Construção do hexaedro completa

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Construção do hexaedro completa

  1. 1. ONNY KLAYTONN PIRES DA SILVA J CONSTRUÇÃO DO HEXAEDRO ATRAVÉS DE DOBRADURAS Monografia apresentada para obtenção doTitulo de Especialização no curso de Pós Graduação em Matemática: Dimensões Teóricas-Metológicas, da Universidade Estadual de Ponta Grossa. Professora Orientadora: Sandra Mara Dias Pedroso PONTA GROSSA 2003
  2. 2. AGRADECIME TO A Deus, que me iluminou com seu Espírito Santo, transmitindo força e coragem para que pudesse chegar ao fim deste trabalho. A professora Sandra Pedroso, que me orientou durante o trabalho, e todas as vezes que eu desanimava, me transmitia coragem. Enfim, a todos que, de uma maneira ou outra, contribuíram para que eu pudesse concluir este trabalho. 11
  3. 3. Este trabalho procura mostrar as relações de aprendizagem existentes entre a disciplina de Geometria e trabalho com dobraduras analisando um poliedro em especial construído na sala de aula - o hexaedro. Considerações podem ser sintetizadas sobre alguns pontos no encaminhamento deste trabalho: a metodologia adotada nas aulas de Geometria Espacial necessita ser urgentemente reformulada para que essa ocupe o seu verdadeiro lugar na formação acadêmica dos alunos. Os professores dessa disciplina precisam, talvez, mudar o olhar, ainda hoje voltado e marcado pela visão tradicional, sem apresentar justificativas e relações entre a Geometria e os outros eixos matemáticos. Concluímos, que a Geometria associada ao trabalho de dobraduras propicia uma prontidão para a aprendizagem de conceitos geométricos. r r r r 111
  4. 4. SU .ÁRIO RESUMO iii I TRODUÇÃO 1 CAPITULO 1- UM POUCO DA HISTORIA DA GEOMETRIA 5 EUCLlDES O "PAI DA GEOMETRIA" 6 Conceitos primitivos 7 Axiomas 8 Postulados sobre pontos e retas 9 Postulados sobre o plano e o espaço 1O Diedros, triedros e poliedros 11 Diedros 11 Triedros 11 Â guio poliédrico 12 Poliedros 12 Poliedros convexos e côncavos 13 Classificação 14 Poliedros regulares 14 Relação de Euler 15 Poliedros piatônicos 16 Prismas 16 Elementos do prisma 18 Classificação 19 Secção 20 Áreas 21 Paralele ípedo 22 Paralelepípedo retângulo 22 Diagonais da base do paralelepípedo 23 Área lateral 24 Área to ai 25 Volume 25 IV
  5. 5. Cubo 26 Diagonais da base e do cubo 26 Área Ia eral 27 Área to ai 28 Volume 28 Generalização do volume de um prisma 28 Pirâmides 29 Elementos da pirâmide 30 Classificação 30 Secção paralela a base de uma pirâmide 32 Relação entre os elementos de uma pirâmide regular 33 Áreas 35 Volume 35 CAPITULO 11- ORIGAMI: UMA ARTE DE MÃE PARA FILHO 36 A ORIGEM DO ORIGAMI 36 QUAIS SÃO OS PAPEIS QUE PODEM SER UTILlZADOS? 37 A MATEMÁTICA E AS DOBRADURAS 38 CAPITULO 111-PROPOSTA DE TRABALHO PARA A GEOMETRIA ESPACIAL: CONSTRUÇÃO DE UM HEXAEDRO 39 PROCEDIMENTOS PARA CONSTRUÇÃO .40 Conceitos 42 Conceitos 43 CONSIDERAÇÕES FINAIS .48 REFERENCIAS 50 v
  6. 6. TRaDuçÃO Comecei a lecionar em 2001 no Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná de Ponta Grossa para as segundas e terceiras séries do Ensino Médio. Apesar de buscar sempre metodologias que tomassem as aulas mais dinâmicas e menos cansativas, os resultados me incentivaram a buscar estratégias que possibilitassem uma mudança gradativa no ensino-aprendizagem dos alunos Neste ano lecionei para a segunda série do Ensino Médio. No inicio discuti com os alunos o tipo de trabalho que eles gostariam de fazer e surgiram muitas idéias como de: jogos, dobraduras, teatro, música contextualizando a matemática. Sem influência direta, por parte do professor a questão do origami aparece e iniciamos a proposta. Apesar de no momento da aplicação da atividade não termos noção de sua dimensão e dispor de registros que não facilitaram a coleta de dados, nesse texto proponho uma forma diferenciada de trabalho concretizando o processo ensino-aprendizagem em Geometria. Entendendo que o curso de Especialização em Matemática: dimensões-teóricas metodológicas, tem como conclusão de seu curso, um projeto de monografia, e que esta será o primeiro passo para a atividade cientifica do pesquisador, compomos este texto, com o propósito de tomar claro os obstáculos inerentes ao aprendizado da geometria espacial, que tem dois componentes, um de forma conceitual e outro de forma figural. O componente conceitual, é através da linguagem escrita ou falada, que dependendo do nível de axiomatização expressa propriedades, que caracterizam uma certa classe de objetos. Já o componente figural corresponde à imagem mental que associamos ao conceito, que pode ser manipulada, no caso da geometria, através de movimento, de translação, rotação e outros. Harmonizar estes componentes é que determinará a noção correta sobre o objeto geométrico. Na formação da imagem mental, o desenho associado ao objeto geométrico desempenha papel fundamental? Para o aluno, nem sempre, isto se toma um suporte concreto de expressão de entendimento. E o que fica
