O documento discute conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo transformações lineares, dependência e independência linear. Uma transformação linear preserva adição e multiplicação escalar. Dependência linear ocorre quando vetores podem ser expressos como combinações lineares de outros vetores, enquanto independência linear significa que apenas a combinação trivial é possível. Estes conceitos são aplicados em diversas áreas como engenharia e ciências.
Este documento apresenta definições e teoremas sobre isomorfismo de espaços vetoriais. [1] Define transformação linear bijetora como isomorfismo e apresenta propriedades como a existência de inversa e isomorfismo entre espaços da mesma dimensão. [2] Aplica os conceitos em exemplos de verificação de isomorfismo e determinação da transformação inversa.
O documento discute transformações lineares em álgebra linear. Ele define o que é uma transformação linear e fornece um exemplo para verificar se uma transformação é linear, analisando se ela satisfaz as propriedades de adição e escalar de uma transformação linear.
O documento discute conceitos de teoria do caos, incluindo sistemas dinâmicos complexos cujo comportamento é imprevisível mas determinístico. Aborda como pequenas variações iniciais podem ter grandes consequências, como ilustrado pelo "efeito borboleta", e apresenta a transformação do Gato de Arnold como exemplo de sistema caótico.
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
O documento discute propriedades de autovalores e autovetores de sistemas lineares representados por matrizes. Explica que autovalores e autovetores permitem decompor uma matriz em espaços ortogonais e analisar propriedades como unicidade e estabilidade da solução do sistema linear. A decomposição em valores singulares é apresentada como forma de detectar problemas mal-postos no sistema.
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
O documento define autovetores e autovalores de uma matriz e apresenta exemplos. Autovetores são vetores não-nulos cuja multiplicação pela matriz resulta no próprio vetor multiplicado por um escalar chamado autovalor. São apresentados métodos para encontrar sistematicamente os autovalores e autovetores de uma matriz.
Este documento apresenta definições e teoremas sobre isomorfismo de espaços vetoriais. [1] Define transformação linear bijetora como isomorfismo e apresenta propriedades como a existência de inversa e isomorfismo entre espaços da mesma dimensão. [2] Aplica os conceitos em exemplos de verificação de isomorfismo e determinação da transformação inversa.
O documento discute transformações lineares em álgebra linear. Ele define o que é uma transformação linear e fornece um exemplo para verificar se uma transformação é linear, analisando se ela satisfaz as propriedades de adição e escalar de uma transformação linear.
O documento discute conceitos de teoria do caos, incluindo sistemas dinâmicos complexos cujo comportamento é imprevisível mas determinístico. Aborda como pequenas variações iniciais podem ter grandes consequências, como ilustrado pelo "efeito borboleta", e apresenta a transformação do Gato de Arnold como exemplo de sistema caótico.
O documento apresenta um resumo sobre álgebra linear, abordando transformações lineares, matrizes de transformações lineares e determinantes. Em específico, define transformações lineares e suas propriedades, fala sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade de transformações. Também discute matrizes de transformações lineares em relação a bases, matrizes de transformações compostas e determinantes.
1) O documento apresenta uma lista de exercícios sobre aplicações da transformada de Laplace e sua inversa para resolver problemas de valor inicial envolvendo equações diferenciais.
2) São propostos problemas sobre circuitos elétricos, oscilações mecânicas e deflexão de vigas sob cargas distribuídas.
3) As respostas utilizam a transformada de Laplace e sua inversa para encontrar soluções analíticas para as equações diferenciais nos diferentes exemplos apresentados.
O documento discute propriedades de autovalores e autovetores de sistemas lineares representados por matrizes. Explica que autovalores e autovetores permitem decompor uma matriz em espaços ortogonais e analisar propriedades como unicidade e estabilidade da solução do sistema linear. A decomposição em valores singulares é apresentada como forma de detectar problemas mal-postos no sistema.
1. A Transformada de Laplace foi desenvolvida por Pierre Simon Laplace em 1812 para resolver equações diferenciais lineares que surgem em problemas aplicados como circuitos elétricos e condução de calor.
2. A Transformada de Laplace converte uma função do tempo em uma função complexa, permitindo que a equação diferencial seja resolvida algebraicamente.
3. A Transformada de Laplace tem propriedades como linearidade que permitem calcular transformadas de funções somadas ou multiplicadas por constantes a partir de suas transformadas individuais.
