1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor. 2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente. 3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.

1. 1
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Histórico:
Pierre Simon de Laplace (1749-1827), matemático francês, desenvolveu os
Fundamentos da Teoria do Potencial e fez importantes contribuições à mecânica
celeste e à teoria das probabilidades. Em sua obra “Theórie Analitique”(1812)
apresenta a transformação que leva o seu nome, isto é, a Transformada de Laplace.
Objetivo: Resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada.
Aplicações: Circuitos elétricos; Condução de calor; Flexão de vigas; Problemas
econômicos.
ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA ATRAVÉS DA TRANSFORMADA
DE LAPLACE
Equação diferencial em t Solução da equação diferencial em t
Aplico a Transf. de Laplace Aplico a Transf. Inversa de Laplace
Equação algébrica em s Solução para f(s)
Vantagem de aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais
é que encontramos a solução particular, sem determinarmos a solução geral, pois as
condições iniciais são incorporadas inicialmente na resolução da equação.
Definição: Seja F(t) uma função real definida para todos valores positivos de t. Se a
∞
integral f ( s) = ∫ 0
e− st F ( t ) dt existe, onde s = x + yj é uma variável complexa, a função

2. 2
f(s) é chamada de “Transformada de Laplace da função F(t)” e é representada por
1
L( F( t ) ) . Exemplo: F(t) = 1 então L( F( t ) ) =L(1) = .
s
Demonstração:
∞
L(1) = ∫ e − st ⋅ 1dt
0
1 − st ∞
L(1) = − e ]0
s
1 1 ∞
L(1) = − ⋅ st ] 0
s e
 1 1   1 1 
L(1) =  − ⋅ s ⋅ ∞  −  − ⋅ s ⋅ 0 
 s e   s e 
 1   1 
L(1) =  − ⋅ 0  −  − ⋅ 1
 s   s 
1
L(1) =
s
Propriedades:
1ª) L( aF ( t ) ) = aL( F ( t ) )
Exemplos: L( 3t ) = 3L( t )
L( 5) = 5L(1)
L( 3t 2e − 5t ) = 3L( t 2e − 5t )
2ª) L( F ( t ) + G( t ) ) = L( F ( t ) ) + L( G( t ) )
Exemplos: L( cos t + e3t ) = L( cos t ) + L( e3t )
L( sen(3t ) + t 2 − te3t ) = L( sen(3t ) + L(t 2 ) − L( te3t )
3ª) L( aF ( t ) + bG( t ) ) = aL( F ( t ) ) + bL( G( t ) ) Teorema da Linearidade
Exemplos: L( 3e5t − 4 sen( 2 t ) + 6t − 5) = 3L( e5t ) − 4 L( sen(2 t )) + 6 L( t ) − 5L( 1)
( ( ) )
L 3t 2 − 5 sen 3 t − 4 = 3L( t 2 ) − 5L sen( 3 t ) − 4 L(1) ( )

3. 3
( ( ) ) ( ( ))
L 4e − 2t cos 2 t + 2t 3e 4t + 5 = 4 L e − 2t cos 2 t + 2 L( t 3e 4t ) + 5L(1)
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
F(t) f(s)
1 0 0

4. 4
1
2 1 s
t 1
3 s2
(n − 1)!
4
t n− 1
sn
1
5 e at
s− a
(n − 1)!
6 t n − 1e at
( s − a) n
a
7 sen(at ) s2 + a2
s
8 cos(at ) s2 + a2
a
9
e bt sen(at ) ( s − b) 2 + a 2
s− b
10
e bt cos(at ) ( s − b) 2 + a 2
a
11 senh(at ) s2 − a2
s
12 cosh(at ) s2 − a2
a
13 ( s − b) 2 − a 2
e bt senh(at )
s− b
14 bt
e cosh(at ) ( s − b) 2 − a 2
CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ATRAVÉS DA
UTILIZAÇÃO DA TABELA E DO TEOREMA DA LINEARIDADE.
Ex: 1: F (t ) = 3(t ) + 5 L( F (t ) ) = ?

5. 5
L( F (t) ) = L (3t + 5)
Aplicando o Teorema da Linearidade, temos:
L( F (t) ) = 3L(t) + 5 L(1)
  
F3 F2
1 1
Assim: f ( s ) = 3. 2
+ 5.
s s
3 5
f ( s) = +
s2 s
Ex. 2: F (t ) = 6t 2 − 5t + 4e3t
L( F(t) ) = L[(6t 2 − 5t + 4e3t )]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
L( F(t) ) = 6 L(t 2 ) − 5 ) + 4 L(e3t )
L(t

 
F4 F3 F5
L(t 2 ) = L(t n -1 ) onde n − 1 = 2 ⇒ n = 3
L(e3t ) = L(eat ) onde a= 3
Assim:
2! 1 1
f ( s ) = 6. 3
-5⋅ 2 + 4.
s s s-3
12 5 4
f (s) = − 2 +
s3 s s−3
Ex. 3: F (t ) = 5t e − 4t + 2 cos (3t)
L( F(t) ) = L[( 5t e − 4t + 2 cos (3t) )]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:

6. 6
L(F(t)) = 5 L(t e- 4t ) + 2 L(cos (3t )
 
   
 
F6 F8
L(t e - 4t ) = L(t n -1.e at ) onde n − 1 = 1 ⇒ n = 2 e a = -4
L( cos ( 3t)) = L( cos (at)) onde a= 3
Assim:
1! s
L( F (t )) = 5. + 2. 3 2
( s − (− 4)) 2
s + 3
5 2s
f ( s) = + 2
( s + 4) 2
s + 9
↓
Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 4: F (t ) = t 2 . e 5t − 6 sen ( 3 t)
L(F(t)) = L[( t 2. e5t − 6 sen ( 3 t))]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
L(F(t)) = L(t 2 e5t ) − 6 L(sen ( 3 t )
 
  
F6 F7
L(t 2 e5t ) = L(t n-1.e at ) onde n − 1 = 2 ⇒ n = 3 e a= 5
L( sen ( 3 t)) = L( sen (at)) onde a= 3
Assim:
2! 3
L( F (t )) = − 6.
(s − 5 )3
( )
s2 + 3
2
2 6 3
f ( s) = − 2
( s − 5) 3
s + 3

