CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM DA EQUAÇÃO
DO 2° GRAU, NO ENSINO FUNDAMENTAL
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PONTA GROSSA
2001
EVA APARECIDA CARVALHO E SILVA
CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM DA EQUAÇÃO
DO 2° GRAU, NO ENSINO FUNDAMENTAL
Mono...
AGRADECIMENTOS
A Deus,
que com seu Santo Espírito,
iluminou a minha mente, para que eu pudesse concluir
esse trabalho.
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RESUMO
Esta pesquisa realizou-se a partir de fatos históricos sobre o surgimento da Equação
do 2° Grau, abordando as manei...
SUMÁRIO
Resumo iii
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Introdução 01
CAPíTULO 1- REVISITANDO A HISTÓRIA 04
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INTRODIJÇÃO
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No enfoque tradicional a matemática é desenvolvida a partir de definições,
seguidos de exercícios de fixação...
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consideração que a matemática não deve ser apenas memorizada, mas sim
compreendida.
Geralmente para resolver uma Equaç...
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apontando-o como uma boa alternativa na compreensão da resolução dessas
equações no Ensino Fundamental.
O presente traba...
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CAPíTULO I
REVISITANDO A HISTÓRIA
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1.1.2 - O Zero na Equação do 2° Grau
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CAPíTULO 11
OS LIVROS DIDÁTICOS NO CONTEXTO DA SALA DE AULA
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do primeiro grau na transformada. Também é apresentada uma observação sobre a
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com uma raiz comum e com duas raízes comuns. Coloca também a composição da
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exercícios explorando as raízes reais. Tra...
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Continuando o assunto, o autor coloca as relações entre os coeficientes e as
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primeiro o processo do completamento de quadrados seguidos de exercícios e na
seqüência a resolução das equações através d...
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o livro didático de matemática, assim como os de outras disciplinas curriculares, tem tido
grande influência na determi...
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CAPíTULO 111
O MATERIAL DOURADO
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54
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3x + 3 = O ou x + 1 = O
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Para que haja um ...
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Devido aos relatos de professores com relação às dificuldades encontradas
ao trabalhar a Equação d...
56
aprendendo e a matemática deixa de ser apenas memorizada, passando a ser
compreendida.
Embora o aluno nem sempre tenha ...
57
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BONGIOVANNI, Vincenzo et aI. A matemática também tem história. In:-----.
Matemática e vida: ...
58
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. Equações Redutíveis ao 2° grau -
equações biquadradas. In:-----. A Conquista d...
59
NOVA Enciclopédia Barsa. Rio de janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil
Publicações Ltda, 1977. v.6.
OLIVEIRA. Antôni...
60
ANEXOS
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TEND~NCIAS DA EDUCAÇÃO ...
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  1. 1. CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU, NO ENSINO FUNDAMENTAL r r r r PONTA GROSSA 2001
  2. 2. EVA APARECIDA CARVALHO E SILVA CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO APRENDIZAGEM DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU, NO ENSINO FUNDAMENTAL Monografia apresentada para obtenção do Título de Especialista no Curso de Pós- Graduação em Matemãtica: Dimensões Teórico- Metodológicas, da UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA. Professora Orientadora: Ms Joseli Almeida Camargo r PONTA GROSSA 2001
  3. 3. AGRADECIMENTOS A Deus, que com seu Santo Espírito, iluminou a minha mente, para que eu pudesse concluir esse trabalho. A todos os professores do curso de especialização, que contribuíram de alguma maneira, para ampliar os meus conhecimentos. Ao ProF Celso Chagas, diretor do Colégio Estadual 31 de Março, e a assistente administrativa Carmem Lúcia, que contribuíram com a parte bibliográfica. r À Prof" Ms Joseli, que aceitou ser minha orientadora, procurando sempre me incentivar e conduzindo a orientação com muita dedicação. Aos meus pais, filhos, esposo e minha amiga Neide, que sempre me deram apoio, para vencer todos os obstáculos, que encontrei no decorrer deste trabalho. A todos, meus sinceros agradecimentos! 11 --------------------------------------------------- ---- ---~-------
  4. 4. RESUMO Esta pesquisa realizou-se a partir de fatos históricos sobre o surgimento da Equação do 2° Grau, abordando as maneiras utilizadas por alguns povos para a sua resolução, chegando a forma dos tempos atuais. Apresentou-se uma análise de como se desenvolve o conteúdo da Equação do 2° Grau em livros didáticos da década de 50 a década de 90. Verificou-se nestas análises que os autores quase não diferem na introdução da equação, e que a mesma é apresentada na maioria dos livros sempre seguindo um mesmo roteiro, ou seja, iniciam com uma definição de Equação do 2° Grau, seguidas das equações completas, as incompletas e a dedução da fórmula, isto sempre acompanhadas de alguns exercícios resolvidos e outros propostos, sendo que os problemas são apresentados apenas no término do conteúdo. Após estas reflexões fez-se uma proposta da utilização do Material Dourado, como sugestão didática para uma melhor compreensão da resolução de uma Equação do 2° Grau. 111
  5. 5. SUMÁRIO Resumo iii r Introdução 01 CAPíTULO 1- REVISITANDO A HISTÓRIA 04 1.1 - Alguns Fatos Históricos Importantes da Equação do 2° Grau 07 1.1.1 - O Surgimento do Zero 12 1.1.2 - O Zero na Equação do 2° Grau 15 1.2 - A Primeira Fórmula Resolutiva da Equação do 2° Grau 17 CAPíTULO 11- OS LIVROS DIDÁTICOS NO CONTEXTO DA SALA DE AUlA. 27 2.1 - Apresentação da Equação do 2° Grau em Livros Didáticos 27 2.1.1- Análise Bibliográfica de Livros que desenvolvem o Tópico de Equação do 2° Grau 28 2.2. - Análise do Material Proposto 36 CAPíTULO 111- O MATERIAL DOURADO 38 3.1 - Utilização do Material Dourado na Resolução e Compreensão da Equação do 2° Grau 39 Considerações Finais 55 Referências Bibliográficas 57 Anexos ; 60 r r r r r (' r r r r r r r IV
  6. 6. INTRODIJÇÃO r No enfoque tradicional a matemática é desenvolvida a partir de definições, seguidos de exercícios de fixação, pressupondo assim que o aluno aprende através da repetição, ZANKOV apud RABELO diz com relação ao ensino tradicional: liA curiosidade da criança não é satisfeita, a ênfase básica está na memória em detrimento do raciocínio, e há pouca ou não há motivação interna para se aprender. A padronização simplificada do processo de estudo impossibilita a manifestação e o desenvolvimento da individualidade." (1996, p. 54) A matemática da escola geralmente preocupa-se em formalizar conteúdos, quase sempre sem levar em consideração os conhecimentos que os alunos já possuem. Tornando-se assim uma disciplina desvinculada da realidade onde os alunos vivem. A criança traz consigo uma curiosidade que na maioria das vezes é desconsiderada pela escola, fazendo com que ela perca o interesse e não compreenda a relação existente entre os conteúdos escolares. Portanto o ensino da matemática deve ser repensado e reformulado deixando de lado aquele ensino centralizado em procedimentos mecanizados sem significados para o aluno. Pensando nisso deve-se buscar novas metodologias entre outros procedimentos para atingir a formação de cidadãos críticos e participativos, os quais a sociedade cada vez mais vem exigindo, por isso a escola deve adotar como objetivo, estimular nos alunos uma consciência crítica. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais: o papel fundamental da educação no desenvolvimento das pessoas e das sociedades amplia-se ainda mais no despertar do novo milênio e aponta para necessidade de se construir uma escola voltada para formação de cidadãos. Vivemos numa era marcada pela competição e pela excelência, em que progressos científicos e avanços tecnológicos definem exigências novas para os jovens que ingressaram no mundo do trabalho. Tal demanda impõe uma revisão dos currículos, que orientam o trabalho cotidianamente realizado pelos professores especialista em educação do nosso país. (1998, p. 5) Refletindo sobre estas questões, esta pesquisa enfoca um conteúdo relevante no Ensino Fundamental, tendo, portanto como proposta, refletir sobre as dificuldades que o aluno apresenta no desenvolvimento da Equação do 2° Grau, levando em
  7. 7. 2 r consideração que a matemática não deve ser apenas memorizada, mas sim compreendida. Geralmente para resolver uma Equação do 2° Grau é apresentada a fórmula de Bhaskara, seus termos e alguns exemplos, assim o aluno simplesmente memoriza a maneira de resolvê-Ia. Mas além de apresentar a fórmula deve-se tornar o ensino- aprendizagem da Equação do 2° Grau mais significativo no Ensino Fundamental. E isto depende do docente verificar a alternativa metodológica mais adequada a seus alunos procurando uma maneira para que os mesmos compreendam essas equações. Repensando esta forma de tratamento ao desenvolver a Equação do 2° Grau, propõe-se o uso do material dourado como uma alternativa no ensino destas equações, pois torna o assunto mais atrativo e permite a melhor visualização por parte do aluno, além de que, através do mesmo pode-se trabalhar outros conteúdos, como por exemplo, os produtos notáveis. Os Objetivos que se buscou atingir com esta pesquisa foram: Resgatar historicamente a abordagem da equação do 2° Grau; analisar qual o tratamento dado a Equação do 2° Grau pelos livros didáticos do Ensino Fundamental nas décadas de 50 a 90 e apresentar a utilização do material dourado como alternativa eficiente na compreensão da Equação do 2° Grau no Ensino Fundamental. Partimos do pressuposto que o professor limita-se em apresentar a fórmula de Bhaskara sem proporcionar aos discentes condições de compreensão do raciocínio envolvido na resolução de uma Equação do 2° Grau, sendo que o resgate histórico facilita a elaboração do raciocínio e da resolução e a representação geométrica, quando bem encaminhada garante a compreensão da Equação do 2° Grau. Partindo de tais reflexões no primeiro capítulo realizou-se um levantamento bibliográfico, fazendo um resgate histórico sobre a Equação do 2° Grau, utilizando alguns livros sobre História da Matemática e trabalhos acadêmicos voltados a esta problemática. No segundo capítulo fez-se uma análise dos procedimentos apresentados na abordagem da Equação do 2° Grau em livros didáticos representantes das décadas de 50 a 90, onde foram analisados alguns livros, escolhidos aleatoriamente. No terceiro capítulo levantou-se algumas propostas alternativas para a resolução da Equação do 2° Grau, priorizando a interpretação geométrica através do uso do Material Dourado
  8. 8. 3 apontando-o como uma boa alternativa na compreensão da resolução dessas equações no Ensino Fundamental. O presente trabalho é uma pesquisa descritiva, denominada estudo de caso, por se tratar de informações pesquisadas sobre a Equação do 2° Grau, pois como cita TRIVINOS: "a complexidade do estudo de caso está determinada pelos suportes teóricos que servem de orientação em seu trabalho ao investigador." (1987, p. 134). Portanto esta pesquisa parte dos conhecimentos existentes sobre o conteúdo examinado, chegando a análise de alternativas metodológicas para se trabalhar a Equação do 2° Grau, sendo que uma das alternativas é o uso do Material Dourado. Este trabalho desenvolver-se-á através de pesquisas bibliográficas, análise de livros didáticos e utilização do Material Dourado no desenvolvimento da Equação do 2° Grau no Ensino Fundamental.