O documento define autovetores e autovalores de uma matriz e apresenta exemplos. Autovetores são vetores não-nulos cuja multiplicação pela matriz resulta no próprio vetor multiplicado por um escalar chamado autovalor. São apresentados métodos para encontrar sistematicamente os autovalores e autovetores de uma matriz.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineareswillianv
1) O documento discute transformações lineares entre espaços vetoriais, definindo-as como funções que preservam adição e multiplicação por escalares.
2) É mostrado que o núcleo e imagem de uma transformação linear são subespaços vetoriais e que a dimensão de um espaço é igual à soma da dimensão do núcleo e imagem.
3) Um isomorfismo é definido como uma transformação linear bijetora e dois espaços vetoriais da mesma dimensão finita são sempre isomorfos.
1) O documento discute grandezas físicas escalares e vetoriais, sendo que vetoriais possuem intensidade, direção e sentido representados por vetores.
2) A adição de vetores é feita pela regra da linha poligonal, enquanto a subtração é equivalente à adição do vetor oposto.
3) A multiplicação de um vetor por um escalar altera apenas sua intensidade, mantendo ou invertendo sua direção de acordo com o sinal do escalar.
O documento descreve vários conceitos relacionados a planos em geometria analítica, incluindo:
1) Definições de plano, equação vetorial e casos particulares de planos;
2) Métodos para representar planos através de equações paramétricas, geral e segmentária;
3) Cálculo do vetor normal a um plano e relações entre os vetores normais de planos.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
O documento define e discute conceitos básicos sobre retas em geometria analítica, incluindo: (1) a equação vetorial de uma reta que contém um ponto e tem direção de um vetor, (2) as diferentes formas de escrever a equação de uma reta, como equações paramétricas e simétricas, (3) a condição para três pontos serem alinhados e (4) as posições relativas entre duas retas, como paralelas, concorrentes e reversas.
1) O documento apresenta os conceitos de produto escalar e produto vetorial entre vetores no espaço R3.
2) O produto escalar é definido como o número real θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Já o produto vetorial é definido como um vetor.
3) São apresentadas propriedades e interpretações geométricas desses produtos, como a relação entre o módulo do produto escalar e a projeção de um vetor na direção do
Este documento discute tópicos de álgebra linear necessários para o estudo da econometria. O professor recomenda que os alunos leiam os livros indicados na bibliografia e acessem notas de aula online para aprofundar seus conhecimentos em álgebra linear. O texto então introduz conceitos como autovalores, autovetores, equação característica e diagonalização de matrizes. Exemplos ilustram esses conceitos-chave.
O documento apresenta fórmulas e conceitos para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância entre dois pontos, um ponto e uma reta, um ponto e um plano, entre duas retas, dois planos e uma reta e um plano. Também apresenta fórmulas para calcular ângulos entre vetores, retas, planos e entre uma reta e um plano. Exemplos ilustram o cálculo destas grandezas.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
[1] A combinação linear é uma soma ponderada de vetores, onde os pesos são escalares. Um vetor é combinação linear de outros se puder ser escrito dessa forma. [2] O subespaço gerado por um conjunto de vetores S é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores de S. [3] Vetores são linearmente independentes se a única solução para sua combinação linear ser nula é quando todos os escalares são nulos.
Cap. 1. calculo vetorial e geometria analíticaDuke Wdealmei
O documento introduz os conceitos fundamentais de vetores e cálculo vetorial, incluindo:
1) A definição de vetor como uma classe de equipolência de segmentos orientados, caracterizado por módulo, direção e sentido.
2) As operações básicas com vetores, principalmente a adição vetorial através do método da poligonal.
3) Exemplos ilustrativos de como representar vetores geometricamente e realizar operações com eles.
O documento discute operadores na mecânica quântica. Apresenta operadores como expressões que atuam sobre funções e define propriedades como linearidade. Discute operadores hermitianos, cujos autovalores são reais e autofunções podem ser escolhidas ortogonais. Define álgebra de operadores e comutadores.
Este documento descreve operadores diagonalizáveis em álgebra linear. Os principais pontos são:
1) Operadores diagonalizáveis possuem uma base de auto-vetores, onde a matriz do operador nessa base é uma matriz diagonal com os auto-valores na diagonal principal.
2) Para um operador ser diagonalizável, deve ter tantos auto-vetores lineamente independentes quanto a dimensão do espaço vetorial.
3) A diagonalização simplifica o estudo de operadores, transformando sua matriz na forma mais simples de uma matriz diagonal.