  7. 7. 2 transparente na nossa atitude frente a um problema? A primeira atitude que tomamos é desenhar a situação, quer numa folha de papel ou quer na tela de um computador, por outro lado, pode ser um obstáculo a este entendimento, é interessante observar que, dependendo do estagio de desenvolvimento mental do aluno, este trabalha buscando a "perfeição" do desenho, como se esse fosse "o objeto geométrico ", deixando as propriedades geométricas, que dão existência ao objeto, em segundo plano. Até mesmo confundem, características físicas do desenho (espessura do traçado, tamanho do ponto) com propriedades geométricas. A esta questão do desenho interferindo no aspecto conceitual FISCHBEIN (1993), refere-se A dificuldade em manipular objetos geométricos, a saber, a tendência em negligenciar o aspecto conceitual pela pressão de restrições do desenho, é um dos maiores obstáculos para o aprendizado da geometria ... Freqüentemente condições figurais (de desenho) escapam do controle conceitual, e expõem, a linha de pensamento, interpretações que do ponto de vista de desenho são consistentes, mas que não são condições conceituais. Fica clara a dificuldade dos alunos, em termos de abstração, de separar a representação figural do objeto em si. KALEFF (1995, p.29) também aborda este tema da seguinte forma: As dificuldades apresentadas pelos alunos na visualização de sólidos geométricos e a desmotivação que muitos estudantes apresentam nas aulas de geometria espacial tem levado os educadores a buscarem meios para facilitar o ensino das propriedades geométricas dos sólidos e para tornar esse ensino mais atrativo e motivador. Pensamos que uma das formas de se desenvolver o raciocínio espacial é incentivando a construção de sólidos geométricos por meio de materiais concretos, o que leva o aluno a vivenciar os conceitos espaciais através de experiências elementares. Por exemplo, ao construir modelos de poliedros, o aluno tem a oportunidade de observar e utilizar diversas relações espaciais, ao mesmo tempo em que, através da manipulação dos materiais concretos, é motivado à ação e tem estimulado a sua criatividade.
  8. 8. 3 No entanto, a Geometria nasceu como uma ciência empírica, do confronto do homem com o seu meio ambiente. Os primeiros passos foram lentos, desde a idade da pedra, partiram de imagens de objetos, das relações espaciais entre eles e também entre suas partes. As relações espaciais existentes na natureza, serviram para o homem como fonte de inspiração, na elaboração de conceitos geométricos bem como em explicar essas relações quase perfeitas na natureza. Através de uma ativa observação humana foram criados objetos com formas cada vez mais regulares, o que facilitava sua produção. O caminho trilhado pela história geométrica na humanidade é o que pode ser percorrido pelo aluno. Ele deve partir da observação ativa, manipulando objetos, construindo, medindo, comparando, modificando, classificando e até desenhando. Dentro deste ideal, faz-se necessário à busca de altemativas didáticas no ensino/aprendizagem da geometria. Um caminho que pode ser utilizado pelo professor seria o uso da dobradura como material didático, já que ele ajudará o aluno a construir os conceitos geométricos existentes. Na busca de novas metodologias de ensino da geometria, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do ensino fundamental apontam que: As atividades geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de procedimentos de estimativa visual, seja de comprimento, ângulos ou outras propriedades métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenhos ou de medida. Isso pode ser feito, por exemplo por meio do trabalho com dobradura, recortes, espelhos, empilhamento ou pela modelagem de formas em argila ou massa. (1997 ,p. 128). Este trabalho destina-se a descobrir se as dobraduras podem ser um novo caminho no ensino da Geometria Espacial. Assim pretendemos apresentar uma proposta de ensino em geometria espacial, através do uso da dobradura, relacionando o estudo dos conceitos geométricos existentes nesse processo. A presente monografia pretende investigar a viabilidade de abordagens que tornem o ensino de matemática atraente e prazeroso para o aluno, desmistificando-a como uma disciplina difícil, principalmente no referente a
  9. 9. 4 Geometria Espacial, e colocamos como objetivo, propor uma metodologia altemativa para o ensino e aprendizagem da Geometria com a construção do hexaedro através de dobraduras, no Ensino Médio. Este trabalho traz no primeiro capitulo um breve resgate sobre o surgimento da geometria contemplando dados da Geometria Plana e finalizando com definições de conceitos sobre poliedros. No segundo capitulo as questões do origami são coiocadas trazendo suas características instrumentais e relacionando a matemática com as dobraduras. o terceiro capitulo destaca a proposta de trabaiho, que serviu de apoio para a construção do presente texto onde a dobradura é tratada como instrumento para o ensino da Geometria Espacial no Ensino Médio. Os pressupostos são explicitados, assim como, os encaminhamentos da atividade. As considerações finais pontuam uma reflexão sobre o atual ensino de Matemática e prática do professor, apontando para que uma proposta, como a desenvolvida nesse trabalho, venha a ser incorporada nas ações do professor de Matemática.