  9. 9. 4 CAPíTULO I REVISITANDO A HISTÓRIA A história da matemática, como um recurso metodológico na educação matemática, pode contribuir muito no processo de ensino-aprendizagem dessa disciplina. Ao mostrar a necessidade do surgimento da matemática no contexto histórico de diferentes culturas pode-se desenvolver no aluno o interesse pelos valores e atitudes diante do conhecimento matemático. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais os "conceitos abordados em conexão com a história constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor formativo. A história da matemática é, nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural." (1998, p.42) A partir do momento que o aluno consegue perceber a importância dos temas matemáticos surgidos pela necessidade de cada cultura e que nada na matemática foi criado em vão, ele então poderá passar a sentir um maior interesse em adquirir esses conhecimentos. Embora exista uma curiosidade dos alunos sobre o surgimento dos temas de matemática estudados, nem sempre essa curiosidade é sanada, pois existe uma falta de conhecimento dos fatos históricos desses conteúdos e os alunos ficam esperando por esse esclarecimento a cada ano que passa. Os anos se sucedem e a curiosidade nem sempre é satisfeita. Em um de seus artigos MIGUEL, nos apresenta alguns argumentos levantados por apologistas que tentam reforçar as potencial idades pedagógicas da história da matemática. Os argumentos mostrados nesse artigo são os seguintes: 1° - A história é uma fonte de motivação para o ensino aprendizagem da Matemática; 2° - A história constitui-se numa fonte de objetivos para o ensino da Matemática; 3° - A história constitui-se numa fonte de métodos adequados de ensino da Matemática;
  10. 10. 5 4° - A história é uma fonte para a seleção de problemas práticos, curiosos, informativos e recreativos a serem incorporados nas aulas de matemática; 5° - A história é um instrumento que possibilita a desmistificação da matemática e a desalienação de seu ensino; 6° - A história constitui-se num instrumento de [ormalização de conceitos matemáticos; 7° - A história é um instrumento de promoção do pensamento independente e crítico; 8° - A história é um instrumento unificador dos vários campos da matemática; 9° - A história é um instrumento promotor de atitudes e valores; 10° A história constitui-se num instrumento de conscientlzação epistemológica; 11° - A história é um instrumento que pode promover a aprendizagem significativa e compreensiva da Matemática. (1997, p.75-94) Com relação, a utilização da história como motivação, os defensores deste argumento acreditam que a história desperta o interesse do aluno pelo conteúdo ensinado, apesar de que a maioria dos professores de história não tem a mesma visão, pois sentem muitas dificuldades ao resgatar a importância dos fatos históricos para seus alunos. Segundo MIGUEL: "Um argumento mais especializado contra esse suposto potencial motivador da história pode ser buscado no terreno da psicologia, particularmente em uma de suas áreas específicas que tem por objetivo de estudo a motivação." (1997, p.76) Os matemáticos que defendem a busca de métodos pedagógicos adequados na história da matemática acreditam que tais métodos podem auxiliar na abordagem de alguns conteúdos, como por exemplo, a resolução de equações, de sistema de equações, determinação da área de um círculo, etc. Pois, segundo MIGUEL, "o ponto de vista de que a história constitui uma fonte de métodos adequados para a abordagem pedagógica de certos campos ou tópicos matemáticos já era defendido pelo menos desde o século XVIII." (1997, p.78) No argumento em que é defendida a colocação de problemas históricos, acredita-se que revendo a maneira de como eles eram resolvidos, pode-se despertar o interesse do aluno através das diferentes soluções apresentadas no passado. E
  11. 11. 6 que, para SWETZ (1989) apud MIGUEL, os problemas históricos são motivadores pelos seguintes fatos: 1) Possibilitam o esclarecimento e o reforço de muitos conceitos que estão sendo ensinados; 2) Constituem-se em veículos de informação cultural e sociológica; refletem as preocupações práticas ou teóricas das diferentes culturas em diferentes momentos históricos; 3) Constituem-se em meio de aferimento da habilidade matemática de nossos antepassados; 4) Permitem mostrar a existência de uma analogia ou continuidade entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente. (1997, p.81-82) Com relação ao argumento, onde os matemáticos defendem a história como um instrumento para promover a aprendizagem significativa e compreensiva da matemática, MIGUEL cita que ZÚNIGA (1988 p.34) defende este ponto de vista nos seguintes termos: a participação da história dos conteúdos matemáticos com recurso didático não só serve como elemento de motivação, mas também como fator de melhor esclarecimento do sentido dos conceitos e das teorias estudadas. Não se trata de fazer uma referência histórica de duas linhas ao iniciar um capítulo, mas de realmente usar a ordem histórica da construção matemática para facilitar uma melhor assimilação durante a reconstrução teórica. Isso é central. Os conceitos e noções da matemática tiveram uma ordem de construção histórica. Esse decurso concreto põe em evidência os obstáculos que surgiram em sua edificação e compreensão. Ao recriar teoricamente esse processo (obviamente adaptado ao estado atual do conhecimento) é possível revelar seu sentido e seus limites. A história deveria servir, então, como instrumento mais adequado para a estru-turação do delineamento mesmo da exposição dos conceitos(. ..) Com isso não se quer dizer que se deve reproduzir mecanicamente a ordem de aparição histórica dos conceitos matemáticos; sem dúvida, todas as ciências possuem certa lógica inter-na que se dá a partir de sínteses teóricas importantes e que se deve assimilar no ensino-aprendizagem. Só se coloca a necessidade de buscar o equilíbrio verdadeiramente dialético entre essa lógica interna e a história de sua evolução conceptual, enfatizando a importância do segundo. (1997, p.90-91 ) Os matemáticos constituem a este argumento a construção do conhecimento do aluno através da história, facilitando assim a compreensão dos conteúdos matemáticos. Pensando nestas evidências, este trabalho será iniciado com os fatos que levaram o homem a descobrir a Equação do 2° Grau, mas antes de abordarmos -
  12. 12. 7 ,-- sobre a história da Equação, veremos no texto a seguir, um relato citado por FRAGOSO sobre um aluno da 88 série, de uma determinada escola e que fez as seguintes perguntas a seu professor de Matemática: Como surgiu a Equação do 2° Grau? Como descobriram a fórmula de Bháskara? Obteve como resposta: Sinceramente eu não sei, mas no 2° Grau você obterá a resposta que deseja. No ano posterior, já na 1a série do 2° Grau, todo entusiasmado, novamente as perguntas foram feitas ao seu novo professor de Matemática, e a resposta obtida foi: Não sei! Mas se você continuar seus estudos em Matemática com certeza encontrará as respostas que deseja, caso contrário, isto não terá a mínima importância, além do que, não é matéria de prova. Depois de ter concluído o 2° Grau, resolveu prestar exames para o curso de Matemática e, por obra do destino, e de seus esforços, ingressou no curso de Licenciatura; assim que teve contato com alguns professores fez as perguntas que o acompanham a tantos anos obtendo a devastadora resposta: Você deveria ter aprendido isso lá no primeiro grau! (2000, p.57) Analisando este texto, percebe-se que o mesmo talvez contenha um pouco de exagero, mas será que todos os professores de Matemática iriam conseguir responder as perguntas feitas por esse aluno? Então, pensando neste texto, e mais ainda, tentando sanar algumas dúvidas que muitos possam ter, será feita uma abordagem histórica sobre a Equação do segundo grau. 1.1 - ALGUNS FATOS HISTÓRICOS IMPORTANTES DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU Segundo alguns historiadores, como BOYER(1974), GARBI(1997) e EVES (1997), há aproximadamente 4000 anos, na antiga Babilônia, os aprendizes de
  13. 13. 8 escriba freqüentavam as escolas do amanhecer ao por do sol, e durante 10 anos aprendiam a escrever cerca de 700 sinais e a efetuar cálculos matemáticos, pois nessa época já havia um grande interesse pela Matemática. Cabia aos escribas o ensino dessa disciplina e a seus aprendizes resolver quebra-cabeças e participar de competições públicas. Resolviam também problemas envolvendo cálculos que eram escritos em forma de textos e suas resoluções eram feitas através de tentativas. Hoje em dia nós conhecemos esses problemas como a Equação do 2° Grau. Ao longo dos séculos foram se aperfeiçoando as escritas da Equação do 2° Grau, bem como, foram aparecendo vários métodos para sua resolução. Mas vejamos como isso aconteceu desde o Egito antigo, até chegarmos nos dias atuais. Com relação ao Egito, os pesquisadores e historiadores matemáticos não encontraram registros do tratamento da Equação Polinomial do 2° Grau, mas acredita-se que essa civilização desenvolveu alguma técnica de resolução, pois foi encontrada no papiro de Kahun 1 , a resolução pelo método da falsa posição da Equação do 2° Grau da forma x?- + l = k, sendo k um número positivo. Segundo EVES, um dos problemas encontrado em Kahum, por volta de 1950 a.C. é o seguinte: "Uma dada superfície de 100 unidades de área deve ser representada como a soma de dois quadrados cujos lados estão entre si como 1:3/4". Nesse caso temos x? + l = 100 e x = 3y/4. A eliminação de x fornece uma equação quadrática em y. Podemos, porém, resolver o problema por falsa posição. Para isso tomemos y = 4. Então x = 3 e x2 + l = 25 em vez de 100 Por conseguinte devemos fazer a correção de x e y dobrando os valores iniciais, o que dáx=6ey=8 (1997, p.74) Essa regra da falsa posição consistia em dar um valor falso para y, como nesse exemplo foi dado o 4 e encontrou-se o valor de x. Mas como a soma do quadrado de x mais o quadrado de y (32 + 42 ) é igual a 25, e não 100, precisa-se dobrar esses valores para obter o resultado de 100 unidades de área. Portanto os valores de x e y só podem ser 6 e 8. I Kahun: Segundo EVES é um documento matemático do antigo Egito, que continha problemas. Esse material era feito de um junco aquático chamado papu. Os talos desse junco eram cortados em longas e delgadas tiras que eram colocadas lado a lado para formar uma folha. Outra camada de tiras era colocada por cima e a peça era então embebida em água, após o que era imprensada e posta a secar ao sol. É provável que devido a uma goma natural da planta as camadas mantivessem-se unidas. Após a secagem as folhas eram preparadas para a escrita mediante um laborioso processo de alisamento feito com um objeto redondo e rígido. (1997, p.38)
  14. 14. 9 r: r> Na Mesopotâmia, o primeiro registro foi encontrado em uma tábula de argila, realizada por um escriba, aproximadamente em 1700 a.C., embora a forma e a resolução retóricas, eram consideradas como uma "receita matemática". Um exemplo de problema citado por BOYER é o seguinte: "Pede o lado de um quadrado se a área menos o iado dá 14,30. A solução desse problema, equivalente a resolver x? - x = 870 é expressa assim: Tome a metade de 1, que é 0:30, e multiplique 0,30 por 0;30 o que dá 0;15; some isto a 14,30, o que dá 14,30;15. Isto é o quadrado de 29;30. Agora somo 0;30 a 29;30 e o resultado é 30, o lado do quadrado." (1974, p.23) Segundo FRAGOSO, para resolvermos x?- - x = 870 procede-se da seguinte maneira: "Receita: Tome a metade de um (coeficiente de x), que é 0,5, e multiplique 0,5 por ele mesmo, o que dá 0,25. Some o resultado a 870 (termo independente), o que dá 870,25. Isto é, na verdade o quadrado de 29,5 que, somado à metade de um, vai dar o lado do quadrado, que é igual a 30" (2000, p.58). Com relação à Grécia acredita-se que a dificuldade com o tratamento dos números racionais e irracionais, a falta de praticidade do sistema de numeração grego, que era literal e o gosto natural pela Geometria, levaram essa civilização a resolver problemas matemáticos geometricamente, mas com apenas uma raiz positiva. Pois segundo GARBI, "O domínio que os gregos tiveram sobre a Geometria permitiu-Ihes resolver alguns tipos de equações do segundo grau apenas com régua e compasso". (1997, p.20) Uma das equações utilizadas era x?- - ax + b2 = O, onde FRAGOSO cita EVES (1995, p.111) que para esse tipo de equação a resolução obedecia ao seguinte procedimento: Traçamos o segmento AS = a, por P ponto médio de AS, levantamos o segmento perpendicular PE = b(raiz quadrada de b2 ) e, com centro em E e raio PS, traçamos um arco de circunferência que intercepte AS no ponto Q. A raiz desejada será dada pelo valor do segmento AQ. r: r E EQ = PS P ...:f---a/2 ~ a ----'-----l.~:,,: .••••• x ~; r
  15. 15. 10 A raiz positiva encontrada pelos gregos por meio desse processo seria X1 = AQ. Atualmente, sabemos que, o segmento QB fornece o valor da outra raiz, ou seja X2 = QB. (2000, p.58) A matemática na índia teve grande ênfase, pois foi dentre os hindus, que destacaram-se grandes personagens, os quais serão citados no decorrer deste trabalho. Esses personagens talvez tenham se sobressaído porque desde a índia Antiga havia um passatempo matemático entre os hindus muito popular que era a solução de quebra-cabeças em competições públicas, onde um competidor propunha problemas para o outro resolver. Esses problemas eram em forma de um texto básico, chamado sutra, o qual o professor repetia várias vezes, até que os alunos decorassem. Esses sutras eram constituídos de ditos populares, feitos em forma de versos parecidos com este em que GUELLI relata: Alegravam-se os macacos Divididos em dois bandos: Sua oitava parte ao quadrado No bosque brincava. Com alegres gritos, doze Gritando no campo estão. Sabes quantos macacos há Na manada total? Hoje, podemos traduzir este quebra cabeça para o idioma da Álgebra, a equação. Pois: Alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: x Sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava: (xIB)2 Com alegres gritos, doze gritando no campo estão 72 Sabes quantos macacos há na manada total? x = (xIB! + 72 Desenvolvendo a equação temos:
  16. 16. 11 x + 72x= 64 64x = x2 + 64. 72 64x = x' + 768 x' - 64x + 768 = O (1992, p.7-8) r Equações como essas representadas por palavras, embora não usassem números e fórmulas eram resolvidas por muitos matemáticos hindus. Embora os árabes, junto com outros povos, tenham sido responsáveis pela destruição do conhecimento ocidental devido ao incêndio do Museu de Alexandria em 641 d.e., também foram responsáveis pela preservação devido a históricos califas, pois estes foram responsáveis pela tradução de importantes escritos científicos. Entre eles destaca-se "O Almagesto" de Ptolomeu e "Os Elementos" de Euclides. "Os Elementos" é uma obra composta por treze livros, sendo dois deles dedicados à Álgebra. Porém essa álgebra euclidiana era diferente da que usamos hoje, pois nela Euclides representava quantidades desconhecidas por segmentos de retas, quadrados, retângulos e figuras geométricas em geral. Ao longo dos séculos foram se aperfeiçoando as escritas da Equação do 2° Grau, bem como foram aparecendo vários métodos para sua resolução, e a invenção do zero na índia no século VI trouxe um enorme avanço para a matemática. Pois enquanto o zero ainda não era conhecido, as Equações do 2° Grau tinham somente uma resposta. Em Bagdá, no século IX, foi fundado um centro científico parecido com o Museu de Alexandria, onde apareceram vários matemáticos e entre eles destacou- se Mohamed ibu-Musa AI-Khowârizmí' que toma conhecimento dos avanços conseguidos na índia, e estabelece um processo para resolver problemas das Equações do 2° Grau. Escreve um livro sobre a arte hindu de calcular explicando como eram feitos os cálculos com aqueles "dez cálculos maravilhosos" (os algarismos), pois GARBI cita que: "AI-Khowârizmi escrevia com grande preocupação em tornar-se compreensível por seus leitores. Procurando simplificar a simbologia, trouxe da índia o sistema de numeração decimal utilizado até hoje, cujos elementos fundamentais
  17. 17. 12 são os algarismos de zero a nove e seu valor em função da posição ocupada no número". (1997, p.22) A partir daí, o zero incorporou-se definitivamente no mundo da matemática, e a forma de calcular dos homens sofreu uma radical transformação. 1.1.1 - O Surgimento do Zero Conforme os historiadores, BOYER e EVES os números surgiram da necessidade dos homens de registrar as contagens, feitas através das comparações. Segundo matemáticos como BONGIOVANNI, VISSOTO e LAUREANO: Para saber, por exemplo, se o seu rebanhotinha aumentadoou diminuído,os homens primitivosprocediamassim:pela manhã,quandosuasovelhasiam pastar,separavamuma pedrinhapara cada ovelha. A tarde, procediamda forma inversa,retirandodo monteuma pedrinha para cada ovelha que recolhiam. Sobrando pedras, faltavam ovelhas. Não sobrando, ficava estabelecida uma correspondênciaum a um entre as ovelhas e as pedras.(1997, p.9) Com o passar dos tempos houve a necessidade de se agrupar as ovelhas em conjuntos para comparar com as pedras, e esse agrupamento deu origem ao sistema de numeração. Os números começaram então a ser representados por símbolos. E essa simbologia estava adaptada as diversas nações, mas ainda não era suficiente para poder representar as quantias que surgiam, pois a cada mudança de valores teria que ser inventado um novo símbolo. Foi então que se fez necessário o surgimento de um símbolo que representasse a mudança de base e alterasse o valor posicional dos números. Algo que pudesse representar uma casa vazia, pois segundo BOYER: "os nove símbolos numéricos já estavam em uso havia algum tempo ... em notação decimal posicional" (1974,p.155), mas não havia uma representação para o zero. Segundo VOMERO, esse sistema posicional facilitou os cálculos babilônios, porém havia números que apresentavam uma posição vazia, como por exemplo, o 401, pois depois do 4, não existe número na casa das dezenas, e se essa ausência não fosse indicada com o zero, o número 401 se tornaria 41. Sem a existência do zero os babilônios deixavam um espaço vazio para separar os números, com isso indicavam que naquela coluna não havia nenhum algarismo, portanto o número 401
  18. 18. 13 ficaria representado 4_1. Segundo UBIRATAN apud VOMERO: "Os babilônios tentaram representar graficamente o nada mostrando o abstrato de uma forma concreta." (2001, p.57) Com relação aos hindus, esses contavam inicialmente através de sulcos/ feitos na areia, onde eram colocadas pedras para representar as quantias. Segundo SILVA: Cada sulco representava uma ordem. Assim, o primeiro, as unidades; o segundo as dezenas; o terceiro as centenas ...etc. Cada pedrinha colocada num sulco corresponde à unidade de ordem do sulco. Assim, uma pedrinha no segundo sulco vale uma unidade de segunda ordem, ou seja, dez unidades simples. CENTENA DEZENA UNIDADE pedras sulcos feitos na areia ÁBACO NA AREIA Então, no ábaco desenhado na figura anterior temos o número 23, ou seja, 2 dezenas mais 3 unidades. No ábaco a seguir temos um número 301, que é igual a 3 centenas mais uma unidade. 2 Sulcos, segundo o dicionário Aurélio, é ruga, prega. (1986, p. 1627) (buraco feito na areia)
  19. 19. 14 REPRESENTANDO O N° 301 NO ÁBACO 3 o 1 Observe-se que o sulco vazio do ábaco foi representado pelo símbolo O (zero). E foi exatamente este o procedimento dos hindus. Para representar a coluna vazia do ábaco, eles introduziram um símbolo, que chamaram de Sunya3 .(1969, p.21) Portanto, segundo esses historiadores, foi dessa maneira que surgiram as primeiras representações para o zero. A invenção do zero encontrou uma certa resistência segundo VOMERO, pois tornaria os cálculos simplificados e naquela época não havia interesse em popularizar a matemática, pois "os matemáticos da época achavam que popularizar o cálculo era o mesmo que jogar pérolas aos porcos, e isso causaria uma revolução." (2001, p.57) Hoje em dia o zero faz parte da nossa vida, e embora ele não signifique nada, quando está à esquerda do algarismo, já à direita muda totalmente o valor de um número. Por isso ouvimos muitas vezes a expressão: "zero à esquerda" para desmerecer alguma coisa ou alguém, mas com certeza essa mesma pessoa gostaria de obter alguns zeros à direita no seu salário. 3 Segundo EVES: "a palavra zero provavelmente provém da forma latinizada zephirum derivada de sifr que é uma tradução para o árabe sunya, que em hindu significa "vazio" ou "vácuo". "(1997, p. 41)
  20. 20. 15 1.1.2 - O Zero na Equação do 2° Grau Com o surgimento do zero, a matemática teve um enorme avanço, pois algumas equações como esta: x? = 2x, passaram a ser calculadas corretamente, mesmo sendo expressas através de palavras, e segundo GUELLI, era resolvida da seguinte maneira: Primeiro os matemáticos subtraiam 2x dos dois membros da equação: x=- 2x = 2x -2x x 2_ 2X = O Depois fatoravam a expressão do primeiro membro: x.(x-2) = O Se o produto de dois números é zero, então um dos fatores é igual a zero, ou os dois simultaneamente são iguais a zero: x=O x-2 =0 x=2 Logo a resposta é O ou 2. Esses dois tipos de equação do 2° Grau eram facilmente resolvidas pelos matemáticos de todo o mundo, através de duas propriedades dos numeras: 1°)A operação inversa da potenciaçâo é a radicioção; 2°) Se bc = O então b = O ou c = O (1992, p.15) Os anos foram passando e as tentativas para as resoluções das equações foram continuando. Em 1303 na China, o matemático Chus Shih-chieh, apresentou uma técnica especial para a resolução da Equação do 2° Grau, a qual era solucionada através de aproximações sucessivas, foi denominada como método fan- fan ou fan-fa e também apresentava uma única raiz positiva com o valor aproximado. Segundo FRAGOSO, o método fan-fa consistia no seguinte: Ao solucionarem a equação da forma x2 + 252x - 5292 = O,procediam da seguinte maneira:
  21. 21. 16 x2 + 252x = 5292 x,= 79 + x " solução aproximada" (79 = x Y + 252 (79 + x) = 5292 "substituíam o valor de x, da incógnita x da equação original" 367 + 38x + x2 + 4788 + 252x = 5292 x2 + 290x = 743 x'=79+ 143 1+290 xl =79149 "Repetiam o cálculo até que aparecesse (fan-fan) um número cujo valor não se modificasse (convergência). Sendo esse número a solução desejada." x2 = 79149 + x x2 + 252x = 5292 (79149 +xY + 252 (79149 + x) = 5292 x2 + 290198x = 0166 x = 79 49 + 0,66 2 1 1+ 290,98 <: 79149 (valor convergente) x e o valor, aproximado, de uma das raizes' da referida equação.2 (2000,p.59) o matemático inglês Willian George Horner, em 1819 rebatizou o método fan-fan como método de Homer, que segundo FRAGOSO: Una realidade é um grande equívoco, mas que é aceito por muitos matemáticos de nossos dias." (2000, p.59) Mesmo com muitos métodos para a resolução das equações formadas por três termos (3~ + 15x + 24 = O), ou seja, as equações completas do 2° grau, os matemáticos ainda sentiam muitas dificuldades para solucioná-Ias, foi aí que surgiu a primeira fórmula resolutiva para esses tipos de equações. 4 Segundo FRAGOSO a denominação raiz foi feita pelos árabes para designar a solução de uma equação.(2000, p.59)
  22. 22. 17 1.2 - A PRIMEIRA FÓRMULA RESOLUTIVA DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU Os escribas da Babilônia, depois de muitos estudos, resolviam muitas equações do 2° Grau que podiam ser expressos na forma: x?- - bx = c, e segundo GUELLI, a resolução vinha sempre gravada na tabuleta, seguindo esta fórmula: x ~ ~(~ J+ c + ~ ,obtida do seguinte modo: x> - bx + (~J~c + (~J ( b)2 2 X-2 =c+ (~) x-~~FW' x = ~(~)' +c + ~ (1992, p.20) Portanto, segundo GUELLI era esta a fórmula que os escribas se apoiavam para resolver problemas, como este: "Qual é o lado de um terreno quadrado, se a área menos o lado é 12".(1992, p.20) As tentativas para se chegar a uma resolução correta das Equações do 2° Grau continuaram, e segundo BOYER, al-Khowarizimi escreve seu mais importante livro AI - jabr Wa'l muqabalah, pois nesse livro existe uma solução para essas equações, embora sejam realizadas somente com o uso de palavras e sem nenhum símbolo. (1974, p.166-167) Segundo GARBI, o nome Álgebra originou-se da palavra AL-Jabr, significa restauração e se refere a passagem de um termo para o outro lado da equação. Exemplo: x - 3 = 6, passa a x = 9, significando uma "restauração" de x - 3 de modo a tornar completa a incógnita x .(1997, p.22) Para resolver as Equações do 2° Grau, conforme GUELLI, como al- Khowarizimi não utilizava símbolos em seu livro, ele procedia da seguinte maneira: ----
  23. 23. 18 - Ao invés de x', ele escrevia quadrado; No lugar de x, colocava raizes; E por números, entendia os coeficientes das variáveis e os termos independentes. (1992, p.28) Segundo GUELLI, no AI-Jabr, al-Khowârizmi separou e classificou as Equações do 2° Grau em vários tipos: QUADRADOS IGUAIS A RAíZES X!= 5x QUADRADOS E NUMEROS IGUAIS AS RAIZES X! + 21 = 10X RAIZES E NÚMEROS IGUAIS A QUADRADOS 3X + 4 = X! QUADRADOS E RAíZES IGUAIS A NÚMEROS X! + 10X = 39 (1992, p.29) Mesmo depois de resolver e explicar algumas Equações do 2° Grau, al- Khowarizmi buscou na geometria, a resposta x = 3, para a equação x2 + 10x = 39. A representação geométrica para essa equação, segundo GUELLI, foi a seguinte: * Primeiro ele desenhou um quadrado, cuja área representa o termo x x * O termo 10x é interpretado como a área de um retângulo de lados 10 e x. 10 x
  24. 24. 19 * AI - Khowarizmi dividiu esse retângulo em quatro retângulos de área iguais entre si. 2,5 2,5 2,5 2,5 x * Aplicou cada um desses novos retângulos sobre os lados do quadrado de área x'. 2,5x 2,5x 2,5x 2,5x ~ Área da figura formada = = x2 + 4 . 2,5x = = x2 + 10x ~ A equação do 2° grau é x2 + 10x = 39, ou seja, a área dessa figura é igual a 39. Depois "completou o quadrado". 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5
  25. 25. r' r' r' r' r' r' ~ r' r rr> r' r' r' r' r' r r r r- -- 20 * A área desse quadrado é igual a: 39 + 4 . (2,5 . 2,5) = = 39 + 4 . 6,25 = = 39 + 25 = 64 * O lado do quadrado é dado por: .J64 = 8 • E finalmente al= Khowarizmi deduziu a raiz da equação: 2,5 + x + 2,5 = 8 x+ 5 = 8 x = 8 - 5 x=3 (1992, p.31) AI-Khowârizmi resolvia sempre as equações completando o quadrado perfeito. Mas, segundo GUELLI: " AI-khowarizmi não conhecia os números negativos. Por isso, seus métodos determinavam somente as raízes positivas e o zero". (1992, p.29) As buscas atrás de uma fórmula resolutiva para a Equação do 2° Grau foram continuando, segundo BOYER no século XII, o matemático hindu Bhaskara Akaria, nascido em 1114, escreve sua obra mais importante o livro Lilavati (nome de sua filha) seguido de outro livro Vija - Ganita, neles Bhaskara resolve muitos problemas de Equação do 2° Grau. (1974, p.161-162) Segundo GUELLI, um dos problemas de Bhaskara encontrado no livro Vija- Ganita é o seguinte: Um capital de 700 foi emprestado a uma certa taxa de juro ao ano. O juro obtido após um ano foi aplicado durante mais um ano. Se o juro total é de 75, qual é a taxa de juro?