Decomposições de matrizes utilizando conceitos de Auto Vetores e Auto ValoresFelipe Schimith Batista
Este documento apresenta três decomposições matriciais usando autovalores e autovetores: a decomposição de Cholesky para matrizes simétricas, a decomposição A=QR para qualquer matriz e a decomposição em valores singulares (SVD) para qualquer matriz. O documento descreve a teoria e implementação computacional dessas decomposições na linguagem Java.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman.
1) O documento discute métodos computacionais para resolver sistemas lineares, incluindo o método de Cramer e o processo de Gram-Schmidt.
2) Explica o método de Cramer para resolver sistemas lineares determinados e compatíveis através do cálculo de determinantes de matrizes associadas.
3) Descreve o processo de Gram-Schmidt para transformar qualquer base em uma base ortogonal através da ortogonalização sucessiva de vetores.
O documento descreve as diferenças entre grandezas escalares e vetoriais. Grandezas escalares são definidas apenas por um valor numérico, enquanto grandezas vetoriais requerem módulo, direção e sentido para serem completamente definidas. Vetores são usados para representar grandezas vetoriais através de segmentos de reta orientados. O documento também explica como somar e subtrair vetores geometricamente e analiticamente.
O documento discute algoritmos computacionais para resolver sistemas lineares utilizando decomposições de matrizes. Apresenta a decomposição A=LU comparando-a com a eliminação de Gauss e discute a implementação da decomposição LU em Java, notando que seu custo de processamento é da ordem de N3, assim como a eliminação de Gauss.
1) O documento descreve espaços vetoriais reais e alguns de seus conceitos fundamentais, como vetores, escalares, soma e multiplicação por escalar.
2) É apresentada a definição formal de espaço vetorial real e suas propriedades. Exemplos de espaços vetoriais reais incluem triplas ordenadas de números reais e polinômios.
3) Conceitos como subespaço, combinação linear e teoremas relacionados a espaços vetoriais são definidos.
O documento descreve que o vetor (1, 0, 0) gera o subespaço unidimensional correspondente à reta horizontal no plano cartesiano R2. Além disso, explica que qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base canônica {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
Este documento apresenta conceitos de vetores em geometria analítica e álgebra linear. Discute definições de vetores, representações gráficas e simbólicas, operações como soma, diferença, produto escalar e vetorial. Explica norma, ângulo entre vetores, vetores unitários e aplicações em R2 e R3.
Tópicos em Matemática - Aula 6: Transformações Lineareswillianv
1) O documento discute transformações lineares entre espaços vetoriais, definindo-as como funções que preservam adição e multiplicação por escalares.
2) É mostrado que o núcleo e imagem de uma transformação linear são subespaços vetoriais e que a dimensão de um espaço é igual à soma da dimensão do núcleo e imagem.
3) Um isomorfismo é definido como uma transformação linear bijetora e dois espaços vetoriais da mesma dimensão finita são sempre isomorfos.
1) O documento discute grandezas físicas escalares e vetoriais, sendo que vetoriais possuem intensidade, direção e sentido representados por vetores.
2) A adição de vetores é feita pela regra da linha poligonal, enquanto a subtração é equivalente à adição do vetor oposto.
3) A multiplicação de um vetor por um escalar altera apenas sua intensidade, mantendo ou invertendo sua direção de acordo com o sinal do escalar.
O documento descreve vários conceitos relacionados a planos em geometria analítica, incluindo:
1) Definições de plano, equação vetorial e casos particulares de planos;
2) Métodos para representar planos através de equações paramétricas, geral e segmentária;
3) Cálculo do vetor normal a um plano e relações entre os vetores normais de planos.
Slides da disciplina de Análise de Algoritmos, ministrada pelo Prof. Marcelo H. Carvalho no curso de Pós-Graduação em Ciência da Computação, FACOM - UFMS.
[1] O documento introduz o operador momento angular quântico em coordenadas esféricas. [2] É derivada a expressão para o operador momento angular e suas componentes cartesianas nestas coordenadas. [3] O documento também aborda harmônicos esféricos, que são autofunções do operador momento angular.
O documento define e discute conceitos básicos sobre retas em geometria analítica, incluindo: (1) a equação vetorial de uma reta que contém um ponto e tem direção de um vetor, (2) as diferentes formas de escrever a equação de uma reta, como equações paramétricas e simétricas, (3) a condição para três pontos serem alinhados e (4) as posições relativas entre duas retas, como paralelas, concorrentes e reversas.
1) O documento apresenta os conceitos de produto escalar e produto vetorial entre vetores no espaço R3.
