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Curso de àlgebra linear

Este documento discute a definição de matriz de uma transformação linear. Ele explica que dadas bases para os espaços vetoriais de entrada e saída, os coeficientes da combinação linear dos vetores de saída em termos da base de saída formam uma matriz que representa a transformação linear entre as bases.

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Álgebra Linear Thiago VedoVatto Curso de Álgebra Linear Matriz de uma Transformação Linear Prof. Esp.: Thiago VedoVatto Universidade Federal de Goiás Campus Jataí Coordenação de Matemática 24 de novembro de 2011
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Matriz de uma Transformação Linear Parte I Observações Exemplo 1 Matriz de uma Transformação Linear
Objetivos da Aula Álgebra Linear Thiago VedoVatto Matriz de uma Transformação Linear Observações Exemplo 1
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente Transformação Linear Observações Exemplo 1
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F :U→V Observações Exemplo 1
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = { u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm Deste modo a matriz m ×n sobre R
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm Deste modo a matriz m × n sobre R: α11 . . . α1n    . . .   .. . . .  . αm1 . . . αmn
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm Deste modo a matriz m × n sobre R: α11 . . . α1n    . . .   .. . . .  . αm1 . . . αmn é chamada Matriz de F em relação às bases B e C
Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm Deste modo a matriz m × n sobre R: α11 . . . α1n    . . .   .. . . .  . αm1 . . . αmn é chamada Matriz de F em relação às bases B e C . Usaremos para indicar essa matriz a notação (F )B ,C
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Matriz de uma Transformação Linear Observações Exemplo 1 Se F é um operador linear e considerarmos B=C, então diremos apenas matriz de F em relação à base B para indicar a matriz acima denida e usaremos a notação (F )B para representá-la;
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Matriz de uma Transformação Linear Observações Exemplo 1 Se F é um operador linear e considerarmos B=C, então diremos apenas matriz de F em relação à base B para indicar a matriz acima denida e usaremos a notação (F )B para representá-la; Sempre que não haja dúvidas quanto ao par de bases que estamos considerando escreveremos apenas (F ) em relação a esse par de bases.
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 )
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5)
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) F (1, 2, 0) = (3, 2)
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) F (1, 2, 0) = (3, 2) F (1, 0, 0) = (1, 0)
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) F (1, 2, 0) = (3, 2) F (1, 0, 0) = (1, 0) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y )
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y )
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 5
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 5 Cuja solução será x = −1 e y =1
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 5 Cuja solução será x = −1 e y = 1. Logo: (3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5) F (1, 2, 0) = (3, 2) F (1, 0, 0) = (1, 0) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C .
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y )
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y )
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 2
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 2 7 2 Cuja solução será x = 5 e y = 5
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 2 7 2 Cuja solução será x = 5 e y = 5. Logo: 7 2 (3, 2) = (1, 0) + (4, 5) 5 5
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5) 7 2 F (1, 2, 0) = (3, 2) = (1, 0) + (4, 5) 5 5 F (1, 0, 0) = (1, 0) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C .
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y )
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y )
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 1
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 1 5y = 0
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 1 5y = 0 Cuja solução será x =1e y =0
Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 1 5y = 0 Cuja solução será x =1e y = 0. Logo: (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5) 7 2 F (1, 2, 0) = (3, 2) = (1, 0) + (4, 5) 5 5 F (1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C .
Example (Cálculo da Matriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5) 7 2 F (1, 2, 0) = (3, 2) = (1, 0) + (4, 5) 5 5 F (1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C . Deste modo a Matriz da Transformação Linear F em relação as bases B e C será: 7 −1 5 1 (F )B ,C = 2 1 5 0