  26. 26. 21 A resolução apresentada: */niciaImente: Capital = 100 Taxa de juro = x% *Após um ano: Capital = 100 + 100. ~=100+x 100 Juro obtido = x * Após mais um ano X x 2 Juro total = x + x. -= x+- 100 100 * Como ojuro total é 75, tem-se: x 2 X + -=75 100 100x + x2 = 7500 A resposta do problema é a raiz positiva da equação: x2 + 100x - 7500 = O (1992, p.35) Quanto a Bhaskara e outros matemáticos hindus, segundo GUELLI, a regra formulada para a resolução desse tipo de equação, é a seguinte: "Calcule a metade do capital ao quadrado, acrescente-a ao produto do juro total pelo capital, extraia a raiz quadrada e logo diminua a metade do capital". r- Esta regra pode ser traduzida através da fórmula: a (1992, p.36)
  27. 27. 22 Mesmo com toda dedicação e talento de Bhaskara, não foi possível deixar um processo (fórmula) para resoluções da Equação do 2° grau. Esse passo decisivo não foi dado por um matemático, mas por um jurista, advogado francês, François Viéte (1540-1603). Viéte manifestou seus primeiros passos para a criação da Álgebra puramente simbólica, pois segundo GUELLI: "Decifrar códigos era para Viéte o mesmo que resolver equações".(1992, p.39) Pensando na melhor maneira de decifrar esses códigos, Viéte elaborou o mais genial sistema de símbolos da matemática, no qual, segundo GUELLI, seu primeiro passo foi representar a incógnita de uma equação através de uma vogal, e também passou a abreviar algumas palavras: p Significava mais m Significava menos O traço sobre a letra é para mostrar, que ela estava sendo utilizada como um símbolo matemático. As equações passam então a ser expressas por meio de alguns símbolos: Exemplo: x+9= 12 A p 9 é igual a 12 x2 - Sx + 6 = O A área m AS p 6 é igual a O Os matemáticos daquela época foram então buscar outros símbolos para substituir p em. p Passou a ser representado por + m Passou a ser representado por -
  28. 28. 23 A partir daí, estes dois sinais entraram definitivamente para a Matemática. Exemplo: x + 9 = 12 A + 9 é igual a 12 X! - Sx + 6 = O A área - AS + 6 é igual a O vlête também representou a palavra vezes pela abreviação in. Portanto vlête ficou conhecido como "O Pai da Álgebra", através de uma idéia aparentemente simples, pois passou a representar as incógnitas de uma equação por vogais e os coeficientes literais das incógnitas por consoantes. Exemplo: ax + b = O B in A + C é igual a O ax' + bx + c = O B in A área + C in A + O é igual a O. A equação B in A área + C in A + O é igual a O, tem um significado muito importante, porque foi a primeira vez que um matemático conseguiu expressar as equações do 2° grau por meio de uma fórmula geral. (1992, p.39- 40) Não apenas VIETE se apoiou nos matemáticos da antiguidade, como também os matemáticos posteriores se apoiaram nele. Sendo assim as palavras que eram escritas por extenso foram sendo substituídas por símbolos. Um deles, segundo BOYER, foi o inglês RECORDE (1510-1558) que escreveu: "Porei, como muitas vezes uso no trabalho, um par de retas gêmeas de mesmo comprimento assim: --, porque duas coisas não podem ser mais iguais." (1974, p.197).
  29. 29. 24 Segundo GUELLI, este sinal foi usado por outro matemático inglês, HARRIOT (1560-1621), pois foi ele que introduziu o sinal de igualdade, ( = ). E também adotou uma nova notação para as potências das incógnitas. A área ~ AA Exemplo: x2 - 2x = O AA -A2 = O x2 - Sx + 6 = O AA -AS + 6 = O Ax2 + bx + c = O Bin AA + C in A + O = O Nessa mesma época o matemático e filósofo francês DESCARTES, (1596- 1650) aperfeiçoou os símbolos criados por Viéte da seguinte maneira: * Usou o expoente 2 para indicar A área; * Substituiu In pelo sinal x, depois. ; Passou a representar as incógnitas de uma equação pelas últimas letras do alfabeto: x,y,z: e os coeficientes literais das incógnitas pelas primeiras letras: a.b,c. (1992, p.40) Depois que Viéte expressou uma Equação do 2° Grau por meio da fórmula geral: B in Área + C in A + D é igual a zero, os matemáticos foram descobrindo outras propriedades nas equações. Portanto não foi uma única pessoa, nem um único povo que inventou a fórmula da Equação do 2° Grau. Por volta do século XVI, após trabalhar em várias propriedades das equações, matemáticos de muitas regiões do velho Mundo, quase simultaneamente, acabaram deduzindo uma única fórmula, a qual tornou possível a resolução de qualquer Equação do 2° Grau.
  30. 30. 25 A fórmula descoberta foi x = - b ± .Jb 2 - 4ac ,e teve o nome de fórmula de 2a Bhaskara, porque Bhaskara era capaz de resolver equações de 2° grau sem se prender à figuras. Esta fórmula é amplamente conhecida, segundo GARBI "...seu encontro fundamentou-se na idéia de buscar uma forma de reduzir o grau da Equação do 2° Grau para o primeiro, através da extração de raízes quadradas." (1997, p.23) Após a descoberta, outros matemáticos desenvolveram várias maneiras para a representação da Equação do 2° Grau, e entre eles destaca-se DESCARTES, o qual desenvolveu um método geométrico para obtenção da solução positiva. Segundo BOYER, "Descartes ia mais longe em sua álgebra simbólica, e na interpretação geométrica da álgebra, do que qualquer de seus predecessores". (1974, p.247) Por esse motivo solucionava geometricamente equações do tipo: x?- - bx - c2 = 0, com b e c positivos, e segundo FRAGOSO, procedeu da seguinte forma: Traçamos um segmento LM de comprimento c e em L levantamos um segmento NL igual a b/2, perpendicular a LM . Com centro N construímos um círculo de raio b/2 e traçamos a reta por M e N que cortará o círculo em O e P. Então, X1 = OM é o segmento desejado. x-----~~ M Desta forma as raízes são: X1 = OM e Xz = - PM 10 (2000, p.60)
  31. 31. 26 Também segundo FRAGOSO, o inglês LESLlE e o alemão STAUDT, no século XVIII, através de eixos cartesianos e de uma circunferência, conseguiram soluções positivas e negativas da Equação do 2° Grau. (2000, p.60) Hoje em dia a Equação do 2° Grau é muito popular e milhões de pessoas a conhecem. Ainda que ela não apareça na TV, está nos livros de Álgebra de muitos países, inclusive no Brasil, e mesmo que essas equações sejam explicadas de forma diversificada, ou seja, de acordo com cada autor e cada época, elas fazem parte do conteúdo disciplinar das oitavas séries.
  32. 32. 27 CAPíTULO 11 OS LIVROS DIDÁTICOS NO CONTEXTO DA SALA DE AULA Há muitos anos vêm se utilizando o livro didático como principal material didático para se trabalhar não só conteúdos matemáticos como também outros conteúdos na sala de aula, embora o mesmo tenha sofrido críticas por alguns, chegando ao ponto, até de uma proposta de extinção. Mas mesmo assim ele continua sendo, segundo PRADO, "um importante instrumento de trabalho e certamente permanecerá nessa condição por muito tempo". (2001, p.15) O livro didático deve conter informações e conceitos apropriados a propostas curriculares, devendo ser correto e vinculado a ponto de vista das áreas de conhecimento, e das diferentes propostas curriculares estaduais e municipais em vigor. E para que haja um bom aproveitamento por parte dos alunos, o mesmo deve ser utilizado como material de apoio, não se tornando o único recurso dispon ivel. Normalmente cada autor tem uma forma diferente para tratar os conteúdos, uns são simples e diretos, outros já se prolongam um pouco, pois segundo PRADO "cada autor propõe uma abordagem específica, sugere recortes, exemplos, exercícios e métodos diferentes de transformar conhecimento em pílulas digeríveis para os estudantes." (2001, p.15) Cabe ao professor procurar ir além dos conteúdos que o livro traz, pois muitas vezes podem existir temas importantes não abordados naquele escolhido. 2.1 -APRESENTAÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU EM LIVROS DIDÁTICOS A Equação do 2° Grau, como já vimos no capítulo anterior, surgiu há milhares de anos, e a sua resolução sofreu várias modificações para chegar na forma de resolução que conhecemos atualmente. Este conteúdo vem sendo apresentado nos livros didáticos da 8a série, normalmente de forma sistematizada, não existe a preocupação com a construção da linguagem algébrica, e poucos autores trazem fatos históricos, e quando o fazem r
  33. 33. 28 preocupam-se apenas com relatos bibliográficos, esquecendo-se da história como um todo, não havendo uma articulação com o meio social e cultural da época, para que tenhamos instrumentos de análise do contexto onde vivemos em relação ao conteúdo de Equação do 20 Grau. 2.1.1 - Análise Bibliográfica de Livros que Desenvolvem o Tópico de Equação do 2° Grau o aspecto metodológico difere na apresentação dos conteúdos nos livros didáticos, e isto influencia cada autor na forma de propor esses conteúdos. Devido a isto foram selecionados alguns livros destacando as décadas de 1950 a 1990 por considerarmos um período relevante em fatos históricos na Educação que caracterizaram a eminência de concepções de ensino marcantes para a compreensão das reflexões feitas na Educação Matemática. Uma síntese desses momentos históricos, pode ser identificado no documento de Fiorentini. (Anexo 1) Da década de 50 foram analisados três livros escolhidos aleatoriamente, assim como os demais livros, seguindo uma ordem cronológica da década de 1950 a 1990, conforme supra citado. O primeiro livro analisado foi o Curso de Álgebra, cujo autor é o Coronel Sinésio de Farias no ano de 1954, editora Globo- RJ, contendo 1065 páginas. Esse livro era para o uso dos candidatos à Escola Militar e à Escola de Aeronáutica. Apresenta a Equação do 2° Grau no capítulo XV, citando as equações completas, depois as incompletas resolvendo separadamente cada uma delas. Nas equações incompletas, o autor relata primeiro as formas que elas podem,.- se apresentar, depois as separa, discutindo suas resoluções, passo a passo. Na resolução das equações completas apresenta a fórmula como método de Bhaskara, deduzindo-a. Em seguida o método dos árabes, dizendo que este método representa apenas uma variante do método de Bhaskara e por último o método de Viéte que consiste em transformar a equação completa numa equação incompleta desprovida do 20 termo, mediante a substituição da incógnita por uma outra auxiliar, ligada a uma constante arbitrária da qual se dispõe para anular o coeficiente do termo
  34. 34. 29 do primeiro grau na transformada. Também é apresentada uma observação sobre a fórmula geral explicando cada coeficiente, depois a aplicação de todas as fórmulas com exemplos. Após é feita uma discussão da fórmula colocando as seguintes hipóteses: 18 - Quando C<O, pois segundo FARIAS:"o discriminante fica sendo uma soma aritmética b2 + 4ac e, conseqüentemente é sempre positivo, portanto sua raiz quadrada é um número real." (1954, p. 444) 28 - Quando C>O, segundo FARIAS "o termo conhecido da equação é positivo. O discriminante fica sendo uma diferença aritmética b2 - 4ac, portanto pode ser positivo, nulo ou negativo." (1954, p.445) Nesta hipótese o autor coloca alguns casos especiais, tais como: • O termo conhecido da equação é nulo; • O coeficiente do segundo termo da equação é nulo; • A equação só tem um termo. Em seguida apresenta um quadro de discussão da fórmula de Bhaskara, colocando a propriedade das raízes e as aplicações dessas propriedades, com quatro maneiras distintas de aplicações, as quais são: • Dadas às raízes de uma equação do 2° grau, formar a equação; • Achar dois números conhecendo sua soma e seu produto; • Reconhecer os sinais das raízes da equação do 2° grau, sem resolvê-Ia; • Dedução da fórmula de resolução da equação geral do 2° Grau. Após essas maneiras distintas, determina as seguintes funções das raízes: • Diferença das raízes; • Soma de potências semelhantes das raízes; • Soma dos inversos das potências semelhantes das raízes; • Funções simétricas das raízes. Antes de encerrar o capítulo o autor cita problemas em que as raízes da Equação do 2° Grau são sujeitas às condições dadas, e encerra o conteúdo colocando as equações de raízes comuns em dois problemas: com duas equações