2) O produto escalar é definido como o número real θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu, onde θ é o ângulo entre os vetores u e v. Já o produto vetorial é definido como um vetor.
3) São apresentadas propriedades e interpretações geométricas desses produtos, como a relação entre o módulo do produto escalar e a projeção de um vetor na direção do
Este documento discute tópicos de álgebra linear necessários para o estudo da econometria. O professor recomenda que os alunos leiam os livros indicados na bibliografia e acessem notas de aula online para aprofundar seus conhecimentos em álgebra linear. O texto então introduz conceitos como autovalores, autovetores, equação característica e diagonalização de matrizes. Exemplos ilustram esses conceitos-chave.
O documento apresenta fórmulas e conceitos para calcular distâncias e ângulos entre objetos vetoriais como pontos, retas e planos no espaço tridimensional. Inclui definições de distância entre dois pontos, um ponto e uma reta, um ponto e um plano, entre duas retas, dois planos e uma reta e um plano. Também apresenta fórmulas para calcular ângulos entre vetores, retas, planos e entre uma reta e um plano. Exemplos ilustram o cálculo destas grandezas.
O documento discute o conceito de derivada, definindo-a matematicamente como a taxa de variação instantânea de uma função. Explica sua interpretação física e fornece exemplos ilustrativos sobre sua aplicação para calcular velocidade, taxa de crescimento e equações de retas tangentes.
[1] A combinação linear é uma soma ponderada de vetores, onde os pesos são escalares. Um vetor é combinação linear de outros se puder ser escrito dessa forma. [2] O subespaço gerado por um conjunto de vetores S é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear dos vetores de S. [3] Vetores são linearmente independentes se a única solução para sua combinação linear ser nula é quando todos os escalares são nulos.
Cap. 1. calculo vetorial e geometria analíticaDuke Wdealmei
O documento introduz os conceitos fundamentais de vetores e cálculo vetorial, incluindo:
1) A definição de vetor como uma classe de equipolência de segmentos orientados, caracterizado por módulo, direção e sentido.
2) As operações básicas com vetores, principalmente a adição vetorial através do método da poligonal.
3) Exemplos ilustrativos de como representar vetores geometricamente e realizar operações com eles.
O documento discute operadores na mecânica quântica. Apresenta operadores como expressões que atuam sobre funções e define propriedades como linearidade. Discute operadores hermitianos, cujos autovalores são reais e autofunções podem ser escolhidas ortogonais. Define álgebra de operadores e comutadores.
Este documento descreve operadores diagonalizáveis em álgebra linear. Os principais pontos são:
1) Operadores diagonalizáveis possuem uma base de auto-vetores, onde a matriz do operador nessa base é uma matriz diagonal com os auto-valores na diagonal principal.
2) Para um operador ser diagonalizável, deve ter tantos auto-vetores lineamente independentes quanto a dimensão do espaço vetorial.
3) A diagonalização simplifica o estudo de operadores, transformando sua matriz na forma mais simples de uma matriz diagonal.
Decomposições de matrizes utilizando conceitos de Auto Vetores e Auto ValoresFelipe Schimith Batista
Este documento apresenta três decomposições matriciais usando autovalores e autovetores: a decomposição de Cholesky para matrizes simétricas, a decomposição A=QR para qualquer matriz e a decomposição em valores singulares (SVD) para qualquer matriz. O documento descreve a teoria e implementação computacional dessas decomposições na linguagem Java.
Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman.
1) O documento discute métodos computacionais para resolver sistemas lineares, incluindo o método de Cramer e o processo de Gram-Schmidt.
2) Explica o método de Cramer para resolver sistemas lineares determinados e compatíveis através do cálculo de determinantes de matrizes associadas.
3) Descreve o processo de Gram-Schmidt para transformar qualquer base em uma base ortogonal através da ortogonalização sucessiva de vetores.
O documento descreve as diferenças entre grandezas escalares e vetoriais. Grandezas escalares são definidas apenas por um valor numérico, enquanto grandezas vetoriais requerem módulo, direção e sentido para serem completamente definidas. Vetores são usados para representar grandezas vetoriais através de segmentos de reta orientados. O documento também explica como somar e subtrair vetores geometricamente e analiticamente.
O documento discute algoritmos computacionais para resolver sistemas lineares utilizando decomposições de matrizes. Apresenta a decomposição A=LU comparando-a com a eliminação de Gauss e discute a implementação da decomposição LU em Java, notando que seu custo de processamento é da ordem de N3, assim como a eliminação de Gauss.
