entre os leigos é generalizadamente
entendido como colocá-Io dentro de um mecanismo do qual ele sairá
inapelavelmente resolvido".(GARBI,1997,p.1)
Resolver uma equação é encontrar algo desconhecido, e costuma-se
chamar de incógnita2
, onde a letra mais habitual para sua representação é o x,
embora possa-se usar qualquer outra letra.
1 Axioma, segundo GARBI,(1997,p.19) são vwdades evidentes por si mesmas.
2lnc6gnita, segundo IMENES e LELlS (1998, p. 292) é um número desconhecido numa equação.
r

9
Como as equações representam um papel importante na matemática e em
muitas de suas aplicações no cotidiano, quase todos gastamos certo tempo de
nossas vidas para resolvê-Ias, e assim não é de se surpreender que o aprendizado
da resolução de equações ainda seja um elemento essencial no estudo da álgebra.
1.2- A EQUAÇÃO COMO LINGUAGEM DA ÁLGEBRA
Segundo OLIVEIRA e SILVA, a álgebra é uma nova página que se abre na
ciência matemática no século V d.C. Com a queda de Alexandria em 10 de
dezembro de 641, conquistada pelos árabes na Guerra Santa, um violento incêndio
provocado pelos conquistadores, destrói o Museu, devorando 600 mil manuscritos.
Apesar das conseqüências a cultura dos vencidos é assimilada pelos vencedores.
Os hindus continuaram a tradição algébrica dos matemáticos babilônicos,
desenvolvendo métodos para soluções de problemas astronômicos e equações
indeterminadas do primeiro grau.
Segundo EVES, o matemático grego Diofanto que viveu no século 111, teve
grande importância para o desenvolvimento da álgebra. Entretanto nada se sabe
com exatidão da sua nacionalidade e da época em que viveu. Há registros apenas
em um epitáfio que aparece na Antologia Grega:
"Diofanto passou 1/6 de sua vida como criança,
1/12 como adolescente e mais 1íl na condiçêo
de solteiro. Cinco anos depois de se casar
nasceu-lhe um filho que morreu 4 anos antes
de seu pai, com metade da idede (final) de
seu pai. " Com quantos anos Diofanto morreu?
(EVES, 1997,p.225)
A lápide nos revela sua idade pela arte da álgebra:
1 1 1 I
-x+-x+-x+S+-x+4 = x
6 12 7 2
14x+7x+12x+420+42x+336 84x
84 84
14x+7x+ 12x+42x+ 756 = 84x
75x + 756 = 84x

10
756 = 84x -75x
756
x=-
9
x = 84
Essa representação algébrica sugere que Diofanto morreu com 84 anos.
Ao que se sabe, Diofanto foi o primeiro matemático a tentar uma notação
algébrica, na qual os números seriam substituídos por outros símbolos como por
exemplo, letras.
Os outros autores que o sucederam tinha cada um , uma notação própria.
Com o passar do tempo todas as notações convergiram para uma padronização.
As notações utilizadas por Diofanto, eram designadas pelas letras do
alfabeto grego: a , p , y , Õ , ... etc. A incógnita era representada pela letra rr'(um
sigma com acento). O sinal de igualdade era indicado pela palavra "isos". O sinal de
adição (+) era desconhecido por Diofanto, o sinal de subtração (-) era representado
pelo seguinte símbolo / I. "-
Na Idade Média, segundo EVES, destacou-se Mohammed ibn Müsã al-Khowârizmi
(Maomé , filho de Moisés de Khwarezm), com sua obra "AI-jabr w'al-mukabalah" que
originou a palavra "Álgebra", que do vocábulo árabe, al-jabr ou aldschebr significa
"restauração, união" ; w'al-mukabalah ou walmakabala significa"confronto".
A grande dificuldade encontrada pelos matemáticos hindus e árabes, era
sem dúvida os números negativos, sendo impossível admitir algo menor que nada.
Baseados sempre no concreto, não se concebia por exemplo: "menos duas
laranjas". Esse problema legaram aos seus sucessores.
E esse legado coube ao matemático italiano Leonardo de Pisa, o
"Fibonacci"( filho de Bonaccio), que viveu de 1170 a 1250. Seu pai era ligado aos
negócios mercantis, o que levou Leonardo a receber parte de sua educação em
Bejaia, norte da África. O interesse pela aritmética despertou logo cedo, devido as
atividades do pai. Aos 27 anos escreveu a primeira obra de Álgebra composta por
um cristão. "Líber Abaci" surgiu dos estudos com os muçulmanos, e somente
limitou-se a transmitir o que aprendera com os árabes.
A sua intenção com esta obra foi impedir "que a raça latina ficasse privada
de tais conhecimentos". Embora tenha ocorrido uma certa resistência por parte dos

11
banqueiros de Florença, que julgavam que os numerais arábicos pudessem ser
falsificados mais facilmente que os números romanos, estes acabaram sendo
aceitos.
De acordo com OLIVEIRA e Silva, destaca-se na obra de Fibonacci a
seguinte afirmação em relação à adoção dos números negativos:
"Este problema não tem solução, a menos que interpretemos a divida como
sendo um número negativo".
As proposições de Leonardo de Pisa foram aceitas nos séculos XV e XVI,
ampliando-se o conjunto de números até então conhecidos.
A Itàlia no século XVI, era um dos maiores centros comerciais do mundo, e
nesse ambiente, espadachins, jogadores de cartas, famosos algebristas se
misturavam pelas ruas de Florença e Veneza. Tinham por hábito fazer debates
públicos, solucionando diversos problemas algébricos demonstrando as suas
descobertas matemáticas.
E o grande desafio era a solução da equação do 3° grau.
Segundo EVES, o maior matemático francês do século XVI foi François
Viete. As suas principais obras: "Logística Speciosa", "De aequationum recogntione
et emendatione" e "In artem analyticam isagoge", iluminaram singularmente os
trabalhos da escola italiana.
Viete nasceu em Fontenay , em 1540, estudou advocacia e foi membro do
parlamento provincial da Bretanha, chegando a jurista da Corte em 1571.
Adversários políticos o afastaram em 1584, quando passou a se dedicar
inteiramente aos estudos de Álgebra.
Na sua obra In artem , foi introduzido o desenvolvimento do simbolismo
algébrico, vogais foram usadas para representar incógnitas e consoantes para
representar constantes. Dessa forma, x2 era indicado por Viete da seguinte maneira:
"E in quad, onde E, indica a incógnita x e in quad significa ao quadrado."
Viete já utilizava os símbolos atuais + e - mas não tinha nenhum símbolo
para a igualdade.
Exemplo de uma equação polinomial :
a
3
+ 5ba
2
- 2ca - d = O
Para Viete a forma de escrevê-Ia seria assim:
B 5 in A quad - C plano 2 in A + A cub aequatur D sólido.

12
o símbolo igual (=) entre as duas quantidades era usado para indicar a
diferença entre elas e não a igualdade.
Em 1594, nos seus últimos anos de vida, Viéte se tornou isolado
cientificamente por travar uma violenta discussão com Clavius, um dos conselheiros
do Papa Gregório XIII, pois era contrário à reforma do calendário.
A álgebra depois de Viéte foi aperfeiçoada por vários outros matemáticos.
Harriot (1560-1621), substituiu as letras maiúsculas por minúsculas. Girard (1595-
1632) estabeleceu o princípio de que uma equação tem tantas raizes quantas
indicar o seu grau.
Descartes em 1637, anexou em sua obra "Geometria", a teoria das
equações algébricas da maneira que ele concebia. Expôs nove regras fundamentais
das quais quatro são destacadas:
18
) Uma equação pode ser formada pelo produto de vários
blnõmios. Por exemplo, se x = 2 e x = 3, teremos x - 2 = O
e x - 3 = O. Donde (x - 2) X (x - 3) = O. Efetuando esse
último produto, obteremos a equação x2 - 5x + 6 = O,cujas
raízes são x = 2 e x = 3.
28
) O grau de uma equação pode ser abaixado se a
dividirmos por um binômio do tipo x - a, onde a é uma das
raízes da equação.
38
) Existem tantas raízes positivas quantos sinais + e -,
alternados.
48
) Trocando convenientemente os sinais dos coeficientes
de uma equação, poderemos mudar os sinais de suas
raízes".(OLlVEIRA e SILVA"p176)
Com este breve relato histórico, percebemos que a matemática nunca
permaneceu estagnada e a maioria dos matemáticos entende que novas
descobertas e transformações ainda estão por acontecer:
E os matemáticos, o que pensam do futuro de sua ciência? A maioria entende que o poço
da matemática é infinitamente profundo e que se poderá continuar sorvendo dele sem
limites. Que a matemática tira sua seiva do suprimento freqüente de problemas não-

13
resolvidos. Que os matemáticos jamais deixarão de tentar resolver esses problemas e que é
dos esforços nesse sentido que a matemática se desenvolve e se renova. Como observou
uma vez Julian Lowel Coolidge, uma das coisas bonitas da matemática é que nunca se
resolve um de seus problemas sem que se criem outros.(EVES,1997,p.695)

14
CAPíTULO 11
O PROFESSOR EM CONSTRUÇÃO: equívocos e certezas.
r
A educação que visa transmitir conhecimentos, com certeza, não percebe o que
seja o conhecimento humano. Conhecer como se dá o processo de conhecimento
faz com que a educação prepare a mente humana para enfrentar o risco
permanente de errar, ao qual estamos constantemente expostos.
Na aprendizagem escolar, com certeza, o erro é inevitável e deve ser
encarado como tentativa de buscar o acerto. O aluno deve ser estimulado a fazer
tentativas construindo uma lógica própria, refazendo o caminho e procurando a
solução.
A missão da escola atualmente é desenvolver em seus alunos todas as
suas potencialidades percebendo que: "O ser humano é a um só tempo físico,
biológico, psíquico, cultural, social, histórico."(MORIN,2001,p.15)
A proposta apresentada pelos Parâmetros Curriculares Nacionais, explicita
que:
(...) o papel da Matemática no ensino fundamental pela proposição de objetivos que
evidenciam a importância de o aluno valorizá-Ia como instrumental para compreender o
mundo à sua volta e de vê-Ia como área do conhecimento que estimula o interesse, a
curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver
problemas. Destacam a importância de o aluno desenvolver atitudes de segurança com
relação à própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos, de cultivar a auto
estima, de respeitar o trabalho dos colegas e de perseverar na busca de soluções. Adotam
como critérios para seleção dos conteúdos sua relevância social e sua contribuição para o
desenvolvimento intelectual do aluno, em cada ciclo.(PCN,1998,p.15-16)
Assim os professores tornam-se os precursores de transformações, que
devem ser operadas através de mudanças de atitudes.
A educação em geral reflete as condições políticas, sociais e econômicas de cada
período. As idéias dominantes ou hegemônicas raramente coincidem com a prática
no sistema escolar.
Segundo DA ROSA (1995), ao professor não cabe mais o papel de dizer: 'faça como
eu faço' e sim 'faça comigo'.
Através do 'faça como eu faço' o aluno estará apenas reproduzindo os
passos seguidos pelos professores, sem desenvolver o seu raciocínio crítico,