  10. 10. 5 APíTULO I UM POUCO DA HI ÓRIA DA GEO ViETRIA r Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um astuto esquadro e, sob eie, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, o homem criava, ao sabor da experiência, as bases da geometria. E realizava operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas. A origem da geometria (do grego medir a terra), parece coincidir com as necessidades do dia-a-dia do homem. Repartir terras às margens dos rios, construir casa, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica trazem os conhecimentos geométricos geralmente ligados à astrologia. Dos gregos anteriores a Euclides (300 ac), Arquimedes e Apolônio, constam apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra do século V ac, refere-se a Tales de Mileto como introdutor da geometria na Grécia, por importação do Egito. Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo retângulo que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática e que levou o seu nome. Os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados e axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda a geometria
  11. 11. 6 chamada euclidiana, aplicada até hoje, apesar da existência de geômetras não- euclidianos baseadas em postulados diferentes e contrários aos de Euclides. EUCLlDES O "PAI DA GEOMETRIA" Não se pode falar da geometria sem mencionar um grande matemático grego que viveu aproximadamente de 330 ac a 270 ac, chamado Euclides. Da sua vida pouco se sabe, apenas que provavelmente estudou na Academia de Platão, em Atenas, que se tomou professor e estudioso da escola de Alexandria, conhecida como Museum. Os "Elementos", tratado composto por treze livros, que escreveu enquanto esteve no Museum 1 , foi o seu trabalho de maior influência. Euclides compilou e sistematizou muito dos resultados matemáticos mais importantes conhecidos no seu tempo. Através de uma lista de definições, postulados e axiomas, ele provou uma proposição após a outra, baseando cada prova apenas nos resultados precedentes. Da mesma forma, o conteúdo dos "Elementos", consiste de Geometria e da Teoria dos números, faz parte do núcleo da matemática básica de hoje. Conta que quando o governante egípcio Ptolomeu I, perguntou a Euclides, se havia um caminho mais curto para estudar geometria que não fosse os Elementos, ele respondeu ao faraó que "não existe um caminho majestoso para a geometria." Euclides também escreveu outros livros sobre a ótica e as seções cônicas, onde a maioria deles foi perdida. Os Elementos de Euclides, foi um texto usado nas escolas por aproximadamente 2000 anos e que lhe rendeu o nome de "Pai da Geometria". Seus livros são os mais difundidos da história. Mais de mil edições foram impressas desde a primeira versão impressa de 1482 e mesmo antes desta data foram os textos básicos da matemática padrão do ocidente. O desenvolvimento axiomático da aritmética e a qualidade das definições evoluíram muito desde a I Escola de Alexandria, fundada por Euclides durante o reinado de Ptolomeu I, onde havia a biblioteca mais impressionante da antiguidade, com cerca de 700.000 volumes.
  12. 12. 7 época de Euclides, porém o valor fundamental dos textos euclidianos é difícil de ser superado. Com base na Geometria plana (euclidiana), foi possível ampliar os conceitos da Geometria Espacial (euclidiana), que trata dos métodos apropriados em relação a esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos fazer são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Nesse trabalho monográfico será dado maior ênfase aos poliedros, mas para que compreendamos o desenvolvimento da proposta retomamos alguns conceitos geométricos assim como suas representações, pois precisamos trabalhar com a Geometria de uma forma orgânica, buscando o encontro desse eixo com os demais eixos da Matemática e com a própria Geometria. Para tal buscamos esclarecer: conceitos primitivos, axiomas, diedros, triedros, poliedros e outros. Conceitos primitivos São conceitos pnmmvos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação: • pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto • retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
  13. 13. 8 • planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. Por exemplo, a figura a seguir, podemos escrever: P E r Q E s rvr sCL"J'erCll' Axiomas Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o des nvolvimento de uma teoria.