1) O documento descreve espaços vetoriais reais e alguns de seus conceitos fundamentais, como vetores, escalares, soma e multiplicação por escalar.
2) É apresentada a definição formal de espaço vetorial real e suas propriedades. Exemplos de espaços vetoriais reais incluem triplas ordenadas de números reais e polinômios.
3) Conceitos como subespaço, combinação linear e teoremas relacionados a espaços vetoriais são definidos.
O documento descreve que o vetor (1, 0, 0) gera o subespaço unidimensional correspondente à reta horizontal no plano cartesiano R2. Além disso, explica que qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base canônica {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre vetores no plano e no espaço, incluindo definição de vetor, operações com vetores, módulo de vetor, produto escalar e representação de vetores em função de uma base.
O documento descreve superfícies diferenciáveis em Rn. Uma superfície é localmente o gráfico de uma função diferenciável. O espaço vetorial tangente em um ponto p é um subespaço vetorial TpM de Rn que representa a direção das curvas na superfície através de p.
1) O documento discute conceitos fundamentais de transformações lineares, incluindo núcleo, imagem, isomorfismo e o espaço L(U,V).
2) É definido que o núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de elementos de U mapeados para 0 em V, enquanto a imagem é o conjunto de elementos em V que são imagens de elementos em U sob T.
3) O espaço L(U,V) é o conjunto de todas as transformações lineares de U para V, que forma um espaço vetorial.
1) O documento discute conceitos básicos de cálculo vetorial, incluindo definições de vetores, operações com vetores e decomposição de vetores.
2) É apresentada a notação vetorial e explica-se que ela permite expressar leis físicas de forma independente do sistema de coordenadas escolhido.
3) Exemplos de grandezas físicas escalares e vetoriais são listados e várias operações com vetores, como adição, subtração e produto escalar e vetorial são explicadas.
1) O documento discute conceitos básicos de cálculo vetorial, incluindo definições de vetores, operações com vetores e decomposição de vetores.
2) É apresentada a notação vetorial e explica-se que ela permite expressar leis físicas de forma independente do sistema de coordenadas escolhido.
3) Exemplos demonstram como realizar operações com vetores, como adição, subtração e produto escalar e vetorial.
Este documento apresenta os conceitos fundamentais de álgebra linear, incluindo:
1) A definição de corpo, que é um conjunto com operações de adição e multiplicação que satisfazem certas propriedades. Exemplos de corpos incluem os números complexos e reais.
2) A definição de espaço vetorial, que é um conjunto com operações de adição vetorial e produto escalar satisfazendo propriedades específicas. Exemplos incluem Rn.
3) A definição de subespaço vetorial, que é um subconjunto
1) O documento descreve transformações lineares entre espaços vetoriais, definindo-as como funções que preservam adição e escalonamento.
2) Uma transformação linear mapeia cada vetor de entrada para um único vetor de saída de forma que respeite propriedades algébricas.
3) O núcleo de uma transformação contém os vetores de entrada que mapeiam para o vetor nulo, enquanto a imagem contém os vetores de saída possíveis.
O documento apresenta os conceitos básicos de vetores, incluindo sua representação, tipos (livre, deslizante e ligado), operações (adição, subtração, multiplicação por escalar) e produto interno. É introduzida a notação de Grassmann para vetores e mostrado como representar vetores no plano cartesiano usando pares ordenados de coordenadas.
1. A densidade de corrente de probabilidade j(r,t) é definida de modo que a derivada temporal da probabilidade de encontrar a partícula em uma região v é igual ao fluxo de probabilidade que entra em v através de sua fronteira s.
2. O valor médio do momento de uma partícula muda de acordo com a força clássica no estado quântico, e a força clássica no valor médio da posição é igual à força no estado quântico quando a força é constante ou elástica.
3. São apresent
Apresentamos uma breve introdução de limite, derivada e integral, necessária
para apoiar o estudo das grandezas cinemáticas utilizadas na descrição
do movimento de um corpo. Exploramos no texto os aspectos geométricos
das definições. Não apresentamos demonstrações rigorosas dos
resultados no texto.
O documento discute uma proposição sobre matrizes de transformações lineares entre espaços vetoriais. A proposição afirma que a aplicação que associa uma transformação linear à sua matriz em relação a bases fixas dos espaços é uma bijeção. A demonstração mostra que a aplicação é injetora e sobrejetora. O exemplo ilustra o cálculo da matriz de uma transformação linear dado seus efeitos nas bases.