15
decorando apenas alguns algoritmos que tornam a escola um mundo irreal, pois não
existe interação com o seu cotidiano.
Neste modelo de ensino o aluno se torna apenas um mero espectador, um
escrivão.
O "faça comigo" faz o aluno coexistir com a cultura, interagindo com o meio
social, travando uma batalha com o novo, reinterpretando o mundo em que está
inserido.
É fundamental que no processo de ensino-aprendizagem, haja interação
entre professor e aluno e através dessa interação, pode-se aproximar as crianças
dos conhecimentos da comunidade, estimulando-os a participarem das
transformações da sociedade em que vivem.
Mudar, com certeza não é fácil, tendo em vista que ainda existem em nosso
país resquícios do autoritarismo que caracterizou a política brasileira entre as
décadas de 1960 e 1980. Nas salas de aula mantém-se esse pensamento com o
propósito de ser estabelecida uma disciplina oriunda desse autoritarismo que não
permite ao aluno expressar-se; quando isso acontece a "indisciplina" passa a ser de
responsabilidade do professor.
Romper com o que está posto, não depende apenas das vontades
individuais e sim de amadurecimentos para transformar o autoritarismo em
humildade, sempre se colocando na condição de aprendiz, para que juntos aluno e
professor possam crescer construindo o conhecimento.
A resistência ainda é maior no tratamento do conhecimento matemático,
onde predomina entre grande parte dos professores, uma visão platônica-formalista.
Na visão formalista, o assunto estudado, estrutura-se da seguinte forma:
a) Define-se conceitos básicos.
b) Novos conceitos são definidos a partir dos básicos.
c) Novas proposições (teoremas) são descobertas e justificadas a partir dos
conceitos já definidos.
Os professores têm uma visão platônica da Matemática. Eles pensam a
Matemática como uma coisa extra-terrestre, como se somente gênios à parte da
humanidade fossem capazes de desenvolvê-Ia e criá-la.(C.B.,1990,p.64)
Esta forma de pensar a matemática dificulta para os alunos abstraírem
significados e idéias matemáticas, bem como perceber sua utilidade prática.

16
o objetivo da matemática é oferecer subsídios para que o aluno possa resolver os
seus problemas do dia-a-dia desenvolvendo o seu raciocínio lógico. A abstração é
estimulada quando o aluno aprende a refletir sobre as soluções encontradas.
Nota-se isso quando é introduzida a simbolização algébrica, havendo nessa
fase do ensino uma ruptura no progresso de determinados alunos, que pareciam até
então, muito capazes por sua habilidade em trabalhar com operações aritméticas.
BOOTH(1984,p.23), escreve que a álgebra é uma fonte de confusão e
atitudes negativas entre os alunos, sendo que uma das razões para que isso
aconteça, é que eles consideram a álgebra difícil, de acordo com estudos realizados
na Inglaterra.
Para descobrir o que torna a álgebra difícil, propõe-se identificar os
principais erros cometidos pelos alunos.
Ainda segundo BOOTH, verifica-se que os erros encontrados no estudo da
álgebra, podem ser observados em alunos de todas as séries.
2.1 - RELATO DE UMA EXPERI~NCIA DE SALA DE AULA
A presente investigação buscou, na análise do processo de ensino das
equações do 10
grau as manifestações dos alunos frente às questões propostas pelo
professor, buscando analisar a partir da observação as compreensões, e adequação
dos procedimentos metodológicos utilizados pelo professor.
Para tanto apresentamos o relato das experiências em sala de aula,
desenvolvidas com os alunos da 68
série do Colégio Estadual General Osório-Ensino
Fundamental e Médio. As aulas ministradas serão descritas bem como as respostas
dadas pelos alunos.
A prática será então refletida buscando identificar as questões estruturais,
nas dimensões metodológicas e psicológicas do processo de ensino e
aprendizagem das equações do 10
grau, que possam estar contribuindo para as
dificuldades apresentadas pelos alunos.
Foram observados os alunos da 68
série A do Colégio Estadual General
Osório, uma turma com quarenta alunos com freqüência regular às aulas durante o
período matutino.

17
Eram alunos agitados, e a sala em relação ao número de alunos era
pequena, dificultando assim o trãnsito da professora entre as carteiras. O clima às
vezes se tornava hostil, pois pela proximidade dos alunos, a agressividade, tanto
verbal quanto física era urna constante, havendo assim uma certa dificuldade para
conseguir a atenção de todos, e conseqüentemente obter bons resultados no
processo ensino - aprendizagem.
Preparei-me então para desenvolver o estudo sobre equações, onde optei
por iniciar a introdução do cálculo algébrico com um breve relato histórico do
surgimento da álgebra, pois acredito que assim os alunos compreendem que nada
surgiu de um "passe de mágica". Utilizei a seguinte fala:
"A partir de um certo momento na Antigüidade surgiu a necessidade de
substituir números por letras. Foi AI-Khowarismi, por volta de 825, o primeiro
matemático a escrever uma obra, envolvendo o uso de letras em expressões
aritméticas".
VIÉTE foi conhecido por alguns historiadores como o "pai da álgebra", pois
ele introduziu a álgebra no Ocidente por meio de sua obra denominada "Álgebra
Speciosa".
O primeiro passo dado por VIÉTE foi representar sempre a incógnita de uma
equação através de uma vogal, surgindo assim à criação de uma álgebra puramente
simbólica, pois para VIÉTE, decifrar códigos era o mesmo que resolver equações.
Na seqüência destaquei:
"As sentenças matemáticas que apresentam elementos desconhecidos
(variáveis ou incógnitas) são chamadas sentenças abertas".
Ex: x + 10 = 14 e x - 5 < 2y são sentenças abertas, sendo x e y as variáveis.
As sentenças que não possuem variáveis ou incógnitas são sentenças
fechadas.
Ex: 7 + 5 > 4 + 1 7. 6 = 42 " são sentenças fechadas" .
Logo a seguir lancei situações problemas que deveriam ser resolvidas
utilizando variáveis, como por exemplo:
Dado um campo de futebol de comprimento (C) e largura (L), qual o
perímetro e a área do campo.
P = 2C + 2L
A=C. L

18
Escolhi esse exemplo por se tratar de algo conhecido, pois o futebol se
tornou popular para ambos os sexos, e com certeza todos os alunos já puderam
contemplar um campo de futebol.
Atribuímos valores para as variáveis, analisando juntos as respostas
encontradas, verificando as possibilidades de campos de futebol com aquelas
dimensões. Nos exemplos fiz questão que eles percebessem a variação das
dimensões, pois a cada valor atribuído para o comprimento, a largura variava e vice-
versa. Demonstrando desta forma que as letras nessa situação representavam
variáveis. Aproveitei a situação problema para destacar a diferença entre área e
perímetro, pois muitos confundiam.
"Calcular a área do campo, era a quantidade de grama, e o perímetro os
riscos pintados de branco que contornava o campo de futebol".
Até este ponto, não.ocorreram maiores dificuldades e a turma correspondeu
satisfatoriamente, participando através de comentários, opiniões e questionamentos.
Com a turma motivada introduzi a equação do 1° grau, enfatizando a
igualdade, explicando que uma incógnita é o valor que torna uma sentença
verdadeira, é a raiz da equação.
Foram apresentadas algumas equações e alguns valores aos alunos os
quais eram substituídos por incógnitas onde eram verificadas as igualdades.
Como por exemplo:
Dado o conjunto U={O, 1, 2,3} quais dos elementos são raízes da equação
abaixo.
x-2=0
Para x = O O - 2 = O
Para x = 1 1 - 2 = O
Para x = 2 2 - 2 = O
Para x = 3 3 - 2 = O
-2 = O (F)
-1 = O (F)
0= O (V)
1 = O (F)
Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = O
Até esse ponto a turma conseguiu assimilar as questões propostas sem
maiores problemas.
Nesse momento achei conveniente sugerir que eles calculassem o número
desconhecido, a raiz da equação sem ser dado um conjunto universo.

19
Como exemplo:
Calcule o valor desconhecido que torna sentença verdadeira.
x + 8 = O
Dos quarenta alunos, dez mais ou menos conseguiram descobrir a
resposta, os outros encontraram grande dificuldade por ser valor negativo (-8).
A grande maioria resolveu a equação da seguinte maneira:
8 - 8 = O a resposta obtida foi (8)
Quando a equação não apresentava uma raiz negativa, como no exemplo
acima, os alunos não encontravam dificuldades em encontrar a resposta.
Novamente percebi uma questão, já observada em outros alunos de outras séries,
onde era questionado o valor da incógnita que no caso era x, existia uma
unanimidade em responder que o valor de x era 1.
Além das raizes negativas, constatei mais uma dificuldade, quando os
exemplos compreendiam raízes no campo dos racionais.
]
x--=o
2
1
x=-
A resolução 2 não foi encontrada por nenhum dos alunos, denotando
assim a insegurança com subtrações e adições com frações.
No exemplo: 2x - 5 = 1, as dúvidas apresentadas foram até maiores, pois
sem o sinal de multiplicação, os alunos não compreenderão que o coeficiente 2
estava multiplicando a incógnita,(2.x - 5 = 1). A outra dificuldade apresentada surgiu
através do sinal de igualdade, pois até então todos os outros exemplos foram
colocados nas equações sempre resultando zero.
A equação para ser solucionada necessitava encontrar um número que
multiplicado por dois e subtraído de cinco originasse um.
Houve uma certa precipitação da minha parte demonstrando a resolução
das equações através das operações inversas.
1
x--=o
10
exemplo: 2

20
Para achar o valor da incógnita (x) teríamos que isolá-Ia efetuando as
1
operações inversas. O valor 2 está no 10
membro da equação subtraindo, passará
para o segundo membro adicionando.
1
x=o+-
2
I
x=-
2
20
exemplo: 2x - 5 = 1
2x=5+1
2x = 6
Neste último passo ocorreu mais uma dificuldade, os alunos concluíam que
a equação já estava solucionada, desprezavam o coeficiente (2), pois segundo eles,
tinham conseguido "achar o valor de x", não importava que era um, dois, três, x.
Nesse ponto a interferência da professora se fazia necessário,
demonstrando que a equação ainda não estava resolvida.
No exemplo acima, se duas vezes o x é igual a seis, então a raiz da equação
só poderia ser a metade de seis, que resultava 3.
Nos outros exemplos que se seguiram, as mesmas dificuldades foram
apresentadas.[FM 1].
Recorri o auxílio da "balancinha", material didático muito usado para o
ensino de equações. Desenhei no quadro uma balança de dois pratos, colocando a
seguinte situação problema:
"A balança está equilibrada e os dois queijos têm pesos iguais. Quantos
quilogramas tem cada um?"