  14. 14. 9 Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos. Postulados sobre pontos e retas P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. s P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. u P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
  15. 15. 10 P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas. -....•. Postuiados sobr o plano e o esp ç : P5 ) Por três pontos não-colineares passa um único plano. P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado. P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
  16. 16. 11 Pa) Toda reta pertenc nte a um plano divide-o em duas regiões chamadas semipíanos. P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamado semi- spaços. iedros, triedros, por tros Diedros Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, det rminam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simpl sment diedro: (orej/: faces do diedro r: aresta do diedro Triedros Três serni-retas não-coplanar s, com orig m num mesmo ponto, d terminam três ângulos que formam uma figura qeorné trica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:
  17. 17. 12 v guio polié ico Sejam n n ~ 3 semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico. v S4 S2 Poliedro Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
  18. 18. 13 I ~-- -------,.,./ Os poiígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos poiígonos são as arestas e os vértic s do poli dro. Poliedros convexos e cõncavos Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poli dros encontram-s inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos. Isso não acontec no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
  19. 19. 14 Classificação Os poiiedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo: • tetraedro: quatro faces • pentaedro: cinco faces • hexaedro: seis faces • heptaedro: sete faces • octaedro: oito faces • ícosaeoro: vinte faces -Poliedros reguiares Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas. Existem cinco poliedros regulares: 4§1 I I •......... '- --- _..." . Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro Dodecaedro lcosaedro
  20. 20. A seguir, apresentamos planificações dos cinco poliedros regulares acima: Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro lcosaedro Essassuperfícies sugerem come construir modelos de poliedros regulares. Relação de Euler Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte: V-A+F=2 15 em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F,o número de faces. Observe os exemplos:
  21. 21. 46 Para o encaixe a aba de uma deve ser inserida na abertura iateral da outra. As peças encaixadas formam uma figura retangular quando postas sobre um "aparato". Suspendendo uma das faces, obtém - se um diedro. Para fins didáticos a terceira face será colocada na seqüência do retângulo ampliando a área do primeiro retângulo. Estudando a nova figura observa - se que é formada por três quadrados que "suspensos" formariam a superfície lateral de um prisma. A quarta peça tem a mesmo tratamento da terceira peça, sendo colocada na seqüência da mesma. Tirando as peças da planificação observa - se que se constrói a superfície lateral de um prisma quadrangular, cujas faces laterais são figuras quadradas. Para o hexaedro há necessidade do encaixe de mais duas peças, que constituem as bases do sólido.
  22. 22. 47 / Vértice • Aresta Face A partir do hexaedro construído, o professor poderá, junto com seus alunos, levantar os conceitos de Geometria Espacial, como: Aresta - (do latim, espiga). Interseção de dois planos; segmento de reta comum a duas faces de um poliedro; linha comum a duas superfícies de um sóiido. Vértice - Ponto comum a duas ou mais semi-retas, ou segmento de retas. Face - Superfície limitada de um sólido geométrico. Ângulo poliédrico - Ângulo formado pelo encontro de vários planos que se cortam num mesmo ponto.
  23. 23. 48 o IDE A ÕE FI AIS A proposta desta pesquisa visa não só auxiliar os professores de mat mática, no ensino da Geometria Espacial, mas também resgatar os conceitos da Geometria Plana que, para alguns alunos, ainda estão vagos. ão entendemos e nem colocamos que esse seja a "salvação" do ensino da Geometria Espacial, mas é um caminho que, sendo estudado, discutido e d senvolvido pode render bons resultados e enriquecer a prática do professor de Matemática. Acreditamos sim que os conceitos geométricos devem ser trabalhados de uma forma concreta e intuitiva, dando assim ao aluno uma oportunidade melhor na abstração dos mesmos, pois como cita D'AMBROSIO (1989, p. 15) "os professores em geral, mostram a matemática como um corpo de conhecimentos acabado e paiido. Ao aluno não é dado em nenhum momento a oportunidade ou gerada a nec ssidade de criar nada, nem mesmo uma solução mais interessante." A proposta da dobradura como um recurso didático, pode ser geradora de vários fatores que não envolvem somente os conceitos geométricos, ela poderia ser o foco c ntral d ntro de uma interdisciplinaridade, ou geradora da própria motivação dos alunos. Enfim ela vai muito ai' m da proposta aqui apresentada. - o origami na sala d aula contribui d forma mais rapida para a efetivacao de um trabalho cole ivo, afinal trabalhar coletivamente e uma das xigencias da atual sociedade, por isso a sala de aula, assim como a escola não pode deixar de oportunizar aos alunos tal experiencia. Vale I mbrar a importancia do r gistro por parte do prof ssor m r lacao as suas praticas, visto qu atividad s como essa, s mpr que xecutadas t ndem a ser enrequecidas pela contribuicao dos alunos e levam o professor a um processo de reflexa o maior, pois quando se trabalha dentro de uma proposta como essa, el podera rev r suas concepcoes d nsino e aprendizagem alem de
  24. 24. 49 aprofundar seus conceitos em reiacao a Geometria atraves de novos referenciais e pesquisa. Com esse tipo de trabalho, ntendemos que os alunos terão um melhor aproveitamento com relação aos conteúdos, pois eles resgataram os conceitos de Geometria Plana e manipulando o sólido construído, poderão ter maior facilidade em entender os conceitos de Geometria Espacial. A proposta está iançada agora depende do comprometimento, disponibilidade e conhecimento do professor, em tentar sair da sua rotina de trabalho em busca de novos recursos didáticos, para que não haja uma aprendizagem desvinculada da realidade do aluno. - •