Apostila Análise Matemática para Engenharia II - CCE1433.pdfFernandoSenra4
Este documento apresenta os principais tópicos de Análise Matemática II, incluindo funções vetoriais, funções de várias variáveis e suas derivadas, integrais múltiplas e campos vetoriais. O documento define funções vetoriais e como elas podem ser usadas para descrever curvas no espaço, apresenta o cálculo vetorial e equações paramétricas de retas, e discute derivadas e integrais de funções vetoriais.
Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Lições Bíblicas, 2º Trimestre de 2024, adultos, Tema, A CARREIRA QUE NOS ESTÁ PROPOSTA, O CAMINHO DA SALVAÇÃO, SANTIDADE E PERSEVERANÇA PARA CHEGAR AO CÉU, Coment Osiel Gomes, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, de Almeida Silva, tel-What, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
REGULAMENTO DO CONCURSO DESENHOS AFRO/2024 - 14ª edição - CEIRI /UREI (ficha...Eró Cunha
XIV Concurso de Desenhos Afro/24
TEMA: Racismo Ambiental e Direitos Humanos
PARTICIPANTES/PÚBLICO: Estudantes regularmente matriculados em escolas públicas estaduais, municipais, IEMA e IFMA (Ensino Fundamental, Médio e EJA).
CATEGORIAS: O Concurso de Desenhos Afro acontecerá em 4 categorias:
- CATEGORIA I: Ensino Fundamental I (4º e 5º ano)
- CATEGORIA II: Ensino Fundamental II (do 6º ao 9º ano)
- CATEGORIA III: Ensino Médio (1º, 2º e 3º séries)
- CATEGORIA IV: Estudantes com Deficiência (do Ensino Fundamental e Médio)
Realização: Unidade Regional de Educação de Imperatriz/MA (UREI), através da Coordenação da Educação da Igualdade Racial de Imperatriz (CEIRI) e parceiros
OBJETIVO:
- Realizar a 14ª edição do Concurso e Exposição de Desenhos Afro/24, produzidos por estudantes de escolas públicas de Imperatriz e região tocantina. Os trabalhos deverão ser produzidos a partir de estudo, pesquisas e produção, sob orientação da equipe docente das escolas. As obras devem retratar de forma crítica, criativa e positivada a população negra e os povos originários.
- Intensificar o trabalho com as Leis 10.639/2003 e 11.645/2008, buscando, através das artes visuais, a concretização das práticas pedagógicas antirracistas.
- Instigar o reconhecimento da história, ciência, tecnologia, personalidades e cultura, ressaltando a presença e contribuição da população negra e indígena na reafirmação dos Direitos Humanos, conservação e preservação do Meio Ambiente.
Imperatriz/MA, 15 de fevereiro de 2024.
Produtora Executiva e Coordenadora Geral: Eronilde dos Santos Cunha (Eró Cunha)
O Que é Um Ménage à Trois?
A sociedade contemporânea está passando por grandes mudanças comportamentais no âmbito da sexualidade humana, tendo inversão de valores indescritíveis, que assusta as famílias tradicionais instituídas na Palavra de Deus.
PP Slides Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 11, Betel, Ordenança para exercer a fé, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
1. Faculdade dos Guararapes
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Mecânica
Aluno:
Disciplina:
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR:
CONCEITOS, EXEMPLOS E APLICAÇÕES
DESEMBRO / 2015
2. Transformação Linear
Transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as
operações de adição vetorial e multiplicação por escalar.
Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que F: V W é uma aplicação linear se satisfaz às
duas propriedades seguintes:
1. Para quaisquer u, v U: F(u + v) = F(u) + F(v).
2. Para qualquer k R e qualquer v U: F(k.v) = k.F(v).
Definição alternativa 1: Sejam V e W espaços vetoriais. F: V W é uma aplicação linear se,
para quaisquer u, v U e quaisquer a, b R se tem que
F(au+bv) = aF(u) + bF(v)
Definição alternativa 2: Sejam V e W espaços vetoriais. F:V W é uma aplicação linear se,
para quaisquer u,v U e qualquer b R se tem que
F(u+bv) = F(u) + bF(v)
Graficamente temos algo como:
Observações importantes:
1. Uma aplicação linear também recebe o nome de Transformação linear.
2. Na literatura mais recente sobre Álgebra Linear, quando V=W, a aplicação F recebe o nome de
operador linear e quando W = R, recebe o nome de funcional linear.
3. Se F: V W é uma aplicação linear, então F(0) = 0, onde o primeiro 0 é o vetor nulo de V e o
segundo 0 é o vetor nulo de W.