7. 7
(
Ex. 5: F (t ) = senh 5 t + t 4 )
L(F(t)) = ( )
L[ senh 5 t + t 4 ]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
 
  
(
L( F(t) ) = L( senh 5 t ) + L(t 4 ))
F11 F4
( )
L(senh 5 t ) = L(senh (at ) ) onde a = 5
L(t 4 ) = L(t n − 1 ) onde n − 1 = 4 ⇒ n = 5
Assim:
5 4!
L( F (t )) = + 5
s − ( 5)
2 2
s
5 24
f ( s) = + 5
s − 5 s
2
Ex. 6: F (t ) = e − 2t . sen(4t ) + 6 e3t
L( F(t) ) = L[ e − 2t . sen(4t ) + 6 e3t ]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
L( F(t) ) = L(e − 2t . sen(4t )) + 6 L(e3t )
 
  

F9 F5
L(e − 2t .sen( 4t ) = L(ebt .sen (at ) ) onde b = − 2 e a = 4
L(e3t ) = L(e at ) onde a = 3
Assim:
4 1
F ( s) = + 6.
( s − (− 2)) + 4
2 2
s-3

8. 8
4 6
f (s) = +
( s + 2) + 16 s − 3
2
Ex. 7: F (t ) = e 4t . cos( 2t ) − 5 cosh( 7 t)
L( F(t) ) = L[e 4t . cos( 2t ) − 5 cosh( 7 t)]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
L( F(t) ) = L(e 4t . cos( 2t )) - 5 L(cosh( 7 t))
     
 
F10 F12
L( e 4t . cos( 2t ) = L(ebt . cos(at )) onde b = 4 e a = 2
L(cosh ( 7t)) = L(cos(at )) onde a = 7
Assim:
s− 4 7
L( F (t )) = − 5.
( s − 4) + ( 2 )
2 2
s - ( 7) 2
2
s− 4 5 7
f (s) = − 2
( s − 4) + 2 s − 7
2
↓
Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 8: F (t ) = 10.e − 5t . cosh(3t ) + 9t 2
L( F(t) ) = L[10.e − 5t . cosh(3t ) + 9t 2 ]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
L( F(t) ) = 10. L(e − 5t . cosh(3t )) + 9 L( t 2 )
    

F14 F4
L( e − 5t . cosh(3t )) = L(ebt . cos(at )) onde b = − 5 e a = 3
L(t 2 ) = L(t n − 1 ) onde n - 1 = 2 e n = 3

9. 9
Assim:
s − (− 5) 2!
L( F (t )) = 10 + 9. 3
( s − (− 5)) − 3
2 2
s
10 s + 50 18
f ( s) = + 3
( s + 5) − 9 s
2
Ex. 9: F (t ) = 5 sen( 8t ) − 4.e − t . senh( 5t )
L( F(t) ) = L[5 sen( 8t ) − 4.e − t .senh( 5t )]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
L( F(t) ) = 5 L(sen 8t ) - 4 L(e -t .senh( 5t))
 
     
F7 F13
L(sen( 8t ) = L(sen(at )) onde a = 8
L(e- t . senh( 5t )) = L(ebt . sen( 5t )) onde b = − 1 e a = 5
Assim:
8 5
L( F (t )) = 5. - 4.
s + ( 8)
2 2
(s - (-1)) − ( 5) 2
2
5 8 4 5
f (s) = −
s + 8 ( s + 1) 2 − 5
2
↓
Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 10: F (t ) = − 4 − 6e − t + 2 cos(t ) − 5 cosh(t )
L( F(t) ) = L[ − 4 − 6e − t + 2 cos(t ) − 5 cosh(t )]
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:

10. 10
L( F(t) ) = − 4L(1) - 6 L(e- t ) + 2 L(cos(t )) − 5 L(cosh(t ))
   
     
F2 F5 F8 12
L(e- t ) = L(e at ) onde a = − 1
L(cos(t )) = L(cos(at )) onde a = 1
L(cos(t )) = L(cos(at )) onde a = 1
Assim:
1 1 s 1
L(F(t)) = − 4. -6. + 2. 2 2 − 5. 2 2
s s − ( − 1) s +1 s −1
4 6 2s 5
f ( s) = − − + −
s s + 1 s2 + 1 s2 − 1
A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Se L( F (t )) = f ( s) então a inversa de f(s) é F(t). Representamos por L− 1 ( f ( s)) = F ( t ) .
1  1 
Exemplo: L( e5t ) = logo L− 1   = e5t
s− 5  s − 5
Propriedades:
1ª) L− 1 ( af ( s)) = aL− 1 ( f ( s))
2ª) L− 1 ( f ( s) + g ( s)) = L− 1 ( f ( s)) + L− 1 ( g ( s))
3ª) L− 1 ( af ( s) + bg ( s)) = aL− 1 ( f ( s)) + bL− 1 ( g ( s)) Teorema da Linearidade
TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE
f(s) F(t)
1 0 0

11. 11
1
2 s 1
1
3 s2 t
4 1 t n− 1
para n = 1, 2, 3, ... 0! = 1
sn ( n − 1)!
5 1
e at
s− a
6 1 t n − 1e at
para n = 1, 2, 3, ...
(s − a)n 0! = 1
( n − 1)!
7 1 sen( at)
s + a2
2
a
8 s
s2 + a2 cos(at )
9 1 e bt sen(at )
( s − b) 2 + a 2 a
10 s− b e bt cos(at )
( s − b) 2 + a 2
11 1 senh(at)
s2 − a2 a
12 s
s2 − a2 cosh(at )
13 1 e bt senh(at )
( s − b) 2 − a 2
a
14 s− b
e bt cosh(at )
( s − b) 2 − a 2
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INVERSA IMEDIATA
3 8
EXEMPLO 1: f ( s) = − 2 F (t) = ?
s+ 2 s + 5
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:

12. 12
 3  − 1 8 
L− 1 ( f ( s ) ) = L− 1  − L  2 
 s + 2 s + 5
 1  − 1 1 
L− 1 ( f ( s ) ) = 3.L− 1   − 8L  2 
 s + 2  s + 5
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
 1 
L− 1   = e onde no nosso exemplo − a = 2  → a = − 2
at
 s − a
e
 1  sen( at )
L− 1  2 = onde no nosso exemplo a 2 = 5  → a =
 5
 s + a2  a
Logo a função F ( t ) procurada é:
F ( t ) = 3e − 2t −
( )
8sen 5 t
5
4s 6
f ( s) = + F (t) = ?
EXEMPLO 2:
(
s + 7 s − 53
2
)
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
 4s   6 
L− 1 ( f ( s ) ) = L− 1  2 + L 
−1 
 s + 7  ( s − 5) 3 
 
 s   1 
L− 1 ( f ( s ) ) = 4.L− 1  2  + 6.L 
−1 
 s + 7  ( s − 5) 3 
 
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
 s 
L− 1  2  = cos( at ) onde no nosso exemplo a 2 = 7  → a =
 7
 s + a2 
e
 1  t n − 1e at
L− 1  
 ( s − a ) n  = ( n − 1)! onde no nosso exemplo − a = − 5  → a = 5
 n= 3
 

13. 13
Logo a Função F ( t ) procurada é:
(
F ( t ) = 4. cos 7 t + ) 6.t 3− 1 e 5t
( 3 − 1)!
. ou ( )
F ( t ) = 4. cos 7 t + 3.t 2 e 5t
4 5 3
EXEMPLO 3: f ( s) = − + 2 F(t) = ?
s 2
s s − 2
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
 4  5  3 
L− 1 ( f ( s ) ) = L− 1  2  − L− 1   + L− 1  2 
s  s   s − 2
 1  1  1 
L− 1 ( f ( s ) ) = 4.L− 1  2  − 5.L− 1   + 3.L− 1  2 
s  s   s − 2
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
 1  1
L− 1  2  = t L− 1   = 1 e
s  s 
 1  senh( at )
L− 1  2 2 
= onde o nosso exemplo a 2 = 2  → a 2

s − a  a
Logo a função F ( t ) procurada é:
F ( t ) = 4t − 5 +
2
2
. senh 2 t( )
4
EXEMPLO 4: f ( s) = F(t) = ?
s − 6s + 9
2
O denominador da f ( s ) é um trinômio quadrado perfeito, portanto s 2 − 6 s + 9 = ( s − 3)
2
4
Assim f ( s ) =
( s − 3) 2
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:

14. 14
 4 
L− 1 ( f ( s ) ) = L− 1  
 ( s − 3) 2 
 
 1 
L− 1 ( f ( s ) ) = 4.L− 1  
 ( s − 3) 2 
 
Podemos aplicar a fórmula:
  t n − 1 ⋅ e at
1
− 1  =
L onde no nosso exemplo − a = − 3  → a = 3
 n= 2

 (
n
s − a  )
( n − 1)!
Logo a função F ( t ) procurada é:
4t 2 − 1 ⋅ e3t
F(t) =
( 2 − 1)!
ou F ( t ) = 4te3t
4s + 5 4s 5
EXEMPLO 5: f ( s) = 2 ou f ( s) = + 2 F(t) = ?
s + 9 s + 9 s + 9
2
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
 4s 5 
L− 1 ( f ( s ) ) = L− 1  2 + 2 
 s + 9 s + 9
Aplicando o Teorema da Linearidade, temos:
 s  − 1 1 
L− 1 ( f ( s ) ) = 4 ⋅ L− 1 2  + 5⋅ L  2 
 s + 9  s + 9
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
 s 
L− 1  2  = cos( at ) onde no nosso exemplo a 2 = 9  → a = 3
 s + a2 
e
 1  sen( at )
L− 1  2 2 
= onde no nosso exemplo a 2 = 9  → a = 3
s + a  a

15. 15
Logo a função F ( t ) procurada é:
sen(3t )
F (t ) = 4 cos(3t ) + 5
3
ou
5
F (t ) = 4 cos(3t ) + sen(3t )
3
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO E SUA REESCRITA
Sabemos que:
1.) ( s + a ) = s 2 + 2as + a 2 ⇒ s 2 + 2as + a 2 = ( s + a )
2 2

16. 16
2.) ( s − a ) = s 2 − 2as + a 2 ⇒ s 2 − 2as + a 2 = ( s − a )
2 2
Exemplo 1:
( s + 3) 2 = s 2 + 2 ⋅ 3s + 32 = s 2 + 6s + 9 ⇒ s 2 + 6 s + 9 = ( s + 3) , pois,
2
s2 = s , 9 = 3 e 2 ⋅ 3 ⋅ s = 6s
Exemplo 2:
( s − 3) 2 = s 2 − 2 ⋅ 3s + 32 = s 2 − 6 s + 9 ⇒ s 2 − 6 s + 9 = ( s − 3) , pois,
2
s2 = s , 9 = 3 e 2 ⋅ 3 ⋅ s = 6s
Vejamos agora o seguinte:
Exemplo 1: s 2 + 6 s + 14 = ?
O termo 6 s é resultado de 2 ⋅ a ⋅ s = 6 s logo 6 ÷ 2 = 3 , Assim teremos:
s 2 + 6s + 14 = s 2 + 6s + 32 + k
Mas 32 + k = 14
Logo k = 14 − 9 ⇒ k= 5
Assim s 2 + 6s + 14 = s 2 + 6 s + 32 + 5
Ou podemos escrever s 2 + 6s + 14 = ( s + 3) 2 + 5
Exemplo 2: s 2 + 6 s + 8 = ?
O termo 6 s é resultado de 2 ⋅ a ⋅ s = 6 s logo 6 ÷ 2 = 3 , Assim teremos:
s 2 + 6s + 8 = s 2 + 6s + 32 + k
Mas 32 + k = 8