21
r
A solução da situação problema é encontrar o peso de cada queijo, dessa
forma utilizei a letra (q) como incógnita.
Um queijo = q
Dois queijos = 2. q
O que está num dos prato~ 2. q + 6kg.
O que está no outro prato c} 14kg
A equação estaria formada dessa maneira:
2q + 6 = 14
Para descobrir o peso dos queijos, eu tiraria os 6kg dos dois pratos para
poder manter a balança em equilíbrio:
2q + 6 -6 = 14 - 6
2q + O = 8
2q = 8
Se os dois queijos têm pesos iguais à 8kg, e cada um deles tem o mesmo
peso, então quanto pesa cada queijo?
Dividiremos por dois:
2q 8
-=-
2 2
Cada queijo tem o peso de 4kg.
O exemplo foi interessante, mas fui surpreendida por uma pergunta.
"Professora essa balança existe?"(Aluna Jéssica,da 68
A /2000)
Respondi que muitos não a conheciam, pois em quase todos os
estabelecimentos comerciais ela foi substituída por balanças eletrônicas.
Aproveitei o exemplo para expor o princípio aditivo das igualdades:
"Adicionando ou subtraindo um mesmo número aos dois membros de uma
equação, obtemos uma equação equivalente à equação dada".
Nas balanças, podemos acrescentar pesos iguais nos dois pratos, sem
alterar o equilíbrio. Da mesma forma nas equações, somando ou subtraindo um
mesmo número dos dois lados, mantemos a igualdade.
x - 6 = 10
x - 6 + 6 = 10 + ~ Adicionamos 6 unidades a cada membro
x = 16
A substituição do valor que encontramos para a incógnita era feita.
16-6=10

22
10 = 10
Princípio multiplicativo das igualdades:
"Multiplicando ou dividindo os membros de uma equação por um mesmo
número diferente de zero obtemos uma equação equivalente à equação dada".
Não alteramos a igualdade ao multiplicar ou dividir os dois lados por um
mesmo número.
3x = 27
3x 27
-=-.3 3 dividimos cada membro por 3
x=9
Fazendo a verificação:
3.(9) = 27
27 = 27
Outro exemplo:
~=8
5
Neste exemplo fiz alguns questionamentos sobre de que forma poderlarnos
resolver essa igualdade.
Que número dividido por cinco resulta 8?
Como eles começariam resolver esta equação?
Os que se arriscaram a responder disseram que a divisão de ambos os
lados deveria ser por 8, outros afirmaram que o mínimo múltiplo comum era a
solução.
Sugeri então que tentassem a resolução:
Quem se atreveu dividir por 8, já no começo desistiu da tentativa, pois a
divisão da fração por outro número pareceu sem lógica.
Ys 8
-=-
8 8
A segunda opção tornou-se mais atrativa, mas muito poucos se
aventuraram, pois o mínimo múltiplo comum, não era dominado por todos.
x 8.5
-=-
5 5

23
x 40
-=-
5 5
A interferência da professora era necessária, pois a borracha entrava em
ação, e o descontentamento era geral.
Os dois lados estavam sendo divididos por 5 dessa forma a equação já
estava equilibrada, os denominadores poderiam ser eliminados.
x = 40
Retomamos para as aplicações dos princípios aditivos, através da equação:
x-3=6
Adicionando 3 unidades a cada lado da equação, obteremos
x- 3 +3 = 6 + 3
x-0=6+3
x=6+3
x=9
Verifique que o termo -3 ao mudar de lado, trocou o sinal.
"E possível passar (ou transpor) um termo qualquer de um lado para outro,
desde que troquemos o sinal desse termo".
Exemplos:
1Ox= 30 - 5x transpor para o 1° membro o termo 5x.
10x = 30 -5x
10x + 5x = 30
Na equação 6x + 5 = 23, transpor para o 2° membro o termo 5
6x + 5 = 23
6x = 23 - 5
Nos exemplos acima demonstramos a transposição dos termos.
Verificamos uma segunda aplicação do princípio aditivo, a redução da
equação do 1° grau à forma ax = b
"Essa redução consiste em transpor para o 1° membro os termos que
contém a variável e para o 2° membro os que não contém a variável. A seguir
reduzir os termos semelhantes nos dois membros".
Exemplos:
Reduzir a equação 3x - 5 = x + 7 à forma ax = b.
3x - 5 = x + 7
3x - x = 7 + 5

Reduzir a equação 6x - 4 = ax +( - zx a rorrna ax = D.
6x - 4 = 3x + 7 - 2x
6x - 3x + 2x = 7 + 4
5x = 11
As aplicações do princípio multiplicativo vieram na seqüência:
18
aplicação: simplificação da equação
2x = 10
Dividindo os dois lados a equação por 2, obtemos:
2x 10
-=-
2 2
x=5
"Dividindo os dois membros de uma equação por um mesmo número,
diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada".
28
aplicação: eliminação de denominadores de uma equação
5x 15
-=-
4 4
Multiplicando os dois lados da equação por 4, obtemos:
4. 5x = 4.12
4 4
5x ~ 15
Elimine os denominadores da equação abaixo:
x 1 2x 11
-+-=---
6 6 6 6
Multiplicando os dois lados da equação por 6, obtemos:
6{i+i)=6{2; _161)
6.~+6.!=6.2x -6.!!.
6 6 6 6
x + 1 = 2x -11
"Se todos os termos de uma equação têm o mesmo denominador, estes
podem ser cancelados".
A terceira aplicação a ser mencionada foi à troca de sinais dos termos de
uma equação, como no exemplo a seguir:
-7x = 56

25
Multiplicando ambos os membros da equação por (-1):
(-1). -7x = (-1).56
7x = -56
Dividindo ambos os membros por (7):
7x -56
-=--
7 7
x=-8
"Podemos trocar os sinais de todos os termos de uma equação, pois isso
equivale a multiplicar ambos os membros por -1".
Os exemplos com as balanças novamente foram colocados:
Esta balança esta equilibrada. Escreva a equação que corresponde a cada
figura e calcule o valor de x.
a)
3x 15 9
3x + 12 = 15 + 9
3x + 12 = 24
Sem apresentar dificuldades a grande maioria conseguia chegar até este
ponto, a partir daqui, iniciava-se os problemas.
Eles sabiam que teriam que equilibrar a balança, mas a dúvida era o que
tirar primeiro. O número 12, 24 ou o 3x.
Para manter o equilíbrio e encontrar o valor do x, só poderia ser tirado o que
existia dos dois lados, como no exemplo: x só estava em um lado, 24 também, e o
12?
Dessa forma eles concordavam que dos dois lados só estava o 12.

26
sx = 24 -12
3x = 12
Mais uma situação foi proposta:
b)Construa uma balança na qual 3 tabletes iguais de margarina, mais um pacote de
manteiga de 250 g, equilibram 700g de queijo.
Na construção sem problemas:
~ ~
r
/
3 m + 250 = 700
3m + 250 - 250 = 700 - 250
3m = 450
3m 450
-=-
3 3
r--.
m = 150
---
Na resolução também não houve problemas, havendo satisfação por parte
da professora que concluiu que o conceito havia sido "assimilado".
Seguiram então os exercícios:
"Resolva as equações".
5x - 9 = - 8
"Professora como é que vamos construir uma balança com menos 8".
"A equação mostra que já foi tirado 8, dessa forma para equilibrar a equação temos
que colocar os 8 que foram tirado".
5x - 9 + 8 = -8 + 8
5x - 1 = O
A igualdade agora confundia ainda mais, alguns opinaram que deveriam somar o
zero em ambos os lados, mostrando o desconhecimento do elemento neutro na
adição.
A sugestão foi que deveria ser a adicionado o 1.
5x -1 + 1 = 0+1
5x = 1

27
A continuação ficou por parte dos alunos, e foi observada a insegurança na
divisão, pois a resposta foi:
x=5
As outras resoluções deixei por conta dos alunos, apenas observando a
forma como eram resolvidas e anotando os erros ainda apresentados.
3x + 17 = 11
3x +17 +11
3x +28
x+28/3
O sinal de igualdade era desprezado.
10x - 8 = 2x
1Ox + 2x = +8 x = 8 x = 1
Tornava-se mais fácil perguntar para o colega a resposta, mesmo sem
saber qual era.
9x = 7x + 1
9x -7x = 1
2x = 1
x = 2/1
x=2
Na divisão, o valor maior é dividido pelo valor menor.
x + 2 = 13
x=2-13
x = - 11
9x = 7x + 1
9x = 7x = 1
A ênfase no sinal de igualdade.
2x + 6 = 13
8x = 13

28
Adicionando sem considerar a incógnita.
Passaram-se dez aulas, e infelizmente, não posso afirmar o que meus
alunos aprenderam sobre equação do 1° grau.
Com esse relato, não quero expor os erros dos alunos e sim a partir daí
fazer uma reflexão das falhas no processo de ensino/aprendizagem. Pois acredito
que o erro é essencial e faz parte do processo, e o primeiro passo é admitir o erro e
buscar as possíveis soluções.