  25. 25. 50 REFERÊNCiAS ANGOITi, J. A. P.; DELlZOICOV, D. N. Física. São Pauio : Cortez, 1992. BARATOJO, J. T. Dicionário de Matemática para o 1° grau. Porto Alegre: Sagra: DC Luzzatto, 1994. BOYER, Carl B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher 1974. BRASiL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental: Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, 1998. D AMBROSIO, B. S. Como ensinar matemática hoje. in:Temas e Debates. SBEM Ano 11, 1989. FETSSOV, A I. A demonstração em geometria. Tradução: Hygino H Domingues. São Paulo: Atual, 1994 (Matemática: Aprendendo e Ensinando ). GENOVA, A. C. Brincando com origami.São Paulo: Afilhada, 2002. IMENES, L.M. Vivendo a Matemática, Geometria das Dobraduras. São Paulo:Scipione, 1988. KALEFF, A. M. Varetas, canudos, arestas e sólidos geométricos. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, n 28, p. 29 - 1995 -- - •
  26. 26. 16 V=8 A=12 F=6 12-18+8=2 V=12 A=18 F=8 8 - 12 + 6 = 2 Poliedros platônicos Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se: a) for convexo; b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas; c) toda face tiver o mesmo número de arestas; d) for válida a relação de Euler. Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico. Prismas Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, <1' e ,d, um polígono convexo R contido em a e uma reta r que intercepta ~1'e -: mas não R:
  27. 27. 17 Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento pp paralelo à reta r (p E ,b? : Assim, temos: r
  28. 28. 18 Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes PP paralelos a r. Elem nto Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos: bases:as regiões poligonais R e altura:a distância h entre os planos t"r e ,ti•
  29. 29. 19 • arestas das bases:os lados AB ,BC ,CD,DE,EA,A'B' ,B'C', C'D',D'E' ,E'A' (dos polígonos) •• arestas laterais: os segmentos AA', BB' , CC',DD', EE' faces laterais: os paralelogramos AA'SB', BS'C'C, CC'O'O, OO'E'E, EE'A'A Classificação Um prisma pode ser: reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases; •• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases. Veja: prisma oblíquo prisma reto Chamamos de prisma regular todo prisma reto cujas bases são polígonos regulares: r
  30. 30. 20 triângulo equilátero hexágono regular I I I I ".,A, ". ,". -, prisma regular hexagonal prisma regular triangular Observação: As faces laterais de um prisma regular são paralelogramos congruentes. Secção Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma. Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções transversais são congruentes (figura 2). figura 2 figura 1
  31. 31. 21 reas Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície as faces laterais e as faces das bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas: a) área de uma face (AF):área de um dos paralelogramos que constituem as faces laterais; b) área lateral ( AL):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces laterais do prisma. No prisma regular, temos: AL = n . AF (n = número de lados do potíçono da face que constitui a base) c) área da base (AB): área de um dos políqonos das bases; d) área total (A ): soma da área lateral com a área das bases Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos: a r' a »<; r- h ".. ,..... r- I"'" "... /""..
  32. 32. 22 AF =ah A.~ = 6ah A.!l = 3a~ -./3 (área do hexágono regular ) t:. Par I lepíp do Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter: b) paralelepípedo reto a) paralelepípedo oblíquo Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, ortoeoro ou paralelepípedo retângulo. Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, e c da figura:
  33. 33. 23 H a b I I I C 6< D ?------./ c c c A a 8 Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas. Diagonais da base e do paraielepípedo Considere a figura a seguir: """ r=- é"' H r"' r' D '""""' c ""' ;'" »< ;'" ""' '""""' """"' ,-.. '"'""' r> r- é"' '"' r> r> G c db = diagonal da base F dp = diagonal do paralelepípedo
  34. 34. 24 Na base ABFE, temos: F b A 8 a No triângulo AFD, temos: D c F A d b Área lateral Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos: a c c AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc) -------- ---
  35. 35. 25 Área total Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas: b b AT= 2(ab + ac + bc) Volume Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4,2 e 2, podemos decompô-Io em 4.2.2 cubos de aresta 1: 2 4 Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por: v = abc Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o
  36. 36. 26 volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base AB pela medida da altura h: c=h Cubo Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadradas. a Diagonais da base e do cubo Considere a figura a seguir:
  37. 37. E Na base ABCD, temos: a No triângulo ACE, temos: E a c Área late ai 27 dc=diagonal do cubo db = diagonal da base A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de lado a:
  38. 38. 28 H G E F a a A B A a · .· .· . .......•.•.•.•.•.•....•.•..•..•.•..•..•.•...•...•" Área o ai A área total AT é dada pela área dos seis quadrados de lado a: G F a H A a B Volume De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por: v= a. a. a = a3 Generalização do volum de um pri ma Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
  39. 39. 29 Dados dois sólidos com mesma altura e um plano a, se todo plano ,d, paralelo a a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais: S 1 é um paralelepípedo r tângulo, então V2 = Ash. Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela m dida da altura: Dados um polígono convexo R, contido em um plano a, e um ponto (vértice) fora de a, chamamos de pirâmide o conjunto de todos os segmentos VP,PER
  40. 40. 30 v Elementos da pirâmide Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos: v •• base: o polígono convexo R ----- arestas da base: os lados AB, BC, CD, DE,EA do poliqono --------- arestas laterais: os segmentos VA,VB, VC, VD, VE faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VOE, VEA altura: distância h do ponto V ao plano •• •• li Classificação Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.