17. 17
Logo k = 8 − 9 ⇒ k = −1
Assim s 2 + 6s + 14 = s 2 + 6 s + 32 − 1
Ou podemos escrever s 2 + 6s + 14 = ( s + 3) 2 − 1
Exemplo 3: s 2 − 5s + 8 = ?
5
O termo 5s é resultado de 2 ⋅ a ⋅ s = 5s logo 5 ÷ 2 = , Assim teremos:
2
2
 5
s 2 − 5s + 8 = s 2 − 5s +   + k
 2
2
 5
Mas   + k = 8
 2
25 32 − 25 7
Logo k = 8 − ⇒ k= ⇒ k=
4 4 4
2
 5 7
Assim s 2 − 5s + 8 = s 2 − 5s +   +
 2 4
2
 5 7
Ou podemos escrever s 2 − 5s + 8 =  s −  +
 2 4
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
MÉTODO: COMPLEMENTAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
EXEMPLO 1: f (s) = 2
3
s + 10s + 29
( )
L− 1 f ( s ) = ?
O denominador da f (s) pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio
quadrado perfeito

18. 18
2as = 10 s ⇒ a= 5
s 2 + 10 s + 29 = s 2 + 10s + 52 + k Mas 25 + k = 29 ⇒ k= 4
Logo s 2 + 10 s + 29 = ( s + 5) 2 + 4
3
Portanto f ( s ) =
( s + 5) 2 + 4
−1 − 1 3 
Mas L ( f ( s ) ) = L  
 ( s + 5) 2 + 4 
 
− 1 3  
 = 3 ⋅ L− 1 1 
Então L   ( s + 5) 2 + 4 

 ( s + 5) 2 + 4 
   
 1 
A qual é possível aplicar a fórmula  
 ( s − b) 2 + a2  cuja inversa é a função
 
ebt ⋅ sen(at )
F (t ) =
a
No exemplo acima temos como − b = 5 ⇒ b = − 5 e a2 = 4 ⇒ a = 2
 1 
Assim L− 1 ( f ( s ) ) = 3 ⋅ L− 1  onde a função procurada é :
 ( s + 5) 2 + 4 
 
e − 5t ⋅ sen(2t ) 3 − 5t
F (t ) = 3 ⋅ ou F (t ) = ⋅ e ⋅ sen(2t )
2 2
EXEMPLO 2: f ( s) = 2
5s
s − 8s + 25
( )
L− 1 f ( s ) = ?
O denominador da f (s) pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio
quadrado perfeito
2as = 8s ⇒ a= 4
s 2 − 8s + 25 = s 2 − 8s + 42 + k Mas 16 + k = 25 ⇒ k= 9

19. 19
Logo s 2 − 8s + 25 = ( s − 4) 2 + 9
5s
Portanto f ( s ) =
( s − 4) 2 + 9
−1 − 1 5s 
Mas L ( f ( s ) ) = L  
 ( s − 4) 2 + 9 
 
− 1 5s  
 = 5 ⋅ L− 1 s 
Então L   ( s − 4) + 9 
2

 ( s − 4) + 9 
2
   
A qual parece ser possível aplicar a fórmula:
 s− b 
  bt
 ( s − b ) 2 + a 2  cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ cos(at )
 
Porém para aplicarmos a referida fórmula, precisamos aplicar um artifício matemático
no numerador, isto é, acrescentar e tirar o valor corresponde a b . Neste caso
acrescentaremos 4 e diminuiremos 4.
− 1 5s  
 = 5 ⋅ L− 1 s − 4 + 4 

Assim L   ( s − 4) 2 + 9   ( s − 4) 2 + 9 
   
 = 5 ⋅ L− 1 ( s − 4 ) + 4 
 5s   
L− 1
 ( s − 4) 2 + 9   ( s − 4) 2 + 9 
   
Separando em duas frações, temos:
 = 5 ⋅  L− 1 ( s − 4)  + L− 1
 5s      4 
L− 1 
 ( s − 4) 2 + 9   ( s − 4) 2 + 9   ( s − 4) 2 + 9  
   
   
ou ainda multiplicando por 5, temos:
 = 5 ⋅ L− 1 ( s − 4 )  + 5 ⋅ 4 ⋅ L− 1
 5s     1 
L− 1 
 ( s − 4) 2 + 9   ( s − 4) 2 + 9   ( s − 4) 2 + 9 
     
Agora poderemos aplicar as fórmulas:

20. 20
 s− b 
  bt
 ( s − b ) 2 + a 2  cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ cos(at )
 
e
 1  bt
  cuja inversa é a função cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ sen(at )
 ( s − b) 2 + a2  a
 
No exemplo acima temos como − b = − 4 ⇒ b = 4 e a2 = 9 ⇒ a = 3
 = 5 ⋅ L− 1 ( s − 4 )  + 20 ⋅ L− 1
 5s     1 
Assim L− 1 
 ( s − 4) 2 + 9   ( s − 4) 2 + 9   ( s − 4) 2 + 9 
     
onde a função procurada é
e 4t ⋅ sen(3t ) 20 4t
F (t ) = 5 ⋅ e 4t ⋅ cos(3t ) + 20 ⋅ ou F (t ) = 5 ⋅ e 4t ⋅ cos(3t ) + ⋅ e ⋅ sen(3t )
3 3
EXEMPLO 3: f (s) = 2
7
( )
L− 1 f ( s ) = ?
s + 12 s + 20
O denominador da f (s) pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio
quadrado perfeito
2as = 12s ⇒ a= 6
s 2 + 12 s + 20 = s 2 + 12s + 62 + k Mas 36 + k = 20 ⇒ k = − 16
Logo s 2 + 12 s + 20 = ( s + 6 ) 2 − 16
7
Portanto f ( s ) =
( s + 6) 2 − 16

