Este documento contém 11 questões sobre transformações lineares entre espaços vetoriais. As questões abordam conceitos como operadores lineares, núcleo, imagem, injetividade, sobrejetividade e representação matricial de transformações lineares.

1. Universidade Federal de Alagoas- UFAL
Lista 3 - Transformações Lineares
Álgebra Linear
Prof. Marcos Ranieri
Nome:
1. Quais das seguintes aplicações do R3
→ R3
são operadores lineares?
(a) F1(x, y, z) = (x − y, x + y, 0)
(b) F2(x, y, z) = (x + 1, x, z)
(c) F3(x, y, z) = (−5x − 3y + z, 0, 0)
(d) F4(x, y, z) = (2x2
, x, z)
(e) F5(x, y, z) = (x, 2y
, 2z
)
2. Existe um operador linear T : R3
→ R3
tal que T(1, 1, 1) = (1, 2, 3), T(1, 2, 3) = (1, 4, 9) e
T(2, 3, 4) = (1, 8, 27)? Justique.
3. Seja T : R3
→ R3
denido na base canônica da seguinte forma: T(1, 0, 0) = (2, 3, 1), T(0, 1, 0) =
(5, 2, −1) e T(0, 0, 1) = (−2, 0, 7). Determine T(x, y, z), onde (x, y, z) é um vetor genérico do
R3
.
4. Seja f : R2
→ R um funcional linear. Sabendo que f(1, 1) = 3 e f(2, 3) = 1. Calcule f(1, 0) e
f(0, 1).
(Obs: Transformações lineares f : U → R são chamadas de funcionais lineares. O conjunto de
todos os funcionais lineares de um espaço vetorial U é chamado de o espaço dual de U e é
denotado por U∗
.)
5. Verique se são operadores lineares no espaço Pn(R):
(a) F : Pn(R) → Pn(R) dada por F(f(t)) = f (t).
(b) G : Pn(R) → Pn(R) dada por F(f(t)) = tf (t).
(c) H : Pn(R) → Pn(R) dada por F(f(t)) = f (t) + t2
f (t).
6. A expressão geral de um operador linear T : R2
→ R2
é T(x, y) = (ax+by, cx+dy). Determine
as constantes a, b, c, d de modo que T(1, 2) = (1, 1) e T(3, 4) = (2, 2).
7. Mostre que uma transformação linear T : V → W é injetiva se, e somente se, leva vetores LI
em vetores LI.
8. Mostre que o núcleo e a imagem de uma transformação linear T : V → W são respectivamente
subespaços de V e W.
9. Para cada uma das transformações lineares abaixo determine uma base e a dimensão do núcleo
e da imagem:
(a) F : R3
→ R dada por F(x, y, z) = x − 2y + z.
(b) F : R2
→ R2
dada por F(x, y) = (2x, x + y).

2. (c) F : R3
→ R4
dada por F(x, y, z) = (x − y − z, x + y + z, 2x − y + z, −y).
(d) F : M2 → M2 denida por F(X) = MX − XM, onde
M =
1 2
0 1
10. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F). Justique:
( ) Uma transformação linear T : V → W é sobrejetiva se, e somente se, dimKer(T) =
dimV − dimW.
( ) Se uma transformação linear T : Rm
→ Rn
é injetiva então dimIm(A) = m.
( ) Se uma transformação linear T : Rm
→ Rn
é sobrejetiva então dimKer(T) = m − n.
( ) Para todo operador T : V → V , tem-se que V = Ker(T) Im(T).
11. Escreva a expressão de um operador linear T : R2
→ R2
cujo núcleo seja a reta y = x e cuja
imagem seja a reta y = 2x.