  35. 35. 30 com uma raiz comum e com duas raízes comuns. Coloca também a composição da Equação do 2° Grau e o método das aproximações sucessivas encerrando com problemas. Outro livro analisado desta década foi o Curso de Matemática de 1957, cujo autor é Algacyr Munhoz Maeder, das Edições Melhoramentos - SP, com 233 páginas. Esse livro traz a Equação do 2° Grau como primeiro assunto, dando uma definição da equação e depois a resolução das equações incompletas. Nas equações completas ele cita que elas podem ser resolvidas por vários métodos distintos, mas devido ao curso será introduzida a dedução da fórmula somente pelo método dos árabes, pois a fórmula encontrada será a mesma de Bhaskara. Em seguida apresenta as aplicações da fórmula com dois exemplos, as fórmulas simplificadas com exemplos e uma lista com 30 exercícios sobre equações. Após o autor mostra a existência das raízes no campo real e a discussão dessas raízes. Continuando com um resumo dessas discussões, as relações entre os coeficientes e as raízes, sinal das raízes, composição da equação dada as raízes. Para encerrar o capítulo apresenta uma aplicação, exemplificando como encontrar a equação sendo dada a soma e o produto das raízes, encerrando com uma lista de 20 exercícios onde ele coloca as raízes para compor as equações. O último livro desta década analisado, foi o Matemática - 48 Série Ginasial, 1957 cujo autor é Ary Quintella, Editora São Paulo - SP, com 188 páginas. O primeiro assunto deste livro, também é a Equação do 2° Grau. O autor emite uma definição de equação, explica a resolução das equações incompletas e em seguida a resolução das equações completas através da raiz quadrada. Após deduz a fórmula de uma maneira simplificada, com alguns exercícios. Menciona também algumas simplificações da fórmula, tais como: • Quando o coeficiente de x?-é a unidade. Forma p, q; • Quando o coeficiente de x é um número par; • Os dois casos anteriores ocorrem simultaneamente. Por último traz uma discussão das raízes, discriminante, as equações fracionárias, as relações entre os coeficientes e raízes, aplicações das relações, tais ,..... como:
  36. 36. 31 • Composição das equações, dadas as raízes; • Achar dois números sendo dados sua soma e seu produto; • Resolução de sistemas simples do 2° Grau; • Raízes sujeitas a uma condição dada. Encerra o capítulo com uma lista de 110 exercícios, incluindo problemas. Prosseguindo nossa caminhada, foi feita uma análise de dois livros da década de 60, sendo um deles o Matemática - Curso Ginasial - 48 Série, cujo autor é Osvaldo Sangiorgi do ano de1963, Editora Nacional- SP, contendo 232 páginas. O conteúdo apresentado nesse livro é igual ao de 1958 do mesmo autor, inicia-se com o conjunto dos números reais, logo em seguida apresenta a Equação do 2° Grau, dando uma definição de equação. Exibe uma definição da equação completa e da incompleta, explicando a resolução e deduzindo a fórmula. Segue-se com exercícios de aplicação resolvidos, e posteriormente uma lista com 40 exercícios. A resolução da equação completa é retomada após os exercícios, seguida de mais exercícios de aplicação, depois uma discussão sobre as raízes, também seguidas de exercícios de aplicação. Nas fórmulas simplificadas apresenta uma lista de 70 exercícios, prosseguindo com as relações entre os coeficientes e as raízes. Finaliza com a resolução através da soma e do produto e a determinação dos sinais das raízes (regra de Descartes), seguidos de exercícios de aplicação, e uma lista com 7 exercícios subdivididos em outros. Outro livro desta década foi o Matemática - Curso Moderno, cujo o autor é Osvaldo Sangiorgi do ano de 1969, Editora São Paulo - SP , com 233 páginas. A Equação do 2° Grau é o segundo assunto nesse livro. O autor apresenta e explica os termos da equação, cita vários exemplos de equações completas e incompletas. Em uma pequena observação relata as equações incompletas que aparecem nos exemplos, em seguida apresenta um teste de atenção com três exercícios subdivididos, sendo esses para reconhecer as equações. Em um segundo momento explica como resolver a Equação do 2° Grau através da soma e do produto dos coeficientes, trazendo outro teste de atenção para determinar o conjunto verdade das equações com três exercícios subdivididos. E, em um terceiro momento apresenta a resolução através da fórmula, deduzindo-a e exemplificando através de exercícios resolvidos das equações
  37. 37. 32 completas e incompletas. Segue com uma lista com 50 exercícios de fixação, e exercícios explorando as raízes reais. Traz também uma discussão das raízes de uma Equação do 2° Grau no conjunto dos IR, seguidos de exercícios de aplicação resolvidos e exercícios de fixação. Antes de encerrar o capítulo são feitas às relações entre os coeficientes e as raízes, as conseqüências das propriedades das raízes de uma Equação do 2° Grau, em que o autor coloca três momentos: • Forma Soma e Produto (S, P) de uma equação do 2° Grau; • Composição de uma equação do 2° Grau, conhecidas as raízes; • Determinação de dois números dos quais se conhece a soma e o produto. Encerra o capítulo com dois exercícios de fixação, subdivididos em outros exercícios. Em 1970 foram analisados dois livros sendo um deles o Matemática na Escola Renovada do ano 1971, de Scipione Di Pierro Netto, Edição Saraiva - SP com 254 páginas. Nesse livro a Equação do 2° Grau é apresentada como segundo assunto, juntamente com as funções. O autor mostra primeiro a equação como função, depois as raízes da equação incompleta. Em seguida a resolução das equações completas deduzindo a fórmula e algumas aplicações resolvidas. Prossegue com a discussão das raízes, seguido de uma lista de exercícios divididos em seis seqüências, e cada seqüência contendo vários exercícios. Antes do término do capítulo apresenta as relações entre os coeficientes e as raízes, sendo as seguintes: • Relação da soma; • O produto das raízes; • Composição da equação: a~ + bx + c, quando se conhecem as raízes x' e x": • Questões que se resolvem com aplicações das relações entre coeficientes e raízes da equação: a~ + bx + c = o. Para encerrar o capítulo utiliza uma seqüência de três exercícios, subdividindo-os em outros. Também dessa década, foi analisado o livro de Matemática - 8a Série, de Osvaldo Sangiorgi do ano de 1978, Editora Nacional - SP com 198 páginas.
  38. 38. Nesse livro a Equação do 2° Grau é o segundo assunto. O autor inicia com uma pequena definição de equação, seguida de alguns exemplos, após o autor coloca uma explicação de equações incompletas e completas, partindo assim para a resolução da equação através da soma e do produto, sem se preocupar com a utilização da fórmula da mesma, segue com alguns exemplos. Logo após, apresenta a resolução através da fórmula resolutiva e a discussão das raízes com algumas aplicações. Antes de encerrar o capítulo, traz as propriedades das relações entre coeficientes e raízes, a forma Soma e Produto (S,P) de uma Equação do 2° Grau, com as respectivas fórmulas, a composição de uma Equação do 2° Grau, conhecidas as raízes, determinação de dois números dos quais se conhecem a soma e o produto. Finaliza com seis problemas de Equação do 2° Grau resolvidos e uma lista com diversos exercícios subdivididos, incluindo problemas. Continuando a análise dos livros, na década de 80 foram analisados dois livros, sendo um deles A conquista da Matemática, de José Ruy Giovanni e Benedito Castrucci do ano de 1985, da Editora FTO com 192 páginas. Apresenta a Equação do 2° Grau subdividida em sete unidades. Unidade 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. A unidade 3 intitula-se como Equações do 2° Grau. A introdução é feita através de uma situação problema, de onde é retirada a Equação do 2° Grau. Em seguida, a definição e os coeficientes da equação. O autor coloca as equações completas e incompletas juntas, mostra a equação completa como forma normal, ou seja, a equação propriamente dita (a~ + bx + c = O) e alguns exemplos para transformação das equações, quando estas não estão na forma normal. Prossegue com a resolução das equações incompletas, seguidas de uma lista com cinco exercícios de fixação subdivididos e a resolução de equações completas pela fórmula resolutiva, seguida de uma lista com vários exercícios, incluindo problemas. Para encerrar esta unidade o autor traz as equações literais completas, seguidas de exercícios, sendo os primeiros para a fixação deste assunto e em seguida exercícios complementares, trazendo as respostas dos exercícios realizados nas páginas anteriores. A unidade 4 tem o nome de Relações Entre os Coeficientes e as Raízes da Equação do 2° Grau. O autor inicia com uma introdução através de um problema para determinar a soma e o produto das raízes, apresentando duas relações:
  39. 39. 34 18 - A soma das raízes é igual a: - b , ou seja, x' + x" = - b . a a 28 - O produto das raízes é igual a : .:..,ou seja, x' . x" = .:... a a Em seguida o autor traz as aplicações dessas relações através de problemas, seguidos de exercícios de fixação. Segue com a aplicação das relações com a formação de uma Equação do 2° Grau, dada as raízes, seguidas de exercícios de fixação. Para encerrar esta unidade, o autor exibe uma lista com exercícios complementares. Na unidade 5, em que o autor coloca como Equações Sujeitas a Condições Dadas, inicia calculando o valor de um numeral literal, seguidos de quatro exemplos resolvidos, exercícios de fixação e encerra a unidade com exercícios complementares. A unidade 6 deste livro, é sobre as Equações Redutíveis ao 2° Grau e Equações Biquadradas, em que o autor inicia com uma introdução, uma definição, resolução e exercícios de fixação e complementares. A unidade 7 é sobre as Equações Irracionais e segue a mesma ordem da unidade 6. A unidade 8, é intitulada de Sistemas Simples de Equações do 2° grau, onde têm uma pequena introdução, resolução e exercícios de fixação. A última unidade vem a ser sobre Problemas do 2° Grau e segue com introdução, resolução com três exemplos, e uma lista com 18 problemas. O outro livro analisado desta década é o Curso de Matemática, de Osvaldo Marcondes, do ano de 1985, Editora do Brasil - SP, com 208 páginas. Nesse livro a Equação do 2° Grau é contida em uma unidade, que no início da mesma, o autor define a Equação do 2° Grau de uma forma geral ou normal, em seguida coloca que os coeficientes podem ser numéricos ou literais, após as equações completas e incompletas da forma em que se apresentam, partindo para a resolução das equações incompletas, exemplificando cada uma. Depois dos exemplos, o autor coloca uma lista com três exercícios, subdivididos em um total de 48 exercícios, passando a resolução das equações completas, através da fórmula de Bhaskara, explicando o discriminante, exemplificando-os. E em seguida apresenta uma lista com 65 exercícios.
