1) O documento descreve transformações lineares entre espaços vetoriais, definindo-as como funções que preservam adição e escalonamento. 2) Uma transformação linear mapeia cada vetor de entrada para um único vetor de saída de forma que respeite propriedades algébricas. 3) O núcleo de uma transformação contém os vetores de entrada que mapeiam para o vetor nulo, enquanto a imagem contém os vetores de saída possíveis.

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TRANSFORMAÇÕES LINEARES
I – Introdução:
Definição: Função é uma relação que associa a cada elemento de um conjunto domínio,
um único elemento de um conjunto contra-domínio.
Exemplos:
- f (x) = |x| : No conjunto dos números inteiros Z, a função f associa cada inteiro
x a um único módulo |x| .
- f (x) = 2x2 + 1 : A função f associa a cada real x um único valor 2x2 + 1.
Notação e terminologia:
1. A função f de domínio D e contra-domínio E denota-se f: D → E
2. Se a função f associa x a y, y chama-se imagem de x e x a pré-imagem de y.
Denota-se f: x → y ou, simplesmente, f (x) = y.
3. O conjunto das imagens chama-se Conjunto Imagem. Denota-se Im(f).
4. Função vetorial: domínio e contra-domínio são espaços vetoriais.
Exemplo: A função f (x, y) = (2x, x – y, x + 2y) associa elementos de R2 aos de R3.
Dessa forma, as funções ou aplicações onde o domínio e o contradomínio são espaços
vetoriais são chamados de funções vetoriais ou transformações vetoriais.
Assim, T: V → W representará uma transformação do espaço vetorial V no espaço
vetorial W.
 
Como T é uma função, cada v ∈ V tem um só vetor imagem w ∈ W, tal que T

(v ) = w .
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma aplicação T : V→W é chamada linear
de V em W se:
a) T(u + v) = T(u) + T(v)
b) T(αu) = αT(u) para ∀ u, v ∈ V, u e v são vetores (elementos de um espaço
vetorial); e ∀ ∝ ∈ R, ∝ um escalar qualquer

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A transformação linear T é uma função vetorial tal que, para todo u, v e α, observa-se as
duas condições citadas anteriormente.
T é chamado de operador linear quando V e W tem a mesma dimensão.
Obs:. Usaremos T.L. para nos referimos a uma transformações linear e, não

colocaremos a “seta” em u e v .
Interpretação geométrica: Uma transformação linear T transforma uma matriz diagonal
em uma matriz diagonal. Além disso, uma transformação linear T mantém a
proporcionalidade.
- u, v: vetores (elementos de um espaço vetorial);
- Como vetores, u e v podem ter coordenadas;
- T(u) e T(v) também são vetores e também têm coordenadas;
- Domínio e contra-domínio são implicitamente dados na definição da imagem
genérica
Exemplo:
F(x,y) = (x + 1, x + y) é uma transformação linear?
→ Não: Seja x = (0,1) e y = (1,0): x + y = (0,1) + (1,0) = (1,1).
Se F fosse uma transformação linear, teríamos de ter F(0,1) + F(1,0) = F(1,1).
Mas F(0,1) = (1,1) , F(1,0) = (2, 1) e F(1,1) = (2,2)
⇒ F(0,1) + F(1,0) = (3,2) ≠ (2,2) = F(1,1)
Exemplo:
Seja a transformação  ℜ2 → ℜ2 definida por T (x, y) = (x + y, y).
T:

Fazendo u = (1, 2) e v = (3, 1), teremos:
   
T (u ) = (3, 2); T (v ) =(4,1) e T (u + v ) = T (4, 3) = (7, 3)
y
y
T
3
3
2
2
1 1
0 1 2 3 4 x 0 x
3 4 7

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Exemplo:
a) T: R→ R b) T: R3→ R
T(x) = (x + 2) T(x,y,z) = (x + y + z)
Exemplo.:  
1) A transformação identidade I: V → V tal que I (v ) = v é linear, pois:
     
i) I (u + v ) = u + v = I (u ) + I ( v )
  
ii) I (α u ) = α u = α I (u )
2) A transformação nula T: V → W, f (v) = 0 é linear, pois
   
i) T (u + v ) = 0 = 0 + 0 = T (u ) + T (v )
 
ii) T (α u ) = 0 = α .0 = α T (u )
V W
T 
O
 
3 ) Seja a transformação T: ℜ2 → ℜ2 : T (x, y) = (x, 2y). Sejam u = (x1, y1) e v = (x2,
y2).
    