21. 21
−1 − 1 7 
Mas L ( f ( s ) ) = L  
 ( s + 6 ) 2 − 16 
 
− 1 7  
 = 7 ⋅ L− 1 1 
Então L   ( s + 6 ) 2 − 16 

 ( s + 6 ) 2 − 16 
   
 1 
A qual é possível aplicar a fórmula  
 ( s − b) 2 − a2  cuja inversa é a função
 
ebt ⋅ senh(at )
F (t ) =
a
No exemplo acima temos como − b = 6 ⇒ b = − 6 e a 2 = 16 ⇒ a = 4
 1 
Assim L− 1 ( f ( s ) ) = 7 ⋅ L− 1  onde a função procurada é :
 ( s + 6 ) 2 − 16 
 
e − 6t ⋅ sen(4t ) 7 − 6t
F (t ) = 7 ⋅ ou F (t ) = ⋅ e ⋅ sen(4t )
4 4
EXEMPLO 4: f ( s) = 2
2s
s − 8s + 7
( )
L− 1 f ( s ) = ?
O denominador da f (s) pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio
quadrado perfeito
2as = 8s ⇒ a= 4
s 2 − 8s + 7 = s 2 − 8s + 4 2 + k Mas 16 + k = 7 ⇒ k = −9
Logo s 2 − 8s + 7 = ( s − 4 ) 2 − 9
2s
Portanto f ( s ) =
( s − 4) 2 − 9
−1 − 1 2s 
Mas L ( f ( s ) ) = L  
 ( s − 4) 2 − 9 
 
− 1 2s  
 = 2 ⋅ L− 1 s 
Então L   ( s − 4) 2 − 9 

 ( s − 4) 2 − 9 
   

22. 22
A qual parece ser possível aplicar a fórmula:
 s− b 
  bt
 ( s − b ) 2 − a 2  cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ cosh(at )
 
Porém para aplicarmos a referida fórmula, precisamos aplicar um artifício matemático
no numerador, isto é, acrescentar e tirar o valor corresponde a b . Neste caso
acrescentaremos 4 e diminuiremos 4.
− 1 2s  
 = 2 ⋅ L− 1 s − 4 + 4 

Assim L   ( s − 4) 2 − 9   ( s − 4) 2 − 9 
   
 = 2 ⋅ L− 1 ( s − 4) + 4 
 2s   
L− 1
 ( s − 4) 2 − 9   ( s − 4) 2 − 9 
   
Separando em duas frações, temos:
 = 2 ⋅  L− 1 ( s − 4 )  + L− 1
 2s      4 
L− 1 
 ( s − 4) 2 − 9     ( s − 4) 2 − 9  
  ( s − 4) − 9 
2
    
ou ainda multiplicando por 2, temos:
 = 2 ⋅ L− 1 ( s − 4 )  + 2 ⋅ 4 ⋅ L− 1
 2s     1 
L− 1 
 ( s − 4) 2 − 9   ( s − 4) 2 − 9   ( s − 4) 2 − 9 
     
Agora poderemos aplicar as fórmulas:
 s− b 
  bt
 ( s − b ) 2 − a 2  cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ cosh(at )
 
e
 1  bt
  cuja inversa é a função cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ senh(at )
 ( s − b) 2 − a2  a
 

23. 23
No exemplo acima temos como − b = − 4 ⇒ b = 4 e a2 = 9 ⇒ a = 3
 = 2 ⋅ L− 1 ( s − 4 )  + 8 ⋅ L− 1
 2s     1 
Assim L− 1 
 ( s − 4) 2 − 9   ( s − 4) 2 − 9   ( s − 4) 2 − 9 
     
onde a função procurada é
4t e 4t ⋅ senh(3t )
F (t ) = 2 ⋅ e ⋅ cosh(3t ) + 8 ⋅
3
ou
8 4t
F (t ) = 2 ⋅ e 4t ⋅ cosh(3t ) + ⋅ e ⋅ senh(3t )
3
IMPORTANTÍSSIMO:
SEMPRE QUE USARMOS O ARTIFÍCIO MATEMÁTICO DE
ACRESCENTAR E DIMINUIR O MESMO NÚMERO, SÉRÁ POSSÍVEL
APLICAR AS FÓRMULAS:

24. 24
 s− b 
  bt
 ( s − b ) 2 + a 2  cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ cos( at )
 
e
 1  bt
  cuja inversa é a função cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ sen( at )
 ( s − b) 2 + a2  a
 
(Sempre ambas ao mesmo tempo)
OU AINDA :
 s− b 
  bt
 ( s − b ) 2 − a 2  cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ cosh(at )
 
e
 1  bt
  cuja inversa é a função cuja inversa é a função F (t ) = e ⋅ senh(at )
 ( s − b) 2 − a2  a
 
(Sempre ambas ao mesmo tempo)
FRAÇÕES PARCIAIS ALGÉBRICAS
Para representar uma fração algébrica sob forma de uma soma de frações
algébricas mais simples, deveremos considerar:
1º) a classificação das raízes do denominador, as quais podem ser:
• Reais e não repetidas;
Exemplos:

25. 25
1
a) Para que s ( s + 2) = 0 , temos que as raízes do denominador são:
s ( s + 2)
s = 0 e s = − 2 , as quais são reais e não repetidas.
10 s
b) Para que ( s 2 − 4)( s − 5) = 0 , temos que as raízes do denominador
( s − 4)( s − 5)
2
são: s = 2, s = − 2 e s = 5 , as quais são reais e não repetidas.
• Reais e repetidas n vezes;
Exemplos:
1
a) Para que s 2 ( s + 2)3 = 0 , temos que as raízes do denominador são:
s ( s + 2)3
2
s = 0 e s = − 2 , as quais são reais e repetidas duas e três vezes, respectivamente.
10s
( s − 5) 4 Para que ( s − 4) ( s − 5) = 0 , temos que as raízes do denominador
2 2 4
b)
( s − 4)22
são: s = 2, s = − 2 e s = 5 , as quais são reais e repetidas duas, duas e quatro vezes,
respectivamente.
• Complexas e não repetidas;
1 − 2s
( s + 3)(s 2 + 4) Para que ( s + 3)(s + 4) = 0 , temos que as raízes do denominador
2 2
a) 2
são: s = ± 3 i e s = ± 2 i , as quais são complexas e não repetidas.
3s 2
Para que ( s 2 + 1)( s 2 + 9) = 0 , temos que as raízes do denominador são:
( s + 1)(s + 9)
b) 2 2
s = ± i e s = ± 3 i , as quais são complexas e não repetidas.
• Complexas e repetidas n vezes.
1 − 2s
Para que ( s 2 + 3) ( s 2 + 4)3 = 0 , temos que as raízes do denominador
2
a)
(s 2
+ 3) ( s + 4)
2 2 3
são: s = ± 3 i e s = ± 2 i , as quais são complexas e repetidas duas e três vezes.