  40. 40. 35 Continuando o assunto, o autor coloca as relações entre os coeficientes e as raízes entre a soma e o produto, seguidos de cinco atividades resolvidas, e uma lista com 29 exercícios incluindo problemas. Para encerrar o autor estabelece as condições de existência das raízes, com quatro exercícios resolvidos e uma lista com 10 exercícios. Para finalizar a análise dos livros, chegamos na década de 90, dela foram analisados três livros, sendo que o primeiro foi o Matemática na Medida Certa, de José Jakubovic e Marcelo Lellis, do ano de 1995, Editora Scipione - SP com 208 páginas. A Equação do 2° Grau nesse livro é desenvolvida no capítulo 2 e é colocada em forma de problema comparativo entre a Equação do 1° e 2° Graus, com uma definição. Em seguida, o autor passa alguns exemplos e exercícios. Depois dos exercícios o autor apresenta a fórmula de 8haskara e as suas resoluções, seguidos de outra lista de exercícios. Prossegue com as equações incompletas e as resoluções sem a utilização da fórmula de 8haskara. Para encerrar apresenta a soma e o produto das soluções da Equação do 2° Grau e a resolução mental fazendo uma comparação com a fórmula de 8haskara, seguidos de exercícios. O segundo livro analisado foi A Conquista da Matemática, de Giovanni Castrucci e Giovanni Jr., do ano de 1998, da Editora FTD - SP, com 304 páginas. Nesse livro a Equação do 2° Grau é apresentada no terceiro capítulo, mas este é subdivido em unidades, e a Equação do 2° Grau inicia na décima sexta unidade, encerrando na vigésima quinta unidade. Inicia o capítulo apresentando a equação como uma situação problema, na qual é colocada uma figura representando a parte de um escritório, e dela ele retira a Equação do 2° Grau, apresentando uma definição da mesma. Em seguida propõe alguns exemplos, com os termos da equação, segue com as equações completas e incompletas e exercícios de fixação. Após esses exemplos e exercícios, o autor mostra a forma normal, e como reduzi-Ia em uma forma normal. Continua com as resoluções das equações incompletas, resolvendo separadamente cada uma delas, com alguns exercícios resolvidos e após apresenta uma lista com exercícios de fixação.
  41. 41. primeiro o processo do completamento de quadrados seguidos de exercícios e na seqüência a resolução das equações através da fórmula de Bhaskara, demonstrando- a, e explicando os casos do discriminante. Os exercícios são colocados separados dos problemas, pois o livro apresenta um item com o título de Resolvendo Problemas. O autor finaliza com o estudo das raízes da equação, a relação das raízes e os coeficientes da equação, equações biquadradas, irracionais e sistema de equações. O último livro analisado foi Matemática - 88 série, de Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis do ano de 1999, Editora Scipione - SP contendo 344 páginas. Nesse livro, a Equação do 2° Grau é apresentada no capítulo 3 e o autor faz primeiro uma introdução sobre equações, colocando as idéias básicas de equações de primeiro, segundo e terceiro graus, com uma lista de exercícios para identificação das mesmas. Em seguida essas equações são resolvidas através da fatoração, sendo colocadas também as equações incompletas, porém não é citado que as mesmas são equações incompletas, e o autor prossegue com uma lista de exercícios. Depois destes exercícios é apresentado o trinômio quadrado perfeito com mais exercícios. Após essas resoluções, o autor demonstra a fórmula de Bhaskara, colocando a maneira de como aplicá-Ia, seguindo com exercícios propostos. Em seguida faz um resumo das resoluções de equações e apresenta mais uma lista de exercícios. Para encerrar, o autor apresenta sistema de equações, com diversos problemas. 2.2 - ANÁLISE DO MATERIAL PROPOSTO Observando estas análises, verifica-se que os autores não diferem no conteúdo da Equação do 2° Grau e que o mesmo desde a década de 50 é apresentado na 88 série. Atualmente defende-se a promoção de um trabalho metodológico que torne a aprendizagem mais significativa, e conseqüentemente o livro didático, enquanto principal ferramenta, deveria estimular estes procedimentos. No Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) encontramos:
  42. 42. 37 o livro didático de matemática, assim como os de outras disciplinas curriculares, tem tido grande influência na determinação do saber escolar culturalmente valorizado. Por isso, é importante que ele incorpore aquilo que é preconizado pelas novas propostas curriculares, pelas pesquisas e estudos concernentes ao ensino dessa área do conhecimento, que dão indicação sobre formas adequadas de promover uma aprendizagem mais significativa para os alunos. (1999, p.235) No entanto percebemos nas análises dos livros didáticos que desde a década de 50 até hoje não existe tanta diferença na introdução da Equação do 2° Grau. É relevante destacar que não queremos cometer o erro de generalizar esta opinião, pois podem existir livros aqui não analisados que façam uma abordagem mais significativa da Equação do 2° Grau. Porém ao analisarmos este material, e pela experiência que já temos em salas de aula concluímos que os livros didáticos abordam a Equação do 2° Grau de uma maneira linear, pois apresentam as equações incompletas resolvidas sem o uso da fórmula, e as equações completas através da fórmula, isto com algumas exceções, pois têm livros que apresentam as resoluções através da fatoração e outros livros apresentam a dedução da fórmula de Bhaskara, antes de introduzi-Ia, e outros ainda que raramente apresentam o processo de completamento de quadrados. Este processo, segundo GIOVANNI, CASTRUCCl E GIOVANNI JR, "é baseado na interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)2, o matemático árabe al-Khowârizmi, no século IX, estabeleceu um processo geométrico para a resolução de equações de 2° Grau com uma incógnita". (1998, p. 67) Sendo que este processo pode ser desenvolvido através do uso do Material Dourado, excelente recurso didático que poderia, e deveria ser mais explorado durante o desenvolvimento de conteúdos matemáticos na sala de aula.
  43. 43. 38 CAPíTULO 111 O MATERIAL DOURADO Segundo historiadores como BOYER e EVES, há dois mil anos, os matemáticos não sabiam expressar as sentenças matemáticas através da linguagem dos sinais e das letras, substituindo-as por números. Para resolver problemas de matemática e problemas práticos do dia a dia, utilizavam-se de uma álgebra geométrica. Sendo que uma dessas maneiras usada para resolução de equação do 2° Grau, por al-Kowarizmi era o completamento dos quadrados, método em que podemos utilizar o material dourado. O Material Dourado faz parte de um conjunto de materiais idealizados pela médica e educadora italiana, Maria Montessori nascida em Chiaravalle, perto de Ancona, no dia 31 de agosto de 1870 e falecida no dia 06 de maio de 1952 em Noordewijk, Holanda. Maria Montessori criadora do método pedagógico Montessoriano, foi a primeira mulher a se formar em medicina na Itália. Nos anos iniciais do século XX, ela se dedicou a educação de crianças excepcionais'', com as quais empregava o método terapêutico de Édouard Séguin, predominantemente pedagógico. Devido ao bom êxito deste método a doutora Montessori concluiu que métodos semelhantes a este poderiam ser empregados também com crianças normais da mesma faixa etária. Um dos materiais utilizados era chamado de material das contas amarelas, onde a dezena (ou o número 10) era formada por uma barra de dez contas dispostas em um arame. Esta barra era repetida dez vezes em dez outras barras ligadas entre si, formando um quadrado, "o quadrado de dez" somando o total de cem. Finalmente dez quadrados sobrepostos e ligados formavam um cubo "o cubo de dez", isto é, 1000. Esse material é conhecido hoje como Material Dourado sendo de grande ajuda na assimilação de conteúdos. 5 Conforme a Enciclopédia Barsa, consideram-se excepcionais as crianças que sofrem de cegueira, surdez, mudez, paralisia, retardamento mental, distúrbios cardíacos ou enfermidades capazes de perturbar qualquer dos sentidos. (1973, p.92)
  44. 44. 39 o Material Dourado, utilizado nos dias atuais, (Anexo 2) é constituído de madeira sendo formado por: • 1 cubo representando o milhar; • 10 prismas representando as centenas (placas); • 100 prismas representando as dezenas (barras); • 1000 cubos representando as unidades. Através deste material pode-se trabalhar diversos conteúdos, tais como: • Classe e ordem de um número; • Composição e decomposição de um número; • Números pares e ímpares; • Quatro operações básicas; • Números decimais e fracionários; • Áreas; • Produtos notáveis; • Equação do 2° Grau, entre outros. 3.1 - UTILIZAÇÃO DO MATERIAL DOURADO NA RESOLUÇÃO E COMPREENSÃO DA EQUAÇÃO DO 2° GRAU Nos livros analisados no capítulo anterior, nota-se que a resolução da equação do 2° Grau é proporcionada somente de forma algébrica e raramente é apresentado o processo geométrico para a sua resolução. Um método geométrico, embora não visto nos livros didáticos, é a utilização do Material Dourado para a resolução destas equações. Podemos utilizar o Material Dourado na Equação do 2° Grau, associando à cartazes representativos. É importante esclarecer o significado da planificação de objetos tridimensionais. Pois as peças que compõem o Material Dourado apresentam largura, espessura e comprimento.
  45. 45. Para fazer este trabalho podemos utilizar a planificação por rotação com as peças do referido material: - Cubo do milhar: ··········j··········i··········~··········;··········i····· ····i:::······ ... e- .••..~•." •••;:;:'••.••.••• ~ ~ ! ~ l··········!··········{··········f·········4··········!··········{··· ..·.·.·.·.·.·.'_i,··.·.·.···· .. ~ :.... ;.•••••. ~ ~ 1 ~ ~ ~..........: : .:. .:. ; :. !+-IIII-··········i·········· •.··········"'··········)··········j j•.••.••.•• .;.•••••.•••. ) .•••••••• ) ~ ~ l ~ ~ ~ ~ l ..........i i i l L i. .l L ~ . :1Jljl;:lr··········!··········{··········t··········}··········i··········~··········i··········~··········!·······,·· ~ ~ 1 ~ l ~! l '.;:
  46. 46. 41 Representação da planificação por rotação reduzida do cubo do milhar: Escala: 1: 2,5 cm
  47. 47. - Placa das centenas: 42 / / ::r:j:rirrri:r..........i ~ i i i ··~ ·.·; l · i . i i ~ ! l ! ! 1 j··········t·········t··········!·· ········l··· ..··0.0 ~ •••• o-o ···t··········~0'0 0'0 0'° 'l' 0·0· 0·0. 'i' 0'° ·········l::lli···f······j······j·········I········f··....... ............! ! ~++:0'0 0'0 ~ •• 0'0 •• • •• t.·0'0 0'0 •• ~ 0'0 ••••••• j , ~ 0·0 0.0 ::[111 ••••••11: Ir •••••••··v Representação reduzida da planificação por rotação da placa das centenas: Escala: 1: 2 cm
  48. 48. - Barra das dezenas: 43 Representação da planificação por rotação da barra das centenas: - Cubo das unidades: Representação da planificação por rotação do cubo das unidades: Desta forma o aluno visualiza cada uma das faces que constitui os prismas (peças do Material Dourado). r
  49. 49. 44 Isto é importante para que o aluno compreenda que quando representamos no plano as peças do Material Dourado, estaremos representando uma de suas faces da seguinte maneira: - o cubo menor será representado por um quadrado de lado medindo 1 cm: Material Dourado Desenho D 1 cm 1 cm - dez cubinhos formam uma barra, que será representada por um retângulo de área x: Material Dourado Desenho x 1 cm
  50. 50. 45 - dez barras formam uma placa, que será representada por um quadrado de área x2 : Material Dourado Desenho x / x A resolução de uma Equação do 2° Grau, através desse método, deve partir com a introdução da fatoração de polinômios, usando áreas do quadrado e retângulo, revisando e construindo essas áreas, relembrando também o trinômio quadrado perfeito e produtos notáveis, para assim chegar a resolução dessas equações, sendo que o aluno deverá montar formas quadrangulares e/ou retangulares com o Material Dourado e desenhá-Ias em seu caderno. Para o cálculo de áreas podemos utilizar os desenhos das faces dos cubos e/ ou dos prismas, onde a criança no desenho poderá visualizar essas áreas contando os quadradinhos.
  51. 51. 46 Exemplo: Calcular a área da face de um prisma retangular que mede 3 centímetro de comprimento por 5 centímetros de largura, utilizando o Material Dourado: Prisma Desenho / / / ~1, 5 cm IX 5cm 3cm No desenho a criança contará 15 quadradinhos, que será portanto a área desse retângulo, que é 15 cm2 . Pode-se solicitar à criança o cálculo de outras faces do mesmo prisma, por exemplo: 1- Calcular a área da face do prisma retangular que mede 5 cm de comprimento por 1 cm de largura: Prisma Desenho / / / 5cm 5cm 3cm 1 cm 1 cm Neste desenho a criança contará 5 quadradinhos, que será a área deste retângulo, que é igual a 5 cm2 .
