3 lista ga 2012.1

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3 lista ga 2012.1

  1. 1. UNIME – União Metropolitana de Educação e Cultura S/C Ltda CURSO: Engenharia Elétrica. DISCIPLINA: Vetores e Geometria Analítica ANO/SEM: 2012.1 PROFESSOR: Sonia Ferreira 3a Lista de exercícios – Vetores, retas e planos. 1. Dados os vetores )1,1,0(u −=  , )0,1,2(v =  e )1,2,2(w =  , determine: a) Um vetor a  , tal que 0va  =× e 52a =  . b) Um vetor b  ortogonal aos vetores u  e v  . c) A projeção de v  na direção de u  . d) A área do triângulo ABC, tal que u2AB  = → e wBC  = → . e) O volume do tetraedro de arestas AB, AC e AE, tais que: uAB  = → , vAC  = → e wAE  = → . f) Um vetor c  tal que ( ) °=180u,c  e 23|c| =  . 2. Do paralelogramo ABCD sabe-se que: (i) Dois dos cossenos diretores de → AB são 2 2 cos =β e 2 2 cos =γ e 24|| = → AB . (ii) A( 0, 0, 1 ) e C( 1, 0, 3 ). Determine: a) As coordenadas do ponto B. b) As coordenadas do ponto M que é ponto médio de AC. c) A área do triângulo ABD e a área do retângulo ABCD. 3. Do paralelepípedo de arestas AB, AD e AE sabe-se que: (i) Dois dos cossenos diretores de → AE são 5 4 cos −=α e 5 3 cos =γ . (ii) A = ( 1,0,1) , B( 1, 0, -3) , )1,2,0(AD −= → e | → AE | = 5. Determine: a) As coordenadas do vetor → AC . b) A projeção do vetor → AD na direção de → AB . c) A área da base ABCD. d) O volume desse paralelepípedo. 4. Considere um paralelogramo ABCD, B(4, 0, 2) e a reta AD: Rt),2,3,1(t)0,5,1(X ∈−+= . Seja E o ponto da reta AD tal que o segmento BE é perpendicular à reta AD. Determine: a) As coordenadas do ponto E do item anterior. b) A distância entre as retas AD e BC. c) Uma equação da reta BC. d) Uma equação da reta r perpendicular à reta AD passando por B. 5. Dados os pontos A(1,3,-2), B(0,2,4) e C( 1,1,1) e determine: a) Uma equação vetorial da reta AB; b) As equações paramétricas da reta AC; c) As equações simétricas da reta BC, se possível; d) As equações paramétricas do plano ABC. e) A equação geral do plano ABC. 6. Dados o plano 022: =−++ zyxβ e o ponto R (1,0,2), determine: a) Uma equação vetorial do plano β . A D CB E rv 
  2. 2. b) Uma equação de uma reta m contida no plano β. c) Uma equação da reta s que passa por R e é perpendicular ao plano β. d) Uma equação do plano π paralelo ao plano β e que passa por Q. 7. Considere o ponto A( 3, 1, 1 ) e a reta r: Rt),1,1,1(t)1,0,1(X ∈−+= . Determine: a) As equações simétricas da reta s paralela à reta r e que passa por A . b) As equações paramétricas da reta m perpendicular à reta r e que passa por A . c) A distância do ponto A à reta r. d) A equação geral do plano β perpendicular à reta r e que passa por A. 8. Considere o ponto P(1,4,1) e as retas r e s dadas a seguir. Rt, t1z t2y t2x :r ∈      += −= = , z 2 1y 3 2x :s = + = − Determine: a) As equações simétricas da reta m que passa por P e é paralela à reta r. b) Uma equação vetorial da reta n que passa por P e é perpendicular à reta r. c) A distância do ponto P à reta s. 9. Do paralelepípedo de arestas AB, AD e AE sabe-se que: A( 0, 0, 0) , B(1, 0, 1), D(0, 1, 2) e E pertence à reta z 2 2y 1x:r = − =− . Determine as coordenadas do ponto E para que o volume desse paralelepípedo seja igual a 5 u.v. 10. Do paralelepípedo retângulo dado a seguir, sabe-se que: (i) plano ABC: 0z2yx2 =+− (ii) ponto E(0, 9,0 ) . Determine: a) As equações paramétricas da reta AE. b) A altura desse paralelepípedo em relação à base ABCD. c) A equação geral do plano EFG. Respostas: 1. a) )0,2,4(=a  b) )2,2,1( −−=b  c) )2/1,2/1,0( −=v uproj   d) 17 unidades de área. e) 2/3 unidades de volume. f) )3,3,0( −=c  2. a) B = ( 0, 4, 5 ). b) )2,0,2/1(=M c) 62 unidades de área. d) 64 unidades de área. 3. a) )5,2,0( −= → AC b) )1,0,0( −= → → AD AB proj . c) 8 unidades de área. d) 32 unidades de volume. 4. a) E = ( 2, 2, -2). b) 62 unidades de distância. c) reta BC: .Rt),2,3,1(t)2,0,4(X ∈−+= d) .Rt),2,1,1(t)2,0,4(X:r ∈−+=
  3. 3. 5. a) .),6,1,1()2,3,1( RttX ∈−−+−= b) Rt tz ty x ∈      +−= −= = , 32 23 1 . c) 3 4 1 2 − − = − − = zy x . d) Rht htz hty htx ∈      −+−= −−= +−−= ,, 362 3 1 e) 014239 =−++ zyx 7. a) 1 1 13 − − =−=− z yx b) Rt tz y tx ∈      −= = −= , 1 1 3 . c) 2 unidades de distância. c) 03 =−−+ zyx . 8. a) 1 1 1 4 2 1 − = − − = − zyx b) .),0,2,1()1,4,1( RttX ∈−−+= c) 5 unidades de distância. 9. )2,6,3(=E ou )2/1,3,2/3(=E . 10. a) Ra az ay ax ∈      = −= = , 2 9 2 . b) 3 unidades de comprimento. c) 0922 =++− zyx

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