T (u + v ) = T (u ) + T (v ) e v = ( x 2 , y 2 ).
i)  
T (u + v ) = T ( x1 + x 2 , y1 , y 2 ) = [ x1 + x 2 , 2.( y1 + y 2 )]
 
ii) T (α u ) = T (α x1 , α y1 ) = (α x1 , 2α y1 ) = α ( x1 , 2 y1 ) = α T (u )
 
Se  = (1, 2) e v  (4, 1), teremos: 
u =   
T (u ) = (1, 4), T (v ) = (4, 2) e T (u + v ) = T (5, 3) = (5, 6) = T (u ) + T (v )
 
T (2.u ) = T (2, 4) = (2, 8) = 2.(1, 4) = 2.T (u )
Observação:
• Para reconhecer uma transformação linear, basta ver se cada coordenada da
imagem gerada é uma expressão linear (combinação linear das variáveis livres).
• Para provar que uma transformação é linear, é necessário verificar as condições
genericamente (não se pode provar substituindo números nas expressões).
• Já para provar que uma transformação não é linear, basta apresentar um contra-
exemplo (um exemplo numérico para o qual não vale uma ou as duas
propriedades).

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Propriedades:
  
1ª) Se T : V → W é uma T.L. então T (O) = 0 , ou seja, a imagem do vetor O ∈ V é o

vetor O ∈ W.
Esta propriedade decorre da condição ( ii ) da 
      definição para α = 0. Ou seja:

( ii ) T (α u ) = α T (u ) ∴ T (o , u ) = o.T (u ) ∴ T (o ) = o
 
2ª) Se T: V →W é uma T.L. e B = {v1 ,..., v n } é uma base de V, teremos:
   
T.(a1 v1 +... + an v n ) = a1. T( v1 )+... +an.T.( v n ) , para ∀ a1,..., an ∈ ℜ.
Esta propriedade decorre da definição de T.L., ou seja:
     
T.(a1 v1 + a2 v 2 +... +an v n ) = T(a1 v1 )+ T.(a2 v 2 ) +... +T.(an v n )
  
= a1.T( v1 ) + a2T( v 2 )+... + an.T.( v n ).
   
Como B = { v1 ,... , v n } é uma base para V, o conjunto{ T( v1 ),...,T( v n ) } é uma base para
a imagem da transformação.
Exemplo:
1) Seja a T.L. T: ℜ2 → ℜ3 tal que T.(1, 1) = (2, -1, 1) e T(0, 1) = (0, 0, 1).
Determinar a Lei de Transformação (x, y).
a1 + 0 = 0
B = { (1, 1), (0, 1) } é base do ℜ2 pois a1(1, 1) +a2(0, 1) = (0, 0) ⇒ 
a1 + a 2 = 0
 
a1 = a2 = 0, ou seja, v1 = (1, 1) e v 2 = (0, 1) são L.I. Logo, todo vetor v ∈ ℜ2 pode ser
 
escrito como combinação linear de v1 e v 2 .
a1 + 0 = x ∴ a1 = x
(x, y) = a1.(1, 1) +a2.(0, 1) ∴ 
a1 + a 2 = y → a 2 = y − x
Assim:
(x, y) = x.(1, 1) +(y – x).(0, 1) e,
T.(x, y) = x.T.(1, 1) + (y – x).T.(0, 1)
= x.(2, -1, 1) + (y – x). (0, 0, 1)

T.(x, y) = (2x, -x, y) v 2
II - Núcleo e Imagem de uma Transformação.