  52. 52. 47 2 - Calcular a área da face do prisma retangular que mede 1 cm de comprimento por 3 cm de largura: r- Prisma Desenho / / / 1fr- .'1'11 ITIJ~ 1cm ~~ I~ 3cmr- ~ ~ 5itJ cm ~li rr> ~ 3 cm ..•...•. 1 cm Contando os quadradinhos, a criança obterá a área desse retângulo, que é igual a 3cm2 , Após alguns exercícios desse tipo, a criança notará que para calcularmos a área do retângulo basta multiplicar a base pela altura. Nestes exemplos temos: A= bxh A=bxh A=bxh A=3x5 A = 1 x 5 A = 3 x 1 A = 15 cm2 A = 5 cm2 A = 3 cm2 o cálculo da área é o primeiro passo para se compreender a Equação do 2° Grau, mas para que o aluno consiga compreender esta equação, deve-se aprender a fatorar, utilizando o fator comum com o uso do Material Dourado. Vejamos alguns exemplos:
  53. 53. 48 Exemplo 1 Construir um retângulo, usando um quadrado de área x? e três retângulos de área x: Material Dourado Desenho / / / / ~ x? 3x , , x ~i.I---":":x--~~~:• 3 ~ I ~. ~~ x+3 x+3 A área desse retângulo é x2 + 3x. Os lados do retângulo medem x e (x + 3), conseqüentemente, pela definição de área do retângulo, área igual base x altura (A = b X h), temos: x2 + 3x = x . (x + 3)
  54. 54. 49 Exemplo 2 Construir um retângulo usando três retângulos de área x e doze quadrados de área 1 (um): Material Dourado Desenho / / / / / i"'!"f--------+--+--+----1f--.v,;~':.3 .~f--------+--+--+~f--~·i;: ~ ...., f-------------~~~~~ x 4 x+4 x+4 A área desse retângulo é 3x + 12 Os lados do retângulo medem 3 e (x + 4) Logo: 3x + 12 = 3 . (x + 4)
  55. 55. 50 Exemplo 3 Construir um retângulo que tenha área igual à x!-- 2x: Material Dourado Desenho / x x ~1!~~, ~! x x No caso deste exemplo as barras da dezena serão sobrepostas sobre a barra das centenas, para representar menos duas, pois x2 - 2x significa que estamos diminuindo 2x de x!-, ao contrário da adição, pois como visto nos exemplos anteriores, as barras são acrescentadas ao lado da barra das centenas. Após a compreensão de área e fatoração utilizando o Material Dourado, vejamos como resolver as Equações do 2° Grau.
  56. 56. Exemplo 1 Seja dada a equação: x?-+ 3x +2 = O /~-----'/"--/"'--"'A . :;;t Material Dourado I~ Ix x + 1 *:~ I~ l.;:~ . 1--------+----If---f':'H~ . iV x x+2 r-----------,-,.---, . 1-----------1-+--1 .....·····1 Desenho 51 x x+1 x !-----------I_...I..--j . x+2 Resolução: Para resolver esta situação busca-se valores que tornem a igualdade verdadeira, portanto: (x +2) . (x+1) = O x +2 = O ou x + 1 = O x=-2 S = {-2; -1} x = -1
  57. 57. Exemplo 2 Dada a equação Xl - 2x + 1 = O Material Dourado x x 52 Desenho x x-1 ~. '-' 1---+-------; . x-1 x Neste caso trata-se também de uma subtração de 2x de x2 e ao mesmo tempo adicionando mais uma unidade, devido a isto as barras de dezenas estão sobrepostas a das centenas e do seu lado a unidade adicionada. Resolução: (x - 1) . (x - 1) = O x - 1 = O ou x - 1 = O x=1 x=1 S = {1}
  58. 58. /~-----/-r------~/------'/r-/-'--/r-/....,."'" . i ,~~ Exemplo 3 Dada a equação: 3x2 + 6x + 3 = O Material Dourado ••• x x ....---------r--------,r-------....--r---r---. . x 3x+ 3 Desenho x x x x L-- --..L- ---J'-- ....L--'---'----' . x 3x+ 3 53 x+1 1 x + 1
  59. 59. 54 ,-.. Resolução: (3x + 3) . (x + 1) = O 3x + 3 = O ou x + 1 = O 3x = -3 x = -1 x = -3/3 x =-1 S = {-1} Para que haja um melhor desempenho dos alunos nesse trabalho, seria necessário que o mesmo já tivesse contato com o Material Dourado desde as séries iniciais para a compreensão da tabuada, das quatro operações, de áreas e outros. Infelizmente sabemos que nem sempre isso ocorre, mesmo assim vale a pena o professor tentar resgatar o gosto dos alunos pela matemática utilizando materiais concretos, e o Material Dourado é um excelente início.
  60. 60. 55 CONSIDERAÇÕES FINAIS Devido aos relatos de professores com relação às dificuldades encontradas ao trabalhar a Equação do 2° Grau resolvi propor este trabalho, fazendo um resgate histórico de sua abordagem, seu surgimento e as diversas maneiras de como estas equações eram resolvidas, sem a utilização da fórmula de Bhaskara. Analisando o tratamento dado a Equação do 2° Grau em alguns livros ,.- didáticos da década 50 a década de 90, percebi que os autores não diferem na abordagem das mesmas e que desde a década de 50 até os tempos atuais, elas são introduzidas na 88 série e geralmente com a apresentação apenas da fórmula seguida de exercícios complementares, sendo que os livros mais antigos apresentavam uma listagem com aproximadamente 50 exercícios, enquanto que os atuais diminuíram a quantidade dos mesmos. Ao desenvolver este trabalho, pude notar que se o professor deixar de limitar- se a propor a Equação do 2° Grau apenas como o livro didático aborda e procurar trazer a história do surgimento da equação, não se limitando apenas ao relato de datas e de fatos históricos que constam em alguns livros, ele conseguirá um melhor desempenho por parte dos alunos. O resgate histórico facilita a elaboração do raciocínio envolvido na resolução da equação e o aluno percebe que ela não foi inventada pelo professor e que também não se trata de apenas mais um conteúdo abordado pelo autor do livro didático. A proposta da utilização do Material Dourado como alternativa no aprendizado da Equação do 2° Grau, propicia no aluno a visualização da resolução destas equações, sem a utilização da fórmula, proporcionando assim a compreensão destas resoluções, uma vez que o aluno tendo a visualização deste material apresentará uma maior compreensão do processo através do qual se chega ao resultado das equações. Durante este trabalho percebi que a matemática quando vista através de um material concreto, no qual o aluno visualiza os conceitos matemáticos ou quando o professor apresenta os conteúdos de maneira significativa, mostrando a sua evolução através dos tempos, o aluno percebe a importância dos conteúdos que ele está
  61. 61. 56 aprendendo e a matemática deixa de ser apenas memorizada, passando a ser compreendida. Embora o aluno nem sempre tenha a disponibilidade do Material Dourado para a resolução das equações, acredito que através da representação geométrica, a aplicação da fórmula se tornará mais fácil e acessível para o aluno, pois a partir do momento que ele entender o processo geométrico, poderá conseguir também entender o raciocínio lógico que o levou a chegar em um determinado resultado.
  62. 62. 57 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BONGIOVANNI, Vincenzo et aI. A matemática também tem história. In:-----. Matemática e vida: 58série. São Paulo: Ática, 1997. p. 8-15. BOYER, Carl B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1974. BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasllia, 1998. DI PIERRO, Scipione Netto. Estudo das Funções - As funções lineares e quadráticas. In:-----. Matemática na escola renovada. 3.ed. São Paulo: Saraiva, 1971. p. 32-89. DI PIERRO, Scipione Neto. Inequações do 20 Grau. In:-----. Matemática na escola renovada. 3.ed. São Paulo: Saraiva, 1971. p. 90-99. EVES, Howard. História da matemática. 2. ed. São Paulo: Unicamp, 1997. FARIAS, Sinésio de. Equações do segundo grau a uma incógnita. In:-----. Curso de álgebra. 5. ed. Porto Alegre - RS: Globo, 1954. p. 428-495. FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo dicionário da língua portuguesa. 2.ed. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1986. p.1627. FRAGOSO, Wagner da Cunha. Equação do 20 Grau: Uma abordagem Histórica. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Educação Matemática, Ano 7, n? 8, p. 57-61, jun 2000. FUNDAÇÃO BRASILEIRA PARA O DESENVOLVIMENTO DO ENSINO DE CIÊNCIAS - FUMBEC. Material Dourado Montessori: Manual de Atividades. GARBI, Gilberto G. O Romance das equações algébricas, São Paulo: Makron Books, 1997. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. Equações do 20 grau. In:-----. A Conquista da matemática: teoria, aplicação: 88 série. São Paulo: FTD, 1985. p. 38- 53. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. Relações entre os coeficientes e as raízes da equação do 20 Grau. In:-----. A Conquista da matemática: teoria, aplicação: 88série. São Paulo: FTD, 1985. p. 54-59. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. Equações sujeitas a condições dadas. In:-----. A Conquista da matemática: teoria, aplicação: 88 série. São Paulo: FTD, 1985. p. 60-62.
  63. 63. 58 GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. Equações Redutíveis ao 2° grau - equações biquadradas. In:-----. A Conquista da matemática: teoria, aplicação: 88 série. São Paulo: FTD, 1985. p. 63-65. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. Equações irracionais. In:-----. A Conquista da matemática: teoria, aplicação: 88 série. São Paulo: FTD, 1985. p. 66- 69. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito.Sistemas simples de equações do 2° grau. In:-----. A Conquista da matemática: teoria, aplicação: 88 série. São Paulo: FTD, 1985. p. 70-72. GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. Problemas do 2° Grau. In:-----. A Conquista da matemática: teoria, aplicação: 88 série. São Paulo: FTD, 1985. p. 73- 77. GIOVANNI, José Ruy; CASTRCCI, Benedito; GIOVANNI, José Ruy Jr. Equações de 2° grau. In-----. A Conquista da matemática: 88 série, São Paulo: FTD, 1998, p.60- 99. GUELLI, Oscar. Equação: o idioma da álgebra. São Paulo: Ática, 1997. (Contando a história da matemática, 2) GUELLI, Oscar. História da equação do 2° grau. São Paulo: Ática, 1992. (Contando a história da matemática, 3) HOUAIS, Antônio. (ed). Enciclopédia Mirador Internacional. São Paulo: Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1975. v.1,2. IMENES, Luis Márccio Pereira; LELLlS, Marcelo. Equações e sistemas de equações. In:-----. Matemática: 88 série. São Paulo: Scipione, 1999. p.73-108. JAKUBOVIC, José; LELLlS, Marcelo. Equações do 2° grau. In:-----. Matemática na medida certa: 88 série. São Paulo: Scipione, 1994. p.38-75. LlNTZ, Rubens G. História da matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 3. MIGUEL, Antonio. As Potencialidades Pedagógicas da História da Matemática em Questão: Argumentos Reforçadores e Questionadores. Revista ZETETIKE, Campinas v.5, n.8, p. 73-103. julldez. 1997. MAEDER, Algacyr Munhoz. Equações do segundo grau. In:-----. Curso de matemática: 48 série - Curso Ginasial. 11. ed. São Paulo: Melhoramentos, 1957. p.15-36. NOBRE, Sérgio. Alguns "Porquês" na História da Matemática e suas contribuições para a Educação Matemática. História e Educação Matemática, CEDES - 40. Centro de Estudos Educação e Sociedade. P. 29-35, Campinas - SP: Papirus, 1996.