29
CAPíTULO 111
OS ATORES NA SALA DE AULA
3.1- REFLETINDO SOBRE A PRÁTICA
Refletindo sobre o encaminhamento adotado para o estudo da equação do
10
grau, percebo que há pressa por nós professores em cumprir com o programa
escolar, priorizando a quantidade e não a qualidade dos conteúdos trabalhados. A
precipitação impede a construção do conhecimento pelo aluno. Geralmente os
alunos, não sentem-se estimulados a aprender, já que as informações são
"transmitidas" pelo professor e não têm relação com a matemática do dia a dia,
tornando o estudo da matemática desestimulante. Os conteúdos são apresentados
valorizando-se a resolução mecânica, com simples aplicação de fórmulas e
processos operatórios.
Aquilo que para o professor é óbvio, em muitos casos não é para seus
alunos, tornando impossível a aprendizagem através de um processo de ensino que
se baseia em transmissão. É necessário, portanto, que o professor procure partir do
conhecimento e da vivência prática de seus alunos como forma de tornar mais
significativa a construção do conhecimento.
Um problema só existe quando o aluno for levado a interpretar a questão
estruturando e contextualizando a situação apresentada.
Segundo, IMMENES e LELLlS, os alunos brasileiros em quase a sua totalidade,
"aborrecem-se muito e aprendem pouco".(1994,p.5)
De acordo com as observações realizadas junto aos alunos, inicio os comentários
enfatizando as dificuldades apresentadas por quase a totalidade dos alunos
envolvidos no trabalho, que acreditam ser a divisão entre dois números, sempre o
maior dividido pelo menor. Talvez isto ocorra devido a boa intenção do professor
das séries iniciais em facilitar para o aluno sugerindo exemplos, onde o número
maior sempre seja dividido pelo menor. Esse erro de conceituação em aritmética foi
percebido nos alunos nos exemplos das equações:
2x = 1·
2
x=-
1 x = 2

30
Segundo (KIERAN, 1995,p.104), a álgebra é chamada de "aritmética
generalizada". Sugerindo que como as operações aritméticas, que contém um
símbolo de adição (+) entre duas parcelas, sejam somadas:
5+4=9
Em álgebra o seu significado muitas vezes não é o mesmo:
2x + 5 = 13, o símbolo (+) não significa que os termos numéricos dados no
primeiro membro, 2 e 5, devam ser adicionados. O símbolo de adição dessa
equação significa que devemos subtrair 5 de 13. Dessa forma os símbolos
operatórios de uma equação não indicam necessariamente as operações a serem
efetuadas.
Os professores não tem o hábito de contextualizar uma situação problema,
gerando a dificuldade dos alunos em entenderem as seqüências operatórias.
Parte da dificuldade dos alunos em simplificar expressões, diz respeito à
interpretação do simbolo operatório. Em aritmética os simbolos da adição (+) e o
símbolo de igualdade (=), significam as ações a serem efetuadas, de forma que
(+) significa realizar a operação, e (=) significa escrever a resposta. Neste contexto,
notou-se que as crianças consideram o sinal de igualdade como símbolo
unidirecional que precede uma resposta numérica. O sinal de igualdade é
considerado apenas como: "Qual a resposta?" E não como indicador de uma relação
de equivalência.
"Analogamente, é preciso acentuar o valor bidirecional do símbolo de
igualdade, tanto se exigindo a leitura adequada do símbolo (por exemplo, "é igual a"
em vez de "dá", como em "2 mais 3 dá 5"), como proporcionando aos alunos
experiências com expressões da forma 5 = 2 + 3 (bem como 1+4 = 2 + 3,
etc.)".(BOOTH, 1997, p.29)
As dificuldades apresentadas foram atribuídas apenas à álgebra, mas ela
não é isolada da aritmética, de forma que se as relações e procedimentos
aritméticos não forem reconhecidos, ou se os alunos tiverem concepções erradas,
seu desempenho em álgebra poderá ser afetado.
Ao detectar tais problemas, volto minhas reflexões quanto aos procedimento
docente adotado.
Percebo que a forma utilizada para iniciar a equação do 1° grau, utilizando
um relato histórico foi muito estimulante, pois a matemática para os alunos não é
encarada como um conteúdo isolado das outras disciplinas e como tudo surgiu de

31
necessidades da raça humana . Os professores por sua vez, tem que estar melhor
preparados para responder as perguntas que porventura surjam , para que o
assunto flua com maior segurança.
A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino
e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação
humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, .ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos
matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno
desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse
conhecimento.(P.C.N.,1998,pg42)
Para abordar certos conteúdos não fazemos um levantamento dos quais se
fazem necessários, e a seqüência do livro didático nos parece a mais acertada, as
sentenças abertas e sentenças fechadas, são mencionadas e, ao meu ver, não
alterariam o aprendizado se não o fossem. Por outro lado, incógnita e variáveis
deveriam ser melhor explicadas para que futuramente não ocorram confusões que
são percebidas em alunos de séries mais adiantadas, e acredito que muitos
professores ainda não diferenciem variáveis de incógnitas.
Comecei falando de variáveis e passei para incógnitas como se as variáveis
não existissem mais, e também até o final de conteúdo de equação do 10
grau não
retomei mais.
Na experiência citada no capitulo anterior, não houve grande contribuição
para que a diferença tenha sido notada, pois utilizei apenas um exemplo, que foi a
do campo de futebol. Deveria ter investido em outros exemplos para poder
esclarecer a diferença da incógnita e da variável.
Às vezes eu me questiono se eles entenderam o exemplo dado de área e
perímetro, pois através de uma brincadeira feita com uma aluna de outra série, onde
ela me respondeu que área é apenas a área do gol.
Quanto aos termos matemáticos que são usados freqüentemente em nossas
aulas, com certeza a maioria deve fazer sentido apenas para os professores de
matemática, onde falamos em raiz de uma equação, não havendo clareza por parte
dos alunos. Será que para eles o termo raiz lembra apenas uma das partes de uma
árvore?
Outros termos que são utilizados quando introduzimos a equação do 10
grau: termos semelhantes, que alguns professores dão como sinônimos,"bananas e
laranjas", para demonstrar .que não se pode somar x com y, e onde os alunos
insistem em fazer salada de frutas.

32
Membros, termo usado para designar as partes da equação, mas até então
para os alunos tinha apenas significado como pernas e braços, também pênis.
Os professores determinam que já esgotou o tempo de determinados conteúdos e
passam para outro com muita facilidade, sem fazer um levantamento se para o aluno
o assunto já fazia sentido.
As situações problemas com certeza seriam mais atraentes como incentivo
para lançar o conteúdo do que investir em um conjunto universo, que não era tão
universo assim pois s6 existiam quatro números, onde os alunos mecanicamente
substituiriam os valores para verificar as respostas obtidas que não faziam sentido
algum.
Já no primeiro exemplo, no qual foi proposto a seguinte equação: x + 8 = 0,
os alunos demonstraram desconhecimento dos procedimentos que exigem
estruturas prévias já construídas tais como: reversibilidade, comutatividade e
correspondência biunívoca.
Exemplo 1 (estado final desconhecido)
Tenho 9 balas e ganho 5. Com quantas fico?
Tenho 9 balas. Dei 5 para meu irmão. Com quantas fico?
o
[] ~D
O sentido de ganhar ou perder nesta estrutura de problema , utilizando a
adição e subtração , articulando a resolução com a compreensão do Sistema de
Numeração Decimal.
- Exemplo 2 (valor da transformação do elemento desconhecido)
Tinha 8 balas. Ganhei algumas. Fiquei com 11. Quantas ganhei?
Tenho 8 balas. Perdi algumas. Fiquei com 5. Quantas perdi?

33
Os procedimentos adotados nas resoluções para os problemas acima
propostos podem ser: complemento da diferença ou hipotético. Através do
procedimento do complemento soma-se até atingir 11, ou subtrai-se até atingir 5
pode-se lançar hipóteses e corrigi-Ias ao final. O procedimento da diferença consiste
em obter o valor da transformação através da diferença entre os estados inicial e
final, não é evidente e não tem o mesmo sentido de ganhar ou perder.
Exemplo 3 : ( estado inicial desconhecido) procedimentos do complemento ou da
diferença.
Helena acaba de encontrar R$ 4,00. Colocou em sua bolsa e ficou com R$ 11,00.
Quanto ela tinha inicialmente?
Helena tinha alguns trocados Deu a sua amiga R$ 4,00. Ficou com R$ 7,00.
Quanto ela tinha?
Os problemas podem ser resolvidos pelos procedimentos do complemento ou da
diferença. O procedimento do complemento exige a comutatividade, já o
procedimento da diferença exige a relação inversa, isto é, para percorrer o caminho
de volta devo inverter a relação: se ganhei na ida, devo perder na volta.(Anexo 1)
Nos exemplos seguidos durante as aulas, a compreensão do significado dos
números racionais constituíram uma das dificuldades apresentadas pelos alunos
pois geralmente não compreendem uma das idéias presentes nos números
racionais, que é a divisão, onde todos os numeradores são considerados dividendos
e os denominadores divisores.
Os exemplos devem ser cuidadosamente escolhidos, pois talvez os alunos
confundam ainda mais o conteúdo a ser aprendido, pela quebra de seqüência de
construção .
A confusão gerada pode ser evitada se o professor tiver em mente o objetivo
que se quer atingir , na equação do 10
grau grande parte da confusão poderia,
talvez, ser evitada se a seqüência fosse alterada e as balancinhas fossem trazidas
desde o inicio do conteúdo. Como elas estão em fase de extinção, poderiam talvez

34
ser construídas pelos próprios alunos, e a partir delas vivenciar o conceito de
equação do 10
grau, ao buscar o equilíbrio entre os pratos.
Visualmente os alunos certamente perceberiam a necessidade da
mudança de sinal. Na teoria quando usamos o termo, transpor para explicar a
mudança de sinal, esquecemos que podemos causar confusões, pois logicamente
quando alguma coisa é transportada de um lugar para o outro, ela apenas muda de
lugar, mas continua sendo a mesma coisa. Já nas equações isso não ocorre pois
por exemplo 3 e -3(simétricos) , são valores diferentes.
Como os alunos não tem o conceito dos números racionais bem formado,
qualquer número pode ser denominador, no entanto o zero, não poderá ser usado
como denominador, isto porque:
a/b a : b = c c . b = a, logo se b for igual a zero não se estabelece a relação
c. b = a . Assim, 6 : O=? (Qual o número multiplicado por zero resultará 6 ?).(Anexo
2)
o zero ainda é um número que causa muita confusão entre os alunos, pois
poucos alunos entendem a sua neutralidade. Ele atua como elemento neutro na
adição, na subtração, isso é compreendido pela maioria dos alunos, mas na
multiplicação e divisão, causa sempre discussão, pois para eles todo número esta
sendo dividido pelo zero e não por um. (Anexo 3)
Nos enganamos quando achamos que os objetivos propostos para uma
aula foram alcançados quando julgamos os resultados a partir de algumas
respostas certas, dadas por determinados alunos. Em uma sala de aula é importante
que estejamos atentos com a reação de todos os alunos, pois cada um possui uma
"maneira" e um "tempo" diferente para formar determinado conceito.
Hoje com esta análise sobre os procedimentos adotados, penso que muitas
questões precisam ser repensadas na proposta de ensino das equações do 10 grau.
Prioridade que precisamos resgatar no processo de ensino/aprendizagem é a
"compreensão" em todos os níveis educativos,por isso a necessidade em
estudarmos as "incompreensões" que ocorre durante as nossas aulas, buscando as
suas origens e seus efeitos.
"O problema da compreensão tornou-se crucial para os humanos. E, por
esse motivo, deve ser uma das finalidades da educação do futuro."(MORIN, 2001,
p.93)