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Núcleo : Seja a transformação linear T: V→W, núcleo é o conjunto de todos os vetores
v ∈ V que são transformados em 0 ∈ W:
N(T) ou Ker (T) = {v ∈ V/ T(v) = 0}
OBS. O núcleo de uma transformação T: V→W é um subespaço de V.
O núcleo, ou Kernel, de T é o subconjunto de V definido por:
  
Ker (T) = N (T) = { v ∈ V ; T ( v ) = 0 }
Imagem: Chama-se imagem de uma transformação T: V→W ao conjunto de vetores w
∈ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈ V.
Im(T) = {w ∈ W / T(v) = w para algum v ∈ V}.
  
A imagem de T é o subconjunto de W definido por Im (T) = { w ∈ W; T( u ) = w , para

algum v ∈ V }
V W
T
N Im
( T) T
Exemplo:
1. Dada a transformação T indique N(T) e Im(T).
T:R2→R2
(x, y) → (x + y, x - y)
Exemplo:
Seja a transformação linear T: ℜ2 → ℜ2 definida por T(x, y) = (x +2y, 2x +4y).
Determine o núcleo e a imagem da T.L.
 
Núcleo: Devemos ter T.( v ) = 0 . Logo,

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x + 2 y = 0 (−2)  x + 2 y = 0 ∴ x = −2 y
(x +2y, 2x +4y) = (0, 0) ∴  
2 x + 4 y = 0 0 + 0 = 0
N (T) = { (-2y, y); y ∈ ℜ }; dim N (T) = 1 e, uma base para o núcleo pode ser B = { (-2,
1) }.
  
Imagem: T ( v )= w . Seja w = (a, b), temos:
(x +2y, 2x +4y) = (a, b)
x + 2y = a (-2) x +2y = a
2x +4y = b 0 + 0 = -2a +b ∴ b = 2a
Logo, Im (T) = { (a, 2a); a ∈ ℜ } = {a.(1, 2); a ∈ℜ }
dim Im (T) = 1 e uma base { (1, 2) }.
Exemplo:
Seja T: ℜ3 → ℜ3; T (x, y, z) = (x + 2y –z, y + 2z, x +3y +z).
a) Determinar o núcleo de T, a dimensão do núcleo e uma de suas bases;
b) Determinar a imagem de T, a dimensão e uma de suas bases.
 
a) N (T) = ? T ( v ) = 0 x +2y –z = 0 (-1) x + 2y –z = 0
y +2z = 0 y + 2z = 0 (-1)
x +3y +z = 0 0 + y + 2z = 0
y = -2z ∴ x – 4z – z = 0 ∴ x = 5z
N (T) = { (5z, -2z, z) ; z ∈ ℜ } = { z (5, -2, 1); z ∈ ℜ }
Dim N = 1 ; Base = { (5, -2, 1) }
b) Im (T) = ?
(a, b, c) ∈ Im (T) se existe (x, y, z) ∈ ℜ3 tal que:
(x +2y –z, y +2z, x +3y +z) = (a, b, c)
ou x + 2y –z = a (-1) x + 2y –z = a x + 2y –z = a
y + 2z = b y + 2z = b (-1) y + 2z = b
x + 3y + z = c y + 2z = -a + c 0 = -b –a + c
ou c = a + b
Im (T) = { (a, b, a +b) : a, b ∈ ℜ }
= { (a, 0, a) + (0, b, b) ; a, b ∈ ℜ }
= { a (1, 0, 1) + b (0, 1, 1) ; a, b ∈ℜ }. Fazenso a = b = 1, temos
Base = { (1, 0, 1), (0, 1, 1) } e dim Im (T) =2.
Exemplo:

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 
Seja T : ℜ3 → ℜ3 uma T.L. e B + { v1 = (0, 1, 0), v 2 =(1, 0, 1), v3 = (1, 1, 0) } uma base
 
do ℜ3. Sabendo que T ( u1 ) = (1, -2), T ( v 2 ) = (3, 1) e T ( v3 ) = ( 0, 2), determinar:
a) A lei T. (x, y, z)
b) O Ker T
c) A Im T
a) Como B é uma base de ℜ3, temos:
(x, y, z) = a.(0, 1, 0) + b.(1, 0, 1) + c. (1, 1, 0)
b+c=x
a+c=y Temos: b = z; c = x – z e a = -x + y +z
b=z
Então:
(x, y, z) = (-x + y + z).(0, 1, 0) + z (1, 0, 1) + (x – z ). (1, 1, 0)
Aplicando T, temos:
T (x, y, z) = ( -x + y + z) T (0, 1, 0) + z T (1, 0, 1) + (x – z) T (1, 1, 0)
= (-x + y + z) (1, -2) + z (3, 1) + (x – z) (0, 2)
= (-x + y + z, 2x – 2y – 2z) + (3z, z) + (0, 2x – 2z)
= (-x + y + 4z, 4x – 2y –3z )