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Curso de àlgebra linear

  • 1.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Curso de Álgebra Linear Matriz de uma Transformação Linear Prof. Esp.: Thiago VedoVatto Universidade Federal de Goiás Campus Jataí Coordenação de Matemática 24 de novembro de 2011
  • 2.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Matriz de uma Transformação Linear Parte I Observações Exemplo 1 Matriz de uma Transformação Linear
  • 3.
    Objetivos da Aula Álgebra Linear Thiago VedoVatto Matriz de uma Transformação Linear Observações Exemplo 1
  • 4.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente Transformação Linear Observações Exemplo 1
  • 5.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F :U→V Observações Exemplo 1
  • 6.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = { u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V
  • 7.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C
  • 8.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm
  • 9.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm Deste modo a matriz m ×n sobre R
  • 10.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm Deste modo a matriz m × n sobre R: α11 . . . α1n    . . .   .. . . .  . αm1 . . . αmn
  • 11.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm Deste modo a matriz m × n sobre R: α11 . . . α1n    . . .   .. . . .  . αm1 . . . αmn é chamada Matriz de F em relação às bases B e C
  • 12.
    Álgebra Linear Denição Thiago VedoVatto Sejam U e V espaços vetoriais sobre R de dimensão m e n Matriz de uma respectivamente. Consideremos uma transformação linear Transformação Linear F : U → V . Dadas as bases B = {u1 , . . . , un } de U e Observações Exemplo 1 C = {v1 , . . . , vm } de V , então cada um dos vetores F (u1 ), . . . , F (un ) está em V e consequentemente é combinação linear da base C : ( ) F u1 = α11 v1 + ... + αm1 vm . . . . . . . . . . . . ( n) F u = α1n v1 + ... + αmn vm Deste modo a matriz m × n sobre R: α11 . . . α1n    . . .   .. . . .  . αm1 . . . αmn é chamada Matriz de F em relação às bases B e C . Usaremos para indicar essa matriz a notação (F )B ,C
  • 13.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Matriz de uma Transformação Linear Observações Exemplo 1 Se F é um operador linear e considerarmos B=C, então diremos apenas matriz de F em relação à base B para indicar a matriz acima denida e usaremos a notação (F )B para representá-la;
  • 14.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Matriz de uma Transformação Linear Observações Exemplo 1 Se F é um operador linear e considerarmos B=C, então diremos apenas matriz de F em relação à base B para indicar a matriz acima denida e usaremos a notação (F )B para representá-la; Sempre que não haja dúvidas quanto ao par de bases que estamos considerando escreveremos apenas (F ) em relação a esse par de bases.
  • 15.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}?
  • 16.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 )
  • 17.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5)
  • 18.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) F (1, 2, 0) = (3, 2)
  • 19.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) F (1, 2, 0) = (3, 2) F (1, 0, 0) = (1, 0)
  • 20.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) F (1, 2, 0) = (3, 2) F (1, 0, 0) = (1, 0) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C
  • 21.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1
  • 22.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y )
  • 23.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y )
  • 24.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3
  • 25.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 5
  • 26.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 5 Cuja solução será x = −1 e y =1
  • 27.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (3, 5) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 5 Cuja solução será x = −1 e y = 1. Logo: (3, 5) = −1(1, 0) + 1(4, 5)
  • 28.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5) F (1, 2, 0) = (3, 2) F (1, 0, 0) = (1, 0) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C .
  • 29.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1
  • 30.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y )
  • 31.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y )
  • 32.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3
  • 33.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 2
  • 34.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 2 7 2 Cuja solução será x = 5 e y = 5
  • 35.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear (3, 2) = x (1, 0) + y (4, 5) Observações Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 3 5y = 2 7 2 Cuja solução será x = 5 e y = 5. Logo: 7 2 (3, 2) = (1, 0) + (4, 5) 5 5
  • 36.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5) 7 2 F (1, 2, 0) = (3, 2) = (1, 0) + (4, 5) 5 5 F (1, 0, 0) = (1, 0) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C .
  • 37.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1
  • 38.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y )
  • 39.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y )
  • 40.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 1
  • 41.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 1 5y = 0
  • 42.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 1 5y = 0 Cuja solução será x =1e y =0
  • 43.
    Álgebra Linear Thiago VedoVatto Para tanto: Matriz de uma Transformação Linear Observações (1, 0) = x (1, 0) + y (4, 5) Exemplo 1 = (x , 0) + (4y , 5y ) = (x + 4y , 5y ) Deste modo obtemos o sistema linear: x + 4y = 1 5y = 0 Cuja solução será x =1e y = 0. Logo: (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5)
  • 44.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5) 7 2 F (1, 2, 0) = (3, 2) = (1, 0) + (4, 5) 5 5 F (1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C .
  • 45.
    Example (Cálculo daMatriz da Transformação Linear) Álgebra Linear Thiago VedoVatto Considere F : R3 → R2 Matriz de uma Transformação ( , , ) = (x + y , y + z ) F x y z Linear Observações Exemplo 1 Qual é a matriz de F em relação às bases: B = {u1 = (1, 2, 3); u2 = (1, 2, 0); u3 = (1, 0, 0)} e C = {v1 = (1, 0); v2 = (4, 5)}? Primeiramente veriquemos os valores de F (u1 ), F (u2 ) e F (u3 ). F (1, 2, 3) = (3, 5) = − 1(1, 0) + 1(4, 5) 7 2 F (1, 2, 0) = (3, 2) = (1, 0) + (4, 5) 5 5 F (1, 0, 0) = (1, 0) = 1(1, 0) + 0(4, 5) Agora escrevamos os vetores obtidos como combinação linear dos vetores da base C . Deste modo a Matriz da Transformação Linear F em relação as bases B e C será: 7 −1 5 1 (F )B ,C = 2 1 5 0