3.2 - A ESTRATÉGIA
35
o crescimento do professor está em admitir os seus erros e com isso ter a
coragem de assumir e a humildade de procurar sanar as suas dificuldades em prol
dos seus alunos.
Como foi relatado no segundo capítulo as expenencias que adquiri em
minhas aulas ao trabalhar as equações do 1° grau em uma 68
série do Ensino
Fundamental, percebi que a falta de conhecimentos prévios dificultaram a
compreensão quanto ao conteúdo apresentado.
Devido a isto, resolvi propor alguns procedimentos que possam amenizar as
dificuldades encontradas no estudo da equação do 1° grau.Entre esses
procedimentos posso citar:
* Propor situações que estimulem a reversibilidade, comutatividade e
correspondência biunívoca
Iniciar o conteúdo lançando situações problemas, envolvendo incógnitas e variáveis,
estimulando a curiosidade dos alunos para a solução do problema.
Propor situações em que a variável varie.
Com os alunos envolvidos no problema, contextualizar o surgimento das equações
valorizando o seu espaço histórico em relação ao passado.
Construir junto com os alunos uma balancinha , de forma que cada um possua e
manuseie a sua balança. Exemplo:
•

36
Material utilizado:
duas tampas plásticas do mesmo tamanho,ou pratinho de vaso de violeta;
um prego;
ganchinhos;
um pedaço de ripa de madeira fina, medindo aproximadamente 50cm.
Um pedaço de madeira mais largo para o apoio da balança;
Um pedaço de madeira em forma de prisma quadrangular par o pé da balança
pedaços de barbante.
Como utilizar:
Para trabalhar com a balancinha pode-se utilizar bolinhas de gude.
Vejamos o seguinte encaminhamento:
Exemplo 1:
Colocar em um dos lados da balança 6 bolinhas de gude, e do outro lado
uma bolinha de gude e um pacote que não seja transparente contendo um
determinado número de bolinhas , de maneira que a balança fique em equilíbrio,
lançando a seguinte pergunta: quantas bolinhas há no pacote?
Para o aluno resolver esta situação problema , ele deve perceber; a razão
pelo qual o equilíbrio da balança continua, deverá retirar a bolinha que esta junto
com o pacote, e dessa forma retirar do outro lado também uma bolinha, concluindo
que no pacote só poderá existir 5 bolinhas .
•

x + 1
x + 1-1
37
= 6
= 6-1
5x =
Com situações como esta estaremos iniciando o caminho para a compreensão do
principio aditivo.
Exemplo 2:
Colocar em um lado da balança 8 bolinhas e do outro dois pacotes com o
mesmo número de bolinhas em cada um. Como a balança está em equilíbrio, para
saber o número de bolinhas de cada pacote, o aluno deverá retirar um pacote e uma
quantidade de bolinhas do outro para continuar equilibrada. Dessa forma será fácil
para o aluno perceber que existem dentro do pacote 4 bolinhas. E ao mesmo tempo
ele perceberá que retirou a metade de ambos os lados .
•
2x = 8
2x 8
- -
2 = 2
x = 4

38
Com situções como esta estamos iniciando o caminho para a compreensão
do princípio multiplicativo.
Exemplo 3:
Colocar 3 pacotes de bolinhas em um dos pratos e no segundo colocar 8
bolinhas e também mais um pacote. A balança mantém-se equilibrada e o aluno
terá mais um desafio para solucionar o problema.
Se retirarmos somente as bolinhas, continuaremos sem concluir o resultado.
Para manter o equilíbrio tiraremos um pacote de bolinhas de cada lado. Se dois
pacotes são iguais a 8 bolinhas, então como no exemplo anterior , cada pacote
contém 4 bolinhas.
•
3x = x + 8
3x -x = x - x + 8
2x = 8
2x 8
- -
2 = 2
x = 4
Princípios aditivo e multiplicativo.

39
Podem ser trabalhados outros exemplos, pois o ideal é que os alunos
descubram várias formas de utilizar a balancinha , e a partir dessas descobertas,
despertar a curiosidade para resolver certas situações problemas. Podemos sugerir
que eles descrevam matematicamente o que acontece nos exemplos acima.
Exemplo 1: 1pacote mais uma bolinha é igual 6 bolinhas
Matematicamente: 1p + 1 = 6
Retirando 1 bolinha de cada lado: 1p + 1 -1 = 6 - 1
1p = 5
Exemplo 2 : 2 pacotes são iguais à 8 bolinhas
Matematicamente: 2p = 8
Retirando 1 pacote e a mesma quantidade de bolinhas do outro lado.
Dividimos por 2 ambos os lados.
2p 8
-=-
2 2
p=4
Exemplo 3 : 3 pacotes são iguais a 1 pacote mais 8 bolinhas
Matematicamente: 3p = 1P + 8
Retirando 1 pacote de cada lado:
3p - 1P = 1P - 1P + 8
2p = 8
Retirando 1 pacote e a mesma quantidade de bolinhas do outro lado, teremos:
2p 8
-=-
2 2
p = 4 (Anexo 4)
Há entre os professores de matemática uma certa resistência ao
uso de calculadoras pelos alunos durante as aulas, sob a alegação de que o
raciocínio do aluno poderia ser prejudicado. Entretanto a utilização deste recurso
possibilitaria ao aluno a compreensão e a verificação dos resultados, propiciando a
este corrigir os seus próprios erros.

40
Um dos aspectos relevantes da calculadora é a compreensão dos números
racionais, reforçando que a fração é um quociente, que o traço de fração é símbolo
de agrupamento e que a divisão por zero é uma operação impossível. Pois, se o
denominador da fração significa por quantas partes está havendo a divisão, quando
este for zero, é sinal que não ocorre uma divisão.
* Também é importante tornar claro para os alunos que:
Incógnita é um termo usado para se descobrir o valor desconhecido, ou então
popularmente o "xis" da questão.
Variável é muito confundida com incógnita, pois muitos professores de matemática
não diferenciam uma da outra. Variável não é apenas um valor desconhecido, as
letras representam números quaisquer e o valor dessas letras podem variar. Por
exemplo: 5ax , dependendo do valor que for dada par a ou x o valor da expressão
sempre vai variar.
Membro: Se utilizarmos a palavra lado, com certeza não afetaria o aprendizado do
conceito de equação e evitaríamos alguns constrangimentos em sala de aula.
Exemplo:
-+ 12X + 1 I = I x + 5 I
1° membro
•
2° membro
•antes do sinal
de =
depois do sinal
de =
2x + 1 - 1 - x = x - x + 5 - 1
2x - x = 4
x = 4 tudo o que fazemos antes do sinal de
= devemos fazer depois do sinal de
= para manter a igualdade.

41
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A proposta desta pesquisa deu-se ao observar a grande dificuldade que os
alunos demonstram ao resolver a equação do 10
grau.Denotando dessa forma que o
conceito de equação para muitos deles passa desapercebida.
Os relatos históricos sobre o surgimento das equações e as maneiras pelas
quais eram resolvidas nos auxiliaram para melhor compreender o envolvimento da
humanidade com as equações.
No decorrer do trabalho através de uma investigação feita com os meus
alunos da sa série A do Colégio Estadual General Osório do ano letivo 2000, pude
perceber que a dificuldade da concepção da equação do 10
grau parte tanto do
aluno quanto do professor. Pois os conhecimentos prévios relacionados com a
equação do 10
grau não são dominados pela grande maioria dos alunos, e a pressa
de alguns professores em vencer o conteúdo programado, demonstra a preferência
pela quantidade e não pela qualidade do ensino.
Percebi também que se o professor procurar trabalhar de uma maneira
diversificada com seus alunos, obterá um melhor êxito no desenvolvimento e na
resolução da equação, podendo assim chegar a uma abstração.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais: "O estudo da Álgebra
constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite
sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição
de uma poderosa ferramenta para resolver problemas." (1998 p.115)
Entretanto, o que se observa é que os professores preocupam-se mais em
transmitir um conhecimento, mecanizando a aprendizagem e desprezando as
situações problemas relacionadas ao cotidiano vivenciado pelos alunos.
Conscientes destas ações já fracassadas, os professores precisam criar
formas de trabalho mais atraentes para as suas aulas e principalmente, tratando-se
da equação do 10
grau, procurar tornar o conteúdo mais acessível para o aluno.
Com esse tipo de trabalho, acredito que possamos atingir um grande
objetivo, ou seja, que os alunos tenham melhor aproveitamento possível com relação
aos conteúdos, e não uma maior quantidade de conteúdo adquiridos durante um ano
letivo. Mas que tudo isto depende da boa vontade e disponibilidade do professor, em

42
tentar sair da sua rotina de trabalho, buscando sempre uma nova estratégia para
atingir a maioria dos seus alunos, ao desenvolver um conteúdo.
Sem dúvida, é de grande importância as interferências dos professores na
compreensão da resolução da equação do 10
grau. Pois cabe a eles a organização
dos conteúdos, identificando conceitos e atitudes realmente importantes, que
contribuam para o desenvolvimento intelectual, estimulando a criatividade e as
análises críticas dos seus alunos.
Em nossa prática docente cometemos muitos erros, e geralmente não
conseguimos detectá-Ios, pois os alunos só são nossos em determinadas séries, por
um curto espaço de tempo e depois não os acompanhamos mais . Mas, se
começarmos a olhar para eles com olhos de investigadores, poderemos perceber
falhas contidas em suas compreensões, muitos conceitos equivocados, e, que com
um pouco de habilidade e sensibilidade podemos ajuda-Io a sanar tal dificuldade.
Quando iniciei este trabalho estava muito ansiosa pois queria responder a
pergunta: Por que os alunos não conseguem resolver as equações do 10
grau?
Descobri que é uma resposta muito difícil de encontrar, pois o assunto é muito
complexo e muitas dificuldades ainda precisam ser levantadas e discutidas.
Portanto, faz-se necessário continuar esta investigação pois apenas
iniciamos algumas reflexões, as quais nos auxiliaram muito em nossa prática
pedagógica, lembrando que o conhecimento está sempre em construção e
dificilmente será considerado pronto e acabado.