b) Núcleo: T (v) = 0
(-x + y + 4z, 4x – 2y – 3z) = (0, 0)
-x + y + 4z = 0 (2) -x + y + 4z = 0
5z
4x – 2y – 3z = 0 2x + 0 + 5z = 0 ∴ x = −
2
5z 3z
+ y + 4z = 0 ∴ 5z + 2y + 8z = 0 ∴ y = −
2 2
5z 3z 5 3
N (T) = { (− , − , z ) z ∈ ℜ } = { z (− , − , 1) ; z ∈ ℜ }
2 2 2 2
5 3
Base = { ( − , − , 1) }
2 2
 
c) Imagem: T ( u ) = w
(-x + y + 4z, 4x – 2y – 3z ) = (a, b)

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-x + y + 4z = a
4x – 2y – 3z = b
III - Operadores inversíveis
Quando o operador linear T admite a inversa T-1, diz-se que T é inversível.
Exemplos .
1. Seja o operador linear em R2 definido por:
T(x,y) = (4x - 3y, -2x + 2y)
a) mostrar que T é inversível;
b) Encontrar uma regra para T-1 como a que define T.
2. Seja o operador linear T: R2→ R2, T(x,y) = (x, -y)
a) Demonstrar se T é inversível;
b) Determinar o operador inversível;
c) Fazer a verificação com os vetores v1 = (3, 2) e v2 = (5, -1).
III - Matriz de uma transformação linear
1. Uma matriz A(m x n) determina uma transformação linear TA :Rn →Rm, onde TA(v) =
Av.
 1 2
 
Seja a matriz: A =  −2 3 .

 0 4
Essa matriz determina a transformação TA :R2 →R3 onde, v → Av ou TA (v) = Av
que é linear. Efetuando Av, onde v = (x,y) ∈ R2 é um vetor coluna 2 x 1.
 1 2  x + 2y 
 − 2 3  x  = − 2 x + 3y 
   y   e portanto, TA é definida por:
 0 4    4y 
   
TA (x,y) = (x + 2y, -2x+3y,4y)
2. É válido para seu inverso, isto é, um a transformação linear TA :Rn →Rm sempre pode
ser representada por uma matriz m x n.

9. Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 9
3. Para que possamos dar uma interpretação geométrica do significado de uma
transformação linear, consideremos uma transformação linear no plano. Seja o operador
linear
T :R2 →R2 definido por:
T(x,y) = (-3x + y, 2x + 3y) e os vetores u = (-1,1) e v = (0,1) e suas transformações
T(u) = (4,1) e T(v) = (1,3)
u+v é diagonal do paralelogramo determinada por u e v, sua imagem T(u + v)
representa a diagonal do paralelogramo determinado por T(u) e T(v), isto é, T(u + v) =
T(u) + T(v). T preserva a adição de vetores.
Propriedade:
Uma transformação linear T:V → W fica completamente definida quando se
conhece uma base de V e as imagens dos vetores que formam essa base de V.
Demonstração:. Seja β = {v1, v2} uma base qualquer do R2. Todo o vetor v = (x, y) ∈
base canônica de V pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores desta
base (β), ou seja,
V = (x, y) = a(v1) + b(v2), onde “a” e “b” são as coordenadas de v na base β
Aplicando-se a T. L. sobre v, segue que:
T(v) = T(av1) + T(bv2)
T(x, y) = aT(v1) + bT(v2)
T(x, y) = aw1 + bw2
Ex. Determine a T. L. tal que T(1, -1) = (3, 2, -2) e T(-1,2) = (1, -1, 3)
IV – Transformações Lineares do R2 para o R2
a) Reflexão:
*Em torno do eixo y *Em torno do eixo x
T:R2 →R2 T:R2 →R2
u → T(u) u → T(u)
(x,y) → (-x, y) (x,y) → (x, -y)
 x   −1 0 x   x   1 0  x 
 y  →  0 1 y   y  →  0 −1 y 
         