  64. 64. 59 NOVA Enciclopédia Barsa. Rio de janeiro: Encyclopédia Britânica do Brasil Publicações Ltda, 1977. v.6. OLIVEIRA. Antônio Marmo de e SILVA. Agostinho. A contagem e a numeração. In:----- Biblioteca da matemática moderna. São Paulo: lisa. 1969. v. 1. P 15-30. PRADO. Ricardo. A avaliação do livros didáticos abre uma nova era para autores. editoras e. principalmente. professore. que têm a responsabilidade de fazer a escolha certa. Revista Nova Escola. ano XVI. n. 140. p. 14-19, mar. 2001. PROGRAMA NACIONAL DO LIVRO DIDÁTICO - PNLD. Guia de Livros Didáticos. Brasilia, 1999. QUINTELA. Ary. Equações do segundo grau. In:-----. Matemática: Quarta série ginasial. 22. ed. São Paulo: Nacional. 1957. p. 15-40. RABELO. Edmar Henrique. Textos matemáticos: produção e identificação. Belo Horizonte - MG. 1996. p. 49-57. SANGIORGI. Osvaldo. Equações do segundo grau. In:-----. Matemática: Curso Ginasial. 48 série. 22. ed. São Paulo: Nacional. 1958. p.19-48. SANGIORGI. Osvaldo. Equações do segundo grau. In:-----. Matemática: Curso Moderno. 4.ed. São Paulo: Nacional. 1969. v.4. p. 17-66. SANGIORGI. Osvaldo. Equações do segundo grau. In:-----. Matemática: Quarta série ginasial. 47. ed. São Paulo: Nacional, 1963. p. 19-48. SANGIORGI, Osvaldo. Equações do 2° grau. In:-----. Matemática 8, São Paulo: Nacional. 1978. p.19-44. TRIVINOS. Augusto N. S. Introdução à pesquisa em ciências sociais. São Paulo: Atlas. 1987. UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA. Relações Algébricas. Ponta Grossa. [199-]. Apostila digitada. VOMERO. Maria Fernanda. Tudo o que o Nada tem. Revista Super Interessante, São Paulo. ano 15. n.4. p.55-58. abr.2001.
  65. 65. 60 ANEXOS
  66. 66. Anexo 1 r ESTADO DO PARANA SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DEPART~~NTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU TEND~NCIAS DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NO BRASIL Daria Fiorentini Campinas: FE-UNIC~MP (Notas relativas a uma exposição realizada pelo autor numa mesa redonda em Londrina-PR, em julho/88, por ocasião do 69 Simpósio Sul-Brasileiro de Ensino de Ciências e Matemãtica) i Fazendo uma rãpida e superficial retrospectiva histórica das idéias pedagógicas em Educação Matemãtica que prevaleceram nos diferentes momentos históricos no Brasil podemos ident:l.ficartgros- so modo, várias correntes ou tendências. Até 1950, o ensino da Matemãtica se caracterizava pela ên- fase ~s idéias e formas da Matemática Clássica. Matemática esta que é fundamentada na matemática grega, especialmente nos elemen- tos de Euclides. A geometria especulativa e o estudo da lógica ti- nham um lugar de destaque, pois segundo a Escolástica; estas dis- ciplinas eram responsáveis pela "formação do espírito"; Este ensi- no "clássico-humanista", a nível do ensino secundário, erà privi- légio de poucos e destinava-se a formar uma elite nacioriál (geral- mente filhos dos senhores). Até 1930 a Matemática era dividida em 5 areas estanques: Álgebra, Aritmética, Geometria Plana e Espacial e Trigonometria ..A partir de 1930, sob a influência do positivismo - para o qual a Matemática é a ciência de relações e estreitamente ligadà e subju- gada ~ lógica e ~s ciências empíricas -, ás cinco áreas unificar- se-iam numa única ciência: a Matemática. As principais características pedagógicas e metodológicas do ensino da matemática nesse período foram: a) Sócio-politicamente: privilégio de poucos e bem "dota- dos". Na verdade, privilegiava-se à classe dominante uma matemáti- ca especulativa e reservava-se aos menos abastados economicamente, uma matemática puramente prática. - 1 -
  67. 67. ESTADO DO PARANÁ SECRET~~IA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DEPART~lliNTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU b) O conteúdo: era a-histórico, sistematizado, constituí- do de verdades prontas e acabadas, considerado valioso "per si " e não por seu valor instrumental em relação ao trabalho. Dava-se ênfase aos cálculos aritméticos e algébricos extensos e comple- xos, às identidades trigonométricas; à demonstração dos teoremas geométricos, a problemas de longos enunciados. c) Didaticamente; o ensino era livresco; cer~trado no pro~ fessor e no seu papel de ~ransmissor e expositor do conteGdo~ A aprendizagem do aluno era considerada passiva e consistia rià me- morização e na reprodução precisa das raciocínios e procedimentos ditados pelo professor ou pelos iivros. Ressalva-se de positi~oi no entanto, as exposiç6es de con- - ~ .. . ' cem demonstraçoes compreens~veis sem o formalismo atual e mecanicismo ped~gógico dos nossos "livros didáticos" d~ ho- te údo sem o je. Os professores de matemática tinham formações diversas{en- genheiros, padres, médicos, pedagogos, ou pessoas sem formação superior). Raramente eram graduados em Física ou Matemática: So- mente em 1934, na USPj surgiria o primeiro bacharelado em Matemá- tica no Brasil. Este quadro contribuiria para que, em gerai; os professores fossem autodidatas e se limitassem a repetir o qüe estava nos livros. Após 1950, em virtude do "Moví.me nt.oInternacional dâ Mà te- mática Moderna", do avanço da psicologia da aprendizagem ei par- ticularmente no Brasil; da realização dos cinco Congressos Brasi- leiros de Ensino de t-1atemática(1955, 1957, 1959, 1961 e 1966) i o ensino da Matemática passaria por grandes_ transformações; No 19 Congresso, em Salvador/1955 , seria apresentado um manifesto da CIEM~ no qual um grupo de matemáticos e pedagogos (Piaget, Gatenho, Diedoné ...), baseados nas afirmações de í?iaget de que havia um isomorfismo entre as estruturas operatórias do pensamento e as estruturas fundamentais da Matemática (Piãget; 1980) I defenderiam a reformulação curricular do ensino dã m~te~ mática à nível primário e secundário. A subordinação da Matêmá~
  68. 68. ~ '', . ESTADO DO PARANÁ SECRETARIÀ DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU tica à ld~ia de estrutural enêontraria na Teoria dos conjuntos; o pon t ó de apoio para a construção do "riovo" edifício Matemático; . Nó 29 Congresso, em Porto iüegre/19 571 já surgiriam al çuns esforç6s; ainda que isolados; para à introdução da Matem~tica Mo- derna; Neste momento ainda sep~rados; de um lado os psicopêdago- gos e} dê outro~ os matemát.icos (especialmente Sangiorgi); àcéna- vam pará a reforrnuiação curricular. Às primeiras propostas concretas de implantação surgiriam no 39 êongresso, no Rio/1959, cujos resultados puderam ser apre- sentados no 49 Congresso, em Belém/1961.6~.d..L&z1itd.twJda6:Wca..~.11b1. Neste mesmo ano, 1961/ seria fundado o GEEM-SP, quê con- tribuiria de maneira decisiva, através de cursos de sensibiliza- ção e de treinamento e da edição de livros textos, para a disse- minação da Matemática Moderna no Brasil. No entanto, a maneira corno as idéias desse Movimento che- gavam aos professores, e o modo cornoest.as se cruzavam com as contribuições da psicologia da aprendizagem (Piaget; Rogersi Bru- ner, Skiner, Ausubel), bem corno; as influências do movimento em- pirista oriundo da área de ciências; contribuiriam para; sáivo melhor juízo, configurar três tendências pedagógicas de Edücação Matemática, no Brasil, no período ~e 1950 a 1970. 1) A "Escola-novista" de inspiração psí.co Lôq.l.ca , qlJf! pre- coniza um ensino a partir de atividàdes onde o àiúnd é d'cêflttô da aprendizagem e é ele que; a_partir da mahiptiiaç~ó dê ffiªtªiiàis ou da ação, constrói espontaneamente os conceitos matem&tlêôs:. Dienes pode ser considerado o maior disseminàdot dessa pêdàª6~ià no Ensino da Matemática no Brasil. Diene~ não negá à Matêffi~tlda Moderna. Pelo contrário; em seu trab~lho "Geometria pelas Trans- formações", mostra cornoo aluno a partir de atividades pr§.t:f.càs ou da ação, pode chegar às estruturas formais da ma terná ti dâ i jirl especial às estruturas algébricas de grupo e corpo. Por~ful §stâ proposta não chegaria às escolas públicas. Ficariá restiitâ à ãi- .- gurnas escolas particulares e r principalmen te; a alg-uns grUpos eo- .. ,.:: .... /' mo por exemplo o GEEMPA-RS e o GEPEM-RJ .~'. O aspecto positivo dessa tendência e a vàlorizaç~d di iç~6 - 3 - . .;
  69. 69. r ESTADO 00 PARANA SECRET~RIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DEPARTAMENTO DE ENSINO DE PRIMEIRO GRAU do aluno e do processo de produção do conhecimento. O perigo des- sa tendência é o ativismo e o espontaneismo a que pode ser levado o ensino da Matem§tica e; além disso, o fato de não questionar a ciência matem§tica e sua relação externalista - sócio-cultural. 2) A outra tendência, mais estreitamente articulada ao Mo- vimento da Matem§tica Moderna, é a TECNICISTA-FORMALISTA. Esta provavelmente tenha sido a mais marcante na década de 60 e, prin- cipalmente, de 70. A maioria dos livros textos de matemática da época, em particular os de Sangiorgi e Castrucci, se inserem nes- ta tendência. A denominação tecnicista se deve ao fato de se enfatizar o emprego de técnicas de ensino, tais como, a instrução programada (estudo através de fichas, módulos instrucionais ...) e auto-ins- trução; porque enfatiza o fazer em detrimento do compreender ou do pensar; porque acredita que a formação e a memorização dos con- ceitos se dá pelo estímulo, pelo reforço, pela repetição sistemá- tica, pela seq~enciação mecânica e pré-determinada de passos. ~ formalista porque enfatiza o produto acabado da Matemá- tica (suas i5rmulas, suas definiç6es, iniciando geralmente por elas ...j em detrimento do processo de construção dos conceitos e de suas aplicaç6esi porque preocupa-se exageradamente com a lin- guagem, com o uso correto da simbologia, com a precisão, com o rigor metodolégico, com a exatidão dos resultados sem dar atenção aos processos que os produzem; porque enfatiza o lógico sobre o psicológico, o formal sobre o social, o sistemático estruturado sobre o histórico; porque acredita que a matemática é neutra - dissociada dos aspectos sociais e polític?s e, principalmente, porque reduz a Matemática a um conjunto de técnicas, regras e al- goritmos ... Ou seja, a tendência tecnicista-formalista não centra-se nem no professor (como no ensino tradicional), nem no aluno (co- mo na escola-nova), mas no conteúdo formal e, principalmente, nas técnicas de transmissão/assimilação desse suposto "conteúdo". - 4 -
  70. 70. 3) A outra tendência, é a TECNICISTA-EMPIRISTA. A diferen- ciamos da anterior por se contrapor, em parte, ao movimer.to da Matemática Moderna e por não enfatizar tanto sua estrutura inter- na, mas sim sua relação com as ciências empíricas. Se para a ten- dência formalista a Matemática. Pura e altamente sistematizada é o modelo de matemática a ser privilegiado, para a tendência empi- rista e a Matemática Aplicada o modelo a ser seguido. Por isso, esta tendência sofre influências dos paradigmas que regem o ensino de Física, Química, Biologia ... O método indu- tivo (entendido cornoo "científico"), através da experimentação (ou de medições, ou de levantamentos de dados ...), é que levará a construção das idéias abstratas da matemática entendidas cornomo- delos matemáticos. E, principalmente, com base na psicologia beha- viorista, propiciam o desenvolvimento das habilidades e atitudes dos alunos rªnfase nas habilidades e atitudes cie"tíficas). A Matemática seria então uma generalização levada a cabo por um processo empírico. Para isso se vale das técnicas de redes- coberta, de projetos ou de resolução de problemas. Por isso parte de atividades previamente programadas e que tenham a função de le- var o aluno a generalizar, a concluir resultados, desenvolvendo com isso suas habilidades e atitudes - principalmente aquelas que permitem integrá-Io socialmente. Nesta tendência podemos, em parte, situar os materiais pro- duzidos e divulgados pelos Centros de Ciªncias (PROCIRS, FUNBEC ..) e os trabalhos produzidos pelo projeto MEC/lMECC - UNICAMP. Sua prática pôde ser sentida com mais ênfase nos Ginásios Orientados para o Trabalho, PREMEN ... As tendências "escola-novista" e "erup í.r-Ls t a=t.ecn.í.cd st a" têm em comum a supervalorização dos processos da aprendizagem da Ma- temática. Metodologicamente propõem um ensino dinâmico, ativo, e "democrático" onde o importante "não é apreender, mas aprender a apreender" . No entanto, se de um lado enfatiza os aspectos psicopeda- gógicos, de outro, ignora a dimensão sócio-política da Educação Matemática. Ao levar em consideração as diferenças individuaiJ ,~'L·r,c,,'- - 5 -

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