43
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BAUMGART, John K. Tópicos da História da Matemática para uso em sala de aula.
São Paulo: atual, 1993
BOOTH, Lesley R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In---. AS
IDÉIAS DA ÁLGEBRA: São Paulo: Atual, 1995.
BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1974.
BRANDT, Célia F.Problemas do tipo aditivo e multiplicativo: considerações e
análises na dimensão psicológica do ato cognitivo. Texto trabalhado na aula
desenvolvida no Curso de Graduação da UEPG de nome:"Curso Normal Superior
com Mídias Interativas".
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Currilares Nacionais:
Matemática. Brasília, 1998.
CAMARGO, Joseli A.Números Racionais.Texto trabalhado na aula desenvolvida no
Curso de Graduação da UEPG de nome: "Curso Normal Superior com Mídias
Interativas".
EVES, Howard. História da matemática. 2.ed. São Paulo: Unicamp, 1997.
GARBI, Gilberto G. °romance das equações algébricas, São Paulo: Makron Books,
1997.
GUELLI, Oscar. Equação: o idioma da álgebra. São Paulo: Ática, 1997. (Contando a
história da matemática, 2)
IMENES, Luis Márcio. LELLlS, Marcelo. Dicionário ilustrado. In:----. Matemática: 8a
série. São Paulo: Scipione, 2001. p. 314-344.
KIERAN, Carolyn. Duas abordagens diferentes entre os principiantes em álgebra.
In:----.AS IDEIAS DA ÁLGEBRA: São Paulo: Atual,1995.

44
LELLlS, Marcelo, IMENES Luiz Márcio. O Currículo Tradicional e o Problema: um
descompasso. A Educação matemática em revista. SBEM, 1° sem. n.2 p. 5- 12.
1994.
LlNTZ, Rubens G. História da matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 3.
MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. Tradução:
Catarina Eleonora F. da Silva e Jeanne Sawaya. 3. ed. São Paulo: Cortez, 2001.
OLIVEIRA, Antônio Marmo de, SILVA Agostinho. Introdução à álgebra. In:-----.
Curso ilustrado de matemática moderna. São Paulo: Lisa, s/d. p. 171-186.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Matemática. In:----. Currículo Básico
para a Escola Pública do Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 1990. p. 63-80.
ROSA, Sanny S. da. Construtivismo e mudança. 3. ed. São Paulo: Cortez, 1995.
(Questões da nossa época, 29).
TRIVINOS, Augusto N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais. São Paulo:
Atlas, 1987.
SILVEIRA, Ênio, MARQUES Cláudio. Equação do 1° grau com uma variável.in:----
MATEMÁTICA: 6a,São Paulo:Modema, 1995.p.74-84.

Anexo 1
PROBLEMAS DO TIPO ADITIVO E I'vlULTIPLlCATIVO. considerações e análises na
dimensão psicológica do ato cognitivo
Autor: Celia linck lsrand!
Problemas do tipo aditivo
Compreendem problemas que envolvem adições e subtrações e sentidos de números
distintos envolvidos na relação números como medidas estáticas e números como
transfonnações .
As categorias de problemas aditivos e as diferentes classes para cada categoria
compreendem estruturas e heuristicas de resolução diferentes A resolução dos problemas permite
evidenciar a compreensão da estrutu ra do S istema de Numeração Decima I (S N D) a tra vés do
apoio e intercâmbio entre diferentes materiais ábaco. material Montessori, palitos amarrados,
quadro valor lugar .'
PROBLEMAS DE TRANSFORMAÇÃO: uma transformaçâo liga duas medidas estáticas.
O esquema a seguir compreende a estrutura dos problemas de transformação
L" J QC, J ~ e sào medidas estát,""s e I;é "ma medida de t,a"sfD",oa,::i;~-J
EXElIU)LO Paulo tem 8 bolas. Ganhou 3 Ao todo ficou COIll I1
81Jll
.~
8 e I I são medidas estáticas e 3 é uma medida de transformação .
No esquema acima temos quatro tipus de questões
a transformação b pode ser positiva ou negativa;
a questão pode apresentar como desconhecido o estado final c ( conhecidos a e b),
a questão pode apresentar como desconhecida a transformação b ( conhecidos a e c),
a questão pode apresentar como desconhecido o estadu inicial a ( conhecidos b e c)
As quatro questões apontadas fazem emergir, na mesma categoria, seis classes de problemas,
conforme esquematizadas nos problemas apresentados a seguir O sentido usual da adição e
subtração, ganhar ou perder, não dá conta de todas as classes e os proced imentos do
complemento ou diferença exigirão estruturas prévias Já construidas tais como reversibihdade,
comutatividade e correspondência biunivoca.
• Exemplo 1 (estado final desconhecido)

2
Tenho 8 balas e ganho 4. Com quantas fico?
Tenho 8 balas. Dei 4 para meu irmão Com quantas fico?
G 0- ......•D [=::J .1
A adição e subtração tem o sentido usual de ganhar ou perder nesta estrutura de problema
Articulando a resolução com a compreensão da estrutura do SND
No problema de mesma estrutura: Tem 25, tira 18, CDm quantas fica?
.. - Ô
•• O 0000 r- •D
As verbalizações utilizadas pelas crianças permitem apontar a compreensão da estrutura do SND
Tira 11m monte ......• tira os cinco _. mas tem que abrir o outro monte ......•e tirar o 6, o 7 e o 8.. Sobra 7.
1m3O O O [jJ-íIJ -. O O O cQJ O O O O -. O O O cQJ O
Ou
rira um monte abre (1 outro ......• fira H, sobra 2 e sobra os 5.
• Exemplo 2 (valor da transformação desconhecido)
Tinha 8 balas Ganhei algumas Fiquei com 1I. Quantas ganhei?
Tenho 8 balas. Perdi algumas Fiquei com 5. Quantas perdi?
(0 O
• [3 D •
Os problemas acima podem ser resolvidos através do procedimento do complemento ou da
diferença Através do procedimento do complemento o sujeito pode lançar mão de hipóteses e
corrigi-Ias. Já o procedimento da diferença, que consiste em obter o valor da transformação
através da diferença entre os estados inicial e final, não é tão evidente e não tem o mesmo sentido
de ganhar ou perder.
• Exemplo 3 (estado inicial desconhecido) procedimentos do complemento ou da diferença
Henrique acaba de achar R$4,OO . Coloca em sua carteira e fica com R$ I 1,00 Quanto ele tinha '1
Henrique tinha alguns trocados. Deu R$ 4,00 ao seu amigo. Fica com R$ 7,00 Quanto ele tinha?
D G.GJ D~w

Os problemas podem ser resolvidos pelo procedimento do complemento ou da diferença.
O procedimento do complemento exige a comutatividade. O procedimento da diferença exige a
relação inversa, isto é, para percorrer o caminho de volta devo inverter a relação: se ganhei na
ida, devo perder na volta.
PROBLEMAS DE COMPARAÇÃO
Os problemas de comparação são aqueles em que uma relação liga duas medidas estáticas.
Exigem a correspondência biunivoca. São dois todos comparados. A conexão com os sentidos
da adição e da subtração não é evidente pois nada é somado 01/ tirado dos conjuntos.
Uma outra questão diz respeito à análise das situações que compreendem medidas
estáticas e uma relação estática, pois nestas situações outros sentidos de número estão presentes.
Exemplo: João tem 8 balas. Antônio tem 3 balas. (as duas medidas estáticas) Quantas
. Joâo •••• ., •••
balas João tem a mais que Antônio? (a relação estática) Antônio ., ••
Uma questão importante a considerar é que é possível escrever um problema de modo
diferente de modo que relações estáticas não estejam mais presentes
Os problemas de comparação, por sua vez, não têm a mesma estrutura e podem ser mais
dificeis dependendo do termo desconhecido. Podemos ter a relação estática ou o valor de um dos
conjuntos como elemento desconhecido. Em uma situação de comparação um dos conjuntos
opera como referente para a comparação.
• Situação de comparação: referente desconhecido.
Exemplo: João tem 8 bolinhas de gude JOt;O tem 5 a mais que Antônio. Quantas bolinhas
tem Antônio? .I";;,, •• F·••• I.vntónio
A criança precisa somar "5 a alguns" e certificar-se que o resultado é oito.
• Situação de comparação: referente conhecido.
Exemplo: Antônio tem 3 bolinhas de gude. João tem 5 bolinhas a mais que Antônio.
Quantas bolinhas de gude João tem?
[-~ .....PR013LEMAS DE E()UtLlZt~'Au (IGU ALA R)
Num problema de equalização (igualar) uma transformação liga duas medidas estáticas.
Exemplo: João tem 8 bolinhas de gude. Antônio tem J. Quantas bolinhas temos que dar 3
Antônio para que ele tenha o mesmo número de bolinhas que João?