  41. 41. 31 Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc. Veja: v v pirâmide reguler hexagonal pirâmide regular quadrangular Observações: ia) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e todas as arestas são congruentes). tetraedro tetraedro regular
  42. 42. 32 2a ) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides, de base quadrada, são triângulos qüilát ros, o octaedro é regular. octaedro octaedro regulÕlr Um plano paralelo à base que interc pt todas as ar stas laterais determina uma secção poligonal de modo qu : • as arestas laterais a altura sejam divididas na mesma razão; a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes; • as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice. r
  43. 43. 33 v VA' VB' VC' VD' VE' h -=-=-=-=-=- VA VB VC VD VE H área A'B' C'D'E' h 2 áreaABCDE H 2 Relação entre os elementos de uma pirâmide regular Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral I e aresta da base a: v F MC=~ 2 h 2 =1 2 -a 2 A
  44. 44. 34 Assim, temos: •• A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio 08 = R. OM = a.f3 (apótema da base) 2 8 M c • A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceies. v V},-f é o apótema da pirâmide (altura de uma face lateral) B c M • Os triângulos V08 e VOM são retângulos . f'" /""' V V r-' r>. /""' h h ",.... M 8 o r O a r ('.
  45. 45. 35 Áreas Numa pirâmide, temos as seguintes áreas: a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais b) área da base (AB): área do poliqono convexo ( base da pirâmide) c) área total (AT): união da área lateral com a área da base Para uma pirâmide regular, temos: onA 6 l =n.- 2 em que: b é a aresta da base; 9 é o apótema; n é o numero de arestas laterais P é o semiperímetro da base; a é o apótema do poliqono da base r' Volume r O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
  46. 46. 36 CAPíTULO 11 ORiGA i: U~ A ARTE DE ÃE PARA FILHO Origami é uma arte milenar japonesa e consiste em dobrar papel, cujo nome de origem orikami significa dobrar papel: ori - dobrar, Kami - papel, transmitida de geração em geração entre os japoneses, desenvolveu -se de forma tão cativante que conquistou o mundo Para a confecção de uma peça faz-se necessário seguir algumas regras. A primeira é obter-se uma folha de papel quadrada e no processo não utilizar cortes embora estas não sejam regras absolutas. O origami desempenha um papel muito importante no desenvolvimento intelectual da criança, uma vez que desenvolve a capacidade criadora, além de contribuir para o desenvolvimento da psicomotricidade, também serve como terapia e desenvolve a destreza e as habilidades manuais. A ORIGEM DO ORIGAMI Há aproximadamente 1800 anos a China fabricava papel pela mace ração de cascas de árvores e restos de tecidos e a esse momento está presa à origem do origami. Quando o papel foi introduzido no Japão entre os séculos VI e X, por monges budistas chineses, somente a nobreza tinha acesso a ele por ser um produto de luxo, utilizado em festas religiosas e na confecção dos moldes dos quimonos. Os japoneses divulgaram as figuras que criavam através da tradição oral, onde as formas eram passadas de mãe para filha. Mantendo-se assim as formas mais simples, pela ausência de um registro formal. As primeiras instruções escritas sobre o Origami apareceram em 1797 com a publicação do "Senbazuru Orikata" (Como Dobrar Mil Graças) . Só então, a partir da fabricação do seu próprio papel, o restante da população começou a aprimorar essa arte, deixando de ser transmitido somente de pais
  47. 47. 37 para filhos e desde 1876, passou a fazer parte integrante do currículo escolar desse país. Enquanto isso, na Europa, a arte das dobraduras em papel também estava sendo desenvolvida na Espanha. Os árabes trouxeram o s gredo da fabricação do seu próprio papel para o Norte da África e, no século VIII os mouros levaram este segredo até a Espanha. A religião dos mouros proibia a criação de qualquer figura simbólica, de modo que as dobraduras em papel eram usadas por eles apenas para estudar a Geometria presente nas formas e nas dobras. QUAIS SÃO OS PAPEIS QUE PODEM SER UTILIZADOS? O papel para o origami pode variar desde o mais simples (sulfite) até os mais sofisticados. O papel sulfite e o chamado papel ofício, com formato retangular de 23 cm x 21,5 cm é de cor branca. Dá à peça uma ótima sustentação. Para dar maior realce às peças podemos utilizar o papel espelho inclusive para as peças de grande porte este tipo é adequado, assim como o Kraft. Já o papel, laminado por apresentar brilho numa das faces, e o papel camurça, pela sua textura ligeiramente aveludada e maleabilidade, dão um efeito especial a cada peça. O papel vegetal com sua transparência, dá leveza e suavidade às dobraduras, mas é preciso muito cuidado na confecção, porque as dobras ficam marcadas com muita facilidade e às vezes, prejudicam a peça. Mais conhecido como papel de embrulho ou de costureira, o papel manilha, é encontrado comumente em rosa, amarelo e branco, em folhas geralmente grandes ou em bobinas. Para instituições ou curso é o papel que melhor se ajusta. Outros papéis, como folhas de revistas, jornais, papel de presente ou fantasia (GENOVA, 2002) também podem ser utilizados. Além de custo menor em relação aos outros papeís dão um excelente resultado. Muitas vezes são usados com objetivos específicos. Os de presente destacam-se por suas estampas, pois
  48. 48. 38 "escolhe-se uma estampa prevendo o resultado final da peça." (GENOVA, 2002,p.6) A MATEMÁTICA E AS DOBRADURAS A dobradura possibilita um trabalho interdisciplinar por envolver várias disciplinas, como História, Educação Artística, Português, Geografia. Na Matemática essa relação é bastante visível, indo desde a forma do papel que o origami utiliza para a confecção das formas até conceitos da geometria plana, que surgem durante o processo da dobradura, como retas perpendiculares, retas paralelas, retângulo, quadrado, octógono regular, triângulo eqüilátero, hexágono regular, etc. Nesse projeto é dada ênfase à construção do hexaedro, procurando refletir sobre o processo de sua construção e a relação dessa construção com a formação de conceitos. Mas até que ponto a construção de poliedros, facilitará para o aluno os conceitos da geometria espacial? Se pensarmos na questão da incentivação, poderá ser um processo bastante válido para o aluno, já que é mais interessante para ele construir o seu próprio sólido geométrico do que ficar imaginando como ele seria através de um desenho. Devido à necessidade de se pensar em novos métodos de ensino para o conteúdo de Geometria Espacial, pois normalmente na sala de aula, o aluno não tem a oportunidade de expressar a sua criatividade e segundo D'AMBROSIO: "aluno, assim passa a acreditar que na aula de matemática o seu papel é passivo e desinteressante" (1989 , p. 15), a utilização das dobraduras, surge como uma alternativa ao estudo da Geometria Espacial, pois através dela pode-se despertar no aluno um maior interesse pelo conteúdo elaborado, oportunizando a construção do conhecimento, isto é, com este recurso o mesmo poderá visualizar os conceitos geométricos.