4. Para provar que uma aplicação é linear, devemos demonstrar que valem as duas propriedades
descritas na definição, mas para mostrar que uma transformação não é linear, basta exibir a
propriedade que não é satisfeita.
Teoremas sobre a Composta de Transformações Lineares
1. Sejam F: U V e G: V W transformações lineares. A composta GoF: U W também é uma
transformação linear.
Demonstração:Sejam u, v U e k R. Assim
(GoF)(u+kv) = G(F(u+kv)) Definição de composta
= G(F(u)+F(kv)) Linearidade de F
3. = G(F(u))+G(k.F(v)) Aditividade de G
= G(F(u))+k.G(F(v)) Homotetia de G
= (GoF)(u)+k.(GoF)(v) Definição de composta
Exemplo: Dadas as transformações lineares S: R³ R² definida por S(x,y,z) = (x,y+z) e T: R²
R³ definida por T(x, y)=(3x,2y,x+y), a transformação composta P:R² R² tal que P = SoT é
linear, pois
(SoT)(x,y) = S(T(x,y)) = S(3x,2y,x+y) = (3x,2y+x+y) = (3x,3y+x)
2. Sejam V e W espaços vetoriais reais, uma base de V denotada por {v1,...,vn} e {w1,w2,...,wn} um
conjunto de elementos de W. Existe uma única transformação linear T: V W tal que
T(v1) = w1, T(v2) = w2, ..., T(vn) = wn
Se considerarmos a combinação linear
v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn , então
T(v) = a1 T(v1) + a2 T(v2) + ... + an T(vn) = a1 w1 + a2 w2 + ... + an wn
Devemos provar que T é uma transformação linear, verificando que:
1. Para quaisquer u, v U: F(u+v) = F(u)+F(v).
2. Para qualquer k R e qualquer v U: F(kv) = k.F(v).
Exemplo: Seja a aplicação T: Rn
Rm
definida por
TA(v) = A .
v1
v2
...
vn
=
w1
w2
...
wn
onde A é uma matriz de ordem m×n e
v =
v1
...
vn
é um vetor coluna. T é linear pois,
TA(u+bv) = A(u+bv) = A(u) + A(bv) = A(u) + b.A(v) = TA(u)+ b.TA(v)
Exemplo: Se
A =
1 0
0 0
0 0
4. e TA: R² R³,então
TA(u) =
1 0
0 0
0 0
.
u1
u2
=
u1
0
0
Então TA(u1,u2) = (u1, 0, 0)
Exemplo. Verifique se a aplicação T se qualifica como transformação linear
T : R2
→ R2
e T (x, y) = (2x − y, 0)
Solução: Temos de verificar se T (αu + βv) = αT (u) + βT (v), ∀ u, v ∈ R2
, ∀ α, β ∈ R.
Façamos então u = (u1, u2) e v = (v1, v2).
T (αu + βv) =
= T (α (u1, u2) + β (v1, v2))
= T (αu1 + βv1, αu2 + βv2)
= (2 (αu1 + βv1) − (αu2 + βv2),0)
= (2αu1 − αu2 + 2βv1 − βv2,0)
= (2αu1 − αu2, 0) + (2βv1 − βv2, 0)
= α (2u1 − u2, 0) + β (2v1 − v2, 0)
= αT (u) + βT (v)
Imagem e Núcleo de uma Transformação Linear
Seja F: U V uma transformação linear. A Imagem de F é o conjunto de todos os vetores
F(v) V, isto é;
Im(F) = {F(v) V: v V}
A imagem de F, denotada por Im(F), é um subespaço vetorial de V.
Seja F: U V uma transformação linear. O conjunto de todos os vetores u U tal que F(u) =
0 é denominado Núcleo de F, sendo denotado por Nuc(F), isto é;
Nuc(F) = {v V: F(u) = 0}
O núcleo de F, denotado por Nuc(F),é um subconjunto de U e também é um subespaço vetorial
de U.
Aplicações: Injetora, Sobrejetora e Bijetora
1. Uma aplicação F: U V,F é Injetora se dados u, v U com F(u) = F(v) se tem
necessariamente que u = v. Outro modo equivalente: F é Injetora,se dados u, v U com u
vimplicar que F(u) F(v).
2. Uma aplicação F: U V é Sobrejetora se a imagem de F coincide com V, isto é, F(U) = V,
significando que, dado v V, existe u U tal que F(u) = v.