26. 26
3s 2
Para que ( s 2 + 1) ( s 2 + 9) 2 = 0 , temos que as raízes do denominador
4
b)
(s 2
+ 1) ( s + 9)
4 2 2
são:
s = ± i e s = ± 3 i , as quais são complexas e repetidas quatro e duas vezes.
2º) o número de frações parciais dependerá do tipo de raízes que possuir o
denominador, que poderemos escrever da seguinte forma:
• Raízes reais e não repetidas:
f ( s) A B C N
= + + + ... + (tantas frações quanto for o número de raízes)
g ( s) s − a s − b s − c s− n
Exemplo:
1 A B A B
a) = + = +
s ( s + 2) s − 0 s − ( − 2 ) s s + 2
10 s A B C A B C
b) = + + = + +
( s − 4)( s − 5) s − 2 s − ( − 2 ) s − 5 s − 2 s + 2 s − 5
2
• Raízes reais e repetidas n vezes:
f ( s) A B C N
= + + + ... +
g ( s) s − a ( s − a ) 2
( s − a) 3
( s − a ) n (tantas frações quanto for o número de
vezes que a raiz se repete)
Exemplo:
1 A B C D E
a) = + + + +
s ( s + 2)
2 3
s − 0 ( s − 0) 2
( s − ( − 2) ) ( s − ( − 2) ) ( s − ( − 2) ) 3
2
1 A B C D E
b) = + 2+ + +
s ( s + 2)
2 3
s s ( s + 2) ( s + 2 ) ( s + 2 ) 3
2
• Complexas e não repetidas; g (s) = s 2 + k
f ( s) A + Bs
= 2 (o denominador da fração parcial será o termo que possui raízes
g ( s) s + k
complexas)
Exemplo:
1 − 2s A + Bs C + Ds
a)
( s + 3)(s + 4) s + 3 + s 2 + 4
22
= 2

27. 27
3s 2 A + Bs C + Ds
b)
( s + 1)(s + 9) s + 1 + s 2 + 9
2 2
= 2
• Complexas e repetidas n vezes.
f ( s) A + Bs C + Ds M + Ns
= 2 + + ... +
s + k ( s2 + k ) ( s2 + k )n
2 (o denominador da fração parcial será o termo
g ( s)
que possui raízes complexas e será repetido tantas vezes quanto indicar o seu
expoente)
Exemplo:
1 − 2s A + Bs C + Ds E + Fs G + Hs I + Js
= + + 2 + +
(s 2
+ 3) ( s + 4)
2 2 3 s + 3 ( s + 3)
2 2 2
s + 4 ( s + 4)
2 2
( s 2 + 4)3
As constantes A, B, C , D,... do numerador determinamos através da resolução de
um sistema de equações lineares.
EXEMPLOS COMPLETOS
1
s ( s + 4)
Exemplo 1: A fração algébrica 2 pode ser expressa numa soma de frações
parciais algébricas mais simples da seguinte forma:
• As raízes do denominador são s = 0 , que é real e não repetida e o termo s 2 + 4
possui raízes complexas e também não repetidas. Desta forma, temos que:
1 A B + Cs
= + 2
s ( s + 4) s − 0 s + 4
2
1 A B Cs
= + 2 + 2
s ( s + 4) s s + 4 s + 4
2
Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos que o MMC = s ( s + 4)
2
•
1 A( s 2 + 4 ) + Bs + Css
=
s ( s 2 + 4) s( s 2 + 4)
1 As 2 + 4 A + Bs + Cs 2
=
s ( s 2 + 4) s( s 2 + 4)
Como os denominadores são iguais trabalharemos somente com os numeradores, para
que possamos determinar os valores das constantes A, B e C.

28. 28
• Agrupando os termos semelhantes, temos:
1 = ( A + C ) s 2 + ( B ) s + ( 4 A)
• Para que tenhamos uma igualdade os coeficientes dos termos do 1º membro devem
ser iguais aos respectivos coeficientes dos termos do 2º membro. Assim teremos o
seguinte sistema de equações lineares:
 1
 A+ C = 0 ⇒ C= −
4

 B= 0
 4A = 1 1
⇒ A=
 4

• Retomando a fração inicial, temos:
1 A B Cs
= + 2 + 2
s ( s + 4) s s + 4 s + 4
2
1 1
− s
1 4+ 0 + 4
=
s ( s + 4)
2
s s2 + 4 s2 + 4
Reescrevendo, temos a seguinte igualdade:
1 1 1 1 s
= − ⋅ + ⋅ 2
s ( s + 4)
2
4 s 4 s + 4
10s
Exemplo 2: A fração algébrica
(
s s2 + 4
2
)
pode ser expressa numa soma de frações
parciais algébricas mais simples da seguinte forma:
• As raízes do denominador são s = 0 , que é real e não repetida e o termo s 2 + 4
possui raízes complexas e também não repetidas. Desta forma, temos que:
10 s A B C + Ds
= + + 2
s ( s + 4) s − 0 ( s − 0)
22 2
s + 4
10 s A B C Ds
= + 2+ 2 + 2
s ( s + 4) s s
22
s + 4 s + 4
Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos que o MMC = s ( s + 4 )
2 2
•
10 s As ( s 2 + 4 ) + B ( s 2 + 4) + Cs 2 + Dss 2
=
s 2 ( s 2 + 4) s 2 ( s 2 + 4)

29. 29
10 s As 3 + 4 As + Bs 2 + 4 B + Cs 2 + Ds 3
=
s 2 ( s 2 + 4) s 2 ( s 2 + 4)
Como os denominadores são iguais trabalharemos somente com os numeradores, para
que possamos determinar os valores das constantes A, B, C e D.
• Agrupando os termos semelhantes, temos:
10 s = ( A + D ) s 3 + ( B + C ) s 2 + ( 4 A) s + ( 4 B )
• Para que tenhamos uma igualdade os coeficientes dos termos do 1º membro devem
ser iguais aos respectivos coeficientes dos termos do 2º membro. Assim teremos o
seguinte sistema de equações lineares:

 5
 A+ D = 0 ⇒ D= −
 2
 B+ C = 0 ⇒ C= 0
 4 A = 10 10 5
⇒ A= =
 4 2

 4B = 0 ⇒ B= 0
• Retomando a fração inicial, temos:
10 s A B C Ds
= + 2+ 2 + 2
s ( s + 4) s s
22
s + 4 s + 4
5 5
− s
10 s 0 0
= 2+ 2+ 2 + 22
s ( s + 4) s s
2 2
s + 4 s + 4
Reescrevendo, temos a seguinte igualdade:
10s 5 1 5 s
= ⋅ − ⋅ 2
(
s2 s2 + 4 )
2 s 2 s + 4
FORMULÁRIO INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Método para determinar L-1(f(s)):

30. 30
Método das Frações Parciais Algébricas
1º caso: O denominador da f(s) possui n raízes reais e não repetidas:
h( s ) A B C N
f ( s) = = + + + ... +
g (s) s − a s − b s − c s− n
(tantas frações quanto for o número de raízes)
2º caso: O denominador da f(s) possui raízes reais e repetidas n vezes:
h( s ) A B C N
f ( s) = = + + + ... +
g (s) s − a ( s − a ) 2 ( s − a ) 3 ( s − a) n
(tantas frações quanto for o número de vezes que a raiz se repetir)
3º caso: O denominador da f(s) possui raízes complexas e não repetidas;
o denominador é do tipo g ( s ) = s 2 + k ou g ( s ) = s 2 + ms + k
h( s ) A + Bs h( s ) A + Bs
f ( s) = = ou f (s) = = 2
g (s) s 2 + k g ( s) s + ms + k
(o denominador da fração parcial será o termo que possui raízes complexas)
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
L− 1 ( f ( s )) = F (t )

31. 31
MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS ALGÉBRICAS.
3
EXEMPLO 1: f ( s) = F(t) = ?
s ( s + 5)
2
Precisamos escrever a função f ( s ) acima sob forma de uma soma de frações mais
simples, cujas inversas sejam imediatas.
O número de frações dependerá do tipo de raízes e do número de vezes que ela
aparece no denominador da f ( s ) .
As raízes do denominador da f ( s ) são: s 2 .( s + 5) = 0
Para o 1º fator temos, s 2 = 0 ⇒ s= 0 raiz real e repetida duas vezes.
Logo trata-se do 2º caso do nosso formulário:
A B A B
+ ⇒ +
s − a ( s − a) 2 s − 0 ( s − 0) 2
Para o 2º fator temos, s + 5 = 0 ⇒ s = −5 raiz real e não repetida.
Logo trata-se do 1º caso do nosso formulário:
A A A
⇒ =
s− a s − (− 5) s + 5
C
mas como já utilizamos A e B então ficará
s+ 5
Portanto
3 A B C
= + + ou
s ( s + 5) s − 0 ( s − o )
2 2
s+ 5
3 A B C
= + 2 +
s ( s + 5) s s
2
s+ 5
Para determinarmos os valores das constantes A, B e C deveremos efetuar a soma das
frações parciais, reduzindo-as inicialmente ao mesmo denominador, o qual deverá ser
sempre igual ao denominador da f ( s ) dada inicialmente.
( )
m.m.c s, s 2 e s + 5 = s 2 .( s + 5)
3 As( s + 5) + B( s + 5) + Cs 2
Assim =
s 2 ( s + 5) s 2 ( s + 5)

32. 32
Como os denominadores são iguais, trabalharemos somente com os numeradores.
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
3 = As 2 + 5 As + Bs + 5 B + Cs 2
Agrupando os termos semelhantes, temos:
3 = ( A + C ) s 2 + ( 5 A + B ) s + ( 5B )
Igualmente os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro, respectivamente,
temos:
 A+ C = 0

 5A + B = 0
 5B = 3

Resolvendo o sistema, temos:
A = − 0,12 B = 0,6 C = 0,12
Sabemos que:
3 A B C
= + 2 +
s ( s + 5) s s
2
s+ 5
Substituindo as constantes A,B e C pelos valores encontrados, temos:
3 − 0,12 0,6 0,12
= + 2 +
s ( s + 5)
2
s s s+ 5
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
 3  − 1 1 − 1 1  − 1 1 
L− 1  2
 s ( s + 5)  = − 0,12 ⋅ L 
  + 0,6 ⋅ L  2  + 0,12 ⋅ L  
   s s   s + 5
Aplicando as fórmulas F2, F3, F5, respectivamente, do nosso formulário temos que a
função F ( t ) procurada é:
F ( t ) = − 0,12 ⋅ 1 + 0,6 ⋅ t + 0,12 ⋅ e− 5t ou F ( t ) = − 0,12 + 0,6 ⋅ t + 0,12 ⋅ e − 5t
5s
f ( s) = F(t) = ?
EXEMPLO 2:
( s − 4) ( s 2 + 9)

33. 33
Precisamos escrever a função f ( s ) acima sob forma de uma soma de frações mais
simples, cujas inversas sejam imediatas.
O número de frações dependerá do tipo de raízes e do número de vezes que ela
aparece no denominador da função f ( s ) .
As raízes do denominador da função f ( s ) são: ( s − 4 ).( s 2 + 9 ) = 0
Para o 1º fator temos s − 4 = 0 ⇒ s = 4 raiz real e não repetida.
A A
Logo trata-se do 1º caso do nosso formulário: ⇒
s− a s− 4
Para o 2º fator temos:
s2 + 9 = 0 ⇒ s2 = − 9 ⇒ s= ± − 9 raízes complexas e não repetidas.
A + Bs A + Bs
Logo trata-se do 3º caso do nosso formulário: ⇒
s2 + a2 s2 + 9
B + Cs
Mas como já utilizamos A então ficará .
s2 + 9
Portanto
5s A B + Cs
( s − 4) ( s )
2
= + 2
+ 9 s− 4 s + 9
Ou
5s A B Cs
( s − 4) ( s 2 + ) = + 2 + 2
9 s− 4 s + 9 s + 9
Para determinarmos os valores das constantes A, B e C deveremos efetuar a soma das
frações parciais, reduzindo-as inicialmente ao mesmo denominador, o qual deverá ser
sempre igual ao denominador da f ( s ) dada inicialmente.
(
m.m.c s − 4 e s 2 + 9 = ( s − 4 ) ⋅ s 2 + 9 ) ( )
5s ( )
A s 2 + 9 + B ( s − 4 ) + Cs ( s − 4 )
( s − 4) ⋅ ( s ) =
( s − 4) ⋅ ( s 2 + )
Assim 2
+ 9 9
Como os denominadores são iguais, trabalharemos somente com os numeradores.
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
5s = As 2 + 9 A + Bs − 4 B + Cs 2 − 4Cs
Agrupando os termos semelhantes, temos:

34. 34
5s = ( A + C ) s 2 + ( B − 4C ) s + ( 9 A − 4 B )
Igualmente os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro, respectivamente,
temos:
 A+ C = 0

 B − 4C = 5
 9 A − 4B = 0

Resolvendo o sistema, temos:
A = 0,8 B = 1,8 C = − 0,8
Sabemos que:
5s A B Cs
( s − 4) ( s 2 + ) = + 2 + 2
9 s− 4 s + 9 s + 9
Substituindo as constantes A, B e C pelos valores encontrados, temos:
5s 0,8 1,8 − 0,8 ⋅ s
( s − 4) ( s 2 + ) = + 2 + 2
9 s− 4 s + 9 s + 9
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
 5s  − 1 1  − 1 1  − 1 s 
L− 1  
 ( s − 4) s 2 + 9  = 0,8.L  s − 4  + 1,8.L  s 2 + 9  − 0,8.L  s 2 + 9 
 (  )      
Aplicando as fórmulas F5, F7 e F8, respectivamente, do nosso formulário temos que a
função F ( t ) procurada :
sen(3t )
F ( t ) = 0,8.e4t + 1,8. − 0,8 cos(3t ) ou
3
F ( t ) = 0,8 ⋅ e4t + 0,6 ⋅ sen(3t ) − 0,8 ⋅ cos(3t )
EXERCÍCIOS PROPOSTOS

35. 35
1ª) Calcule a Transformada de Laplace L( F( t ) ) , sendo:
a) F ( t ) = 2e − 3t − 5 sen ( 8t ) + 7t 3
b) F ( t ) = 2e − 6t cos( 4t ) + 4e − 5t sen ( 3t )
c) F ( t ) = 4t 2 e 5t + 6 cos( 4t ) − 10
d) F ( t ) = 5e 6t + 4 cos( 6t ) − 2t 4
e) F ( t ) = 3t 5 e − 6t − 4 sen ( 8t ) + 9
2ª) Calcule a inversa da Transformada de Laplace L− 1 ( f ( s ) ) , sendo:
6 8 2 3 4s 5
a) f ( s) = − + b) f ( s) = + 2 +
s3 s2 + 9 s− 5 s s + 81 ( s + 6 ) 3
2s + 4 − 13s + 10 3s − 2
f ( s) = f ( s) = f ( s) =
c)
(
s s2 + 1 ) d)
s 2 ( s + 5)
e)
(
s s2 + 1 )
8 3s 4 2 3 7
f) f ( s) = + 2 − g) f ( s) = − +
s s + 49 s − 9 s5 ( s − 7) 4 s 2 + 36
 s− 2   s− 2 
h) f ( s) =  2  i) f ( s) =  2 
 s − 6 s + 25   s + 12 s + 100 
 s   s 
J) f ( s) =  2  k) f ( s) =  2 
 s + 12 s + 40   s − 8s + 25 
3ª) Resolva as seguintes equações diferenciais, através de Laplace:
a) y ' − 6 y = 0 onde y ( 0 ) = 5 ; b) y ' − 8 y = 0 onde y ( 0 ) = 7 ;
c) y '' + 4 y = 0 onde y ( 0 ) = 4 e y ' ( 0 ) = 4 ;
d) y ' − y = 30 cos( 3t ) onde y ( 0 ) = 0 ; e) y ' + y = 15 cos( 2t ) onde y ( 0 ) = 0 ;
f) y '' + 9 y = 0 onde y ( 0 ) = 3 e y ' ( 0 ) = 3 ;
g) y '' + 16 y = 50e 3t onde y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 ;
h) y '' − 2 y ' − 3 y = 36t onde y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 ;
i) y ' ' − 2 y ' + y = 25 cos( 2t ) onde y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

36. 36
2 40 42
1ª) a) f(s) = - 2 + 4
s + 3 s + 64 s
2s + 12 12
b) f(s) = +
(s + 6)2 + 16 (s + 5) 2 + 9
8 6s 10
c) f(s) = + -
(s - 5)3 s 2 + 16 s
360 32 9
5 4s 48 - +
d) f(s) = + 2 - 5 e) f(s) = (s + 6)6 s 2 + 64 s
s - 6 s + 36 s
8 5 2 -6t
2ª) a) F(t) = 3t2 - sen(3t) + 2e5t b) F(t) = 3 + 4 cos(9t) + te
3 2
c) F(t) = 4 – 4 cos(t) +2 sen(t) d) F(t) = -3 +2t + 3 e -5t
e) F(t) = -2 +2 cos(t) +3 sen(t) f) F(t) = 8 + 3 cos(7t) –4e 9t
t 4 1 3 7t 7 1 3t
g) F(t) = - t e + sen( 6t ) h) F(t) = e 3 t cos( 4t ) + e sen( 4t )
12 2 6 4
i) F(t) = e-6tcos(8t) – e-6tsen(8t) j) F(t) = e-6tcos(2t) – 3e-6tsen(2t)
4 4t
k) F(t) = e4tcos(3t) + e sen(3t)
3
3ª) a) y(t) = 5e6t b) y(t) = 7e8t c) y(t) = 4cos(2t) + 2sen(2t)
d) y(t) = -10cos(3t) + 30sen(3t) + 10et
e) y(t) = 3cos(2t) + 6sen(2t) – 3e-t f) y(t) = 3cos(3t) + sen(3t)
3
g) y(t) = 2e3t – 2cos(4t) - sen(4t) h) y(t) = 8 – 12t + e3t – 9e-t
2
i) y(t) = -3 cos ( 2t)-4 sen ( 2t) + 3e t + 5te t