  49. 49. 39 CAPITULO 111 P O OSTA DE T BAL O PAR A GEOMETRIA ESPACIAL: CO STRUÇÃO DE UM HEXAEDRO Como introdução do conteúdo de Geometria Espacial , o professor poderá trabalhar com seus alunos na construção de um poliedro (hexaedro), utilizando a dobradura como meio para a confecção de suas faces. Acreditamos que o trabalho com as dobraduras venha a estimular o raciocínio do aluno; desenvolver a sua capacidade de: analisar, relacionar, comparar, classificar, ordenar, sintetizar, avaliar, abstrair, generalizar e criar; levá- 10, também a entender os aspectos do mundo físico, trabalhando com a construção dos sólidos geométricos e principalmente que tal ação venha suprir o processo de retomada da geometria plana, sempre realizada pelos professores ao iniciarem o trabalho com a geometria espacial, visto que os procedimentos para a realização da peça pontuam estes conceitos. Para a concretização da proposta é necessário alguns procedimentos Iniciais, como a organização dos grupos de trabalho. Aconselhamos que a classe seja dividida em grupos de 3 a 4 elementos para que se cumpra o sentido de desenvolver na escola o trabalho coletivo e que o professor se coloque como mediador do processo ensino/aprendizagem. Os grupos, depois de organizados, recebem 6 folhas de papel sulfite que equivale ao número de faces do poliedro. Como tais folhas, possuem forma retangular os alunos precisarão transformá-Ias, em folhas de forma quadrada. Um procedimento seria a partir de um dos vértices da folha dobrar e desdobrar marcando o vinco, sendo essa uma das diagonais do quadrado. Depois retornar a dobra e recortar o papel a partir do vértice que possui o vinco até o vértice oposto. Com as folhas de forma quadrada, os alunos acompanham os procedimentos que o professor mostrará passo a passo para a construção das faces do hexaedro. Poderão visualizar esses passos através da transparência exposta no retroprojetor.
  50. 50. r 40 Construídas as peças, eles só precisam construir duas ou três peças a mais, dependendo do número de alunos do grupo, para em seguida montarem o hexaedro, que utiliza seis peças. Montados os hexaedros pelos grupos, o professor poderá explorar junto com os alunos os elementos básicos pertencentes a um hexaedro como, vértices, arestas, faces, ângulos poliédricos e etc. PROCEDIMENTOS PARA CONSTRUÇÃO Toda atividade deve sensibilizar o grupo de alunos, portanto para iniciar essa atividade a problematização é o primeiro momento (ANGOTTI, 1992f Para essa atividade pensamos numa situação desafiadora. Escolhemos o problema da folha retangular: Como transformar um retângulo em um quadrado? Após a sensibilização é importante que o professor registre os encaminhamentos percorridos pelos alunos para futuras reflexões. Devemos observar que "o papel , quando já cortado deve apresentar quatro ângulos de 90°" (GENOVA , 2002, p.6). Com o quadrado confeccionado faz-se necessário uma discussão sobre a peça pois embora sendo utilizada como uma figura plana, a mesma constitui um prisma de base retangular. No acordo pedagógico, professor e os grupos denominam a folha de papel como retangular e posteriormente a folha, em quadrada. Com o "quadrado" em mãos inicia-se a confecção da peça. Primeiramente observa-se os "cantos" (vértices) do papel. A primeira dobra consiste em levar um dos cantos até o outro canto do lado oposto passando pelo meio do papel. Esta dobra é um exemplo de vale e montanha". A figura apresenta um segmento que divide o quadrado em dois triângulos retângulos. 2 Sobre os três momentos pedagógicos consultar Delizoicov & Angotti, Física p. 29-31. 3 Vale e montanha são termos utilizados no Origami
  51. 51. 41 Neste momento da atividade os envolvidos entram em contato com determinados conceitos que esclarecemos utilizando BARATOJO(1994), como referência. Diagonal - "Segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de um potlçono". Simetria por eixo - é a preservação da forma e configuração através de um ponto, uma reta ou um plano. Com a simetria se obtém uma forma de outra preservando suas características tais como ângulos, comprimento dos lados, distância, tipos e tamanhos. Quadrado - Quadrilátero cujos lados têm a mesma medida (congruentes) e cujos ângulos são retos (90°). O quadrado é o único quadrilátero regular, isto é, ele tem lados congruentes e ângulos congruentes. Triângulo - Poliqono de três ângulos e três lados. Poliqono que tem o menor número de lados. Triângulo Retângulo - Triângulo que tem um ângulo reto. Decomposição do quadrado em dois triângulos retângulos Ângulos retos - Ângulo que tem uma das semi - retas perpendicular à outra. Bissetriz de um ângulo - Semi - reta que a partir do vértice de um ângulo o divide em dois ângulos com a mesma medida, (congruentes). Metade de um ângulo reto - Ângulo de 45°. Ligue os outros vértices para formar a outra diagonal, para isso dobra-se um triângulo sobre o outro tendo como referência a diagonal já feita. r