3. Uma aplicação F:U V, F é Bijetora se é injetora e sobrejetora.
5. Operador Diferencial Linear
Seja V o espaço vetorial de todas as funções reais infinitamente e contínuamente diferenciáveis
no intervalo [a,b] da reta.
1. A aplicação D: V V definida por D(f) = f ', onde f ' é primeira derivada primeira da função.
Esta aplicação é linear, pois
D(af+bg) = aD(f) + bD(g)
2. A partir do operador diferencial D é possível definir a composta D (2)
= DoD. Pode-se mostrar que é
linear a aplicação D (2)
: V V definida por D (2)
(f) = f'', onde f'' é segunda derivada da função f, pois
D(2)
(af+bg) = a D(2)
(f) + b D(2)
(g)
3. A aplicação D n+1
: V V definida por Dn
(f) = f (n)
onde f (n)
é a derivada de ordem n da função f.
Demonstra-se que é linear a aplicação Dn
definida recursivamente por D 0
= In e para cada n N:
Dn
= D o D n−1
4. A aplicação L: V V definida por L(D) = a D² + b D + c Id é linear.
5. A aplicação L: V V definida por
L(D) =
n
k=0
ak Dk
é linear. Realmente,
[L(D)](f+g) =[
n
k=0
akDk
](f+g)=
n
k=0
akDk
(f+g)=
n
k=0
ak[Dk
(f)+Dk
(g)]
=
n
k=0
ak Dk
(f) +
n
k=0
ak Dk
(g) = [L(D)](f) + [L(D)](g)
Aplicações
A matemática tem relação direta com várias áreas do conhecimento (física, química, engenharia,
informática, economia, biologia, medicina, ciências humanas), ocupando um lugar de destaque no
mundo científico contemporâneo.
A álgebra linear ocupa lugar de destaque nas diversas áreas da matemática – da análise à
estatística, onde se utilizam, constantemente,o cálculo matricial e vetorial. Também se aplica na
modelagem matemática de problemas e situações concretas em engenharia são:
- Equações lineares em decisões gerenciais; circuitos eletrônicos e exploração de petróleo, entre
outros.
- Álgebra matricial em computação gráfica.
- Determinantes em cálculo de áreas de volumes de sólidos poliédricos.
- Espaços vetoriais em sistemas de controle.
- Autovalores e autovetores em sistemas dinâmicos.
- aplicação na engenharia civil através de estruturas metálicas.
6. Dependência e Independência Linear
Definição
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. Consideremos a equação vetorial
a1v1 + a2v2 + · · · + anvn = 0.
Se a única solução da equação acima for
a1 = a2 =. . . = an = 0
dizemos que v1, v2, . . . , vn são linearmente independentes (LI).
Se a equação acima tiver mais que uma solução, dizemos que v1, v2, . . . , vn são linearmente
dependentes (LD).
Exemplo. Os vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (5, 2, 3) de R3
são LD, pois 2v1 + 3v2 − v3 = 0.
Exemplo. Sejam n ∈ N e V = P o espaço dos polinômios em t. Os vetores abaixo são LI.
p1 = 1 + t, p2 = t + t 2
, . . . , pn = t n−1
+ t n
Até o momento, definimos as noções de dependência e independência linear para conjuntos
finitos. Iremos, agora, estender tais noções para conjuntos infinitos.
Seja V um espaço vetorial e X ⊂ V não vazio. Dizemos que X é linearmente dependente (LD)
se existem v1, v2, . . . , vn ∈ X linearmente dependentes. Caso contrário, dizemos que X é linearmente
independente (LI).
Exemplo Seja X = {v = (x, y) ; x, y ∈ Z} ⊂ R2
. Este conjunto é LD.
Exemplo Seja X = {pn = t n
; n ∈ N ∪ {0}} contido no espaço P dos polinômios em t. Então X é LI.
Propriedades
Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, . . . , vn ∈ V. São válidas as seguintes propriedades:
1. Qualquer conjunto X que contenha o vetor nulo é LD. Em particular, o conjunto {0} ⊂ V é LD.
2. v1, v2 não nulos são LD se, e somente se, um é múltiplo escalar do outro.
3. Se v1, v2, . . . , vn são LD, então, qualquer que seja v ∈ V, v1, v2, . . . , vn, v são LD.
4. Se X é LI e Y ⊂ X, então Y é LI.
5. Um conjunto {v1, v2, . . . , vn, } é LD se, e somente se,ao menos um dos vetores é combinação
linear dos demais.
6. A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo
ser o conjunto vazio.
7. A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente
independente.