Neste caso, a criança tem que somar alguns a J até atingir ~ e a pergunta é 111(l1S direta,
isto é, ela é questionada diretamente sobre quanto somar a uni conjunto para tot na-Io Igual a
outro.
PROBLEMAS 00 TIPO MULTlI'/./( 'ATIVO
As situações que compreendem raciocínio multiplicativo não envolvem somente Idéias de
multiplicação como adição repetida ou como subtração repetida Apresentaremos dOIS tIJ)Os de
situações que compreendem raciocínio muluplicativo
SITUAÇÕES DE CORRESPONDÊNCIA UM-PARA-MUITOS
Exemplo Um carro tem quatro rodas Dois carros têm oito rodas
A correspondência utn-paru-tnuitos é a invariável presente na Situação e não está presente no
raciocínio aditivo. Ela é a base para o conceito de proporção A fim de manter constante a
correspondência um-para-muitos acrescentamos números diferentes de objetos a cada conjunto
para (carro (+ I),para 4 rodas( +4) As ações que envolvem manter a proporção invanávcl não são
unir/separar mas, replicar E ainda há um terceiro sentido de número que aparece que é o [ator
escalar. Para manter a proporção o mesmo fator escalar deve ser aplicado aos dois conjuntos
SITUAÇÕES QUE ENVOLVEM N-CORTES SUCESSIVOS.
A atividade de distribuir pode envolver raciocínio aditivo e também raciocínio multiplicativo
Enquanto raciocínio aditivo. as relações parte-todo que se estabelecem compreendem somente
somar as partes, que não precisam ser iguais para obter o todo. Já em raciocínio multiplicativo as
relações parte-todo que se estabelecem compreendem considerar três elementos o tamanho do
todo, o número de partes e o tamanho das partes que deve ser o mesmo para todas as partes.
Exemplo
Tenho 20 doces (o todo) e quero disu ibui-los entre 4 crianças (as palies) Cada criança ganhará .')
doces ( o tamanho da parte ou quota).
Na distribuição estão presentes as relações entre três conjuntos o todo. as partes e a quota.
Estas relações podem ser diretas ou inversas dependendo do aumento de uma fixando as outras.
Exemplos.
Tenho 20 doces para distribuir entre 4 crianças.
Tenho 20 doces para distribuir entre 5 crianças
Tenho 30 doces para distribuir entre) crianças
Há uma relação direta entre o todo e as quotas (quanto maior o todo maior a quota,
mantendo-se as partes constantes) e uma relação inversa entre as partes e as quotas ( quanto
maior as partes menor as quotas, mantendo-se o todo constante)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NUNES, T. & BR YANT, P Crianças fozendo matemática. Porto Alegre Artmed, 1<)97
VERGANAUD, Gérard. Lénfaut lc mathénuuique et Ia réalité 3 ed 1985
BERTONI, Nilza Interpretações múltiplas da subtração em N Documento datilografado da
Universidade de Brasílial Departamento de Matemática! MEC/C APES/PADCTI Subprograma
Educação para a Ciência Versão preliminar janeiro/Sê.

Anexo 2
NÚMEROS RACIONAIS
Uma das dificuldades a serem superadas nas séries iniciais do Ensino
Fundamental diz respeito a complexidade do conceito de número racional, isso porque o
número racional resulta da comparação entre dois números inteiros, por exemplo, o
número racional 3/5 é o resultado da comparação entre os números inteiros 3 e 5, onde
considera-se o 5 como o número total de partes em que o todo é dividido, isto é,
denominador, e o 3 o número de partes tomadas, numerador.
Geralmente ao formar o conceito de número racional, a criança não estabelece a
real relação existente entre o número racional e a divisão, onde todos os numeradores
são considerados dividendos e os denominadores considerados divisores. Desta forma
qualquer número pode ser numerador, no entanto o zero , não poderá ser usado como
denominador, isto porque:
alb ~ a : b = c: ~ c . b = a , logo se b for igual a zero não se estabelece a relação c . b =
a . Assim, 6 : O=? (Qual o número que multiplicado por zero resultará 6 ?)
Diante da dificuldade em compreender tal relação, poderíamos optar em não
desenvolver o referente campo numérico nas séries iniciais, no entanto se nos propomos
a desenvolver um trabalho que nos aproxima da prática diária da criança isto nos reporta
a um contexto histórico, que segundo CARAÇA ( ) a prática diária do ser humano o
levou a conquistar o universo dos números, havendo assim , um momento em que o
homem se deparou com os problemas de medida, tais como:
Como escrever
Esta medida?
Fazer o desenho de uma ciinuçn. Illel findo outtt: ('ri::J!it,:n
No campo dos números inteiros isto não é possível, pois normalmente é difícil que
uma pessoa meça exatamente 1m ou 2m, desta forma o conjunto dos números racionais
responde às medidas compreendidas entre os números inteiros. Por exemplo: 1,72m.
Segundo Heródoto ( pai da história) é possível que os números racionais tenham
surgido de problemas que envolvam medidas.
É conveniente observar: 6 : 2 = 3 ~ 6/2 = 3 ; 4: 4 = 1 ~ 4/4 = 1 ;
5 : 2 = 5/2; 3: 4 = 3/4. Todos estes quocientes são números racionais, visto que
expressam a razão entre dois números inteiros, pois foram obtidos pela comparação entre

* medidas e representação gráfica em uma reta numerada
* reconhecer grandezas contínuas e discretas
Decorre daí a preocupação de que este estudo inicie-se cuidadosamente, provendo
à criança experiências diversificadas que permitam-lhe chegar a descobertas por mérito
de sua capacidade de compreensão.
No início do processo não deve existir por parte do professor a preocupação em
trabalhar o conceito formal e a forma simbólica deste novo conhecimento. Dentre as
primeiras atividades deve-se elaborar generalizações referentes a metade de objetos , a
metade de conjuntos e a metade de extensões. São atividades aparentemente simples,
porém com as quais o professor deve estar atento, uma vez que a criança chega na
escola com um conceito incompleto ao que se refere a" metade".
Depois de resolvidas tais questões, as preocupações devem se voltar às maneiras
de interpretar um dado número racional.
Estudos como os de BEHR et ali ( apud SILVA & AGUIAR, in: SBEM, 2000 ) e
ROMANATIO ( in: ZETETIKÉ, 1999) alertam que o número racional apresenta-se como
uma teia de relações nas quais princípios e procedimentos matemáticos se manifestam
em diferentes contextos. Para ROMANA TIO, os contextos significativos nos quais este
campo numérico esteja presente pode se apresentar em atividade ou situações problema
onde o número racional assume diversas U personalidades" : como medida, quociente,
razão, operador multiplicativo, um número na reta numérica e probabilidade ( KIEREN,
1976 e 1988 ; BEHR , LESH, POST & SILVER, 1983 ; FREUDENTHAL, 1983
VERGNAUD, 1983 ; NESHER , 1985 ; OHLSSON, 1987 ; SCHWARTZ, 1988
GIMENEZ,1988 e BEHR, HAREL, POST e LESH, 1992).
Desenvolver tais contextos não significa um percurso linear, as relações
matemáticas construídas ocorrem gradativamente, pois [...] a construção do conceito de
número racional pressupõe uma organização de ensino que possibilite experiências com
diferentes significados e representações, o que demanda razoável espaço de tempo;
trata-se de um trabalho que apenas será iniciado no segundo ciclo do Ensino
Fundamental e consolidado nos dois ciclos finais. (PCNs, 1997, p.104)
Nesta perspectiva, propomos o repensar dos procedimentos metodológicos
adotados pelos docentes ao tratar do referido assunto, procurando promover a
inter-relação entre fração ordinária, número decimal e porcentagem, para que,
assim, os alunos possam construir o real significado do conjunto dos Números
Racionais.

tais grandezas. Pela idéia de medida a pergunta a ser respondida é : Quantas vezes o
dividendo contém o divisor?
Nas duas primeiras situações é expressa a relação "ser múltiplo de..." , pois o
número obtido como resposta foram 3 e ~ que representam números inteiros. Vejamos a
-') -1 v ~i ·-fZreta numerada: _._.+-~-.I ._._._...._..L....__ .~_, .__.._ .L.._~..-.--...-.....
- 1.1 l ~ ~,1 -'li
I f, ~ .' " -~/ } !( -:
Nas duas últimai:/isituaÇõis propostas, 5/2 e 3/5 não representam númerosJ •
inteiros. Na reta numerada a representação destes números racionais exigem a marcação
de novos pontos, até então inexistentes na reta dos números inteiros,
::..•.~-,--~/_.,.~~..li I. ,,:" f .. , -:.••.. I - ;;>. ~... ...
. . I f) I I/:/ ", (
_ I,; _(;. ..J. ·3/ . l,( . / . . I) I). . t ' ,'. ~.
I;) ",-o Y) '/ ' 1 ) I'" ' i..
Nos exemplos apresentados os números racionais foram expressos na forma de
fração, onde o quociente é o próprio número racional, portanto a fração eqüivale a uma
divisão indicada, sendo que ao efetuar tal divisão ( seguindo os princípios do sistema de
numeração decimal ) surgirá uma outra forma de expressar os números racionais,
chamada de notação decimal, por exemplo:
5/2 ~ 2,5 ; 3/4 ~ 0,7 .
É importante que as duas formas de representação dos números racionais
fracionária e decimal) sejam trabalhadas ao construir o conceito deste campo numérico .
A reflexão que aqui se propõe é quanto ã veracidade da compreensão do
aluno com relação a um campo numérico denominado de Números Racionais.
Estudos como de PIAGET, INHELDER, VERGNAUD no alertam a concentrar
atenções a dois aspectos importantes quando no estudo dos números racionais:
* campo conceitual
* no real significado do número racional
Tais estudos propõe que um determinado conceito só tem significado para o
indivíduo quando este consegue estabelecer relações com conhecimentos previamente
construídos. Isto é , no estudo dos números racionais é preciso conhecer:
* a razão na forma a/b, como uma relação entre duas grandezas
* proporção e composição numérica
* frações como quociente de divisões
/

. ,-.~
. v-,
'.i-':.