* Em torno da origem: *Em torno da reta y = x
T:R2 →R2 T:R2 →R2
u → T(u) u → T(u)
(x,y) → (-x, -y) (x,y) → (y, x)

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 x   −1 0  x   x   0 1  x 
 y  →  0 −1 y   y  →  1 0  y 
         
*Em torno da reta y = -x
T:R2 →R2
u → T(u)
(x,y) → (-y, -x)
 x   0 −1 x 
 y  →  −1 0  y 
    
b) Dilatações e contrações.
T:R2 →R2
u → T (u) = α u
(x,y) → α(x, y) α ∈ R
 x  α 0  x 
 y  →  0 α  y 
    
obs.
Se |α| > 1, T dilata o vetor;
Se |α| < 1, T contrai o vetor;
Se α = 1, T é a identidade;
Se α < 0, T troca o sentido do vetor;
Se α = 0, T é uma projeção ortogonal sobre o eixo.
*Na direção do eixo x *Na direção do eixo y
T:R2 →R2 T:R2 →R2 α > 0
(x,y) → (αx, y) α > 0 (x,y) → (x, αy)
 x  α 0 x   x   1 0  x 
 y  →  0 1  y   y  →  0 α  y 
         
c) Cisalhamentos
*Na direção do eixo x (horizontal) *Na direção do eixo y (vertical)
T:R2 →R2 T:R2 →R2
(x,y) → (x + αy, y) α > 0 (x,y) → (x, αx + y)
 x   1 α  x   x   1 0  x 
 y  →  0 1  y   y  → α 1 y 
         

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d) Rotação (sentido anti-horário): A rotação do plano em torno da origem que faz cada
ponto descrever um ângulo θ, determina uma transformação linear Tθ: R2 →R2, cuja
matriz canônica é:
T:R2 →R2
Tθ(x,y) = (x cosθ - y senθ , x senθ + y cosθ)
 cosθ − sen θ  x 
[Tθ]:    matriz de rotação de um ângulo θ, onde 0 ≤ θ ≤ 2π
 sen θ cosθ  y 
V - Matriz de uma transformação linear em base não canônica
Se conhecemos uma base A = {v1, v2, ...,vn} de um espaço vetorial V de
dimensão n, podemos escrever qualquer vetor v ∈ V como combinação linear desta
base, assim:
v = x1v1 + x2v2+ . . . + xnvn
onde os escalares x1, x2,, . . . ,xn serão as coordenadas de v na base , ou seja:.
 x1 
x 
vA =  
2
  
 
x n 
Definição: Sejam T: V → W uma transformação linear, A uma base de V e B uma base
de W. Consideremos T: R2 → R3, então A = {v1, v2} e B = {w1, w2, w3} bases de V e W.
Um vetor v ∈ V, pode ser expresso como:
v = x1v1 + x2v2
ou
vA = (x1, x2)
onde x1, x2 são as coordenadas de v na base A
A imagem de v, T(v) será:
T(v) = y1w1 + y2w2 + y3w3 (1)
ou
T(v)B = (y1, y2, y3)
Por outro lado:

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T(v) = T(x1v1 + x2v2), que podemos escrever na forma:
T(v) = x1T(v1) + x2T(v2) (2)
Sendo T(v1) e T(v2) vetores de W, eles são combinação linear de B:
T(v1) = a11w1 + a21w2 + a31w3 (3)
T(v2) = a12w1 + a22w2 + a32w3 (4)
Substituindo estes vetores em (2) vem:
T(v) = x1(a11w1 + a21w2 + a31w3) + x2(a12w1 + a22w2 + a32w3)
ou
T(v) = (a11x1 + a12x2)w1 + (a21x1 + a22x2)w2 + (a31x1 + a32x2)w3
Comparando esta igualdade com (1) conclui-se que:
y1= a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
y3 =a31x1 + a32x2
ou na forma matricial:
 y 1   a 11 a 12 
 y  = a x 
 2  21 a 22   1 
 x
 y 3  a 31 a 32   2 
   