  52. 52. 42 Conceitos Decomposição do quadrado em quatro triângulos (áreas) Quadrantes - Cada uma das quatro partes em que fica dividido um plano por dois eixos coordenados, perpendiculares entre si, quarta parte de um círculo. Ângulos - (do latim, angulus). Uma das duas reqroes do plano determinadas por duas semi - retas que tem a mesma origem (vértice). Bissetriz - Sem; - reta que a partir do vértice de um ângulo o divide em dois ângulos com a mesma medida, (congruentes). Ponto Médio - Ponto eqüidistante dos extremos de um segmento. Mediatriz de um Segmento de Reta - Perpendicular ao ponto médio do segmento. Perpendicular - Diz -se da posição que um ente geométrico tem em relação a outro quando formam entre si ângulos retos. Pegue um dos vértices e translade para o centro da figura. Firme a dobra para que ela se efetive (Tal ação deverá ocorrer para os outros 3 vértices) A figura obtida é um novo quadrado formado por 4 triângulos.
  53. 53. 43 Conceitos Retas paralelas - Linhas ou superfícies eqüidistantes em toda a extensão. Duas retas são paralelas quando situados no mesmo plano, não tem ponto em comum. Proporcionalidade - Qualidade ou propriedade de proporcional, (proporção matemática). Pontos médios dos lados - Ponto eqüidistante dos extremos de um segmento. Comprovação da área do triângulo (Quando dobra o vértice) Altura do triângulo - Distância (perpendicular) de um vértice ao seu lado oposto ou seu prolongamento. O quadrado é formado por 2 quadrados menores (Você percebe isso quando abre a Figura) r Pegue a peça assentando o quadrado na mesa, tendo então os triângulos voltados para cima e repita os passos anteriores. Forma - se aqui um outro quadrado proporcional aos quadrados an eriores.
  54. 54. 44 Volte as dobras deixando os "vincos" bem marcados pois são eles que facilitarão ou dificultarão o próximo passo. Pode - se nesse momento levar o aluno a observar quantos quadrados estão formados na figura (são dez quadrados) e contar o número de triângulos inscritos na figura. Agora posicione a peça na mesa assentando - a na parte fechada, de modo que o quadrado fique dividido pelas suas diagonais perpendiculares. Pegue uma das aberturas e traga o vértice para o interior. O vértice vai para dentro e assenta-se os quadrados externos sobre o triângulo interno. Pressione esse vértice de modo que fique dentro e as abas para fora. (sapo) Observe que agora, olhando a figura como um todo tem - se um pentágono irregular. (Verifica - se que o triângulo tem área igual à metade do quadrado, verificando a última dobra). O pentágono em questão, se decomposto em duas partes, é formado por um triângulo retângulo isósceles e um trapézio isósceles. Repete - se essa dobra do lado oposto da figura. Observa - se agora um novo polígono de seis lados denominado hexágono irregular.
  55. 55. r A figura contém determinados conceitos como: simetria, uma ampliação no campo dos ângulos (ângulos agudos e obtusos). O ângulo de 135 o aparece formado por (90 o + 45 O); soma dos ângulos internos. Na confecção da peça constata-se a regularidade de conceitos: simetria, ângulos, número de lados do polígono. A peça formada constitui - se na face de um poliedro . Posicione a peça com abertura sobre a mesa. Obs rve que a mesma é formada por um quadrado e dois triângulos. O quadrado é a face propriamente dita e os triângulos laterais, os encaixes. Para a construção de um poliedro precisa - se de um certo número de peças. No caso em estudo a construção . a de um hexaedro que possui seis faces. É importante para a construção do poliedro a compreensão dos ângulos poliédricos, portanto os encaixes devem ocorrer de forma didática. Primeiro encaixe duas peças. Para tal posicione as peças como na figura abaixo: r- 8

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