"
1 = ,"!
. ,'1,
" ..!. ,I "
~ ..•..•------------------~--~--~------------------

pt .: :/_'~',W: "" .': " ..' :,.~.p:,~~·"..-"tl" i~. t t •• tI
:~f'··'~;fl:~··~:.l_·. ..:t. ~ - ·
- .;; =, ".:: _.' s regras que valem para to-
. l'~' :'.'dos os outros não servem
v- . •.• !. I 'para ele. Só as obedece co-
::~.;.<>: .vmo e quando bem entende.
i:,'/..I~·. . "'Assim faço a diferença",
.' ~.~.!.costumá dizer. Mas não é nem um
,. .>i pouco egoísta. Pelo contrário. Quanto
. mais à direita ele vai,mais aumenta o
- , valor do colega da esquerda, multipli-
· . . cando-o por dez, 100 ou 1000. Trata-
·.:~ I ' se de um revolucionário. Com ar de
'••~ ". ' I . I bonachão, dá de ombros quando é
r.~..',.,~comparado ao nada. "Sou mesmo",
.~:....:. diz. "Mas isso significa ser tudo." Com
.~.:; ,: vocês, o número zero - que ganha,
. ', .',.. nesta,s páginas, o papel que lhe é de di-
.....:. reito: o de protagonista de uma odis-
. ' ,
.:1:",'. ' séia intelectual que mudou o rumo
,.~..J •' das ciências exatas e trouxe novas re-
i! .' flexões para a história das idéias.
-~,.:" Pode soar como exagero atribuir
..:! tal importância a um número aparen-
•.•.:., temente inócuo. Às vezes, você até es-
,~",'.
':.;,1.', quece que ele existe. Quem se preocu-
y'};, '.pa em anotar que voltou da feira com
.,t..;',~'. zero laranjas? Ou que comprou ração
,!>',~'r: - para seus zero cachorrinhós? Só fica
~~',:,' preocupado quando descobre um ze-
··"tS';· : ro na conta bancária. Mesmo assim,
~'I.',-i,',logo que chega o pagamento seguinte,
(li~.:não sobra nem lembrança daquele nú-
,'f.:',:' :';t mero gorducho,
...•';;l."~···i O símbolo "O" e o nome zero estão
:-~ .•• 'reÍaclonados à idéia de nenhum, não-
,:·.·>~,existente, nulo, Seu conceito foi pouco
'.')i.i estudado ao longo dos sécul?s,. Hoje,
~:. ~i mal desperta alguma curiosidade,
.;;.? 1 apesar de ser absolutamente instigan-
~....:;;}..••'Fe~uO ponto principal é o fato de o ze-
·~.:i~'~.to ser e não ser. Ao mesmo tempo in-
, '.".~~ dicar o nada e trazer embutido em si
t', .:.,.algum conteúdo", 'diz o astrônomo
, ".' I
~ "Walter Maciel, professor da Uníversi-
', ''', : . dade de São Paulo. Se essa dialética
. ~parece complicada para você, ciCla-
:1,-,': '.'dão do século XXI, imagine para as
·'.:,i- tribos primitivas que viveram muitos
.;., ~.~ séculos antes de Cristo,
, .;:.;,.:~ , A cultura indiana antiga já trazia
.':<-' ,', -uma .nóção de vazio bem antes do
'( ~ conceito matemático de zero, "Num
r<,-'. .. dicionário de sânscrito, você encontra
" I~' " uma explicação bastante detalhada
·i~''.;,sobre o' termo indiano para o zero,
':": :."queéshúnya", afirma o físico Roberto
;.i " ' :de' Andrade Martins, do Grupo de
.: ,', História e Teoriada Ciência dá Uni-
,., .' versidade Estadual de Campinas
.':0; ; (Ui1jcamp). Corno adjetivo, shúny« .
,~.~II:(>': ..': ,:~',:::.~: ".. ,(; "
;~'.0·a.I:J,ril~.ool,.'',,,,:. :".t" I
~ • " ". ~ • '. I}. «'
-.
'..: .•.:'. '
~"; • r ,

;.,i,
.,0.
~.
..
)~•..t:::~:~:.:O'
<. ~~?.."'~:'"
·.,,:r:.-i., () llusttações 113 ngutlrf'do corn r~p,oduçioM Ornar Paido
<, ".. ;,.,-
,- parar' OS tíúrrieros com alguns sinais
específicos. "Os babilônios tentaram .
representar graficamente '0. nada.e ....:-r::
mostrando o abstrato de uma forma' - t..
concreta", diz Ubiratan ..
Perceba como um problema práti-
co - a necessidade de separar núme-
ros e apontar colunas vazias -levou a
uma tentativa de sinalizar o não-exis-
tente. "Trata-se de uma abstração bas-
tante sofisticada representar a inexis- _
têncía de medida, o vazio enquanto.;:~
número, ou seja, o zero", diz a histo-
riadora da ciência Ana Maria Alfonso
Goldfarb, da Puc."Temos apenas pro-
jeções culturais a respeito do que é
abstrato", afirma Leandro Kamal. Na
tentativa de tomar concreta urna si-
tuação imaginária, cada povo busca as
referências que tem à mão. Veja o caso
dos chineses: eles representavam o ze- r :
'-.l
ro com um caractere chamado ling,
que significava "aquilo que ficou para
trás", como os pingos de chuva depois
de uma tempestade. Trata-se de um
exercício tremendo de abstração. Você
já parou para pensar como, pessoal-
mente, encara o vazio?
Apesar de ser atraente, o zero não
foi recebido de braços abertos pela Eu-
ropa, quando apareceu por lá, levado
pelos árabes. "É surpreendente ver
quanta resistência a noção de zero en-
controu: o medo do novo e do desco-
nhecido, superstições sobre o nada re-
lacionadas ao diabo, uma relutância
em pensar", diz o matemático ameri-
cano Robert Kaplan, autor do livro The
Nothing That 1s (O Nada qiie Existe, re-
cém-lançado no Brasil) e orientador
de um grupo de estudos sobre a mate-
mática na Universidade Harvard. O
receio diante do zero vem desde a Ida-
de Média. Os povos medievais o igno-
ravam solenemente. "Com o zero,
qualquer um poderia fazer contas",
diz Ana Maria. "Os matemáticos da
época achavam que popularizar o cál-
culo era o mesmo que jogar pérolas -
aos porcos." Seria uma revolução.
Por isso, Kaplan considera o zero
um número subversivo. "Ele nos obri-
ga a repensar tudo o que alguma vez
já demos por certo: da divisão aritmé-
tica à natureza de movimento, do cál-
culo à possibilidade de algo surgir do
nada", afirma. Tomou-se fundamen-
tal para a ciência, da computação à as-
tronomia, da química- à física. "O cál- •••
.•...
'-.
abril 20'01 (j 57

(1: :~--.te curto, que tende à zero. (É estranho por mais pomposo que se julgue - ,
calcular, quanto o carro se deslocou ser dividido por ele, zero. -Tern ain- I ,
~r'' em "zero segundos", mas é assim que da outros truques. Você pensa que
rr J. ,funciona.) "O cálculo integral está na ele é inútil? "Experimente colocar ,~,..
:·f:'.:·' base de tudo o que a ciência construiu alguns gêmeos meus à direita no ," .
t'ff~::;:n,~~'ú,ltirri~~2q<J anos", diz Maciel. valor de um cheque para você ver a,;
~,( l":; j ~~N?d~ ~oJe o conceit~ ~~ zero se- diferença", diz o zero. No entanto.r,
>~~t,gue revirando nossas idéias. Falta mesmo que todos os zeros douni-x •
"'1""'" d I' od Id .:,~.,'". '.murro para enten ermos a comp eXI- verso se acom em no a o esquer-
:':.::;~,"'dade desse' número. Para o Ocidente, do de uin outro algarismo nada mu- .
~.'~I" ' o zero continua a ser 'uma mera abs- da. Daí a expressão "zero à esquer-
~!,:,::~i,·tração. Segundo Eduardo Basto de AI- da", que provém da matemática e
!:"; ; .buquerque, professor de história das indica nulidade ou insignificância.
I'/.':'~;;'religiões da Unesp, em Assis, o pensa- Mas o zero - como você pôde
'~'' mento filosófico ocidental trabalha ver - decididamente não é um zero
(r....· com dois grandes paradigmas que não à esquerda. "Foi uma surpresa cons- ,
' . I, , ,comportam um vazio cheio de senti- tatar como é central a idéia de zero: .
I,:' .:~ .do, como o 'indiano: o aristotélico (o o nada que gera tudo", diz Kaplan;
~~f>',>. ," ,..' ..... .'. :. " 'E.mais: há quem
~~~1:..:·.·~<~~'.,·1','~."' . '. '~Ozero sempre diga que 'dozeinfiroé
~,·;I'.lf", ,"~,."~i . í.· ' ',' " " , parente o - .
~f~"~'~('~I};:;:'j~:.,.;.I -i., "),, '''I. t ;, ~I,' nito outra abs-
ç~~p~>:r,~~~~i.,..errotQy<,~~",e.es...que: tração que rnu-
~h-,{(~i)?·~",-·l..l, '.- se opuseram' a ele" I dou as bases•...t·-,~'.·<: .. ~ 'I""
;.'~;""~'~.'~:.~ ,';';. . .. ,,' do pensamento
!} ,::"'1(1. }.::", .• "l, . científico, reli-
":.';;": mundo é o que vemos e tocamos com gioso e filosófico. "Eles são equiva-
(','/:; 'nossos sentidos) e o platônico (o mun- lentes e opostos, yin e yang", escre-
I~~'y~do é.um reflexo de essências ímutá- ve o jornalista americano Charles
J::~~~::"reis e eternas, que não podemos atin- Seife, autor de Zero: 171eBiography
~M,'i ;gír pelos sentidos e sim pela imagina- of a Dangerous Idea (Zero: A Biogra-
~i<:~."çãoe pelo conhecimento). "O Ociden- fia de uma Idéia Perigosa), lançado
~:F;~~:te pensa o nada em oposição à exis- no ano passado nos Estados Unidos.
!~:.>tência de Deus: se não há Deus, então O epíteto atribuído ao zero no título
;" y é o nada", diz Eduardo. Ora, mesmo - idéia perigosa - não está ali por
:;x:i~.na ausência, p~eria haver a presenç~ acaso. 'Apesar da rejeição e do exí-
~'/~ ',de Deus. E o vazio pode ser uma realí- lia, o zero sempre derrotou aqueles...t 1 ' , <
" '·-..·.dade. E s6 pensar na teoria atômica, que se opuseram a ele", afirma Sei-
, . desenvolvida no século XX: o mundo é fe. ''Ahumanidade nunca conseguiu
, formado por partículas diminutas que encaixar o zero em suas filosofias.
precisam de um vazio entre elas para Em vez disso, o zero moldou a nos-
se mover. Talvez o zero assuste porque sa visão sobre o universo - e tarn-
carrega com ele um outro paradigma: bém sobre Deus." E influenciou,
o de um nada que existe efetivamente. sorrateiramente, a própria filosofia.
Na matemática, por mais que pa- De fato, trata-se de um perigo. E::J
reça limitado a um ou dois papéis, a
função do zero também é "especial" -
como ele mesmo faz questão de mos-
'; , , trar - porque, desde o primeiro mo-
I ': mento, rebelou-se contra as regras
: . que todo número precisa seguir, O ze-
,') . ro viabilizou a subtração de um núrne-
..''.,:
~:I ..
~. . PARA SABER MAIS
NA UVJtAIltIA.:
o Nada que üc:jst~ - Uma Hist6ria Natural do lero.
Robert Kaptan. Editora Rocco. Rio de Janeiro. 1001.
lua: The B1orr.phy of a O.n!erOU5 rdea.
Charles Seife. Pellguin Vikin~. Estado s Unidos. lODO.
51! U,~bril 2001,
. • '.' ~t;1 ;'.,
I
i
----------------------------------------------~~,.•--

Em busca do eouilíbrio com as equações do 1º grau

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Destaque

Destaque (9)

Semelhante a Em busca do eouilíbrio com as equações do 1º grau

Semelhante a Em busca do eouilíbrio com as equações do 1º grau (20)

Mais de slucarz

Mais de slucarz (20)

Último

Último (20)

Em busca do eouilíbrio com as equações do 1º grau