ou simbolicamente:
[T(v)]B = [ T ] A [v]A
B sendo [ T ] A denominada matriz de T em relação as bases A
B
eB
Observação: As colunas da matriz [ T ] A são as componentes das imagens dos vetores da
B
base A em relação a base B, conforme (3) e (4). Ou seja [ [T(v1)B] [T(v2)B] ]
VII – MATRIZ MUDANÇA DE BASE
Queremos determinar a matriz [ I] A , e para tanto tomamos o seguinte;
B
Sendo A e B bases quaisquer do R2 e C={(1, 0), (0, 1) a base canônica do R2, vem que:
[ I ] C = [v1 v2] = A
A
e
[ I ] C = [w1 w2] = B
B

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Compondo as transformações, temos:
[ I ] A = [ I o I] A = [ I ] C [ I ] C = ([ I ]C ) −1 [ I ] C = B-1A
B B B
A B A
Também podemos determinar a matriz mudança de base ou mudança de
coordenadas, obtendo os vetores na base nova, que formarão as colunas de I, ou seja:
[ I ] A = [(v1)B
B (v2)B (v3)B]
Exemplo
Sejam as bases A = {v1, v2} onde v1 = (2, -1); v2 = (-1, 1)} e B = {w1, w2} onde w1 =
(1,0), w2 = (2, 1)} bases do R2. Determinar a matriz de mudança de base de A para B.
Calcular [v]B, sendo v=(4,3)
Aplicações da matriz de rotação.
cos θ − sen θ
Tθ =  
sen θ cos θ 
Transformando a base canônica do R2, temos:
T(1, 0) = (cosθ , senθ)
T(0, 1) = (-senθ , cosθ )
Portanto a base P = { (cosθ , senθ), (-senθ , cosθ )} é obtida da base canônica C =
{(1,0), (0,1)} pela rotação de um ângulo θ. Assim a base C determina o sistema de
coordenadas retangulares x0y, a base P determina também um sistema de coordenadas
retangulares x´0y´ que provém do sistema x0y por meio da rotação de um ângulo θ.
Consequentemente, cada ponto R ou cada vetor v do plano possui coordenadas (x, y)
em relação ao sistema x0y e (x´, y´) em relação ao sistema x´0y´.
Então, a matriz de rotação é uma matriz de mudança de base de P para C, isto é ,
cos θ − sen θ
[ I ]C = 
P
sen θ cos θ 
 
Observação: Toda a matriz A que representa uma rotação tem detA = 1
Por exemplo, para uma rotação de 45º no sistema x0y, o vetor v = (4, 2) na base
canônica será [v]P= (x´, y´) = (3 2 , − 2 ) na base P.

14. Prof. Sérgio Ricardo de Brito Gadelha 14
Bibliografia Recomendada
1. SIMON, Carl & Blume, L. Matemática para Economistas. Tradução: Claus Ivo
Doering. Porto Alegre: Bookman, 2004.
2. BRAGA, Márcio Bobik; KANNEBLEY JÚNIOR, Sérgio; ORELLANO, Verônica
I.F. Matemática para economistas. São Paulo: Atlas, 2003.
3. BOLDRINI, José Luiz. Álgebra linear: 591 problemas resolvidos. 442 problemas
suplementares. Ed. Harbra, 2004.
1. LIPSCHUTS, Algebra linear. Ed. PEARSON EDUCATION DO BRASIL LTDA,
2004
6. DAVID, C. Lay. Álgebra Linear e suas Aplicações. Editora: LTC, Rio de Janeiro,
1999.
7. KOLMAN, Bernard. Introdução a Álgebra Linear com Aplicações. Ed. Prentice-Hall
do Brasil, 2000.
8.ANTON, Howard. Elementary Linear Algebra. 3a ed. John Wiley & Sons, 1981.
Recomendo que vocês exercitem seus conhecimentos na lista de exercícios referente ao
“Ponto 49”.
Um forte abraço e até o nosso próximo encontro.
Serginho.